安徽省宣城市六校(郎溪中学等)高二下学期期中联考数学(文)试题

高二下学期宣城六校联考数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|lnx ＞0}，N={x|x 2﹣3x ﹣4＞0}，则M ∩N=（ ） A ．（﹣1，4） B ．（1，+∞） C ．（1，4） D ．（4，+∞） 2．i 是虚数单位，（1﹣i ）Z=2i ，则复数Z 的模|Z|=（ ） A ．1 B ．C ．D ．23．设a R ∈，“1，a ，16为等比数列”是“4a =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位5．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N （N ≥2）和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则（ ）A ．A+B 为a 1，a 2，…，a N 的和B ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数C ．为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为（ ） A ．8π B ．12π C ．20π D ．24π8．已知12132111log log 332a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>9．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如下表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中a 的值为（ ）A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.510．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．611．已知双曲线22221x y a b-=（0a>，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2(0)c c >，抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A 1B ．2C 1D 112．设函数()g x 是R 上的偶函数，当0x <时，()()ln 1g x x =-，函数()()30 0x x f x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，满足()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A ．()() 1 2 -∞+∞，，B ．()() 2 1 -∞-+∞，，C ．()1 2，D ．()2 1-，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13． 观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________．14．已知实数x ，y 满足，若使得ax ﹣y 取得最小值的可行解有无数个，则实数a 的值为 ．15．如图，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B 、C 两点的俯角分别为0030,45，且0135BAC ∠=，若山高100AD m =，汽车从B 点到C点历时14s ，则这里汽车的速度为 /m s .16．设数列{a n }满足a 2+a 4=10，点P n （n ，a n ）对任意的n ∈N +，都有向量1(1,2)n n p p +=，则数列{a n }的前n 项和S n = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在ABC △中， A B C ，，的对边分别为 a b c ，，， 83C b π==，，ABC △的面积为103.(1).求c 的值； (2).求()cos B C -的值.18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量．．产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．质量指标值 频数 (190,195hslx3y3h 9 (195,200hsl x3y3h 10 (200,205hsl x3y3h 17 (205,210hsl x3y3h8(1).根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；(2).若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3).根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中=+++n a b c d 为样本容量）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1).设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ； (2).求四棱锥P —ABCD 的体积．20．（本小题满分12分） 已知数列{n a }的前n 项和n n S n 22+=，数列{n b }满足1213--=n n n a b(1)求n a ，n b ； (2)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ．甲生产线乙生产线合计 合格品不合格品合计图1乙流水线样本频率分布直方图表1：甲流水线样本的频数21．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>且过点()2,1A .(1).求椭圆C 的方程;(2).若,P Q 是椭圆C 上的两个动点,且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.22．（本小题满分12分）函数()()()0ln 1212≥++-=a x x a ax x f . (1).讨论函数()f x 的单调性；(2).当0=a 时，方程()mx x f =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．数学（文科）一、选择题（1）D （2）B （3）B （4）C （5）B （6）B（7）C （8）C （9）D （10）C （11）A （12）D 二、填空题（13） 1＋122＋132＋142＋152＋162<116 （14）12-或1 （15（16）2n三、解答题(17) （本小题满分10分） （Ｉ）1sinC 2ABCSab 5a ∴= 2222cos 497c b a ab C c =+-=∴= (5分)（Ⅱ）由（Ⅰ）得2224925641cos 2707a cb B ac +-+-===，由于B是三角形的内角，得sin B = 所以()1113cos cos cossin sin337214B C B B ππ-=+=⨯= （10分） (18) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，………………………………………1分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= ……………………………3分 解得390019x =． ………………………………………4分 （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 ………………………5分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯． …………………………8分…………………………10分则()221003506004 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， ……………………………………………11分因为1.3 2.072,<所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． ……………………………………………………12分19. （本小题满分12分）(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ， BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面PAD . 又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面PAD .（6分） (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面PAD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△PAD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. （6分）20. （本小题满分12分）(1) 21n a n =+ (3分)、 1413n n n b --= (3分)（2）11545223n n Tn -+=-⨯ （6分）21. （本小题满分12分） (Ⅰ) 因为椭圆C且过点()2,1A , 所以22411a b +=,c a =. ………………………………………………2分 因为222a b c =+,解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=. ……………………………………………4分(Ⅱ)法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对 称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分 所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--. 设点(),P P P x y , (),Q Q Q x y ,由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k--=+, ……………………………………………6分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分 同理2288214Q k k x k +-=+. ……………………………………………8分所以21614P Q kx x k -=-+. ……………………………………………9分又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………10分所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-. …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =-, 即1112y x --22102y x -+=-, ① ………………………………………5分 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=，② 2222182x y +=. ③ 由②得()()22114410x y -+-=, 得()111112241y x x y -+=--+, ④ ………………………6分 同理由③得()222212241y x x y -+=--+, ⑤ ………………………………………………7分 由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………8分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分 ⑥-⑦得()12122x x y y +=-+. …………………………………………10分②-③得22221212082x x y y --+=,得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+. …………………11分 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值. …………………………………12分22. （本小题满分12分）（I ）()()()()1111,0ax x f x ax a x x x--'=-++=>， （1分） （i ）当0=a 时，()xxx f -='1，令()0>'x f ,得10<<x ，令()0<'x f ,得1>x ， 函数f(x)在()1,0上单调递增，()+∞,1上单调递减； （2分）（ii ）当10<<a 时，令()0='x f ，得11=x ,112>=ax （3分） 令()0>'x f ,得ax x 1,10><<，令()0<'x f ,得a x 11<<，函数f(x)在()1,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a 上单调递增，⎪⎭⎫⎝⎛a 1,1上单调递减； （4分） （iii ）当1=a 时，()0≥'x f ，函数f(x)在()+∞,0上单调递增；（5分）（iv ）当1>a 时，110<<a（6分） 令()0>'x f ,得1,10><<x ax ，令()0<'x f ,得11<<x a ， （7分）函数f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0和()+∞,1上单调递增，⎪⎭⎫⎝⎛1,1a 上单调递减； （8分） 综上所述：当0=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()1,0，单调递减区间为()+∞,1； 当10<<a 时，函数f(x)的单调递增区间为()1,0和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a ，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,1； 当1=a 时，函数f(x)的单调递增区间为()+∞,0；当1>a 时，函数f(x)的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0和()+∞,1，单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛1,1a （9分） （II ）当0=a 时，()x x x f ln +-=，由()mx x f =，得mx x x =+-ln ，又0>x ，所以1ln -=xxm ，要使方程()mx x f =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解，只需1ln -=x xm 有唯一实数解， （10分） 令()()01ln >-=x x x x g ，∴()2ln 1x xx g -='， 由()0>'x g 得e x <<0；()0<'x g 得e x >，∴()g x 在区间[]e ,1上是增函数，在区间[]2,e e 上是减函数. （11分）()11-=g ，()11-=e e g ，()1222-=e e g ，故 2211m e -≤<-或11m e=- （12分）。