椭圆的简单几何性质(第一课时)教学设计
椭圆的简单几何性质第一课时教学设计(第16组 )
椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用《椭圆的简单几何性质》是北师大版选修2-1的内容。
本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
先引导学生观察椭圆（几何直观），了解应该关注椭圆的哪些方面的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特征对应着椭圆的哪些几何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的几何性质的方法。
这样由形到数，由数到形，通过对曲线的范围、対称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置。
对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，为后续研究其它曲线性质作铺垫。
2．教学重、难点重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。
难点：用曲线方程研究曲线几何性质3．学情分析学生已学习了圆的相关性质，并掌握了椭圆的基本定义及其标准方程，亲历体验、发现和探究的意识，具备一定的图形分析能力和逻辑推理能力。
二．教学目标1．知识与技能：（1）探究椭圆的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
2．过程与方法：（1）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；（2）运用数形结合思想解决实际问题的能力。
3．培养学科核心素养通过学生对椭圆几何性质的探究过程，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养。
三．教法与学法分析1. 教学方法：（1）类比分析法；（2）辨析与研讨法；（3）启发式引导法；（4）反馈式评价法.2. 学法指导自主探究法、观察发现法、归纳总结法。
四．教学过程分析创设情景第一“环节”：导入新课，明确研究方向：（类比与辨析）设置问题1：根据所学的知识，如何画椭圆的大致图形？（描点，体验关键点；对称性）设置问题2：请同学们回忆圆C ：x 2+y 2=a 2(a >0)的几何性质。
借鉴圆的几何性质，想一想椭圆12222=+by a x （a >b>0）会有哪些几何性质？ 利用多媒体打出一个焦点在轴x 轴上的椭圆，引导学生从直观上观察椭圆，想一想我们应该关注椭圆哪些方面的性质，如何研究？引导学生回顾圆借助方程研究几何性质的方法类比研究椭圆的几何性质。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
⾼中数学选修1-1《椭圆的简单⼏何性质》教案课题：椭圆的简单⼏何性质（第⼀课时）⼀、教学⽬标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单⼏何性质，初步学习利⽤⽅程研究曲线性质的⽅法；（2）掌握椭圆的简单⼏何性质，理解椭圆⽅程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利⽤数形结合思想⽅法解决实际问题。
2、过程与⽅法（1）通过椭圆的⽅程研究椭圆的简单⼏何性质，使学⽣经历知识产⽣与形成的过程，培养学⽣观察、分析、逻辑推理，理性思维的能⼒。
（2）通过掌握椭圆的简单⼏何性质及应⽤过程，培养学⽣对研究⽅法的思想渗透及运⽤数形结合思想解决问题的能⼒。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统⼀，对学⽣进⾏辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学⽣对美好事物的追求。
⼆、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单⼏何性质及其探究过程2、教学难点：利⽤曲线⽅程研究曲线⼏何性质的基本⽅法和离⼼率定义的给出过程。
三、教学⽅法：本节课以启发式教学为主，综合运⽤演⽰法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学⽅法。
先通过多媒体动画演⽰，创设问题情境；在椭圆简单⼏何性质的教学过程中，通过多媒体演⽰，有指导的发现问题，然后进⾏讨论、探究、总结、运⽤，最后通过练习加以巩固提⾼。
四、教学过程：（⼀）创设情景,揭⽰课题多媒体展⽰：模拟“嫦娥⼀号”升空,进⼊轨道运⾏的动画. 解说：2007年10⽉24⽇，随着中国⾃主研制的第⼀个⽉球探测器——嫦娥⼀号卫星飞向太空，⾃强不息的中国航天⼈，⼜将把中华民族的崭新⾼度镌刻在太空中。
绕⽉探测，中国航天的第三个⾥程碑。
它标志着，在实现⼈造地球卫星飞⾏和载⼈航天之后，中国航天⼜向深空探测迈出了第⼀步。
“嫦娥⼀号”卫星发射后⾸先将被送⼊⼀个椭圆形地球同步轨道，这⼀轨道离地⾯最近距离为200公⾥，最远为5.1万公⾥，,⽽我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹⽅程呢?要想解决这个问题,我们就⼀起来学习“椭圆的简单⼏何性质”。
椭圆的简单几何性质 精品教案
椭圆的简单几何性质第四课时（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题． （二）教学过程 【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）． 2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值． 【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例 1 求证：椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上任一点()00y x P ，与焦点所连两条线段的长分别为0ex a ±．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为()01，c F -．()02，c F ，则 ()()2222202201a x a b c x y c x PF -⋅++=++= 2020222a cx x ac ++= 0x ac a += ∵a x a ≤≤-0， ∴00>-≥+c a x aca ． ∴01ex a PF +=． 又a PF PF 221=+，∴()0022ex a ex a a PF -=+-= 故得证．证法二：设P 到左右准线的距离分别为1d ，2d ，由椭圆的第二定义有e d PF =11，又c a x c a x d 20201+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，∴02011ex a c a x a c ed PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==． 又a PF PF 221=+，∴022ex a PF -=． 故得证．说明：1PF 、2PF 叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵01ex a PF +=，a x a ≤≤-0， ∴c a a a c a PF +=⋅+≤1，()c a a aca PF -=-+≥1． ∴c a PF c a +≤≤-1．即椭圆上焦点的距离最大值为c a +，最小值为c a -，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它们近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一条直线上，地球半径约6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）．因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的方程为12222=+by a x ()0>>b a则6810439637122=+==-=-A F OF OA c a87552384637122=+==-=+B F OF OB c a解得5.7782=a 5.972=c ∴()()77228755681022≈⨯=-+=-=c a ca c ab ．因此，卫星的轨道方程是1772277832222=+y x ． 点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点P 在圆()1422=-+y x C ：上移动，点Q 在椭圆1422=+y x 上移动，求PQ 的最大值．分析：要求PQ 的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点()y x Q ，，又()40，C ，于是 ()()()222224144-+-=-+=y y y x QC20832++-=y y3763432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=y ．而11≤≤-y∴当1-=y 时，QC 有最大值5． 故PQ 的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆12222=+by a x ()0>>b a 与x 轴的正半轴交于点A ，O 是原点．若椭圆上存在一点M ，使MO MA ⊥，求椭圆离心率e 的取值范围．分析：依题意M 点的横坐标a x <<0，找到x 与a 、b 的关系式．教师讲解为好．解：设M 的坐标为()y x ，，由OM AM ⊥，有22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x于是下面方程组的解为M 的坐标⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-.022222222b a y a x b y ax x 消去y 整理得()0223222=+-+b a x a x b a．解得a x = 或 22c ab x =．a x =即为椭圆的右顶点∴ a cab <<220 即22c b <．即22>e ，而1<e ， 故122<<e ． （三）随堂练习1．如图在AFB ∆中，150=∠AFB ，32-=∆AFB S ，则以F 为焦点，A 、B 分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆12922=+y x 上动点()y x P ，到定点()0，a A ()30<<a 的距离AP 最小值为1，求a 的值．答案：1．12822=+y x 2．2=a （四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是23，则长半轴长的取值范围是___________． 2．若椭圆两焦点为()041，-F ，()042，F ，P 在椭圆上，且21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知F 是椭圆222222ba y a xb =+()0>>b a 的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记22b a c -=，则PQF ∆面积的最大值是（ ）A ．ab 21B ．abC ．acD ．bc 4．已知()00y x M ，是椭圆1162522=+y x 上的任意一点，以过M 的一条焦半径为直径作圆1O ，以椭圆长轴为直径作圆2O ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．内切B ．内含C ．相交D ．相离5．设P 是椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上的任一点，求P 点到椭圆两焦点1F 、2F 距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时P 点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．答案：1．(]21，2．192522=+y x 3．D 4．A 5．设()00y x P ，则01ex a PF +=，02ex a PF -=()()20220021x e a ex a ex a PF PF -=-+=⋅ ∵a x a ≤≤-0 ∴2200a x ≤≤当00=x 即()b P ，0或()b -，0时，21PF PF ⋅最大，最大值为2a ．当220a x =即()0，a P 或()0，a -时，21PF PF ⋅最小，最小值为222b c a =-．6．设所求椭圆方程是12222=+by a x ()0>>b a依题意可得342132322222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b y y x d ，其中b y b ≤≤-如果210<<b ，则当b y -=时，2d 有最大值，即()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ．由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d 有最大值，即()34722+=b．由此得1=b ，2=a ，故所求椭圆方程为1422=+y x ． 由21-=y 代入椭圆方程得点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，和⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点P 的距离都是7．注：本题也可设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，πθ20<≤，利用三角函数求解．。
20-21版：3.1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质（创新设计）
3.1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质新知探究“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？问题 椭圆x 24＋y 2＝1的长轴长、短轴长、离心率分别是什么？提示 椭圆的长轴长2a ＝4，短轴长2b ＝2，离心率e ＝c a ＝32.1.椭圆的几何性质明确a ，b ，c 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，c 是半焦距，且有关系式a 2＝b 2＋c 2x 2y 2y 2x 22.离心率的作用椭圆离心率e 与a ，b 的关系：e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2因为a >c >0，所以0<e <1.e 越接近1，c 越接近a ，b ＝a 2－c 2就越小，因此椭圆越扁平；反之，e 越接近0，c 越接近0，b 越接近a ，这时椭圆就越接近于圆.拓展深化[微判断]1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .(×)提示 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是2a . 2.椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.(×) 提示 椭圆的离心率e 越大，椭圆就越扁.3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)提示 因椭圆的焦点位置不确定，因而椭圆的方程不唯一.4.设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距).(√) [微训练]1.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A.5，3，45B.10，6，45C.5，3，35 D.10，6，35解析将椭圆方程化为标准方程为x29＋y225＝1，∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝a2－b2＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝4 5.答案B2.已知椭圆的长轴长为8，离心率为14，则椭圆的标准方程为________.解析由题意知，2a＝8，e＝ca＝14，∴a＝4，c＝1，从而b2＝a2－c2＝15.∴椭圆的标准方程为x216＋y215＝1或y216＋x215＝1.答案x216＋y215＝1或y216＋x215＝1[微思考]1.在画椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)时，怎样才能画的更准确些？提示在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).2.椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义是什么？提示在方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，a，b，c的几何意义如图所示，即a，b，c正好构成了以对称中心、一个焦点、一个短轴端点为顶点的直角三角形.题型一椭圆的简单几何性质【例1】求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.解把已知方程化成标准方程为y225＋x2＝1，则a＝5，b＝1.所以c＝25－1＝26，因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，两个焦点分别是F1(0，－26)，F2(0，26)，椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1，0).规律方法解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.【训练1】已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质.解(1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1，可知a＝10，b＝8，c＝a2－b2＝6，故其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝3 5.(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1.性质如下：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④焦点：(0，6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝3 5.题型二由椭圆的几何性质求方程【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e＝23，短轴长为8 5.解(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是y264＋x248＝1.(2)由e＝ca＝23得c＝23a，又2b＝85，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为x2144＋y280＝1或x280＋y2144＝1.规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法.【训练2】 (1)椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0，13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A.(±13，0) B.(0，±10) C.(0，±13)D.(0，±69)(2)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________.解析 (1)由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.(2)由已知，得焦点在x 轴上，且⎩⎨⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c 2，∴⎩⎨⎧b 2＝4，a 2＝16， ∴所求椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案 (1)D (2)x 216＋y 24＝1 题型三 求椭圆的离心率 角度1 求离心率【例3－1】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率.解 由题意知A (a ，0)，B (0，b )，从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，又|F 1F 2|＝2c ， ∴ab a 2＋b 2＝63c .(*)∵b 2＝a 2－c 2，∴(*)式可化简为3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22. 角度2 求离心率的取值范围【例3－2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围. 解 依题意得F 1(－c ，0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )， 则C (0，kc ).因为点B 为CF 1的中点，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，kc 2.因为点B 在椭圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kc 22b 2＝1， 即c 24a 2＋k 2c 24（a 2－c 2）＝1.所以e 24＋k 2e 24（1－e 2）＝1.所以k 2＝（4－e 2）（1－e 2）e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即（4－e 2）（1－e 2）e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0＜e ＜1，所以22≤e ＜1.故离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.规律方法 求椭圆离心率的方法：①直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b 2a 2求解.②若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解.【训练3】 已知椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，求它的离心率e 的最大值.解 ∵椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，∴5a >4a 2＋1， ∴14<a <1，∴椭圆的离心率e ＝5a －4a 2－15a＝1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1a ≤1－15×24a ·1a＝55⎝ ⎛当且仅当4a ＝1a ，⎭⎪⎫即a ＝12时取等号，∴椭圆的离心率的最大值为55.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.2.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准方程，应先化成标准方程.3.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距.4.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用. 二、素养训练1.椭圆x 24＋y 29＝1的长轴长为( ) A.2 B.4 C.3D.6解析 由椭圆方程知焦点在y 轴上，故长轴长为2a ＝6.故选D. 答案 D2.如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析 ∵x －2y ＋2＝0，∴y ＝12x ＋1，从而b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12，∴a 2c 2＝54，e ＝c a ＝255.答案 D3.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 24＋y 2＝1解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上， 且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1. 答案 C4.若一个椭圆的长轴长与焦距的和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25D.15解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去). 答案 B5.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________. 解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2，∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12， ∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 答案 32。
椭圆的简单几何性质(第一课时)教案
椭圆的简单几何性质（第一课时）教案（科目:数学 时间：2011年12月6日第二节 地点：昌宁二中高98班教室）【授课教师】李光俊【授课班级】昌宁二中高二年级98班 【教学目标】1、知识目标：⑴掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。
⑵能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题。
2、能力目标：培养学生的解析几何观念，培养学生观察、概括能力，以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高学生数学素养,培养学生对立统一的辩证唯物主义思想。
【教学重点】椭圆的简单几何性质。
【教学难点】椭圆的简单几何性质的应用。
【教学方法】尝试教学法【教具准备】多媒体电脑课件【教学过程】一、思考并回答下列问题： 1．椭圆的定义在平面内，到两定点F 1、F 2的距离之和为常数（大于|F 1F 2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
2．椭圆的标准方程当焦点在X 轴上时当焦点在Y 轴上时3．椭圆中a,b,c 的关系： 22c b a +=4．平面解析几何研究的两个主要问题是什么？ （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y二、椭圆的简单几何性质（以 )0(12222>>=+b a by a x 为例）1．椭圆的范围：由12222=+b y a x-a ≤x ≤a, -b ≤y ≤b 知椭圆落在x=±a, y= ± b 组成的矩形巩固练习题1．椭圆14922=+y x 的范围是22,33≤≤-≤≤-y x 巩固练习题2． 椭圆)0,0(12222>>=+n m y n x m 的范围是ny n m x m 11,11≤≤-≤≤-2．椭圆的对称性：从图形上看，椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称。
椭圆的简单几何性质优秀教学设计
椭圆的简单几何性质第三课时（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量、、、熟练地求椭圆的标准方程．a b c e 2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中、和a b 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定c e a b c e 它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，P 043=-x 分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可x 让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．()0222222>>=+b a b a y a x b ∵点在椭圆上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，P ∴ 即 ①222243b a a b =+()143222-=a a b 又∵一条准线方程是043=-x ∴ ②342=c a 243a c =将①、②代入，得222c b a += 整理得()4222163143a a a a +-=02819324=+-a a 解得或．42=a 372=a 分别代入①得或．12=b 16212=b故所求椭圆方程为或．1422=+y x 121167322=+y x 解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定()0，c F Pd 义得，即a c d PF=． ①()a c c =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-13423122又由准线方程为342==c a x ． ②c a c 4322=将②代入①，整理得021319122=+-c c 解得或．3=c 347=c 代入②及得222c b a += 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==16213722b a 故所求椭圆的方程为 或 ．1422=+y x 121167322=+y x 例2 如图，以原点心圆心，分别以、a b为半径作两个圆，点是大圆半径与()0>>b a B OA 小圆的交点，过点作，垂足为，过点A Ox AN ⊥N 作，垂足为，求当半径绕点B AN BM ⊥M OA O旋转时点的轨迹的参数方程．M 解：设点的坐标为，是以为始M ()y x ，ϕOx 边，为终边的正角．OA取为参数，那么ϕ⎪⎩⎪⎨⎧====ϕϕsin cos OB NM y OA ON x 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 这就是所求点的轨迹的参数方程．M 消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．ϕ12222=+by a x M 点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆ϕ都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 0>a 0>b ϕ()y x P ，（1）、的取值范围；x y （2）的取值范围．y x 43+解：（1）∵，，1cos 1≤≤-ϕ1sin 1≤≤-ϕ∴，．a a a ≤≤-ϕcosb b b ≤≤-ϕsin ∴，为所求范围．a x a ≤≤-b x b ≤≤-（2）∴ϕϕsin 4cos 343b a y x +=+ ．()θϕ++sin 16922b x （其中为第一象限角，且）．θb a 43tan =θ而．()1sin 1≤+≤-θϕ∴，()[]222222169169sin 169b a b a b a ++-∈++，θϕ即这所求．222216943169b a y x b a +≤+≤+-例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 3y x ϕ解：由参数方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.sin 4cos 3ϕϕy x 平方相加得为所求普通方程．116922=+y x ∵，，4=a 3=b ∴．791622=-=+=b a c ∴椭圆的离心率．47=e （三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别x P 为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4y x θ3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．⎩⎨⎧==θθcos 3cos 2y x θ答案：1． 2．， 3．18014422=+y x ()07，-()07，35（四）总结提炼若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ϕ0>>b a a 2b 2圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参x ϕ数方程求的最值较方便．()y x f ，（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与()031，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛5124，P P 相应准线的距离为（ ）1FA ．B ．C ．D ．5133373253232．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如12222=+by a x ()0>>b a F ()0，a A -()b B ，0果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（ ）F AB 77b A ． B ． C ． D ．777-777+32364．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．⎩⎨⎧==θθsin 4sin 5y x θ5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．325-=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛5124，6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．12222=+by a x ()0>>b a 答案：1．A 2．C 3．D 4． 5．3501162522=+y x 7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）()y x P ，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ内接矩形面积θθθθcos sin 4sin 2cos 2ab b a S =⋅=∴ ．θθ>=2sin 2ab ab S 2≤ab S 2max =（六）板书设计椭圆的简单几何性质（三）一、复习引入二、例题分析例1例2例3例4练习总结。
椭圆的简单几何性质教案 (1)
椭圆的简单几何性质【教学目标】1． 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义。
2． 初步利用椭圆的几何性质解决问题。
教学重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率。
教学难点：利用椭圆的几何性质解决问题。
【教学过程】预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况情景导入、展示目标：由于方程与函数都是描述图形和图像上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系，因此我们可以用类比研究函数图像的方法，根据椭圆的定义，图形和方程来研究椭圆的几何性质.师：代数中研究函数图象时都需要研究函数的哪些性质？ 生：需要研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．师：由于方程f(x ，y)=0与函数y=f(x)都是描述图形和图象上的点所满足的关系的，二者之间存在着必然的联系(当然也有区别，例如：在函数中，对每一个自变量x 都有唯一的函数值y 与之对应，而方程中x 、y 的关系则较为复杂．)，因此我们可以用类比研究函数图象的方法，根据椭圆的定义、图形和标准方程来研究椭圆的几何性质．师：好，现在我们有3个工具，即：椭圆的两个定义、图形及其标准方程，下面我们就分别从研究定义、图形和方程出发看看能获得哪些性质．合作探究、精讲点拨。
探究一 观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 1 、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。
椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。
（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22b y ____ 1；即____≤≤y___因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线___________和__________围成的矩形里。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。
2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。
2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。
椭圆的几何性质(教案
《椭圆的简单几何性质》（第一课时）论证学法指导，探索新知1、范围的探究问1：根据12222=+byax(a>b>0)的图象，你能说出x、y的范围吗？问2：如何根据方程12222=+byax（a>b>0）来验证x、y 的取值范围？引导：椭圆标准方程12222=+byax（a>b>0）有什么特点？（1）方程的左边是平方和的形式，右边是常数1。
（2）方程中x2和y2的系数不相等。
（展示过程）归纳结论：①椭圆方程中x、y的范围为：axa≤≤-且byb≤≤-；②椭圆位于直线x=a±和y=b±所围成的矩形内。
2、对称性的探究（1）椭圆12222=+byax（a>b>0）具有怎样的对称性呢？你能根据图象加以说明吗？（展示动画，归纳总结）（2）你能根据椭圆的标准方程来验证它的对称性吗？如何验证？①把x换成-x，方程变吗？说明图象关于什么对称？②把y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？教师提问，学生独立思考，然后通过观看动画得出结论。
教师巡视，展示学生解答过程，师生评价。
动画展示椭圆的对称性，归纳结论。
教师提问，学生观察思考、动手操作。
教师展示学生解答过程，师生共评。
教师结合图形给出相关定义。
学生结合图形，展开讨论。
图形展示，得出结论。
学生观察、回答。
使学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法。
动画展示椭圆的对称性,使学生体会椭圆的对称美。
展示和评价学生的解题过程，培养学生逻辑推理能力。
结合图形给出相关定义，使学生对定义有深刻理解，也为范围的探究作好铺垫。
体会a、b、c的几何意义，体现数与形的紧密结合,为椭圆扁平程度的探究奠定基础。
环节教学内容师生互动设计意图（3）归纳总结：椭圆12222=+byax（a>b>0）的图象关于x轴,y轴和原点对称，坐标轴是其对称轴，坐标原点是其对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。
3、顶点的探究椭圆12222=+byax（a>b>0）与对称轴有几个交点呢？你能根据方程求出这些交点坐标吗？顶点定义：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
高中数学 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．3．情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．●重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固(教师用书独具)●教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．●教学流程创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒探究离心率对椭圆形状的影响及求解方法，完成例3及其变式训练，从而解决如何求离心率问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第22页)课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点)2．掌握椭圆离心率的求法及a ，b ，c 的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)椭圆的简单几何性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.1．椭圆C 1的焦点在哪个坐标轴上，a 、b 、c 分别是多少？椭圆C 2呢？ 【提示】 C 1：焦点在x 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3，C 2：焦点在y 轴上，a ＝5，b ＝4，c ＝3.2．怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】 对于方程C 1：令x ＝0，得y ＝±4，即椭圆与y 轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y ＝0得x ＝±5，即椭圆与x 轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C 2与y 轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x 轴的交点(4,0)(－4,0). 焦点的 位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e ＝ca椭圆的离心率观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？ 【提示】 利用椭圆的离心率． 1．定义椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a，叫做椭圆的离心率． 2．性质离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1，椭圆越扁，当e 越接近于0，椭圆就越接近于圆．(对应学生用书第23页)由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x 2＋9y 2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．【思路探究】 (1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a 、b 、c 的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】 将椭圆方程化为x 2116＋y 219＝1，则a 2＝19，b 2＝116，椭圆焦点在y 轴上，c2＝a 2－b 2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．本例中，若把椭圆方程改为“25x 2＋16y 2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．【解】 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过(3,0)点，离心率e ＝63. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a 2、b 2并写出标准方程？【自主解答】 (1)由题意知2a ＝4b ，∴a ＝2b .设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，代入点(2，－6)得，4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b2＝1，将a ＝2b 代入得，a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13， 故所求的椭圆标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当椭圆焦点在x 轴上时，有a ＝3，c a ＝63， ∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1； 当椭圆焦点在y 轴上时，b ＝3，c a ＝63， ∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.故所求椭圆标准方程为x 29＋y 227＝1或x 29＋y 23＝1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”． 1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a 2、b 2.其中a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a是重要关系式，应牢记．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴ 椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△B 1FB 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|B 1B 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a 、b 、c 的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2b ＝a ＋c ，如何使用这一关系式求e? 【自主解答】 (1)由题意得：b ＝c ，∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12.∴e ＝22. (2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ，∴e ＝c a ＝35.求椭圆离心率的常用方法：1．直接法：求出a 、c 后用公式e ＝ca求解；或求出a 、b 后，用公式e ＝1－b 2a2求解． 2．转化法：将条件转化为关于a 、b 、c 的关系式，用b 2＝a 2－c 2消去b ，构造关于c a的方程来求解．(1)求椭圆x 216＋y 28＝1的离心率．(2)已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．【解】 (1)e ＝1－b 2a2＝1－816＝12＝22. (2)设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ， 即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝ca＝23＋1＝3－1.(对应学生用书第25页)混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误 求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴长和短轴长．【错解】 将方程化为标准方程得：x 2＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝1，∴长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误． 【防范措施】 根据定义，长轴长为2a ，短轴长为2b ，往往与长半轴长a 、短半轴长b 混淆，解题时要特别注意．【正解】 将已知方程化成标准方程为x 2＋y 225＝1.∴a ＝5，b ＝1，∴2a ＝10,2b ＝2. 故长轴长为10，短轴长为2.1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a 、b 、c 的一个方程求得，也可以用公式求得．(对应学生用书第25页)1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的顶点坐标是( ) A ．(－1,0)、(1,0) B ．(－6,0)、(6,0)C ．(－6，0)、(6，0)D ．(0，－6)、(0，6)【解析】 椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1，焦点在y 轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．【答案】 D2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23【解析】 椭圆方程可化为x 2＋y 214＝1，∴a 2＝1，b 2＝14，∴c 2＝34，∴e 2＝c 2a 2＝34，∴e ＝32. 【答案】 A3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23【解析】 ∵椭圆焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜2，a ＝2，c ＝2－m ，e ＝c a ＝2－m 2＝12. 故2－m 2＝14，∴m ＝32.【答案】 B4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．【解】 由题意：c ＝4，e ＝45，∴a ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝9. 又椭圆的焦点在y 轴上，∴其标准方程为y 225＋x 29＝1.一、选择题1．(2013·济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 D.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 【解析】 由题意2a ＝10,2c ＝6，∴a ＝5，b 2＝16，且焦点位置不确定，故应选D. 【答案】 D2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对【解析】 由于椭圆x 2a 2＋y 29＝1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．【答案】 D3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k (10＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33C.12D.13【解析】 Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3，∴|PF 1|＋|PF 2|＝6c3＝2a ，a ＝3c . ∴e ＝ca＝13＝33. 【答案】 B5．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a【解析】 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 99|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，F 1P 50＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·兰州高二检测)若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为________． 【解析】 若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－(23)2＝59，k ＝415；若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3. 【答案】415或－3 7．椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为________． 【解析】 如图所示，△AF 1F 2为等腰直角三角形． ∴OA ＝OF 1，即c ＝b ， 又∵a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴c a ＝22. 【答案】228．一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________．【解析】 (1)当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝163，b 2＝4，∴方程为3x 216＋y 24＝1.(2)当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12，∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.【答案】 3x 216＋y 24＝1或y 24＋x23＝1三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20. ∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.(2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．【解】 如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上， ∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形， ∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°. 令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c . 由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33.图2－1－211．如图2－1－2所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率．【解】 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋222＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆．不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22. (教师用书独具)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在一点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解】 在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，则结合已知，得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1|＝c a |PF 2|.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则ca|PF 2|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝2a 2c ＋a ，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF 2|＜a ＋c ，则2a 2c ＋a ＜a ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0，解得e ＜－2－1或e ＞2－1.又e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈(2－1,1)．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1) D ．[12，1)【解析】 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤22. 【答案】 B。
椭圆的简单几何性质(教学设计)高中数学人教A版2019选择性必修第一册
3.1.3椭圆的简单几何性质第1课时教学设计（一）教学内容利用椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质(二）教学目标1.通过对椭圆图像的观察，能发现椭圆的简单几何性质，发展学生的直观想象素养。
2.经历椭圆简单几何性质的代数推导过程，获得利用代数方法证明几何性质的技能，发展学生的逻辑推理与数学运算素养。
3.在观察、发现、猜想、证明过程中，了解一般的数学发现及证明规律，体会严谨的数形结合思想。
（三）教学重点及难点重点：椭圆的简单几何性质难点：通过椭圆的方程研究几何性质；理解椭圆的离心率。
（四）教学过程设计（主体内容）1、创设情境，发现问题问题1：我们是怎样研究圆的？生：圆的方程和几何性质。
追问：我们学习了椭圆的哪些知识，接下来要研究什么？生：学习了椭圆的定义和标准方程，接下来要研究椭圆的几何性质。
追问：研究椭圆的哪些性质呢？生1:形状、大小、对称性、特殊点。
追问：如何研究呢？生2：图像，应该还与方程有关。
教师：没错，就是要用图形和代数两个方面去研究椭圆的性质。
数学家华罗庚说过“数少形时少直观，形缺数时难入微”，我们今天借助上节课学习的椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。
设计意图：创建数学情境，引导学生通过圆的方程和性质类比发现问题——椭圆有怎样的简答几何性质，明确研究的基本思想和方法，先形后数，体会数形结合的思想。
2、数学探究，解决问题教师：为了研究方便，以椭圆()222210x y a b a b+=>>为例。
探究1：范围问题2：圆的方程确定时，横纵坐标有范围。
那么椭圆有范围吗？如何寻找范围呢？学生活动：独立思考后讨论探究。
生1：椭圆的范围就是利用椭圆的方程确定椭圆上点的横、纵坐标的取值范围。
我采用有界性的方法：222210x y a b=-≥，则a x a -≤≤；同理，b y b -≤≤。
生2：因为221x y a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联系到cos x a θ=，sin y b θ=，利用三角函数的有界性，可求得范围。
椭圆的简单几何性质教案第一课时
《椭圆的简单几何性质》教案第一课时教学目的：1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系 3．理解．掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时教具：多媒体．实物投影仪 内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质．画图就是解析几何的目的怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围．对称性．顶点．离心率．准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法．难点是椭圆的离心率．准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围．对称性．顶点坐标．离心率．椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义．椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数c b a ,,e c b a ,,,方程及应用教学过程： 一、复习引入：1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．标准方程：，（）3．问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长．短轴长各是多少？的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：由椭圆方程()研究椭圆的性质．(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)(1)范围：从标准方程得出，，即有，，可知椭圆落在组成的矩形中．(2)对称性：把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称．换成方程不变，图象关于轴对称．把同时换成方程也不变，图象关于原点对称．12222=+b y a x 12222=+bx a y 0>>b a c b a ,,12222=+by a x 0>>b a 122≤a x 122≤by a x a ≤≤-b y b ≤≤-b y a x ±=±=,y x --,QB 2B 1A 2A 1P F 2F 1P ′P ″xOy如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴．轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点因此椭圆共有四个顶点：， 加两焦点共有六个特殊点． 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点． 至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称性， 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．(4)离心率：发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同 这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式：范围： 考察椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线12222=+b y a x 0=y a x ±=)0,(),0,(2a A a A -12222=+by a x b y ±=),0(),,0(2b B b B -12222=+b y a x )0,(),0,(2a A a A -),0(),,0(2b B b B -)0,(),0,(21c F c F -b a 2,2ace =2)(1a b e -=10<<e 0,0→→c e ,,1a c e →→B 2B 1A 2A 1xOy段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例三、讲解范例：例1 求椭圆的长轴和短轴的长．离心率．焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．解：把已知方程化成标准方程所以，，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）（2）答：简图如下：400251622=+y x 1452222=+y x 345,4,522=-===c b a 82,102==b a 53==a c e )0,3(),0,3(21F F -)0,5(),0,5(2A A -)4,0(),4,0(2B B -22554x y -±=22554x y -=50≤≤x ),(yx 1162522=+y x 192522=+y x例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1） （2）答：简图如下：四、课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为：两段，求其离心率 解：由题意，=：，即，解得 2．如图，求椭圆，()内接正方形ABCD 的面积解由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE 的面积是所求正方形面积的1/4，且B 点横纵坐标相等，故设B （)，代入椭圆方程求得，即正方形ABCD 面积为五、小结：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性．顶点．范围．离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法六、课后作业： 七、板书设计（略）14922=+y x 1364922=+yx)(:)(c a c a -+2311=-+e e 625-=e 12222=+by a x 0>>b a 22222ba b a t +=22224b a b a +八、课后记：。
北师大版高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质教案
圆的简单几何性质（第一课时）（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中、以及、的几何意义，、、、之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质．（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1．椭圆的标准方程是怎样的？问题2．在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1．椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．（1）范围引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点、、、．同时还需指出：（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；（2°）、的几何意义：是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长．（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．先分析离心率的取值范围：∵，∴．再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．【例题分析】例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解．解：把已知方程化成标准方程是这里，，∴．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点分别是和，椭圆的四个顶点是、、、．（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下：①列表：将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标．②描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点，；（2）长轴长等于20，离心率等于．解：由椭圆的几何性质可知，、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得，．又因为长轴在轴上，所以所求椭圆的标准方程为．（2）由已知得，∴，∴．由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．（三）随堂练习（四）总结提炼，，轴、，<, /SUB>，（五）布置作业（六）板书设计一）教学目标进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出．（二）教学过程【复习引入】前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．什么叫做椭圆的离心率？以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题．教师可进一步提出问题：离心率的几何意义是什么呢？让我们先来看一个问题．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（），求点的轨迹．【探索研究】椭圆的第二定义．（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演．）解：设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合由此得．将上式两边平方，并化简得设，就可化成这是椭圆的标准方程，所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．由此可知，当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．至此教师可列出下表，由学生归纳．、、、、【例题分析】例1 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程．可请一位学生演板，教师纠正，答案为，，焦点，顶点，，，准线方程．例2 已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：3，求点到两条准线的距离．可在学生练习后请一位学生回答．解答如下：由椭圆标准方程可知，，∴，．由于，．∴，．设到左准线与右准线的距离分别为与，根据椭圆的第二定义，有∴，．即到左准线的距离为，到右准线的距离为．例3 已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．解：设在右准线上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有即．∴．显然，当、、三点共线时，有最小值．过作准线的垂线．由方程组解得．即的坐标为．（四）总结提炼1．列出椭圆的几何意义．（投影展示上表）．2．通过椭圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状．两准线间的距离为是不变量．（五）布置作业（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第三课时）（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量 、 、 、熟练地求椭圆的标准方程．2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中 、 和 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．∵点在椭圆上∴即①又∵一条准线方程是∴②将①、②代入，得整理得解得或．分别代入①得或．故所求椭圆方程为或．解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定义得，即．①又由准线方程为．②将②代入①，整理得解得或．代入②及得或故所求椭圆的方程为或．例2 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．解：设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．取为参数，那么即这就是所求点的轨迹的参数方程．消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：（1）、的取值范围；（2）的取值范围．解：（1）∵，，∴，．∴，为所求范围．（2）∴．（其中为第一象限角，且）．而．∴，即这所求．例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．解：由参数方程得平方相加得为所求普通方程．∵，，∴．∴椭圆的离心率．（三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．答案：1．2．，3．（四）总结提炼1．求曲线方程的基本程序是若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参数方程求的最值较方便．（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与相应准线的距离为（）A．B．C．D．2．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（）A． B．C．D．4．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．答案：1．A 2．C 3．D 4．5．7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）内接矩形面积∴．（六）板书设计椭圆的简单几何性质（第四课时）（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题．（二）教学过程【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）．2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值．【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例1 求证：椭圆上任一点与焦点所连两条线段的长分别为．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为．，则∵，∴．∴．又，∴故得证．证法二：设到左右准线的距离分别为，，由椭圆的第二定义有，又，∴．又，∴．故得证．说明：、叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵，，∴，．∴．即椭圆上焦点的距离最大值为，最小值为，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）为一个焦点的椭圆．已知它们近地点（离地面最近的点）距地面439，远地点（离地面最）距地面2384，并且、、在同一条直线上，地球半径约6371，求卫星运行的轨道方程（精确到1）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点、、在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）．因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的方程为则解得∴．因此，卫星的轨道方程是．点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．分析：要求的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆与轴的正半轴交于点，是原点．若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的取值范围．分析：依题意点的横坐标，找到与、的关系式．教师讲解为好．解：设的坐标为，由，有于是下面方程组的解为的坐标消去整理得．解得或．即为椭圆的右顶点∴即．即，而，故．（三）随堂练习1．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，求的值．答案：1．2．（四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是，则长半轴长的取值范围是___________．2．若椭圆两焦点为，，在椭圆上，且的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知是椭圆的一个焦点，是过其中心的一条弦，记，则面积的最大值是（）A．B．C．D．4．已知是椭圆上的任意一点，以过的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（）A．内切B．内含C．相交D．相离5．设是椭圆上的任一点，求点到椭圆两焦点、距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标．答案：1．2．3．D 4．A5．设则，∵∴当即或时，最大，最大值为．当即或时，最小，最小值为．6．设所求椭圆方程是依题意可得，其中如果，则当时，有最大值，即．由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，有最大值，即．由此得，，故所求椭圆方程为．由代入椭圆方程得点和到点的距离都是．注：本题也可设椭圆的参数方程是，其中，，利用三角函数求解．（六）板书设计。
椭圆的简单几何性质教案
一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。
2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。
2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。
（2）椭圆的短轴长度为2b。
（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。
（4）椭圆的面积S=πab。
3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。
引导学生运用椭圆的性质解决问题。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。
三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。
2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。
3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。
五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。
六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。
〖2021年整理〗《椭圆的简单几何性质》优秀教案
椭圆的简单几何性质（第一课时）（杨军君）一、教学目标 （一）学习目标1给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率； 2在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系； 3知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响 （二）学习重点1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性； 2椭圆的简单几何性质 （三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用 二教学设计 （一）预习任务设计 1预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点 2预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a （ ）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆（ ）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=（ ）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+（ ） 【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，的取值范围取值范围a x a -≤≤【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√ （二）课堂设计 1知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升 （1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里 （2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心 （3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a是椭圆与x 轴的两个交点 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-（4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率 ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆●活动② 巩固基础、检查反馈 例1根据下列条件求椭圆的标准方程 （1）28,e 3c ==； （2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程 【知识点】椭圆的标准方程以及离心率 【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x += （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a ca ==∴=从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y += 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=同类训练 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值 【知识点】椭圆的离心率【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===253m =⇒=【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解 【答案】m =3或253例2已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率 【知识点】椭圆的离心率【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a =，得离心率e 1ca== 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围1-同类训练 已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点，0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率 【知识点】椭圆的离心率【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围 【答案】1+52- 例3如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线：254x =的距离的比是常数45，求点的轨迹方程【知识点】椭圆的方程以及离心率 【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则()224MF x y =-+，到直线：254x =的距离254d x =-，则容易得点的轨迹方程25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合2(4)4.2554x y x -+=-22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c =的距离之比是常数ca (0)a c >>，求点P 的轨迹方程（记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=）【答案】221 259x y+=3课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：标准方程）（012222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 图形范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤,a y a b x b -≤≤-≤≤顶点 1(,0)A a -2(,0)A a 1(0,)B b -2(0,)B b 1(0,)A a -2(0,)A a 1(,0)B b -2(,0)B b 长轴长 2a短轴长 2b对称性对称轴：,x y 轴；对称中心：(0,0)cb a ,,关系 222a bc =+离心率e c a=重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：22222e 1()1(1)2c b be b a e a a==-⇒=-⇒=- （三）课后作业 基础型 自主突破＋错误!＝1的离心率为错误!，则m 的值为（ ） 【知识点】椭圆的离心率【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴m ＝错误! 【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题【答案】B1：错误!＋错误!＝1和椭圆C 2：错误!＋错误!＝1 0错误!8=错误!错误!b >0的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为错误!，过F 2的直线交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4错误!，则C 的方程为（ ）＋错误!＝1 错误!＋2＝1 错误!＋错误!＝1 错误!＋错误!＝1 【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】根据条件可知错误!＝错误!，且4a ＝4错误!， ∴a ＝错误!，c ＝1，b ＝错误!，椭圆的方程为错误!＋错误!＝1 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义 【答案】A＋错误!＝1a >b >0的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） －2【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得a －ca ＋c ＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝错误! 【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系 【答案】B轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2错误!，则此椭圆的标准方程为________ 【知识点】椭圆的定义【解题过程】由已知，2a ＝8,2c ＝2错误!，∴a ＝4，c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为错误!＋2＝1 【思路点拨】利用条件求a,b,c 的值 【答案】错误!＋2＝16已知椭圆的短半轴长为1，离心率00，∴a 2>1， ∴1b >0，半焦距为c ，则错误!∴错误!∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为错误!＋错误!＝1【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题 【答案】错误!＋错误!＝1＋错误!＝1的左焦点为F ，直线＝m 与椭圆相交于点A 、B 当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】如图，当直线＝m ，过右焦点1,0时，△F AB 的周长最大，由错误!解得＝±错误!，∴|AB |＝3 ∴S ＝错误!×3×2＝3 【思路点拨】数形结合解题 【答案】3 探究型 多维突破0，0是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，A 点的坐标为6,0，求线段错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!22(26)(2)184x y -+=22(3)12x y -+=22(3)12x y -+=12:2:1PF PF =12:2:1PF PF =＋32＝mm >0的离心率e ＝错误!，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标 【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】椭圆方程可化为错误!＋错误!＝1， ∵(2)033m m m m m m +-=>++，∴m >错误! 即a 2＝m ，b 2＝错误!，22(2)3m m c a b m +=-=+由e ＝错误!得，错误!＝错误!，∴m ＝1 ∴椭圆的标准方程为2＋错误!＝1， ∴a ＝1，b ＝错误!，c ＝错误!∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1－错误!，0，F 2错误!，0；四个顶点分别为A 1－1,0，A 21,0，B 10，－错误!，B 2021错误!【思路点拨】利用离心率的定义建立关系6已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到轴的距离等于短半轴长的错误!，求椭圆的离心率【知识点】椭圆的几何性质【解题过程】解法一：设焦点坐标为F1－c,0，F2c,0，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为c，错误!b在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋错误!b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝错误!＋错误!b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab又c2＝a2－b2 3b＝2a∴错误!＝错误!∴e2＝错误!＝错误!＝1－错误!＝错误!，∴e＝错误!解法二：设Mc，错误!b，代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝1，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，即e＝错误!【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题。
3.1.2椭圆的简几何性质(第一课时) (1)
3.1.2椭圆的简单几何性质（第一课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的范围、对称性、中心、顶点、轴、离心率等几何性质，能够应用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。
2.会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程二、教学重难点1.学会椭圆的长短轴、焦点坐标、离心率的基本概念2.掌握椭圆的离心率、长短轴的定义基础及其灵活应用三、教学过程1.椭圆的简单几何性质1.1创设情境，引发思考【实际情境】神舟飞船发射成功，飞行轨道具有何种特征？阅读教材，完成下表。
____≤x ≤____ _____≤x ≤_____问题1：请用圆规作出图中椭圆焦点的位置。
并说明依据。
【活动预设】1.引导学生归纳概括出椭圆的图形特征： 2.椭圆标准方程中a 、b 、c 的关系. 【设计意图】渗透数形结合思想1.2探究典例，形成概念活动：探究离心率的定义依据【活动预设】求适合下列条件的椭圆的焦点坐标和离心率：【设计意图】为数学概念的形成提供理论依据.问题2：求适合下列条件的椭圆的长短轴、焦点坐标和离心率：(1)x2100+y236=1；(2)x236+y2100=1【活动预设】探究焦点位置与标准方程之间联系。
【设计意图】比较不同的焦点位置对图形的影响1.3具体感知，理性分析活动：自主举例的接龙活动.【活动要求】分成A、B组：A组给出标准方程B组画出椭圆的图像并说明特征；然后交换：A组给出椭圆的图形B组写出标准方程。
【活动预设】对椭圆的标准方程的形式给出清晰的认识【设计意图】在形成椭圆概念后，遵循从一般到特殊的思路，在实践活动中进行再认识，熟悉概念，从外延的角度加深概念的理解，从而形成数形结合的思想用标准方程研究椭圆的几何性质。
2.初步应用，理解概念例1 求椭圆16x2＋25y2＝400旳长轴长短轴长，离心率，焦点和顶点坐标【预设的答案】16x2＋25y2＝400是否为标准方程？【设计意图】对椭圆方程的结构认识。
椭圆的简单几何性质优秀教学设计1
椭圆的简单几何性质知识回顾1．椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程：当焦点在X轴上时：当焦点在Y轴上时：3.椭圆中a,b,c的关系:a2=b2+c2[师]放映多媒体，引导学生回顾。
同时板书[生]回顾并回答问题通过回顾椭圆定义及其标准方程，为新课的学习做好铺垫观察发现观察焦点在x轴上的椭圆方程的图像，并思考：1.你能从它的图像上看出它的范围吗？2.它具有怎样的对称性？3.椭圆上哪些点比较特殊？1.范围：椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形2.对称性：椭圆关于x轴、y轴及原点对称，黑板画图强调椭圆性质与坐标系无关3.顶点：A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．[师]放映多媒体，引导学生思考问题。
[师]放映多媒体，结合图形引导学生从标准方程得出该性质并板书[师]通过多媒体讲解，逐步引导学生发现并总结出这一性质并板书[师]放映多媒体，结合黑板上的图引导学生，讲解，板书[生]思考、动手并回答问题。
[生]积极思考并解答，共同得到性质并笔记[生]主动探索并得出结论[生]积极思考，回答问题，解答，得到性质从图像入手，更直观的发现椭圆的这些性质通过老师的引导，学生很容易观察到特点，从而得出椭圆的简单几何性质之一数形结合的思想，使得我们更加清楚且容易得出这一性质yB2B1A1A2F1F2cabx22221(0)x ya ba b+=>>22221(0)y xa ba b+=>>。
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椭圆的简单几何性质（第一课时）教学设计教学目标：（1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a,b,c 几何意义以及a,b,c 的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略与学法指导：教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节” 探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。
根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学媒体选择与应用：使用实物投影及多媒体辅助教学。
借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。
教学过程：创设问题情景，学生自主探究：方程16x225y2400 表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程：情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出a,b,c ，联想椭圆画法，利用绳子做图；情形 4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形； 辨析与研讨： 实物投影展示学生的画图过程， 挖掘学生的原有认知， 体现同学的 思维差异，培养学生的思维习惯。
设计意图：（1）问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考 和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决旧体现了对二元二次方程的研究， 为利用方程研究性质打下基础；（2）课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题 角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特 征：范围、对称性、关键点；（3）实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异 和思维认识层次；（4）辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探 讨，得到统一的认识。
教师点评：（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一 般的思想方法。
教师板书：椭圆的简单几何性质 一、引导评价，引入课题： 设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程1）椭圆方程是关于 x, y 的二元二次方程；2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数 1；3）方程中 x 2和 y 2的系数不相等； 设计意图： 类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特 点，体现了新旧知识的联系与区别， 符合学生的认知规律， 同时为利用方程研究 椭圆曲线的几何性质做好了准备 .【问题 1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点， 利用方程研究椭圆曲线的范围； 实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维：学生活动过程：同理，我们也可以得到 y 的范围： b y b2 x 2 a2 b y 2 1（a b 0） 有什么特点？情形 1： x 2 y 2 1 变形为： a 2 b 2 a 2 0，x 2 a 2 xa这就得到了椭圆在标准方程下x 的范围： a x a情形 2：可以把a 2 1 看成 sin 2 cos 2 利用三角函数的有界性来考b x 2x 2虑 a ,b 的范围；教师点评：太聪明了，你可能没有意识到，如果将 ，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参 数方程，有兴趣的同学下起可以阅读有关内容， 所以说我们在研究问题的过程中， 结果并不重要，重要的要打开研究问题的思路，拓宽我们的思维角度。
谁还有其他的方法：情形 3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1，那么这两个数都不大于 1，2所以 x 21，同理可以得到 y 的范围 a 2设计意图：（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程 进行证明， 没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子， 因此在这里通过 多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点， 使学生在把握椭圆方程结构特征 （1） 和（ 2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得 到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到， 使学生真正感受成功的喜悦；（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。
结论：由椭圆方程中 x, y 的范围得到椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形 里。
【问题 2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的 对称性； 实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：x 代 x 后方程不变，说明椭圆关于 y 轴对称；y 代 y 后方程不变，说明椭圆曲线关于 x 轴对称； x 、 y 代 x ， y 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？辨析与研讨： x 代 x 后方程不变，就是用 （ x, y ）来代换方程中的 （x,y ） ，方程不变，（ x, y ）和（x,y ）关于 y 轴对称，两点坐标都满足方程，而 （x, y ）是曲线上任意 一点，因此椭圆曲线关于 y 轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心。
设计意图：（1） 抓住椭圆标准方程的特点不放松， 引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；（2） 在学生的表述过程中重视学生的思维方式， 培养学生正确处理问题的 思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；（3） 多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。
【问题 3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与 对称轴的交点坐标实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识： 在椭圆的标准方程中，令 x0，得 y b ， y 0，得 x a 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点 顶点坐标；a,b 乘过去，就得到了 x acos y bsinA1（ a,0）,A2（a,0），B1（0,b）,B2（0, b）相关概念：线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a,b，c 就有了明显的几何意义。
设置问题：在椭圆标准方程的推导过程中令a2 c2 b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？学生探究：c表示半焦距，b 表示短半轴长，因此，联结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，OF22 B2F22 OB22，即a2 c2 b2；多媒体展示特征三角形.设计意图：（1）利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是a2 c2 b2的几何意义，多媒体课件的展示体现a,b，c 的几何意义，从而得到a2 c2 b2的本质。
三、课堂练习：阅读课本例1，你有什么认识？（1）利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程画为标准方程，然后找出相应的a,b,c 。
利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性（2）掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：（1）以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；（2）由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；（3）用曲线将四个顶点连成一个椭圆；（4）画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性. 设计意图：（1）学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；（2）与开头相呼应，使学生认识到椭圆的简单几何性质能够简化做图过程；二、反思与评价：回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：（1）知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；（2）过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；（3）情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
设计意图： 不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知 结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次。
五、课后作业： （1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；y 2 x 2（ 2）研究 y 2 x 21（a b 0） 的范围、对称性、顶点；a 2b 2 （3）课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征 “方程中 x 2和 y 2的系数不相等”， 因此当 x 2和 y 2的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？ 设计意图： 课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业（ 1）强调研究 方法的重要性，作业（ 2）是对学生学习效果的一种检验，作业（ 3）引导学生利 用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率； 附录：板书设计教学设计说明1、对教材的研究认识：利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是 解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一 次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线， 让学生观 察、猜想椭圆的几何性质， 然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体 现从感性到理性符合学生的认知规律等， 也可以说是用方程研究椭圆 曲线性质的一种思路，但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的 本质。