27.2.1相似三角形的判定(1) 王聪

1： 4 。 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
相似具有传递性
E F D
A
G H I C
B
练习：
3、 如图：在△ABC中，点M是BC上
任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 BD = 2 ，求 EC 的值。 B 5 AB AC 解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC MC 3 BD BM 2 ∴ = = ， BC = 5 BA BC 5 D
A E
D
B
F
C
（平行于三角形一边的直线截其它 两边所得的对应线段成比例）
∵四边形DEFB是平行四边形，
DE FB
AD AE DE AB AC BC
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型 平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
A
D E F
l3 l4 l5
B
C
定理的符号语言
L3//L4//L5 DE AB
L1 L2 A D B
C
E
F
L3 L4
L5
BC
=
EF
(平行线分线段成比例定理)
平行线分线段定理：三条平行线截两条直线， 所得的对应线段的比相等。
强化“对应”两字的理解和记忆
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的
相交,所得的三角形与原三角形相似。
思考：(如何证明此命题） 1、证明文字命题的步骤是什么？ 2、证明两个三角形相似的方法目前方法是什么？
？
思考
如图,在△ABC中,点D是边AB 的中点,DE//BC,DE交AC于点 E, 猜想△ADE与△ABC有什么 关系?证明你的猜想.
猜想结论:△ADE∽△ABC, 我们通过相似的定义证明这个结论.
E
AB DE 如图，已知 = ， BC EF B AC DF 那么 AB = DE ， C 理由： BC EF AB DE = = AB DE BC EF
F
AC DF AB+BC DE+EF AB = DE AB = DE .
练习3：
A
D
E
AC DF 如图，已知 = ， BC EF B BC EF 那么 AB = DE ， C 理由： AC–BC DF–EF AC DF = = BC EF BC EF AB DE BC EF = = . BC EF AB DE
相等 对应边的比相等 1. 对应角_____, ————的两个
三角形, 叫做相似三角形 比相等 2.相似三角形的对应角相等 ———————,各对应边的———— 如果△ ABC∽ △DEF, 那么 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
AB AC B解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=400. A 在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. △ADE∽△ABC （2）

D
B
AE DE ,即
50 DE . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm ). 50 30
AB DE （2）任意平移l5，在度量AB、BC、DE、EF的长度， BC 与 EF 相等吗？ AB DE BC EF BC EF 与 、 与 、 与 （3）在图中 是否也相等呢？ AC DF AB DE AC DF
l1
l2
（4）由此你能得出什么样的结论？
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
A
∵ DE∥BC
即
∴
∴
AB AC —— ＝ —— BD CE B 15 9 —— ＝ —— 4 CE D 12 CE ＝ — 5 2 12 AE= AC+CE=9+ — =11—
5 5
C
E
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
对应线段的比相等.
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线”. ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字. 强化“对应”两字理解和记忆如图
AB EF BD FH
a
b E F l1 l2
左上 右上 ( ) 左下 右下
左下 右下 ( ) 左上 右上
A B D
BD FH AB EF
H
l4
A E C
2份 M 5份
3份
又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CE CM 3 = ∴ = 5 CA CB
例：如图，BE , CF 是ABC的中线，交于点G, GE GF 1 求证： 。 证明：连接EF , EF为AC , AB的中点， GB GC 2
A
F
G
E
B
C
1 EF为ABC的中位线,即EF // BC , 且EF BC , 2 EGF BGC EF GF GE 1 . BC GC GB 2
A 相似。
D B
1
F
2
E C
你能证明吗？
改变点D在AB上的位置，继续观察图形，进一步想 △ADE与△ABC是否存在着相似关系． 平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似．
证明：过点E作EF//AB，交BC于点F ∵DE//BC,DF//AB
AE AD AE FB EC ， AB AC BC AC
F


BE CF 如图，已知 = ， AB AC E F AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B C BE CF AB AC AB–BE AC–CF = = = AB AC BE CF BE CF AE AF BE CF = = BE CF AE AF 有没有简单方法？ AE+BE AC AF+CF AE AF 有！ AB = = = . AEAF AF AE AB AC
1 ∴AE＝EC＝ 2 AC
∴ △ADE∽△ABC
这样，我们证明了△ADE和△ABC 的对应角相等，对应边的比相等， 所以它们相似，相似比为 1
1 DE＝FC＝BF＝ BC 2
2
当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？
已知：DE//BC，△ADE与△ABC有什么关系? 猜想：△ADE与△ABC有什么关系?
A
l3
D B
E l4 l （图1） C 5
如果把 多余的 线去掉 如下图：
3
A
l4
B
l5 C （图2）
如果把多余的线去掉如下图：
A
E
D
D B
E C
B
A C
“A”型
“X”型 “8”型
2、除了刚才的结论，你还能得出△ABC与它平行的线DE所 截得△ADE之间还有什么关系？你能用语言叙述这个结论？
命题： 平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)
两个三角形相似 2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两
边的延长线）相交，所构成的三角形与原 三角形相似。
A D E D E
A
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
B
C
B
A型
“8”型 X型，
如果 AE· BF=AF· BE， AE AF 那么 AE BE = ， = ， AF BF BE BF
3.相似比带有顺序性.两个三角形相
似时，表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, 我们就说△ABC与△A’B’C’相 似, 记作:△ABC∽△A’B’C.
如果k=1,这两 个三角形有怎 样的关系?
k就是它们的相似比.
学习三角形全等时，我们知道，除了可 以通过证明对应角相等，对应边相等来判定 两个三角形全等外，还有判定的简便方法 （SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两 个三角形相似时，是不是对所有的对应角和 对应边都要一一验证呢？
DB AB AD DB EC AB AC ， , （下比全或全比下） AC DB EC AE DB EC , , （上比下或下比上） EC AD AE
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A
AD ＝ —— AE AD ＝ —— AE ( ) D A: —— B: —— AB AC ( ) BD CE
重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍。
“三角形相似的预备定理”。这个定理揭示了有三角形一 边的平行线，必构成相似三角形， 因此在三角形相似的 解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似。
小 结 ? 判断两三角形相似的方法
1.定义法:两三角形对应角相等，对应边的比相等的
练习：
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请 尽可能多地找出图中的相似三角形， D 并说明理由。
1. DE∥BC 2.DF∥AC 3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC Δ ADE∽Δ ABC
B F
A
E
C
Δ DBF∽Δ ABC
三角形相似
具有传递
性!
Δ ADE∽Δ DBF
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
AD AE AD AB ＝ ＝ —— —— —— —— C: AC ( ) D: ( ) B AB AE AC
E C
2、填空题:
E
D
如图:DE∥BC, 2 已知: AD ＝ — 求 : —— 2 AE 5 AB —— —— ＝ — AC 5
A B C
例题2 解:
∴
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
探究活动2：
L1
L2
1、把图中L2向左平移时，两 L3 直线相交时有两种特殊的交 L4 点如下图，图（1）是把L4看 成平行于△ABC的边BC的直 L5 线，图（2）是把L3看成平行 于△ABC的边BC的直线，那 我们能得出什么样的结论呢？ 平行线分线段成比例定理推论： 平行三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段的比相等。 l1 l2 l1 l D El 2
更 比 性 质
BE AE BE BF = ， BF AF AE = AF ， BF BE AF = AE ， BF AF = ， BE AE
对 调 内 项， 比 例 仍 成 立！
AF BF AF AE AE = BE ， BF = BE ；
对 调 外 项， 比 例 也 成 立！
如果 AE· BF=AF· BE， AE AF 那么 AE BE = ， = ， AF BF BE BF BE AE = ， BF AF BF BE AF = AE ， AF BF AE = BE ， BE BF AE = AF ， BF AF = ， BE AE AF AE BF = BE ；
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 1/2 。
先证明两个三角形的对应角相等． 在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A
∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C 再证明两个三角形的对应边的比相等． 过点E作EF∥AB，EF交BC于点F． 在 D A 2 E 1
B C BFED中，DE＝BF，DB＝EF F 1 ∵AD＝BD＝ AB AD DE AE 1 2 AB BC AC 2 ∴AD＝EF 又∠A＝∠1，∠2＝∠C ∴△ADE≌△EFC
“A”型
A D B
（图1）
“X” “8”型 型 E
D A
E C
B （图2） C
推论 平行于三角形一边的直线截其它两边， A 所得的对应线段成比例。
即： E D 在△ABC中， 如果DE∥BC， C B 那么 AD AE DE , AB AC BC , （上比全， AB AC BC AD AE DE 或全比上）
练习：
合比性质
A
D
E
AB DE 如图，已知 = ， BC EF B AC DF 那么 BC = EF ， C a 如果 理由： = AB+BC DE+EF b AB DE = = BC EF 那么 BC EF AC DF a ± b = . BC EF =

c， d
F
b
c±d d
练习2：
A
D
D B A
即： 在△ABC中， 如果DE∥BC， E 那么△ADE∽△ABC
C
延伸
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边 的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
X型
D
A
E
即： 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC 你能证明吗？
M
B
N
C
相似三角形判定的基本定理(预备定理)
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
为了证明相似三角形的判定定理，我们 先来学习下面的平行线分线段成比例定理。
合作交流，探究新知：
探究活动1： 如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5。 分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的
两条线段DE、EF的长度，完成下面问题： AB 与 DE 相等吗？ （ 1） BC EF