流体的粘度

R B Bird, W E Stewart, E N Lightfoot. Transport Phenomena (2ed edition). New York: John Wiley & Sons Inc., 2002 （中译本：传递现象，戴干策等译，化学工业出版社，2004）

分子相互作用势能

关于分子之间的相互作用势能，对非极性分子，有一个相当准确的经验式，即Lennard-Jones 势能

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=6124)(r r r σσεϕ 其中σ为分子的特征直径，或称为碰撞直径，ε是特征能量，实际上是成对分子之间的最大吸引能。许多物质的参数σ和ε可以实验手册中查到，或用下式估算

c 77.0kT =ε，()31c c 81023.5p T ⨯=σ

其中的c T 和c p 分别是临界温度和临界压强。（原文是()3

1c c 44.2p T =σ，σ的单位是m 1010-，c p 的单位是atm ，P22）。

牛顿粘性定律与粘度的定义

y

v x yx d d μτ-= 式中yx τ表示作用在垂直于y 方向的单位面积上x 方向的力。式中的比例系数μ是流体的特性，定义为粘度，单位是s Pa ⋅。通常用粘度除以流体的密度（单位体积的质量）

ρ

μν= 称为运动粘度，单位是-12s m ⋅。

广义牛顿粘性定律

作用在流体中任意一个表面上的力（应力）由两部分构成：一部分与热力学压强有关，另一部分与粘性力有关。无论流体静止或运动，压力都将存在，而且总是垂直于外表面。粘性力只在流体内部存在速度梯度时才存在，通常与表面有一定的角度。

ij ij ij p τδπ+=

式中i 和j 分别表示x 、y 和z 三个方向，ij π表示垂直于i 方向的单位面积上j 方向的力，或者说在正i 方向的j 方向的动量通量，ij δ是Kronecker Delta 函数，ii ii p τπ+=称为正应力，ij ij τπ=称为剪切应力。τ称为粘性应力张量，π称为分子应力张量。

ij z y x j i i j ij z v y v x v x v x v δκμμτ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=3

2 []δv v v τ)(32)(⋅∇⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+∇+∇-=+κμμ 上两式分别表示广义牛顿粘性定律的分量式和张量式，ji ij ττ=，常数()κμ-3/2来自于约定。κ称为膨胀粘度，对理想单原子气体0=κ，对不可压缩液体0=⋅∇v ，κ亦消失。 （组合动量通量等于分子动量通量与对流动量通量的和：vv τδvv πρρ++=+p ）

粘度的性质

低密度气体的粘度随温度升高而增加，液体的粘度通常随温度的升高而下降。在气体中，

动量通过分子在自由飞行中的碰撞传递；但在液体中，对动量传递起支配作用的是分子对所经受的分子力，即分子在相邻分子间曲折迂回所经受的作用力。

低密度气体的粘度

利用动理论可以导得

2

3231d mkT u πππλρμ=

= 式中d 是分子直径，2d π称为碰撞截面，k 是玻尔兹曼常数。这个关系式由Maxwell 在1860年导出。

当考虑到分子之间的相互作用时，要用到分子之间的相互作用势能，这称为Chapman-Enskog 理论。对非极性分子，可以用Lennard-Jones 势能

r

r r F d )(d )(ϕ-= ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=6124)(r r r σσεϕ 式中σ为分子的特征直径（也就是碰撞直径d ），ε为特征能量，实际上是成对分子间的最大吸引能。 Ω

=2165πσπμmkT 无量纲特征数Ω称为粘度的碰撞积分，如果气体是由直径为σ的刚性球构成，1=Ω，因此它又可以解释为分子与刚性球行为的偏离程度。

液体粘度的(Eyring)分子理论

严密的单原子液体传递特性的动理论由Kirkwood 完成，但不易使用。一个古老的理论由Henry Eyring 提出，尽管理论上不是很完善，但对液体传递机理能给出定性地描述。 在静止的纯液体中，各个分子总在不停的运动，但由于分子紧密堆砌，每个分子只能在“笼子”内振动，这种笼子由最近邻的分子形成，可以用能垒高度A 0/N G ∆表示，0G ∆是分子从静止流体中的笼子逃逸所需克服的摩尔自由活化能。任一分子可在某一时刻，从所在的笼中逃出而进入临近的一个洞中，每个分子按频率ν做每次长度为a 的跳跃

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆-=RT G h kT 0exp ν 如果液体以速度梯度y v x d d 在x 方向流动，分子重排频率有所增加。这种效应可解释为：液体在应力yx τ的作用下势能垒发生畸变

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±∆-=∆-20V a G G yx τδ 式中V 是液体的摩尔体积，δ是紧邻的两层分子间距，1≈a ，第二项是当分子运动到能垒顶部时作用于分子的功的近似值，分子沿作用的剪切应力的方向运动功取正号。定义+ν和-ν分别表示分子向前和向后跳跃的频率

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=±RT V a RT G h kT yx δτν2exp exp 0 第A 层分子超前第B 层分子的净滑移速度正好等于分子每次跳跃的距离与向前跳跃净频率的乘积

)(1B A νν-=-+a v v x x

由于两层分子间距δ很小，速度分布为线性

)(d d 1ννδ-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-+a y v x 通常情况下12<

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛=RT G V h N a 0A 2

exp δμ 这个式子在简化情况下与长期使用而且成功的经验是()T B A exp =μ是一致的，都表明粘度随温度增加而降低。但在简化情况下，误差通常高达30%。

悬浮液和乳浊液的粘度

上面的讨论只针对均相构成的流体。对于两相系统，可以用拟均相系统代替，即用有效粘度代替粘度。对于球形悬浮液，Einstein 提出

φμμ2

510eff += 式中0μ为悬浮介质的粘度，φ 为球体的体积分数。对于不同形状颗粒的稀悬浮液，常数2/5必须用不同的系数代替。

绕过球体的爬流 “爬流”是指极慢的流动，1.0Re <=∞μρDv ，也称“斯托克斯流动”。只考虑不可压缩流体绕半径为R （直径D ）的固体球的流动。设流动绕z 轴对称，合力在z 轴方向。

（1）法向力积分

∞+=Rv g R F n πμρπ23

43)( 第一项是浮力，第二项称为形体曳力；式中ρ是流体的密度，∞v 是远离球体时流体在z 方向的均匀速度。

（2）切向力积分

∞=Rv F t πμ4)(

称为摩擦曳力。

（3）流体作用于球体的总力

∞+=+=Rv g R F F F t n πμρπ63

43)()( 其中

∞=Rv F πμ6k

是由于流体运动造成的，称为运动力，该式称为斯托克斯Stokes 定律。该式只适用于1.0Re <的场合，当1Re =时，该定律预测的力较实际值小10%左右。

摩擦因子

流体作用于固体表面的力可以分为两部分：即使在流体静止时也受到流体的作用s F ；与流体流动有关的附加作用力k F 。

定义：k F 的大小与特征面积A 和单位体积的特征动能K 成正比

AKf F =k