初等几何发展足迹-古希腊数学的辉煌
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初等几何发展的足迹—古希腊数学的辉煌成就
1、泰勒斯 现在所知最早的数学家（约公元前625—公元前547）
泰勒斯 (约公元前625-前547年)
创数学命题逻辑证明之先河
泰勒斯定理
▪ 圆的直径将圆分为两个相等的部分. ▪ 等腰三角形两底角相等. ▪ 两相交直线形成的对顶角相等. ▪ 如果一个三角形有两角、一边分别
（2）三等分角，即分任意角为三等分。
（3）画圆为方，即作一个与给定的圆的面 积相等的正方形。
作图工具限制为：只能使用圆规和不带刻度 的直尺。
古典几何三大作图问题与诡辩学派
诡 辩
•阿基米德与三等分角
学
(
派 智
•达·芬奇与画圆为方
人
学 派
•古代传说与倍立方
)
三等分任 意角
化圆为方wk.baidu.com
倍立方
安蒂丰(约公元前480－前 411年)的穷竭法
与另一个三角形的对应角、边相等, 那 么这两个三角形全等.
▪ 半圆上的圆周角是直角.
2、毕达哥拉斯学派在初等几何方面的贡献 （1）勾股定理
勾股定理证明 • 图形最简洁的证明：
• c2=2ab+(b-a)2=a2+b2
（2）黄金分割
AC2=AB×BC
3、古希腊三大几何作图问题
（1）倍立方体，即求作一个立方体，使其 体积等于已知立方体体积的两倍。
• 13卷
欧几里得 (公元前325-前265年)
• 5条公理、5条公设 • 119条定义和 465条命题 • “几何无王者之道”
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直 线.
法，是微积分思想的来源
世界上最早的数学公理化著作
影响最广泛的数 学名著 欧几里得的《原 本》
(第一个印刷本 1482年）
罗素(英, 18721970)
世界上最早的数学公理化 著作 影响最广泛的数学
名著
罗素：“欧几里得的 《原本》毫无疑义是古 往今来最伟大的著作之 一，是希腊理智最完美 的纪念碑之一”。
2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁 内角和小于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.
《几何原本》目录
第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉 斯定理、初等作图法等
第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切 第五、六卷：比例论与相似形 第七、八、九、十卷：数论 第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭
林德曼（德，1852－ 1939年）
直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分 角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年 德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被 证明为尺规作图不能问题。
4、欧几里德：《几何原本》的作者，数学史 上被称为几何学之父，
•《几何原本》
（Στοιχετα）
1、泰勒斯 现在所知最早的数学家（约公元前625—公元前547）
泰勒斯 (约公元前625-前547年)
创数学命题逻辑证明之先河
泰勒斯定理
▪ 圆的直径将圆分为两个相等的部分. ▪ 等腰三角形两底角相等. ▪ 两相交直线形成的对顶角相等. ▪ 如果一个三角形有两角、一边分别
（2）三等分角，即分任意角为三等分。
（3）画圆为方，即作一个与给定的圆的面 积相等的正方形。
作图工具限制为：只能使用圆规和不带刻度 的直尺。
古典几何三大作图问题与诡辩学派
诡 辩
•阿基米德与三等分角
学
(
派 智
•达·芬奇与画圆为方
人
学 派
•古代传说与倍立方
)
三等分任 意角
化圆为方wk.baidu.com
倍立方
安蒂丰(约公元前480－前 411年)的穷竭法
与另一个三角形的对应角、边相等, 那 么这两个三角形全等.
▪ 半圆上的圆周角是直角.
2、毕达哥拉斯学派在初等几何方面的贡献 （1）勾股定理
勾股定理证明 • 图形最简洁的证明：
• c2=2ab+(b-a)2=a2+b2
（2）黄金分割
AC2=AB×BC
3、古希腊三大几何作图问题
（1）倍立方体，即求作一个立方体，使其 体积等于已知立方体体积的两倍。
• 13卷
欧几里得 (公元前325-前265年)
• 5条公理、5条公设 • 119条定义和 465条命题 • “几何无王者之道”
• 5公理
1. 等于同量的量彼此相等. 2. 等量加等量, 和相等. 3. 等量减等量, 差相等. 4. 彼此重合的图形是全等的. 5. 整体大于部分.
• 5公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直 线.
法，是微积分思想的来源
世界上最早的数学公理化著作
影响最广泛的数 学名著 欧几里得的《原 本》
(第一个印刷本 1482年）
罗素(英, 18721970)
世界上最早的数学公理化 著作 影响最广泛的数学
名著
罗素：“欧几里得的 《原本》毫无疑义是古 往今来最伟大的著作之 一，是希腊理智最完美 的纪念碑之一”。
2. 一条有限直线可不断延长. 3. 以任意中心和直径可以画圆. 4. 凡直角都彼此相等. 5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁 内角和小于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.
《几何原本》目录
第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉 斯定理、初等作图法等
第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切 第五、六卷：比例论与相似形 第七、八、九、十卷：数论 第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭
林德曼（德，1852－ 1939年）
直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分 角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。而后在1882年 德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被 证明为尺规作图不能问题。
4、欧几里德：《几何原本》的作者，数学史 上被称为几何学之父，
•《几何原本》
（Στοιχετα）