2019年2-11第十一节 变化率与导数、导数的计算练习题(年高考总复习).doc
导数的计算练习题及答案
导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。
解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。
f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。
化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。
2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。
导数的运算练习题
导数的运算练习题在微积分学中，导数是非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一点附近的变化率。
掌握导数的运算是学习微积分的基础，本文将为大家提供一些导数的运算练习题，帮助读者巩固掌握导数的计算方法。
1. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x) - cos(x)（3）h(x) = e^x + ln(x)（4）i(x) = √(x^2 + 1)2. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = cos(x) + sin(x) + tan(x)（3）h(x) = ln(x^2) - e^(2x)（4）i(x) = √x + 1/x3. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = sin(2x) - cos(2x)（3）h(x) = e^(x^2) + ln(x^3)（4）i(x) = ln(x) + e^x4. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x)cos(x)（3）h(x) = ln(x) + e^x - x（4）i(x) = e^(2x) + ln(x^2)通过以上的练习题，读者可以熟悉导数的计算方法，掌握常用函数的导数运算规则。
在计算导数时，读者需要注意以下几点：1. 基本函数的导数规则：对于多项式函数，求导后，指数降低1，系数不变；对于三角函数，求导后，正弦变余弦，余弦变负正弦；对于指数函数，求导后，底数不变，指数变形式的导数。
2. 乘法法则：若函数为两个函数的乘积，则导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
3. 除法法则：若函数为两个函数的商，则导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
变化率与导数导数的计算
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
(完整版)导数的运算经典习题
（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。
2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。
2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。
2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。
2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。
2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。
3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。
通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。
希望这些习题对您有所帮助！。
高考数学一轮复习考点变化率与导数导数的运算必刷题含解析
考点13 变化率与导数、导数的运算1．（江苏省南通市2019届高三四模）给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e xy =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数． 【详解】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意；对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意；故答案为：①．2．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______.【答案】1- 【解析】函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -， 切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-3．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线与曲线相切于点，则的值为_____．【答案】 【解析】，切线的斜率为k ＝3，即=3，又切点同时在直线和曲线上，有：，所以＝4.故答案为4．4．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）已知，为曲线：上在轴两侧的点，过，分别作曲线的切线，则两条切线与轴围成的三角形面积的最小值为_______． 【答案】【解析】因为P ，Q 为曲线：上在轴两侧的点，设，，且，又因为曲线：在点的切线斜率为，所以曲线在P ，Q 两点处的切线分别为和，与x 轴交点分别为，，直线和的交点为，所求图形面积，即，令 ，假设时，才能取最小值，令，则，当，即时，，同理，当时，，所以当且时，最小，解得，，．5．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)2f =，则不等式()2xf x e <的解集为______. 【答案】(0,)+∞ 【解析】∵(2)y f x =+为偶函数，∴(2)y f x =+的图象关于0x =对称，∴()y f x =的图像关于2x =对称，∴(4)(0)f f =.又(4)2f =，∴(0)2f =.设()()()x e f x g x x R =∈，则()2'()()'()()'()x x x x f x e f x e f x f x g x e e --==. 又∵'()()f x f x <，∴'()()0f x f x -<，∴'()0g x <，∴()y g x =在R 上单调递减.∵()2xf x e <，∴()2x f x e <，即()2g x <.又∵0(0)(0)2f g e==，∴()(0)g x g <，∴0x >. 6．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知函数()(),0,1,0,xxe x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()1g x k x =+，若方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】11,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】当0x <时，()()1xf x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，又当0x >时，()()1f x f x =-，所以根据周期为1可得0x >时()f x 的图像，故()f x 的图像如图所示：函数()()1g x k x =+的图像恒过()1,0-，因为()f x 与()g x 的图像有两个不同的交点， 故AB BC k k k <≤，又10,A e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1AB k e =-，12AB k e=-， 所以112k e e -<≤-，填11,2e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 7．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）已知函数()1xf x e =-，若存在实数,()a b a b <使得()()f a f b =，则2+a b 的最大值为________.【答案】32ln 27【解析】作出函数()1xf x e =-图像如下：由题意，令,a b 为方程()f x m =的两个根，由图像易得01m <<； 由1xe m -=得1x e m =±，解得ln(1)x m =+或ln(1)x m =-， 因为a b <，所以ln(1)b m =+，ln(1)a m =-， 因此22ln(1)2ln(1)ln(1)(1)a b m m m m +=-++=-+， 令232()(1)(1)1g m m m m m m =-+=--++，01m <<， 则2()321(31)(1)g m m m m m '=--+=--+， 因为01m <<，所以由()0g m '>得103m <<；由()0g m '<得113m <<，即函数()g m 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；所以2max11132()1133327g m g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln27． 8．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______. 【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩…，所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'…，①若1a -…时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=-> ⎝ 所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ≥⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.9．已知函数()f x 对于任意实数x 都有()()f x f x -=，且当BC AP λ=时，()sin xf x e x =-，若实数a 满足(log 2)(1)a f f <，则a 的取值范围是________． 【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题得，当x≥0时，()cos xf x e x '=-，因为x≥0，所以01,cos 0x xe e e x ≥=∴-≥， 所以函数在[0,+∞ )上单调递增， 因为()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以函数在,0)（-∞上单调递减， 因为()()2log 1f a f <，所以|2log a |＜1，所以-1＜2log a ＜1， 所以122a <<.故答案为：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．10．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，所以f(-3)-g(-3)<0, 解之得k＜.当x＞0时，f(x)-g(x)=,因为，所以须使f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得-9＜k＜.故答案为：．11．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：．12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为3，求实数a 的值； （2）若函数在区间[]1,2上存在极小值，求实数a 的取值范围； （3）如果()0f x <的解集中只有一个整数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =（2）522a -<<-（3）83,3ln 32ln 2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由题意，22211()1a x ax f x x x x'++=++=， 由题意知，()13f =，所以23a +=，解得1a =.（2）令()0f x '=，所以210x ax ++=，所以2a x -±=（舍负），因为函数在[]1,2上存在极小值，所以122a -+<<，解之得522a -<<-， 经检验，当522a -<<-时，符合题意，所以522a -<<-.（3）①当240a -≤，即[2,2]a ∈-时，()0f x '≥恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =.所以当01x <<时，()0f x <，所以当1x >时，()0f x >，所以()0f x <无整数解； ②当240a ->，即2a <-或2a >时，若2a >，则()0f x '>，同①可得()0f x <无整数解；若2a <-，()0f x '=即210x ax ++=在()0,∞+上有两个不同的解01,x x 且0101x x <<<， 当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上为增函数； 当()01,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()01,x x 上为减函数；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,x +∞上为增函数，而()10f =，所以()0f x <在()0,1上无解，故()0f x <在()1,+∞上只有一个整数解，故(2)0(3)0f f <⎧⎨≥⎩，即12ln 20213ln 303a a ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩，解得833ln32ln 2a -≤<-， 综上，83,3ln 32ln 2a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.13．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）已知函数()()xf x mx n e -=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为30x ey +-=，试确定函数()f x 的单调区间；（2）①当1n =-，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立，求实数m 的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()xg x xf x tf x e t R -'=++∈，是否存在实数[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增；（2）①212e +；②存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭，使得命题成立【解析】（1）由题意()()()()2x xxx me mx n e mx m n f x e e -+-+-'==()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：30x ey +-=()21f e ∴=，()11f e '=-，即：21m n e en ee +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得：1m =，1n =()1x x f x e +∴=，()xxf x e '=- 当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>()f x ∴在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增（2）①由1n =-，m R ∈，1x mx x e -≥，即：1xm e x≥+ 对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()f x x ≥恒成立等价于1xm e x ≥+对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立记()1xx e x ϕ=+，()21xx e xϕ'=- 设()21xh x e x =-()320xh x e x '∴=+>对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立 ()21x h x e x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增而1402h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()21204h e =->()21x x e x ϕ'∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点0x 当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()0,2x x ∈时，()0x ϕ'> ()x ϕ∴在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()02x ,上单调递增()x ϕ∴的最大值是12ϕ⎛⎫⎪⎝⎭和()2ϕ中的较大的一个()122m m ϕϕ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪≥⎩，即2212m m e ⎧≥⎪⎨≥+⎪⎩ 212m e ∴≥+， m ∴的最小值为212e +②假设存在[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，则问题等价于()()()()minmax 2g x g x <()()211xx t x g x e +-+= ()()()1x x t x g x e ---'∴= ⑴当1t ≥时，()0g x '≤，则()g x 在[]0,1上单调递减()()210g g ∴<，即321t e -⋅<，得：312e t >-> 3,2e t ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭（2）当0t ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[]0,1上单调递增()()201g g ∴<，即32te-<，得：320t e <-< (),32t e ∴∈-∞- （3）当01t <<时，当[)0,x t ∈时，()0g x '<；当(],1x t ∈时，()0g x '>，()g x ∴在[)0,t 上单调递减，在(],1t 上单调递增 ()()(){}2max 0,1g t g g ∴<，即132max 1,t t t e e +-⎧⎫⨯<⎨⎬⎩⎭……（*） 由（1）知()1tt f t e +=在[]0,1t ∈上单调递减，故142t t e e +⨯≥，而33t e e -< ∴不等式（*）无解综上所述，存在(),323,2e t e ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭，使得命题成立14．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）设函数()e ln ()xf x a x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数. （1）当0a <时，判断函数()f x 的单调性；（2）若直线y e =是函数()f x 的切线，求实数a 的值； （3）当0a >时，证明：()2ln f x a a a ≥-.【答案】（1）()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）a e =（3）见证明 【解析】（1）函数()ln ()xf x e a x a R =-∈的定义域为(0,)+∞. 因为0a <，所以'()0xaf x e x=->， 所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）设切点为()000,ln xx e a x -，则00ln xa e e x -=，因为'()xa f x e x=-，所以00x a e x -=，得00x a x e =， 所以0000ln x xe e x x e -=.设()ln x x g x e xe x =-，则'()(1)ln xg x x e x =--， 所以当01x <<时，'()0g x >，()g x 单调递增， 当1x >时，'()0g x <，()g x 单调递减， 所以max ()(1)==g x g e .因为方程0000ln x xe e x x e -=仅有一解01x =，所以a e =.（3）因为'()x xa xe af x e x x-=-=，设()(0)x h x xe a x =-≥，则'()(1)0xh x x e =+>，所以()h x 在[0,)+∞单调递增. 因为(0)0h a =-<，()()10aah a ae a a e =-=->， 所以存在00x a <<，使得()0000xe h x x a =-=.当00x x <<时，'()0h x <，'()0f x <，()f x 单调递减， 当0x x >时，'()0h x >，'()0f x >，()f x 单调递增， 所以()0min 00()ln xf x f x e a x ==-.因为000x e x a -=，所以0x ae x =，00ln ln x a x =-，所以()min00()ln lnxaf x e a x a a xx=-=--ln2lnaax a a a a ax=+-≥-.15．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线；（1）若函数为奇函数，且当时，有极小值为-4；（i）求的值；（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数m的取值范围；（2）若直线，直线与曲线切于点B且交曲线于点D，直线与曲线切于点C 且交曲线于点A，记点的横坐标分别为，求的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）是奇函数，且且，即而当时有极小值经检验满足题意，则设是曲线上的一点由知：，过点的切线方程为：消去即得：由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；又由奇函数性质可知：点是极大值点从而是一条切线且过点再设另两条切线的切点为、，其中则可令切线，将代入的方程中化简可得：且从而有：且是方程的两根构造函数：由得：或而，，结合图象：可得：实数的取值范围是：（2）令，；由及可得：而，化简可得：，即将切线的方程代入中并化简得：，即；同理：则，，16．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．【答案】（1）的极大值为；极小值为；（2）；（3）见解析【解析】（1）当时，函数的定义域为．则，令得，或．列表：所以函数的极大值为；极小值为．（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立．变形得在上恒成立，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以．（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：．因为，为同一直线，所以即整理得，消去得，．令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以．从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点．17．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）当时，，，则. 又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.①当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，，所以满足条件.②当时，即时，由，得，当时，，则在上单调递减，所以时，，这与时，恒成立矛盾. 所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）①当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.②当时，，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.③当时，由，得.列表如下：此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.④当时，函数的定义域为，且，.列表如下：所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，，，，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.18．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若对于任意的正数，恒成立，求实数的值；（3）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．【答案】（1）切线方程为（2）（3）【解析】（1）因为，所以当时，，则，当时，，所以在处的切线方程为；（2）因为对于任意的正数，恒成立，所以当时，即时，，；当时，即时，恒成立，所以；当时，即时，恒成立，所以，综上可知，对于任意的正数，恒成立，．（3）因为函数存在两个极值点，所以存在两个不相等的零点．设，则．当时，，所以单调递增，至多一个零点．当时，因为时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，．因为存在两个不相等的零点，所以，解得．因为，所以．因为，所以在上存在一个零点．因为，所以．又因为，设，则，因为，所以单调递减，所以，所以，所以在上存在一个零点．综上可知：．19．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若函数在和两处取得极值，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1），由题意得：，即，即，所以，.（2）由题意知：有两个零点，，令，而.①当时，恒成立所以单调递减，此时至多1个零点（舍）.②当时，令，解得：，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为有两个零点，所以，解得：.因为，，且，而在上单调递减，所以在上有1个零点；又因为（易证），则且，而在上单调递增，所以在上有1个零点.综上：.（3）由题意得，，即. 所以，令，即，令，，令，而，所以在上单调递减，即，所以在上单调递减，即.因为，.令，而恒成立，所以在上单调递减，又，所以.20．（江苏省前黄高级中学、溧阳中学2018-2019学年上学期第二次阶段检测）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数，．（1）若有两个极值点，且满足，求的值及的取值范围；（2）若在处的切线与的图象有且只有一个公共点，求的值；（3）若，且对满足“函数与的图象总有三个交点”的任意实数，都有成立，求满足的条件．【答案】（1），的取值范围为或；（2）；（3）应满足条件且. 【解析】（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，由f（x）有两个极值点x1，x2，可得f′（x）＝0有两个不等（1）由，因函数有两个极值点，∴两个不等的实数根，∴=，即，又，∴，或.此时∴是极大值点，是极小值点，满足题意.（2）∵，∴在处的切线方程为，联立方程组，即，∴，整理得，解得或，∵切线与的图象只有一个公共点，∴，解得.（3）联立方程组，化简得，∴方程必有一根，∵函数与的图象总有三个交点，∴有两个不等实根，且三个交点满足，∴实数根满足，或，或，∵为满足与有三个交点的任意实数，令，则，解得，①当时，得，即有，此时，再令，则，解得，不满足与，故不符题意；②同理也不符题意；③当时，由，得，此时总满足，为此只需有两个不等的实根即可，∴，化简得， 综上所述，应满足条件且.21．已知函数2()1ln (1)()f x x x a x a R =----∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞，()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(,0]-∞【解析】（1）由题意知，()f x 的定义域为(0,)+∞，由()2()1ln 21f x x x a x x =----+2(21)(1)ln ax a x a x =-++-+-，得1'()2(21)f x ax a x =-++-22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x-++--=-=-. ①当0a ≤时，令'()0f x >，可得1x >，'()0f x <，得01x <<，故函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)； ②当102a <<时，112a >，令'()0f x >，可得112x a <<，'()0f x <，得01x <<或12x a>，故()f x 的增区间为11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为(0,1)、1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ③当12a =时，2(1)'()0x f x x-=-…，故函数()f x 的减区间为(0,)+∞；④当12a >时，1012a <<，令'()0f x >，可得112x a <<，'()0f x <，得102x a <<，或1x >，故()f x 的增区间为1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)+∞. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数；当102a <<时，()f x 在(0,1)，1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数；当12a =时，()f x 在(0,)+∞为减函数；当12a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,)+∞上为减函数，在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数. （2）由（1）可知：①当0a ≤时，min ()(1)0f x f ==，此时()0f x ≥； ②当102a <<时，(1)0f =，当1,a x a +⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，有ln 0x >，1ax a >+，可得2()1(1)(1)(1)0f x x a x x a ax <---=-+-<，不符合题意；③当12a =时，(1)0f =，由函数()f x 的单调性可知，当(1,)x ∈+∞时()0f x <，不符合题意； ④当12a >时，(1)0f =，由函数()f x 的单调性可知，当1,12x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0f x <，不符合题意. 综上可知，所求实数a 的取值范围为(,0]-∞.22．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）若函数()()f x g x +和()()f x g x ⋅同时在x t =处取得极小值，则称()f x 和()g x 为一对“()P t 函数”.（1）试判断()f x x =与2()g x x ax b =++是否是一对“(1)P 函数”；（2）若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”.①求a 和t 的值；②当0a <时，若对于任意[1,)x ∈+∞，恒有()()()()f x g x m f x g x +<⋅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x x =与()2g x x ax b =++不是一对“P(1)函数”，详见解析（2）①121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或10a t =-⎧⎨=⎩.②11m e>+ 【解析】令12()()(),()()()h x f x g x h x f x g x =+=⋅.(1)则212()21,()32h x x a h x x ax b ''=++=++，因为()f x x =与2()g x x ax b =++是一对“P(1)函数”所以12(1)30(1)230h a h a b ''⎧=+=⎨=++=⎩，所以33a b =-⎧⎨=⎩.此时，因222()3633(1)0h x x x x '=-+=-…，2()h x 无极小值， 故()f x x =与()2g x x ax b =++不是一对“P(1)函数”.(2)①21()1x h x e x ax =+++，()22()1xh x e x ax =⋅++ ，1()2x h x e x a '=++，22()(2)1(1)(1)x x h x e x a x a e x x a '⎡⎤=⋅++++=⋅+++⎣⎦，若()xf x e =与2()1g x x ax =++是一对“()P t 函数”，由2()(1)(1)0xh x e x x a '=⋅+++=，得121,1x x a =-=--，1.若0a >，则有因为()2h x 在x t =处取得极小值，所以1t =-，从而11(1)20h e a '--=-+=，12a e=-经验证知211()21x e h x e x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭在1x =-处取得极小值，所以121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2.当0a<时，则有因为()2h x 在x t =处取得极小值，所以1t a =--； 从而11(1)20a h a e a '----=--=，令1()2,0a a ea a ϕ--=--<，()a ϕ在(,0)-∞是减函数，且(1)0ϕ-=，所以1a =-，从而10a t =-⎧⎨=⎩经验证知21()1xh x e x x =+-+在0x =处取得极小值，所以10a t =-⎧⎨=⎩3.当0a =时，22()(1)0x h x e x '=⋅+…，()2h x 是增函数，无极小值，与题设不符. 综上所述：121a e t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或10a t =-⎧⎨=⎩. ②因为0a <，由①之结论知，2()e ,()1xf xg x x x ==-+，易见()0()0f x g x >>，，故不等式()()()()f x g x m f x g x +<⋅等价于：11()()m f x g x +<， 令11()()()H x f x g x =+，则max ()H x m <. 因为1x ≥，所以()H x 单调递减， 所以max 1()(1)1H x H e ==+，从而11m e>+. 23．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）设定义在R 上的函数()()xf x e ax a R =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在[)01,x ∈+∞，使得0()f x e a <-成立，求实数a 的取值范围；（3）定义:如果实数,,s t r 满足|s-r||t-r|≤， 那么称s 比t 更接近r .对于（2）中的a 及1x ≥，问:ex和1x e a -+哪个更接近ln x ？并说明理由.【答案】（1）()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞；（2）(,)e +∞；（3）ex比1x e a -+更接近ln x .【解析】（1）()xf x e a '=-当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '>，得0x e a ->，即ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <.∴函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞；（2）存在0[1,)x ∈+∞，使得()0f x e a <-成立，即min ()f x e a <-成立. 由（1）知，当0a ≤时，()f x 在[1,)+∞上为增函数，则min ()(1)f x f e a ==-， 不满足min ()f x e a <-成立,当0a >时，若ln 1a ≤，则()f x 在[1,)+∞上为增函数，则min ()(1)f x f e a ==-， 不满足min ()f x e a <-成立,若ln 1a >，即a e >，则()f x 在(1,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，min ()(ln )(1)f x f a f e a ∴=<=-.∴实数a 的取值范围是(,)e +∞； （3）令()ln ep x x x=-，1()ln (1)x q x e a x x -=+-≥ 21()0e p x x x'=--<，()p x 在[1,)+∞上单调递减， 故当1x e ≤≤时，()()0p x p e ≥=，当x e >时，()0p x <； 11()x q x e x -'=-，121()0x q x e x-''=+>，()q x '在[1,)+∞上单调递增， 故()(1)0q x q ''≥=，则()q x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)10q x q a ≥=+>. ①当1x e ≤≤，令1()|()||()|()()x e n x p x q x p x q x ee a xx -=-=--==---. 12()0x e m x e x-'∴=-<，故()m x 在[]1,e 上单调递减， ()(1)10m x m e a ∴≤=--<，即|()||()|p x q x <，∴ex比1x e a -+更接近ln x ； ②当x e >时，令()|()||()|n x p x q x =- ()()p x q x =--12ln x ex e a x-=-+--，11223()0x e e n x e e x x e '--∴=+-<-<，故()n x 在[),e +∞上单调递减，()()0n x n e ∴≤<，即|()||()|p x q x <，∴ex比1x e a -+更接近ln x . 综上，当a e >及1x ≥时，ex比1x e a -+更接近ln x .24．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）某公司航拍宣传画报，为了凸显公司文化，选择如图所示的边长为2百米的正三角形ABC 空地进行布置拍摄场景，在BC 的中点D 处安装中央聚光灯，,E F 为边,AB AC 上得可以自由滑动的动点，其中,DE DF 设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩)，线段,AE AF 部分需要材料M (单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料M 价格昂贵，所以公司要求采购M材料使用不造成浪费.（1）当45BDE ∠=︒，DF 与AC 垂直时，采购部需要采购多少百米材料M ？（2）为了增加拍摄动态效果需要，现要求点,E F 在,AB AC 边上滑动，且60EDF ∠=︒，则购买材料M 的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.【答案】（1）9(2（百米）； （2）3[,2]2（单位为百米）. 【解析】（1）三角形ABC 等边三角形，D 是BC 的中点，因此60B C ==∠∠,1BD DC ==,因为DF 与AC 重直，所以三角形CDF 是直角三角形，因此有cos CFC CD=, 所以11122CF =⨯=,因此32AF =，在BDE ∆中，由正弦定理可知： sin sin BE BDBDE BED=∠∠, 11BE ⨯⇒==，因此3AE =所以采购部需要采购材料M为393(22AE AF +==（百米）； （2）设,CF x BE y ==，当E 与A 重合时,由60ADF ∠=︒，可求得32AF =，所以1[,2]2x ∈，因为60EDF ∠=︒，所以120EDB FDC ∠+∠=,而120FDC CFD ∠+∠=, 所以EDB CFD ∠=∠,60B C ==∠∠，因此EBD ∆与DCF ∆相似， 所以有11BE CD xy y BD CF x =⇒=⇒=，设AE AF z +=，144z x y x x=--=--， '221(1)(1)1x x z x x -+=-+=-，当1[,1)2x ∈时，'0z >，函数14z x x=--单调递增，当(1,2]x ∈时，'0z <，函数14z x x=--单调递减，故当1x =时，z 有最大值2， 133(),(2)222z z ==，所以3[,2]2z ∈，购买材料M 的范围是3[,2]2（单位为百米）. 25．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）已知函数f （x ）＝ax 2﹣bx+lnx ，（a ，b ∈R ）．（1）若a ＝1，b ＝3，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若b ＝0时，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝1，b ＞92时，记函数f （x ）的导函数f '（x ）的两个零点是x 1和x 2（x 1＜x 2），求证：f （x 1）﹣f （x 2）＞6316﹣3ln2．【答案】（1）f （x ）在（0，12），（1，+∞）递增；（2）a≤﹣12e；（3）见解析 【解析】（1）由题意得：x ＞0，a ＝1，b ＝3时，f （x ）＝x 2﹣3x+lnx ，1(21)(1)()23x x f x x x x '--=-+=，令f '（x ）＞0，解得：0＜x ＜12或x ＞1， 故f （x ）在（0，12），（1，+∞）递增；（2）b ＝0时，f （x ）＝ax 2+lnx ，不等式f （x ）≤0在[1，+∞）恒成立， 即a≤﹣2ln x x 在区间[1，+∞）恒成立，令h （x ）＝﹣2ln x x ，则32ln x 1h (x)x '-=，令h '（x ）＞0，解得：x h '（x ）＜0，解得：1＜x故f （x ）在（1h （x ）min ＝h 12e， 故a≤﹣12e； （3）a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣bx+lnx ，221()x bx f x x'-+=，（x ＞0），由题意得x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程2x 2﹣bx+1＝0的两个根，记g （x ）＝2x 2﹣bx+1，则21291190,,02442g b g b b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>∴=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，g （2）＝9﹣2b ＜0， ∴x 1∈（1b ，14），x 2∈（2，+∞），且f （x ）在[x 1，x 2]递减， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞f （14）﹣f （2）＝763416b -﹣3ln2， ∵b ＞92，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞796363312421616n ⨯--=﹣3ln2．26．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）已知函数（），是自然对数的底数． （1）当时，求的单调增区间； （2）若对任意的，（），求的最大值；（3）若的极大值为，求不等式的解集．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）的定义域为．因为，令，因为，得，因为，所以的单调增区间是．（2）当时，，不合题意；当时，令，得或，所以在区间和上单调递减．因为，且在区间上单调递增，所以在处取极小值，即最小值为．若，，则，即．不妨设，则．设（），则．当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，所以的最大值为．（3）由（2）知，当时，无极大值，当时，在和上单调递增；在上单调递减，所以在处取极大值，所以，即．设，即，当，，所以；当，，由（2）知，，又，所以，且不恒为零，所以在上单调递增．不等式，即为，所以，即不等式的解集为．27．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图1．（1）若点E恰好与点B重合，且点在BD上，如图2，求风筝面的面积；（2）当风筝面的面积为时，求点到AB距离的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．则，，直线的方程为．设（），因为点F到AB与BD的距离相等，所以，解得或（舍去）．所以△ABF的面积为，所以四边形的面积为．所以风筝面的面积为．方法二：设，则．在直角△ABD中，，所以，解得或（舍去）．所以．所以△ABF的面积为，所以四边形的面积为．所以风筝面的面积为．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系.设，，，则直线的方程为，因为点A与关于直线对称，所以解得．因为四边形的面积为，所以，所以．因为，，所以．设，．，令，得或（舍去）．列表如下：当时，取得极小值，即最小值，所以的最大值为，所以点到AB距离的最大值为。
高三数学变化率与导数练习题.doc
变化率与导数（ 1）一、选择题lim1. 设函数 y=f（x）可导，则△x→0f ( 1+ 3△x)- f (1)等于（）3△xA. B. C. 1 f ′ (1) D. 以上都不对32. y = 2x + 1在( 1,2)内的平均变化率为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 30 ）=2，则 lim ?x→0 f ( x0)- f ( x 0＋?x)3. 若 f' =（（x ? x ）A. - 1B. - 2C. - 1D. 12 24. 质点运动规律 s=t 2+3，则在时间（ 3，3+△t ）中，相应的平均速度是（）A. 6 +△ tB. 6 +△ t + 9△tC. 3 +△ tD. 9 +△ t5.已知函数 f （x） =2x2-4 的图象上一点（ 1，-2 ）及邻近一点（ 1+△x，-2+ △y），则△y 等于（）△xA. 4B. 4 △xC. 4 + 2 △xD. 4 + 2( △x) 26.下列式子中与f′(x0)相等的是()( 1) lim f ( x0)- f ( x0- 2Δx)2Δx ；Δx→0 ( 2) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - Δx)Δx；Δx→0( 3) lim f ( x0+ 2Δx)- f ( x0+Δx)ΔxΔx→0 ( 4) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - 2Δx)Δx．Δx→0A. (1)( 2)B. ( 1)( 3)C. (2)( 3)D. ( 1)( 2)( 3)( 4)7.函数 f （x）=x，g（x）=x2，h（x）=x3在[0 ， 1] 的平均变化率分别记为 m1，m2，m3，则下面结论正确的是（）A. m = m = mB.m > m > mC.m > m > m 123 123 213D. m< m2 < m318. 设函数f(x) 在x= 1处可导，则lim f ( 1+ Δx)- f ( 1) ? 等于Δx→0- 2Δx （）A. B. C. D.9.已知曲线f(x) = x -1x上一点A( 2,32) ,则lim?x→0 f ( 2+? x)- f ( 2) （）? x5 3A. 4B. 4C. 2D. 4f ( 3+ Δxf(3))-= （10. 已知f(x) = x1，则 lin ?Δx ）Δx→0A. - 91B. 3C. 91D. - 3二、填空题11.设函数f(x) 在x= 1处可导，且f′(1) = 2，则当无限趋近于 0 时，等于 _______．12.若某物体运动规律是 S=t3-6t 2+5（t ＞0），则在 t=______时的瞬时速度为 0．三、解答题已知某物体的位移 S（米）与时间 t （秒）的关系是 S（t ）=3t-t 2．（Ⅰ）求 t=0 秒到 t=2 秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在 t=2 秒的瞬时速度．。
2-11第十一节 变化率与导数、导数的计算(2015年高考总复习)
2．函数f(x)的导函数 fx＋Δx－fx lim Δx 称函数f′(x)＝ Δx→0 函数有时也记作y′.
为f(x)的导函数，导
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3．基本初等函数的导数公式
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课 本 导 读 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 Δy fx0＋Δx－fx0 lim Δx lim ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处 Δx Δx→0 Δx→0 Δy 的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ lim Δx＝ Δx→0 fx0＋Δx－fx0 lim . Δx
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x x 1 (3)∵y＝sin (－cos )＝－ sinx， 2 2 2 1 1 1 ∴y′＝(－ sinx)′＝－ (sinx)′＝－ cosx. 2 2 2 2x－1 (4)(理)y′＝(ln )′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－ 2x＋1 1 1 2 1)]′－[ln(2x＋1)]′＝ · (2x－1)′－ · (2x＋1)′＝ 2x－1 2x＋1 2x－1 2 4 － ＝ . 2x＋1 4x2－1
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（完整版）变化率与导数及导数的计算
（完整版）变化率与导数及导数的计算第⼗⼀节变化率与导数、导数的计算⼀、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)⼏何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的⼏何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线⽅程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．⼆、基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1 x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·⼴东⾼考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线⽅程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2.∴该切线⽅程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，⼀般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应⽤，⽽且要特别注意求导法则对求导的制约作⽤，在实施化简时，⾸先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯⼀的⼀条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，⽽且这样的直线可能有多条．典题导⼊[例1] ⽤定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[⾃主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2，所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ?－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．⼀质点运动的⽅程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(⽤定义及导数公式两种⽅法求解)．解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法⼀(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法⼆(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导⼊[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [⾃主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利⽤代数或三⾓恒等变换对函数进⾏化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使⽤商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导⼊[例3] (1)(2011·⼭东⾼考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线⽅程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[⾃主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线⽅程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线⽅程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. ⼜f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线⽅程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.⼜∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线⽅程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的⼏何意义是切点处切线的斜率，应⽤时主要体现在以下⼏个⽅⾯： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解⽅程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利⽤k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线⽅程为________． (2)(2013·乌鲁⽊齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线⽅程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.⼜切点1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动⽅程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线⽅程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线⽅程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平⾏，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意⼀点，则点P 到直线y ＝x －2的最⼩距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最⼩，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满⾜f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满⾜( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁⾼考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线⽅程为y ＝4x －8，过点Q 的切线⽅程为y ＝－2x －2，联⽴两个⽅程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·⿊龙江哈尔滨⼆模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan 2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11. 11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同⼀条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线⽅程为y －f (1)＝3(x －1)，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线⽅程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线⽅程为y －g (1)＝3(x －1)．得y ＋6＝3(x －1)，即切线⽅程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同⼀条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最⼩的切线与直线12x ＋y ＝6平⾏时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最⼩值－9－a 23，因斜率最⼩的切线与12x ＋y ＝6平⾏，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘⼆模)等⽐数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1π2＋f 2π2＋…＋f 2 012π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，⼜∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1π2＋f 2π2＋…＋f 2 012π2＝503f 1π2＋f 2π2＋f 3π2＋f 4π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上⼀点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的⽅程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线⽅程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另⼀点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. ⼜直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表⽰为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝314－1＝－94. 所以l 的⽅程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线⽅程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任⼀点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三⾓形⾯积为定值，并求此定值．解：(1)⽅程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.⼜f ′(x )＝a ＋bx2，则2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得?a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任⼀点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线⽅程为y －y 0＝1＋3x 20·(x －x 0)，即y －x 0－3x 0＝1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从⽽得切线与直线x ＝0的交点坐标为0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从⽽得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三⾓形⾯积为12－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任⼀点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三⾓形的⾯积为定值，此定值为6.【基础⾃测】1.（2013全国⾼考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏⼀模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平⾏于直线2+=x y ，那么点P 的左标为（）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州⼀模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜⾓的取值范围为]4 ,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（）A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知⼆次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最⼩值为（） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x f x f B. x f xx f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim ,)(000'0'000--?-?-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线⽅程求曲线过点处的切线⽅程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
2019年高考数学 考点13 变化率与导数、导数的运算必刷题 理
考点13 变化率与导数、导数的运算1．设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围（）A． B． C． D．【答案】D2．已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（）A． 4 B． 2 C． D．【答案】D【解析】由题得所以切线方程为即，故选D.3．函数，则在其图像上的点处的切线的斜率为A． B． C． D．【答案】D【解析】把点的坐标（1，-2）代入函数的解析式得-2=1+2a-3,所以a=0,所以f(x)=，所以，所以切线的斜率为-2.故答案为：D.4．将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( )A．π B．C．D．【答案】D5．曲线在处的切线的倾斜角是（）A．B． C．D．【答案】C【解析】当时，，则倾斜角为故选.6．已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值为（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 10【答案】A27．已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（）A．B．C． -1 D． 1【答案】B【解析】根据题意，f（x）=2xf'（e）+lnx，其导数，令x=e ，可得，变形可得故选：B．8．已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C39．已知函数，则的值为( )A．B． 0 C．D．【答案】D【解析】由题意，化简得，而，所以，得，故，所以，，所以,故选D.10．函数是定义在R上的可导函数,其图象关于轴对称,且当时,有则下列不等关系不正确的是A．B．C．D．【答案】A411．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A．函数图象的对称轴方程为B．函数的最大值为C．函数的图象上存在点P，使得在P 点处的切线与直线平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C512．已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。
高三数学一轮复习专讲专练(基础知识)211变化率与导数导数的计算
所以
xn＝
n n＋
.log 1
2
013x1＋
log
2
013
x2＋
…
＋
log
2
013x2
012
＝
log
2
1 0132
×
23×…×
2 2
001112×
2 2
012 013
＝－
1.
答案： － 1
10． 解： (1) y′ ＝ (x·tan x)′ ＝ x′ tan x＋ x(tan x)′
sin x ＝ tan x＋ x·cos x
4 9<x0<
196，又
x0∈ Z，所
1
1
以 x0＝1， y0＝ 0，切线斜率 k＝ 2.切线方程为 y＝2(x－1) ，即 x－ 2y－1＝ 0.
6．选 B 由导数的几何意义可知， f′ (2)、 f′ (3)分别表示曲线在 x＝ 2， x＝ 3 处的切线
的斜率，而 f (3)－ f(2) 表示直线 AB 的斜率，即 kAB＝ f(3) － f(2)．
cos2 x＋ sin2x ′ ＝ tan x ＋x· cos2x
x ＝ tan x＋ cos2x.
(2)y′ ＝ (x＋1)′ (x＋2)( x＋ 3)＋ (x＋ 1) ·[( x ＋ 2)( x ＋ 3)] ′ ＝ (x＋ 2)(x＋ 3)＋ (x＋ 1)( x＋ 2)
＋( x＋1)( x＋3) ＝ 3x2＋ 12x＋ 11.
12x＋y＝ 6 平
12．已知函数 f(x)＝ x－ 2x， g(x) ＝a(2－ ln x)(a>0) ．若曲线 y＝ f( x)与曲线 y＝g(x)在 x＝ 1 处的切线斜率相同，求 a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．
(完整版)变化率与导数练习题及答案
【巩固练习】 一、选择题1．（2015春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ） A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B.一个函数C.一个常数，不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率。
2.（2015春 淄博校级月考）在曲线22y x =+的图象上取一点（1,3）及邻近一点()1,3x y +∆+∆，则yx∆∆ 为（ ）A. 12x x ∆++∆ B. 2x ∆+ C. 1x x ∆-∆ D. 12x x∆-+∆3.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么tst ∆∆→∆0lim 为 （ ）A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度B ．时间t 时该物体的瞬时速度C ．当时间为t ∆时该物体的速度D ．从时间t 到t t +∆时位移的平均变化率4. 已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ） A. )()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数增量B.xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00叫函数在[x x x ∆+00,]上的平均变化率 C. )(x f 在点0x 处的导数记为y ' D. )(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为218s t =， 则t=2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．146． 设()4f x ax =+，若'(1)2f =，则a=（ ）A ．2B ．－2C ．3D ．不确定7．（2015秋 泗县校级期末）若()f x 在(),-∞+∞可导，且(2)()13limx f a x f a x∆→+∆-=∆，则'()f a =（ ）A. 23B.2C.3D.328．在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =， 若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ ）A. 0～1s 时间段内的速率为9.8/m sB. 在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m sC. 在1s 末的速率为9.8/m sD. 若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．二、填空题9．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝ .10.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f = ；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆= .11． 一质点的运动方程是322s t t t =-+, 其中最小速度是 。
高考数学一轮总复习2.11变化率与导数、导数的计算练习
第十一节 变化率与导数、导数的计算时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )] ＝3(x 2－a 2)． 答案 C2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案 D3．(2014·大纲全国卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析 ∵y ＝x ex －1，∴y ′＝ex －1＋x ex －1.∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，选C. 答案 C4．(2015·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B.3π4 C.π4D.π6解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x＋e －x－3≥2e x·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是3π4，故选B.答案 B5．(2014·重庆七校联盟联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2解析 由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导，得f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8.令x ＝1得 f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2.答案 A6．已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 B ．(0，－4) C ．(2,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－14 解析 由题，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，又切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x－x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[2x －(x 1＋x 2)]＝0，因为x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22，代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14，故选D.答案 D 二、填空题7．若曲线y ＝32x 2＋x －12的某一切线与直线y ＝4x ＋3平行，则切线方程为________．解析 设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 0＋1,3x 0＋1＝4⇒x 0＝1. 又y 0＝32x 20＋x 0－12＝2，则切点为(1,2)，故切线的方程为y －2＝4(x －1)⇒y ＝4x －2. 答案 y ＝4x －28．(2014·陕西五校联考)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________．解析 点(1,3)既在直线y ＝kx ＋1上，也在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，代入解得k ＝2，a＋b ＝2，又y ′|x ＝1＝2，∴3＋a ＝2，解得a ＝－1.∴b ＝3.答案 39．已知函数f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若函数f (x )的图象在点P处的切线与x 轴交点的横坐标为x n 则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，∴f ′(1)＝n ＋1. 又P (1,1)，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1， ∴x 1x 2x 3…x 2 013＝12·23·34…2 0132 014＝12 014.∴log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014x 1x 2x 3…x 2 013＝log 2 01412 014＝－1. 答案 －1 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程． 解 (1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)．故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1.又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. ∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值． (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－a a ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0.∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 培 优 演 练1．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )解析 ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ，∴k ＝g (t )＝t cos t .g (t )为奇函数且当0<t <π时，g (t )>0，故选B. 答案 B2．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析 由y ＝x 2(x >0)得，y ′＝2x ，所以函数y ＝x 2(x >0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y－a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2，所以{a k }是首项为16，公比为12的等比数列，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝21.答案 213．(2015·汉城国际学校调研)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝mx 3＋nx 2，f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－m ＋n ＝2，f ′－1＝3m －2n ＝－3，∴m ＝1，n ＝3.∴f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)． 由f ′(x )<0，得－2<x <0. 由题意，得[t ，t ＋1]⊆[－2,0]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1.答案 [－2，－1]4．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1. 所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)． 则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)． 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)． 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的情况如下：所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，因为g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。
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第十一节 变化率与导数、导数的计算
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x
)′＝3x
log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln2；③(e x )′＝e x
；④(1ln x )′＝
x ；⑤(x ·e x )′＝e x ＋1.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 ①(3x
)′＝3x
ln3；②(log 2x )′＝1x ln2；③(e x )′＝e x ；④(1ln x )′＝－1x (ln x )2＝－1x ·(ln x )
2；⑤(x ·e x )′＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)，故选B. 答案 B
2．(2014·云南师大附中模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋x 2
－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝3x ＋2
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝－2x ＋3
解析 令x ＝0，解得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，令x ＝0，解得f ′(0)＝1，故切线方程为y ＝x ＋1.选A.
答案 A
3．(2014·北大附中河南分校模拟)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A.⎝
⎛
⎦
⎥⎤0，π3
B.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫π3，π2
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
π3，π 解析 由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，所以π3≤α<π
2，选B.
答案 B
4．(2014·青岛一中模拟)设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是
偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( ) A ．y ＝3x ＋1 B ．y ＝－3x C ．y ＝－3x ＋1
D ．y ＝3x －3
解析 函数的导数为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，若f ′(x )为偶函数，则a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3.
∴f ′(0)＝－3，∴在原点处的切线方程为 y ＝－3x ，选B. 答案 B
5．(2013·山西测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－2ax ＋3a 2，且在f (x )的图象上点(1，f (1))处的切线在y 轴上的截距小于0，则a 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23，1 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，23 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax －2a ，∴f ′(1)＝3，又f (1)＝1－a ＋3a 2，∴在点(1，f (1))处的切线为y ＝3(x －1)＋1－a ＋3a 2，则可得3a 2－a －2＜0，解得－2
3＜a ＜1.
答案 C
6．(2014·吉林联考)函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π
3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－1
2，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )
A ．f (a )>f (b )
B ．f (a )<f (b )
C ．f (a )＝f (b )
D ．f (|a |)<f (b )
解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π
3)， ∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，f ′(π3)＝－12， ∴f ′(x )＝cos x －1≤0，f (x )单调递减． 又∵a <b ，∴f (a )>f (b )． 答案 A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝________. 解析 f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则x ＝π2，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－sin π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝－sin π4＋cos π
4＝0. 答案 0
8．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
解析 曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有解．又因为f ′(x )＝5ax 4＋1x ，所以方程5ax 4＋1
x ＝0有解．所以5ax 5＝－1有解．又因为x >0，所以a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
9．若对任意m ∈R ，直线x ＋y ＋m ＝0都不是曲线f (x )＝13x 3
－ax 的切线，则实数a 的取值范围是________．
解析 直线x ＋y ＋m ＝0的斜率为－1，依题意得关于x 的方程f ′(x )＝x 2－a ＝－1没有实数解，因此，a －1<0，即a <1.
答案 (－∞，1)
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x
2； (4)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1
.
解 (1)解法1：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2－3)＝18x 2－4x ＋9.
解法2：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×1
2x － 12
＝1－2x
－
12
.
(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －1
2sin x ， ∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－1
2cos x . (4)y ′＝
(ln (2x ＋3))′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′
(x 2＋1)
2
＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2
＋1)－2x ln (2x ＋3)
(x 2＋1)2
＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2
.
11．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．
(1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解 (1)证明：由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.
又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l 的方程为y ＋4＝－1
4(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0. 12．已知函数f (x )＝x ＋t
x (t >0)和点P (1,0)，过点P 作曲线y ＝f (x )的两条切线PM ，PN ，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
(1)求证：x 1，x 2为关于x 的方程x 2＋2tx －t ＝0的两根； (2)设|MN |＝g (t )，求函数g (t )的表达式．
解 (1)证明：由题意，可知y 1＝x 1＋t x 1，y 2＝x 2＋t
x 2
.
因为f ′(x )＝1－t x 2，所以切线PM 的方程为y －(x 1＋t x 1)＝(1－t
x 21
)(x
－x 1)．又切线PM 过点P (1,0)，所以0－(x 1＋t x 1)＝(1－t
x 21
)(1－x 1)，即
x 21＋2tx 1－t ＝0.①
同理，由切线PN 也过点P (1,0)，得x 22＋2tx 2－t ＝0.② 由①②，可得x 1，x 2是方程x 2＋2tx －t ＝0的两根．
(2)由(1)，知⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－2t ，
x 1·
x 2＝－t .
|MN |＝(x 1－x 2)2＋(x 1＋t x 1
－x 2－t x 2
)2
＝
[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2][1＋(1－t x 1x 2
)2
]＝20t 2＋20t ，
所以g (t )＝20t 2＋20t (t >0)．。