2019年中考数学总复习第四单元三角形课时训练20等腰三角形练习
2019年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷含答案解析
2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】 如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．直角三角形B ．正五边形C ．正方形D ．平行四边形2．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分(单位：分)依次为21，16，17，23，20，20，23，则这组数据的平均数与中位数分别是( ) A ．20分，17分B ．20分，22分C ．20分，19分D ．20分，20分3．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知，满足不等式ax 2+bx+c ＞0的x 的取值范围是（ ）A.﹣1＜x ＜5B.x ＞5C.x ＜﹣1且x ＞5D.x ＜﹣1或x ＞54．把a 移到根号内得（ ）B. C.5．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30cm 2B ．30πcm 2C ．60πcm 2D ．120cm 26．甲，乙工程队分别承接600米，800米的道路修建工程，已知乙比甲每天多修建12米，结果甲比乙提早1天完成，问甲每天修建多少米？设甲每天修建x 米，根据题意可列出方程是（ ） A ．x 600＝80012x -﹣1 B ．x 600＝80012x -+1C ．x 600＝80012x +﹣1 D ．x 600＝80012x ++1 7．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则K 的值不可能是（ ）A ．-5B ．-2C ．3D ．58．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是（ ）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）9．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，DE AC ，AE 、CD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BD EOAD AO= B ．CO CECD CB= C ．AB COBD OD= D ．BD ODBE OE= 10．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）A.6B.5C.4D.711．下列计算中，正确的是（ ）A 2±B ．2+=C ．a 2•a 4＝a 8D ．（a 3）2＝a 612．现有一组数据：165、160、166、170、164、165，若去掉最后一个数165，下列说法正确的是（ ） A ．平均数不变，方差变大 B ．平均数不变，方差不变 C ．平均数不变，方差变小 D ．平均数变小，方差不变二、填空题13．已知 5 个数据：8，8，x ，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 __________．14．在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3）为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标______．15．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m ＝0有实数根，则实数m 满足_____．16．如果2(2+（a ，b 为有理数），那么a+b 等于_____．17．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将APE ∆沿PE 折叠得到FPE ∆，连接CE ，CF ，当ECF ∆为直角三角形时，AP 的长为_____．18．从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是________ 三、解答题19．某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A ：跑步；B ：跳绳；C ：做操；D ：游戏，全校学生都选择了一种形式参与活动，小明对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，并绘制了不完整的两幅统计图（如图）：（1）本次共调查了多少名学生？（2）跳绳B 对应扇形的圆心角为多少度？（3）学校在每班A 、B 、C 、D 四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，求每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率．20．某公司可投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为8元/件，此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝﹣x+28．（1）求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为6元/件，为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过14万件，请计算该公司第二年的利润W 2至少为多少万元．21．在□ABCD 中，经过A 、B 、C 三点的⊙O 与AD 相切于点A ，经过点C 的切线与AD 的延长线相交于点P ，连接AC ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝4，⊙O PD 的长．22．观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④…… (1)第⑤个式子____，第⑩个式子_____；(2)请用含n(n 为正整数)的式子表示上述的规律，并证明． 23．已知AB 为O 的直径，EF 切O 于点D ，过点B 作BH EF ⊥于点H ，交O 于点C ，连接BD .(Ⅰ)如图①，若BDH 65∠=︒，求ABH ∠的大小； (Ⅱ)如图②，若C 为BD 的中点，求ABH ∠的大小.24．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D 是AC 边的中点，延长BD 至点E ，使得DE ＝BD ，连结CE ．（1）求证：△ABD ≌△CED ．（2）当BC ＝5，CD ＝3时，求△BCE 的周长．25．如图，AB是半⊙O的直径，点C，D为半圆O上的点，AE||OD，过点D的⊙O的切线交AC的延长线于点E，M为弦AC中点（1）填空：四边形ODEM的形状是；（2）①若CEkCM=，则当k为多少时，四边形AODC为菱形，请说明理由；②当四边形AODC为菱形时，若四边形ODEM的面积为O的半径．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．或 1014．（2，2）．15．4m≤16．1017．1或9 418．1 4三、解答题19．(1) 本次共调查了300名学生；(2) 36︒;(3)1 6【解析】【分析】（1）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数（2）先算出B类的总数，再利用B的总数除以总的调查人数在乘以360°即可得到答案（3）利用画树状图可知一共有十二种结果，而做操”和“跳绳”的结果数为2，即可得到答案【详解】（1）120÷40%＝300（人），所以本次共调查了300名学生；（2）喜欢B类的人数为300﹣120﹣60﹣90＝30（人），所以跳绳B对应扇形的圆心角＝360°×30300＝36°；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的结果数为2，所以每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率＝21 126．【点睛】此题综合考查了扇形统计图，条形统计图，画树状图等，解题关键在于对图形性质的理解20．（1）W1＝﹣x2+36x﹣304．（2）该产品第一年的售价是18元．（3）该公司第二年的利润W2至少为92万元．【解析】【分析】(1)根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；(2)构建方程即可解决问题；(3)根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的性质即可解决问题.【详解】(1)W1＝(x﹣8)(﹣x+28)﹣80＝﹣x2+36x﹣304；(2)由题意：20＝﹣x2+36x﹣304．解得：x＝18，答：该产品第一年的售价是18元；(3)∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过14万件．∴14≤x≤18，W2＝(x﹣6)(﹣x+28)﹣20＝﹣x2+34x﹣188，∵抛物线的对称轴x＝17，又14≤x≤18，∴x＝14时，W2有最小值，最小值＝92(万元)，答：该公司第二年的利润W2至少为92万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题．21．（1）见解析，（2【解析】【分析】（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，由切线的性质可得∠FAP=90°，根据平行四边形的性质可得∠AEB=90°，由垂径定理点BE=CE，根据垂直平分线的性质即可得AB=AC；（2）连接FC，OC，设OE＝x，则EF x，根据AF为直径可得∠ACF=90°，利用勾股定理可得CF的长，利用勾股定理可证明OC2－OE2＝CF2－EF2，即可求出x的值，进而可得EC、BC的长，由平行线性质可得∠PAC=∠ACB，由切线长定理可得PA=PC，即可证明∠PAC=∠PCA，由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，利用等量代换可得∠ABC=∠PAC，即可证明△PAC∽△ABC，根据相似三角形的性质可求出AP的长，根据PD=AP-AD即可得答案.【详解】（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，∴AF⊥AP，∴∠FAP＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠AEB＝∠FAP＝90°，∴AF⊥BC．∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，∴BE＝CE．∵AF⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC．（2）连接FC，OC．设OE＝x，则EF x．∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．∵AC＝AB＝4，AF＝∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，∴CF2．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴CE2＝OC2－OE2．∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2－EF2．∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即2－x2＝22x）2．解得x＝5．∴EC5．∴BC＝2EC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5．∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACB．∵PA，PC是⊙O的切线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．∴△PAC∽△ABC，∴APAB＝ACBC．∴AP＝ACBC·AB＝∴PD＝AP－AD．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理、平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角；圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；有两个角对应相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.22．(1)4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)(n﹣1)(n+1)+1＝n2；证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知等式中的规律即可得；(2)根据整数的平方等于前一个整数与后一个整数乘积与1的和可得，利用整理的运算法则即可验证．【详解】(1)第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102；故答案为：4×6+1＝52，9×11+1＝102；(2)第n个式子为(n﹣1)(n+1)+1＝n2，证明：左边＝n2﹣1+1＝n2，右边＝n 2，∴左边＝右边，即(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出(n ﹣1)(n+1)+1＝n 2的规律，并熟练加以运用．23．(Ⅰ)∠ABH=50°；(Ⅱ)60ABH ∠=︒.【解析】【分析】(Ⅰ)连接OD ，由切线性质可得OD ⊥EF ，根据锐角互余的关系可求出∠ODB 和∠DBH 的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠OBD 的度数，根据∠ABH=∠ABD+∠DBH 即可得答案；(Ⅱ) 连接OD ，OC ，由C 为BD 的中点可得DOC BOC ∠∠=，由平行线性质可得DOC OCB ∠∠=，根据等腰三角形的性质可得OCB OBC ∠∠=，即可证明△OCB 是等边三角形，即可得答案.【详解】(Ⅰ)连接OD .∵EF 切O 于点D ，∴OD EF ⊥.∵BDH 65=︒，BH EF ⊥，∴ODB DBH 25∠∠==︒.∵OB OD =，∴ABD ODB 25∠∠==︒.∴ABH ABD DBH 50∠∠∠=+=︒.(Ⅱ)连接OD ，OC .由(Ⅰ)可得OD//BH ，∴DOC OCB ∠∠=，∵C 为BD 的中点，∴DOC BOC ∠∠=.∴OCB BOC ∠∠=.∵OB OC =，∴OCB OBC ∠∠=.∴ΔOCB 为等边三角形，∴ABH 60∠=︒.【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及等边三角形的判定，圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．24．（1）见解析；（2）△BCE的周长为18．【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用勾股定理求得BD＝4，然后利用三角形的周长公式解答．【详解】（1）证明：∵AB＝BC，点D是AC边的中点，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDE＝90°．又∵DE＝BD，∴△ABD≌△CED（SAS）；（2）解：∵BD＝＝＝4，∴BE＝2BD＝8．又∵CE＝AB＝BC＝5，∴BC+CE+BE＝5+5+8＝18，即△BCE的周长为18．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角或对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形.25．（1）四边形AODC为菱形，见解析；（2）①当k为1时，四边形AODC为菱形．理由见解析；②⊙O的半径为．【解析】【分析】（1）运用切线定理、垂径定理、平行线的性质证明四个角均为90°，即可说明四边形ODEM为矩形；（2）①当k为1时，四边形AODC为菱形．连接CD，CO．由四边形AODC为菱形，可得AO＝OD＝CD＝AC，由OM垂直平分AC，得到OA＝OC，所以OA＝OC＝AC，因此△OAC为等边三角形，于是∠CAO＝60°，∠CDO ＝60°，∠ECD＝30°，所以CE＝12CD＝12AC，又CM＝12AC，因此CE＝CM，即CECM＝1，所以当k为1时，四边形AODC为菱形；②由四边形ODEM 的面积为可知OD•MO＝43，由①四边形AODC 为菱形时，∠MAO ＝60°，所以OMOA＝sin ∠MAO ＝sin60°，MO ，因此OD•MO＝OA•2OA ＝，所以OA ＝. 【详解】（1）∵DE 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DE ，∠ODE ＝90°，∵M 为弦AC 中点，∴OM ⊥AC ，∠OME ＝90°，∵AE||OD ，∴∠E ＝90°，∠MOD ＝90°，∴四边形ODEM 是矩形；（2）①当k 为1时，四边形AODC 为菱形．理由如下：连接C D ，CO ．∵四边形AODC 为菱形，∴AO ＝OD ＝CD ＝AC ，∵OM 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∴OA ＝OC ＝AC ，∴△OAC 为等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∠CDO ＝60°，∴∠ECD ＝30°，∴CE ＝12CD ＝12AC ， ∵CM ＝12AC ， ∴CE ＝CM ， ∴1CE CM= ， 当k 为1时，四边形AODC 为菱形；②∵四边形ODEM 的面积为，∴OD•MO＝由①四边形AODC 为菱形时，∠MAO ＝60°，∴sin sin 60OM MAO OA ︒=∠= ，MO ，OA⋅=，∴OD•MO＝2∴OA＝∴⊙O的半径为【点睛】本题是圆的综合题，熟练掌握矩形、菱形、三角函数、垂径定理等是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在－2，3.14，5π，这6个数中，无理数共有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30cm 2B ．30πcm 2C ．60πcm 2D ．120cm 23．若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A 和点B ，则点A 和点B 之间的距离是（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．3D ．54．在平面直角坐标系xOy 中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆一定A ．与x 轴和y 轴都相交B ．与x 轴和y 轴都相切C ．与x 轴相交、与y 轴相切D ．与x 轴相切、与y 轴相交． 5．如图，在中，，分别是上两点，，点分别是的中点，则的长为（ ）A.10B.8C.D.206．将一图形绕着点O 顺时针方向旋转70后，再绕着点O 逆时针方向旋转120，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O 什么方向旋转多少度?（ ）A ．逆时针方向，50B ．顺时针方向，50C ．顺时针方向，190D ．逆时针方向，1907．某医疗器械公司接到400件医疗器械的订单，由于生产线系统升级，实际每月生产能力比原计划提高了30%，结果比原计划提前4个月完成交货．设每月原计划生产的医疗器械有x 件，则下列方程正确的是（ ）A ．400400(130%)x x -+＝4B ．400400(130%)x x-+＝4C ．400400(130%)x x --＝4D ．4004004(130%)x x-=- 8．下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22423a a a +=C ．236(2)2a a -=-D ．422()a a a ÷-= 9．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为F ，连接DF ，则下列四个结论中，错误的是（ ）A.△AEF ～△CABB.CF=2AFC.DF=DCD.tan ∠CAD=3410．如图，正方形ABCD 的顶点A （1，1），B （3，1），规定把正方形ABCD“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD 的顶点C 的坐标为（ ）A ．（﹣2018，3）B ．（﹣2018，﹣3）C ．（﹣2016，3）D ．（﹣2016，﹣3）11．在体育模拟考中，某6人小组的1000米长跑得分（单位：分）分别为：10，9，8，10，10，9，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．9分，8分B ．9分，9.5分C ．10分，9分D ．10分，9.5分12．如图，已知BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A 、C 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．抛物线y=（2x﹣1）2+t与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是_____．14．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°_____cos50°．15．已知x﹣y=2，则x2﹣y2﹣4y=_____．16．如图，将矩形OABC置于一平面直角坐标系中，顶点A，C分别位于x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（5，6），双曲线y＝kx（k≠0）在第一象限中的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，P为y轴正半轴上一动点，把△OAP沿直线AP翻折，使点O落在点F处，连接FE，若FE∥x轴，则点P的坐标为___．17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a∥b，点B在直线b上，∠1=138°，则∠2=______度．18．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+12PC的最小值等于_____．三、解答题19．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次统计共抽查了名学生，在扇形统计图中“QQ”的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，tan∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA的值．21．已知函数y＝y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥12，且当x＝1或x＝4时，y的值均为32．请对该函数及其图象进行如下探究：(1)解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：．(2)函数图象探究：①根据解析式，补全下表：②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象.(3)结合画出的函数图象，解决问题：①当x＝34，214，8时，函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系为：；(用“＜”或“＝”表示)②若直线y＝k与该函数图象有两个交点，则k的取值范围是，此时，x的取值范围是．22．东北大米主要种植于黑龙江省、吉林省、辽宁省的广大平原地区，种植在极其肥沃的黑土地中，吸收了足够的氮、磷、钾等多种矿物元素，阳光雨露充足，又有纯净无污染的灌溉用水，生长周期比较长，一般五个月左右．东北大米颗粒饱满，质地坚硬，色泽清白透明；饭粒油亮，香味浓郁；蒸煮后出饭率高，粘性较小，米质较脆．刘阿姨到超市购买东北大米，第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次共购买了40kg．这种东北大米的原价是多少？23．解不等式组1531xx x+≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答.(Ⅰ)解不等式①，得_________；(Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.24．解方程：213xx x+=-.25．先化简，再求值：2221(1)244x xx x x+++÷--+，其中x＝3．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．-1614．＞15．416．（0，53）或（0，15）．17．12 18．5 三、解答题19．（1）100，108°；（2）补图见解析；（3）1 3【解析】【分析】（1）由20÷20%可得这次统计共抽查人数，根据圆心角公式可得结果；（2）先求喜欢用短信的人数，再画图；（3）用树状图方法求概率.【详解】解：（1）20÷20%＝100；所以这次统计共抽查了100名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数＝360°×30100＝108°； （2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人， 补充图形，如图所示：（3）画树状图为：共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3， 所以恰好选用“微信”联系的概率＝39＝13．【点睛】考核知识点：从统计图表获取信息，求概率.20．5【解析】 【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值． 【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =. 【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．21．(1)2112y x x =+-；(2)①见解析；②见解析；(3)①y 2＜y 1＜y 3；②1＜k≤134，12≤x≤8． 【解析】 【分析】(1)根据题意设11k y x=，y 2＝k 2(x ﹣2)，则12(2)ky k x x =+-，即可解答（2）将表中数据代入2112y x x =+-，即可解答 （3）①由(2)中图象可得：(2，1)是图象上最低点，在该点左侧，y 随x 增大而减小；在该点右侧y 随x 增大而增大，即可解答 ②观察图象得：x≥12，图象最低点为(2，1)，再代入即可 【详解】 (1)设11k y x=，y 2＝k 2(x ﹣2)，则12(2)ky k x x =+- ，由题意得：1212323242k k k k ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得：12212k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴该函数解析式为2112y x x =+- ， 故答案为：2112y x x =+-， (2)①根据解析式，补全下表：②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出图象．(3)①由(2)中图象可得：(2，1)是图象上最低点，在该点左侧，y 随x 增大而减小；在该点右侧y 随x 增大而增大， ∴y 2＜y 1＜y 3，故答案为：y 2＜y 1＜y 3， ②观察图象得：x≥12，图象最低点为(2，1)， ∴当直线y ＝k 与该图象有两个交点时，1＜k≤134， 此时x 的范围是：12≤x≤8． 故答案为：1＜k≤134，12≤x≤8． 【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，列出方程式解题关键 22．这种大米的原价是每千克7元． 【解析】 【分析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据第一次按原价购买，用了105元．几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次共购买了40kg ，列出方程即可解答 【详解】解：设这种大米的原价是每千克x 元， 根据题意，得105140400.8x x+=， 解得：x ＝7．经检验，x ＝7是原方程的解． 答：这种大米的原价是每千克7元． 【点睛】此题考查分式方程的应用，解题关键在于列出方程 23．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】 【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4， 故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1， 解得：x>12，故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x <≤， 故原不等式的解集为：142x <≤， 故答案为：142x <≤ 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 24．x ＝65. 【解析】 【分析】根据分式方程的解法求解即可. 【详解】去分母得：2x ﹣6+x 2＝x 2﹣3x ， 解得：x ＝65， 检验x ＝65是原方程的解． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，注意根的验证. 25．3 【解析】 【分析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，再代入求出即可． 【详解】2221(1)244x x x x x +++÷--+ 2222(2)21x x x x x -++-=⋅-+ 2(1)(2)21x x x x x +-=⋅-+ ＝x （x ﹣2）＝x2﹣2x，当x＝3时，原式＝32﹣2×3＝3．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．。
等腰三角形经典练习试题及详细含答案
等腰三角形练习题一、计算题：A1.如图，△ ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠ A 的度数DE2. 如图， CA=CB,DF=DB,AE=AD B C F求∠ A 的度数CEA BD3、AB于⊥ AB于 E，DF⊥BC交 AC于点 F，若∠ EDF=70°，求∠ AFD的度数AFEB D C4. 如图，△ ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EAA求∠ A 的度数EDBC5. 如图，△ ABC 中， AB=AC ，D 在 BC 上,A∠ B AD=30°, 在 AC 上取点 E ，使 AE=AD,求∠ EDC 的度数30°EBDC6. 如图，△ ABC 中，∠ C=90°， D 为 AB 上一点，作 DE ⊥BC 于 E ，若1BE=AC,BD=2,DE+BC=1,求∠ ABC 的度数ADCB7.如图，△ ABC中，AD均分∠ BAC，若AC=AB+BD求∠ B：∠ C的值AB D C二、证明题：8.如图，△ DEF中，∠ EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系DAE F9.如图，△ ABC中，∠ B=60°，角均分线 AD、CE交于点 O求证： AE+CD=AC BE DA C12. 如图 , △ABC 中,AB=AC,D 为△ ABC 外一点，且∠ ABD=∠ACD =60°A求证： CD=AB-BDBDC13. 已知：如图， AB=AC=BE ，CD 为△ ABC 中 AB 边上的中线1A求证： CD=2CEDBCE14. 如图，△ ABC 中，∠ 1=∠2，∠ EDC=∠BACA求证： BD=ED1 2EBCD15. 如图，△ ABC中， AB=AC,BE=CF,EF交 BC于点 GA求证： EG=FGECBG F16. 如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是 BC边上的高， B 到点 E，使 BE=BD 求证： AF=FCAFBDCE17. 如图，△ ABC中， AB=AC,AD和 BE两条高，交于点 H，且 AE=BE求证： AH=2BD AEHB D C18. 如图，△ ABC中， AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30°求证： AD=DCADB C19.如图，等边△ ABC中，分别延伸 BA至点 E，延伸 BC至点 D，使 AE=BD 求证： EC=ED EABC D20.如图，四边形 ABCD中，∠ BAD+∠BCD=180°，AD、BC的延伸线交于点F，DC、 AB的延伸线交于点E，∠ E、∠ F 的均分线交于点H求证： EH⊥FHFDCHABE一、计算题：1. 如图，△ ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠ A 的度数A设∠ ABD为 x, 则∠ A 为 2x2x由 8x=180°D 得∠ A=2x=45°E 2xx3xx2. 如图， CA=CB,DF=DB,AE=ADB 2x3xC 求∠ A 的度数F设∠ A 为 x, XC由 5x=180°E得∠ A=36°2xxA x2x BD3.如图，△ ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠ EDF=70°，求∠ AFD的度数∠A FD=160°AFEB D C4. 如图，△ ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EAA求∠ A 的度数x设∠ A 为 x180E∠A=72xx2xD3x x3x BC5. 如图，△ ABC 中， AB=AC ，D 在 BC 上,∠ B AD=30°, 在 AC 上取点 E ，使 AE=AD,求∠ EDC 的度数设∠ ADE 为 xA∠EDC=∠AED －∠ C=15°180°－2x30°x －15°x Ex BDCx －15°6. 如图，△ ABC 中，∠ C=90°， D 为 AB 上一点，作 DE ⊥BC 于 E ，若1BE=AC,BD=2,DE+BC=1,求∠ ABC 的度数延伸 DE 到点 F, 使 EF=BC可证得 : △ABC ≌△ BFE所以∠ 1=∠F由∠ 2+∠F=90°,得∠ 1+∠F=90°1ADC E12B在 Rt △DBF 中, BD= 2,DF=1F所以∠ F = ∠1=30°7. 如图，△ ABC 中， AD 均分∠ BAC ，若 AC=AB+BD求∠ B ：∠ C 的值在 AC 上取一点 E, 使 AE=AB A可证△ ABD ≌△ ADE所以∠ B=∠AEDEB D C由AC=AB+BD,得 DE=EC,所以∠ AED=2∠C 故∠ B：∠ C=2:1二、证明题：8.如图，△ ABC中，∠ ABC,∠CAB的均分线交于点P，过点 P 作 DE∥AB，分别交 BC、AC于点 D、E求证： DE=BD+AEC证明△ PBD和△ PEA是等腰三角形 D P EB A9.如图，△ DEF中，∠ EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系DDF+AD=AE A在 AE上取点 B, 使 AB=ADBE F10.如图，△ ABC中，∠ B=60°，角均分线 AD、CE交于点 O求证： AE+CD=AC B在 AC上取点 F, 使 AF=AE易证明△ AOE≌△ AOF, E DO得∠ AOE=∠AOF由∠ B=60°，角均分线 AD、CE,A F C得∠ AOC=120°所以∠ AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60°故△ COD≌△ COF,得 CF=CD所以 AE+CD=AC11. 如图，△ ABC中， AB=AC, ∠A=100°， BD均分∠ ABC,求证： BC=BD+AD延伸 BD到点 E, 使 BE=BC,连接 CE A在 BC上取点 F, 使 BF=BA D E 易证△ ABD≌△ FBD,得 AD=DF再证△ CDE≌△ CDF,得 DE=DF BF CA故 BE=BC=BD+ADD也可 : 在 BC上取点 E, 使 BF=BD,连接 DF在 BF 上取点 E, 使 BF=BA,连接 DEB先证 DE=DC,再由△ ABD≌△ EBD,得 AD=DE,最后证明 DE=DF即可 E FC 12. 如图 , △ABC中,AB=AC,D为△ ABC外一点，且∠ ABD=∠ACD =60°求证： CD=AB-BD AE在 AB上取点 E，使 BE=BD，在 AC上取点 F，使 CF=CDF得△ BDE与△ CDF均为等边三角形，DB只要证△ ADF≌△ AEDC13. 已知：如图， AB=AC=BE ，CD 为△ ABC 中 AB 边上的中线1A求证： CD=2CEE延伸 CD 到点 E, 使 DE=CD 连.结 AED证明△ ACE ≌△ BCEBC14. 如图，△ ABC 中，∠ 1=∠2，∠ EDC=∠BAC E求证： BD=EDA 1 2在 CE 上取点 F, 使 AB=AFEF易证△ ABD ≌△ ADF,得 BD=DF,∠B=∠AFDBCD由∠ B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180°所以∠ B=∠DEC所以∠ DEC=∠AFD所以 DE=DF,故 BD=ED15. 如图，△ ABC 中， AB=AC,BE=CF,EF 交 BC 于点 GA求证： EG=FGECBGF16. 如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是 BC边上的高， B 到点 E，使 BE=BD 求证： AF=FC AFB17.如图，△ ABC中， AB=AC,AD和 BE两条高，交E于点求证： AH=2BD由△ AHE≌△ BCE,得 BC=AH18. 如图，△ ABC中， AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30°求证： AD=DC作AF⊥BD于 F,DE⊥AC于 E可证得∠ DAF=DAE=15°,所以△ ADE≌△ ADF B得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,DH，且 AE=BEAHB DAEFDCCEC所以 AE=EC,所以 DE是 AC的中垂线 , 所以 AD=DC19. 如图，等边△ ABC 中，分别延伸 BA 至点 E ，延伸 BC 至点 D ，使 AE=BD求证： EC=EDE延伸 BD 到点 F, 使 DF=BC,A可得等边△ BEF,BCD F只要证明△ BCE ≌△ FDE 即可20. 如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延伸线交于点F ，DC 、 AB 的延伸线交于点 E ，∠ E 、∠ F 的均分线交于点 H求证： EH ⊥FHF延伸 EH 交 AF 于点 G由∠ BAD+∠BCD=180° ,∠DCF+∠BCD=180° D得∠ BAD=∠DCF,CG1由外角定理 , 得∠ ∠2 MH1= 2,故△ FGM 是等腰三角形ABE由三线合一 , 得 EH ⊥。
2019年中考数学总复习第四单元三角形课时训练19全等三角形和等腰三角形练习
|夯实基础|1.如图19-21,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是()A.∠A=∠CB.AD=CBC.BE=DFD.AD∥BC2.[2016·怀化]等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为()D.16cm或20cm3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的顶角为()A.50°B.130°C.50°或130°D.40°或140°4.[2016·荆门]如图19-22,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长A.5B.65.[2017·南充]如图19-23,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)6.[2018·湖州]如图19-24,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE 的度数是()A.20°B.35°C.40°D.70°7.[2016·德州]如图19-25,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A.65°B.60°C.55°D.45°8.如图19-26,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为()A.48°B.36°C.30°D.24°9.[2016·泰安]如图19-27,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°10.[2018·包头]如图19-28,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为()A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°11.[2016·南充]如图19-29,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE 的长为()12.[2015·湖州]如图19-30,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于()A.10B.7C.5D.413.[2018·淄博]如图19-31,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为()A.4B.6C.4D.814.[2016·淮安]如图19-32,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN 为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有()C.3个D.3个以上①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.C.①③④D.②③④16.[2018·金华]如图19-34,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是.17.[2018·成都]等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角的度数为.18.[2017·北京]如图19-35,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S=1,则S19.[2016·长沙]如图19-36,在△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为.20.如图19-37,在△ABC中,AB=AC,BC=5,BD为AC边上的中线,且将△ABC的周长分成两部分,这两部分的差为3,则腰长为.21.如图19-38,矩形ABCD的周长为16,点E,F分别在边AD,AB上,EF=EC,∠FEC=90°.若DE=2,则22.[2017·扬州]如图19-39,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC.若BP=4cm,则EC=cm.23.[2012·包头]如图19-40,将△ABC纸片的一角沿DE向下翻折,使点A落在BC边上的点A'处,且DE∥BC.下列结论:①∠AED=∠C;②=;③BC=2DE;④S△DBA'△EA'C图19-4024.[2017·宁夏]如图19-41,在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N.25.[2017·莱芜]已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.(1)如图19-42①所示,连接AE,BD.试判断线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由;(2)如图19-42②所示,连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE和AF 的数量和位置关系,并说明理由.|拓展提升|26.如图19-43,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别为∠BAC和∠ABC的平分线,交点为O.若OD=a,△ABC的周长为b,则△ABC的面积为()A.abB.abC.2abD.27.如图19-44,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积()D.先由小变大,后由大变小28.[2018·包头一模]如图19-45,等边三角形ABC的边长为9cm,点M,N同时从点A出发,均以1cm/s 的速度分别沿AB,AC向点B,C运动,设运动时间为t s,以MN为边,在等边三角形ABC内部作正方形MNPQ,当点P到BC边的距离等于(3-3)cm时,t=.29.[2018·包头样题三]如图19-46,O是等边三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',连接AO',下列结论:①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转=6+3;⑤S+S=6+.其中正确的是.(填写60°得到;②点O与O'的距离为4;③∠AOB=150°;④S所有正确结论的序号)参考答案6.B[解析]∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.7.A8.A[解析]∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.9.D10.D[解析]由∠C+∠BAC=145°得∠B=35°.由AB=AC知∠B=∠C=35°.由等腰直角三角形的性质可得∠AED=45°.又∵∠AED=∠EDC+∠C,∴∠EDC=45°-35°=10°.11.A所以△BCE的面积=BC·EK=×5×2=5.故选C.13.B[解析]∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB.∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC.∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠AMC,∴∠AMN=∠ACB=∠ANM.∵∠A=90°,∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3.∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.14.D15.D16.答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等[解析]已知两角对应相等,可考虑全等三角形的判定方法ASA或AAS.故答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等.17.50°或80°18.3[解析]由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.由M,N分别为AC,BC的中点,得==,∴=2=.∵S=1,∴S=4S=4,∴S19.1320.821.322.(2+2)[解析]根据“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=4.根据折叠的性质可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=4,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=PC=(8+4-4)=2+2.23.4[解析]由折叠的性质可得AD=A'D,AE=A'E.∵DE∥BC,∴∠AED=∠C,故①正确.∵DE∥BC,∴=,∴=,故②正确.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠A'DE=∠BA'D.∴BD=A'D=AD,即D是AB的中点.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴S=S=S,△A'DE∴S=S+S=S,故④正确.故答案为4.24.[解析](1)连接AP,将△ABC分割成两个三角形,结合等边三角形的三条边相等,利用面积公式,即可求证结论;(2)设BP的长为x,利用面积的和差关系,将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示,将几何问题转换成代数式求最值问题,在此即是S关于x的二次函数,运用配方法求出最值.解:(1)证明:连接AP.∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.设BC边上的高为h.∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴S=S+S=AB·PM+AC·PN=BC·(PM+PN).又∵S=BC·h,∴PM+PN=h,即不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.(2)设BP=x.在Rt△BMP中,∠BMP=90°,∠B=60°,BP=x,∴BM=BP·cos60°=x,MP=BP·sin60°=x,∴S=BM·MP=·x·x=x.∵PC=2-x,同理可得:S=(2-x).2∴S∴当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,是.25.[解析](1)通过证明Rt△ACE≌Rt△BCD即可解决;(2)通过证明△EBD≌△ADF即可得解.解:(1)AE=BD,AE⊥BD.理由:由题意可知,CA=CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD=90°,∴Rt△ACE≌Rt△BCD,∴AE=BD.如图①,延长DB交AE于点M.∵Rt△ACE≌Rt△BCD,∴∠AEC=∠BDC.又∵∠AEC+∠EAC=90°,∴∠BDC+∠EAC=90°,理由:如图②,设ED与AF相交于点N,由题意可知,BE=AD.∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC,∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC,∴∠EBD=∠ADF.又∵DB=FD,∴△EBD≌△ADF,∴DE=AF,∠E=∠FAD.∵∠E=45°,又∠EDC=45°,∴∠AND=90°,∴DE⊥AF.26.A27.C[解析]如图,设DE与AC交于点N,DF与BC交于点M,连接DC.∵CA=CB,D为AB的中点,∴DC⊥AB.∵∠ACB=90°,∴BD=DC=AD,∴∠B=∠DCN=45°.∵∠BDM+∠MDC=90°,∠MDC+∠CDN=90°,∴∠BDM=∠CDN,∴△BDM≌△CDN.同理,△AND≌△CMD,∴S=S+S=S,∴图中阴影部分的面积S=S△ABC28.329.①②③⑤。
等腰三角形典型例题练习含答案
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性质：两腰相等，底边与两腰之间 的比例为固定值
应用：在几何问题和实际问题中， 利用等腰三角形的边长比例解决问 题
等腰三角形的边长计算
等腰三角形的两 腰相等，底边与 两腰之间的夹角 相等。
等腰三角形的边 长关系可以根据 勾股定理进行计 算。
等腰三角形的高、 中线和角平分线 等性质可用于计 算边长。
等腰三角形的角度关系
第四章
等腰三角形的角度性质
等腰三角形的顶角与底角互 补，即它们的角度之和为 180度。
等腰三角形的两个底角相等， 即两个角大小相等。
等腰三角形的一个角为顶角， 其余两个角为底角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的一个角为底角， 其余两个角为顶角，且三个 角度之和为180度。
等腰三角形的角度计算
等腰三角形两底角相等，角度和为180度 顶角与底角的角度关系：顶角 = 180度 - 2 × 底角度数 等腰三角形的高、中线和角平分线重合 等腰三角形中的角度计算可以通过三角函数或勾股定理进行求解
等腰三角形的角度证明
等腰三角形两底角相等，证明方法 为取等腰三角形ABC，作底边BC的 中点D，连接AD，则 ∠BAD=∠CAD。
自然界：蜂巢、蜘蛛网等自然现象 中经常出现等腰三角形的形状。
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建筑学：等腰三角形在建筑设计中 有广泛的应用，如金字塔、塔楼等。
艺术创作：等腰三角形在绘画、雕 塑和图案设计中常被用作基本构图 元素。
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和平衡 建筑结构：等腰三角形在建筑设计中用于增强结构的稳定性 机械零件：等腰三角形的特殊性质使其在某些机械零件中具有特殊用途 自然界中的等腰三角形：例如蜂巢、蜘蛛网等自然现象中存在等腰三角形的实际应用
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析
2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。
则A，B，C，D的面积的和等于 ()A、B、C、D、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A、B、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A、B、C、D、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（xx•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（xx•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（xx•黔东南州）xx年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（xx•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（xx•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（xx•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（xx•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n 的值．22、（xx•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（xx•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（xx•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。
中考数学复习方案第四单元三角形第20课时等腰三角形
[解析(jiě xī)]由AB=AC可得△ABC是等腰
) 三角形,根据等腰三角形的“三线合一”
A.BC
B.CE
性质可知点B与点C关于直线AD对称,因
C.AD
D.AC
此连接CP,则BP=CP,所以BP+EP的最小
值为CE,故选B.
图20-8
第十七页，共三十三页。
基
础
知
识
巩
固
3.[2018·娄底]如图20-9,△ABC中,AB=AC,
60°
;
性质 (2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;
(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥
3
条对称轴
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);
判定 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
面积 S=
3
4
a2,a是等边三角形的边长
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=36°,∴∠ABD=∠EDB=∠A,
∴AD=BD,EB=ED,即△ ABD 和△ EBD 是等腰三角形.
∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,
即△ BCD 是等腰三角形.
∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,
[答案(dáàn)] A
△ABC中,BO和CO分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB, [解析]∵BO平分∠ABC,
过O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若
∴∠DBO=∠OBC.∵DE∥BC,
BD+CE=5,则线段DE的长为(
∴∠DOB=∠OBC,
河北省石家庄市2019年中考数学总复习第四章三角形第四节等腰三角形与直角三角形同步训练
第四节等腰三角形与直角三角形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(xx·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A．5 B．6 C．7 D．82．(xx·石家庄二十一县模拟)如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C＝90°，∠A＝35°，则∠DBC的度数是( )A．40° B．30° C．20° D．10°3．(xx·淄博)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为( )A．4 B．6 C．4 3 D．84．(xx·黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )A．2 B．3 C．4 D．235．(xx·福建A卷)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15° B．30° C．45° D．60°6．(2019·易错)如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD＋PE＋PF＝( )A．12 B．8 C．4 D．37．(xx·遵义)如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝________度．8．(xx·广西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．9．(2019·特色)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，△BCD是等边三角形，点D在AB的垂直平分线上，则∠A＝________．10．(xx·秦皇岛海港区一模)如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE＋PC的最小值为________．11．(xx·天津) 如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G 为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．12．(xx·唐山丰南区二模)已知一个三角形的周长为38，第一条边长为a，第二条边比第一条边的2倍多3.(1)用含a的代数式表示第三条边；(2)若该三角形为等腰三角形，求a的值；(3)若a为正整数，此三角形是否为直角三角形？说明理由．13.(xx·嘉兴) 已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．1．(xx·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个2．(xx·十堰)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为________．3．(xx·深圳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF ＝4，EF＝2，则AC＝________．4．(2019·原创)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达点B即停止运动，点M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t s.(1)MN与AC的数量关系是________；(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．参考答案【基础训练】1．A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.37 8.3 9.30° 10.12013 11.19212．解：(1)第二条边：2a ＋3； 第三条边：38－a －(2a ＋3)＝35－3a.(2)由三边关系可知⎩⎨⎧a ＋2a ＋3＞35－3a a ＋35－3a ＞2a ＋3，解得：513＜a ＜8.∵a≠2a＋3，∴分两种情况：①a＝35－3a ，解得a ＝834，不符合三边关系，舍去；②2a＋3＝35－3a ，解得a ＝625，符合三边关系，∴a ＝625.(3)不能为直角三角形，理由如下： ∵513＜a ＜8且a 为正整数，∴a＝6或7. 当a ＝6时，三边为：6、15、17，62＋152≠172，不是直角三角形； 当a ＝7时，三边为：7、17、14，72＋142≠172，不是直角三角形． 13．证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.∴△ABC是等边三角形．【拔高训练】1．B 2.163 3.81054．解：(1)MN ＝12AC ；【解法提示】∵M ，N 分别是AD ，CD 的中点， ∴MN 是△DAC 的中位线， ∴MN∥AC，MN ＝12AC.(2)点D 从A 向B 运动的过程中，MN 扫过的图形是平行四边形，其中底边长MN ＝12AC ＝3，高为BC ＝8，则MN 扫过的面积为3×8＝24.(3)在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB ＝10. 要△DMN 是等腰三角形，则需分三种情况讨论． ①DM＝DN ，此时∠DMN＝∠DNM，∵MN∥AC，∴∠DMN＝∠A，∠DNM＝∠DCA ， ∴∠A＝∠DCA，∴DA＝DC.∵∠B＝90°－∠A，∠DCB＝90°－∠DCA， ∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC ， ∴点D 是AB 的中点，则t ＝5.②DM＝MN ，则DM ＝3＝AM ， ∴AD＝6，则t ＝6；③DN＝MN ，则DN ＝NC ＝MN ＝3，∴DC＝AC ＝6，连接CM ，如解图，∵M 是AD 的中点， ∴CM⊥AD.∴AM＝AC×cos A ＝6×35＝185，则AD ＝2AM ＝365，∴t＝365.综上：当△DMN 是等腰三角形时，t 的值为5，6或365.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
精选2019年中考数学总复习第四单元三角形课时训练20等腰三角形练习
课时训练(二十)等腰三角形(限时:30分钟)|夯实基础|1.如图K20-1,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 ()图K20-1A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°2.[2017·南充]如图K20-2,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()图K20-2A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)3.[2017·雅安]一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是()A.12B.13C.14D.12或144.[2018·淄博]如图K20-3,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为()图K20-3A.4B.6C.4D.85.[2017·天津]如图K20-4,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是()图K20-4A.BCB.CEC.ADD.AC6.[2016·无锡]如图K20-5,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是()图K20-5A.B.2C.3 D.27.[2018·临沂]如图K20-6,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E.AD=3,BE=1.则DE的长是()图K20-6A.B.2C.2D.8.[2016·淮安]已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是.9.[2018·吉林]我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作k,若k=,则该等腰三角形的顶角为度.10.[2016·泰州]如图K20-7,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于.图K20-711.[2018·遵义]如图K20-8,△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点,若∠CAE=16°,则∠B为度.图K20-812.[2018·宁波]如图K20-9,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB边上一点(点D与A,B不重合),连接CD,将线段CD 绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接DE交BC于点F,连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;。
2019年中考数学总复习 第四章 三角形 第四节 等腰三角形与直角三角形同步训练
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第四节等腰三角形与直角三角形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A．5 B．6 C．7 D．82．(2018·石家庄二十一县模拟)如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C ＝90°，∠A＝35°，则∠DBC的度数是( )A．40° B．30° C．20° D．10°3．(2018·淄博)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN 平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为( )A．4 B．6 C．4 3 D．84．(2018·黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )A．2 B．3 C．4 D．2 35．(2018·福建A卷)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15° B．30° C．45° D．60°6．(2019·易错)如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD＋PE＋PF＝( )A．12 B．8 C．4 D．37．(2018·遵义)如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B ＝________度．8．(2018·广西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．9．(2019·特色)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，△BCD是等边三角形，点D在AB的垂直平分线上，则∠A＝________．10．(2018·秦皇岛海港区一模)如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE＋PC的最小值为________．11．(2018·天津) 如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．12．(2018·唐山丰南区二模)已知一个三角形的周长为38，第一条边长为a，第二条边比第一条边的2倍多3.(1)用含a的代数式表示第三条边；(2)若该三角形为等腰三角形，求a的值；(3)若a为正整数，此三角形是否为直角三角形？说明理由．13.(2018·嘉兴) 已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．1．(2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△A BP为等腰直角三角形的点P的个数是( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．(2018·十堰)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为________．3．(2018·深圳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝2，则AC＝________．4．(2019·原创)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达点B即停止运动，点M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t s.(1)MN与AC的数量关系是________；(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．参考答案【基础训练】1．A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.37 8.3 9.30° 10.12013 11.19212．解：(1)第二条边：2a ＋3； 第三条边：38－a －(2a ＋3)＝35－3a.(2)由三边关系可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2a ＋3＞35－3a a ＋35－3a ＞2a ＋3，解得：513＜a ＜8.∵a≠2a＋3，∴分两种情况：①a＝35－3a ，解得a ＝834，不符合三边关系，舍去；②2a＋3＝35－3a ，解得a ＝625，符合三边关系，∴a ＝625.(3)不能为直角三角形，理由如下： ∵513＜a ＜8且a 为正整数，∴a＝6或7. 当a ＝6时，三边为：6、15、17，62＋152≠172，不是直角三角形； 当a ＝7时，三边为：7、17、14，72＋142≠172，不是直角三角形． 13．证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF ，∴Rt △ADE≌Rt △CDF(HL )． ∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C. ∴△ABC 是等边三角形． 【拔高训练】1．B 2.163 3.81054．解：(1)MN ＝12AC ；【解法提示】∵M ，N 分别是AD ，CD 的中点， ∴MN 是△DAC 的中位线， ∴MN∥AC，MN ＝12AC.(2)点D 从A 向B 运动的过程中，MN 扫过的图形是平行四边形，其中底边长MN ＝12AC ＝3，高为BC ＝8，则MN 扫过的面积为3×8＝24.(3)在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB ＝10. 要△DMN 是等腰三角形，则需分三种情况讨论． ①DM＝DN ，此时∠DMN＝∠DNM，∵MN∥AC，∴∠DMN＝∠A，∠DNM＝∠DCA ， ∴∠A＝∠DCA，∴DA＝DC.∵∠B＝90°－∠A，∠DCB＝90°－∠DCA， ∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC ， ∴点D 是AB 的中点，则t ＝5.②DM＝MN ，则DM ＝3＝AM ， ∴AD＝6，则t ＝6；③DN＝MN ，则DN ＝NC ＝MN ＝3，∴DC＝AC ＝6，连接CM ，如解图，∵M 是AD 的中点，∴CM⊥AD.∴AM＝AC×cos A ＝6×35＝185，则AD ＝2AM ＝365，∴t＝365.综上：当△DMN 是等腰三角形时，t 的值为5，6或365.。
2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形
2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形知识点1.等腰三角形的性质与判定：例1.如图，在ABC △中，AM BC AC AB ，，6==平分D BAC ，∠为AC 的中点，E 为BC 延长线上的一点，且BC CE =2.（1）求ME 的长；（2）求证：DMC △是等腰三角形.知识点2.等腰三角形的存在性问题：例2.如图，在矩形ABCD 中，AB BD AB 24==，，BE 平分ABD ∠，点P 从点D 以每秒2个单位沿DB 方向向点B 运动，点Q 从点B 以1个单位沿BA 方向向点A 运动，设运动时间为t 秒，BPQ △的面积为S .（1）若2=t 时，求证：PBQ DBA ∽△△；（2）求S 关于t 的函数关系式及S 的最大值；（3）在运动的过程中，BQM △能否成为等腰三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.例3.如图，若抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于B A 、，()02，A ，()10-，C .（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作x DE ⊥轴于点D ，连结DC ，当DCE △的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使ACP △为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.基础训练： 一、选择题：1.如图，在ABC △中，AC BC AB ，10=+的垂直平分线交AC AB 、于D 和E ，则BCD △的周长为（ ）6.A 8.B 10.C 12.D 2.如图，在ABC △中，BD 平分BC ED ABC //，∠，13==AD AB ，，则AED △的周长为（ ）2.A3.B4.C5.D3.如图，OC OB 、分别平分ACB ABC ∠∠、，BC MN //，若2034==AC AB ，，AMN △的周长为（ ）60.A 54.B 68.C 72.D 4.如图，在ABC △中，BC AD ⊥于点D ，︒=∠=+25C CD BD AB ，，则=∠B （ ）︒25.A ︒30.B ︒50.C ︒60.D第1题 第2题 第3题 第4题二、解答题：5.如图，在ABC △中，AC AB =，点F E D 、、分别在AC AB BC 、、边上，CE BD CF BE ==，.（1）求证：DEF △是等腰三角形；（2）求证：DEF B ∠=∠；（3）当︒=∠40A 时，求DEF ∠的度数.6.如图，点C A 、分别在GBE ∠的边BE BG 、上，GBE BE AD AC AB ∠=，，//的平分线交AD 于点D ，连接CD .（1）求证：AD AB =；（2）求证：CD 平分ACE ∠；（3）试判断BDC ∠与BAC ∠的数量关系，并说明理由.7.如图，在ABC △中，cm BC cm AC AB 1013===，，D 为BC 的中点，动点P 从点A 出发以s cm /1的速度在线段AD 上向终点D 运动，设动点运动时间为t 秒.（1）求AD 的长；（2）当PDC △的面积为215cm ，求t 的值；（3）动点M 从点C 出发以s cm /2的速度在射线CB 上运动，当M 与点P 同时出发，当点P 运动到终点D 时，点M 也停止运动，是否存在t ，使得=PMD S △12ABC S △，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.能力训练：8.如图，在ABC △中，2==AC AB ，︒=∠40B ，D 在BC 上运动（D 不与C B 、重合），连接AD ，作︒=∠40ADE ，DE 交线段AC 于E .（1）当︒=∠115BDA 时，求EDC ∠和DEC ∠的度数；（2）当DC 为何值时，DCE ABD ≌△△；（3）当BDA ∠为何值时，ADE △为等腰三角形.挑战压轴题：9.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象交x 轴于()()0201，，，B A -两点，交y 轴于()20-，C ，过C A 、画直线，点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H .（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 在x 轴正半轴上，PC PA =，求OP 的长；（3）若M 在y 轴的右侧，AOC CHM ∽△△，求点M 的坐标；（4）若⊙M 的半径为554，求点M 的坐标.2019-2020年中考数学专题练习等腰三角形7等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．分析AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．练习11．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18°2．如图，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？3．如图，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，•连结CD，则∠BDC=________．例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由．分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．练习21．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？1-1 1-51-6 1-7 1-82．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）A．BD>BA B．BD<BA C．BD=BA D．无法确定3．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF与EF 相等吗？为什么？例3已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．分析要说明一个三角形是等边三角形，•只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．1-9练习31．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．1-102．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？1-11 3．已知：如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．例4已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，•常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，1-13练习41．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？2．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，•说明CE与AC+CD相等的理由．3．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，•以BD•为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）1-16例5已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB ，那么CE 是CD的几分之几？分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．解：延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．1-17练习51．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、•AD交于点P．过B作BQ⊥AD 于Q，请说明BP是PQ的2倍．1-182．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE•是BD的几分之几？1-193．已知：如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，•那么AH是BD的________倍．1-20答案:练习11．解：设∠DEC=x，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x）∵AB=AC，∴∠B=∠C∴2x=30°，x=15°，故选C．2．解：∵AB=BB′，∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．又∠CBB′=∠DBB′，∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．∵AA′平分∠EAB．∴∠A′AB=12（180°-x）．又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x∴12（180°-x）=180°-8x．∴x=12°，故∠ACB=36°．3．解：如图，作△AED≌△BAC，连结EC．则∠AED=∠BAC=20°，∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°．又∵AB=AE=AC，∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°．∴∠EDC=12（180°-∠DEC）=70°．∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．练习21．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°．在Rt△DEB与Rt△FEC中，∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．∵∠FDA=∠BDE，∴∠FDA=∠F，故AD=AF．2．解：以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．则∠1=∠2=∠3=60°．∴AE=ED=AD．∵∠DAC=15°，∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°．∴∠DAC=∠EAB．又∵DA=AE，AB=AC，∴△EAB≌△DAC．∴∠EBA=∠DCA=15°．∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．∴∠BEA=∠BED．又∵EB=EB，AE=ED．∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．故选择C．3．解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，∴△ADC≌△BDE．∴AC=BG，∠G=∠EAF，又∵BE=AC，∴BE=BG．∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．练习31．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．又∵BD=AF=CE，∴△ABD≌△BCE≌△CAF．∴∠1=∠2=∠3．∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．即∠CAK=∠ABG=∠BCH．又∵AB=BC=CA，∴△ABG≌△BCH≌△CAK．∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．即∠KGH=∠GHK=∠GKH．故△GKH是等边三角形．2．解：由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知：CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，故△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．又DM=12AD，EN=12BE，∴△DCM≌△ECN．∴∠DCM=∠ECN，CM=CN．又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．∴△CMN是等边三角形．3．解：连结BP．∵△ABC与△CDP均为等边三角形，∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．∴∠1=∠2，∴△ADC≌△BPC．∴∠CBP=∠DAC=60°．∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，∴R、B、P三点共线．又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，∴R、A、Q三点共线．而AQ=AE=AD=BP，∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．练习41．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC，即12AB·CF=12AB·PD+12AB·PE．∴CF=PD+PE．2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，∴△AEC≌△ADB．∴CE=BD．又∵BD=BC+CD=AC+CD．∴CE=AC+CD．3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．∴△ABE≌△CBD．∴AE=CD．又∵AB=AC，∴AD=AC+CD=AB+AE．练习51．解：∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．2．解：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，∴△BEC≌△BEF．∴BC=BF，CE=EF，∴CE=12CF．又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4，∴∠2=∠5，且AB=AC．∴Rt△AFC≌Rt△ADB．∴CF=BD．故CE=12 BD．3．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∠DAC+∠C=90°．又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°．∴∠DAC=∠EBC．在△AEH和△BEC中，∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．又BC=2BD，故AH=2BD．。
初三中考数学复习 等腰三角形 专项基础训练题 含答案
初三中考数学复习等腰三角形专项基础训练题含答案2019 初三中考数学复习等腰三角形专项基础训练题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为( ) A．30° B．40° C．45° D．60°3. 在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为( )A．2 B．3 C．4 D．54. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A．a＝3，b＝3，c＝4B．a∶b∶c＝2∶3∶4C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶25.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 是∠ABC 的平分线．若在边 AB 上截取BE=BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有（）A．2 个B．3 个 C．4 个 D．5 个6. 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7. 有两个角等于60°的三角形是三角形；有一个角等于60°_______的三角形是等边三角形.8. 在△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝_____________时，△ABC是等腰三角形．9. 如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且AE＝CD＝BF，则△DEF为_______三角形．12. 2013. 45°14. 1315. 解：∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝65°，∴∠ACE＝180°－∠CAE－∠E＝50°，∵AB∥EF，∴∠CAB＝∠ACE＝50°.16. 解：∠ADC的大小不变．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°.∵BD＝AB＝BC，∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD.∵∠BDA＋∠BAD＋∠BDC＋∠BCD＋∠ABC＝360°，∴2∠BDA＋2∠BDC＋60°＝360°，∴∠BDA＋∠BDC ＝150°，即∠ADC＝150°.。
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课时训练20 等腰三角形限时：30分钟夯实基础1．如图K20－1，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()图K20－1A．5B．6C．8D．102．已知实数x，y满足|x－3|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A．12或15B．12C．15D．以上答案均不对3．[2017·荆州]如图K20－2，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为()图K20－2A．30°B．45°C．50°D．75°4．[2017·枣庄]如图K20－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为()图K20－3A．15B．30C．45D．605．[2018·桂林]如图K20－4，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．图K20－46．[2018·长春]如图K20－5，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为度．图K20－57．[2018·镇江]如图K20－6，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝°．图K20－68．[2018·绍兴]数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A ＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．能力提升9．[2018·宁德质检]如图K20－7，已知等腰三角形ABC，AB＝BC，D是AC上一点，线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF，则下列关系式正确的是()图K20－7A．∠AFE＋∠ABE＝180°B．∠AEF＝∠ABCC．∠AEC＋∠ABC＝180°D．∠AEB＝∠ACB10．[2018·吉林]我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为度．11．[2018·青海]如图K20－8，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△DEC，连接AD，若∠BAC＝25°，则∠BAD＝．图K20－812．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．13．如图K20－9，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，FE ＝FD．求证：AD＝CE．图K20－9拓展练习14．[2018·厦门质检]在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿∠B的平分线折叠，使点A落在BC边上的点D处，设折痕交AC边于点E，继续沿直线DE折叠，若折叠后，BE与线段DC相交，且交点不与点C重合，则∠BAC的度数应满足的条件是．15．[2018·青海]请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题．(1)探究1：如图K20－10，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)图K20－10(2)探究2：如图K20－11，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．图K20－11(3)探究3：如图K20－12，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．图K20－12参考答案1．C2．C3．B[解析] 根据三角形的内角和定理，求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠ABD＝∠A＝30°，从而得出∠CBD＝45°．4．B[解析] 由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB·DE＝×15×4＝30．故选B．5．3[解析] ∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴△BCD是等腰三角形，又∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形，故有3个等腰三角形．6．37[解析] ∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ACB＝(180°－32°)÷2＝74°，由尺规作图知，CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，又∵∠CBD＋∠CDB＝∠ACB，∴∠CDB＝∠ACB＝37°．7．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF．(2)758．解：(1)当∠A为顶角时，∠B＝50°，当∠A为底角时，若∠B为顶角，则∠B＝20°，若∠B为底角，则∠B＝80°，∴∠B＝50°或20°或80°．(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个．②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝°，若∠A为底角，则∠B＝x°或∠B＝(180－2x)°，当≠180－2x且≠x且180－2x≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上①②，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．9．B10．36[解析] 如图，在△ABC中，AB＝AC，设∠A＝α，则∠B＝∠C＝(180°－α)，由k＝，可得(180°－α)＝2α，解出α＝36°．11．70°[解析] ∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC＝CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝25°＋45°＝70°．12．69°或21°13．证明：如图，过点D作DM∥BE，交AC于点M．则有∠MDF＝∠E．在△MDF与△CEF中，∵∠MFD＝∠CFE，FD＝FE，∠MDF＝∠E，∴△MDF≌△CEF，∴DM＝CE．∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DM∥BC，∴∠ADM＝∠B＝60°，∠AMD＝∠ACB＝60°，∴△ADM为等边三角形，∴DM＝AD，∴AD＝CE．14．100°＜∠BAC＜180°15．解：(1)证明：如图，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°，又∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°，∴∠EDB＝45°，∴∠A＝∠DBE，∠ABC＝∠BDE，由旋转得AB＝DB，∴△ABC≌△BDE(ASA)，∴DE＝BC＝a，∴S△BCD＝×BC×DE＝a2．(2)S△BCD＝a2，理由：如图，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E．∴∠BED＝∠ACB＝90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°．∴∠ABC＋∠DBE＝90°．∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，∴△ABC≌△BDE(AAS)．∴BC＝DE＝a．∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2．(3)如图，过点A作AF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠FAB＋∠ABF＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD．在△AFB和△BED中，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF＝DE＝a．∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a×a＝a2．∴△BCD的面积为a2．。