第五章 空间力系资料重点
第5章空间力系与重心讲解
第5章空间力系与重心教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。
教学要求：本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。
(1) 空间汇交力系的概念(2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算(3) 空间力偶系(4) 空间力系的简化(5) 空间力系的平衡条件和平衡方程(6) 物体的重心5.1力在直角坐标轴上的投影已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即F x＝±ab符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。
已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。
过力的两端点A、B分别作平面Q的'称为力F在平面Q上的投影。
应注意的是力在垂直线AA′、BB′，则矢量BA'平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。
(a) (b)图5.1图5.2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。
如图5.2(a)所示，过力F的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。
设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαc o s c o s c o s F F F F F F z y x (5－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图5.2（b ）所示。
设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγc o s s i n s i n c o s s i n F F F F F F z y x (5－2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。
静力学第五章 空间力系《工程力学》(一)
V
z C1 C
Ci
V y dV ,
V
o
y1 x
P ΔP1 ΔPi z1 zC zi yC yi x1 xC
y
xi
zC
V
z dV V
33
若为平面图形，则
5.4.1 重心的概念及其坐标公式
（1） 重心的概念
地心对物体的吸引力称为物体的重力，其大小是物体的 重量。 物体重力的作用点称为物体的重心。
（2） 重心坐标公式
Fi xi Fi yi Fi zi xC , yC , zC Fi Fi Fi
Pxi Pi yi Pzi i i xC , yC , zC Pi Pi Pi
F z x Fz
y
Fxy F sin
Fx F sin cos
Fx
Fxy
Fy
F y F sin sin
7
求图示正立方体上的力F 在x y z三个坐标轴上的投影
z z
F
q
y x z
F
q
x
z
y
F
F
y x
y x 思考：力在坐标轴上的投影与
Fx q
F q x
y
i
A
y3 0 \ \ \ A3 r
2
38
（5） 用实验方法测定重心的位置 1）悬挂法 2）称重法
39
40
车削工件
41
ER
空间力系
o •d xy
B A
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
z A
F
o•d 过o点作xy平面的垂线z轴. xy F对o点之矩,可以看作是F对z轴之矩.
若力为任意将力分解为Fxy和Fz.
m (F) = m (F ) z 0 xy
z
F z
F
F xy
= ±F d xy
m 2
yz平面
∑m
Z
A
=0 −50Q +200F B +300F =0 z Z Z
F B = 2040N Z
x z y
∑F =0 Q +F
z
ZA
+F B +F =0 Z Z
FA Z
FA Y
FB Z
F A =385N Z
F y
∑F =0
Y
F A −F = 0 Y y
F A =352N Y
Q z
F z
解:作受力简图图示.
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
m 2
x
解:作受力简图图示.
∑m =0
Y
m −m =0 1 2
100Qcos20 −50F = 0 z
0
z y x
m 1
Q x
z y
FA Z FA X FA Y FB X
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
第五章空间力系
力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力 ,力 在三根轴上的分力 用点的坐标 x, y, z ， ， ，力 作
求：力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
（5-7）
= =
+0
（5-8）
= =
+ 0 （5-9）
比较（5-5）、（5-7）、（5-8）、（5-9）式可得
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
0 0 0
FOx Fx 0
FOy Fy 0
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效
(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
如同右图
有
为合力偶矩矢，等于各分 力偶矩矢的矢量和。
合力偶矩矢的大小和方向余弦
又： Fr 0.36 F , 结果：F 10.2kN, F 3.67kN,
FAx 15.64kN, FAz 31.87kN, FBx 1.19kN, FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
研究对象2：工件 受力图如图 列平衡方程
F F F
x y
力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2)方向:转动方向
(3)作用面：力矩作用面。
（ 5 –3 ） 即：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢 径与该力的矢量积。
空间力对点之矩特征
• （1）力对点之矩依赖于矩心的位置，是定位 矢量。矩心相同的各力矩矢量符合矢量合成 的平行四边形法则。 • （2）力矩的大小 MO ( F ) F h 2SOAB （3）力矩的方向 力矩矢量的方位沿力矩作用面的法线，指向 由右手螺旋法则确定，即以右手四指弯曲的 方向表示力矩的转向，大拇指的指向即表示 力矩矢量的指向。 或：从这个矢量的末端来看，物体有该力所 引起的转动是逆时针方向。 力对点之矩矢量以带圆弧箭头的有向线段表示。
五、空间力系
F1
z
F2
o x
y
Fn
FR F
7
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FRx cos FR
二、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等
于零。由此得平衡方程：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
A
a
M C
B
P
a
D
y
3
m
DD '
F3 2P 0;
F3 F 4 1A´ a F2 F
D´
F5
C´
F6
B´
y
x
2 F5 a Pa M 0, 2
F5 2 2P
27
m
C 'D'
0;
z
B P A F1 F5 0, F1 2 2P a M F6 mBD 0; D C F5 F3 F 2 B´ 4 F 2 P F F4 F5 0, 4 a F2 1A´ y 2 D´ C´ mB'C ' 0;
'
o x
mn
=
y
m2
F
' n
o x
y
F1' F1 F2' F2 ; ; m1 mo ( F1 ) m2 mo ( F2 )
Fn' Fn mn mo ( Fn )
14
F1
z
F2
z
o x
=
y
Fn
F1
'
m1
Mo
F2'
z
第5章 空间任意力系
例5-8 已知：Fx 4.25N,Fy 6.8N, Fz 17N, Fr 0.36 F , R 50mm , r 30mm 各尺寸如图
求： (1) Fr , F （2）A、B处约束力（3）O 处约束力
解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图
F F F
x y
0 0 0
物体的重心（形心）与静矩 1． 计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
有 对x轴用合力矩定理
有
再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为 （4–14） 对均质物体，均质板状物体，有
称为重心或形心公式
2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2） 称重法
例5-2,有点问题？ 已知： 物重P=10kN，CE=EB=DE； 30 求：杆受力及绳拉力
0
，
解：画受力图如图， 列平衡方程
F F F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0 F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 结果： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
求：力
对 x, y, z轴的矩
=0
=
= =
+0
-
= =
则
+ 0
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
§5–2 空间任意力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、 主矩分别为零。 1.空间任意力系的平衡方程
静力学5(空间力系)
空间二力偶等效的条件是 ______，图示长方刚体，仅受二力偶 作用，已知其力偶矩矢满足 M1=M2,该长方体是否平衡？
土建06级A卷
—间力系 静力学 空
其合力偶矩矢: M = 60i + 12 j + 16k ( N .m) 合力偶矩大小 M = 60 2 + 12 2 + 16 2 = 63 .25 ( N .m )
空间力偶系
2、力偶的性质
(1 ）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 —间力系 静力学 空
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改 变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚 体的作用效果不变。 只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 (4) (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
M O ( F ) = M x ( F )i + M y ( F ) j + M z ( F )k
例 手柄ABCE在平面Axy内,F在垂直于y轴的平面 内,AB=BC=L,CD=a.试求力对x、y和z三轴之矩及对A 点之矩。 解： Fz = F cos α F = F sinαx—Fra bibliotek力系 静力学 空
*力与轴平行或相交时，力对该轴的矩等于零。
力对轴的矩等于该力在与轴垂直的平面上的投影 对轴与平面交点之矩。 代数量
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
[M O (F )]z = M O (F ) ⋅ k
= M O ( F ) ⋅1 ⋅ cos γ = 2∆OAB ⋅ cos γ = 2∆Oab = M z (F )
第五章 空间力系和重心
课题: 第5章空间力系和重心一、教学目的：会计算空间力对轴之距，掌握空间力系平衡问题分解为三个平面的平面力系平衡问题求解，会利用组合法求解稍复杂图形的重心和形心。
二、教学重点：力对轴之距。
三、教学难点：空间利力系的平衡问题。
四、教学时数：4 学时，其中实践性教学4 学时。
五、习题：六、教学后记：教学内容：5．1 力在空间直角坐标系上的投影一．一次投影法已知力F 与x 、y 、z 三个从标的正向夹角分别为γβα,,。
⎪⎩⎪⎨⎧===γβαcos cos cos F Z F Y F X F Z F Y F X ===γβαcos ,cos ,cos二．二次投影法 先将F 投影到期xoy 平面内Fxy 。
（Fxy 与x 夹角ϕ）F 与Z 夹角γ。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===γϕγϕγcos sin sin cos sin F Z F Y F XF 可沿X ，Y ，Z 三轴分别为F x ，F y ，F z 。
5．2 力对轴之距一．力对轴的矩：即此力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。
表示力：()()d F F M F M S S O Z ⋅±===符号规定。
讨论：二．合力矩定理合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴之矩的代教和，()()Fi M R M Z Z ∑=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⇒为负负向为正正向轴的姆指力的转动方向四指右手螺旋法则M M ::⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==.,200:1面的交点的矩平面上的分力对轴和平的可以看成力在垂直于轴力时轴的矩平行相交当力与转轴共面时Z Z M M5．3 空间力系的平衡方程及应用一．空间力系向任一点消化结果主矢：F R ∑=0 主矩： ()F M m 00∑= 用投影表示（常用）⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=Z R YR X R z y x 000 ⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=mz M my M mx M Z Y X 000（三个坐标轴上的投影） （外力对轴之矩的代数和）二．空间一般力系的平衡条件()⎩⎨⎧=∑==∑=00000F M M F R即： ⎩⎨⎧=∑=∑=∑=∑=∑=∑000000z y x M M M Z Y X充分必要条件：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和以及对三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。
静力学(空间力系)
F Fz
2,力与轴线平行 ,
Fx Fy
力对轴之矩的两个要素 1,大小 , 2,转向(两种可能) ,转向(两种可能) 力对轴之矩为代数量
力对轴之矩代数量的正负号
按照右手螺旋法则决定之 右手螺旋法则决定之) (按照右手螺旋法则决定之)
§5.3 空间任意力系的简化
y F1 O F2 F3 = z F3/ M1 M2 F1/ O M3 F2/ x = z O y Mo FR/ x
空间任意力系的平衡条件为: 空间任意力系的平衡条件为: 主矢和主矩都等于零, 主矢和主矩都等于零,即 F
上述公式的投影方程为: 上述公式的投影方程为:
R
= 0 MO = 0 ,
x y
∑F ∑F ∑F
x y
=0 =0 =0
z
∑M (F) = 0 ∑M (F) = 0 ∑M (F) = 0
z
空间任意力系有六个独立的平衡方程, 空间任意力系有六个独立的平衡方程, 可以解得六个未知量. 可以解得六个未知量.
福州大学机械工程及自动化学院
Fa
r
z
D
Fr
E
1m
Ft
B
G
3m
MZ
A
y
x
工程力学教学课件—— 工程力学教学课件—— 静力学
因此,共有 个未知力 它们分别为: 个未知力. 因此,共有8个未知力.它们分别为:
Fa
E
r
z
D
FAx
FBx Ft
FAy FAz FBy
Fr
Ft
B
Fr
Fa
FBx
FBy
G
需要8个相互独立的方程才可以求解 需要 个相互独立的方程才可以求解 平衡方程只有6个 平衡方程只有 个 但由于大锥齿轮D上承受的啮合反力 但由于大锥齿轮 上承受的啮合反力 3个分力存在比例关系,相当于补充 个分力存在比例关系, 个分力存在比例关系 了两个方程
理论力学5章空间力系(交)
[ M O ( F )]x M x ( F ) [ M O ( F )] y M y ( F ) [ M O ( F )]z M z ( F )
即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。
例题1
手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如
图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。 如果CD=b ，杆BC平行于x 轴,杆 CE平行于y 轴，AB和 BC的长 度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
解： 解: 应用合力矩定理求解。力F 沿坐标轴的投影 分别为：
Fx F sin Fy 0 Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD F l bcos
M y F M y FZ Fz BC Fl cos
M z F M z Fx Fx AB CD F l bsin
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fy Fx Fz cos(FR , i ) ,cos( FR , j ) ,cos( FR , k ) FR FR FR
2. 平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力等于零。
A(x,y,z) y
大小： M
O
( F ) Fh
x 矢量的方位：与作用平面法线 方向相同
定位矢量！
矢积表达式
z B MO(F)
M O (F ) r F
以矩心O为原点建立坐标系，则
F
A(x,y,z) y
r xi y j z k
05 空间力系理论力学
已知：F，l，a，q。求： M x (F )
a l
q
M y (F )
M z (F )
解：
把力 F 分解如图 M x F F l a cos q M y F Fl cos q
M z F F l a sin q
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
例3-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
C
解： 各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图。
F OC
O
y
B
F OB
A
F OA
z
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
P
§3–2
力对点的矩和力对轴的矩
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素：
(1）大小:力 F 与力臂的乘积
（2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) yFz zFy
x
M O ( F ) zFx xFz
y
M O ( F ) xFy yFx
Fn F xy y F b y
已知： Fn , b , 求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
z F z x
F x
F n
F z
x
工程力学_05空间力系
0, MO 0 时，空间力系为平衡力系。 当 FR
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各 个力的矢量和，并与简化中心的选择无关。 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩， 并等于力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并 与简化中心的选择有关。
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。
空间汇交力系
空间任意力系
空间力偶系
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
空间任意力系：作用线在空间任意分布的力系。 一、空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，
Fx 0, FAx Fx 0 (1) Fy 0, FAy Fy 0 (2) Fz 0, FAz Fz 0 (3) M x ( F ) 0, M y ( F ) 0, M z ( F ) 0,
FAz MAz
O
z
MAy FAx
FAy Fz
y 200 Fy
MAx
M Ax 0.075Fz 0 M Ay 0.2 Fz 0
x 75 Fx
M Az 0.075Fx 0.2 Fy 0
P 20 kN
§5–2 空间任意力系的平衡条件
解题步骤、技巧与注意问题： 1、解题步骤： ①选研究对象
O
11
§5–1 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
三、补充:空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
第5章空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影 §5–2 力对空间坐标轴之矩 §5–3 力对点之矩 §5–4 空间一般力系的平衡条件 §5–5 重心
5- 1
M L
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
一、一次投影法
FX X F cos , FY Y F cos , FZ Z F cos
还有四矩式，五矩式和六矩式，
同时各有一定限制条件。
25
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 m z ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0 均成为了恒等式。
9
六、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
10
§5-4
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量。
11
二、空间力偶的等效定理
作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相 同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 [证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
第五章空间力系(6学时)
第五章空间力系（6学时）
教学目标：
通过本章的学习，使学生了解各种力系的简化，掌握力在空间直角坐标系上的投影，重新再学习力对点之矩的概念（将平面力对点之矩视为特例），做到融会贯通。
了解力对点之矩和力对轴之矩的关系，掌握力对轴之矩的计算。
最终使学生熟练掌握空间任意力系及其特殊力系平衡问题的解法，熟练灵活地运用平衡方程的各种形式。
教学重点：
空间任意力系的受力分析，任意力系平衡问题的解法，平衡方程的各种形式及灵活运用。
教学难点：平衡方程的灵活运用。
学习内容1：(2学时)
1、力在直角坐标轴上的投影，空间汇交力系的合成与平衡（教材P76起）
例题：5-1
2、再继续学习“主矢与主矩.MP4”
注意：学习力对点之矩和力对轴之矩
例题：5-3
3、主矢量和主矩例题1-3.MP4（学习例题2、3，一定要掌握例题3的第二个方法）
思考题1：
1、再次理解主矢和合力的区别与联系
2、
学习内容2：(2学时)
1、空间力偶系.MP4
2、刚体系平衡-组合结构.MP4（通过实例讲空间力系的简化）
3、力系简化结果的分析.MP4
4、平衡方程.MP4
5、学习常见空间约束，教材P88表5-1
思考题：P96: 5-1、5-2、5-4
学习内容3：(2学时)
1、课件上5.5节两个附加例题
2、重心.MP4
例题5-4、5-5、5-7。
作业：5－9、5－10 、5－15。
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2. 力对轴的z矩
➢ 为了度量力对绕定轴转 动的物体作用效果，必 须了解力对轴的矩。 以一个门为例：
门上作用一个力 F 假定门绕 z 轴旋转
将力 F 向 z 轴和 xy 面 分解成两个分力 Fz 和 Fxy， 显然力 Fxy 使门绕 z 轴 旋转。
F Fz
Fxy
y x
力对轴的矩之定义
➢ 力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是一 个代数量，其绝对值等于该 力在垂直于该轴的平面上的 投影对于此平面与该轴的交 点的矩的大小。顶着坐标轴 看力使物体绕轴逆时针旋转 为正。
§5 - 2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 回顾力对点的矩
力F 对点O的矩的矢量 MO(F )， 大小为： | MO(F)| = Fh = 2△OAB 式中△OAB为图中 阴影部分的面积。
n z
MO(F)
O x
B F
rA
h
y
MO( F ) = r×F
力对点的矩矢等于矩心到力的作
力对点的矩矢为定位矢量
即 Mz( F ) = M O( Fxy) = ± Fxy h
= ± 2△OAB
z
F
Fz
Fxy
O
B
h
A Fxy
力对轴的矩等于零的情形：
① 力与轴相交( h = 0 )
② 力与轴平行( Fxy = 0 ) 一句话: 只要力与轴在同一 平面内,力对轴的矩等于零。
力对轴的矩之解析表达式 z
➢ 设空间中有一个力 F
第五章 空间力系
§5 - 1 回 顾
1、力在直角坐标轴上的投影 z
X = Fcosα Y = Fcosβ Z = Fcosγ
Zi
Fi
γ
α
β Yi
z Zi
γ
Fi
Yi
Xi
y
x
X = Fsinγcosφ Y = Fsinγsinφ Z = Fcosγ
Xi
φ
y
x
2、力的分解
3、空间力偶（F, F ’ )的力偶矩矢
解法2
z
直接套用力对
轴之矩的解析表
达式：
A
力在 x、y、z
轴的投影为
X = F sin α
x
Y=0
Z = - F cos α
C D
E
Fx α
B
Fz
F
y
M x( F ) = yZ － zY = ( l + a )(- Fcosα) - 0 = - F( l + a )cosα M y ( F ) = zX － xZ = 0 - ( -l ) (- Fcosα) = - Flcosα M z ( F ) = xY － yX = 0 - ( l + a ) ( Fsinα) = -F( l + a )sinα
3. 力对点的矩和力对轴的矩的关系
➢ 力对点的矩矢量可以写成：
MO( F ) = [MO( F )]x i + [MO( F )]y j + [MO( F )]z k
= (yZ － zY) i + (zX － xZ) j + (xY － yX) k
而
M x ( F ) = yZ － zY M y ( F ) = zX － xZ M z ( F ) = xY － yX
结论： 力对点的矩 矢在通过该
可得
[MO( F )] x = M x ( F ) [MO( F )] y = M y ( F ) [MO( F )] z = M z ( F )
点的某轴上 的投影，等 于力对该轴 的矩。
力对点的矩和力对轴的矩的关系（续）
如果力对通过O点的直角坐标轴 x、y、z 的矩
力偶矩矢的三要素：
n M
大小、方位和转向
B
d
如图力偶（ F，F ’） 对O点的矩为：
F’
rB rBA
F A
O rA
M
为
自
rBA F Fd 就是力偶矩的大小。可见，
由
与矩心无关。
矢
4、汇交力系、力偶系的合成与平衡 ➢ 合成结果：
R = ΣFi， M = ΣMi
➢ 平衡条件
ΣFi = 0 ， ΣMi = 0
一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若
CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F
对x、y和z三轴的矩。
z
A x
C D E
α
B
F
y
z
解法1
将力F沿坐标
轴分解为Fxx 和Fzz。
A
显然，
Fxx = Fsinα
x
Fzz = Fcosα
由合力矩定理可得：
C D
E
Fx α
A(x, y, z) YY X
O
y X
y x
Y
Fxy
== xxYY －－ yyXX
M x ( F ) = y Z －z Y
将上式与按同类方法求得 的其他两式合并写成：
M y ( F ) = z X－x Z M z ( F ) = x Y －y X
例 5-1 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用
Z F
力力作作用用点点 AA的的坐坐标标为为 xx，，yy，，zz ;;
力力 FF 在在三三坐坐标标轴轴的的投投影影分分别别为为 XX，，YY，，ZZ ;;
根根据据合合力力矩矩定定理理，，得得
MMzz(( FF )) == MM OO(( FFxxyy))
x
== MMOO(( XX )) ++ MMOO(( YY ))
B
Fz
F
y
M x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosα M y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosα M z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sinα
以 O 点为原点,令 i、j、k 分别为坐标轴 x、
y、z 方向的单位矢量，设力在三坐标轴的投 影为 X、Y、Z，则有
r=xi + yj +zk
F=Xi + Yj +Zk
i jk MO (F ) r F x y z
XY Z
= (yZ － zY) i + (zX － xZ) j + (xY － yX) k
x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩
和对O点的矩。(长度单位为m)
解：
z
k iO j x
4
1、先求F的三个方向余弦
3 F 5 A(4,9,5)
cos(F , i)
4
4
322 422 522 5 2
cos(F , j)
是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为：
MO (F) [M x (F)]2 [M y (F)]2 [M z (F )]2
cos M xx(F )M来自OO(F )cos M yy(F )
MOO(F )
cos M z (F )
MO (F )
例 5-2 图中力F 的大小为10kN，求的力 F 在