第九章 拉普拉斯变换教案
9.2 拉普拉斯变换的性质
∞
∫s
F ( s) d s =
f (t ) [ ]. t
ds ∫ ds L ∫s 44244∫3 F ( s ) d s = s s 1
n次
∞
f (t ) [ n ]. t
证明 (略)
22
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 即 解 已知
P220 例9.10
−1
[ e − sτ F ( s ) ] = f ( t − τ ) u( t − τ ) .
8
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 方法二 解 方法一 已知
[sin t ] =
P222 例9.12
方法一 先充零再平移
1 , 2 s +1
π
根据延迟性质有 根据延迟性质有 延迟性质
P222
性质 设当 t < 0 时 f ( t ) = 0 , 则对任一非负实数 τ 有
[ f ( t − τ )] = e − sτ F ( s ) .
[ f (t −τ ) ] = ∫
+∞
0 +∞
f (t −τ )e−st d t f (t −τ )e−st d t
=∫
τ
令 x = t −τ
∫0
(k ) (k ) 其中， 其中， f ( 0) 应理解为 lim f ( t ) . + t →0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 变换的这一性质非常重要， 方程( 方程(组)的初值问题。（ 9.4 将专门介绍） 的初值问题。 § 13
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 利用导数的象函数性质来求解本题 拉 普 拉 斯 变 换
第九章 拉普拉斯变换教案
（项目）10.1 行列式的概念课时 2授课地点东阶1——2授课时间20XX年4月23日，第11周，第5～6节教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。
会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。
2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。
3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。
教学手段：多媒体、板书演示。
重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222a x a x ba x a x b+=⎧⎨+=⎩(1)利用消元法，当11221221a a a a-≠时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,b a a b a b a bx xa a a a a a a a--==--。
(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。
（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122a aa a a aa a=-为二阶行列式。
其中的数(,1,2)ija i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。
(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。
为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
信号与系统课件第9章 拉普拉斯变换
t
( 为任意实数)后容易满足
绝对可积条件，依傅氏变换定义：
F1 F f (t ) e
t
t j t f ( t )e e d t
令 : j s , 具有频率的量纲 , 称为复频率。
Thus,
t 1 ( s ) tlim 1 e s s
For convergence, we require that Re{s + α} > 0, or Re{s} > –α ,
1 X ( s) = , Re{s} > - a s+ a
region of convergence (ROC ) (收敛域)
本章内容及学习方法
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正
变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频
域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）可看作一种广义的傅 氏变换，将频域扩展为复频域，简化了信号的变换式 ，扩大了信号的变换范围，为分析系统响应提供了统 一和规范化的方法。 优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
X ( j ) x(t )e e
t
jt
dt
Let s = σ+ jω, and using X(s) to denote this integral, we obtain
拉普拉斯变换及其性质课件
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
第九章拉普拉斯变换
于最左边极点的左边。
2021/3/11
16
例 X(s)(s1)1(s2)
求其可能有的所有的收敛域
×× -2 -1
Im{s} s平面 Re{s}
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28
X (s)N D ( (s s) )b a m n s sm n a b n m 1 1 s sn m 1 1 a b 1 1 s s a b 0 0
部分分式展开的第一步是把分母D(s)进行因式分解， 然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。
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• 拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像 函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。
• 拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于 虚轴的一条自下而上的直线。
j Im
s平面 ×
×
jRe
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一、求解拉氏反变换的方法
1、留数定理；
√
2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未 知的拉氏变换，或它们的反变换。
X(s) 2 1s 2
Im {s}
s1 s2
s5 (s 1)(s 2)
×
×
RO : 1C Rse }{ 2 - 1
2
R e{s} 5
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9.3 拉氏反变换 The Inverse Laplace Transform
信号x(t)的拉氏变换为：
X(+j)=F{x(t)e-t } =[x(t)e-t ]e-jtdt -
《拉普拉斯变换 》课件
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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《拉普拉斯变换》 PPT课件
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SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
第九章拉普拉斯变换
第九章拉普拉斯变换（The Laplace transformation）第一讲授课题目：§9.1 拉普拉斯变换的概念§9.2 拉普拉斯变换的性质教学内容：1、拉普拉斯变换的定义2、拉普拉斯变换存在条件3、拉普拉斯变换的性质学时安排：2学时教学目标：1、正确理解拉普拉斯变换的定义2、了解拉普拉斯变换存在条件3、掌握拉普拉斯变换的性质教学重点：1、拉普拉斯变换的定义2、卷积和卷积定理教学难点：拉普拉斯变换的性质教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题九 1-5板书设计：一、拉普拉斯变换的定义二、拉普拉斯变换存在条件三、拉普拉斯变换的性质主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.课后记：1、理解了拉普拉斯积分变换的定义2、拉普拉斯积分变换存在条件，不能正确掌握3、掌握了拉普拉斯积分变换的性质教学过程§9.1 拉普拉斯变换的概念(The conception and property of the Laplace transformation)傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克雷条件，还要求在(,)-∞+∞上绝对可积，才有古典意义下的傅里叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数，有时也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中，许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其为拉普拉斯积分变换.一、 拉普拉斯变换的定义（Definition which Rupprath varies ） 定义（Definition ） 设函数()f t 是定义在[0,)+∞上的实值函数，如果对于复参数s j βω=+，积分()()st F s f t e dt +∞-=⎰在复平面s 的某一域内收敛，则称()F s 为()f t 的拉普拉斯变换，记为()0[()]()st f t F s f t e dt +∞-==⎰L ，称()f t 为()F s 的拉普拉斯逆变换，记为1()[()].f t F s -=L ，()F s 称为像函数，()f t 称为原像函数.事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系:[()()]()()t t j t f t u t e f t u t e e dt ββω+∞----∞=⎰F ()0()j t f t e dt βω+∞-+=⎰令s j βω=+，则[()()]t f t u t e β-=F ()0()st f t e dt F s +∞-=⎰=[()]f t L .由此可以知道，()f t 的拉普拉斯积分变换就是()()t f t u t e β-的傅里叶积分变换，首先通过单位阶跃函数()u t 使函数()f t 在0t <的部分为0，其次对函数()f t 在0t >的部分乘一个衰减的指数函数t e β-以降低其增长速度，这样就有希望使函数()()t f t u t e β-满足傅里叶积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换.例9.1 分别求出单位阶跃函数()u t ，符号函数sgn t ，()1f t =的拉普拉斯积分变换. 解：()0[()]()st f t F s f t e dt +∞-==⎰L 01st e dt s+∞-==⎰，(Re 0)s > 001[()]()st st u t u t e dt e dt s +∞+∞--===⎰⎰L ，(Re 0)s >001[sgn ]sgn st st t te dt e dt s+∞+∞--===⎰⎰L ，(Re 0)s >例9.2 求指数函数()kt f t e = 的拉氏变换(k 为实数). 解：()()()011[()]e e d ed ed ekt sts k ts k ts k tf t t t t s ks k+∞+∞+∞+∞-------====-=--⎰⎰⎰L 所以1[e ](Re()).kt s k s k=>-L 二、 拉普拉斯积分变换存在条件（Laplasse integral existconditions ）拉氏变换的存在定理（Laplasse the existence oftransformation theorems ）： 若函数()f t 满足:(1) 在t ≥ 0的任一有限区间上分段连续;(2) 当t →+∞时, ()f t 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M > 0及c ≥ 0, 使得|()|,(0)ct f t Me t ≤≤<+∞则()f t 的拉氏变换0()()e d st F s f t t +∞-=⎰在半平面Re()s c >上一定存在, 并且在Re()s c >的半平面内, ()F s 为解析函数. 证明 设s j βω=+，则||st t e e β--=，所以()()0|||()|st c t F s f t e dt M e dt β+∞+∞---=≤⎰⎰由Re()s c β=>，可以知道右端积分在上半平面上收敛.关于解析性的证明省略.注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在.§9.2 拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse ）一、拉普拉斯变换的性质（Change the nature of the laplasse ） 1、线性性质（Linear nature ） [()()][()]()]f tg t f t g t αβαβ±=±L L L[；111[()()][()]()]f t g t f t g t αβαβ---±=±L L L [2、相似性质（Similar nature ）设()[()]f t F s =L ，则对任意常数a>0，有1[()]s f at F a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭L . 证明：令x at =，则011[()]()()sx sta s f at f at e dt f x e dx F a a a -+∞+∞-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰L例9.3 求cos t ω的拉普拉斯积分变换. 解：22111cos ]()]]]))222j t j t j t j t st e e e e s ωωωωωωωω--=+=+=+=+11L[L[(L[L[(s -j s +j 例9.4 已知51()(1)(2)s F s s s -=+-，求1[()].F s -L .解11111512311[()].[][]2[]3[]23(1)(2)12)12t s F s e es s s s s s -------==+=+=++-+-+-L L L L L3、微分性质（Differential nature ）（1）设()[()]f t F s =L ，则有()'[()](0)f t sF s f =-L ，一般地有()()12'(1)[()](0)(0)(0)n n n n n f t s F s s f s f f ---=----L证明 利用分部积分方法和拉普拉斯积分变换的定义.''00[()]()e d ()|()d ()(0)st st st f t f t t f t e s f t e t sF s f +∞+∞--+∞-==+=-⎰⎰L 用数学归纳法可以得到()()12'(1)[()](0)(0)(0)n n n n n f t s F s s f s f f ---=----L此性质可以使我们有可能将()f t 的微分方程转化为()F s 的代数方程（2）设()[()]f t F s =L ，则有()'[()]F s tf t =-L ；一般地有()()(1)[()]n n n F s t f t =-L . 证明：''0()()()()[()]st st F s f t e dt tf t e dt tf t +∞+∞--==-=-⎰⎰L ，用数学归纳法可以得到()()(1)[()]n n n F s t f t =-L . 可以用来求()n t f t 的拉普拉斯积分变换.例9.5 求解微分方程''2'()()0,(0)0,(0)y t y t y y ωω+===. 解 对方程的两边做拉普拉斯积分变换，可以得到2'2()(0)(0)()0s Y s sy y Y s ω--+=得到22()Y s s ωω=+， 1122()[()][]sin y t Y s t s ωωω--===+L L 例9.6 求()m f t t =的拉普拉斯积分变换.解 设()m f t t =，则()()!m f t m =，且'(1)(0)(0)(0)0m f f f -====故11!]!]m m m m t m s s +==L[L[. 例9.7 求函数()sin f t t t ω=的拉普拉斯积分变换.解''222222()]sin ]{sin ]}{}()s s f t t t t s s ωωωωω==-=-=++L[L[L[ 例9.8 求函数22()cos f t t t =的拉普拉斯积分变换.解 2221()]cos ](1cos 2)]2f t t t t t ==+=L[L[L[22622223231112(2432)(1cos 2)]()224(4)d d s s s t s ds ds s s s +++=+=++L[ 4、积分性质（Integral nature ）（1）设()[()]f t F s =L ，则有01[()]()t f t dt F s s=⎰L ，一般地有00001[()]()t t t t n dt dt dt f t dt F s s=⎰⎰⎰⎰L . 证明 设0()()tg t f t dt =⎰，则'()()g t f t =，且(0)0g =，利用微分性质可以得到'[()]()][()](0)[()]f t g t s g t g s g t ==-=L L[L L ，所以01[()]()tf t dt F s s=⎰L .用数学归纳法可以得到00001[()]()t t ttn dt dtdt f t dt F s s=⎰⎰⎰⎰L （2）设()[()]f t F s =L ，则有()()[]s f t F s ds t∞=⎰L ，一般地有()()[]ns s s sf t ds ds ds F s ds t ∞∞∞∞=⎰⎰⎰⎰L . 可以用来求()n f t t的拉普拉斯积分变换.证明0()()[()]()[]()[|]()[][]st st ststs ssse ef t F s ds f t e dt ds f t e ds f t dt f t dt t t t--∞∞+∞+∞∞+∞+∞--∞==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==L 反复利用上面可以得到()()[]n ssssf t ds ds dsF s ds t∞∞∞∞=⎰⎰⎰⎰L . 例9.9 求函数sin ()tf t t=的拉普拉斯积分变换. 解 由于21sin ]1t s =+L[，则 2sin 1]cot 1s t ds arc s t s ∞==+⎰L[令0s =，有0sin 2t dt t π+∞=⎰.由此可以知道利用拉普拉斯积分变换，可以计算一些反常积分.例9.10 计算下列积分 （1）30cos 2t e tdt +∞-⎰（2）01cos d tt e t t+∞--⎰解（1）2(cos 2)]4s t s =+L[，33203cos 2|134t s s e tdt s +∞-===+⎰（2）2221cos 111]]ln 2(1)s s t s ds ds t s s s∞∞-+===+⎰⎰L[L[1-cost 令1s =，则01cos 1d ln 22t t e t t +∞--=⎰5、延迟性质（Delay nature ）设()[()]f t F s =L ，当0t <时()0f t =，则对任一非负实数τ有[][]()()()s s f t e f t e F s τττ---==L L .证明 令1t t τ=-，则[][]0()101()()()()s t s s f t f t e dt e f t e F s ττττ+∞-+---===⎰L L6、位移性质（Displacement nature ）设()[()]f t F s =L ，则有()()te f t F s αα⎡⎤=-⎣⎦L ，α为常数.证明()00()()()()t t sts t e f t e f t e dt f t e dt F s αααα+∞+∞---⎡⎤===-⎣⎦⎰⎰L .例9.11 设()sin f t t =，求()]2f t π-L[.解 221()]sin()]221s f t t e s πππ--=-=+L[L[ 例9.12 求11[]1se s ---L . 解 因为11[]()1t e u t s -=-L所以111,11[](1)10,1t s t e t e e u t s t ----⎧>=-=⎨-<⎩L 二、卷积和卷积定理（Rolls and rolls a theorem ）1、卷积的定义（Rolled up to the definition ）:12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰,结合率、交换律和分配率仍然成立.2、卷积定理（Rolled a theorem ）： 设[][]1122()(),()()f t F s f t F s ==L L ，则有112121212()*()]()();[()()]()*()f t f t F s F s F s F s f t f t -==L[L证明 由定义1212120()*()]()*()]()()]tst st f t f t f t f t e dt f f t d e dtτττ+∞+∞--==-⎰⎰⎰L[[[然后交换二重积分的次序，令1t t τ=-12120()*()]()[()]tst f t f t f f t e dt d τττ+∞-=-⎰⎰L[1121121120()[()]()()()()st st s f f t e edt d F s f e d F s F s τττττ+∞+∞+∞---===⎰⎰⎰例9.14 求函数1f (t)=t 与2()sin f t t =的卷积. 解 12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-=⎰00sin()cos()|cos()sin tttt d t t d t t τττττττ-=---=-⎰⎰ 例9.15 已知222()(1)s F s s =+，求1()[()]f t F s -=L . 解 由于22222()(1)11s s s F s s s s ==•+++，12[].cos 1s t s -=+L 所以10011()[()].cos *cos cos cos()[cos cos(2)(cos sin )22tt f t F s t t t d t t d t t t τττττ-===-=+-=+⎰⎰L 拉氏变换在线性系统分析中的应用，要涉及到响应、传递函数等专业术语，这在后面专业课中会详细讨论.在运用拉普拉斯积分变换解决具体问题时，在求的像函数后，常常需要进一步求得原像函数.从前面我们知道可以利用拉普拉斯积分变换的性质并根据一些已知的变换来求像函数的原像，其中对像函数进行分解和分离非常关键，对于已知的变换可以从拉普拉斯积分变换表中查得.这是一种很常用的方法，但使用范围有限，下面介绍一般的求拉普拉斯逆变换的方法.三、周期函数的像函数（Cycle function as a function ）设()f t 是[0,]+∞内以T 为周期的函数，且()f t 在一个周期内逐段光滑，则01[()]()1Tst sTf t f t e dt e --=-⎰L .证明：由定义有[()]()()()Tststst Tf t f t e dt f t e dt f t e dt +∞+∞---==+⎰⎰⎰L ，对第二个积分令1t t T =-由于()f t 是[0,]+∞内以T 为周期的函数，则1110[()]()()()()[()]T Tst st st sT st sT f t f t e dt f t e dt f t e e dt f t e dt e f t +∞+∞------==+=+⎰⎰⎰⎰L L故01[()]()1Tst sTf t f t e dt e --=-⎰L .例9.13 求全波整流后的正弦波()|sin |f t t ω=的像函数. 解 ()f t 的周期是πω，故 02211(sin cos )()]sin |]sin |11st TstTsTsT e s t t f t t te dt e e s ωωωωωω------===•=--+⎰L[L[|2222121sT sT e s cth s e s ωωπωωω--+•=•+-+2 1§9.3 拉普拉斯逆变换§9.4 拉普拉斯逆变换的应用及综合举例1、反演积分公式2、利用留数计算反演积分3、求解微分方程组4、综合举例1、正确理解反演积分公式2、了解拉普拉斯积分变换应用3、掌握利用留数计算反演积分拉普拉斯逆变换的应用及综合举例拉普拉斯逆变换讲授法、图形类比法、演绎法习题九 5-7一、反演积分公式二、利用留数计算反演积分三、求解微分方程组四、综合举例[1]《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003.[3]《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.不能灵活运用拉普拉斯逆变换解决实际问题第二讲授课题目：§9.3 拉普拉斯逆变换§9.4 拉普拉斯逆变换的应用及综合举例主要内容：1、反演积分公式2、利用留数计算反演积分3、求解微分方程组4、综合举例学时安排：2学时教学目标：1、正确理解反演积分公式2、了解拉普拉斯积分变换应用3、掌握利用留数计算反演积分教学重点：拉普拉斯逆变换的应用及综合举例教学难点：拉普拉斯逆变换教学方式：讲授法、图形类比法、演绎法作业布置：习题9.5、9.6、9.7板书设计：一、反演积分公式二、利用留数计算反演积分三、求解微分方程组四、综合举例主要参考资料：1、《积分变换》，南京工学院数学教研室，高等教育出版社，1987.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版2003 .3、《复变函数与积分变换》，贺才兴编著，辽宁大学出版社，2000.课后记：不能灵活运用拉普拉斯逆变换解决实际问题教学过程：§9.3拉普拉斯逆变换（Revisiting inverse transform ）一、反演积分公式（Against the integral equations ）我们知道拉普拉斯积分变换和傅里叶积分变换有密切的关系，()f t 的拉普拉斯积分变换其实就是()()t f t u t e β-的傅里叶积分变换，()()()()t j t F s F j f t u t e e dt βωβω+∞---∞=+=⎰，这样我们可以得到1()()()2t j t f t u t e F j e dt βωβωπ+∞---∞=+⎰两边同乘以t e β，并且令s j βω=+，则1()()()2j st j f t u t F s e dt j ββπ+∞-∞=⎰因此 1()(),(0)2j st j f t F s e dt t j ββπ+∞-∞=>⎰这就是求像函数的原像的一般方法，我们成为反演积分公式，其中右端的部分称为反演积分.积分路径是一条直线Res β=，在此直线的右边()F s 没有奇点.我们可以考虑用孤立奇点留数理论来研究拉普拉斯逆变换.二、利用留数计算反演积分（Of stay would be counted as one against ）定理（Theorem ）9.2 设()F s 除在半平面Res c ≤内有限个孤立奇点12,,,n s s s 外是解析的，且当s →∞时，()0F s →，则有11()(),(0)Re [(),]2sj stst k j k f t F s e ds t s F s e s j ββπ+∞-∞==>=∑⎰即1()Re [(),],(0)sst k k f t s F s e s t ==>∑.证明 令曲线R C L C =+，L 在半平面Res c ≤内，R C 是半径为R 的半圆狐，当R 充分大，可以使12,,,n s s s 都在C 内.由于()st F s e 除孤立奇点12,,,n s s s 外是解析的，故由留数定理有1()2Re [(),]sstst k Ck F s e ds j s F s e s π==∑⎰即11[()()]Re [(),]2Rsj ststst k j C k F s e ds F s e ds s F s e s jββπ+∞-∞=+=∑⎰⎰根据约当定理，可以知道()0lim Rst C R F s e ds →∞=⎰因此有11()(),(0)Re [(),]2sj stst k j k f t F s e ds t s F s e s j ββπ+∞-∞==>=∑⎰.例9.16 已知21()(2)(1)F s s s =--，求1()[()]f t F s -=L . 解 由于122,1s s ==是像函数的简单极点和二阶极点，所以2()Re [(),2]Re [(),1]st st t t t f t s F s e s F s e e e te =+=--另外还可以用部分分式和卷积的方法解答.§9.4 拉普拉斯逆变换的应用及综合举例（Revisiting inverse transform the application andillustrate ）一、利用拉普拉斯积分变换求微分方程（Use of the laplasse integral to the differential equation ）许多工程实际问题可以用微分方程来描述，下面举例说明它在数学中的应用：用拉氏变换求解微分（常微分，偏微分）方程、积分方程.而拉普拉斯变换对于求解微分方程非常有效，首先通过拉普拉斯变换将微分方程化为像函数的代数方程，由代数方程求出像函数，然后再用拉普拉斯逆变换，就得到微分方程的解.例9.17 求解微分方程''''()2()2()2cos ,(0)(0)0t x t x t x t e t x x -+===.解 令()[()]X s x t =L ，方程的两边取拉普拉斯积分变换，并利用初始条件，得222(1)()2()2()(1)1s s X s sX s X s s --+=-+解此方程得222(1)()[(1)1]s X s s -=-+ 求拉普拉斯逆变换，可以得到'2222222(1)21111111()[()][][][()][]sin [(1)1](1)11s s t t t t x t F s e e te te t s s s s -------======-++++L L L L L例9.18 求解微分方程组'()()(),(0)(0)1'()3()2()2t x t x t y t e x y t y t x t y t e ⎧+-===⎪⎨⎪+-=⎩解 令()[()]X s x t =L ，()[()]Y s y t =L ，对方程的两边取拉普拉斯积分变换，并利用初始条件，可以得到1()1()(),11()13()2()21sX s X s Y s s sY s X s Y s s ⎧-+-=⎪⎪-⎨⎪-+-=⎪-⎩求解方程组可以得到1()()1X s Y s s ==- 因此()()t x t y t e ==.例9.19 设质量为m 的物体静止在原点，在0t =时受到x 轴方向的冲击力()0F t δ，求物体的运动方程.解 运动的微分方程初值问题为2'()(),(0)(0)002d m x t F t x x dt δ===令()[()]X s x t =L ，在方程两边取拉普拉斯积分变换，可以得到2()0ms X s F =，即0()2F X s ms=故物体的运动方程为0()F x t t m=. 二、综合举例（Comprehensive example ）例9.20 求函数1,01()0,0,1t t f t t t -≤≤⎧=⎨<>⎩的像函数.解 将函数()f t 写为()(1)()(1)(1)()()(1)(1)f t t u t t u t u t tu t t u t =-+--=-+-- 则111[()]22s f t e s s s-=-+L 例9.21 已知23233()(1)(3)s s F s s s ++=++，求1()[()]f t F s -=L . 解 由于121,3s s =-=-是像函数的简单极点和三阶极点，所以223132331233()Re [(),1]Re [(),3][]2!1(3)lim lim st stst st s s s s s s f t s F s e s F s e e e s s →-→-++++=-+-=+++ 23131(3)424t t e t t e --=+-+- 例9.22 求解微分方程组''''''''''()()()()0,(0)(0)02()()()()sin ,(0)(0)1x t y t x t y t x y x t y t x t y t t x y ⎧+++===⎨--+===-⎩ 解 令()[()]X s x t =L ，()[()]Y s y t =L ，对方程的两边取拉普拉斯积分变换，并利用初始条件，可以得到22222()1()1()()012()1()1()()1s X s s Y s X s Y s s X s s Y s X s Y s s ⎧+++++=⎪⎨+---+=⎪+⎩解得21()()1X s Y s s==-+ 所以，取拉普拉斯变换的逆变换，可以得到()()sin x t y t t ==-例9.23 求解积分方程0()sin()(),(0)tf t at x t f x dx a =--≠⎰.解 由于0()*sin sin()(),tf t t x t f x dx =-⎰，所以原方程可以化为()()*sin f t at f t t =-令()[()]F s f t =L ，因而1[]2t s =L ，1[sin ]21t s=+L ，对原方程的两边取拉普拉斯积分变换，可以得到1()()221a F s F s s s=++ 故 11()()24F s a s s =+取拉普拉斯逆变换，可以得到3()()t f t a t b=+本章要求：1．熟记两类积分变换的定义及基本性质：线性运算、微分公式、积分公式、位移、延迟公式.这是把积分变换作为求解问题的工具的基础.2．了解单位脉冲函数的定义，熟记与之有关的几个公式，了解广义付氏变换.3．熟练掌握两类变换的卷积的概念及卷积定理.4．会通过卷积定理、积分变换性质并结合积分变换表间接求一些函数的正变换或逆变换.5．了解用留数求拉氏逆变换的公式，知道初值定理、终值定理，这在有关专业课中要直接用到.6．了解两类积分变换在线性系统及在求解常微方程、偏微方程中的应用.。
拉普拉斯变换上课讲义
例9-7 求L[4u(t)－3e2t＋5t]。
解
L [ 4 u ( t ) 3 e 2 t 5 t ] 4 L [ u ( t ) 3 ] L [ e 2 t] 5 L [ t ]
4 3 5 s23s10 ss2s2 s2(s2)
例9-8 求L [sintcost＋δ(t)]。
解 L [stc in o t s(t) ]1L [s2 ti] n L [(t)]
由此得
L 0 tf(t)d t1 sL [f(t) ]1 sF (s)
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第9章 拉普拉斯变换
周忠荣 编
23
工程 数学
9.2 （续七）
说明 该性质中的定积分的上限和下限
必须是t和0。
该性质表明，函数f(t)积分后的拉氏变换 等于f(t)的像函数F(s)除以复参量s。
重复运用式(9-11)可以得到
L [af1(t)＋bf2(t)]＝aF1(s)＋bF2(s) (9-4) L －1[aF1(s)＋bF2(s)]＝af1(t)＋bf2(t) (9-5)
该性质表明，各函数线性组合的拉氏变 换等于各函数拉氏变换的线性组合。
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第9章 拉普拉斯变换
周忠荣 编
17
工程 数学
9.2 （续一）
确定的函数F(s) f(t Nhomakorabeaestdt 0
称为函数f(x)的拉普拉斯变换（简称拉氏
变换），记作L [f(t)]，即
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第9章 拉普拉斯变换
周忠荣 编
6
工程 数学
9.1.1 （续四）
L [f(t) ]F (s)f(t)estd t (9-1) 0
F(s)也称为f(t)的拉氏变换像函数，f(t)称
电路原理第九章拉普拉斯变换
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
电路原理拉普拉斯变换
U0 s 1
RC
t
uc (t ) U0e RC
验证初值定理和终值定理
UC
(s)Βιβλιοθήκη sU0 1RC
t
uc (t ) U0e RC
uC
(0
)
limsUC
s
(s)=lim s
s
sU0 1
U0
RC
uC
()
limsUC
s0
(s)=lim s0
s
sU0 1
0
RC
6. 时域卷积定理 (timedomain convolution theorem)
根据延迟性质 F (s) 1 1 esT ss
例6 求三角波旳象函数
f(t) T
解 f (t) t[ (t) (t T )]
F (s) 1 esT s2 s2
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
拉普拉斯变换旳基本概念
拉普拉斯 变换
拉普拉斯变换旳基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其关键是把时 间函数f(t)与复变函数F(s)联络起来，把时域问题经过数学 变换为复频域问题，把时间域旳高阶微分方程变换为复频 域旳代数方程以便求解。
t
[f(t)]
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
微分定理能够推广至求原函数旳二阶及二阶以上导数旳 拉普拉斯变换，即
d2
dt
2
f (t) s{s
【电路理论电子教案】拉普拉斯变换(Laplace Transformations)
CH13 拉普拉斯变换(Laplace Transformations)本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。
§13-1拉普拉斯变换定义教学目的：拉普拉斯变换的定义。
教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。
教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、引言拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
二、拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数)(t f ,其拉氏变换)(s F 定义为:⎰∞-==0)()]([)(t f t f L s F e -st dt式中：s=б+j ω为复数，有时称变量S 为复频率。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。
F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
三、几个常见函数的拉氏变换 1．的拉氏变换)(t ε⎩⎨⎧≥<=.01;00)(t t t ε s e sdt e dt e t t L s F st st st 1011)()]([)(00=∞⋅-=⋅===--∞∞-⎰⎰--εε2．)(t δ的拉氏变换⎪⎩⎪⎨⎧==≠=⎰∞+∞-.01)(;00)(t dt t t t δδ§13-2拉普拉斯变换的基本性质教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
教学重点：拉普拉斯变换的性质。
教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。
自动控制原理课程教案-附录1-拉普拉斯变换
常用的拉氏变换法则（不作证明）
1. 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。 拉氏变换的齐次性是一个时间函数乘以常
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数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数，即 L(af (t )) aF (s) 拉氏变换的叠加性是：若 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的拉氏变换分别是 F1 ( s) 和 F2 ( s) ，则有
s 2
2
cos t
s s 2
2
tn
1 (bebt ae at ) ba
n! s 1
n
s ( s a)( s b)
e at sin n t e at cos n t
n
( s a)2 n 2 sa ( s a)2 n 2
2 n 2 s 2 2n s n
1 ( s j ) t 1 ( s j ) t e dt e dt 0 2j 2 j 0 1 1 1 ( ) 2 j s j s j
s 2
2
同理求得余弦函数的拉氏变换为
L[cos t ] F (s)
s 2
2
lim e st 0
t
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附录1.1.2
单位脉冲函数的拉氏变换
单位脉冲函数也是作为自动控制系统常用的标准输入量。 它是在持续时间 0 期间内作用的矩形波， 0 t 和t 0, 其幅值与作用时间的乘积等于 1，如图 3-3 所示。其数学表达式为 (t ) 1 lim 0t 0 其拉氏变换为
L[ f n (t )] s n F (s)
图1
平移函数
3．积分定理
北京大学复变函数讲义第九章：拉普拉斯变换
(5)
0
1
Proof 因为 所以
dg(t; p0) = f (t)e−p0t, dt
T
f (t)e−ptdt =
T dg(t; p0) e−(p−p0)tdt
0
0
dt
T
=g(t; p0)e−(p−p0)t
0
T
+ (p − p0) g(t; p0)e−(p−p0)tdt
0
=g(T ; p0)e−(p−p0)T
∞
πet sin(πet)e−(p+2)tdt.
0
即 p(p + 1)
F (p) = 1 − π2 F (p + 2).
利用这个关系可将 F (p) 解析延拓到整个 p 平面.
Theorem 9.3 若 f (t) 满足 Laplace 变换存在的充分条件, 则
lim F (p) = 0
Rep→+∞
∞
可以从
tz−1e−ptdt 出发来计算
0
∞
L {ln t} =
ln te−ptdt.
0
因为 Rep > 0, Rez > 0 时 两端对 z 求导 (合法性?), 令 z = 1, 即可求得 即
∞
tz−1e−ptdt
0
=
Γ(z) pz .
∞ 0
tz−1
ln te−ptdt
=
Γ(z) pz [ψ(z)
−
ln p].
∞ ln te−ptdt = − 1 [γ + ln p],
0
p
L
{ln
t}
=
1 − [γ
p
+
ln p].
简明微积分教案0801 拉普拉斯变换的基本概念和性质
= = .
这个积分在 时收敛，所以有
= （ ）.
例2 求函数 （ 为常数）的拉氏变换.
解 = =
= + ,
根据洛必达法则，有
= ，
上述极限当 时收敛于零，所以有 .
因此
= = = ( ).
例3 求函数 的拉氏变换.
解 = = = （ ）.
用同样的方法可求得 = （ ）.
二、单位阶梯函数及单位脉冲函数
(10) ； (11) ； (12) ；
(13) ； (14) ；
(15) ； (16) ；
(17) ； (18) .
1、理解拉氏变换的概念及思想；
2、了解自动控制中常见的两个函数。
3、了解拉氏变换的性质和常见函数拉氏变换公式。
4、了解求拉氏变换的方法
教材习题
教师板书
PPT
教师举例启发讲解
教师启发学生得到
PPT
教师举例与讲解
启发学生思考
学生计算
以学生练习为主
教师总结师生互动
课后任务
拉普拉斯变换是一种积分变换，它可以把一个函数变换为另一个函数，同时把对原来函数的微分、积分运算转换成代数运算，从而使运算变得更加简洁方便.拉普拉斯变换在电学、力学等众多的工程与科学领域中都有着广泛的应用. 本章先介绍拉普拉斯变换和逆变换的概念、基本性质，然后主要介绍一些他们的简单应用.
拉普拉斯变换的基本概念和性质
授课对象
机Hale Waihona Puke 类专业三年制高职生课时2
教材
《简明微积分》 主编：李亚杰，高等教育出版社
教学
目标
认知目标
1、理解拉氏变换的概念及思想；
2、了解自动控制中常见的两个函数。
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（项目）10.1 行列式的概念课时 2授课地点东阶1——2授课时间2012年4月23日，第11周，第5～6节教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。
会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。
2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。
3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。
4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。
教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。
教学手段：多媒体、板书演示。
重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222a x a x ba x a x b+=⎧⎨+=⎩(1)利用消元法，当11221221a a a a-≠时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,b a a b a b a bx xa a a a a a a a--==--。
(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。
（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122a aa a a aa a=-为二阶行列式。
其中的数(,1,2)ija i j=称为该行列式的第i行、第j列元素。
(横排称为行列式的行, 竖排列称为行列式的列)。
为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。
三阶行列式的特点：1、共有6项，三项正，三项负；2、 每项由三个元素相乘，每个元素取自不同行，不同列；如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能的排列，即有3！＝6种排法。
设有三元一次线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1）记111213212223313233a a a D a a a a a a =，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =，则当0D ≠时，可以证明方程（1）的唯一解为：312123,,D D Dx x x D D D===。
练习2 ：利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组123123123233046132x x x x x x x x x --=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解 系数行列式233146311D --=-，按照对角线法则得 ，,)n 排成 （10.9）⎭⎬⎫31,2,,)n ，则称为对角行列式，即22000nna主要特征是：主对角线以外的元素全为零． 0(,,1,2,,)i j i j n >=，则称为12220n n nna a a主对角线下方．．的元素全为零． 0(,,1,2,,)i j i j n <=，则称为下三角行列式，即212212000n n nna a a主对角线上方．．的元素全为零． 212212000n n nna a a 2211nn a a a =列式定21221200n n nn a a a 213332221100nn n n a a a a a a a==说明：下三角行列式的值等于其主对角线上的元素之积。
12122212n n n n nna a a a a ,则11222212n n T nnnna a D a a a =。
行列式与它的转置行列式的值相等，即TD D =。
这个性质说明了：行列式中行与列的地位是等同的．因而，凡是对行成立的性质，对列也成立；反之亦然。
互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。
)(j i c c ↔表示交换行列式的j 两行（列）1112112121212n j j jn j j jn n n nnn n nna k a a a a a a a a a 引入记号：行列i 行（列）式的第i 行（列）提出公因子k 可记作k r i ÷2 如果行列式的某一行（列）的元素都是零，则该行列式的值为零。
如果行列式的某两行（列）的对应元素成比例，则该行列式的值为零。
如果行列式某两行（列）的元素为两个元素的和，则该行列式可以拆分成两个行列式之和。
即若12122212212n ni i i in inn n nna a a a a a a a a a '''+++121222112121n n i i in n n n a a a D a a a a a a =121222212121n ni i in n n n a a D a a a a a a ='''， 则12D D D =+性质6 行列式某一行（列）的各元素的k 倍（k 为常数），加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
引入记号：以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上去，记作)(j i j i kc c kr r ++。
,;1,2,)m j n =排成m 行12122211n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭元素 行标列标12122212n n n n nn a a aa a ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭,,nn a 称为n阶方阵的主对角元素，经过元素阶方阵的主对角线，从右上角到左下角的对角线称为m n ⨯个元素全为零的矩阵，称为01)n n a ⨯列矩阵，记作：21m m b ⨯⎪⎪⎪⎪⎭ 主对角线上的所有元素全为2,,)n ，且：,),n 记主对角线下方（上方）的各元素均为零的方阵，称为上（下）三角上三角矩阵和下三角矩阵同称为三角矩阵。
即⎪⎪⎪⎫n n a a 2112122212(n n ij m m mn m nka ka ka kaka ka ⨯⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎭),k p 为任意实数如果开发商另有两个与之同样的开发计划，请用矩阵的运算给出开发商将开发的各种户型的总量．解房屋开发商正要开发的一个小区的户型可用矩阵表示为因为该开发商还有两个与之一样的开发计划，所以该开发商将开发的各种房屋的总量可用矩阵表示为练习1解甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和由矩阵F表示为is sja b +,;1,2,,).m j n =构成1,2,,;1,2,,).m j n ==称为矩阵B A 与矩阵乘积矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数 ；矩阵的元素ij c 等于左Ａ的第i 行与右Ｂ 的第j 列⑵ 分配律:()A B C AB AC +=+; ();A B C AC BC +=+⑶ 对任意常数k ,有: ()()();k AB kA B A kB ==⑷AO OA O == (O 矩阵起到数“0”的作用)；⑸ EA AE A == (E 矩阵起到数“1”的作用)。
3、矩阵乘法的三大特征 ⑴ 无交换律 即：AB BA ≠;⑵ 无消去律 即：AM AN =M N =⑶ 若0AB =0A =或0B =。
3、矩阵乘法应用举例例1 n 元线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111若可用矩阵相等表示为。
例2 （商场税收）若用矩阵表示某商场的两个分场两类商品的营业额；用矩阵表示两种商品的国税率、地税率，即设求各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额？解： 分析：一分场向国家财政上交的国税额= 一分场家电应上交的国税额+一分场服装应上交的国税额= 一分场家电的营业额家电的国税率+一分场服装的营业额服装的国税率，同理，得各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额为??3、方阵的幂（1）定义10.10 设()ij n n A a ⨯=是n 阶方阵，k Z +∈（k 为自然数），则k 个A 连乘所得到的积仍是n 阶方阵，称为方阵A 的k 次幂，记作：k A 。
即：kl lk A A =）（一般规定：0A E =说明：① 只有方阵才有幂运算！② k 只能是正整数。
（2）方阵幂运算满足运算律1）k l k lA A A+⋅= 2）().lk k l A A ⋅=例3已知：2133A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，000000B a b c ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，210.01E ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 求：⑴ 2A ； ⑵ 3B ； ⑶ 25A A -； ⑷ 2253A A E -+。
解： ⑴ 2A AA =2133-⎛⎫=⎪-⎝⎭2133-⎛⎫⎪-⎝⎭22(1)(3)2(1)(1)3(3)23(3)(3)(1)33⨯+-⨯-⨯-+-⨯⎛⎫= ⎪-⨯+⨯--⨯-+⨯⎝⎭751512-⎛⎫= ⎪-⎝⎭； ⑵3B BBB =000000a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000000a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭000000a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭00000000ac ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000000a b c ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭000000000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭kkAAA A =12122212n n m m mn m na a a a a ⨯⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭(m n ⨯11222212m m nnmn n ma a a a a ⨯⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭()n m ⨯ ⎪⎪⎭⎫4052，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=450231TA 。
转置满足的运算律 ()T A B +。