人教A版数学高二必修5课时作业9等差数列的前n项和

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人教新课标版数学高二A必修5学案等比数列的前n项和(一)

明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．探究点一等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答所得数列为1,2,4,8，…，263.它首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？答转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?答设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿吨，而目前世界年度小麦产量约6亿吨，所以国王是无法满足发明者要求的． 0(2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.反思与感悟涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.探究点二等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?解根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000. 于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)．答大约5年可以使总销量达到30 000台．反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三错位相减法求和思考教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n2n }前n项和？答设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)·a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)·a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案 11a (1.15－1)解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)． [呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0. ∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n . 解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2 ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3， ∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数) 参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.高中数学-打印版精心校对故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数，且p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列，设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知代入公式得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《等差数列的前n项和公式》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《等差数列的前n 项和公式》一、选择题1.等差数列{a n }中，d=2，a n =11，S n =35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或-1D ．3或-12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．23.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．234.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．155.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．66.S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17 B ．S 15 C ．S 13 D ．S 77.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m-1=-2，S m =0，S m ＋1=3，则m=( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题8.已知数列{a n }中，a 1=1，a n =a n-1＋(n≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．129.等差数列{a n }中，若a 10=10，a 19=100，前n 项和S n =0，则n=________.10.等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=________.11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则等于________．a5a359S9S512.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n=324(n>6)，则数列的项数n=________，a9＋a10=________.三、解答题13.在等差数列{a n}中：(1)已知a5＋a10=58，a4＋a9=50，求S10；(2)已知S7=42，S n=510，a n-3=45，求n.14.在等差数列{a n}中，a10=18，前5项的和S5=-15，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．15.等差数列{a n }的前n 项和S n =-n 2＋n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .32205216.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列的前n 项{Sn n}和，求T n .答案解析1.答案为：D ；解析：由题意，得Error!即Error!解得Error!或Error!2.答案为：C ；解析：由S 2=4，S 4=20，得2a 1＋d=4,4a 1＋6d=20，解得d=3.3.答案为：C ；解析：由a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，可知d=3，a 1=-4.∴S 10=-40＋×3=95.10×924.答案为：B ；解析：由S 5=5a 3=25，∴a 3=5.∴d=a 3-a 2=5-3=2.∴a 7=a 2＋5d=3＋10=13.5.答案为：B ；解析：当n=1时，a 1=S 1=-8；当n≥2时，a n =S n -S n-1=(n 2-9n)-[(n-1) 2-9(n-1)]=2n-10.综上可得数列{a n }的通项公式a n =2n-10.所以a k =2k-10.令5＜2k-10＜8，解得k=8.6.答案为：C ；解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12=3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13=13a 7，∴S 13为常数．7.答案为：C ；解析：a m =S m -S m-1=2，a m ＋1=S m ＋1-S m =3，∴d=a m ＋1-a m =1，由S m ==0，知a 1=-a m =-2，a m =-2＋(m-1)=2，解得m=5. a1＋am m 28.答案为：27；解析：∵n≥2时，a n =a n-1＋，且a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，12以为公差的等差数列，所以S 9=9×1＋×=9＋18=27.129×82129.答案为：17；解析：Error!，∴d=10，a 1=-80.∴S n =-80n ＋×10=0，n n －1 2∴-80n ＋5n(n-1)=0，n=17.10.答案为：104；解析：因为a 1＋a 13=a 2＋a 12=2a 7，又a 2＋a 7＋a 12=24，所以a 7=8.所以S 13==13×8=104.13 a1＋a13 211.答案为：1；解析：由等差数列的性质，===，∴==×=1.a5a32a52a3a1＋a9a1＋a559S9S592 a1＋a9 52a1＋a5 955912.答案为：18，36；解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6=36　①，a n ＋a n-1＋a n-2＋…＋a n-5=180　②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n-1)＋…＋(a 6＋a n-5)=6(a 1＋a n )=216，∴a 1＋a n =36.又S n ==324，∴18n=324，∴n=18，∴a 1＋a 18=36，∴a 9＋a 10=a 1＋a 18=36.n a1＋an 213.解：(1)由已知条件得Error!解得Error!∴S 10=10a 1＋d=10×3＋×4=210.10× 10－1 210×92(2)S 7==7a 4=42，7 a1＋a7 2∴a 4=6.∴S n ====510.n a1＋an 2n a4＋an －3 2n 6＋45 2∴n=20.14.解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d.则Error!解得a 1=-9，d=3，∴a n =3n-12.(2)S n ==(3n 2-21n)=2-，n a1＋an 21232(n －72)1478∴当n=3或4时，前n 项的和取得最小值为-18.15.解：a 1=S 1=101，当n≥2时，a n =S n -S n-1=-n 2＋n-Error!Error!=-3n ＋104，a 1=S 1=101也适合上式，322052所以a n =-3n ＋104，令a n =0，n=34，故n≥35时，a n <0，n≤34时，a n >0，23所以对数列{|a n |}，n≤34时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a n =-n 2＋n ，322052当n≥35时，T n =|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |=a 1＋a 2＋…＋a 34-a 35-…-a n=2(a 1＋a 2＋…＋a 34)-(a 1＋a 2＋…＋a n )=2S 34-S n =n 2-n ＋3 502，322052所以T n =Error!16.解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1＋n(n-1)d ，12∵S 7=7，S 15=75，∴Error!即Error!解得Error!∴=a 1＋(n-1)d=-2＋(n-1)，Sn n 1212∵-=，Sn ＋1n ＋1Sn n 12∴数列是等差数列，其首项为-2，公差为，{Sn n }12∴T n =n×(-2)＋×=n 2-n.n· n －1 2121494。

新人教A版必修5高中数学2.3等差数列的前n项和(2)学案(二)

高中数学 2.3等差数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习重难点1.重点：数列前n 项和公式的研究应用2.难点：前 n 项和的公式n S 的最值.一、课前预习习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S .习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课探究 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 试一试例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为: n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 模仿练习练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则: S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则: 1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）. A. 70 B. 130 C. 170 D. 2104. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？课后反思。

人教版A版高中数学必修5：等差数列的求和公式

(中余2)两在a1个,等a量n差, n数?, d列, Sn a的n任中意，三如个果,已请知问五: 能个否元求素出其
n（n 1)
Sn na1
2
d
an a1 (n 1)d
结论：知三求二
举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 5, an 95, n 10;
n(a1 an ).
a1 an a2 an1 an a1
Sn

n(a1 an ) . 2
等差数列的前n项和公式
公式1
Sn

n（a1 2
an )
an a1 (n 1)d
公式2
Sn

na1

n（n 1) 2
d
思考
(1)两个求和公式有何异同点？
等差数列的前n项和
教学目标
知识与技能目标：
掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和求和公式。
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。
情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
(2)d

1 3
,
n

37,
Sn

629,
求a1及an
;
(1)d 17 , n 27 13
(2)a1 11, an 23
例3 等差数列-10，-6，-2，2， …的前多少项的和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54.

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《等比数列的前n项和公式》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《等比数列的前n 项和公式》一、选择题1.等比数列{a n }中，a n =2n ，则它的前n 项和S n =( )A ．2n -1B ．2n -2C ．2n ＋1-1D ．2n ＋1-22.在等比数列{a n }中，若a 1=1，a 4=，则该数列的前10项和S 10=( )18A ．2-B ．2-C ．2-D ．2-128129121012113.等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( )A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．2或-14.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为，54则S 5=( )A ．35B ．33C ．31D ．295.等比数列{a n }中，a 3=3S 2＋2，a 4=3S 3＋2，则公比q 等于( )A ．2 B. C ．4 D.12146.已知等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1，则a ＋a ＋…＋a 等于( )2122n A ．(2n-1)2 B.(2n -1) C ．4n -1 D.(4n -1)13137.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若=3，则=( )S4S2S6S4A ．2 B. C. D ．1或273310二、填空题8.若数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=2a n ，n=1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n =________.9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．10.等比数列的前n 项和S n =m·3n ＋2，则m=________.11.已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于________．12.设数列{a n}(n=1,2,3，…)的前n项和S n满足S n＋a1=2a n，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5=________.三、解答题13.在等差数列{a n}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}前20项的和S20.14.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-n2，a n=log5b n，其中b n>0，求数列{b n}的前n项和T n.15.已知数列{a n }的前n 项和S n =1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5=，求λ.313216.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3=7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =ln a 3n ＋1，n=1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .答案解析1.答案为：D ；解析：a 1=2，q=2，∴S n ==2n ＋1-2.2× 1－2n1－22.答案为：B ；解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 4=，得q 3=，解得q=，181812于是S 10===2-.a1 1－q10 1－q 1－ 12 101－121293.答案为：C ；解析：S 4==1，①S 8==17，②；②÷①得1＋q 4=17，a1· 1－q41－qa1· 1－q81－qq 4=16.q=±2.4.答案为：C ；解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3=a ·q 3=a 1·a 4=2a 1，∴a 4=2.21又∵a 4＋2a 7=a 4＋2a 4q 3=2＋4q 3=2×，∴q=.∴a 1==16.S 5==31.5412a4q3a1· 1－q51－q5.答案为：C ；解析：a 3=3S 2＋2，a 4=3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4-a 3=3a 3，即a 4=4a 3，∴q=4.6.答案为：D ；解析：根据前n 项和S n =2n -1，可求出a n =2n-1，由等比数列的性质可得{a }仍为等比数2n 列，且首项为a ，公比为q 2，∴a ＋a ＋…＋a =1＋22＋24＋…＋22n-2=(4n -1)．212122n 137.答案为：B ；解析：设S 2=k ，则S 4=3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q≠-1)，得S 2，S 4-S 2，S 6-S 4为等比数列，又S 2=k ，S 4-S 2=2k ，∴S 6-S 4=4k ，∴S 6=7k ，∴==，S6S47k 3k 73故选B.8.答案为：2n -1；解析：由=2，∴{a n }是以a 1=1，q=2的等比数列，故S n ==2n -1.an ＋1an 1× 1－2n1－29.答案为：；13解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2=S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q)=a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，∴4(1＋q)=1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q=.1310.答案为：-2；解析：设等比数列为{a n }，则a 1=S 1=3m ＋2，S 2=a 1＋a 2=9m ＋2⇒a 2=6m ，S 3=a 1＋a 2＋a 3=27m ＋2⇒a 3=18m ，又a =a 1·a 3⇒(6m) 2=(3m ＋2)·18m ⇒m=-2或m=0(舍去)．∴m=-2.211.答案为：2n -1；解析：由题意，Error!，解得a 1=1，a 4=8或者a 1=8，a 4=1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1=1，a 4=8，即q 3==8，所以q=2，a4a1因而数列{a n }的前n 项和S n ===2n -1.a1 1－qn 1－q 1－2n1－212.答案为：34；解析：由S n ＋a 1=2a n ，得a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n≥2)，即a n =2a n-1(n≥2)．从而a 2=2a 1，a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3=2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1=2(2a 1＋1)，解得a 1=2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n ，所以a 1＋a 5=2＋25=34.13.解：设数列{a n }的公差为d ，则a 3=a 4-d=10-d ，a 6=a 4＋2d=10＋2d ，a 10=a 4＋6d=10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10=a ，26即(10-d)(10＋6d)=(10＋2d)2.整理，得10d 2-10d=0.解得d=0或d=1.当d=0时，S 20=20a 4=200；当d=1时，a 1=a 4-3d=10-3×1=7，于是S 20=20a 1＋d=20×7＋190=330.20×19214.解：当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2n-n 2)-[2(n-1)-(n-1)2]=-2n ＋3，当n=1时，a 1=S 1=2×1-12=1也适合上式，∴{a n }的通项公式a n =-2n ＋3(n ∈N *)．又a n =log 5b n ，∴log 5b n =-2n ＋3，于是b n =5-2n ＋3，b n ＋1=5-2n ＋1，∴==5-2=.bn ＋1bn 5－2n ＋15－2n ＋3125因此{b n }是公比为的等比数列，且b 1=5-2＋3=5，125于是{b n }的前n 项和T n ==.5[1－(125)n ]1－12512524[1－(125)n ]15.解：(1)证明：由题意得a 1=S 1=1＋λa 1，故λ≠1，a 1=，a 1≠0.11－λ由S n =1＋λa n ，S n ＋1=1＋λa n ＋1得a n ＋1=λa n ＋1-λa n ，即a n ＋1(λ-1)=λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以=.an ＋1an λλ－1因此{a n }是首项为，公比为的等比数列，于是a n =n-1.11－λλλ－111－λ(λλ－1)(2)由(1)得S n =1-n .(λλ－1)由S 5=得1-5=，即5=.3132(λλ－1)3132(λλ－1)132解得λ=-1.16.解：(1)由已知得Error!解得a 2=2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2=2，可得a 1=，a 3=2q ，2q又S 3=7，可知＋2＋2q=7，即2q 2-5q ＋2=0.解得q 1=2，q 2=.2q 12由题意得q>1，∴q=2，∴a 1=1.故数列{a n }的通项为a n =2n-1.(2)由于b n =ln a 3n ＋1，n=1,2，…，由(1)得a 3n ＋1=23n ，∴b n =ln 23n =3nln 2.又b n ＋1-b n =3ln 2，∴{b n }是等差数列，∴T n =b 1＋b 2＋…＋b n ==·ln 2.n b1＋bn 23n n ＋12故T n =ln 2.3n n ＋1 2。

人教A版高中数学必修五作业5 等差数列前n项和.docx

马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作作业5 等差数列前n 项和一、选择题1.前n 个正整数的和为（） A.)1(+n n B.)1(-n n C.2)1(-n n D. 2)1(+n n 2.等差数列}{n a ，421=+a a ，2887=+a a ，则该数列前10项和10S = （） A .64 B.100 C.110 D.120 3.等差数列}{n a ，公差不为0，前n 项和为n S ，若7324a a a =，328=S ，则=10S （） A.18 B.24 C.60 D.90 4.等差数列}{n a ，前n 项和为n S ，若181375=a a ，则=139S S（） A.1813 B.75 C.21 D.139 5.数列{n a }，前n 项和为n S ，n a n 226-=使n S 最大的n 为（）A.11或12B.12C.13D.12或13 二、填空题6.等差数列}{n a 的，前n 项和为n S ，63=S ，43=a ，则公差d =7等差数列}{n a ,)1(),1(31-=+=x f a x f a 其中24)(2+-=x x x f ，n a =8.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，23a =，则9a =9.}60,12|{<∈-==+m N n n m m M ， M 中所有元素的和=三、解答题10.下列数列均为等差数列，根据条件求相应的未知数1、201=a ，54=n a ，n S =999，求d ，n2、2=d ，15=n ，10-=n a ，求1a 、n S 11.设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；12. 点（1，2）是函数()(01)xf x a a a =>≠且图象上一点，数列}{n a 的前n 项和为：1)(-=n f S n 求数列}{n a 的通项公式13. .已知}{n a 为等差数列，前n 项和为n S ，531a a a ++=105，642a a a ++=99①求20a②当n 为和值是n S 的最大？最大是多少？一、选择题二、填空题6． 7．8． 9．，三、解答题 10． 11.12. 13.1 2 3 4 5。

高中数学课时作业9 等差数列的性质及简单应用新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

课时作业9 等差数列的性质及简单应用[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40等于( )A ．40B ．70C ．80D ．90解析：方法一：因为a 20＝a 10＋10d ，所以50＝30＋10d ，所以d ＝2，a 40＝a 20＋20d ＝50＋20×2＝90.方法二：因为2a 20＝a 10＋a 30，所以2×50＝30＋a 30，所以a 30＝70，又因为2a 30＝a 20＋a 40，所以2×70＝50＋a 40，所以a 40＝90.答案：D2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则a 4＋a 10等于( )A ．3B ．4C ．5D ．12解析：a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10，∴由题设知6(a 4＋a 10)＝24，∴a 4＋a 10＝4.答案：B3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( ) A ．－1 B ．0C.14D.12解析：a 2＋a 4＝2a 3＝2，又a 2a 4＝34，且a 4>a 2，解得a 2＝12，a 4＝32，∴d ＝12，∴a 1＝0. 答案：B4．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：由已知得：a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(a 5＋a 10)＝24.答案：C5．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个说法．p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎪⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中正确的是( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，d >0，所以a n －a n －1＝d >0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，所以na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关．故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，所以a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)，当d －a 1>0，即d >a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增，但d >a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0.所以数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 解析：∵数列{a n }，{b n }都是等差数列，∴数列{a n ＋b n }也构成等差数列，∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)，∴2×21＝7＋a 5＋b 5，∴a 5＋b 5＝35.答案：357．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝________.解析：本题考查等差数列的性质及通项公式．∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35.∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴公差d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.答案：18．已知{a n }为等差数列，a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则该数列的正数项共有________项．解析：∵a 5＋a 7＝2a 6＝4，a 6＋a 8＝2a 7＝－2，∴a 6＝2，a 7＝－1，∴d ＝a 7－a 6＝－3，∴a n ＝a 6＋(n －6)d ＝2＋(n －6)×(－3)＝－3n ＋20.令a n ≥0，解得n ≤203，即n ＝1,2,3，…，6，故该数列的正数项共有6项．答案：6三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解析：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.10．首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件：(1)a 3＋a 5＋a 7＝93；(2)满足a n >100的n 的最小值是15.试求公差d 和首项a 1的值．解析：因为a 3＋a 5＋a 7＝93，所以3a 5＝93，所以a 5＝31，所以a n ＝a 5＋(n －5)d >100，所以n >69d＋5. 因为n 的最小值是15，所以14≤69d＋5<15，所以6910<d ≤723，又d 为正整数，所以d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.[能力提升](20分钟，40分)11．已知{a n }是公差为正数的等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1·a 2·a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13的值为( )A ．105B ．120C ．90D ．75解析：由等差数列的性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，所以a 2＝5，又因为a 1·a 2·a 3＝80，所以a 1·a 3＝16，所以(a 2－d )(a 2＋d )＝16，即(5－d )(5＋d )＝16，所以d 2＝9，又因为d >0，所以d ＝3.所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋10×3)＝105.答案：A12．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n ＞0，则a n ＝________.解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，所以a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n ＞0，所以a n ＝4n －3. 答案：4n －313．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，求m ＋n 的值．解析：设x 2－x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2， x 2－x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.不妨设数列的首项为x 1，则数列的第4项为x 2，所以x 1＝14，x 2＝34，公差d ＝34－143＝16. 所以中间两项分别是512，712. 所以x 1x 2＝316，x 3x 4＝512×712. 所以m ＋n ＝316＋512×712＝3172.14．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．解析：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为a n ＝3n ＋5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为b m ＝4m ＋8.根据公共项的意义，就是两项相等，令a n ＝b m ，即n ＝4m 3＋1，该方程有正整数解时，m ＝3k ，k 为正整数，令k ＝1，得m ＝3，则n ＝5. 因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项．。

人教新课标版数学高二人教A版必修5试题 2.3等差数列的前n项和

课时跟踪检测(九) 等差数列的前n 项和一、选择题1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．233．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.7．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．8．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4＝2a 3，则S 7S 5＝ ________.三、解答题9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．求数列{a n }的通项公式．10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．答案课时跟踪检测(九)1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．选C 由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. 3．选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎨⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1. 4．选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列．所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.5．选C 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30 求得d ＝3，故选C.6．解析：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，于是a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .答案：2n7．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：1108．解析：由等差数列的性质知S 7S 5＝7a 45a 3＝75×a 4a 3＝75×2＝145. 答案：1459．解：依题意得，S n n＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，因a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．10．解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32(n －72)2－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.。

2020年高中数学人教A版必修5 同步作业本《等差数列的前n项和》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 同步作业本《等差数列的前n 项和》一、选择题1.在等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6633.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．294.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=40，S n =210，S n-4=130，则n=( )A ．12B ．14C ．16D ．185.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D.126.若数列{a n }满足：a 1=19，a n ＋1=a n -3(n∈N *), 则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=S 3=12，则{a n }的通项a n =________．8.一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，则公差d=________．9.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10=________．10.在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则满足S n ＜0的n 的最大值为________．三、解答题11.等差数列{a n}中，a10=30，a20=50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n=242，求n.12.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5＋a13=34，S3=9.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式．(2)设数列{b n}的通项公式为b n=a na n＋t，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．13.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n∈N *)均在函数y=3x-2的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =3a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .答案解析1.答案为：B ；解析：由S 10=10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10=S 105=1205=24.2.答案为：B ；解析：因为a 1=2，d=7，2＋(n-1)×7<100，所以n<15，所以n=14，S 14=14×2＋12×14×13×7=665.3.答案为：B ；解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n=n （n ＋1）2. 当n=19时，S 19=190.当n=20时，S 20=210>200.所以n=19时，剩余钢管根数最少，为10根．4.答案为：B ；解析：因为S n -S n-4=a n ＋a n-1＋a n-2＋a n-3=80，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=40，所以4(a 1＋a n )=120，a 1＋a n =30，由S n =n （a 1＋a n ）2=210，得n=14.5.答案为：A ；解析：S 9S 5=92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1.6.答案为：B ；解析：因为a n ＋1-a n =-3，所以数列{a n }是以19为首项，-3为公差的等差数列，所以a n =19＋(n-1)×(-3)=22-3n.设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k≥0，22－3（k ＋1）≤0，所以193≤k ≤223，因为k∈N *，所以k=7.故满足条件的n 的值为7.7.答案为：2n ；解析：设等差数列首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×22d ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋d ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n =a 1＋(n-1)d=2n.8.答案为：5；解析：S 12=354，所以S 奇=354×2732＋27=162，S 偶=354×3232＋27=192，所以S 偶-S 奇=30=6d ，所以d=5.9.答案为：190；解析：a n =2n-30，令a n ＜0，得n ＜15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10=-(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)=-102(a 1＋a 10)=-5[(-28)＋(-10)]=190.10.答案为：19；解析：因为a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，所以a 11＞-a 10，a 1＋a 20=a 10＋a 11＞0，所以S 20=20（a 1＋a 20）2＞0.又因为a 10＋a 10＜0，所以S 19=19×（a 10＋a 10）2=19a 10＜0，故满足S n ＜0的n 的最大值为19.11.解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d.则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. 所以a n =a 1＋(n-1)d=12＋(n-1)×2=10＋2n.(2)由S n =na 1＋n （n －1）2d 以及a 1=12，d=2，S n =242，得方程242=12n ＋n （n －1）2·2，即n 2＋11n-242=0，解得n=11或n=-22(舍去)．故n=11.12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 5＋a 13=34，S 3=9.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＋a 1＋12d ＝34，a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝9，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n =1＋(n-1)×2=2n -1，S n =n×1＋n （n －1）2×2=n 2. (2)由(1)知b n =2n －12n －1＋t ，所以b 1=11＋t ，b 2=33＋t ，b m =2m －12m －1＋t，若b 1，b 2，b m (m≥3，m ∈N)成等差数列，则2b 2=b 1＋b m ，所以63＋t =11＋t ＋2m －12m －1＋t，即6(1＋t)(2m-1＋t)=(3＋t)(2m-1＋t)＋(2m-1)·(1＋t)(3＋t)，整理得(m-3)t 2-(m ＋1)t=0，因为t 是正整数，所以(m-3)t-(m ＋1)=0，m=3时显然不成立，所以t=m ＋1m －3=m －3＋4m －3=1＋4m －3，又因为m≥3，m ∈N ，所以m=4或5或7，当m=4时，t=5；当m=5时，t=3；当m=7时，t=2.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m ∈N)成等差数列．即当t=5时，b 1，b 2，b 4成等差数列；当t=3时，b 1，b 2，b 5成等差数列；当t=2时，b 1，b 2，b 7成等差数列．13.解：(1)依题意，得S n n=3n-2，即S n =3n 2-2n. 当n≥2时，a n =S n -S n-1=(3n 2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；当n=1时，a 1=1也适合．即a n =6n-5.(2)由(1)得b n =3a n a n ＋1=3（6n －5）[6（n ＋1）－5]=12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1.。

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《等差数列的前n项和公式的性质及应用》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《等差数列的前n 项和公式的性质及应用》一、选择题1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5=3，则S 5=( )A ．5B ．7C ．9D ．112.数列{a n }为等差数列，若a 1=1，d=2，S k ＋2-S k =24，则k=( )A ．8B ．7C ．6D ．53.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 4=20，则S 6=( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ． 484.设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }的前8项和为( )A ．128B ．80C ．64D ．565.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．2206.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m-1＋a m ＋1-a 2m =0，S 2m-1=38，则m=( )A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题8.有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n =2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．9.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5=105，a 2＋a 4＋a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．10.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．11.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n =2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=________.12.数列{a n }的通项公式a n =ncos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于________．三、解答题13.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．14.已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值．15.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？16.已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n =18(a n ＋2)2. (1)求证{a n }是等差数列；(2)设b n =12a n -30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．答案解析1.答案为：A ；解析：a 1＋a 3＋a 5=3a 3=3⇒a 3=1，S 5=5a 1＋a 52=5a 3=5.2.答案为：D ；解析：∵S k ＋2-S k =a k ＋1＋a k ＋2=a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d =2a 1＋(2k ＋1)d=2×1＋(2k ＋1)×2=4k＋4=24，∴k=5.3.答案为：D ；解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n =n 2＋n n －12d ， ∴S 4=2＋6d=20，∴d=3，∴S 6=3＋15d=48.4.答案为：C ；解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8=8a 1＋a 82=8a 2＋a 72=8×3＋132=64.5.答案为：B ；解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20=a 2＋a 19=a 3＋a 18.又a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18=54.∴3(a 1＋a 20)=54.∴a 1＋a 20=18.∴S 20=20a 1＋a 202=180.6.答案为：A ；解析：∵a 1＋a 2＋a 3=34，① a n ＋a n-1＋a n-2=146，②又∵a 1＋a n =a 2＋a n-1=a 3＋a n-2，∴①＋②得3(a 1＋a n )=180，∴a 1＋a n =60.③ S n =a 1＋a n ·n 2=390.④ 将③代入④中得n=13.7.答案为：C ；解析：由等差数列的性质，得a m-1＋a m ＋1=2a m ，∴2a m =a 2m .由题意得a m ≠0，∴a m =2.又S 2m-1=2m －1a 1＋a 2m －12=2a m 2m －12=2(2m-1)=38，∴m=10.8.答案为：3115；解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n =2n ＋1n ＋2，不妨设S n =kn(2n ＋1)，T n =kn(n ＋2)(k≠0)，则a n =3k ＋4k(n-1)=4kn-k ，b n =3k ＋2k(n-1)=2kn ＋k.所以a 8b 7=32k －k 14k ＋k =3115.9.答案为：20；解析：由已知得3a 3=105,3a 4=99，∴a 3=35，a 4=33，∴d=-2，a n =a 4＋(n-4)(-2)=41-2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得n=20.10.答案为：3；解析：S 奇=a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9=15，S 偶=a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10=30，∴S 偶-S 奇=5d=15，∴d=3.11.答案为：32；解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9=3a 1＋12d 13b 1＋12d 2=a 5b 5=a 1＋a 92b 1＋b 92=9×a 1＋a 929×b 1＋b 92=A 9B 9=2×99＋3=32.12.答案为：1 008；解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8=2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4=2，k ∈N ，故S 2 016=504×2=1 008.13.解：由题意知，S n =a n ＋12，得：S n =a n ＋124， ∴a 1=S 1=1，又∵a n ＋1=S n ＋1-S n =14[(a n ＋1＋1)2-(a n ＋1)2]， ∴(a n ＋1-1)2-(a n ＋1)2=0.即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1-a n -2)=0，∵a n ＞0，∴a n ＋1-a n =2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n =2n-1.14.解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n =a 1＋(n-1)d.由a 1=1，a 3=-3可得1＋2d=-3，解得d=-2.从而a n =1＋(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n =3-2n.所以S n =n[1＋3－2n ]2=2n-n 2. 进而由S k =-35可得2k-k 2=-35，即k 2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.又k ∈N *，故k=7为所求结果．15.解：由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n =1 550×2=3 100，d=50×3×2=300，S n =17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋n －1×300＝3 100， ①na 1＋n n －12×300＝17 500. ②由①得a 1=3 400-300n.代入②得n(3 400-300n)＋150n(n-1)-17 500=0，整理得3n 2-65n ＋350=0，解得n=10或n=353(舍去)，所以a 1=3 400-300×10=400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10=30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400-100=100(m)．所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.16.解：(1)证明：当n=1时，a 1=S 1=18(a 1＋2)2，解得a 1=2. 当n≥2时，a n =S n -S n-1=18(a n ＋2)2-18(a n-1＋2)2，即8a n =(a n ＋2)2-(a n-1＋2)2，整理得，(a n -2)2-(a n-1＋2)2=0，即(a n ＋a n-1)(a n -a n-1-4)=0.∵a n ∈N *，∴a n ＋a n-1>0，∴a n -a n-1-4=0，即a n -a n-1=4(n≥2)．故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)设{b n }的前n 项和为T n ，∵b n =12a n -30，且由(1)知a n =2＋(n-1)×4=4n -2， ∴b n =12(4n-2)-30=2n-31，故数列{b n }是单调递增的等差数列．令2n-31=0，得n=1512， ∵n ∈N *，∴当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<…，当n=15时，T n 取得最小值，最小值为T 15=－29－12×15=-225.。

人教A版高中数学必修五2.3《等差数列的前n项和》作业(第二课时).docx

2.3《等差数列的前n 项和》作业（第二课时）1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）A.5B.4C. 3D.22.在等差数列{}n a 中，若1264=+a a ,S n 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为 ( )（A ）48 (B)54 (C)60 (D)663.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=126S S ( ) （A ）103 （B ） 31 （C ）8 （D ）91 4.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（）A ．55B ．70C ．85D ．1005.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，，则111213a a a ++= （）A ． 120B ． 105C ． 90D ．756. {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6707. 若等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（）A ．3B ．4C ．5D ．68. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若＝则432,3,1S a a ==（）A ．12B ．10C ．8D ．69．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）A ．63B ．45C ．36D ．2710. 等差数列{}n a 的公差是正数,且4,126473-=+-=a a a a ,求它的前20项的和.11. 已知数列{}n a 为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

高二数学人教A必修5练习：2.3.1 等差数列的前n项和 Word版含解析

课时训练9等差数列的前n项和一、等差数列前n项和公式及应用1.在等差数列{a n}中,d=2,a n=11,S n=35,则a1为()A.5或7B.3或5C.7或-1D.3或-1答案:D解析:a1+(n-1)×2=11①,S n=na1+n(n-1)2×2=35②,由①②解得a1=3或a1=-1.经检验,a1=3与a1=-1均符合题意,故选D.2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=18-a5,则S8等于()A.18B.36C.54D.72答案:D解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.∴S8=8(a1+a8)2=4(a1+a8)=4(a4+a5)=72.3.(2015河北邯郸三校联考,2)等差数列{a n}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.220答案:B解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20).∴a1+a20=18.∴S20=20(a1+a20)2=180.故选B.4.设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和.若S9=3a8,则S153a5=()A.15B.17C.19D.21答案:A解析:由S9=3a8,得9(a1+a9)2=32(a1+a15),即9a5=S155,所以S153a5=15.5.有一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小角为100°,则边数n=.答案:8解析:n×100°+n(n-1)2×10°=(n-2)×180°,解得n=8或n=9.又a n=100°+(n-1)×10°<180°,∴n=8.6.已知等差数列{a n}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为S n.设S k=2 550,求a和k的值.解:设{a n}的公差为d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a.又2a2=a1+a3,∴8=(a-1)+2a,∴a=3,∴a 1=2,d=a 2-a 1=2.由S k =ka 1+k (k -1)2d ,得2k+k (k -1)2×2=2 550, 即k 2+k-2 550=0,解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50.二、由S n 求解数列的通项公式7.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2+1,则数列{a n }的通项公式为 . 答案:a n ={2,n =1,2n -1,n ≥2解析:当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+1-(n-1)2-1=2n-1.当n=1时,a 1=S 1=1+1=2不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ={2,n =1,2n -1,n ≥2.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n -2,求数列{a n }的通项公式. 解:当n=1时,a 1=S 1=31-2=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(3n -2)-(3n-1-2)=2×3n-1,而2×31-1=2≠1. 故数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =1,2×3n -1,n ≥2.9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1,a n +2S n S n-1=0(n ≥2). (1)求证:数列{1S n}是等差数列; (2)求{a n }的通项公式. (1)证明:∵n ≥2时,a n =S n -S n-1,又a n +2S n S n-1=0,∴S n -S n-1+2S n S n-1=0.∵S n ≠0,两边同除以S n S n-1,得1S n -1−1S n +2=0,即1S n −1S n -1=2(n ≥2), ∴数列{1S n}是等差数列.(2)解:∵a 1=1,1S 1=1a 1=1, ∴1S n=1+(n-1)×2=2n-1,∴S n =12n -1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n -1−12(n -1)-1 =-2(2n -1)(2n -3).而-2(2×1-1)(2×1-3)=2≠1,故{a n }的通项公式a n ={1,n =1,-2(2n -1)(2n -3),n≥2.(建议用时:30分钟) 1.在等差数列{a n}中,若a1-a4+a8-a12+a15=2,则S15等于()A.28B.30C.31D.32 答案:B解析:∵a1-a4+a8-a12+a15=(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2.∴S15=15(a1+a15)2=15×2a82=30.2.在等差数列{a n}中,公差d≠0,首项a1≠d.如果这个数列的前20项的和S20=10M,则M应是()A.a5+a15B.a2+2a10C.2a1+19dD.a20+d答案:C解析:∵S20=20a1+20×192d=10(2a1+19d)=10M,∴M=2a1+19d.3.已知数列{a n}为等差数列,其前n项的和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d=()A.1B.2C.3D.53答案:B解析:在等差数列中,S3=3(a1+a3)2=3(a1+6)2=12,解得a1=2,所以解得d=2,选B.4.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为()A.20B.21C.22D.24答案:A解析:由数列前n项和公式可得(k+2)(4+67)2=781,解得k=20.5.(2015江西吉安联考,5)在等差数列{a n}中,a9=12a12+6,则数列{a n}的前11项和S11等于()A.24B.48C.66D.132答案:D解析:∵数列{a n}为等差数列,设其公差为d,∵a9=12a12+6,∴a1+8d=12(a1+11d)+6,∴a 1+5d=12,即a 6=12.∴数列{a n }的前11项和S 11=a 1+a 2+…+a 11=(a 1+a 11)+(a 2+a 10)+…+(a 5+a 7)+a 6 =11a 6=132.故选D .6.已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=12,S 2=a 3,则a 2= ,S n = . 答案:1 14n 2+14n7.若一个等差数列前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有项. 答案:13解析:∵{a 1+a 2+a 3=34,a n +a n -1+a n -2=146,∴3(a 1+a n )=180,a 1+a n =60,S n =n (a 1+a n )2=390.∴n=13. 8.设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 5=5a 3,则S 9S 5= . 答案:9解析:S 9S 5=9(a 1+a 9)25(a 1+a 5)2=9a 55a 3,又∵a 5=5a 3,∴S9S 5=9.9.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,a 3+a 5=38. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2. 解:(1)设数列{a n }的公差为d ,则由已知得{a 1=25,2a 1+6d =38,解得d=-2.∴通项公式a n =-2n+27.(2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2, 由已知a 3n-2=-6n+31.∴数列{a 3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列. ∴S n =n (a 1+a 3n -2)2=-3n 2+28n. 10.一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24 min 可注满水池.如果开始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?解:设共有n 个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为x 1,x 2,…,x n .由已知可知x 2-x 1=x 3-x 2=…=x n -x n-1,∴数列{x n}成等差数列,每个水龙头1 min放水1(这里不妨设水池的容积为1),24n∴1·(x1+x2+…+x n)=1,即S n=24n.24n∴n(x1+x n)=24n.∴x1+x n=48.2又∵x n=5x1,∴6x1=48.∴x1=8(min),x n=40(min).故最后关闭的水龙头放水40 min.。

人教新课标版数学高二-人教A必修5学案 2.3 等差数列的前n项和(一)

2．3 等差数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．[知识链接]1．设梯形的上底，下底，高分别为a ，b ，h ，把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形，则梯形的面积为________．答案(a ＋b )h22．把二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋3化成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式是________，当x ＝________时，y 有最大值________．答案 y ＝－2(x －1)2＋5 1 5解析 y ＝－2x 2＋4x ＋3＝－2(x 2－2x )＋3＝－2(x －1)2＋5. ∴x ＝1时，y 有最大值5. [预习导引]1．数列前n 项和的概念把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n . a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1(n ≥2)． 2．等差数列前n 项和公式(1)若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2；(2)若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d .3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.要点一与等差数列S n 有关的基本量的计算例1 在等差数列{a n }中．(1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .解 (1)由题意，得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.(3)由⎩⎨⎧a n＝a 1＋(n －1)d ，S n＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎨⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.规律方法 a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．跟踪演练1 在等差数列{a n }中； (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10； (2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.要点二等差数列前n 项和公式在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．规律方法建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪演练2 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．要点三等差数列前n 项和性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m . (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．解 (1)法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512. 规律方法等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪演练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20解得d ＝3.法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 3．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19(a 10＋a 10)2＝19a 10＝19×10＝190.4．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a 12；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4.(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171.1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意结论若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p 的应用．一、基础达标1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12 B ．2 C.14 D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________．答案 (n ＋1)：n解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2，∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n .7．已知等差数列{a n }的前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧ a ＋3a ＝2×4d ＝4－aka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2d ＝2k ＝50.(注：k ＝－51舍)∴a ＝2，k ＝50.8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9.解设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 二、能力提升9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案 C解析因为{a n }是等差数列，所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ，由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得：2a m －a 2m ＝0，由S 2m －1＝38知a m ≠0，所以a m ＝2，又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.10．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.答案310解析由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d12a 1＋66d＝27d 90d ＝310. 12．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，①②①×10－②，整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100.∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎪⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.法二数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10，又∵S 10＝100，代入上式得d ′＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 法三设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，∴⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110，∴S n ＝－11100n 2＋11110n ，∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.三、探究与创新13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c，∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12(c ＝0舍去)．经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。

人教版高中数学高二必修五等差数列的前n项和

一、选择题1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 1＋10d ＝25，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.于是，a 7＝a 1＋6d ＝1＋12＝13.答案：B2．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12 解析：∵a 3＋a 5＝2a 4＝14，∴a 4＝7.d ＝a 4－a 13＝2， S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2＝100 ∴n ＝10.答案：B3．(2012·兖州高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：∵数列{a n }为等差数列，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：B4．(2011·安徽高考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15解析：a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15. 答案：A二、填空题5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 又2×1－11＝－9＝a 1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11.答案：2n －116．对于两个等差数列{a n }和{b n }，有a 1＋b 100＝100，b 1＋a 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项之和S 100为________．解析：显然{a n ＋b n }仍是等差数列．且(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)＝200，则S 100＝100×[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝10 000.答案：10 0007．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．解析：设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24，∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值，所以a 1＋5d 为定值．所以n ＋126＝5，n ＝18. 答案：188．(2012·荆州中学月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，且S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *，n ≥2)则数列{a n }的通项公式为________解析：由S n ＝S n －1＋a n －1＋12得S n －S n －1＝a n －1＋12，即a n －a n －1＝12(n ∈N *，n ≥2)，则数列{a n }是以12为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)×12＝12n －14(n ∈N *)．答案：a n ＝12n －14三、解答题9．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．10．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n 2S n －1(n ≥2)，求a n .解：当n ≥2时，将S n －S n －1＝a n 代入式子a n ＝2S 2n 2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1. 整理，得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1.两边同除S n ·S n －1得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{1S n }是以2为公差的等差数列．则1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝2n －1. ∴S n ＝12n －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2(2n －1)(2n －3). 当n ＝1时，a 1＝1不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1(n ＝1)，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.。

人教版高中数学高二-必修五练习数列前n项和与等差数列的前n项和

►基础梳理1．(1)对于任意数列{a n}，S n＝__________________，叫做数列{a n}的前n项的和．(2)S n－S n－1＝____________．2．(1)等差数列{a n}的前n项和公式为________________________________________________________________ ________．(2)等差数列：2，4，6，…，2n，…的前n项和S n＝__________．(3)等差数列首项为a1＝3，公差d＝－2，则它的前6项和为______．3．(1)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成公差为______________的等差数列．(2)已知等差数列{a n}，a n＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：________．它们成______数列．4．(1)由S n的定义可知，当n＝1时，S1＝________；当n≥2时，a n ＝__________，即a n＝__________________．(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝n2，则a n＝________________＝____________．5．(1)等差数列的前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2可化成关于n的二次式子为________________________，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．(2)已知等差数列的前n项和为S n＝n2－8n ，则前n项和的最小值为______，此时n ＝______．基础梳理1．(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n(2)a n (n ≥2)，a 1＝S 1(n ＝1)2．(1)S n ＝n （a 1＋a n ）2或S n ＝na 1＋n （n －1）d 2(2)(n ＋1)n(3)－123．(1)k 2d(2)6，15，24 等差4．(1)a 1 S n －S n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2(2)⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥22n －1，n ∈N * 5．(1)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (2)－16 4►自测自评1．(2014·福建卷)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝( )A ．8B ．10C ．12D ．142．已知数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( )A ．－9B ．－11C ．－13D ．－153．1＋4＋7＋10＋…＋(3n ＋4)＋(3n ＋7)等于( )A .n （3n ＋8）2B .（n ＋2）（3n ＋8）2C .（n ＋3）（3n ＋8）2D .n （3n －1）2自测自评1．解析：设公差为d ，依题意得3×2＋12×3×2d ＝12，∴d ＝2，所以a 6＝2＋(6－1)×2＝12，故选C.答案：C2．解析：(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3.∴S 10＝10（a 3＋a 8）2＝－15. 答案：D3．解析：本题的项数为n ＋3项，这一点很关键．答案：C►基础达标1．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等差数列，若S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d 为( )A ．8B ．16C ．4D ．01．解析：S 4＝32⇒2(a 2＋a 3)＝32，∴a 2＋a 3＝16，又a 2a 3＝13，a 3＝3a 2，∴a 2＝4，a 3＝12，∴d ＝a 3－a 2＝8.故选A.答案：A2．设a 1，a 2，…和b 1，b 2，…都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }前100项之和为( )A ．0B ．100C ．10 000D ．50 5002．解析：S 100＝100＋1002×100＝10 000.故选C. 答案：C3．等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＜0，S n 为其前n 项和，则点(n ，S n )可能在下列哪条曲线上( )3．解析：由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，及d ＜0，a 1＞0知，d 2＜0，a 1－d 2＞0，故排除A ，B.对称轴n ＝－a 1－d 2d ＝d －2a 12d＞0，排除D. 答案：C4．已知等差数列共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1的值为( )A ．30B ．29C ．28D ．274．解析：奇数项共有n ＋1项，其和为a 1＋a 2n ＋12×(n ＋1)＝2×a n ＋12·(n ＋1)＝290， ∴(n ＋1)a n ＋1＝290，偶数项共有n 项，其和为a 2＋a 2n 2×n ＝2×a n ＋12·n ＝na n ＋1＝261， ∴a n ＋1＝290－261＝29.故选B.答案：B5．(2013·上海卷)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和S n ＝________．5.56n 2－76n ►巩固提高6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n＝7n ＋14n ＋27，则a 11b 11的值为( ) A .74 B .32 C .43 D .78716．解析：S 2n －1＝(2n －1)·a 1＋a 2n －12＝(2n －1)·2·a n 2＝(2n －1)a n . 同理T 2n －1＝(2n －1)b n .∴S 2n －1T 2n －1＝（2n －1）a n （2n －1）b n ＝a n b n .令n ＝11得a 11b 11＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.故选C. 答案：C7．已知lg x ＋lg x 3＋lg x 5＋…＋lg x 21＝11，则x ＝________________________________________________________________________.7．解析：由条件得lg(x ·x 3·x 5·…·x 21)＝11⇒lg x 1＋3＋5＋…＋21＝11⇒121lg x ＝11，lg x ＝111，x ＝10111. 答案：11108．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 2＋2(n ∈N *)，则a n ＝______________________．8．解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n 2－4(n －1)2＝8n －4. ∴a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，8n －4，n ≥2，n ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，8n －4，n ≥2，n ∈N*9．在小于100的正整数中共有多个数被3除余2？这些数的和是多少？9．分析：被3除余2的正整数可以写成3n ＋2(n ∈N *)的形式．解析：由3n ＋2＜100，得n ＜3223，即n ＝0，1，2，3，…，32.∴在小于100的正整数中共有33个数被3除余2.把这些数从小到大排列起来为：2，5，8，…，98，组成一个等差数列{a n }，其中a 1＝2，a 33＝98，n ＝33，因此它们的和为S 33＝33×（2＋98）2＝1 650. 10．已知等差数列{a n }中，a 1＝－3，11a 5＝5a 8－13.(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．10．解析：(1)由11a 5＝5a 8－13，得11(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )－13.∵a 1＝－3，∴d ＝59. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋(n －1)×59，令a n ≤0，得n ≤325. ∴a 1＜a 2＜…＜a 6＜0＜a 7＜….∴S n 的最小值为S 6＝6a 1＋6×5d 2＝6×(－3)＋15×59＝－293.1．记清等差数列的前n 项和公式的两种形式并能正确地选用，具备三个条件n ，a 1，a n 选用S n ＝n （a 1＋a n ）2，具备三个条件n ，a 1，d 选用S n ＝na 1＋n （n －1）d 2. 2．基本量原则：注意在五个基本量n ，a 1，d ，a n ，S n 中知三个量利用等差数列的通项公式与前n 项和公式可以求其他两个量．3．注意把实际问题化为等差数列的问题研究．。

精品高二数学必修5课时练：等差数列的前n项和(一)

§2.3等差数列的前n项和(一)课时目标1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n之间的关系．1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作S 16；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1 (n ≥2)．2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n (a 1＋a n )2；若首项为a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋12n (n －1)d .3．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.(2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m－S 2m 也成等差数列．(3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( )A.12 B ．2 C.14D ．4 答案 A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 答案 D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得 (a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－1 答案 B解析由⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3. 二、填空题7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 答案 15解析设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．答案 6512解析 a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.9．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．答案 10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165，S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150.∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10.10．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m的值是________．答案 210解析方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210. 三、解答题11．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .解由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.12．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .能力提升13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29 答案 B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．14．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1，∴n ＝1,2,3,5,11.。

人教新课标版数学高二-人教数学必修五练习等差数列的前n项和

课后巩固作业（十）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1．设等差数列{a n }的前ｎ项和为S n ，若141a ,S 202＝＝，则S 6=（）（Ａ）16 （Ｂ）24 （Ｃ）36 （Ｄ）482.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+a 5=18，则S 8等于（）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）723.（2011·大纲版全国高考）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1，公差d=2,S k+2-S k =24,则k=（）（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）54.已知数列{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和， S 6＜S 7,S 7=S 8,S 8＞S 9,则下列说法中错误的是（）（A ）d ＜0 （B ）a 8=0（C ）S 10＞S 6 （D ）S 7和S 8均为S n 的最大值二、填空题(每小题4分，共8分)5.（2011·湖南高考）设S n 是等差数列{a n }(*n N )的前n 项和，且a 1=1,a 4=7,则S 5=______.6.等差数列{a n }中，a 3＝-５，a 6＝１，设S n 是数列{a n }的前ｎ项和，则S 8＝_____．三、解答题(每小题8分，共16分) 7.已知等差数列{a n }中，a 10=30,a 20=50.(1)求{a n }的通项公式；（2）若S n =242,求项数n. 8.在等差数列{a n }中，a 10=18，前5项的和S 5=-15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值,并指出何时取得最小值. 【挑战能力】（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2),a 1=1,求数列{a n }的前n 项和S n .答案解析1.【解析】选Ｄ．S 4＝2＋6ｄ＝20，∴ｄ＝3，S 6＝3+15ｄ＝48．2.【解析】选D.1845a a a a 18,+=+=184588a a 8a a S 72.22++∴===（）（）3.【解题提示】可直接利用等差数列前n 项和公式建立关于k 的方程解出k 值.也可利用S k+2-S k =a k+2+a k+1,再利用等差数列通项公式求解. 【解析】选D.S k+2-S k =a k+2+a k+1=2a 1+（2k+1）d=2+（2k+1）×2=24,∴k=5.4.【解析】选C.∵S 6＜S 7,S 7=S 8,S 8＞S 9,∴a 7＞0,a 8=0,a 9＜0,∴d ＜0,S 7和S 8均为S n 的最大值，S 10＜S 6.5.【解析】由a 1=1,a 4=7得到公差d=2，则554S 51225.2⨯=⨯+⨯= 答案：256.【解题提示】本题可由等差数列通项公式求出a 1和d ，再求S 8；也可利用等差数列的性质a 1+a 8=a 3+a 6,故183688a a 8a a S .22++==（）（）【解析】方法一：设公差为ｄ，则11a 2d 5a 5d 1+=-⎧⎨+=⎩，，解得：a 1＝-9，ｄ＝2， ∴S 8＝８a 1＋28ｄ＝-16．方法二：183688a a 8a a S 45116.22++===⨯-+=-（）（）（）答案：-167.【解析】(1)设公差为d,由11a 9d 30,a 19d 50+=⎧⎨+=⎩ 解得a 1=12,d=2. ∴a n =2n+10.(2)由S n =na 1+12n(n-1)d,即242=12n+n(n-1), 解得n=11(n=-22舍去). 8.【解析】(1)设公差为d,则 11a 9d 1855a 4d 152+=⎧⎪⎨+⨯⨯=-⎪⎩ 得a 1=-9,d=3，a n =3n-12. (2)方法一：21n n n a a 1S 3n 21n 22+==-（）（）237147n 228=--（），∴当n=3或4时，前n 项的和取得最小值为-18. 方法二:设前n 项的和取得最小值,则n n 1a 3n 120a 3n 1120+=-≤⎧⎨=+-≥⎩（）得3≤n ≤4∴当n=3或4时，S n =-18, ∴前n 项的和取得最小值为-18.【方法技巧】巧求等差数列前n 项和S n 的最值方法（1）由二次函数的最值特征求解2n 11n n 1d dS na d n a n 222-=+=+-（）（） 2112d d a a d 22n 2d 2d --=+-（）（） 2211a a d 1d 1n .22d 22d=----［（）］（）由二次函数的最大值、最小值及*n N ∈知，当n 取最接近1a 12d -的正整数时，S n 取到最大（或最小）值，值得注意的是最接近1a12d-的正整数有时有1个，有时有2个. (2)根据项的符号来确定.若a 1＞0,d ＜0，则数列的所有非负数项之和最大；若a 1＜0,d ＞0则数列的所有非正数项之和最小. 【挑战能力】【解题提示】a n =S n -S n-1(n ≥2)，由a n 与S n 的关系，寻找n1S 与n 11S -的关系，判断数列{n1S }为等差数列，从而求出S n . 【解析】将a n =S n -S n-1(n ≥2)代入a n +2S n S n-1=0,得S n +2S n S n-1-S n-1=0, ∵a 1=S 1=1,∴S n ≠0, 同除以S n S n-1,得n 1n1120,S S -+-= ∴n n 1112S S --=(常数)，且111.S = ∴{n1S }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴n1S =1+(n-1)×2=2n-1. ∴n 1S .2n 1=-。

人教新课标版数学高二-人教数学必修五等差数列的前n项和(一)

等差数列的前n 项和(一)一、备用习题1.求集合M={m|m=7n ,n ∈N *,且m ＜100}的元素个数，并求这些元素的和.分析：求解的关键在于要理解这个集合的元素特征，抓好集合中的数全是由7的倍数组成，再由本节课学过的知识运用加以解决. 解：由7n ＜100得n ＜7100=7214.所以，正整数n 共有14个，即M 中共有14个元素,即7，14，21，…，98是一个以a 1=7为首项，公差为7且a 14=98的等差数列.所以S n =2)987(14+⨯ =735.答：这些元素的和为735.2.已知两个等差数列：2，5，8，…，197和2，7，12，…，197.求这两个数列中相同项之和. 分析：两个等差数列的相同项仍组成等差数列，找出其首项、公差、项数，即可求出它们的和.解：其相同项是2，17，32，…，197，组成以2为首项，公差为15，末项为197的等差数列.设此数列共有n 项，则197=2＋(n -1)×15，得n =14，那么相同项的和1393214)1972(=⨯+=n S . 点评：如果两个等差数列的公差分别为d 1和d 2，且d 1和d 2的最大公约数为a ，则两个等差数列中公共项所组成的等差数列的公差d =(d 1×d 2)÷a ，即d 为d 1和d 2的最小公倍数.3.用分期付款的方式购置房子一套，价格为115万元.购置当天先付15万元，以后每月的这一天都支付5万元，并加付欠款利息，月利息率1%.若交付15万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部房款付清后，购买这套房子实际花了多少钱？分析：购买时付了15万元，欠款100万元.每月付5万元及欠款利息，需分20次付完，且每月总付款数顺次组成等差数列.解：由题意，购置当天付了15万元，欠款100万元.每月付5万元，共分20次付完.设每月付款数顺次组成数列｛a n｝，则a1＝5＋100×1%=6，a2＝5＋(100-5)×1%=6-0.05，a3＝5＋(100-5×2)×1%=6-0.05×2，依次类推，得a n=6-0.05(n-1)(1≤n≤20).由于a n-a n-1=-0.05，所以｛a n｝组成等差数列，a10=6-0.05×9=5.55(万元).从而，全部房款付清后总付款数为S20+15=220 )(201⨯+aa+15=125.5(万元).答：第10个月应付5.55万元，购买这套房子实际花了125.5万元.点评：解应用题时，首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系，逐个数据进行分析，建立相应的数学模型.再求解数学模型，得出数学结论，最后回答实际问题.4.把正整数以下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n表示第n组中所有各数的和，那么S21等于()A.1 113B.4 641C.5 082D.53 361分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数.解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1+2+3+…+20=210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21=21×211+22021⨯×1=4 641，故选B.点评:认真分析条件，转化为数列的基本问题.二、阅读材料古代有关数列求和问题的故事我国数列求和的概念起源很早，古书《周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形成了数列求和的简单概念.到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了几个等差数列问题.例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式n a a S n n •+=2)(1. 再如：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式d =(122a nS n -)÷(n -1). 这个公式等价于现今中学课本里的公式：2])1(2[1d n a n S n -+=. 大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事.其实，更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元前3 000年.问题:一百份面包五个人分，要求：第二个人比第一个人多多少，第三个人比第二个人也多多少，同样，第四个人比第三个人，第五个人比第四个人也多多少.此外，前两人所得的总数是其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少？解：我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得面包x 份，第二个人比第一个人多分得y 份，则第二个人分得x ＋y 份，第三个人分得x ＋2y 份，第四个人分得x ＋3y 份，第五个人分得x+4y 份.于是有方程组⎩⎨⎧+++++=++=++++++++).4()3()2()]([7,100)4()3()2()(y x y x y x y x x y x y x y x y x x 化简，得 ⎩⎨⎧==+.211,202y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.619,321y x . 所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为321,6510 ,20,6129 ,3138. 上面的一列数x ，x ＋y ，x ＋2y ，x+3y ，x+4y ，由于项数较少，我们可以直接相加求出它们的和.如果项数很多，怎样求它们的和呢？具体地说，设S n =x+(x ＋y)+ (x+2y)+(x ＋3y)+…+(x+n y)，①能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢？这是容易做到的，我们采用高斯的方法，把①式倒过来写，得S n =(x+n y)＋\[x ＋(n -1)y\]+…+(x ＋3y)+(x+2y)+(x ＋y)+x ，②把①与②式按对应项相加，得2S n =(2x+n y)+(2x+n y)+…+(2x+n y).=(2x+n y)(n +1)=2(n +1)x+n (n +1)y.∴S n =(n +1)x+2)1( n n y. 这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列)，求和是极快捷有效的.实际上，前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数学著作中屡见不鲜，而且解法也令人叫绝，如《翠薇山房算学丛书》中有关梯形堆积物求总数问题，有兴趣的话，可以查阅一下相关资料.。