力学课件42、角动量及其守恒定律.
合集下载
角动量守恒定律ppt课件
数学补充知识：
点积
abba
aaa2
叉积
a b b a
a a 0
c ( a b ) a ( b c ) b ( a c )
点积的微商 叉积的微商
c ( a b ) a ( b c ) b ( c a )
d(a b )a db da b
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
L r p r ( m v ) m r v (r v )
大小：
L mrv
方向：满足右手关系，向上。
2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量：
v
L r p m (r v)
大小： Lmvsrin
v
r
r
Sun
方向： 满足右手关系，向上。
L dm trv m ( a c o ti s b si t jn )
( asit in bco t j) s
m m ( a a k c bb (2 恒矢o t k 量 ) a ss b 2 i t k ) n
M
dL
0
!
dt
或由 M rF 直接计算力矩
r a co ti s b sit j n
(1)对C点的角动量是否守恒？
(2)对O点的角动量是否守恒？
C T
O
mg C'
(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
请同学思考！
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
证明：
M 1r1f1
M 2r2f2
r2
f2
r
M 1 M 2 r 1 f 1 r 2 f 2
4.2、角动量及其守恒定律解析
2
L pd pr sin mvr sin 2 mr sin
（下一页）
取 m r2 J 叫转动惯量
用叉积定义
角动量
v
L r p r mv
a
m r
L
p
角动量大小:
r
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d
也可叫动量矩
（下一页）
2、力对定点的力矩 Mo
质点的角动量定理
o
r
d
F
力对定点的力矩：
M0 r F
大小：
M 0 Fd Fr sin
（下一页）
方向：用右手螺旋法规定
dB dA d * 应用微分公式 ( A B) A B dt dt dt dL dp dr r p r F v p dt dt dt
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。 ●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。 ●力矩 M = r ×F ●刚体绕定轴的转动定律 M = J
r F M0
所以得
角动量定律
也可写成
Mdt dL
dL M0 dt
方向相同，叉乘为零
称为冲量矩
（下一页）
3、 质点的角动量守恒定律
若 M0 0 d L 由 角动量定律 M 0 L 常矢量 dt v r dr a L L m vrsin a m r sin a m dt
L pd pr sin mvr sin 2 mr sin
（下一页）
取 m r2 J 叫转动惯量
用叉积定义
角动量
v
L r p r mv
a
m r
L
p
角动量大小:
r
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d
也可叫动量矩
（下一页）
2、力对定点的力矩 Mo
质点的角动量定理
o
r
d
F
力对定点的力矩：
M0 r F
大小：
M 0 Fd Fr sin
（下一页）
方向：用右手螺旋法规定
dB dA d * 应用微分公式 ( A B) A B dt dt dt dL dp dr r p r F v p dt dt dt
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。 ●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。 ●力矩 M = r ×F ●刚体绕定轴的转动定律 M = J
r F M0
所以得
角动量定律
也可写成
Mdt dL
dL M0 dt
方向相同，叉乘为零
称为冲量矩
（下一页）
3、 质点的角动量守恒定律
若 M0 0 d L 由 角动量定律 M 0 L 常矢量 dt v r dr a L L m vrsin a m r sin a m dt
《角动量守恒定律》课件
未来对于角动量守恒定律的研究和应用，将会推动物理学和科技领域的 不断发展，为人类社会的进步提供更加坚实的理论基础和技术支持。
05
角动量守恒定律的拓展学习
与角动量相关的其他定律
角动量定理
描述角动量随时间变化的 规律，即角动量定理。
拉格朗日定理
与角动量守恒定律相关的 另一个重要定理，它描述 了系统在保守力作用下的 运动规律。
公式
L=r×p，其中L表示角动量，r表 示位置矢量，p表示动量。
Байду номын сангаас
角动量守恒的条件
无外力矩作用
系统内力的力矩相互抵消，或者系统受到的外力矩为零。
孤立系统
系统与外界没有能量交换或相互作用，即系统处于孤立状态 。
角动量守恒定律的应用场景
01
02
03
天体运动
行星绕太阳的旋转运动、 卫星绕地球的运动等都遵 循角动量守恒定律。
哈密顿原理
一个描述系统在保守力作 用下最短路径的原理，与 角动量守恒定律有密切联 系。
角动量守恒定律的深入学习资源
《经典力学》教材
深入探讨角动量守恒定律的理论 基础和应用，包括数学推导和实
例分析。
网络公开课
一些在线教育平台提供关于角动量 守恒定律的深入学习课程，可以作 为辅助学习资料。
学术论文
查阅相关学术论文，了解角动量守 恒定律在前沿科学研究中的应用和 最新研究成果。
们更好地设计和控制卫星轨道。
分子运动实例
总结词
分子转动是微观领域中角动量守恒的实例，对于理解化学反应机理和分子结构具有重要意义。
详细描述
分子转动是指分子中的原子或基团绕分子轴线的旋转运动。在分子转动过程中，分子的角动量是守恒的。这是因 为分子内部没有摩擦力矩，从而保证了角动量的守恒。了解和利用角动量守恒定律，可以帮助我们更好地理解和 预测化学反应机理和分子结构。
05
角动量守恒定律的拓展学习
与角动量相关的其他定律
角动量定理
描述角动量随时间变化的 规律，即角动量定理。
拉格朗日定理
与角动量守恒定律相关的 另一个重要定理，它描述 了系统在保守力作用下的 运动规律。
公式
L=r×p，其中L表示角动量，r表 示位置矢量，p表示动量。
Байду номын сангаас
角动量守恒的条件
无外力矩作用
系统内力的力矩相互抵消，或者系统受到的外力矩为零。
孤立系统
系统与外界没有能量交换或相互作用，即系统处于孤立状态 。
角动量守恒定律的应用场景
01
02
03
天体运动
行星绕太阳的旋转运动、 卫星绕地球的运动等都遵 循角动量守恒定律。
哈密顿原理
一个描述系统在保守力作 用下最短路径的原理，与 角动量守恒定律有密切联 系。
角动量守恒定律的深入学习资源
《经典力学》教材
深入探讨角动量守恒定律的理论 基础和应用，包括数学推导和实
例分析。
网络公开课
一些在线教育平台提供关于角动量 守恒定律的深入学习课程，可以作 为辅助学习资料。
学术论文
查阅相关学术论文，了解角动量守 恒定律在前沿科学研究中的应用和 最新研究成果。
们更好地设计和控制卫星轨道。
分子运动实例
总结词
分子转动是微观领域中角动量守恒的实例，对于理解化学反应机理和分子结构具有重要意义。
详细描述
分子转动是指分子中的原子或基团绕分子轴线的旋转运动。在分子转动过程中，分子的角动量是守恒的。这是因 为分子内部没有摩擦力矩，从而保证了角动量的守恒。了解和利用角动量守恒定律，可以帮助我们更好地理解和 预测化学反应机理和分子结构。
大学物理 角动量 角动量守恒定律课件
1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0
t
t0
L Mdt dL L L0 L
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
角动量角动量守恒PPT课件
M M1 M2 M3
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
Mij M ji
M ji
（3）力矩必须明确是对哪个点（或轴） 8
三、角动量定理 角动量守恒
1.质点的角动量定理
将角动量 L r p 两边对时间求导
14
角动量守恒定律是一条普遍的规律，存在
于很多自然现象中，例如，行星受恒星引力作
用作椭圆轨道运动，引力的作用线始终通过恒
星中心，这样的力称为有心力。由于有心力对
力心的力矩恒为零，因此，受有心力作用的质
点对力心的角动量守恒。 掠面速度
·m
f
r
dS 1 r v dt 2
o r
vdt
12
将角动量定理的微分形式 M dL 两边乘以
dt 并积分得
t
dt
0 M dt L L0
t
0 M
dt :
质点或质点系的合外力矩的冲量矩；
L0 与L 分别是质点或质点系始末状态的角动量。
在一段时间内，质点（系）角动量的增量
等于作用于质点（系）的合外力矩的冲量
矩——质点（系）角动量定理的积分形式
Lrp
(xi yj zk ) (pxi py j pzk )
各坐标轴的分量
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
分别称为对 x、y 、z 轴的角动量
2
例 质点L沿某r一 p方向r作 m直v线运动，对O点的角动量 角动量大小为
L rm vsin m v d
大学物理物理学课件角动量守恒定律
得 所以
d r v v v 0 dt
d r F r m v dt
质点的角动量定理：作用于
dl M＝ dt
质点的合力对某参考点的力矩， 等于质点对同一参考点的角动 量随时间的变化率。 12 成立条件：惯性系
这样,
M
d l dt
将上式两边同乘以dt再积分得
大学物理
1
第四章 角动量守恒定律
• §4-1 力矩 • §4-2 质点角动量守恒定律
2
补充：矢量
1、矢量的加法和减法 平行四边形法则、三角形法则 2、矢量的数乘
B mA
3、矢量的标积（点积） 4、矢量的矢积（叉积）
A F s Fs cos
i C A B Ax Bx j Ay By k Az Bz
MrF r(F F 1 F 2 n) rF rF 1 rF 2 n M M 1 M 2 n
则：
即：合力对某参考点O的力矩等于各分力对同一 点力矩的矢量之和。
7
三、力对转轴的力矩 力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力 对转轴的力矩。 在以参考点O为原点的直角坐标系中，将力矩矢
L
11
二、质点的角动量定理
设质点的质量为m，在合力F 的作用下，运动方程 m v d dm v r F r F dt dt
考虑到
d r d d r m v r m v m v dt dt dt
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
18
例题4-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m0l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
第角动量角动量守恒定律PPT课件
(练习二，17)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为
。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1、v 2
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2
v 2
第23页/共29页
机械能不守恒
力物的猴拉加，力由速于上和轻爬相绳过等各程m，处中1又g张，因力绳为相对猴等猴和，的物所拉相以力同在大质另于量一猴，端的绳重对重T1
[ C]
第9页/共29页
第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
第10页/共29页
5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的 大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为有心力，相应的 固定点称为力心。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
作半径为 的m圆轨道运动。取圆周上 点R为参考点，如图所示，试求：①质P点
在图中点1处所受的力矩 和质点的角动量
的力矩 和质点的角动量 。
；②质m点
在图中点2处所受
M1
L1
m
M2
L2
解 ① 力矩 M 1
2
在点1处， 所m受引力指向 点，故 P M 1 0
角动量 L1
由 m作圆周运动的动力学方程，可得速度
A 另离一端系向一右质，运量绳O动子，处到于达松位的弛置物状体态时。。物开O现体始A在速时使度，物的物体方m体以向位与与于0绳.位5d垂k置垂g直直0。处.的2试，5初求m速物度间体的在距 处
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律课件
转动惯量的特性
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
只与刚体的质量和各质点到转动轴 的距离有关，与转动角速度的大小 无关。
02
角动量定理
角动量的定义与性质
角动量的定义
角动量是描述刚体转动状态的物理量 ，等于刚体的转动惯量乘以角速度。
角动量的性质
角动量是矢量，具有方向和大小；对 于定轴转动，角动量位于转轴上；角 动量是相对量，与参考系的选择有关 。
理解角动量守恒定律的证明方法是深入理解该定律的重要途径。
详细描述
证明角动量守恒定律的方法主要有两种，一种是基于牛顿第二定律和转动定理推导，另一种是通过分析系统的能 量变化来证明。通过这些证明方法，可以更深入地理解角动量守恒定律的物理意义和适用条件。
04
刚体定轴转动的实例 分析
刚体定轴转动的实例介绍
角动量守恒定律的内容及应用
总结词
掌握角动量守恒定律的内容及应用是解决实际问题的关键。
详细描述
角动量守恒定律表明，对于不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零的系统，其总角动量保持不变。这 一原理在日常生活、工程技术和科学研究中有广泛的应用，如行星运动、陀螺仪、火箭飞行等。
角动量守恒定律的证明方法
总结词
陀螺仪
风扇
陀螺仪是一个典型的刚体定轴转动实 例，其工作原理就是角动量守恒定律 。
当风扇的扇叶旋转时，可以将其视为 刚体定轴转动，这个过程涉及到角动 量定理的应用。
自行车轮
自行车轮在转动时，也是一个刚体定 轴转动的例子，其转动惯量对于理解 角动量定理和角动量守恒定律非常有 帮助。
刚体定轴转动的角动量定理应用实例
舞蹈演员在进行旋转动作时，可以通过改变身体的姿势来改变转动惯量，从而控制旋转的 速度。
刚体定轴转动的角动量守恒定律应用实例
大学物理角动量守恒定律ppt课件
v M 外 dt
d J
dt
v L1 v L2
v L1
dL v
dL
J d
dt
L2 v L2
L1 v L1
积分
M轴 dt Jd J2 J1
当 M 轴合外 0 时
t1
1
J2 J1 恒量
定轴转动刚体 角动量守恒
若转动惯量有变化，则有：J22 J11 恒量 19
5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能
Jz Jc mh2
式中:
J
关于通过质心轴的转动惯量
c
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
h Cz
J z 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量
23
2） 转动惯量叠加，如图
z B
Jz JA JB JC
A
C
式中:J A 是A球对z轴的转动惯量
JB 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
点的角动量
有 r
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
d J
dt
v L1 v L2
v L1
dL v
dL
J d
dt
L2 v L2
L1 v L1
积分
M轴 dt Jd J2 J1
当 M 轴合外 0 时
t1
1
J2 J1 恒量
定轴转动刚体 角动量守恒
若转动惯量有变化，则有：J22 J11 恒量 19
5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能
Jz Jc mh2
式中:
J
关于通过质心轴的转动惯量
c
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
h Cz
J z 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量
23
2） 转动惯量叠加，如图
z B
Jz JA JB JC
A
C
式中:J A 是A球对z轴的转动惯量
JB 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
点的角动量
有 r
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
课件：角动量 角动量守恒定律(用)
（3）（一）用动能定理：
M
0
1 2
I
2 0
1 2
I02
1 2
1 3
m
l
2 2 0
02l
M
1 mgL 3g
2
N 02l 2 6g
（二）用运动学方法：
N
0t
1 t 2
2
2l02 3g
1 2
3g
2l
2l0 3g
2
02l
2
2
2
6 g
或
2 0 02 2
02
2 02l 3 g
N 02l 2 6g
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点 的角动量守恒定律 M 0, L 恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
(1) 角动量守恒是物理学基本定律之一，它不仅适用宏观体系，也 适用微观体系，且在高速低速范围均适用
(2) 通常对有心力：F 过O点,M=0,角动量守恒
0
O
x
图
解：（1） ml , df gdm gdx
M
dM
xdf
l
0
x gdx
g
l2 2
1 2
mgl
（2）（一）用动量矩定律： Mt I I0 I0
t
I0
1 3
m
l20
2l0
M 1 m gl 3g
2
（二）亦可用转动定律： M I 3g 2l
0 t
t 0 2l0 3g
则：
质点系的总角动量
dL
M
dt
推广到n个质点的质点系：
质点系角动量定理：系统角动量对时间的变 化率等于系统所受合外力矩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个圆
柱的角速度1，2 。
对上述问题有以下的解法:在接触处无相对滑动时,二
圆柱边缘的线速度一样,故有 1R1 2R2
二圆柱系统角动量守恒故有
J110 J 220 J11 J22 其中
由以上二式就可解出1，2 。
J1
1 2
M1R12
由此可解得:
J2
1 2
M 2R22
1
R1(J11R2 J 22R1)
J1R22 J 2 R12
M1R11 M 2R22
R2 (M1 M 2 )
2
R2 (J 22R1 J1R12 )
J1R22 J 2 R12
M 2 R22 M1R11
t
L
Mdt
t0
L0
dL
L
L0
Mdt dL
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿·米·秒
表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
角动量定理
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
J不变时，t Mdt t0
L
J
J0
（下一页）
J 改变时 L J J00
加速旋转时，团身、收拢四肢，减小J ；
旋转停止时，舒展身体、伸展四肢，增大J 。
角动量守恒定律也适用于微观、高速领域。
（下一页）
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度
射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度
损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒
长为l ,质量为M.
解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
L pr mvr mr 2 =Jω
mr 2 sin
取 mr2 J 叫转动惯量
（下一页）
用叉积定义 角动量
L
r
p
r
mv
v
m
a
r
角动量大小:
L
p
r
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d 也可叫动量矩
（下一页）
2、力对定点的力矩
Mo
o
质点的角动量定理
问为使飞船停止旋转，喷气应喷射多长时间？ 分析：将飞船与喷出的气体作为研究系统，系统不受
外力矩作用，角动量守恒。在列方程时注意：⑴由于
喷气质量远小于飞船质量，∴喷气前后，系统的角动
量近似为飞船的角动量Jω；⑵喷气过程中气流速率远
大于飞船侧面的线速度ωr ，因此，整个喷气过程中，
气流相对于空间的速率可近似看作仍是u ，这样，排
R1 fdt R1 fdt J1(1 10 )
R2 fdt R2
fdt J2 (2 20 )
消去 fdt，得
R1 J1(1 10 ) R2 J 2 (2 20 )
（下一页）
由前已知
R1 2
R2
1
J1
1 2
动量 L 的大小是随时间变化的，但其方向总是垂直纸面向里.
mgRcos dL 则 dL mgRcosdt (1)
又 d
dt 及 L mRv mR2
有 dt mR2 d (2)
dt
（下一页）
L
将式（2）代入式（1），得 LdL m2gR3 cosd
由题设初始条件，有 t = O 时 ，0 0, L0 0. 故上式积分为
T4-21 为使运行中的飞船停止绕其中心轴的转动，可
在飞船的侧面对称地安装两个切向控制喷管（图4-21）
利用喷管高速喷射气体来制止旋转。若飞船绕其中心
轴的转动惯量J=2· 0×103kg· m2，旋转的角速度
=0·2rad·s-1，喷口与轴线之间的距离r=1·5m ；喷气
以恒定的流量Q=1·0kg·s-1和速率u=50m·s-1从喷口喷出，
M1R12，
J2
1 2
M 2R22
这种解法对吗?
（下一页）
答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的
轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能
对某一个轴进行计算。另当两柱体边缘没有相对滑动
时v1，v2方向相反，所以应为 1R1 2R2
正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于 两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量 矩的大小正比于半径,方向相同:
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。
●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。
●力矩 M = r ×F
●刚体绕定轴的转动定律 M = J
出气体的总角动量L=∫（u+ωr）dm≈mur。这样，可使
问题大大简化。
（下一页）
解：取飞船和喷出的气体为系统，其角动量守恒，有
Jω – mur =0
因喷气的流量恒定，故有 m = 2Qt
（1）
（2）
由式（1）、（2）可得喷气的喷射时间为：
t J 2 0 103 0 2 2 67 s
角动量定理，并考虑到啮合后它们有相同的线速度，
这样，啮合后它们各自的角速度就能求出。
（下一页）
解：设相互作用力为 F ，在啮合的短时间 Δt 内， ====根据角动量定理，对轮Ⅰ、轮Ⅱ分别有：
对轮Ⅰ －F r1 Δt = J1（ω1－ω0） （1）
对轮Ⅱ
F r2 Δt = J2ω2
两轮啮合后应有相同的线速度，
f
dt
m(v
v0
)
3 4
mv0
子弹对棒的反作用力对棒的冲 M
量矩为： f 'ldt l f 'dt J
因 f ' f ， 由两式得
v0
mv
（下一页）
3mv0l 9mv0 这里J 1 Ml2
4J 4Ml
3
请问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?
M
不守恒——上端有水平阻力
分析：两伞形轮在啮合过程中存在着 0 Ⅰ 相互作用力，这对力分别作用在两轮
][
上，并各自产生不同方向的力矩，对 转动的轮Ⅰ而言是阻力矩，而对原静 止的轮Ⅱ是启动力矩。由于相互作用
r1
r2
Ⅱ
][
图4-18
的时间很短，虽然作用力的位置知道，但作用力大小
无法得知，因此，力矩是未知的。但是，其作用的效
果可从轮的转动状况的变化来分析。对两轮分别应用
dr
rsina m r sina
dt
dr r sina 2m ds
dt
dt
行星受力方向与矢径在一条
dS：矢径在dt 时间
直线（有心力），故角动量守恒。====扫过的面积
（下一页）
二、 刚体的角动量 角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
Z
rimivi
质点L对 点r的角p动量r 为m：v
F
r
d
力对定点的力矩：
M0
r
F
大小： M 0 Fd Fr sin
方向：用右手螺旋法规定
（下一页）
* 应用微分公式
d
(A B)
A
dB
dA
B
dL
r
dp
dtdr
p
r
dt
F
dt
v
p
dt
r
d t F
总角动量守恒吗?----若守恒, 其方程应如何写?
v0
mv
mv0l
m
v0 4
l
J
（下一页）
例2、质量分别为M1、M2,半径分
别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别 M1 绕它们本身的轴转动,二轴平行。 R1
M2 R2
原来它们沿同一转向分别以10 ，
20 的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相
r1 ω1 = r2 ω2
（2） （3）
由上述各式可解得啮合后两轮的角速度分别为：
1
J10r22
J1r22 J2r12
,
2
J10r1r2
J1r22 J2r12
（下一页）
T4-20 一转台绕其中心的竖直轴以角速度0 = s-1转 动，转台对转轴的转动惯量为J0=4·0×10-3 kg·m2。今 有沙粒以Q=2t g·s-1的流量竖直落至转台，并粘附于 台面形成一圆环，若环的半径为r=0· 10m，求沙粒下 落t=10s时，转台的角速度。
3、刚在体M定轴d转L动中的，角若动M量守0恒定律
则L
dt 常矢量，即
L
（ 0 J
C）
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量
保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件
M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ；
====在定轴转动中还有 M ≠0，但力与轴平行，即
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
即
L
mgR
3 2
(2g
sin mR2
代入（3）式 得
(2g
sin