2018年高三最新 必修5：数列训练题 精品

2018学年高三数学训练题(由课本例、习题选编或改编)
（五） 数 列
A 组
（1）设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项的和是12, 前三项的积是48,则它的首项是
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
（2）一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q =( )
(A)
2 (B) 2 (C) 12 (D)1
2
（3）一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴; 第2天, 6只蜜蜂飞出去,各自找回了
5个伙伴,……,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂.
(A)55986 (B)46656 (C)216 (D)36
（4）一个等比数列前n 项的和为48, 前2n 项的和为60, 则前3n 项的和为( )
(A) 83 (B)118 (C)75 (D)63
（5）已知等差数列245,4,3,
77
的前n 项和为n S ,则使得n S 最大的序号n 的值为 .
（6）集合{}
*
21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是 ,
这些元素的和为 .
（7）在小于100的正整数中，被7除余2的数的个数有 个；这些数的和是 ． （8）等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ;等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e ,
如果()1n n n c a b n =+≥,且124,8.c c == 则数列{}n c 的通项公式为 . （9）已知数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和. 求证:61261812,,S S S S S --也成等差数列.
（10）如图,作边长为a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n 个内切圆的面积和.
B 组
（11） 等比数列{}n a 中, 首项为1a ,公比为q , 则下列条件中, 使{}n a 一定为递减数列的条件是
( )
(A) 1q < (B) 10,1a q >< (C)10,01a q ><<或10,1a q <> (D)1q >
（12） 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如
(1101)2表示二进制的数, 将它转换成十进制的形式是3210
1212021213⨯+⨯+⨯+⨯=, 那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是( )
(A) 9
22- (B) 8
21- (C) 8
22- (D) 7
21-
（13）已知数列(){}
f n 中,()()()()1
11,22,22
(2,n f f f n f n n n -===-+≥∈N *),求
()f n 的表达式.
（14）观察下面的数阵, 容易看出, 第n 行最右边的数是2
n , 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
… … … … … …
（15）选采问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A 种菜的,下星期一会有20% 改选B 种菜;而选B 种菜的,下星期一会有30% 改选A 种菜.用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数,如果1300,a 求10a .
参考答案或提示： （五）数列
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）12（6）30,900（7）14, 665（8）4n （9）略 （10）
2
1(1)9
4n
a π-
（11）C （12）B （13）()()()1
1122,(3
21,(n n n f n n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数时）1为奇数时）3
（14）362,14859（15）300
略解或提示:
（1）设等差数列{}n a 前三项分别为,,a d a a d -+，依题意得 ()()1248a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨
-⨯⨯+=⎩ 解得42(2a d =⎧⎨=±-⎩由题意舍去）
所以首项为2a d -=. 故选（B ）.
(2)令()
2
12k k k k a a a a q q ++=+=+, 得210q q +-=,
解得q =
其中12q -=
应舍去,
所以1
2
q =. 故选(C). (3)共有6
646656=.故选(B).
(4)解法1：设等比数列为{}n a ，前n 项和为n S ，取1n =，则148S =，260S =，即148a =，212a =，
则2
2
31
3a a a ==，则332363n S S S a ==+=，故选（D ）
． 解法2：由于n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，∴ 48，12，360n S -成等比数列，即231248(60)n S =-，∴363n S =，故选（D ）
． 解法3：由题意知公比1q ≠,且()()12114811601n n a q q a q q ⎧-⎪=-⎪
⎨-⎪=⎪-⎩
解得114641n q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以前3n 项的和为
()311164163164n a q q
-⎛
⎫=⨯-= ⎪-⎝⎭
.，故选(D).
(5)公差234577d =-=-,令1
00n n a a +≥⎧⎨≤⎩可解得383
353n n ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩
故12n =.
(6)令2160n -<,得612
n <
,又n ∈N *
,所以1,2,,30n =.故集合M 的元素个数是30,其和为()()()()21122123012123030900⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-=.
(7)令72100,k k N +<∈, 解得14,k <所以0,1,2,,13k =共有14个. 和为()()()(702)7127227132665⨯++⨯++⨯++
+⨯+=.
(8) 解法1：由于数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，由于()1n n n c a b n =+≥，则{}n c 为等差数列，而
124,8.c c ==，则该等差数列的公差为844-=，因此4(1)44n c n n =+-⨯=．
解法2：由124,8c c ==得48a b a d b e +=⎧⎨
+++=⎩，即4
4a b d e +=⎧⎨+=⎩
所以 ()()()14n c a b n d e n =++-⨯+=. (9)证明:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,
则61121181615,1266,18153S a d S a d S a d =+=+=+.
()()()1266181212636,36S S S d S S S S d --=---=,
∴()()()12661812126S S S S S S S --=--- ∴61261812,,S S S S S --也成等差数列.
(10) 设第n 个正三角形的内切圆的半径为n a ,因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的
12,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的12
.由题意
知11tan 302a a a ︒=
=,112n n a a -=.故前n 个内切圆的面积和为
()21
2222
1211111444n n a a a a ππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=++++⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
221114(1)1129414
n
n a a ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭=⨯=--.
(12) (11111111)2765
0812********=⨯+⨯+⨯+
+⨯=-.故选（B ）.
(13)当n 为偶数时,()()()11322422n n n f n f n f n ---=-+=-++ ()1332222n n f --==++++
()1
3531
12
2222223
n n n n ---+=+++++=
-. 当n 为奇数时,()()()11322422n n n f n f n f n ---=-+=-++ ()1321222n n f --==+++
+
()11
3
5
2
1
2
121222
2121312
n n n n n +---+-=+++++==--. ()()()1
1122,(3
21,(n n n f n n ++⎧-⎪⎪∴=⎨⎪-⎪⎩为偶数时）1为奇数时）3
(14) 第20行最左边的数为2
191362+=,第20行共有220139⨯-=个连续的自然数,它们的和是
()
39362400148592
⨯+=.
(15) 依题意得143510500n n n
n n
a a
b a b +⎧
=+⎪⎨⎪+=⎩，消去n b 得：111502n n a a +=+.
由1300a =得2300a =,从而得10300a =.
一般地，可推出11
300(300)2
n n a a +-=-，若1300a ≠，则数列{}300n a -是首项为1300a -，公比为12
的等比数列．则111300(300)2n n a a -=+-⨯．。