2018年高三最新 高中不等式应用 精品
2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(二
1.2 基本不等式(二)1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当a 、b 、c ∈R ＋时，a ＋b ＋c3≥3abc a ＝b ＝c 时，等号成立，称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a 、b 、c 的几何平均值. 2.如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立.基础自测1.设a 、b 、c ∈R ，下列各不等式中成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2|ab | B.a ＋b ≥2ab C.a 3＋b 3＋c 3≥3abcD.a ＋b ＋c3≥3abc解析 由a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2－2|ab |＋|b |2＝(|a |－|b |)2≥0，故选A. 答案 A2.函数y ＝x 2·(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值为( )A.4675 B. 2657 C.4645D.2675解析 由y ＝x 2·(1－5x )＝425·52x ·52x (1－5x ) ≤425⎝⎛⎭⎪⎪⎫52x ＋52x ＋1－5x 33＝4675.答案 A3.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析 利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63知识点1 利用平均值不等式证明不等式 【例1】 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 证明 a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝2， [(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）·313（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）＝9⇒1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. ●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92(a ，b ，c ∈R ＋).证明 ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a ) ≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ），1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.知识点2 利用平均值不等式求最值【例2】 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围. 解 方法一：∵a 、b ∈R ＋，且ab ＝a ＋b ＋3≥333ab ， ∴a 3b 3≥81ab .又ab >0，∴a 2b 2≥81. ∴ab ≥9(当且仅当a ＝b 时，取等号). ∴ab 的取值范围是[9，＋∞). 方法二：∵ab －3＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab －2ab －3≥0且ab >0，∴ab ≥3，即ab ≥9(当且仅当a ＝b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9，＋∞).●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求y ＝sin x cos 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最大值.解 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin x >0，y >0.y 2＝sin 2x cos 4x ＝2sin 2x cos 2x cos 2x2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x 33＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝854＝427.故y ≤427＝239，此时，2sin 2x ＝cos 2x ，tan 2x ＝12， y 有最大值239. 知识点3 平均值不等式的实际应用【例3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n }，n ＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，且P 1＋P 2＋P 3＝1.给出如下数据： ①27，②25，③13，④12，⑤23， 则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是( ) A.①② B.①③ C.②③④D.②⑤解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x (x >0)，则a 4＝a 1(1＋x )3＝a 1(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋P 1＋1＋P 2＋1＋P 333＝⎝ ⎛⎭⎪⎫433. ∴1＋x ≤43，即x ≤13，对比所给数据，只有①③满足条件，故选B. 答案 B3.设长方体的体积为1 000 cm 3，则它的表面积的最小值为__________ cm 2. 解析 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则abc ＝1 000，且a >0，b >0，c >0.∴它的表面积S ＝2(ab ＋bc ＋ca )≥2×33（abc ）2＝600. 当且仅当a ＝b ＝c ＝10 (cm)时取“＝”号. 所以它的表面积S 的最小值为600 cm 2. 答案 600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2<ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析f (x )＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1（x －2），又∵x ≥52，x －2≥12，则f (x )≥12·2（x －2）1（x －2）＝1.答案 D3.函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的最大值是________.解析 由y ＝x 2·(1－3x ) ＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝⎛⎭⎪⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝3243.答案32434.用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm 2. 解析 设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x ) cm ， 面积S ＝x (8－x ).由于x >0，8－x >0，可得S ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x 即x ＝4时，S max ＝16. 所以矩形的最大面积是16 cm 2. 答案 16基础达标1.若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( )A.9B.3336C.13D.不存在解析 ∵x >0，∴4x ＋9x 2＝2x ·2x ·9x2≥332x ·2x ·9x2＝3336.答案 B2.设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝⎛⎭⎪⎫1b －1⎝⎛⎭⎪⎫1c－1，则x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C.[1，8)D.[8，＋∞)解析 ∵x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝1－a a ·1－b b ·1－cc＝（b ＋c ）（c ＋a ）（a ＋b ）abc ≥2bc ·2ca ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8. 答案 D3.已知x ，y 都为正数，且1x ＋4y＝1，则xy 有( )A.最小值16B.最大值16C.最小值116D.最大值116解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋4y＝1，∴1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，∴xy ≥4，∴xy ≥16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝4y ，1x ＋4y ＝1，x ，y ∈（0，＋∞），即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，时取等号，此时(xy )min ＝16. 答案 A4.已知a ，b ，∈R *，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝1＋1＋1＋ac b 2＋a 2bc ＋b 2ac ＋ab c 2＋bc a 2＋c 2ab ≥3＋2ac b 2·b 2ac＋2a 2bc ·bc a 2＋2abc 2＋c 2ab＝9. 答案 95.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元). 解析 利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x (x >0).因为x ＋4x≥2x ·4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元). 答案 1606.已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是( ) A.V ≥π B.V ≤π C.V ≥18πD.V ≤18π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 则由题意得：4r ＋2h ＝6，即2r ＋h ＝3，于是有V ＝πr 2h ≤π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝π，当且仅当r ＝h 时取等号. 答案 B8.如果圆柱的轴截面周长l 为定值，那么圆柱的体积最大值是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 解析 l ＝4r ＋2h ，即2r ＋h ＝l2，V ＝πr 2h ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.答案 A9.定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立. 答案210.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值. (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v ＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比(1)中的最大车流量增加100辆/时.答案 (1)1 900 (2)10011.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.解 设AN 的长为x 米(x >2)，矩形AMPN 的面积为y . ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝3x x －2， ∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3x 2x －2(x >2)(1)由S 矩形AMPN >32得3x2x －2>32，∵x >2，∴3x 2－32x ＋64>0，即(3x －8)(x －8)>0，∴2<x <83或x >8，即AN 的长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞). (2)令y ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋12（x －2）＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥23（x －2）·12x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x －2， 即x ＝4时，y ＝3x2x －2取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值24平方米.(3)令g (x )＝3x ＋12x(x ≥4)，设x 1>x 2≥4，则g (x 1)－g (x 2)＝3(x 1－x 2)＋12（x 2－x 1）x 1x 2＝3（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2，∵x 1>x 2≥4，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>16，∴g (x 1)－g (x 2)>0，∴g (x )在[4，＋∞)上递增. ∴y ＝3(x －2)＋12x －2＋12在[6，＋∞)上递增. ∴当x ＝6时，y 取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值27平方米.12.甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例常数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y 元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？ 解 (1)因为汽车每小时的运输成本为bv 2＋a (元)， 全程时间为sv (小时)，故y ＝s v(bv 2＋a )，即y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ].(2)由于a v＋bv ≥2ab ，当且仅当v ＝ ab时取等号，故 ①若 ab ≤c ，则当v ＝ ab时，y 取最小值. ②若a b >c ，则先证y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数，事实上，当v 1、v 2∈(0，c ]，且v 1<v 2，则y 1－y 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1＋bv 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 2＋bv 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1－a v 2＋（bv 1－bv 2）＝s (v 1－v 2)⎝⎛⎭⎪⎫b －a v 1v 2 ＝sb (v 1－v 2)·v 1v 2－abv 1v 2，∵v 1、v 2∈(0，c ]，v 1<v 2， ∴v 1－v 2<0，v 1v 2>0，v 1<ab ，v 2< a b. 进而v 1v 2<a b，从而y 1－y 2>0.故y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数，由此知当v ＝c 时，y 取得最小值. 综上可知，若ab ≤c ，则当v ＝ ab时，y 取得最小值；a b >c，则当v＝c时，y取得最小值.若。
2018版高中数学第3章不等式3.4不等式的实际应用课件新人教B版必修5
【答案】 (1)C (2)乙
比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量 表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.
[再练一题] 1.如图 342(2)，一圆柱的底面半径为 5 dm，高为 5 dm，BC 是底面直径， 求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线.小明设计了两条路 线：试说明哪条路线最短？ 路线 1：侧面展开图中的线段 AC.如图(1)所示： 路线 2：高线 AB＋底面直径 BC.如图(2)所示：
[小组合作型]
比较法在实际问题中的应用
(1)某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电 降价，有四种降价方案： 方案(1)先降价 a%，再降价 b%； 方案(2)先降价 b%，再降价 a%；
a＋b a＋b 方案(3)先降价 2 %，再降价 2 %； 方案(4)一次性降价(a＋b)%. 其中 a＞0，b＞0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最小的是( A.方案(1) C.方案(3) B.方案(2) D.方案(4) )
择路线 2 较短.
一元二次不等式的实际应用 XXX
某农贸公司按每担 200 元收购某农产品， 并按每 100 元纳税 10 元(又 称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购 这种农产品，决定将征税率降低 x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分 点. (1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后， 不少于原计划税收的 83.2%， 试确定 x 的取 值范围.
【精彩点拨】 不等式解决问题.
认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或
【自主解答】
(1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为 a(1＋2x%)
2018版高考数学一轮复习课件：重点强化课3 不等式及其应用
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高三一轮总复习
重点 2 线性规划问题
(1)(2017·深圳二次调研)若实数 x，y 满足约束条件xx＋ －y1－≤10≥，0， 4x－y＋1≥0，
则目标函数 z＝yx＋ ＋13的最大值为(
)
1
2
A.4
B.3
3
C.2
D.2
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高三一轮总复习
(2)当实数 x，y 满足xx＋－2y－y－14≤≤00，， x≥1
时，1≤ax＋y≤4 恒成立，则实数 a 的
取值范围是__________．
【导学号：01772216】
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高三一轮总复习 (1)C (2)1，32 [(1)画出不等式组满足的平面区域为以点 A(1,5)，B(1,0)， C(0,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，目标函数 z＝yx＋＋13表示为可行域内的点(x， y)和点(－3，－1)连线的斜率，由图可知点 A(1,5)与点(－3，－1)的连线的斜率最大， 即 zmax＝yx＋ ＋13＝51＋ ＋13＝32，故选 C.]
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高三一轮总复习
[解] 因为 a＝2，b＝12，所以 f(x)＝2x＋2－x.2 分 (1)方程 f(x)＝2，即 2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即 2x＝1，解得 x＝0.5 分 (2)由条件知 f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. 因为 f(2x)≥mf(x)－6 对于 x∈R 恒成立，且 f(x)>0， 所以 m≤fxfx2＋4对于 x∈R 恒成立.8 分 而fxfx2＋4＝f(x)＋f4x≥2 fx·f4x＝4，且f0f02＋4＝4， 所以 m≤4，故实数 m 的最大值为 4.12 分
五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：7-2 不等式的解法 精品
x
x 1, 1, x
x 0,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集
0,
是( )
A.{x|-1≤x≤ 2 -1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤ 2 -1} D.{x|- 2 -1≤x≤ 2 -1}
解析
由题意得不等式x+(x+1)f(x+1)≤1等价于(1)
x x
1 0, (x 1)[(x
2 a1 2 a2 2
, , .
a3
由题意知
2 a1
<
2 a2
<
2 a3
,∴解集为
0,
2 a1
.故选B.
方法2 一元二次不等式逆向求参数问题
(1)解决恒成立问题一定要弄清楚谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变 量,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部 在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 例2 (2015新疆克拉玛依统测,12)若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是全体实数,则a的值等于
x x
α, β
的解集为{x|α<x<β};
x x
α, β
的解集为⌀.
3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0),其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,且x2<x1,Δ=b2-4
ac.
(1)当a>0时,若Δ>0,则解集为 {x|x>x1或x<x2} ;若Δ=0,则解集为
A.
第54题+不等式的概念与性质-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析
第54题 不等式的概念与性质I ．题源探究·黄金母题【例1】已知0,0,a b c >><求证：c c a d>． 【证明】10,0,0a b ab ab>>∴>>．于是11,a b ab ab ⋅>⋅即11,b a >由0c <，得c c a d>． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5P 74例1．【母题评析】本题考查了不等式的重要性质．作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】熟记不等式性质，应用不等式的性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （ ） A ．()21log 2a b a a b b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B ． 【例3】【2016高考新课标I 】若101a b c >><<，，则 （ ） A ．cca b < B ．ccab ba < C ．log log b a a c b c < D ．log log a b c c < 【答案】C【命题意图】这类题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行【解析】用特殊值法．令3a =，2b =，12c =，得112232>，选项A错误；11223223⨯>⨯，选项B 错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 【例4】【2017高考北京理13】能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为______________________________． 【答案】1,2,3---．【解析】()123,1233->->--+-=->-相矛盾，∴验证是假命题． 【例5】【2017高考北京文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （1）男学生人数多于女学生人数； （2）女学生人数多于教师人数； （3）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6，12【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N第一小问：max 846a b b >>>⇒=；第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=比较．也可以利用特殊值法．III ．理论基础·解题原理1．比较法原理：0,0,0.a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔= 2．a b b a >⇔<（反对称性）； 3．若,,a b b c >>则a c >（传递性）4．若a b >，则a c b c +>+；5．若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <； 6．若,a b c d >>，则a c b d +>+； 7．若0,0a b c d >>>>，则ac bd >；9．若0a b >>，则(),2n n a b n N n >∈≥；IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 【技能方法】解决此类问题的关键是在不等式的求解证明中，必须在不等式的常见性质体系下进行分析．（1）用作差比较法比较数式的大小关键是变形，常将两个代数式作差后变形为常数或平方和的形式或几个因式积的形式等，常有的变形技巧有因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等．作差比较法的一般步骤：作差——变形——与0比较大小——下结论．（2）当用作差法难以比较数式的大小时，可以试用作商比较法（前提是两个代数式同号）．作商比较法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——下结论．（3）在运用不等式的性质时，一定要掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，若同乘以（或除以）一个负数，则不等号的方向改变．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方或（或开方）时，要求不等式两边都是正数．（4）应用不等式的性质解题的常见类型及方法：①注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；②若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；③恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题、填空题． 【易错指导】（1）比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．（2）不等式性质的等价性：在不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性．（3）由于同向不等式相加或相乘会使范围变大，所以在求有关不等式取值范围的问题时，尽量少用不等式相加或相乘，次数越少越好，最好“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，这是避免出错的一条捷径．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用不等式的性质判定大小【例1】【2018河南焦作高三第四次模拟】已知0a b >>，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b >B ．22log log a b <C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122a b -->【答案】C【例2】【2018河北衡水中学高三十五模】已知330c c a b<<，则下列选项中错误的是（ ） A ．b a > B ．ac bc > C ．0a b c -> D ．ln 0ab> 【答案】D【解析】330c c a b <<，当0c <时，110a b >>，即b 0a >>，∴b a >，ac bc >，0a bc->成立，此时01a b <<，∴ln 0ab<，故选D ． 【例3】【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】若1a >，01c b <<<，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2018log 2018a b >B ．log log b c a a<C ．()()aac b c c b b ->- D ．()()cba c a a c a ->- 【答案】D【解析】根据对数函数的单调性可得log 20180log 2018a b >>，log log b c a a <，故A 、B 正确．∵1a >，01c b <<<，∴0a a c b <<，0c b -<，0c b a a <<，0a c ->， ∴()()aac b c c b b ->-，()()cba c a a c a -<-，则C 正确，D 错误．故选D ．【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 【跟踪练习】1．【2018北京丰台区高三一模】已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是A ．11a b> B < C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A2．【2018北京十一学校高三3月模拟】设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B【解析】0< 4.20.6<1，0.67>1，0.6log 7<0，所以b>a>c ，选B ．3．【2018四川成都第七中学高三上学期模拟】设12523log 2,log 2,a b c e ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a << 【答案】B【解析】因为()12523log 20,1,log 20,1a b c e=∈==，所以b a c <<，选B ．考向2 求范围的问题【例4】【2018黑龙江双鸭山市一中高二4月月考】已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 ( )A ．[]6,14-B ．[]2,14-C ．[]2,10-D ．[]6,10- 【答案】C【解析】设()()32x y a b a b a b -=++-，易得：1x 2=，5y 2=， ∴()()[]15322,1022a b a b a b -=++-∈-，故选C ． 【名师点睛】根据不等式组确定二元目标式范围的方程有二，其一：利用待定系数法表示目标，直接加减一次即可；其二：利用线性规划的方法处理．【例5】三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是________． 【答案】23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例6】【2018辽宁大连渤海高级中学高二上学期期中考试】设()2f x ax bx =+，且()112f -≤-≤，()214f ≤≤，求()2f -的取值范围．【答案】()1210f -≤-≤【解析】试题分析：由()2f x ax bx =+ 得()242f a b -=-．已知()()1,1f f - 的范围，用()()1,1f f -表示,a b ，再把()242f a b -=-化简，然后根据不等式的性质可得所求范围．试题解析：由已知得()()1{ 1f a b f a b-=-=+，∴()()()()112{112f f a f f b +-=--=，∴()()()()()11112424222f f f f f a b +----=-=⨯-⨯()()131f f =+-，∵()()112,3316f f -≤-≤∴-≤-≤，∵()214f ≤≤，∴()()113110,f f -≤+-≤∴()1210f -≤-≤．【名师点睛】利用不等式的性质可以求参数或某些代数式的取值范围，但在变换过程中要注意掌握、准确使用不等式的性质．求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件．如本例若忽视αβ<，则会导致取值范围变大． 【跟踪练习】1．【2018广西防城港市高中毕业班1月模拟】已知0,0,22a b a b >>+=，若24a b m +>恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m <2．【2018江苏邗江中学高二下学期期中考试】若不等式（﹣1）n •a ＜3对任意的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论． 详解：当为奇数时，不等式可化为，即，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，当为偶数时，不等式可化为，要使得不等式对任意自然数恒成立，则，即，综上，．【名师点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力．3．【2018北京市海淀区育英学校高一下期期中考试】若实数a ，b 满足02a <<，01b <<，则a b -的取值范围是__________． 【答案】()1,2-【解析】01,10b b <<∴-<-<，02,12a a b <<∴-<-<，故答案为()1,2-．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________． 【答案】[－12，42]【名师点睛】本题是一道易错题，如果根据1≤a 5≤4，2≤a 6≤3分别求出1,a d 的范围，再求S 6＝6a 1＋15d 的范围，实际上是错误的．这里涉及到不等式取等的问题，可以利用线性规划的知识，也可以利用解答中的整体代入的方法．考向3 不等式的性质与充要条件【例7】【2018广东省中山市高二上学期期末复习】若,a b 为实数，则22a b >是0a b >>的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不也不必要条件 【答案】B【解析】当0a b >>时，22a b >成立，当3,1a b =-=-时，满足22a b >，但0a b >>不成立，即“22a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．【例8】【2018广东中山市高二上学期理科数学期末考试】条件甲：24{03x y xy <+<<<；条件乙：01{23x y <<<<，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不也不必要条件 【答案】B 【解析】由01{23x y <<<<，根据不等式的性质可得24{ 03x y xy <+<<<；由01{23y x <<<<，而15,22x y ==时，24{03x y xy <+<<<成立，01{ 23y x <<<<不成立，所以甲是乙的必要不充分条件，故选B ．【例9】下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ，其中能使11a b<成立的充分条件有________． 【答案】①②④【解析】①a ＜0＜b ⇒1a ＜0，1b ＞0⇒1a ＜1b ；②b ＜a ＜0⇒1a ＜1b ；③b ＜0＜a ⇒1a ＞1b；④0＜b ＜a ⇒1a ＜1b．故答案为：①②④． 【跟踪练习】1．【2018天津蓟州区第一中学高二第一学期第二次月考】①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真： ②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；③是的充要条件； ④“”是“”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________． 【答案】③④有，又由，则，故在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③，当，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；对于④，若，当时，有，则“”是“”的不必要条件，④错误，故答案为③④．2．【2018衡水金卷（四）】设p ：3402x xx-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]3,1-C ．[)(]2,00,1-⋃D ．[)(]2,10,1--⋃ 【答案】D【解析】设p ：3402x xx-≤的解集为A ，所以A={x|-2≤x ＜0或0＜x≤2}，设q ：()22210x m x m m -+++≤的解集为B ，所以B={x|m≤x≤m+1}，由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有010{01{ 2 1.122m m m m m m >+<⇒<≤⇒-≤<-+≤≥-或综合得m ∈[)(]2,10,1--⋃，故选D ．3．设,x y R ∈，则4()0x y x -<是x y <的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A。
2018年高考数学总复习不等式选讲
第三节不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式与其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法与数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）；（2）；（3）.（变形后为充要条件）3.作差比较法二、含绝对值的不等式（1）；（2）（3）零点分段讨论三、基本不等式（1）（当且仅当等号成立条件为）（2）（当且仅当等号成立条件为）；（当且仅当时等号成立）（3）柯西不等式（当且仅当时取等号）①几何意义：②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：；；.有时去绝对值也可根据来去绝对值.例16.14 在实数范围内，不等式的解集为 .解析由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集为.变式1 不等式的解集是（）A. B. C. D.变式2 已知函数.（1）证明：；（2）求不等式的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 （2012辽宁理24）已知,不等式的解集为.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.解析（1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意.当时，得.(2)记，则，所以，因此，即的取值范围是.变式1 （2012新课标理24）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.变式 2 (2013重庆理16) 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .变式 3 (2013全国新课标I理24) 已知函数,.(1)当时，求不等式的解集；(2)设，且当时，，求的取值范围.三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 .解析不等式有解，则，故实数的取值范围是.变式1 (2012陕西理15)若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 （2013福建理23）设不等式的解集为，且 .(1)求的值；(2)求函数的最小值.分析先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值.解析（1）因为且，所以，且，解得.又，所以.(2)因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.变式1 设函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的值.变式2 (2013辽宁理24) 已知函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 已知关于的不等式的解集为，求的值.变式 3 (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数= .题型202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与与进行比较，得到大小关系.例16.18 已知均为正实数，且，求证：.分析比较与的大小可通过作差法.解析.因为，，所以,,.故.所以.评注作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.变式 1 已知，且,. 求证：.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为，另一端为所作辅助函数.（2）求并验证在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为或已知符号，作比较即得所证.例16.19 已知，求证：.分析属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明.解析原不等式等价于.令，.令，则，故在上是减函数，所以当时，，故. 故，所以在上是增函数.又，所以当时，成立.于是成立.变式1 证明：当时，.三、综合法与分析法思路提示字母分别表示一组不等式，其中为已知不等式，为待证不等式.若有，综合法是由前进式地推导，分析法是由倒退式地分析到.用分析法时，必须步步可逆.1.综合法（由因到果）例16.20 证明：.分析观察到与是负数，被开方数分别为，显然满足，这样可以考虑将分子有理化.解析，，，故，即.评注类似的问题可以总结为d的形式或者更广泛的形式.变式1 设，求证：.2.分析法（由果索因）例16.21 设，求证：.分析利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口.解析要证明，只要证，即证.因为，所以.故原不等式成立.评注在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.变式1 若，且，求证：.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 已知为不小于的正数，求证：不可能同时大于.分析假设三式都大于，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.解析假设三式都大于，即，有①同理②③三式相加得，矛盾，故原命题成立.评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.变式1 已知，,求证：.五、放缩法思路提示预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 已知正数满足，求证：.分析采用“添项”放缩法解析①同理②③①+②+③得.评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：，所以.变式1 证明：.例16.24 求证：.分析采用“分母”放缩法证明.解析由题意，，则，.所以原不等式成立.例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析由幂函数性质可知，，要构成三角形，只需，故，即证明，只需证明，即. ①由，且，由指数函数单调递减可知，要使得式①成立，只需.因此可知，要成立.只需成立.当时，，三角形为直角三角形；当时，即，此时三角形为钝角三角形；当时，即，此时三角形为锐角三角形.六、三角换元法思路提示若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 设实数满足，，求证：.分析由，联想到三角换元.解析令，，.当，即时，取得最大值，证毕.评注三角换元在不等式证明以与求函数的最值、解析几何中参数的范围与最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.变式1 设，，求证：.七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数.（2）构造辅助数列.（3）构造几何图形.例16.27 设，，若，求证：.分析构造一次函数证明.解析即.若视为未知数，并用代替，即证明时，.即证.设,即证时，.而是关于的一次函数，且，，因此当时，成立，从而原不等式成立.评注本题也可利用如下解法：，，即证，，即证，即，由，得，故成立.例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.分析不等式左右两边的个式子具有相同的结构形式，故考虑构造函数.解析，，说明函数在上单调递增，又为三角形的三边长，故，则.变式1 证明：.变式2 已知且，，求证：.例16.29 证明：当且时，有.分析本题通过构造辅助数列证明.解析构造数列，因为，所以数列为单调递减数列.所以，即.评注本题将看作参数构造辅助数列，判断数列的单调性从而证明结论.例16.30 设，求证：.分析根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明.解析如图16-34所示，构造正方形，设，则，则.变式 1 设，求证：.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式与向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设，.等号成立图.证明设，由，得，又，即，，故等号成立即.2.一般形式的柯西不等式设与为任意实数，则，当且仅当（规定时，）时等号成立.证法一：当全为时，命题显然成立.否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判别式不大于零，即，整理后得.证法二：向量的内积证法.令，，为与的夹角.因为，且，所以，即，等号成立或平行.柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.例16.31 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.解析①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故.②由①知，又，由柯西不等式得.变式 1 已知，，求证：.变式2 已知，.求证：.例16.32 设实数满足，求证：.解析由柯西不等式，.所以，所以.评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等.变式1 已知,且，求证：.变式 2 已知正实数满足，求证：.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式的解集是（）A. B. C. D.2.设，则（）A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于3.若，，则的大小关系是（）A. B. C. D. 由的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（）A. B. C. D.5. 的最大值为（）A. B. C. D.6.若正数满足，则①的取值范围是；②的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式的解集为 .8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .9.已知,.求证：.10.已知函数.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若的解集包含，求的取值范围.11. 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.12.已知函数.设数列满足，，数列满足，.（1）用数学归纳法证明：；（2）证明：.。
2018年高三最新 不等式的综合运用 精品
不等式的综合运用（教案）复习目标：1.不等式的运用已渗透到函数，三角、解析几何、立体几何等内容，体现了不等式的重要性、思想方法的独特性2.函数性质、三角式、直线与圆锥曲线、数列的通项及部分和的变化等内容常与不等式的证明有密切的关系，要熟悉这方面问题的类型和思考方法.3.应用题中有一类是寻找最优化结果,通常是把问题转化为不等式模型,再求出极值课前预习:1.已知,,x y z R+∈且满足条件()1,xyz x y z ++=则()()x y y z ++的最小值为(A) 2 (B)3 (C)4 (D)12. 已知2()3(1)32,x x f x k =-++当x R ∈时, ()f x 恒为正值,则k 的取值范围是()(,1)A -∞-()(21)B -∞- ()(21)C --()(2221)D --- 3.一批货物随17列货车从A 市以vkm/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线为400km ，为了安全，两列货车的间距不得小于2()20v km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要（A ）6h （B ）8h （C ）10h （D ）12h4. 已知f(x)是实数集上的奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，若f(1/2)=0,三角形的内角A 满足f(cosA)<0,则A 的取值范围是5.设220,0,1,2b a b a ≥≥+=则的最大值为6.若lgx+lgy=2,则11x y+的最小值为典型例题例1：已知a ∈R,数列{a n }是首项为a 2,公比为a 2的等比数列，令b n =a n lga n (n ∈N),问是否存在实数a,使得数列{b n }从第二项开始，任意一项都小于它后面的项？试证明你的结论。
例2. 有一块边长为36cm 的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形之后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形的面积之和为多少？最大容积是多少？例3.若抛物线C ：y=ax 2─1上存在关于直线l:x+y=0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)
取得最大值， zmax 3 2 2 0 6 .
第 2页 （共 3页）
5．（2018
天津文、理）已知 a，b∈R，且
a–3b+6=0，则
2a+
1 8b
的最小值为__________．
5．【答案】 1 4
【解析】由 a 3b 6
0 可知 a
3b
6
，且 2a
1 8b
2a
2 3b
，因为对于任意
y y
4，
则目标函数
1，
z
3x
5
y
的最大值为
y 0，
（）
（A）6 （B）19 （C）21 （D）45
2．【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标
函数在点
A
处取得最大值，联立直线方程：
x y x
5 y 1
，可得点
A
的坐标为
A
2,
3
，
据此可知目标函数的最大值为 zmax 3x 5 y 3 2 5 3 21 ．故选 C．
二、填空
1．（2018 北京文）能说明“若 a b ，则 1 1 ”为假命题的一组 a ， b 的值依次为_________． ab
1．【答案】1， 1 （答案不唯一）
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【解析】使“若 a b ，则 1 1 ”为假命题，则“若 a b ，则 1 1 ”为真命题即可，只需取 a 1，b 1
x ，2x
0 恒成立，结
合均值不等式的结论可得： 2a 23b 2 2a 23b 2 26 1 ． 4
当且仅当
2a
23b
a 3b 6
高三数学基本不等式的实际应用
解：由题意知，对于甲车， 有0.1x＋0.01x2＞12， 即x2＋10x－1200＞0，
解得x＞30，或x<40（不合实际意义舍去）,
这表明甲车的车速超过30km／h．但根据题 意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速 不会超过限速40km／h．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10， 即x2＋10x－2000＞0，
（约今山东、河南与江苏北部） 经询问得知是从身毒国贩运去的 文景时 西到巴尔喀什湖 但王莽仍拜为“理军” 邑是皇太后、公主所封的食邑； 但在隔年被赤眉军击溃而死 寿春、师亭、涣亭、冀亭、冀昌、粟城、谷喙、修亭、监亭、泉亭、桓城、制昌、德昌、泛城、赤城、长平、渭阳 即
是咏此类石雕的 军事外交上降服匈奴 为了稳定物价、鼓励生产、增加国家税收与打压商人 史称明章之治 王匡恃强急战 沅陆 刘崇谋逆是因为王莽“权轻” 汉文帝时已有“贤良”、“孝廉”之选 方赖 征侧、征贰自立为王 时人称之为“永元之隆” 西汉建立后 玉顺 当更受命 阎河 都开始认
治" [199] [158] 抚州 以避猜忌 使整个西北地区残破不堪 汉昭帝继位后 令丘 [219] 与乡、亭相等 后因刘縯率舂陵兵急欲攻宛 顺四时 同年秋 大鸿胪掌接待诸侯与少数名族 赤眉军乘胜追击至无盐 安德 [71] 保障丝绸之路的安全与畅通 自永平八年（65年）后常设 学者考虑到未纳入统
计的隐户及迁居汉地的外族 大多延用汉朝乡官的名称 西治 如铜器、印章、石刻、货币、瓦当等；[3] 派纳言将军严尤、秩宗将军陈茂进入荆州平乱 商人们除了将中国的丝织品运往西方外 下育万物之宜 [204-205] 纸的发明使用 改革最终失败 东汉灭北匈奴之战与北匈奴西迁图 太常、光
2018春高中数学必修五课件：3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法3 精品
2.解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【解题探究】1.典例1中关于x的不等式x2+ax-6a2<0对 应的方程的根分别是多少？能否比较大小？ 提示：对应方程的根分别是-3a和2a，由于a<0， 故-3a>2a. 2.典例2中解此不等式应注意什么？ 提示：在因式分解之后需对方程的两根(含有参数a)进 行大小比较，所以要进行讨论.
(2)从方程的角度看
设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)
的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，
则有
x1 x1x 2
x2
c， a
b a
，
即不等式的解集的端点值是相应方程
的根.
【题型探究】
类型一 解一元二次不等式
(3)当Δ<0时，此时方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等 式①的解集为R，不等式②的解集为∅.
2.从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集，即二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)满足y>0时的自变量x组成的集合，亦 即二次函数y=ax2+bx+c>0(a>0)的图象在x轴上方时点 的横坐标x的集合，一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的 根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
当0<a<1时，a2<a，x<a2或x>a； 当a=1时，a2=a，x≠1； 当a>1时，a<a2，x<a或x>a2. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为 {x|x<a2或x>a}； 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a>1时，原不等式的解集为{x|x>a2或x<a}.
(江苏专用)2018年高考数学总复习 专题7.1 不等式关系与不等式解法_基本不等式及应用试题(含解析)
专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用【三年高考】1．【201.7高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 2.【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-3.【2013江苏，理11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________． 【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)．【解析】∵函数f(x)为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩ 由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．.4. 【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b <+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.5．【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.6．【2017天津，理12】若,a b ∈R ， 0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b R a b ab ∈+≥ ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.7．【2016高考浙江理数改编】已知a ，b ，c 是实数，则下列命题①“若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；②“若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；③“若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；④“若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”中正确的是 ．【答案】④考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．8．【2016高考上海理数】设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为__________. 【答案】(2,4) 【解析】 试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4). 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.9.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则,,p q r 的大小关系是_____________.【答案】p r q =<10.【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数的最大值是_________. 【答案】4【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数的最大值是4.11.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为__________. 【答案】1812.【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．对不等式性质的考查，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，一般是选填题，属于容易题．对不等关系的考查，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，一般是选填题，部分省市在大题中出现，属于容易题或中档题．对不等式解法的考查，主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用的考查，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解． 不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题．问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，也可能与导数结合出一道解答题．【2018年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系． 【考点1】不等式性质 【备考知识梳理】1．不等式的基本性质：（1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒> （3）a b c a c b +<⇔<-， a b a c b c >⇔+>+ （4）000c ac bca b c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪>=⇒=⎨⎪<⇒<⎩2．不等式的运算性质：（１）加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+ （２）减法法则：,a b c d a d b c >>⇒->-，（３）乘法法则：0,00a b c d ac bd >>>>⇒>>（４）除法法则：0,00a ba b c d d c>>>>⇒>>，（５）乘方法则：00(,2)n n a b a b n N n >>⇒>>∈≥（６）开方法则：00(,2)a b n N n >>⇒>>∈≥【规律方法技巧】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【考点针对训练】1.如果0a b <<,那么下列不等式①11a b <②2ab b <③2ab a -<-④11a b-<-成立的是 ． 【答案】④【解析】因0a b <<，故110b a a b ab --=>11a b⇒>，①错，④正确，22()b ab b b a b ab -=-⇒<，②错；222()0a ab a a b a ab a ab -=->⇒>⇒-<-，③错．2. 设10<<<b a ，则下列不等式①33a b >②11a b<③1b a >④()lg 0b a -<成立的是 . 【答案】④ 【解析】取11,42a b ==，代入可知①②③错，又∵10<<<b a ，∴()01lg 0b a b a <-<∴-<，故选④.【考点2】不等关系 【备考知识梳理】在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号,><≠≥≤，,,表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,a a b b b b b ><≠≥≤，a ,a ,a 等式子表示，不等关系是通过不等式表现． 【考点针对训练】1.若a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则下列不等式①22ac bc <②11<a b ③>b aa b④22a ab b >>正确的是 ． 【答案】④【解析】试题分析：因为0a b <<,所以11>,1,1,b a a b a b <>即11<a b ，>b aa b均不成立；当20c =时，22ac bc <不成立；故填④.2.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,lnln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是______________. 【答案】a c b <<【考点3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.【规律方法技巧】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】1.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b<>或．（1）求,a b 的值；（2）当c ∈R 时，解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<（用表示）．的解集为{}2x x c <<，当2c <时，所求不等式的解集为{}2x c x <<，当2c =时，所求不等式的解集为∅.2.若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数的最大值为 ． 【答案】422-【考点4】基本不等式及应用 【备考知识梳理】1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【考点针对训练】1.已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0的最大值为 ．【答案】12≤=，当且仅当322b ac ==的最大值为122.设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 ．【答案】6+【解析】令2x y t +=，则12x y t -=，所以()1112t t x t t y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，，，则222432626x xy t t -=+++≥【两年模拟详解析】1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)【解析】整理不等式可得： .问题等价于在区间上，过点斜率为的直线恒在抛物线的上方，注意到点三点共线，据此可得实数a 的取值范围是，即12．【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 ．【答案】7 【解析】，所以（当且仅当时取等号）而 （当且仅当 时取等号），因此（当且仅当 时取等号），即的最小值为7.3．【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．【答案】5【解析】11sin 22ABCS ab C ∆====，而222228242ab a b c ab c ≤+=-⇒≤-，所以22ABCS ∆≤=≤=，当且仅当28,5a b c ==时取等号 4. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 42-=)(，则不等式x x f >)(的解集为 ．【答案】()()5,05,-+∞【解析】当0< x 时，]4[)()(2x x x f x f +-=--=，所以⎩⎨⎧>->x x x x402或⎩⎨⎧>+-<x x x x )4(02，解得5>x 或05<<-x ，解集为),5()0,5(+∞-U5. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】不等式42<-x x a ln log （0>a 且1≠a ）对任意),(1001∈x 恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】()140,1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】)100ln ,0(ln )100,1(∈⇒∈x x ，所以x xa x x a ln ln 4ln 14ln log 2+<⇒<-，又 4ln ln 42ln ln 4=⨯≥+x xx x ，当且仅当)100ln ,0(2ln ∈=x 时取等号，因此 104ln 1<<⇒<a a或41e a > 6. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知不等式222≥+-+-)ln ()(λn m n m 对任意R ∈m ，),(+∞∈0n 恒成立，则实数λ的取值范围为 ．【答案】1λ…【解析】不等式恒成立等价于直线λ+=x y 上任一点到曲线x y ln =上任一点距离最小值不小于2，易得直线1-=x y 与曲线x y ln =相切，所以11,22|1|≥⇒->≥+λλλ 7. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】对任意的π(0,)2θ∈，不等式2214|21|sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】[4,5]-8. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎨+≤⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解有两个，则z ax y =+的最小值为_______. 【答案】1-【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，∵z ax y =+取得最大值的最优解有两个，∴11a a -=⇒=-，∴当1x =，0y =或0x =，1y =-时，z ax y x y =+=-+有最小值1-．9. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若tan ,tan ,tan A B C 依次成等差数列，则tan tan tan A B C 的取值范围为 ．【答案】)+∞ 【解析】由题意得tan tan 2tan tan tan 2tan()tan tan 2tan tan 1tan tan A CB AC A C A C A C A C+=+⇒-+=+⇒-=+-因为锐角三角形ABC ，所以tan 0,tan 0A C >>，因此tan tan 3A C =，2tan tan B B ≥⇒≥（当且仅当tan tan A C =时取等号），从而tan tan tan A B C ≥10. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知,x y ∈R 且22231x xy y +-=,则22z x y =+的最小值为_______.【解析】由22231x xy y +-=得(3)()1x y x y +-=,可设13,,(0)x y t x y t t+=-=≠,因此222231521,,4484t t t t t t x y z x y +-++===+=≥=,当且仅当2t =取等号,即22z x y =+的最小值为14. 11. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知21,,26x y x y x y+∈+++=R ，则2x y +的最大值为_____________． 【答案】4【解析】令2(0)x y m m +=>，则216m x y +=-，因为2121214()(4)x y y x x y x y m m x y++=+=++18(4m m≥+=，当且仅当2x y =时取等号，所以286,680,24m m m m m-≥-+≤≤≤，即2x y +的最大值为4（当且仅当22x y ==时取等号）．12．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】若，y 满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则yx 的最大值是 ． 【答案】 2【解析】在直角坐标系内作出不等式组2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，所表示的可行域如图阴影部分（含边界），其中yx表示可行域内点(,)x y 与原点O 连线的斜率，由图可知，OC 斜率最大，422OC k ==，所以yx最大值为2．13．【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知,,,a b c d ∈R 且满足123ln 3=-=+cd b a a ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 . 【答案】e9ln 59 【解析】由题设可得点Q P ,分别在曲线c d a a b 23,ln 3=-+=上.设点),(),,(d c Q b a P ，则问题转化为求曲线a a b ln 3+=上的动点P 与直线32+=c d 上的动点Q 之间的距离的最小值的平方问题.设点)ln 3,(t t t M +是曲线a a b ln 3+=的切点，因ab 31/+=，故在点M 处的切线的斜率t k 31+=，由题意231=+t，即3=t 时，也即当切线与已知直线32+=c d 平行时，此时切点)3ln 33,3(+M 到已知直线32+=c d 的距离最近，最近距离d ==，也即22)()(d b c a -+-的最小值为2229(2ln 3)9ln 553e d -==.14. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设0,0a b >>，点(,)P a b 在过点(1,1),(2,3)A B --的直线上，则224S a b =+的最大值为．【答案】5415. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ．12【解析】11,2,,22c c b c a b c a b a b b c a b b c +≥+≥+≥≥++++，2b c b c c a b c b c+≥+++，令1211111,221221222b bc t t t c c b c t t +=+=+=+-≥=+++当且仅当12t =时取“=”， 则b a c c b ++1216．【江苏省清江中学数学模拟试卷】不等式2ln x x x +>的解集为 . 【答案】(1,)+∞【解析】当01x <≤时，2x x <，ln 0x ≤，所以2ln x x x +≤，当1x >时，2x x >，ln 0x >，所以2ln x x x +>，因此原不等式的解集为(1,)+∞．17．【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知x ，y 是正整数，216max{,}()t x y x y =-，则t 的最小值为 . 【答案】8【解析】由题意只要考虑16()y x y -是正数，即0x y ->的情形，因为16()y x y -221664()2y x y x≥=+-，所以2221664max{,}max{,}()t x x y x y x =≥-，当28x =时，22648x x==，所以min 8t =． 18【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】已知实数0y x >>，若以x y +，，x λ为三边长能构成一个三角形，则实数λ的范围为 ．【答案】[12，【解析】根据已知条件得：x y x x x y x y x λλλ⎧+>>+++>⎪⎩①② ，0y x x y >>∴+=>，0x y x λλ>∴++>，0,0y x λ>>> 都成立；∴由①得，211()y yx xλ<+++，令1110y t t f t t f t x =>=+>'=，，（）（），∴()f t 在1+∞（，）上单调递增；()()122f t f λ∴∴≤>= 由②得211()y y x x λ>+-+，令11y t t g t t x =>=+'=>，，（）（） ，∴g t （）在1+∞（，）单调递增； ()()1,1,1g t t g t g t λ=∴→∞→∴<∴≥=+，（） ，综上即λ的取值范围为[12+，19．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 . 【答案】3【解析】令log a b t =，又1＞＞b a 得01t <<，32log 3log 27a b b a t t +=+=解得12t =，即21log ,2a b a b ==，21111311a ab a +=-++≥--，当且仅当2a =时取“=” 20．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________． 【答案】(－2，0)∪(2，＋∞)．【解析】当x <0时，()()()2log 1f x f x x =--=--, f (x )<0,即()2log 10x --<，解得20x -<<；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0,即21log 0x -<，解得2x >，综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞)．21．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为 ．【答案】12- 【解析】令1,(0)2x t t y+=>，则222(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，因此222(88)32(45)0247001t t t t t ∆=---≥⇒+-≤⇒<≤-，当1t =-时，2440045t y x t -==>=>-，，因此12x y +1-． 22．【江苏歌风中如皋办高三数学九月月考】若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 .【答案】4【解析】由已知222log log log 1xy x y =+=，2xy =，又0x y ->，所以222()2x y x y xyx y x y+-+=--4()x y x y =-+-4≥=（当且仅当2x y -=时取等号），所以最小值为4.【一年原创真预测】1.若正实数,a b 满足1ab =，则224ba--的最大值为 .【答案】14【解析】由题可得()2242b a b a--+-=,因为()22a b a b a b +≥+≥⇒-+≤-()()212224a b a b -+-+-⇒≤⇒≤,当且仅当1a b ==时, 224b a--取得最大值14. 【入选理由】】本题考查基本不等式和指数运算等基础知识，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力，以及学生逻辑推理能力.本题是基本不等式与指数函数结合，难度不大，故选此题.2.若关于x 的不等式0xe ax b --≥对任意实数x 恒成立，则ab 的最大值为_________. 【答案】2e【入选理由】本题考查不等式恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，函数的极值与最值问题等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，考查了不等式的性质的应用，同时又是一个函数性质题，有一定的难度，但构思比较巧，故选此题.3.已知||||2a b ==，对任意x R ∈，若不等式||1a xb +≥恒成立，则a b ⋅的取值范围是___________.【答案】(,-∞-，或)⎡+∞⎣【入选理由】本题考查向量的模，二次函数最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，巧妙的把向量，二次函数，不等式有机的结合在一起，难度中等，此题的解题妙处就在把向量的模的问题转化为二次函数来处理，的确是一个好题，故选此题.。
2018年高考数学—不等式专题
不等式(必修 5P80A3 改编 )若对于 x 的一元二次方程 x2－(m＋ 1)x－ m＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________.分析由题意知＝ [(m＋ 1)]2＋＞即2＋＋＞，4m 0. m 6m 1 0解得 m＞－ 3＋2 2或 m＜－ 3－2 2.答案(－∞，－ 3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞ )x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅱ卷 )若x，y 知足拘束条件x＋ y－3≥0，则z＝x－ 2y 的最小值为x－ 3≤ 0，________.分析画出可行域，数形联合可知目标函数的最小值在直线x＝ 3与直线 x－y＋1＝0 的交点 (3， 4)处获得，代入目标函数z＝x－2y获得－ 5.答案－52x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅲ卷 )设 x， y 知足拘束条件x－2y－1≤0，则＝z 2x x≤1，＋3y－5 的最小值为 _____.分析画出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示.由题意可知，2 5 z当直线 y＝－3x＋3＋3过点 A(－1，－1)时，z获得最小值，即 z min＝2×(－ 1)＋3×(－1)－5＝－ 10.2x － y ≤ 0，(2017 ·西安检测 )已知变量 x ， y 知足 x －2y ＋ 3≥ 0，x ≥0，则 z ＝( 2)2x ＋y的最大值为 ________.分析作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示.令 m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线 y ＝－ 2x ＋ m 经过点 A 时，直线 y ＝－ 2x ＋m 的纵截距最大，此时 m 最大，故 z 最大 .由2x －y ＝0，x ＝1，x － 2y ＋3＝0， 解得y ＝2，即 A(1，2).代入目标函数 z ＝( 2)2x ＋y得， z ＝ ( 2)2×1＋2＝4.答案42x －y ≤0， (2016·北京卷 若 ， 知足 x ＋ y ≤ 3， 则 2x ＋ y 的最大值为 ())x yx ≥0，A.0B.3C.4D.5分析画出可行域，如图中暗影部分所示，令 z ＝ 2x ＋y ，则 y ＝－ 2x ＋ z ，当直线 y ＝－ 2x ＋ z 过点 A(1，2)时， z 最大， z max ＝ 4.答案 Cx ＋y ≤2， (2016 ·山东卷 )若变量 x ，y 知足 2x －3y ≤ 9，则 x 2＋ y 2的最大值是 ()x ≥0，A.4B.9C.10D.12分析作出不等式组所表示的平面地区，如图(暗影部分 )所示，x 2＋y 2 表示平面地区内的点到原点的距离的平方，由图易知平面地区内的点 A(3，－1)到原点的距离最大 .因此 x 2＋y 2 的最大值为32＋(－1)2＝10.答案Cx y(2015 ·福建卷 )若直线 a ＋ b ＝ 1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，则a ＋b 的最小值等于()A.2B.3C.4D.5x y1 1分析 由于直线 a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，因此 a ＋b ＝1.因此 ＋ ＝ ＋ 1 1 a b a b ＝ ＝时取 · ＋ ≥2＋2 ·＝ ，当且仅当 2a b (a b) a b ＝2＋b ＋a b a4a b“＝”，应选 C.答案 Cb 4a的最小值为 () (2016 ·合肥二模 )若 a ， b 都是正数，则 1＋a · 1＋ b A.7 B.8 C.9 D.10分析 ∵a ，b 都是正数，∴ 1＋ b 1＋ 4a b 4ab 4a a b ＝5＋ ＋ b ≥5＋2 · ＝9，当且仅a a b当 b ＝ 2a>0 时取等号 .应选 C.答案 C1 2(2015 ·湖南卷 )若实数 a ，b 知足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ()A. 2B.2C.2 2D.4分析1 2 2 2 2依题意知 a ＞0，b ＞0，则 ＋ ≥ 2 ＝，a babab1 2当且仅当a＝b，即 b＝ 2a 时，“ ＝”建立 .1 2 2 22，由于＋＝ ab，因此ab≥，即 ab≥2a b ab因此 ab 的最小值为 2 2，应选 C 答案 C。
2018届高三(新课标)数学(理)第七章 不 等 式
第七章⎪⎪⎪不 等 式 第一节不等式的性质及一元二次不等式突破点(一) 不等式的性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．比较两个实数大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔可乘性⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc注意c 的符号⎭⎬⎫a >b c <0⇒ac <bc同向可加性⎭⎬⎫a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质；2.一元二次不等式.同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd >0 ⇒可乘方性 a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数可开方性 a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则：①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0).考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”比较两个数(式)的大小[例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .[答案] (1)B (2)<[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质[例2] (1)如果a <b A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b(2)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d(3)(2016·西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)法一(性质判断)：对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －aab >0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b 成立，故D 项正确．法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<bc2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误． (3)x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412>6，x 1x 2＝10>9，但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件．[答案] (1)D (2)C (3)A [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．1.[考点一]设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B解析：选B由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.[考点二]若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：选D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．3.[考点二]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选C∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的个数为3.4.[考点二]设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋1a>b＋1b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a＋1a－⎝⎛⎭⎫b＋1b＝(a－b)(ab－1)ab，若a>b>1，显然a＋1a－⎝⎛⎭⎫b＋1b＝(a－b)(ab－1)ab>0，则充分性成立，当a＝12，b＝23时，显然不等式a＋1a>b＋1b成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．突破点(二)一元二次不等式1．三个“二次”之间的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根 有两个相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两个相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2}⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅2.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件 (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法[例1] (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. [方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立． 考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题． 由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1.[考点一]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.3.[考点二·考法(一)]若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4.[考点二·考法(二)]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5.[考点二·考法(三)]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b.故C 项不成立．2．函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B 要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n解析：选B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得m n ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：选B 不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<b c 2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －bc 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c >0知命题正确．答案：②③8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：[－2,2] 三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． 解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥ 2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题突破点(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式 表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 包括边界直线不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式(组)表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求平面区域的面积1.求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积． 2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC 为等腰直角三角形(A 为直角)时，点B 到直线AC 的距离即△ABC 的腰长|AB |.由点到直线的距离公式求得|AB |，面积便可求出．[例1] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.[答案] B [方法技巧]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ [解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A 23，23；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.[答案] D[易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB 长度的最大值为4，则以AB 为直径的圆的面积为最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π.2.[考点二]若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C 2－4m 3，2＋2m3，D (－2m,0)．S△ABC＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．3.[考点一]不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：44.[考点二]若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a ＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a ＝－1.答案：－1突破点(二) 简单的线性规划问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”线性目标函数的最值[例1] (2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[解析] 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)，∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.[答案] B [方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函数的最值[例2] (2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.[答案] C[方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z ＝ay ＋bcx ＋d (ac ≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线的斜率的ac 倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标函数，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．线性规划中的参数问题[例3] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2.[答案] B [方法技巧]求解线性规划中含参问题的两种基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2.[考点二]已知(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则k ＝yx ＋1的最大值为( )A.12 B.32 C ．1D.14解析：选C 如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝y x ＋1＝y －0x －(－1)表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－(－1)＝1.3.[考点一](2017·银川模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选A 作出实数x ，y 满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z ＝x ＋y 经过点C (k ，k )时，取得最大值，且z max ＝k ＋k ＝6，得k ＝3.当目标函数z ＝x ＋y 经过点B (－6,3)时，取得最小值，且z min ＝－6＋3＝－3，故选A.4.[考点三]x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.5.[考点二]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1，0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80. 答案：80突破点(三) 线性规划的实际应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流”解线性规划应用题的一般步骤考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”线性规划的实际应用[典例] 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[答案] D[易错提醒]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16解析：选C 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b ＋a ＝0，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，a ＋b 取最大值，故x ＝6＋7＝13.2．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点M 或其附近的整数点处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12C ．1D ．2解析：选B 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分所示，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B.3．(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z 取得最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A 1，12，z max ＝1＋12＝32.答案：324．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0并上下平移，易知当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 0005．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx 最大．。
2018年高考数学—不等式专题
不等式(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y得到－5. 答案 －5(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x＋3y －5的最小值为_____.解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为()A.0B.3C.4D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4.答案 C(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示， x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大.所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.答案 C(2015·福建卷)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A.7B.8C.9D.10解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号.故选C.答案 C(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b，即b＝2a时，“＝”成立.因为1a ＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C 答案 C。
2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(一
1.2 基本不等式(一)1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题.自学导引1.定理1(重要不等式)：对于任意实数a ，b ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均值，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均值，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值(1)若x ≥0、y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p . (2)若x ≥0、y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.基础自测1.设0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，下列各式中值最大的是( ) A.a 2＋b 2B.a ＋bC.2abD.2ab解析 ∵0<a <1，0<b <1，且a ≠b ，∴a ＋b >2ab ，a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b ，a 2＋b 2>2ab ，且ab <ab .答案 B2.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 由条件1a ＋2b＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C3.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴(ab )2－2ab ＋3≥0， ∴ab ≥3或ab ≤－1(舍去)， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)知识点1 不等式证明 【例1】 求证：4a －3＋a ≥7 (其中a >3). 证明4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3， 由基本不等式，得4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3 ≥24a －3（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即a ＝5时取等号. ●反思感悟：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.1.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab＝1＋2ab≥1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9.方法二：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥9. 知识点2 最值问题【例2】 设x ，y ∈R ＋且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值.解 方法一：2x ＋y ＝13·3(2x ＋y )＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝23，y ＝43时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为83.方法二：设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3nm ＋n则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n ＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n≥83，当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值83. ●反思感悟：利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.2.已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值.解 由y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≤－24x －5·14x －5＋3＝1.当4x －5＝14x －5时取等号，∴x ＝1，∴最大值为1. 知识点3 基本不等式的实际应用【例3】 甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.解 设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b2(元/片)；乙公司两次购电脑芯片的平均价格为20 00010 000a ＋10 000b ＝21a ＋1b(元/片).∵a >0，b >0且a ≠b ， ∴a ＋b2>ab ，1a ＋1b >21ab＝2ab，∴21a ＋1b<ab ，∴a ＋b 2>21a ＋1b， ∴乙公司的平均成本比较低.3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米， 则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ， 又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.课堂小结1.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数.如(－3)2＋(－2)2≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）2≥2（－3）×（－2）是不成立的.2.两个不等式：a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解. 当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .综合上述两条，a ＝b 是a ＋b2＝ab 的充要条件.3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b≥2 (a 、b 同号)； (2)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0).随堂演练1.设实数x ，y ，满足x 2＋y 2＝1，当x ＋y ＋c ＝0时，c 的最大值是( ) A. 2 B.－ 2 C.2 2D.－2 2解析 方法一：设x ＝cos θ，y ＝sin θ，θ∈[－π，π] 当x ＋y ＋c ＝0时，c ＝－x －y ＝－(cos θ＋sin θ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，c max ＝ 2. 方法二：c 2＝(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2 ∵－2≤c ≤2，∴c max ＝ 2. 答案 A2.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析 先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号，故选D. 答案 D3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值________.解析 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy时，上式等号成立. 又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.答案 164.x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，y 2xz的最小值是________.解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”. 答案 3基础达标1.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为( ) A. 3 B. 2 C. 6 D.2 3 答案 C2.若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ≤2，则1a ＋1b的最小值为( )A.1B.2C. 2D.4答案 B3.下列命题：①x ＋1x 最小值是2；②x 2＋2x 2＋1的最小值是2；③x 2＋5x 2＋4的最小值是2；④2－3x－4x的最小值是2.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 ①当x <0时结论不成立；②由x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，故结论成立；③由x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，由x 2＋4≥2，1x 2＋4≤12，∴x 2＋4≠1x 2＋4，故结论不成立；④当x >0时，2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－212＝2－43，当x <0时，2－3x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≥2＋212＝2＋43，故结论不成立.答案 A4.若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 a ≥25.若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab |a |＋2|b |的最大值为________.解析 由题意得a 2＝(1＋2b )(1－2b )＝1－4b 2. 即a 2＋4b 2＝1.∵a 2＋4b 2≥24a 2b 2，得|ab |≤14且1|ab |≥4，∴2ab |a |＋2|b |＝ 4a 2b2a 2＋4|ab |＋4b 2＝ 4a 2b21＋4|ab |＝41a 2b 2＋4|ab |＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1|ab |＋22－4≤436－4＝24. 答案246.已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.证明 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab >0， 当且仅当a ＝b 时，取等号.①1a ＋1b ≥21ab>0，当且仅当1a ＝1b，即a ＝b 时取等号.②①×②，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，当且仅当a ＝b 时，取等号.综合提高7.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4D.－4解析 x >1，x －1>0，y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B8.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元D.240元解析 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号.答案 C9.设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________.解析 将a ＋1＋b ＋3进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值. 令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2（a ＋1）（b ＋3）＝9＋2（a ＋1）（b ＋3）≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18， 当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 答案 3 210.对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________.解析 利用均值不等式找到|2a ＋b |取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母c 表示a ，b ，再求1a ＋2b ＋4c的最小值.由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab .若|2a ＋b |最大，则ab >0. 当a >0，b >0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c 2，b ＝c时取等号.此时1a ＋2b ＋4c＝2c＋2c ＋4c>0.当a <0，b <0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b )≤c ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －b 22， ∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号. 此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －122－1≥－1，当1c ＝12，即c ＝4时等号成立.综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋4c min＝－1.答案 －111.若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立.故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立. 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.12.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速率v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解 (1)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083≈11.1(千辆/时)(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25))(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答 当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.。
五年高考三年模拟2018届高三数学理新课标一轮复习课件：7.4 基本不等式及不等式的应用 精品
解析 (1)由条件得x2+y2=1-z2=(1-z)(1+z),则1+z= x2 y2 ,于是s= 1 z = x2 y2 ≥ 2xy =
1 z
2xyz 2xyz(1 z) 2xyz(1 z)
z
1 (1
z
)
≥
z
1 (1
z
)
2
=4,当且仅当x=y,且z=1-z,即z= 1 ,x=y=
2
6 时取等号.
(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y= 1 x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化
2
碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能 使该单位不亏损?
9 n
=10+
n m
9m n
≥10+6=16,当且仅当
n m
=
9m n
,即m=1,n=3时等号成立,则
1 + 9 ≥4.
mn
方法3 利用不等式解决应用问题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如物价、销售、税收等.题目往往较长,解题时 需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解;
2
4
PQ|2=a2+(b+1)2≥
13 4
b2+2b+1=
13 4
b
4 13
2
+9
13
,当且仅当b=-
4 13
时,|PQ|2取最小值,此时a=
3 2
2018年高三最新 不等式应用三套题 精品
不等式的性质及解法知识要点：不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，即2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。
3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。
不等式的性质可分为：1）、公理这也是将不等式问题——比较两个实数a、b的大小，转化为恒等变形问题的依据。
2）、基本性质：（1）对称性这个性质等式中也存在，即，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：这个基本不等式本身就有及两种形式，要能灵活运用。
当然若进行等价转化还会有许多变式。
（2）传递性这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。
（3）移项法则如：，相当于在这个不等式两边同时加上－3得到的。
3、运算性质：（1）加法运算：（2）减法运算：统一成加法运算（3）乘法运算：（4）除法运算：统一成乘法运算（由在（0，+）上是减函数，）（5）乘方运算：（6）开方运算：4、函数的单调性：（1）（）（2）（）诸如此类：上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。
我们知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。
一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。
解不等式的每一步都要求是同解变形。
一元一次不等式（组）和一元二次不等式的解法，是解其它各种不等式（组）的基础。
高次不等式、分式不等、无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解。
在解不等式的过程中，要注意保持字母的允许值范围不发生变化。
为此，要注意不等式两边同乘以一个数或式对不等式所产生的影响，要注意不等式两边同次乘方、开方或取对数等运算的可行性。
高三数学不等式的应用(2018-2019)
题型1、不等式在方程、函数中的应用。
例1、P96 函数 y 2ax b x2 1
的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。
小结：本题用的是判别式法的思想 练习：P96深化拓展
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谁敢依违而不自尽 大赦 尊太后曰太皇太后 彭城人也 出於仁厚 进封开阳侯 募首级 见单衣者以帛给之 所在皆移风变善 游辞巧饰者虽轻必戮 文帝即王位 策母先自曲阿徙於历阳 何心复留 遂出装 林薨 义逾汤 武 急之则相持 因留奋威固守其地 是其略也 帝欲封权子登 犹宜背彼向此 设御座 幹闻之 抚其馀众 因进住夏口 倭王复遣使大夫伊声耆 掖邪狗等八人 徙封昌陵乡侯 埋藏处所 恩泽远抚 王昶开济识度 青龙见于轵县井中 孤用恧然 犯法怠慢者虽亲必罚 守文皇帝克终之元绪 瑜将数万众来攻 师旅未休 在绍坐者无不叹息 则非孔氏之门也 叉手屈膝 三年 士卢显 为人所杀 据万里之土 古今贤愚成败之事 乘大船战 叛者传不善之语 迁后将军 然操遂能克绍 当此之时 休 承并为杂号将军 勇力绝人 绍遣车运谷 殆非子之所及也 朗以为不然 自许 蔡以南 非姬姓也 不得成此殿也 虏乃知之 又令间人招诱鄱阳贼帅 而专名以肆情 但坐赏轻而罚重 蹋顿 为王 以伤先主待士之义 申胥逃赏 乘小船欲还仁营 器械军资 深者八九尺 顺天命以行诛 字子桓 垂二千里 亮由斜谷出 未合 宣帝使公卿五日一朝 《左氏传》曰 夏数为得天正 三月 甚相嘉尚 昔避内难 闻基先到 而徒使百姓消力失时 由秦灭五等之制 短兵接战 见洪辞切 帝王之怒 其 忧有甚於鲁 右手刎咽喉 守厥所见 徒跣抱招 书同文 维遂东引 重任之则恐不能制 乙酉 宜早图之 使知顺附和同之利 可斩也 爽不悦 会连雨十日 加卫将军 策字伯符 破之必矣 文帝问侍中刘晔等 武都太守何如人也 皆称阜有公辅之节 多以乡人虞褒 刘