四川成都石室中学1011学年高一下期末考试(数学)

石室中学高2013级2010～2011学年度下期期末考试数学试题(时间：120分钟 满分：150分)说明：请将所有试题的答案都答在答题卷上.一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1.已知点(1,2)M ，(1,1)N ，则直线MN 的倾斜角是A.90 B.45 C. 135 D. 不存在 2.在ABC ∆中，已知2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，则ABC ∆的面积为 A.B. 1C.2D. 123.已知a b >，c d >，且0cd ≠，则A. ad bc >B. ac bd >C. a c b d ->-D. a c b d +>+ 4.如果直线220ax y ++=与直线320x y --=垂直，那么系数a = A.23 B. 3- C. 6- D. 32- 5.若变量x y 、满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 2B. 3C. 5D. 6 6.到直线y =的距离与到x 轴的距离相等的点的轨迹方程为 A.3y x =B.y = C.3y x =或y = D.(2y x =或2)y x = 7.设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若cos cos cos a b cA B C==， 则ABC ∆是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 8.圆22(2)(1)3x y -++=被直线10x y --=截得的弦长是A ．B ． 1C ．2D ． 29.已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为A. 22(1)(1)2x y ++-=B. 22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++= 10.已知锐角αβ、满足sin α=，sin()αβ-=β等于A.6πB.4π C.3πD.512π11.设数列{}n a 满足113a =，21n n n a a a +=+(*n N ∈)，记12111111n nS a a a =++++++， 则10S 的整数部分为A. 1B. 2C. 3D. 412.函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立，则229a b ab+的最大值与最小值之和为A. 18 B ． 16 C ． 14 D ． 494二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.设0x >，则函数4y x x=+的最小值是 . 14.如果tan tan 2αβ+=，tan()4αβ+=，那么tan tan αβ等于 .15.若圆1O ：225x y +=与圆2O ：22()20x m y -+=(m R ∈)相交于A B 、两点，且两圆 在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 . 16.已知数列{}n a (*n N ∈)，其前n 项和为n S ，给出下列四个命题： ①若{}n a 是等差数列，则三点10(10,)10S 、100(100,)100S 、110(110,)110S共线； ②若{}n a 是等差数列，且111a =-，376a a +=-，则1S 、2S 、…、n S 这n 个数中必然 存在一个最大者；③若{}n a 是等比数列，则m S 、2m m S S -、32m m S S -(*m N ∈)也是等比数列； ④若11n n S a qS +=+(其中常数10a q ≠)，则{}n a 是等比数列.其中正确命题的序号是 .(将你认为的正确命题的序号．．都填上)三、解答题：本题共6个小题，满分74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知OAB ∆的顶点(0,0)O 、(2,0)A 、(3,2)B ，OA 边上的中线所在直线为l . (I)求l 的方程；20题图(II)求点A 关于直线l 的对称点的坐标.18.(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数2()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中a R ∈). (I)求(2)f 的值；(II)解关于x 的不等式()0f x >.19.(本小题满分12分)已知函数()2sin cos 1f x x x x =+(x R ∈). (I)求()f x 的最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]42x ππ∈上的最大值和最小值； (III)若不等式2[()]4f x m -<对任意[,]42x ππ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20.(本小题满分12分)如图所示，港口A 北偏东30︒方向的点C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为31海里. 该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处，测得CD 为21海里. 问此时轮船离港口A 还有多少海里?21. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴．．．．有三个．．不．同的．．交．点．. 经过这三个交点的圆记为C . (I)求实数b 的取值范围； (II)求圆C 的一般方程；(III)圆C 是否经过某个定点(其坐标与b 无关)？若存在，请求出点点的坐标；若不存在，请说明理由.22. (本小题满分14分)已知数列{}n a 中，12a =，210a =，对任意*n N ∈有2123n n n a a a ++=+成立. (I)若1{}n n a a λ++是等比数列，求λ的值； (II)求数列{}n a 的通项公式； (III)证明：123111123n a a a a ++++<对任意*n N ∈成立.石室中学高2013级2010——2011学年度下期期末考试数学试题参考答案一、选择题：ACDA ACDD BBCB二、填空题：13.4；14.12；15.4；16.①④. 三、解答题： (本题满分12分)17.解：(I)线段OA 的中点为(1,0)，于是中线方程为1y x =-；(II)设对称点为(,)A a b '，则0122122b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=-⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，即(1,1)A '.(本题满分12分)18解：(I)2(2)22(3)2(1)0f a a =--+-=；(II)由(I)知方程()0f x =的两根为12x =，21x a =-，从而()(2)[(1)]f x x x a =---， 而12211x x a a -=-+=+，()0f x >等价于(2)[(1)]0x x a --->，于是 当1a <-时，12x x <，原不等式的解集为(,2)(1,)a -∞-+∞； 当1a =-时，12x x =，原不等式的解集为(,2)(2,)-∞+∞； 当1a >-时，12x x >，原不等式的解集为(,1)(2,)a -∞-+∞.(本题满分12分)19.解：(I)()sin 2212sin(2)13f x x x x π=-+=-+，故T π=；(II)易得22633x πππ≤-≤，于是12sin(2)23x π≤-≤，即2()3f x ≤≤，即max ()3f x =，当512x π=取得，min ()2f x =，当4x π=时取得.(III)原不等式等价于()2()2m f x m f x >-⎧⎨<+⎩恒成立，由(II)得14m <<.(本题满分12分)20.解：由已知60A =︒，在BCD ∆中，由余弦定理得222cos 2BD CD BC BDC BD CD+-∠=⨯⨯17=-，故sin 7BDC ∠==，从而sin sin(60)sin cos60cos sin 60ACD BDC BDC BDC ∠=∠-︒=∠︒-∠︒=. 在ACD ∆中，由正弦定理得 s i n s i n 60A D C DA C D =∠︒，于是sin 15sin 60CD ACDAD ⨯∠==︒(海里)，即此时轮船距离港口A 还有 15海里.(本题满分12分)21.解：(I)令0x =得抛物线与y 轴交点是(0,)b ；令2()2f x x x b =++，由题意0b ≠，且0∆>，解得1b <，且0b ≠.(II)设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，令0y =得，20x Dx F ++=，这与220x x b ++=是同一个方程，故2D =，F b =.令0x =得，20y Ey F ++=，此方程有一个根为b ，代入得出1E b =--，所以圆C 的一般方程为 222(1)0x y x b y b ++-++=. (III)圆C 过定点(0,1)和(2,1)-. 证明如下：法1，直接将点的坐标代入验证；法2，圆C 的方程改写为222(1)0x y x y b y ++---=，于是有22201x y x y y ⎧++-=⎨=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩，故过定点(0,1)和(2,1)-.(本题满分14分)22.解：(I)设211()n n n n a a a a λμλ++++=+，则21()n n n a a a μλλμ++=-+， 令23μλλμ-=⎧⎨=⎩，得31μλ=⎧⎨=⎩或者13μλ=-⎧⎨=-⎩，即1λ=或3λ=-；(II)由(I)知 2113()n n n n a a a a ++++=+，而2112a a +=，故11121()312343n n n n n a a a a --++=+⋅=⋅=⋅，同理2113(3)n n n n a a a a +++-=--有111213(3)(1)4(1)n n n n a a a a --+-=-⋅-=⋅-，两式作差得 14434(1)n n n a -=⋅-⋅-，即3(1)n nn a =+-. (III)当*2()n k k N =∈时，注意到21223312310k k k +--=⋅->，于是22112211111113131k k n n k k a a a a ++++=+=++-21222133(31)(31)k kkk +++=+- 2122212123333331k k k k k k ++++=⋅+--21222122133113333k k k k k k ++++<=+⋅. 显然当1n =时，不等式成立；对于2n ≥， 当n 为奇数时，1231231111111111()()n n na a a a a a a a a -++++=+++++ 2311111123333n n -=+++++211311(1)2233n -=+⨯-1111(1)263n -=+-112263<+=； 当n 为偶数时，1231231111111111n n n a a a a a a a a a +++++<+++++ 2311111123333n n +=+++++21311(1)2233n =+⨯-111(1)263n =+-112263<+=. 综上 对任意*n N ∈有123111123n a a a a ++++<成立.。