第2章第4

第二章
插值法
—— 分段低次插值
分段插值
为什么分段低次插值
高次多项式插值的病态性质：
x 时 Ln(x) 不一定收敛于 f(x) 例：Runge 函数的等距节点插值多项式
分段插值
分段低次插值
用分段多项式函数来逼近原函数 f(x)
常见的分段低次插值
分段线性插值
每个小区间上用线性多项式来逼近 f(x)
2 2 2 2
x [xk, xk+1]， k = 0, 1, … , n-1
误差估计
M4 4 R( x ) f ( x ) I h ( x ) h 384
M 2 max f (4) ( x ) , h max ( xk 1 xk )
a x b 0 k n1
分段三次 Hermite 插值
每个小区间上用三次 Hermite多项式来逼近 f(x)
分段线性插值
分段线性插值
设 a x0 < x1 < · · · < xn b 为 [a, b] 上的互异节点
f(x) 在这些节点上的函数值为 y0 , y1 , … , yn 记 hk xk 1 xk ，h max hk k 求分段函数 Ih(x) 满足 ① I h ( x ) C[a, b] ② I h ( xk ) yk , k 0, 1, , n ③ Ih(x) 在每个小区间 [xk, xk+1] 上是线性函数
插值举例
1 例：函数 f ( x ) ，插值区间 [-5, 5]，取等距节点， 1 x2 试分别用分段线性插值和分段三次Hermite插值画出
f(x) 的近似图像
分段插值注记
分段三次 Hermite 插值比分段线性插值效果更好 但公式较复杂，且需要额外信息（导数）
M 2 max f "( x )
a x b
(k) 2 f "( x ) M 2 hk f ( x) Ih( x) ( x xk )( x xk 1 ) 2! 2 4 (k) f "( x ) M2 2 R( x ) f ( x ) I h ( x ) max ( x xk )( x xk 1 ) h k 2! 8
当 h 0 时，
R( x) f ( x) I h ( x) 0
Ih(x) 在 [a, b] 上 一致收敛 到 f(x)
分段线性插值的不足： Ih(x) 在节点不可导
分段三次Hermite插值
分段三次 Hermite 插值
设 a x0 < x1 < · · · < xn b 为 [a, b] 上的互异节点
分段线性插值
由以上条件直接可得 Ih(x) 在小区间 [xk, xk+1] 上的表达式
x xk 1 x xk I h ( x ) yk yk 1 xk xk 1 xk 1 xk
x [xk, xk+1]， k = 0, 1, … , n-1
误差估计
误差估计
在小区间 [xk, xk+1] 上有
分段三次Hermite插值
由以上条件直接可得 Ih(x) 在小区间 [xk, xk+1] 上的表ห้องสมุดไป่ตู้式
x x k x x k 1 x x k 1 x x k I h ( x ) yk 1 2 yk 1 1 2 x x x x x x x x k 1 k k k 1 k k 1 k 1 k x x k 1 x xk mk x xk m x x k 1 k 1 x x x x k 1 k k k 1
yk ＝ f(xk) , mk ＝ f(xk) ， k = 0, 1, … , n
求分段函数 Ih(x) 满足
① I h ( x ) C 1[a, b] ② I h ( xk ) yk , I h '( xk ) yk , k 0, 1, , n ③ Ih(x) 在每个小区间 [xk, xk+1] 上是三次多项式