空间情形下旋转曲面的侧面积计算
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
旋转曲面的面积
作业
P255：1，2，3.
0
2
64 a2
3
例3 已知
y
星形线
x y
a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
4
0
a
sin3
积 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx
很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面
积，取其为面积元素，dS 2 f (x) 1 f '2 xdx
旋转曲面的面积为
S
2
b
a
f
x
1 f '2 xdx
若曲线由参数方程
x y
xt y t
,
t
x x(t)
y
y(t)
( t )给出，则侧面积公式为：
A 2
y (t )
x'2 (t) y'2 (t)dt
若曲线段由极坐标方程
( ) ( )给出，则侧面积公式为
A 2
( ) sin
2 ( ) '2 ( )d
,
定义，且
y
t
0,
则由弧
微分只是推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得曲面的面积
S 2 y t x' 2 t y' 2 t dt
旋转曲面的面积公式推导
旋转曲面的面积公式推导
推导旋转曲面的面积公式，需要先了解以下概念：
1. 旋转曲面：将平面上的一条曲线绕着某个轴旋转一周所形成的曲面。
2. 微元法：将曲面分为无数个微小的扇形，计算每个扇形的面积，再将所有扇形面积相加得到整个曲面的面积。
3. 弧长：曲线上两点之间的弧长表示曲线上这两点之间的距离，可用微元法表示为：
在了解以上概念后，就可以开始推导旋转曲面的面积公式了。
假设旋转曲面是由曲线y=f(x)在x轴上旋转一周所得到的，旋转曲面的微元面积dS可以表示为：
dS = 2πy*ds
其中，2πy表示曲线在旋转时所经过的弧度，ds表示曲线上微小的弧长。
由微元法可知，旋转曲面的面积公式为：
S = ∫ 2πy*ds
其中，积分区间为曲线上的所有点。
又由于弧长公式为：
ds = sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将ds带入面积公式，有：
S = ∫ 2πy*sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将y=f(x)带入公式中，可得：
S = ∫ 2πf(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx
这就是旋转曲面的面积公式。
第6讲 旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例1
求将椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b)
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
=x a co= s t , y bsin t , 0 ≤ t ≤ π.
令 c2 =a2 − b2 , e =c , 则
a
∫ S
2π
π
bsin t
绕 x 轴旋转
π
∫ ( ) ( ) S=2 ⋅ 2 π 2 a sin3 t ⋅
−3a cos2 t sin t
2
+
3a sin2 t cos t
2
dt
0
π
y
∫ = 12 π a2 2 sin4 t cos t dt 0
π
=
12
π
a
2
1 5
sin5
t
2 0
O
x
=S
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
微元法
旋转曲面的面积
=
4πab
1 2
u
1 − e2u2
+
1 2e
arcsin
eu
1 0
=
2πab
b a
+
a c
arcsin
c a
a2
a2 − b2
=
2πb b +
arcsin a2 − b2
a
.
特别当 a = b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
0
∫ S = 4πa2 2 sin tdt = 4πa2 cos t = 4πa2 .
《旋转体侧面积补充》课件
旋转体的侧面积计算公式
1 2
对于圆柱体，侧面积计算公式为
$S = 2pi rh$，其中$r$为底面半径，$h$为高。
对于圆锥体，侧面积计算公式为
$S = pi rl$，其中$r$为底面半径，$l$为斜高。
3
对于球体，侧面积计算公式为
$S = 4pi R^2$，其中$R$为球半径。
旋转体的侧面积计算方法
旋转体的侧面积在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，旋转体的侧面积 常常被用来计算旋转机械的转动 惯量、力矩等参数，这些参数对 于机械的性能和稳定性至关重要
。
建筑设计
在建筑设计中，旋转体的侧面积 可以用于计算建筑物的表面积和 体积，从而进行建筑物的材料用
量和成本预算。
水利工程
在水利工程中，旋转体的侧面积 可以用于计算水轮机的效率和水
01
根据旋转体的形状选择 合适的公式进行计算。
02
确定相关参数，如底面 半径、高、斜高或球半 径。
03
将参数代入公式中进行 计算。
04
注意单位的一致性，确 保计算结果的准确性。
02 旋转体的侧面积计算实例
圆柱体的侧面积计算
总结词
圆柱体的侧面积计算公式为2πrh，其中r为底面圆的半径，h 为高。
详细描述
《旋转体侧面积补充 》ppt课件
目录
CONTENTS
• 旋转体的侧面积 • 旋转体的侧面积计算实例 • 旋转体的侧面积应用 • 旋转体的侧面积补充知识
01 旋转体的侧面积
旋转体的侧面积定义
01
旋转体的侧面积是指围绕旋转轴 旋转的平面图形的外边缘所围成 的曲面面积。
02
侧面积的大小取决于旋转体的形 状和旋转角度。
旋转体的侧面积公式证明过程
旋转体的侧面积公式证明过程旋转体的侧面积公式证明过程导语：旋转体是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、几何学以及工程学等领域。
在学习旋转体时，我们经常会遇到求解旋转体侧面积的问题。
本文将以数学的角度，为您详细展示旋转体侧面积公式的证明过程，帮助您更全面、深刻地理解这一概念。
一、旋转体的定义和背景知识在开始证明旋转体的侧面积公式之前，我们先来回顾一下旋转体的定义和相关知识。
旋转体是由一个二维平面图形绕着某条轴线旋转一周而形成的立体图形。
在这个过程中，轴线通常被称为旋转轴，而原始的二维图形被称为截面。
在证明旋转体的侧面积公式之前，我们需要掌握几个关键概念：1. 弧长：旋转体侧面的边缘是由旋转过程中截面形成的曲线，这条曲线的长度被称为弧长。
2. 半径：旋转体截面的半径是指从旋转轴到曲线上的某一点所画的垂直线段的长度。
在旋转体的侧面积公式中，我们需要考虑半径的变化情况。
二、旋转体侧面积公式的证明过程1. 我们以一个简单的圆为例，来证明旋转体侧面积公式。
假设我们有一个半径为r的圆形截面，将该圆形绕着与截面垂直的轴线旋转一周，形成一个圆柱体。
在旋转的过程中，圆形截面在旋转轴上每旋转一度，圆的一条弧长就对应圆柱体的一小块侧面积。
由于圆的弧长公式为s=2πr，圆柱体侧面积公式为A=2πrh，其中h为圆柱体的高度。
圆柱体的侧面积为A=2πrh。
2. 接下来，我们考虑一个更一般的情况，即旋转体的截面不是圆形而是任意形状。
为了证明侧面积公式的普遍性，我们可以将非圆形的截面分割成无数个极小的扇形片段，然后用极限的方法将它们相加。
假设我们将非圆形截面分割成n个扇形片段，每个扇形片段的边长为Δs，对应的半径为Δr。
将每个扇形片段绕着轴线旋转一周，形成n个小的扇形表面。
那么，每个小的扇形表面的面积为ΔA=Δs×Δr。
将n个小的扇形表面的面积相加，得到旋转体整个侧面积的近似值为Sum(ΔA)=Sum(Δs×Δr)。
旋转曲面的面积极坐标
旋转曲面的面积极坐标
旋转曲面的面积：在区间[a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，这些点把[a，b]分割成n个小区间[xi-1，xi]，i=1，2，…n。
再用直线
x=xi，i=1，2，…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。
旋转曲面是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。
该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。
曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。
比如：球面就是由圆绕着其直径转动而变成；环面就是由圆绕着外面的一条直线转动而变成。
纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线；旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线；任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
曲面面积的计算方法
曲面面积的计算方法曲面面积是指曲面所包围的区域的面积，它在数学、物理学、工程学等领域中都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算曲面的面积，因此掌握曲面面积的计算方法是非常重要的。
本文将介绍几种常见的曲面面积计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些方法。
一、曲面面积的计算方法。
1. 曲面面积的计算方法一，积分法。
对于给定的曲面方程，我们可以利用积分的方法来计算其面积。
具体步骤如下：（1）确定曲面方程，首先要确定曲面的方程，例如z=f(x,y)。
（2）确定积分区域，确定曲面所在的区域，通常是一个二维区域D。
（3）建立积分式，利用双重积分的方法，建立曲面面积的积分式，通常是∬D √(1+ (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²)dxdy。
（4）进行积分计算，对积分式进行计算，得到曲面的面积。
2. 曲面面积的计算方法二，参数化法。
对于无法直接表示为z=f(x,y)的曲面，我们可以利用参数化的方法来计算其面积。
具体步骤如下：（1）确定参数方程，通过引入参数u和v，建立曲面的参数方程，例如x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)。
（2）建立面积元素，利用参数方程，建立曲面的面积元素dS=|∂r/∂u ×∂r/∂v|dudv。
（3）进行积分计算，利用参数化的面积元素进行积分计算，得到曲面的面积。
3. 曲面面积的计算方法三，旋转体法。
对于可以通过曲线绕轴旋转而成的曲面，我们可以利用旋转体法来计算其面积。
具体步骤如下：（1）确定旋转曲线，首先确定曲面的旋转曲线，通常是一个平面曲线。
（2）建立面积元素，利用旋转曲线，建立曲面的面积元素dS=2πyds。
（3）进行积分计算，利用旋转体法的面积元素进行积分计算，得到曲面的面积。
二、曲面面积计算方法的应用举例。
1. 例题一，计算曲面z=xy在区域D={(x,y)|0≤x≤1, 0≤y≤1}上的面积。
解，利用积分法，建立曲面面积的积分式∬D√(1+ y² + x²)dxdy，进行积分计算，得到曲面的面积为∫[0,1]∫[0,1]√(1+ y² + x²)dxdy。
绕x轴旋转体侧面积体积计算公式正确理解
绕x轴旋转体侧面积体积计算公式正确理解要正确理解绕x轴旋转体的侧面积和体积计算公式，我们首先要了解什么是绕轴旋转。
绕轴旋转是指将一个二维图形沿着条轴线旋转一周，形成一个三维体积。
在数学中，我们通常将图形沿着x轴或y轴旋转，但绕x轴旋转是比较常见和容易理解的一种情况。
以绕x轴旋转的图形为例，如果我们有一个二维图形在xy平面上，我们可以将其绕x轴旋转，形成一个三维图形。
我们需要计算这个旋转体的侧面积和体积。
首先，我们来看如何计算绕x轴旋转体的侧面积。
侧面积是指旋转体的侧面在二维平面上所覆盖的面积。
对于一个在xy平面上的二维图形，我们可以将其分割成无限小的宽度dx的条状带。
当我们将这个条状带绕x轴旋转时，它形成的是一个环形带（也称为圆环）。
环形带的面积等于该环形带的内圆面积和外圆面积之差，即：dA = π(R^2 - r^2)dx其中，R是环形带的外圆半径，r是环形带的内圆半径，dx是环形带的宽度。
要计算整个旋转体的侧面积，我们需要将所有条状带的面积相加，即对上述公式进行积分：A = ∫[a,b]π(R^2 - r^2)dx其中，[a,b]是旋转体的x范围。
接下来，我们来看如何计算绕x轴旋转体的体积。
体积是指旋转体所占据的三维空间的大小。
对于一个在xy平面上的二维图形，我们也可以将其分割成无限小的宽度dx的条状带。
当我们将这个条状带绕x轴旋转时，它形成的是一个圆柱体。
圆柱体的体积等于该圆柱体的底面积乘以其高度，即：dV = πR^2dx要计算整个旋转体的体积，我们需要将所有圆柱体的体积相加，即对上述公式进行积分：V = ∫[a,b]πR^2dx其中，[a,b]是旋转体的x范围。
综上所述，绕x轴旋转体的侧面积和体积计算公式如下：侧面积：A = ∫[a,b]π(R^2 - r^2)dx体积：V = ∫[a,b]πR^2dx这些公式可以用于计算各种二维图形绕x轴旋转所形成的立体体积和侧面积，如圆、椭圆、方形等。
极坐标曲线绕空间任意轴的旋转面面积
极坐标曲线绕空间任意轴的旋转面面积
不少少山小爱好者，喜欢利用少山的极坐标曲线来绘制一些复杂的图形，视觉
效果十分美观。
今天，让我们一起来看看极坐标曲线绕空间任意轴的旋转面的面积吧！
首先，我们以四维空间为例，为了介绍更清晰，我们假设在曲线绕Z轴旋转。
那么，在这个过程中，极坐标曲线将在空间中形成旋转面，而这个旋转面面积就是求解这一过程中极坐标曲线面积的一种量化标准。
一般来说，这种旋转面面积是难以计算的，但是如果可以把旋转面面积分解成
一些离散的极坐标支架面积，就可以很容易的计算出来。
假设把z轴上的区间[θ₀，θ₁]分解成n个小区间，那么旋转面的面积就可以表达为：
S={Δθ[R(θ)² sinθ]/n}。
其中Δθ为每小区间的长度，R(θ)表示极坐标系的每个极坐标点处的位置，sinθ表示极坐标系的法向量长度。
综上所述，极坐标曲线绕空间任意轴的旋转面面积，是一个复杂而又优雅的概念，它不仅可以让小伙伴们更好的了解少山的计算机绘图原理，更可以让小伙伴们享受到运用少山的数学技能的乐趣。
期待你也能在这条数学之路上与我们一起走下去！。
旋转曲面面积的计算问题
旋转曲面面积的计算问题
彭培让
【期刊名称】《天中学刊》
【年(卷),期】1996(011)002
【摘要】以古尔金第一定理为主要工具，给出了光滑的平面曲线平面的一般直线旋转而成的旋转曲面面积的计算公式。
【总页数】1页(P8)
【作者】彭培让
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.空间情形下旋转曲面面积的计算 [J], 王培吉
2.旋转曲面面积的近似计算 [J], 陈珍培
3.旋转曲面面积的曲线积分表示 [J], 倪华;田立新
4.空间情形下旋转曲面的侧面积计算 [J], 马秀华;王小勇
5.旋转曲面上的第二型曲面积分的计算公式 [J], 周军
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
旋转曲面的面积
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。
微 step1. 分割：任意划分[a,b]为n个小区间
元 法
n
[ xi1 , xi ] (i 1 ~ n),则A Ai
i 1
step2. 近似： i [ xi1 , xi ], 计算 i f (i )xi
微 元 法
求出 A f ( x)dx (局部量) 并记 dA f ( x)dx 称为面积元素
step3: 计算 A
b
f ( x)dx
a
这种方法称为定积分的元素法或微元法。
一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:
1。Q是与某一变量x的变化区间[a,b]有关的量；
2。Q对于[a,b]区间具有可加性；
记ds 1 y2 dx
弧长微元
M2 M1
3。S= a 1 y2 dx b
o
A
M
a
0
x
x x
bx
一般地，如果旋转曲面是由平面光滑曲线
二 段 y f ( x) ， x a,b ( f x 0) 绕 x轴旋
旋 转
转一周而成的，旋转曲面的面积为多少？
取积分变量为x ，
由此可知，若某个非均匀量Ｕ在区间 [a,b] 上满足两个条件：
（1） 总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就
等于各个小区间上的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法
1 求微元
写出典型小区间 [ x, x dx] [a, b]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１ 主 要 定 理
定理 空 间曲线 Ｃ： ＝ （）Ｙ＝） ￡， （） 口ｓ ￡ ）绕 直线 ， ， ）ｚ＝ ￡（ （ ｓ６
： ＝ ＝
旋转一周形成的曲面与经过 Ｃ上 ￡ 。 ￡ ６ ＝ 及 ＝ 对应点且与旋转轴 垂直的两平 面所围部分的旋转 曲面侧面
积公式 为 ：
［ ＿ ＿ ＿ ｊ － ＿ ＝ ： 二 －＝ ．
＿ － ＿ ＝ ＝ ＝ ＿ ：
＋ — ｏ 一 （ — ｏ］ ［ （ Ｘ Ａｙ ｙ ） ）
． 、
７
ｄ ｔ
这里假定过曲线 Ｃ 上任意一点与直线 Ｌ垂直的平面和 Ｃ只有一个交点。
定 理证 明
作者简介 ： 马秀华 （９５ ， ， １６ 一）女 河北遵化人 ， 高级讲师 ， 主要从事工作 ： 工程制图 ， 应用数学研究 。
ｌ Ｉ Ｍ× Ｉ ％
＝
Ｉ
Ｉ
其 中 Ｍｏ ，ｏ７）为直 线 上一 已知点 ， ： （ Ｂ， ）为 直线 方 向 向量 。 （ Ｙ， ＂ ０ Ａ， Ｃ
Ｚ
— — — — — — —
Ｊ
０
ｋ
Ｚ — Ｚ０
＋
—－ ＋
一
Ｍ０ Ｘ考 ＝ Ｍ
Ｙ ‘ Ｙｏ ’ ’
ｆ ～
ｔ ＝／ ） ｙ （
（ ｓ６ 口 ）
且 间线 的程 平 方 ｙ ＋即 产＝ ＝ 时 空 直 方 为 面 程 ＝ ｍ 生 兰 ， ＿
把 （）＝ ，（） ＝厂 ） ｔ ＝０Ａ ＝１Ｂ ＝ｋＣ ＝０代人定 理得 ｔ Ｙ￡ （ ，（） ， ， ，
２ｒ ￣ ｒ
文献标 识码 ： Ａ
曲线绕 坐标轴 旋转 一周 生成 的旋 转 曲面 的侧 面积 是数 学 分析 中定 积 分 的主要 应 用 之一 。我们 知道 ， 连
续曲线 ｙ ｆｘ 绕 ｘ ａｂ 轴旋转一周生成的旋转曲面的侧 面积公式为 ： ： （ ） ∈［ ，］
Ｓ： ￣ ） 而 ２ｆ ～ ｒ
面 的侧 面积公 式 为 ：
。＋ Ｂ ＋ Ｃ
所 以旋 转 曲面侧 面积 微元
・ － — － —
４
ｄ ＝ ２ ｒＩ Ｐ Ｉｄ ＝ Ｓ ７ ｓ
＝ ２￣ ・ ｒ
［ （ Ｙ ）一Ｂ 一 ） ＋［ （ ）一ｃ 一 ） ＋［ 一 ）一 （ Ｙ ） Ｃ ｙ— ｏ （ ］ Ａ 一 ０ （ ０ ］ （ ０ Ａ ｙ— ｏ ］
＝—＝ ＝ 二 二 ＝ √ｌ ＋ ｋ ＋ ０ — ＝ 二 ＝ 二Ｉ ＝ 。
￣［ （（）一ｍ）一ｋ０— ） ＋［ （ ０ ０ ｘ一 ） ＋［ （ ０ ／０－ 厂 （ ０］ １０— ）一 （ ０ ］ 一 ）一１ ）一ｍ ］ （ ） ・
、ｌ ＋ ）＋ ｄ ／。 ／ （ ／ ０ｘ
Ｓ：．＝ ＋ Ｂ ＋ Ｃ 厶 ．＝ 一 ｆ
￣［ （ Ｙ）一 （ 一 ） ＋［ （ 一 ０ ／Ｃ Ｙ— 。 Ｂ ｚ ］ ａ ｚ ）一ｃ 一 ０ ］ Ｂ — ）一 （ （ ） ＋［ （ 。 Ａ ｙ—Ｙ） 。］
眨 ＿．
ａ ｔ
特别地 ， 当空 间曲线 Ｃ为平 面 曲线 Ｙ ＝， ）即 （
Ａ
＝
８
Ｃ
｛（ Ｃ ｙ—Ｙ）一 （ ）Ａ — ０ ｏ 一 ０ ， （ ）一Ｃ 一 ） （ 一 。 Ａ ｙ— ｏ ｝ （ ０ ， ）一 （ Ｙ）
故
Ｉ Ｍｏ Ｉ Ｍ Ｘ ＭＰ Ｉ＝ — — — ＿一 ＝ —— — ， Ｉ Ｉ
．
［ （ Ｙ ）一Ｂ ｚ ｏ ］ Ｃ ｙ— 。 （ —Ｚ） ＋［ （ ）一ｃ — ） ＋［ （ 一 。 Ａ ｙ— ｏ ］ Ａ ｚ— 。 （ 。 ］ Ｂ ）一 （ Ｙ）
马秀华 ， 小 勇 王
（ 西安 电力 高等专科学校 动力工程系 ， 陕西 西安 ７ ０ ３ ） １０ ２
摘 要 ： 究 了空 间一类 曲线绕 任意直线旋转 一周 生成 的旋 转 曲面侧 面积 的计算 方法。 研
关键词 ： 间曲线 ； 转 曲面 ； 面积 空 旋 侧
中图分 类号 ： １２ ２ ０ ８ ．
马秀华 ， ： 间情形下旋转 曲面 的侧面积计算 等 空
３ ７
选取 ｔ 为积分变量 ， 它的变化区间为 ［ ，］。任取一点 ｔ 口ｂ 那么曲线 ｃ上的点 Ｍ（ （）Ｙ ｔ ， 口ｂ ∈（ ，）， ｔ ，（）＝
（） ｔ ）到 直线 的距 离 为 ： ｌ
一
Ｉ
？Ａ Ｄ ｌｒ Ｉ
、
而弧 长微 元 ：
ｄ ｓ＝～
所以：
ｄ ＝ ２ｒ Ｓ ￣
７
ｔ
［（ Ｃ ｙ—Ｙ）一Ｂ 一 。 ］ ＋［ （ — ０ 。 （ ） ａ ｚ Ｚ）一Ｃ ｘ一 ） ＋ （ ０ ］
、
ａ ｔ
从 而所 求旋转 曲面 的侧 面 积为 ：
３ ８
西安 电力高等专科学校学报
即
ｓ 这就是文［ ］ １ 的结果 。
Ｉ （ 一， ｌ ／ ， ）一 ｎ ｊ
２ 举例
求 线 ： ＝ 。 另 直 午＝ ＝ 旋 一 形 的 面 两 面（ １＋ ＋ 直ｃ 午＝。 一 线 ： Ｙ ÷ 转 周 成 曲 与 平 ）Ｙｚ ２ 兰 绕 １ 一
ｄ ｘ
（） １
文 ［］ １ 中作者 得 出光 滑 曲线 ｙ＝ ） ∈［ ６ 在一 定条件 下绕斜 直线 ，＝ｋ ， ，］ ， ＋ｍ旋 转一 周生 成的旋转 曲
ｓ：
√１＋
） ｋ一 而 一 ｍＩ
ｄ
（） ２
本 文将此结 果进 一步 推广 ， 研究 了空 间一类 曲线 绕任 意直 线旋 转一 周 生成 的旋 转 曲面 的侧 面 积 的计 算
第 ６卷第 ３期
２０１１年 ７月
西 安 电 力 高 等 专 科 学 校 学 报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ Ｅ ｅ ｔ ｃＰ ｗｅ ｏｌｇ ｏ ｒａ ｆＸｉ ｌｃｒ ｏ ｒＣ ｌ ｅ ａ ｉ ｅ
Ｎ ． １６ ｏ ３ Ｖｏ ．
Ｊ１ ｕ ．２０积 计 算