函数项级数中的一致收敛与极限运算交换次序
函数项级数一致收敛性判别及应用
函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它是由一系列函数组成的无穷级数。
在数学分析、实变函数等领域中，函数项级数的一致收敛性判别及其应用是一个重要的研究方向。
本文将围绕函数项级数一致收敛性判别及其应用展开讨论，深入探讨其相关理论和具体应用。
一、函数项级数的定义我们来看一下函数项级数的定义。
给定一列函数{f_n(x)}，它们在某个区间E上定义。
那么我们可以定义函数项级数\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)，它表示无穷多个函数的和。
这里的x是自变量，表示定义域内的任意一个点。
函数项级数的和可以表示为S(x) =\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)。
在这里，S(x)是一个新的函数，称为函数项级数的和函数。
函数项级数的一致收敛性是指当级数的和函数S(x)在定义域E上一致收敛时。
这意味着对于给定的\epsilon > 0，存在N \in \mathbb{N}，对于任意的n > N和x \in E，都有|S(x) - \sum_{k=1}^{n} f_k(x)| < \epsilon成立。
也就是说，函数项级数的和函数S(x)对于定义域上的任意点x，都可以在n足够大的时候以任意小的误差逼近其部分和\sum_{k=1}^{n} f_k(x)。
一致收敛性要求级数的收敛速度对于定义域E上的所有点x都是一样的，因此是比点态收敛性更强的一种收敛性。
函数项级数的一致收敛性是一个重要的性质，因为它保证了级数的和函数在其定义域上的良好性质。
而对于给定的一列函数，我们如何判断它的级数的一致收敛性呢？下面我们将介绍一些常用的判别法则。
1. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是函数项级数一致收敛性的一个重要判别法则。
它的表述如下：若对于每个正整数n，函数f_n(x)在区间E上都有|f_n(x)| \leq a_n成立，并且级数\sum_{n=1}^{\infty} a_n收敛。
13.2一致收敛函数列与函数项级数级数的性质
因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n
函数项级数一致收敛的定义
函数项级数一致收敛的定义函数项级数指的是形如$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$的无穷级数，其中$f_n(x)$表示一个与自变量$x$有关的函数序列。
一个函数项级数的一致收敛性是指当自变量$x$在其中一个区间$I$上时，函数项级数的部分和函数序列$\{S(x,N)\}$在该区间上一致收敛。
具体地说，给定函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$，它的部分和函数序列定义为$S(x,N)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x)$。
那么函数项级数的一致收敛定义如下：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在一个正整数$N_0$，当$n>N_0$时，对于任意$x\in I$，都有$，S(x,n)-S(x,N_0)，<\varepsilon$。
换句话说，对于任意的正数$\varepsilon$，存在一个正整数$N_0$，当$n>N_0$时，级数的部分和与部分和函数之间的距离都小于$\varepsilon$，也就是说，在该区间$I$上，级数的每一项与级数的和之间的误差都可以无限接近于零。
要理解函数项级数一致收敛的定义，我们可以通过与其他类型的收敛进行比较。
首先，如果函数项级数在其中一点$x_0$处点态收敛，即级数的部分和序列$\{S(x_0,N)\}$收敛到其中一实数$L$，但这个$L$可能依赖于$x_0$，则我们无法将这个级数称为一致收敛的。
因为一致收敛要求对于任意的$x\in I$，部分和函数序列都收敛到同一个极限，也就是说，部分和函数序列不依赖于$x$。
类似地，如果部分和函数序列在其中一个区间上都是逐点收敛的，并且对于每个$x$都收敛到不同的极限，则也不能称为一致收敛。
一致收敛的概念可以看作是逐点收敛的一个强化版。
因为在逐点收敛中，对于每个$x\in I$，都要存在一个正整数$N_0(x)$使得当$n>N_0(x)$时，$，S(x,n)-S(x,N_0(x))，<\varepsilon$，这样的$N_0(x)$依赖于$x$。
函数项级数一致收敛性判别法归纳
函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x f n→→()∞→n ，Dx ∈设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n Ex ∈)1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1,E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部分和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．定义1]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．定义2]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是定义在同一数集D 上，若对于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．定义3设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部分和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，若0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，则函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1．对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xx n nk k 1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+成立,只要当N n >时，恒有()rr n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依定义，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1．存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依定义，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Cauchy 一致收敛准则]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21或()ε<∑++=pn n k kx u 1特别地，当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D上一致收敛于0．定理2]2[函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,和函数)(x S ,都是定义在同一数集D 上,对于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得对于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,则称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由定义2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要知道)(x S .定理4确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n 证明充分性设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,)(x S 为和函数,则有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．定理5若()∑x u n 在区间D 上收敛,则()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明充分性假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,则0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此得到{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,所以N ∃>∀,0ε,使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,对于{}D x n ⊂∀,则有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上连续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于连续函数()x f ，则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，所以[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上连续,既然()ε<x R n ,所以00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时,()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}构成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑定义在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,若对一切D x ∈,有2,1,)(=≤n M x u n x )3(则函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明由假设正项级数()x u n ∑收敛,根据函数项级数的Cauchy 准则,∀0>ε,∃某正整数N ,使得当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1根据函数项级数一致收敛的Cauchy 准则,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:若能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,则()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3函数项级数∑∑22cos ,sin nnxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin n n nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n是收敛的.推论2设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得对于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,则()n n a k ∑∞=+10ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛,故当n a =pn 1时,有推论2'设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,若存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,则函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明对于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得,∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,若N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()x u n∑区间I 绝对一致收敛.证明已知()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准则知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4若有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,则函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数).又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c ∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc 从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,若级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,则函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知,函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5若函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,则函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,则级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5设函数项级数()∑x u n 定义在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，若对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9逼近法[]5若对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,则()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,所以D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；所以+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛定义知,()x u n n∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，则[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛证明由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使得当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(所以()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++ ()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)(εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准则知，[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛定理11Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上连续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于连续函数，则函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．使用步骤：⑴判定()0≥x u n 且连续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上连续．Abel 引理定理12Abel 判别法[]1证明推论6设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，则()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.证明因为()x g 在D 上有界,所以,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u p n nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式表明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g pn nk k p n nk k .由Cauchy 准则知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部分和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调;(ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,则级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明充分性由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n ,时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,得到()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；所以()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++ 于是由一致收敛的Cauchy 准则级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,这里不再赘述.例6若数列{}n a 单调且收敛于0,则级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x x n kx nk 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,所以级数∑nx cos 的部分和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnnax v nx x u ==,cos ,则由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数,()x u n∑是定义在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,如果()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,若含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,则()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,所以()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0连续.证明首先对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,我们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,并且无穷级数dy ey y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,所以含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得,()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 连续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也连续,所以()x S 在0x 连续,由0x 在()+∞,0的任意性可知,()x S 在()+∞,0上连续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者连续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性定义及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如连续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,我们可利用积分的便利条件判断某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15函数列(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,则级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.则()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,则()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且满足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明对0>∀ε,因为b a ,为有限数,所以存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,我们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时,对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j jxx u ()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u ()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj jpn j jxx u u ()ε12+≤M 因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使得当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17设()x u nn ∑为定义在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每个()x u n 在上一致可微,()x u nn∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn∑.定理18设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上连续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n∑∞=1在点0x处收敛;()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛,()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.根据拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2若函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明由函数项级数的柯西收敛准则有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两端取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准则知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,连续,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19利用内闭一致收敛判别[]7若函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛.证明必要性,充分性用反正法,这里不再赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能得到函数级数在区间一致收敛的.例8证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛.证明∑<<∀nx sin ,0,πεε的部分和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知,∑n nx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n n x n ,2,02ππ,则0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知,∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛.推论7若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,,()x u n∑皆收敛.证明与定理19类似,略.定理20[]7设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且满足引理2中必要条件,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明必要性用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,则由定理20知不可;若()b a x ,0∈,则存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,则由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且满足引理的必要条件,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明与定理20的类似,略.推论12[]4设∑)(x u n 使定义在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D上有界，若D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，则当1>q 时，∑)(x un在D 上一致收敛．证明由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，所以1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n nn n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n sn s ++≥，所以sS O N S On sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑s S O n MN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明不妨设对于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，则1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，则当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1所以1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，则函数项级数在D 上一致收敛．证明因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε)1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11判断函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛性．证明因为11)(1≤=xx u ，且11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛．定理23[]8（根式判别法）设∑)(x u n 为定义在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，若存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8（根式判别法的极限形式）设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若n n x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，所以εε+<+<q x q x u n n )()(，所以n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51'设()∑x u n 为定义在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，若()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则存在正整数N ,使得当N n >时，有()1<≤q x q n ，则对任意的N n >，D x ∈∀有()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()x nx u q nnn n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n Dx n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛．推论16[]8有函数项级数()∑x u n ，若对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明因()1lim <=∞→l x u n n n ，则1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8（对数判别法）设()x u n 为定义在D 上的正的函数列，若()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，则函数项级数()∑x u n 一致收敛；②若对D x ∈∀，()1<<p x p ，则函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ，即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，则当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是定义在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q Dx =∈；①当+∞<=21,0q q 时，若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n 在D 上也一致收敛．②当+∞=>21,0q q 时，若()∑x u n 在D 上一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛．③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛．证明由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，则任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n ，得到()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部分可知若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部分可知若()∑x u n 在D 一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5定义4设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的连续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26若()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，则①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明①因为()x u n 是[]b a ,上的连续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于连续函数()0=x u ．所以()()x u x u k k 1+-在[]b a ,连续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，所以()1111≤-∑=+nk k ,故()∑=+-n k k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交错函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的连续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，若()x S n 可写成L 型函数项级数的部分和，则函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k nk k n ∑=+-=111，则对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15证明()∑-x nn11在[)+∞,δ上一致收敛．证明因为[)+∞∈∀,δx ，()x xn n 1110≤+≤，01lim =∞→xn n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k 211，由Cauchy 准则证毕．定理27[]9利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1Cauchy 准则与M 判别法比较实用一般优先考虑；2Cauchy 准则、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对一定的表达式进行有效是我放大．三非一致收敛性的判别1利用非一致收敛的定义定义3，略．例16讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是否一致收敛．解()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，无论n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2利用确界原理的逆否命题定理28若函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明它是确界原理的逆否命题，故成立．例17函数项级数()∑x u n 的部分和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是否一致收敛．证明部分和函数()x x x S n n --=11，当1<x 时，()(),11lim xx S x S n n -==∞→又当∞→n时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数知道时值得用3利用定理5的逆否命题定理29设()()x S x u n =∑，若存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明略．注：此定理比较实用．4利用Cauchy 准则逆否命题定理30函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明它是Cauchy 准则的逆否命题，故成立．例18讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性．解取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin 121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>oε=故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛．注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方法，即取1=p 能适用于很多例题．此方法比较实用，优先考虑．推论18函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，则函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明它是推论1的逆否命题，故成立．例19设()()()()12sin 1212cos+⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解取()12+=n n x n ，则()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，所以(){}x u n 在定义域内非一致收敛于0，则()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9若函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim ≠∞→n n n x u ，则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛．例20讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛．5利用求极值的方法定理31()()∑∞+==1n k kn x u x R ，若()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，所以()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,所以[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛．注：极限函数知道时，可考虑用．6利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2若连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim 证明由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．根据连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则()x f 也必在D 上连续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32连续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}Dx n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22讨论∑+221x n x在()+∞∞-,上一致收敛性．解显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上连续，取() ,2,11==n n x n ，则0lim =∞→n n x ．再设()221x k x x u k +=，由定积分概念()()∑∑=∞→=∞→+=nk nk nn nk n k n x u 12111lim lim ()∑=∞→+=n k n k n n 12111lim dx x ⎰+=1021110arctgx =4π=()00=≠s 故知∑+221xn x在()+∞∞-,上非一致收敛．推论20设连续函数列(){}x S n 在区间D 上逐点收敛，且在D 中存在数列{}n a 和{}n b 满。
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
一致收敛 极限运算交换次序
上一致收敛” ，而不是 “ u ( x) 在 a, b 上一致收敛” 。这样我们就对这个问题有了更加 n
n 1
清晰的理解．
2.3 (和函数的可积性与逐项积分) 设对每个 n, u n (x) 在[a, b] 连续,且
u
n 1
n
( x) 在 [a, b] 上
一致收敛于 S ( x) ,记 Fn (x) (1) Fn ( x)(n 1, 2,
5
x x 0
u
n 1
n
(x) - u n (x 0 )
n 1
x - x0
lim
x x 0
u n (x) - u n (x 0 ) x - x0 n 1
u
n 1 n 1
' n
( n )
& x, x0 ))
'
lim
n x 0
I(y) f ( x, y)dx , y [c, d] ．
a
b
任取一列单调增加的数列 {a n } ,它满足 a 0 a和an ．令
u n ( y)
那么
an
an 1
f ( x, y)dx ,
n 1,2,
若含参变量反常积分
a
f ( x, y)dx
On the uniform convergence and exchanging orders of limit operations in functional series
Xiaoqiang Sun
(Zhongshan School of Medicine, Sun Yat-sen University , Guangzhou , China)
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)
un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .
推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)
例.
求证fn ( x)
1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)
x
lim
n
1
n2
x
2
0, 逐点收敛于f ( x)
复变函数论中的一致收敛问题
复变函数论中的一致收敛问题复变函数论是数学分析的一个重要分支，研究复数域上的函数性质和收敛性质。
其中，一致收敛问题是一个关键的概念。
本文将介绍一致收敛的定义、性质和应用，并探讨相关的定理和引理。
一、一致收敛的定义在复变函数论中，一致收敛是指函数序列或函数列在某个区域上的收敛性质。
具体地说，对于给定的复数域上的函数序列或函数列{f_n(z)}，若存在一个复数域上的函数f(z)，对于任意的正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，对于序列中的每一个函数f_n(z)，都有|f_n(z)-f(z)|<ε，那么我们说这个函数序列或函数列在该区域上一致收敛于函数f(z)。
二、一致收敛的性质1. 一致收敛的函数序列的极限函数是唯一的。
一致收敛的函数序列在一个区域上的极限函数唯一，即如果函数序列{f_n(z)}在区域D上一致收敛于函数f(z)，同时又在D上一致收敛于函数g(z)，那么f(z)和g(z)在D上处处相等。
2. 一致收敛的函数序列的极限函数是连续函数。
如果函数序列{f_n(z)}在某区域D上一致收敛于函数f(z)，那么f(z)在D上连续。
3. 一致收敛的级数具有可交换项的性质。
如果函数序列{f_n(z)}在某区域D上一致收敛，那么在D上它的级数和函数序列f(z)=Σf_n(z)也一致收敛。
三、一致收敛的定理和引理1. 一致收敛收缩原理。
对于函数序列{f_n(z)}，如果存在一个常数k (0<k<1)，使得对于任意的正整数n和任意的复数z，都有|f_(n+1)(z)-f_n(z)|≤k，那么该函数序列在某区域上一致收敛于该区域上的一个连续函数f(z)。
2. 一致收敛与逐项求导的关系。
对于一致收敛的函数序列{f_n(z)}，如果函数序列的每一项f_n(z)在某区域上可导，并且函数序列的导数序列{f_n'(z)}在该区域上一致收敛于某个函数g(z)，那么函数序列{f_n(z)}在该区域上一致收敛于一个可导函数f(z)，并且f'(z)=g(z)。
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于 S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
函数序列的一致收敛
回忆
设 fn ( x) 是区间I 上的函数列, 若x0 I , 数列
x 求证f n ( x ) 在( , )上一致收敛. 2 2 1 n x x lim f n ( x ) lim 0, 逐点收敛于f ( x ) 0. 2 2 n n 1 n x x 1 2n x 1 fn ( x) f ( x) 2 2 2 2 1 n x 2n 1 n x 2n 1 n sup f n ( x ) f ( x ) 0. 2n x( , )
2 n n 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x
)x
n
S ( x)
xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 1 1 n 取正数 , 对无论多么大的正数 n , 取xn ( 1 ) , 2 2 xn [0, 1] , 而 rn ( xn ) 1 2 , 因此级数在 [0, 1] 上不
数学分析一致收敛函数列和函数项级数的性质讲解-推荐优秀PPT
下面证明 lim f(x ) lim lim f(x ) A . 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
上都收敛于0, 由于
上的连续性、可积性与可微性. x x 0
x x 0 n n
注意到 与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导
| f(x)A|
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
n
显然 { fn( x)}是[ 0 , 1 ] 上的
fn
图13 6
连续函数列, 且对任意
x[0,1], lni m fn(x)0. O
x x0
x li m x 0f(x ) l n i m f n (x 0 ) f(x 0 ) , 因 此 f(x )在 x 0 上 连 续 .
定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数
列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函 的各项在(1, 1] 上都是连续的, 但
( 1 )
证 先证 { a n } 是收敛数列. 对任意 0 , 由于{ f n } 一
致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p,
对一切 x (a ,x 0 ) (x 0 ,b )有
|fn (x)fn p(x)|.
从而
|a n a n p | x l i m x 0 |f n ( x ) f n p ( x ) | .
若 f n ( x ) 在 ( a , b ) 上 一 致 收 敛 , 且 x l i m b f n ( x ) 存 在 , 则 有
x li m b l n i m f n (x ) l n i m x li m b f n (x ) .
函数项级数中的一致收敛与极限运算交换次序
第 １ ８卷 第 ３期
２ ０ １ ５年 ５月 ｓ ＴｕＤＩ Ｅｓ Ｉ
Ｏｎ ｔ ｈ ｅ Ｕｎｉ ｆ ｏ ｒ ｍ Ｃｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｅｘ ｃ ｈ ａ ｎ ｇபைடு நூலகம்ｉ ｎｇ
Ｏｒ ｄ ｅ ｒ ｓ ０ ｆ Ｌｉ ｍｉ ｔ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ Ｆｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ Ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ
鑫 两 Ｈ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｉ ｃ ｓ
Ｖ 脚 ｏ １ ． １ ８ ， 锨 ， Ｎ ｏ ． ３
ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ３ ． ０ ０ ６
函数 项 级 数 中的一 致 收 敛 与 极 限运算 交换 次 序
孙 小 强 ＇
（ １ ． 中 山 大 学 中 山医 学 院 ， 广东 广州 ５ １ ０ ０ ８ ０ ；
２ ． 中 山大 学 数 学 与计 算 科 学 学 院 ， 广东 广州 ５ １ ０ ０ ８ ０ ）
摘 要 基 于 逐 项 取 极 限定 理 ， 从 新 的 视 角 对 函 数 项 级 数 的 分 析 性 质 涉 及 的 极 限 运 算 交 换 次 序 问 题 及 其 条 件 进 行 了讨 论 ， 解释“ 一 致 收敛 ”为 何 在 函数 项 级 数 的极 限 运算 交 换 中起 作 用 以及 在 哪 一 环 节 中 发 挥 作 用 ． 本 文 讨 论
为什么函数项级数内闭一致收敛
为什么函数项级数内闭一致收敛文章题目：探究函数项级数内闭一致收敛的原因在数学分析领域中，函数项级数内闭一致收敛是一个重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，也在实际问题的研究中发挥着重要作用。
本文将从函数项级数内闭一致收敛的定义和特性入手，探讨其原因，并对其在数学和科学研究中的应用进行分析。
一、函数项级数内闭一致收敛的定义和特性1. 函数项级数的定义函数项级数即由一系列函数组成的级数，形式为∑(n=1到∞)fn(x)，其中每一项fn(x)都是定义在某个区间上的函数。
2. 内闭一致收敛的定义对于给定函数项级数∑(n=1到∞)fn(x)，如果对任意ε>0，存在自然数N，使得当m≥n≥N时，有|∑(k=n到m)fn(x)|<ε对任意x∈E都成立，那么称该函数项级数在E上内闭一致收敛。
3. 特性函数项级数内闭一致收敛的特性包括一致收敛、极限函数连续等。
具体而言，内闭一致收敛意味着极限函数的存在，并且该极限函数在区间上连续。
二、函数项级数内闭一致收敛的原因探究在深入探究函数项级数内闭一致收敛的原因时，我们可以从以下几个方面入手：1. 函数项级数内闭一致收敛的几何解释函数项级数内闭一致收敛可以被解释为一个区间上的一致收敛。
这意味着，对于每一个ε>0，存在N，使得当m≥n≥N时，函数项级数的部分和与其极限函数之差小于ε，从而函数项级数在该区间上表现出较强的稳定性。
2. 一致收敛性质的影响一致收敛性质保证了在给定区间上的整体收敛性，这使得函数项级数的极限函数存在并且在该区间上连续。
这与点wise收敛不同，点wise收敛只能保证每个点上的收敛性，无法保证极限函数的连续性。
3. 函数项级数内闭一致收敛的充分条件内闭一致收敛的充分条件之一是Cauchy准则。
对于给定的ε>0，存在N，使得当m≥n≥N时，有|∑(k=n到m)fn(x)|<ε，这保证了函数项级数的部分和随着n的增大而趋向一个极限值，从而使得函数项级数内闭一致收敛。
函数项级数一致收敛的定义
函数项级数一致收敛的定义函数项级数的一致收敛是数学分析中的一个重要概念。
在介绍一致收敛之前，我们首先需要了解函数项级数的定义。
一个函数项级数可以表示为：$$sum_{n=1}^{infty} f_n(x) = f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) + ldots $$其中，$f_n(x)$是一个函数序列，$x$是自变量。
现在，我们来定义函数项级数的一致收敛：一个函数项级数$sum_{n=1}^{infty} f_n(x)$在定义域上一致收敛，如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个自然数$N$，使得当$n>N$时，对于所有的$x$，都有以下不等式成立：$$|f_1(x) + f_2(x) + ldots + f_n(x) - S(x)| < varepsilon $$其中，$S(x)$是该级数的和函数。
换句话说，对于给定的正数$varepsilon$，存在一个自然数$N$，使得当$n>N$时，级数的部分和函数$S_n(x) = f_1(x) + f_2(x) + ldots + f_n(x)$和和函数$S(x)$之间的差值小于$varepsilon$，对于所有的$x$。
一致收敛的概念可以理解为函数项级数在整个定义域上的收敛性是相同的，不会因为$x$的取值的不同而改变。
与之相对的，如果对于某个$x$，级数的部分和函数和和函数之间的差值无法保证小于给定的正数$varepsilon$，那么我们称该函数项级数在该点处不一致收敛。
一致收敛的概念在数学分析中有着重要的应用。
例如，一致收敛级数的和函数在定义域上一定是连续的。
此外，一致收敛级数还具有逐项积分和逐项求导的性质，可以对级数与函数的积分和导数进行交换。
总之，函数项级数的一致收敛是指级数的部分和函数与和函数之间的差值可以在整个定义域上被控制在任意给定的范围内。
这个概念在数学分析中有着广泛的应用，并且在研究级数的性质和求解问题时起着重要的作用。
一致收敛交换顺序-概述说明以及解释
一致收敛交换顺序-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对整篇文章的主题和背景进行简要介绍。
可以包括以下内容：概述：一致收敛交换顺序是一个在计算机科学领域中广泛讨论的话题。
在分布式系统中，一致收敛是指当多个节点对系统进行操作时，最终它们能够达到一致的状态。
而交换顺序则是指节点执行操作的顺序。
一致收敛交换顺序的研究旨在探索如何通过调整节点操作的顺序，使分布式系统能够更快、更可靠地收敛到一致的状态。
文章的目标是通过对一致收敛交换顺序的概念和重要性的深入探讨，帮助读者更好地理解这一概念并认识到其在分布式系统中的重要性。
在正文部分，我们将首先介绍一致性收敛的概念，包括其定义和相关的理论基础。
接着，我们将讨论交换顺序的意义，以及为什么选择合适的交换顺序对于一致性收敛十分重要。
最后，我们将总结一致性收敛和交换顺序的意义，并提出一些未来研究方向。
本文的目的是提供一个简明扼要但又全面的介绍一致收敛交换顺序的资源，希望能够引发更多人的兴趣，并为进一步研究和应用提供有益的指导。
同时，我们希望通过这篇文章，让读者深入理解一致收敛交换顺序在分布式系统中的重要性，以及如何通过调整节点操作的顺序来优化系统性能和可靠性。
文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：1.2 文章结构本文按照如下结构进行组织和阐述：引言部分：首先，我们将简要概述一致收敛交换顺序的背景和重要性，并介绍文章的目的。
正文部分：随后，我们将详细介绍一致性收敛的概念，包括其定义和相关概念的阐述。
接着，我们将探讨交换顺序的意义，并解释为何交换顺序在一致收敛中具有重要作用。
最后，我们将深入探讨一致收敛交换顺序的重要性，并给出相应的例证和分析。
结论部分：在本节中，我们将对全文进行总结，强调一致性收敛的意义以及交换顺序的重要性。
同时，我们将展望未来的研究方向，以鼓励更多的学者从不同的视角对一致收敛交换顺序进行深入研究，并激发更多的思考和讨论。
通过以上结构的组织，本文将全面而系统地介绍一致收敛交换顺序的相关概念和重要性，为读者提供了一个清晰的框架，帮助他们更好地理解和分析这一问题。
函数项级数的一致收敛性及其应用
函数项级数的一致收敛性及其应用之宇文皓月创作摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学自己及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用.关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract:With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidlywith the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being.Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and itsjudgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions.Key words:series of functions; uniformly convergence;series of powers目录1 引言………………………………………………………………………… (1)2 函数项级数的相关概念介绍 (2)2.1 函数列及其一致收敛性 (2)2.2 函数项级数及其一致收敛性 (3)2.3 一致收敛函数项级数的性质 (4)3 函数项级数的一致收敛性判别法 (5)法………………………………………………………………………… (5)3.2 魏尔斯特拉斯判别法 (7)3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 (7)3.3.1 阿贝尔判别法 (8)3.3.2 狄利克雷判别法 (8)3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法 (10)3.4.1 比式判别法…………………………………………………………………………103.4.2 根式判别法…………………………………………………………………………113.4.3 对数判别法…………………………………………………………………………12法………………………………………………………………………… (13)4 幂级数的应用………………………………………………………………………… (14)4.1 幂级数的定义………………………………………………………………………… (14)4.2 幂级数的应用………………………………………………………………………… (14)4.2.1 幂级数在近似计算中的应用 (14)4.2.2 幂级数在计算积分中的应用 (15)4.2.3 幂级数在求极限中的应用 (15)4.2.4 幂级数在数列求和中的应用 (16)4.2.5 幂级数在欧拉公式推导中的应用 (16)4.2.6 幂级数在求导中的应用 (17)4.2.7 幂级数在概率组合中的应用 (17)4.2.8 幂级数在证明不等式中的应用 (18)4.2.9 用幂级数形式暗示某些非初等函数 (18)5 总结 (19)致谢 (20)参考文献 (21)1 引言随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不成导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor 展开和Fourier 展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数迫近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都发生了重大的影响(朱正佑,2001)[1].函数项级数在数学科学自己及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，而且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算方面的应用进行举例说明. 2 函数项级数的相关概念介绍2.1 函数列及其一致收敛性定义1设⋯⋯,,,21n f f f ，是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，也可简单的写作：}{n f 或n f ， ,2,1=n .设E x ∈0，以0x 代入}{n f 可得数列⋯⋯),(),(),(00201x f x f x f n ，若数列)}({0x f n 收敛，则称函数列}{n f 在点0x 收敛，0x 称为函数列}{n f 的收敛点.若数列)}({0x f n 发散，则称函数列}{n f 在点0x 发散.若函数列}{n f 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称}{n f 在数集D 上收敛.这时D 上每一点x ，都有数列)}({x f n 的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列}{n f 的极限函数.若极限函数记作f ，则有 )()(lim x f x f n n =∞→，D x ∈或 )()(x f x f n →)(∞→n ，D x ∈.使函数列}{n f 收敛的全体收敛点集合，称为函数列}{n f 的收敛域.定义2 设函数列}{n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x f x f n ，则称函数列}{n f 在D 上一致收敛于f ，记作)()(x f x f n ⇒)(∞→n , D x ∈.注：本文用“⇒”暗示一致收敛.由定义看到，如果函数列}{n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的)(εN （即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关），只要N n >，都有ε<-)()(x f x f n .由此可以看到函数列}{n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的函数列}{n f ，在D 上纷歧定一致收敛.2.2 函数项级数及其一致收敛性定义3 设{)(x u n }是定义在数集E 上的一个函数列，表达式)(1x u +)(2x u +…+)(x u n +…，E x ∈ （1）称为定义在E 上的函数项级数，简记为∑∞=1)(n n x u或)(x u n ∑。
数学分析中极限交换的条件探索
∑ 引理 C′ （逐项求导） 若函数项级数 un (x) 在 [a,b] 上每一项都有连续的导函数,
∑ ∑ x0 ∈ [a,b]为
un (x) 的收敛点, 且
u
' n
(
x)
在
[a,
b]
上一致收敛，则:
∑ ∑ (
d dx
u
n
(
x))
=d ( dx
un (x) )
这个引理的结论说明：在一致收敛条件下,逐项求导等于求和后再求导.
=
lim
n→∞
a
fn (x)dx
这个引理的结论说明：在一致收敛条件下，极限运算和积分运算可以交换顺序.
引理 C (可微性) 设 { fn }为定义在 [a,b]上的函数列，若 x0 ∈ [a, b]为 { fn }的收敛点，
{ fn }的每一项在 [a,b]有连续的导数，且{ fn′ }在 [a,b]上一致收敛，则
n f (x, y)dy < ε
c
c
当 x0 取遍 [a, b],所得开区间族{ I x }覆盖了 [a,b],根据有限覆盖定理,便得到了必要性的证明.
充分性: 对任意 x0 ∈ [a,b] , ε > 0 ,取 m = c ,根据含参量非正常积分(2)的次一致收敛性,在
开区间 I k 以及相应的 N k > m ，使 x0 ∈ I k ,当 n > N k 时，有
f (x, y)dy − f (x, y)dy c
+∞
n
∫ ∫ + c
f (x0 , y)dy − c f (x0 , y)dy
∫ 利用
n f (x, y)dy 的连续性，存在 δ
函数项级数的一致收敛
教案函数项级数的一致收敛性复旦大学数学系陈纪修金路1．教学内容通过讨论关于函数项级数（函数序列）的无限求和运算（极限运算）是否能与极限运算，求导运算或积分运算交换次序的问题，提出函数项级数（函数序列）的一致收敛概念与一致收敛的两个充分必要条件。
2．指导思想（1）数学分析与初等函数的根本区别在于引入了极限运算（微分与积分的实质也是极限运算），极限运算应用到求和运算上就是级数的概念。
由于有限求和运算可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，所以讨论级数与极限运算，求导运算或积分运算的交换次序问题就成为级数理论的一个基本问题。
（2）函数项级数的一致收敛性是数学分析课程教学中的一个难点，也是学生最难掌握的内容之一。
以往的教材往往直接引进函数项级数的一致收敛概念，然后再讲解一致收敛的函数项级数可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，学生往往只能死记硬背概念，不能真正理解它的实质意义，过后很快容易忘记。
我们则在教学中反其道而行之，先讨论一系列具体的函数项级数例子，指出在点态收敛的情况下，函数项级数不一定可以与极限运算，求导运算或积分运算交换次序，从而理解为了保证运算的交换，有必要引进更强的收敛概念，然后再讲解函数项级数的一致收敛概念。
（3）在数学分析课程中，一致收敛概念不仅出现于函数项级数部分，还出现于含参变量积分部分（它保证了积分运算与其他运算的可交换性），可以说，一致收敛性是数学分析，乃至整个分析学中最重要的概念之一，是学好如泛函分析，偏微分方程等后继课程的必备基础。
因此在函数项级数部分第一次出现一致收敛概念时，必须将问题的背景，引人一致收敛概念的意义讲清楚，使学生从本质上理解它，做到终身不忘。
3．教学安排（1）函数项级数与函数序列收敛性的等价性：给定函数项级数∑∞=1) (nnxu（收敛域为集合D），设它的部分和函数序列为S n(x)：S n(x) = ∑=nkkxu1)(，x∈E，则函数序列{S n(x)}的收敛域也是集合D，且极限函数就是∑∞=1) (nnxu的和函数S(x)：S(x) =∞→nlim S n(x)，x∈D。
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有 助 于 在 教 学 中 更 清 晰 地 理解 函 数 项 级 数 中 的一 致 收 敛 与 极 限 运 算 交 换 次 序 ， 深 入 理 解 和思 考 数 学 的 理论 性 。 关 键 词 极 限运 算 交 换 次 序 ； 函数项级数 ； 逐项取极 限； 一 致 收 敛 中图 分 类 号 ０１ ７ ３ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３ — ０ ０ １ ２ — ０ ３
ｒ ｏ ｌ ｅ ｓ ｉ ｎ ｅ ｘｃ ｈａ ｎｇ ｉ ｎ ｇ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｏ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｉ ｎ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏｎ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ． Ｔｈ ｅ ａ ｎａ ｌ ｙｓ ｉ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐｅ ｒ ｗｉ ｌ ｌ ｈｅ ｌ ｐ ｔ ｈｅ ｓ ｔ ｕｄ ｅ ｎｔ ｓ
ｂ ｅ ｔ ｔ ｅ ｒ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｉ ｐ ｂ ｅ ｔ ｗｅ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｉ ｎ ｇ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ，ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｕ ｓ ｍｏ ｒ ｅ ｄ ｅ ｅ ｐ ｌ ｙ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｓ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ ； ｔ ｅ ｒ ｍ ｂ ｙ ｔ ｅ ｒ ｍ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ
Ｏｎ ｔ ｈ ｅ Ｕｎｉ ｆ ｏ ｒ ｍ Ｃｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｅｘ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｉ ｎｇ
Ｏｒ ｄ ｅ ｒ ｓ ０ ｆ Ｌｉ ｍｉ ｔ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ Ｆｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ Ｓ ｅ ｒ ｉ ｅ ｓ
函数 项 级 数 中的一 致 收 敛 与 极 限运算 交换 次 序
孙 小 强 ＇
（ １ ． 中 山 大 学 中 山医 学 院 ， 广东 广州 ５ １ ０ ０ ８ ０ ；
２ ． 中 山大 学 数 学 与计 算 科 学 学 院 ， 广东 广州 ５ １ ０ ０ ８ ０ ）
摘 要 基 于 逐 项 取 极 限定 理 ， 从 新 的 视 角 对 函 数 项 级 数 的 分 析 性 质 涉 及 的 极 限 运 算 交 换 次 序 问 题 及 其 条 件 进 行 了讨 论 ， 解释“ 一 致 收敛 ”为 何 在 函数 项 级 数 的极 限 运算 交 换 中起 作 用 以及 在 哪 一 环 节 中 发 挥 作 用 ． 本 文 讨 论
第 １ ８卷 第 期
２ ０ １ ５年 ５月 ｓ ＴｕＤＩ Ｅｓ Ｉ
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（ １ ．Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ Ｃｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｏ ｆ Ｂｉ ｏ ｉ ｎ ｆ ｏ ｔ ｅａ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ，Ｚ ｈ ｏ ｎ ｇ － ｓ ｈ ａ ｎ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍｅ ｄ ｉ ｃ ｉ ｎ ｅ ，Ｓ ｕ ｎ Ｙａ ｔ － Ｓ ｅ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ０ ８ ９ ，Ｐ ＲＣ；