[K12学习]2018版高中数学 第四章 函数应用 4.2.1 实际问题的函数刻画 4.2.2 用函数模型解决实际问题 4.2.3
2018-2019学年高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性作业2 北师大版选修1-1
4.1.1 导数与函数的单调性[A.基础达标]1．函数y ＝x ln x 在(0，5)上( ) A ．是增加的 B ．是减少的C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，5)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，5)上是减函数解析：选C.y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，当x ＝1e时，y ′＝0，当x ∈(0，1e )时，y ′<0，当x ∈(1e ，＋∞)时，y ′>0，又x ∈(0，5)，即y 在(0，1e )上是递减的，在(1e，5)上是递增的，故选C.2．函数f (x )＝ln x －x 的递减区间为( )A ．(－∞，0)，(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，1)解析：选B.f ′(x )＝(ln x －x )′＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )<0得1－xx<0，所以x (1－x )<0，解得x >1或x <0.又x >0，所以x >1.3．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能为( )解析：选D.由y ＝f (x )图像可知，当x <0时，f (x )是增函数，f ′(x )>0，排除A 、C.当x >0时，函数图像先增加后减少再增加，其对应的导数是，先有f ′(x )>0，再有f ′(x )<0，最后f ′(x )>0，因此D 符合条件．4．若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内是增加的，则m 的取值范围是( )A ．m ≥43B ．m >43C ．m ≤43D ．m <43解析：选A.f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ，由题意f ′(x )≥0在R 上恒成立，即对任意x ∈R ，3x 2＋4x ＋m ≥0，所以m ≥－(3x 2＋4x )，由于－(3x 2＋4x )的最大值是43，故m ≥43.5．对于R 上的任意连续函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：选C.由题意，当x >1时，f ′(x )≥0，当x <1时，f ′(x )≤0，由于函数f (x )为连续函数，所以f ′(1)＝0必成立．所以当f ′(x )恒为0时，函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的，在(－∞，1)上是减少的，所以f (0)>f (1)，f (2)>f (1)．所以f (0)＋f (2)>2f (1)， 当f ′(x )＝0恒成立时，f (x )为常数函数，f (0)＝f (2)＝f (1)，即f (0)＋f (2)＝2f (1)． 所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．6．函数f (x )＝e xcos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5的大小关系为________．解析：因为f ′(x )＝e x (cos x －sin x )＝2e xsin(π4－x )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是函数f (x )的一个递增区间，又0<π6<π5<π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5. 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5 7．函数y ＝12x 2－ln x 的递减区间为________．解析：因为y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x 2－1x，所以由y ′<0得0<x <1.答案：(0，1)8．函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，所以Δ＝(－2a )2－4>0得a 2>1，解得a <－1或a >1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 3－6x －1.(1)求函数f (x )在x ＝2处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－6，所以f ′(2)＝6， 因为f (2)＝－5，所以切线方程为y －(－5)＝6(x －2)， 所以y ＝6x －17，即6x －y －17＝0.(2)令f ′(x )>0，则3(x 2－2)>0，所以x >2或x <－2，同理，令f ′(x )<0，则－2<x < 2.所以f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增加的， f (x )在(－2，2)上是减少的．10．已知函数f (x )满足f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ＋C (其中f ′(23)为f (x )在点x ＝23处的导数，C 为常数)．(1)求函数f (x )；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)由f (x )＝x 3＋f ′(23)x 2－x ＋C ，得f ′(x )＝3x 2＋2f ′(23)x －1.取x ＝23，得f ′(23)＝3×(23)2＋2f ′(23)×(23)－1，解之，得f ′(23)＝－1，所以f (x )＝x 3－x 2－x ＋C .(2)由(1)得f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3(x ＋13)(x －1)，令f ′(x )>0得x <－13或x >1；令f ′(x )<0得－13<x <1.所以f (x )在(－∞，－13)和(1，＋∞)上是增加的；f (x )在(－13，1)上是减少的．[B.能力提升]1．已知函数f (x )＝13x 3＋x ，x ∈R ，如果至少存在一个实数x ，使f (a －x )＋f (ax 2－1)<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1－22，＋∞)B ．(－2，54]C ．(－∞，1＋22) D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选C.f ′(x )＝x 2＋1>0，又f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数且在R 上递增，由f (a －x )＋f (ax 2－1)<0得f (ax 2－1)<f (x －a )，即ax 2－1<x －a ，亦即ax 2－x ＋a －1<0有实数解， 当a ＝0时，显然有实数解， 当a <0时，也有实数解，当a >0时，需Δ＝(－1)2－4a (a －1)>0，即4a 2－4a －1<0，解得0<a <1＋22，综上，a 的取值范围是a ∈(－∞，1＋22)．2．定义在R 上的函数f (x )，g (x )的导函数分别为f ′(x )，g ′(x )且f ′(x )<g ′(x )．则下列结论一定成立的是( )A ．f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)B ．f (1)＋g (0)>g (1)＋f (0)C ．f (1)－g (0)>g (1)－f (0)D ．f (1)－g (0)<g (1)－f (0)解析：选A.令h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈R )，因为f ′(x )<g ′(x )(x ∈R )，所以h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0(x ∈R )，即h (x )＝f (x )－g (x )在R 上为减函数， 所以h (0)>h (1)，即f (0)－g (0)>f (1)－g (1)， 所以f (1)＋g (0)<g (1)＋f (0)．3．已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且f (2)＝f (4)＝1，f ′(x )是f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，f （2x ＋y ）≤1，所表示的平面区域的面积是________．解析：由f ′(x )的图像易知，当x ∈(1，3)时，f ′(x )<0，当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，3)上是递减的，在(3，＋∞)上是递增的，又x ∈(1，＋∞)且f (2)＝f (4)＝1，故由f (2x ＋y )≤1得2≤2x ＋y ≤4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2≤2x ＋y ≤4，画出可行域如图阴影部分所示．S 阴＝12×2×4－12×1×2＝3.答案：34．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )<2x ＋1，则不等式f (2x )<4x 2＋2x ＋1的解集为________．解析：由f (2x )<4x 2＋2x ＋1得f (2x )－(4x 2＋2x )＋2<3.令u ＝2x ，则f (u )－(u 2＋u )＋2<3.①记F (u )＝f (u )－(u 2＋u )＋2，则F (1)＝f (1)＝3，则①式可化为F (u )<F (1)． 因为f ′(x )<2x ＋1，所以F ′(u )＝f ′(u )－(2u ＋1)<0，所以F (u )在R 上是递减的．故由F (u )<F (1)得u >1，即2x >1，故x >12.答案：(12，＋∞)5．当0<x <π2时，求证：tan x >x ＋x 33.证明：设f (x )＝tan x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′－1－x 2＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －1－x 2 ＝1cos 2x－1－x 2＝1－cos 2x cos 2x －x 2 ＝tan 2x －x 2＝(tan x ＋x )(tan x －x )．因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >x >0.所以f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是递增的． 又f (0)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )>0，即tan x >x ＋x 33. 6．(选做题)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x . (1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝2x ＋2ax，定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x 2＋ax)，当a ≥0时，f ′(x )≥0，此时函数的递增区间为(0，＋∞)，没有递减区间．当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±－a ，因为x >0，所以x ＝－a ，x ∈(0，－a )时，f ′(x )<0；x ∈(－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，此时函数的递增区间为(－a ，＋∞)，递减区间为(0，－a )．(2)由g (x )＝2x ＋f (x )，g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x ，g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，g (x )在[1，2]上是递减的，所以对于x ∈[1，2]，g ′(x )≤0恒成立，即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0，x ∈[1，2]恒成立，所以a ≤1x－x 2，x ∈[1，2]恒成立，令h (x )＝1x －x 2，x ∈[1，2]，h ′(x )＝－1x2－2x ，当x ∈[1，2]时，h ′(x )<0，所以h (x )在[1，2]上为减函数，则h (x )min ＝h (2)＝－72，x ∈[1，2]，所以a ≤－72.。
高中数学第四章函数应用4.2.1-3实际问题的函数建模课时作业北师大版必修1(2021年整理)
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课时作业24 实际问题的函数建模｜基础巩固｜(25分钟,60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9。
5 ，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f（x)的图像大致为（)【解析】设某林区的森林蓄积量原来为a，依题意知,ax＝a(1＋9.5 ）y，所以y＝log1。
095x。
【答案】D2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0。
2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是（)A．y＝0。
1x＋800（0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200（0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0。
1x＋1 200（0≤x≤4 000)【解析】因为自行车x辆，所以电动车(4 000－x）辆，y＝0。
2x＋0.3（4 000－x）＝－0.1x＋1 200，故选D.【答案】D3．某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为( ）A．p＝96V B．p＝错误!C．p＝错误! D．p＝错误!【解析】设p＝错误!，则64＝错误!，解得＝96，故p＝错误!。
[配套K12]2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第09讲 函数(一次函数、二次函数和幂函
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第09讲函数（一次函数、二次函数和幂函数）模型及其应用【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决.数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提.二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力.三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质1、一次函数的一般形式为当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数是常数函数.2、二次函数的一般形式是，当时，函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为，函数在单调递减，在单调递增.当时，函数有最小值.当时，函数的图像抛物线开口向下，顶点坐标为，函数在单调递增，在单调递减.当时，函数有最大值.3、幂函数的一般形式为，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同. 所有幂函数都在有定义，并且图像都过点（1，1）；幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数.四、解决实际问题的解题过程1、对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；2、建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：五、解应用题的一般程序1读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；2建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；3解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；4答：将数学结论还原给实际问题的结果．六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 【方法讲评】【例1】某地区年底沙漠面积为万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表.根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从年底后采取植树造林等措施，每年改造万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到万公顷？（2）设从年算起，第年年底该地区沙漠面积能减少到万公顷，由题意得，解得（年）故到年年底，该地区沙漠面积减少到万公顷.【点评】（1）由表观察知，沙漠面积增加数与年份数之间的关系图象近似地为一次函数的图象，这是解题的切入点和关键点.（2）求一次函数的解析式一般利用待定系数法.【反馈检测1】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给地10台，地8台，已知从甲地调运1台至地、地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至地、地的运费分别为300元和500元.（1）设从乙地调运台至地，求总运费关于的函数关系式；（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？（3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用.【例2】某租赁公司拥有汽车辆．当每辆车的月租金为元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费元，未租出的车每辆每月需要维护费元.（1）当每辆车的月租金定为元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【点评】（1）在实际问题背景下，建立收益、利润的函数模型，一般是利润＝收入－各项支出.（2）按照公司的月收益为：租出车辆（月租金－维护费）－未租出车辆维护费，将月收益视为月租金的函数，构造函数模型求解问题.【反馈检测2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨.（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均成本最低，并求最低成本.（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【例3】有一片树林现有木材储蓄量为c m3，要力争使木材储蓄量年后翻两番，即达到c m3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率；（2）如果平均每年增长率为，几年可以翻两番？【点评】（1）增长率（降低率）的问题一般是指数或幂函数模型，如果已知时间求增长率（降低率），多是幂函数模型.（2）“翻两番”指现在是原来的4倍，“翻番”指的是现在是原来的倍.【反馈检测3】（1）在1975年某市每公斤猪肉的平均价格是元，而到了2005年，该市每公斤猪肉的平均价格是元，假定这30年来价格年平均增长率相同，求猪肉价格的年平均增长率.（2）另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2005年，该市职工月平均工资是860元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到2020年，估计该市职工月平均工资是多少元？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第09讲：函数(一次函数、二次函数和幂函数）模型及其应用参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）共有3种调运方案；（3）乙分厂的6台机器全部调往地，从甲分厂调往地10 台，调往地2台，最小值是8600元.【反馈检测2答案】（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.【反馈检测2详细解析】(1)每吨平均成本为(万元)，则，当且仅当，即时取等号，∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为万元，则R(x)=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680(0≤x≤210)，∵在[0，210]上是增函数，∴时，有最大值为-(210-220)2+1 680=1 660，∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元. 【反馈检测3答案】（1）；(2)4000元.【反馈检测3详细解析】（1）设猪肉价格的年平均增长率是，则有．利用计算器可得.（2）该市职工月工资和年平均增长率是，则有，利用计算器可得．因为，因此人们的生活水平是日益提高.照这样的速度到2020年，职工月平均工资是元.。
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模学案含解析北师大版必
学习资料§2实际问题的函数建模内容标准学科素养1。
会利用已知函数模型解决实际问题．2。
能建立函数模型解决实际问题。
精确数据分析强化数学运算熟练数学建模授课提示:对应学生用书第71页[基础认识］知识点一常见函数模型错误!（1）①斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的?②在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性?提示：①k＞0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．②当x＞0,α＞0时，函数的图像在第一象限内是上升的,在(0，＋∞)上为增函数；当x＞0,α＜0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在（0，＋∞）上为减函数．（2)①依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质?②数据拟合时,得到的函数为什么需要检验？提示:①主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢．②因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时,可能误差较大或不切合客观实际,此时就要再改选其他函数模型．知识梳理常见函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数,k≠0）（2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数,a≠0)（3)指数函数模型y＝ba x＋c（a,b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)（4)对数函数模型y＝m log a x＋n（m，a，n为常数,m≠0，a＞0且a≠1）(5）幂函数模型y＝ax n＋b（a，b为常数，a≠0)（6）分段函数模型y＝错误!知识点二解决函数应用问题的基本步骤知识梳理利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二）建模；(三)求模;（四）还原．这些步骤用框图表示如图:[自我检测]1．今有一组数据,如下表所示:x 1234 5y 35 6.999.0111）A．指数函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数解析：画出散点图，如图所示：观察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．答案：C2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是（)A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22（个),分裂两次后变成4×2＝23(个），……，分裂x次后变成y＝2x＋1个．答案：D3．某汽车在一时间段内速度v(km/h)与耗油量Q（L)之间有近似的函数关系：Q＝0。
高中数学教师用书第四章§2实际问题的函数建模课件北师大版必修.pptx
[例2] 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后 能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为 y(亿)．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数y＝f(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增 减的实际意义． [思路点拨] 先根据增长率的意义列出y与x的函数关 系式．
[一点通] 处理此类问题的一般思路是：认真读题、 审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助 图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别 注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．
1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知： 这种服装每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)可 看成是一次函数关系：t＝－3x＋204. (1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价 x之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价 与购进价的差)； (2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想 每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为 合适？最大销售利润为多少？
§2
第实 四际 章问 函题 数的 应函 用数
建 模
理解 教材 新知
把握 热点 考向
知识点一
知识点二
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合 适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函 数模型呢？
问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数 模型呢？
(2)∵此问题以年作为单位时间． ∴x∈N＋是此函数的定义域． (3)y＝f(x)＝13×(1＋1%)x. ∵1＋1%>1,13>0， ∴y＝f(x)＝13×(1＋%)x是增函数， 即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总 在增长．
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大
高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1的全部内容。
4.2.1函数模型的应用实例一、教学目标：1。
知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法:感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2。
教学难点：将实际问题转变为数学模型。
三、学法与教法1.学法:学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2。
教法：自主阅读、尝试、讨论法。
四、教学过程(一）创设情景,揭示课题引例：大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？"这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔".这样，“独脚鸡"和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是:35－12＝23。
2018学年高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模课件北师大版必修1
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较
再下结论.
跟踪训练 3
学校某研究性学习小组在对学生
上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在 40 min 的一节课中，注意力指数 y 与听课时间 x( 单位： min) 之间的关系满足如图的图像 . 当 x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，
解答
反思与感 悟
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么， 限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常
设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、 函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中， 除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不 能是半个等.
世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函
数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？
答案 先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应
关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数
关系式.
答案
梳理
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的 已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识 建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数 学化，即所谓建立数学模型.
跟踪训练 2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为 1 3 Q1 万元和 Q2 万元，它们与投入的资金 x 万元的关系是 Q1＝5x，Q2＝5 x.现 有 3 万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？
解答
命题角度2 分段函数模型
例3
高中数学第四章导数应用42第27课时实际问题中导数的意义作业课件北师大版选修11
12.270米/秒 解析：如图所示．
设人从C处运动到B处路程为x米，时间为t秒，AB为人影 长度，设为s米．
∵CD∥BE，∴AACB＝CBDE，即s＋s x＝18.6， 解得s＝14x. 又∵x＝1.4t，∴s＝14×1.4t＝270t. 则人影长度的变化速率v＝s′＝270(米/秒)．
13．解：(1)船的实际航行速度为(x－6) km/h，
故全程用时
300 x－6
h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y
＝f(x)＝300×x－06.01x2＝x3－x26(x>6)．
(2)f′(x)＝3·
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2xx－6－x2 x－62
＝
3xx－12 x－62
，f′(36)＝
3×363×6－366－2 12＝2.88kmL/h.
f′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时耗油量增加 的速度为2.88 L/h，也就是说当船相对于水的速度为36 km/h 时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.88 L.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
6．B 点M的运动方程为x＝rcost，则点M的运动速率为v ＝x′＝－rsint.
7．200(a＋a2T)＋100a2ΔT 解析：设温度的增量为ΔT，则铁板面积S的增量 ΔS＝102[1＋a(T＋ΔT)]2－102(1＋aT)2＝200(a＋a2T)ΔT＋ 100a2(ΔT)2， 因此ΔΔTS＝200(a＋a2T)＋100a2ΔT.
A．rsint C．rcost
B．－rsint D．－rcost
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．一个正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm，加热后会膨 胀，当温度为T ℃时，边长变为10(1＋aT) cm，a为常数．则铁 板面积对温度的膨胀率为________． 8．如图，水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径 为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是________．
2018版高中数学北师大版选修1-1课件：第四章 导数应用
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．
解析答案
(3)f(x)＝3x2－2ln x；
2 3 x －1 2 解 函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－ ＝2· . x x
3x2－1 3 3 令 f′(x)>0，即 2· x >0，解得－ 3 <x<0 或 x> 3 . 3x2－1 3 又∵x>0，∴x> 3 . 令 f′(x)<0，即 2· x <0， 3 3 3 解得 x<－ 3 或 0<x< 3 . 又∵x>0，∴0<x< . 3
自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0 函数的单调性 单调递 单调递 增 减
常函数
答案
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单ห้องสมุดไป่ตู้性 导数
单调递
单调递
增 减
和( t，＋∞)，减区间是(－ t， t)．
反思与感悟 解析答案
解析答案
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数．求实数m的取
值范围． 解 f′(x)＝3x2＋2x＋m.
因为f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．
因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
1 因此 Δ＝4－12m≤0，故 m≥3. 1 1 当 m＝3时，使 f′(x)＝0 的点只有一个 x＝－3，也符合题意．故实数 m
高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义实用课件北师大版选修1_1
(2)f′(x)＝1x0＋
2 ，于是 x
f′(1)＝2110
(g/h)，f′(4)＝75
(g/h)，
f′(1)和 f′(4)分别表示在第 1 小时和第 4 小时这个人每小时生产
产品2110 g 和75 g.
[一点通] 工作效率即产量对时间 t 的导数．解决该类问题时要正确表示 出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公 式及法则解决．
[一点通] 利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式， 并联系导数的物理意义求解．
1．某人拉动一个物体前进，他所做的功 W 是时间 t 的函数 W
＝W(t)，则 W′(t0)表示
()
A．t＝t0 时做的功
B．t＝t0 时的速度
C．t＝t0 时的位移
答案：D
D．t＝t0 时的功率
2．在 F1 赛车中，赛车位移与比赛时间 t 存在函数关系 s＝10t＋ 5t2(s 的单位为 m，t 的单位为 s)．求： (1)t＝20，Δt＝0.1 时的 Δs 与ΔΔst； (2)求 t＝20 时的瞬时速度． 解：(1)∵Δs＝s(20.1)－s(20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋ 5×202)＝21.05，∴ΔΔst＝210..015＝210.5(m/s)． (2)∵s′＝10＋10t，∴当 t＝20 时， s′＝10＋10×20＝210(m/s)， 即 t＝20 时的瞬时速度为 210 m/s.
[精解详析] (1)当 x 从 1 h 变到 4 h 时， 产量 y 从 f(1)＝8210 (g)变到 f(4)＝12706 (g)， 此时平均变化率为f44－ －f11＝12706－ 3 8210＝1192(g/h)， 它表示从 1 h 到 4 h 这段时间这个人平均每小时生产1192 g 产 品．
高中数学 第四章 函数应用 4.2.1 实际问题的函数刻画 4.2.2 用函数模型解决实际问题 4.
2018版高中数学第四章函数应用4.2.1 实际问题的函数刻画4.2.2 用函数模型解决实际问题4.2.3 函数建模案例学业分层测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第四章函数应用4.2.1 实际问题的函数刻画4.2.2 用函数模型解决实际问题4.2.3 函数建模案例学业分层测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高中数学第四章函数应用4.2.1 实际问题的函数刻画4.2.2 用函数模型解决实际问题4.2.3 函数建模案例学业分层测评北师大版必修1的全部内容。
4.2。
3 函数建模案例(建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1. 甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图4。
2。
6所示,则下列说法正确的是( ）图4。
2。
6A．甲比乙先出发B．乙比甲跑得路程更多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点【解析】由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点,两人跑的路程相同，故选D.【答案】D2。
某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图4.2。
7所示,由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )图4.2。
7A．310元B．300元C．290元D．280元【解析】令y＝kx＋b，则错误!解得错误!所以y＝500x＋300，令x＝0，y＝300。
故营销人员没有销售量时的收入是300元．【答案】B3。
某机器总成本y(万元）与产量x(台）之间的函数关系式是y＝x2－75x,若每台机器售价为25万元,则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( ）A ．30B ．40C ．50D ．60【解析】 设安排生产x 台，则获得利润f (x ）＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－（x －50）2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．故选C 。
18版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题(二)课件北师大版选修1_1
跟踪训练 4
据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量 1 3 3 y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝ 128 000x －80x ＋8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
解答
100 当 x＝40 时，汽车从甲地到乙地行驶了 40 ＝2.5(小时)，
a 因为当 x＝5 时，y＝11，所以2＋10＝11，所以 a＝2.
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售 该商品所获得的利润最大.
解答
反思与感悟
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润 的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
拆分或组合，以便简化求值过程.
跟踪训练2
把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，
解答
再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底
边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
类型二 命题角度1 利润最大问题 例3
实际生活中的最值问题
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克) a 与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3<x<6， x－3 a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值； 解答
1 3 3 要耗油128 000×40 －80×40＋8 ×2.5＝17.5(升)，
即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.
2018版高中数学第四章函数应用1.1利用函数性质判定方程解的存在学案北师大版必修1
1. 1利用函数性质判定方程解的存在学习目标 1. 了解函数的零点与方程的根的关系； 2.会判断函数零点的存在性；3.初步理解函数与方程思想.|课前預习自4学习.积淀基讪预习教材P115- 116完成下列问题：知识点一函数的零点定义：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.【预习评价】1 •函数的零点是点吗？提示函数y=f (x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，因此函数的零点不是点，是方程f(x) = 0的解，即函数的零点是一个实数.2 •结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.提示不一定.因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点.女口：指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯个零点.知识点二函数的零点、方程的根、函数图像之间的关系方程f(x) = 0有实数根？函数y= f (x)的图像与x轴有交点?函数y= f (x)有零点.【预习评价】1. 若4是函数f (x) = ax2-2log 2x 的零点，贝U a的值等于()A. 4B. —4D.解析因为4是函数f (x) = ax2—2log 2x的零点，2 1所以a x4 —2log 24= 0，解得a=—.4答案D2. _________________________________ 函数f (x) = x —5x的零点是.解析令x2—5x = 0,解得X1 = 0或X2= 5,所以函数f (x) = x2—5x的零点是0和5. 答案0和5知识点三函数零点存在性的判断若函数y =f(x)在闭区间［a, b］上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) • f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y= f (x)至少有一个零点，即相应的方程f(x) = 0在区间(a, b)内至少有一个实数解.【预习评价】1. 若f(a) • f (b)> 0 ,那么函数y= f (x)在区间(a, b)内一定没有零点吗？提示不一定.如y = x2—1在区间(一2,2)上有两个零点，但f(2) • f (—2)>0 .2. 结合教材P116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？提示方法一利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零占八、、♦方法二利用函数y = f(x)的图像与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数.方法三结合函数的单调性. 若函数在区间［a，b］上的图像是一条连续不断的曲线，利用f(a) • f (b)<0，结合单调性可判定y = f (x)在(a，b)上零点的个数.方法四转化成两个函数图像的交点问题.裸壁互31丨. 题型剖析心直动援穽题型一求函数的零点【例i ] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.2(1) f (x) = x + 7x + 6;(2) f(x) = 1—log 2( x + 3);⑶ f(x) = 2x—1—3;2x + 4x —12 ⑷ f(x) = x r -.解(1)解方程f (x) = x + 7x + 6 = 0，得x =—1或x=—6,所以函数的零点是一1，—6.(2)解方程f (x) = 1 —log 2(x+ 3) = 0，得x =—1，所以函数的零点是一1.(3)解方程 f (x) = 2 1—3 = 0，得x = log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程x2+ 4x 一12f (x) = = 0，得x =—6，所以函数的零点为一6.x —2规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x) = 0的实数根；(2)几何法: 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点.【训练1 ］函数y= x—1的零点是()A. (1,0)B. 0D.不存在解析令y = x— 1 = 0,得x= 1，故函数y = x—1的零点为1.答案C题型二判断函数零点所在区间【例2】已知函数f(x) = x3—x —1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)解析••• f (0) =—1<0, f(1) =—1<0, f (2) = 5>0, f(3) = 23>0, f (4) = 59>0 .••• f(1) • f (2)<0，此零点一定在(1,2)内.答案C规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像.2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在［a, b］上连续，且f(a) • f ( b)<0，则f (x)在(a, b)上必有零点，若f(a) • f(b)>0,则f (x)在(a, b)上不一定没有零点.【训练2】函数f(x) = e x+ x —2的零点所在的区间是()A. ( —2, —1)B. ( —1,0)C. (0,1)D. (1,2)解析•/ f (0) = e0+ 0— 2 = —1<0,f(1) = e1+ 1 — 2 = e —1>0,二f (0) • f(1)<0 , • f (x)在(0,1)内有零点.答案C题型三判断函数零点的个数2【例3】判断函数f(x) = In x + x —3的零点的个数.解方法一函数对应的方程为ln x + x2—3= 0,所以原函数零点的个数即为函数y =ln x与y = 3 —x2的图像交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图像(如图).V.…、G \ x由图像知，函数y = 3—x2与y = ln x的图像只有一个交点.从而方程In x+ x2— 3 = 0 C. 1有一个根，即函数y = ln x+ x2—3有一个零点.方法二由于f(1) = ln 1 + 1 —3=—2<0,f(2) = ln 2 + 22—3 = ln 2 + 1>0,所以f(1) • f (2)<0，又f (x) = ln x+ x2— 3 的图像在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f (x)在(0 ,+^)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法判断函数零点个数的方法：⑴对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x) = g(x) —h(x) = 0, 得g(x) = h(x), 在同一直角坐标系下作出y i = g(x)和y2 = h(x)的图像，利用图像判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.【训练3】函数f (x) = In x —x+ 2的零点个数为()A. 1B. 2C. 0D.不能确定解析如图所示，分别作出y = In x, y = x—2的图像，可知两函数有两个交点，即f (x)有两个零点.互动探究题型四一兀二次方程ax + bx+ c= 0(a>0)的区间根冋题【探究1】关于x的方程x2—2ax+4 = 0的两根均大于1，求实数a的取值范围. 解法一(应用求根公式)方程x2—2ax+ 4 = 0的两根为2a±\/4a' —16 口—x= =a± a —4,要使两根均大于1,只需较小根a—a2—4>1即可.5 ；5)解得2w a v》即实数a的取值范围是2,-.法二(应用根与系数的关系)设X1, X2为方程x2—2ax+ 4= 0的两根，则有X1 + X2= 2a, X1X2= 4.①要使原方程x2—2ax+ 4= 0的两根X1, X2均大于1,X1—+ X2—旳，则需满足X1—] X2—I丿U ,5将①代入上述不等式组，解得2w a<2.-5\即实数a的取值范围是||2, 2 i 法三(应用二次函数的图像)设f(x)= x2—2ax+4，图像如图所示.由图可知—2a丁 *5解得2< a<2.- 5 >即实数a的取值范围是||2, 2 .【探究2】已知关于x的一元二方程X2+ 2m灶2m^ 1 = 0有两个不相等的实数根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围.解由题意知，抛物线f(x) = x + 2mx+ 2m^ 1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2) 内，如图，观察图像可得：f —1 = 2>0,f = 2m^ 1<0,f = 4m^ 2<0,f ? = 6m^ 5>0,” f 51解得—2 <nr—j6 2(5 1、所以m的取值范围为一6，— 2 .2【探究3】若关于x的方程x + mx+ m- 1 = 0有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，求实数m的取值范围.n| | |解 令f (x ) = x + m 灶m-1其图像的对称轴为直线x = - 2.T 方程x 2+ mx + m-1 = 0有一正根和一负根，且负根的绝对值较大，_ 2•••函数f (x ) = x + m 升m- 1有两个零点，且两零点的和小于 0.画出函数的大致图像,如图所示.f 0 0 • m解得 0<mci .-严故实数m 的取值范围是(0,1).【探究4】 关于x 的方程ax 2 -2(a + 1)x + a -1 = 0，求a 为何值时: (1) 函数f (x ) = ax — 2(a + 1)x + a - 1有且仅有一个零点； (2) 方程的一根大于1，一根小于1.1解(1)当a = 0时，方程变为一2x — 1 = 0,即x =- 2符合题意； 当a ^0时，方程为一元二次方程，由题意知方程有两个相等的实数根，1所以△ = 12a + 4 = 0.解得 a =- 3.1 2综上可知，当a = 0或a =- 3时，函数f (x ) = ax — 2(a + 1)x + a - 1有且仅有一个零点.⑵ 因为方程有一根大于1，一根小于1,所以图像大致如图所示•令f (x ) = ax 2-2(a+ 1)x + a -1,解得a >0.故当a >0时，方程一根大于 1, 一根小于1.规律方法 1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面： (1) △与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向.2.设X 1, X 2是实系数一元二次方程ax 2 + bx + c = 0( a >0)所以必须满足a >°：<0a <0,或'或f I>C L的两个实数根，则X1, X2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.自4反惯、检测成效课堂达标D. 1解析 令 y = 4x — 2 = 0，得 x = 2. •••函数y = 4x — 2的零点为1. 答案 D2.对于函数 f (x )，若 f ( — 1) • f ( 3)<0，则()>0 <kk <X i <X1.函数y = 4x — 2的零点是( A. 2B. ( — 2,0) -△ >0f kOkok续表A. 方程f(x)= 0 一定有实数解B. 方程f(x) = 0 一定无实数解C. 方程f (x) = 0 一定有两实数解D. 方程f(x) = 0可能无实数解解析•••函数f(x)的图像在(—1,3)上未必连续，故尽管f( —1) • f(3)<0，但未必函数y= f (x)在(—1,3)上有实数解.答案D3. 方程2x—x2= 0的解的个数是________ .解析在同一直角坐标系中画出函数y = 2x及y= x2的图像，可看出两图像有三个交点，X 2故2 —x = 0的解的个数为3.答案34. _________________ 已知函数f (x) = x + (a —1)x + (a—2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a的取值范围为.解析由题意可知f(0) = a —2<0,解得a<2.答案(一汽2)5. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.x+ 3 2(1) f(x) = —; (2) f(x) = x2+ 2x + 4.xx+ 3解(1)令f (x) = 0 即——=0,故x=—3.x所以函数f (x)的零点是一3.(2) 令f(x) = 0即x2+ 2x + 4 = 0,因为△= 4 —4X4=—12<0,所以此方程无解，故原函数无零点.课堂小结1. 在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2. 方程f (x) = g(x)的根是函数f (x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y= f (x) —g(x)的图像与x轴交点的横坐标.3. 函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大
高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.2。
1 实际问题的函数刻画【教学目标】１．知识技能：(１)培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。
（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理,得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
（３)通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。
2．过程与方法:（１)通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系.（２)通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力.３．情感、态度与价值观：（１)体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。
（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡.（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程,感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用,领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。
【教学重点】常用简单函数模型的应用。
【教学难点】实际问题的函数刻画化归。
【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发,学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。
高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2
由 f'(x)=0,得 x= 或 x=-1. =- ,f(-1)= ,f(-2)=0,f(2)=0,
9 50 9 2
4 3
∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-27.
题型一
题型二
题型三
反思1.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可 考虑用导数的方法求解. 2.比较极值与端点函数值大小时,有时需要利用作差或作商,甚至 需要分类讨论,由函数的最值求参数值.
题型一
题型二
题型三
已知函数最值求参数值 【例3】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上有最大值3,最小值29,求a,b的值. 解:由题意,知a≠0. 因为f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x∈[-1,2], 所以令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去). 若a>0,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
题型一
题型二
题型三
这也是函数f(x)在区间[1,5]上的最小值. 又因为f(1)=-1,f(5)=15, 所以函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为f(5)=15. 综上所述,函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为15,最小值为-9. 反思函数的最值与极值及单调性密切相关,因此在求解函数的最 值的问题时,一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函 数与极值的有力工具.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知函数f(x)=ax3+c,且f'(1)=6,函数在[1,2]上的 最大值为20,则c的值为( ) A.1 B.4 C.-1 D.0 解析:∵f(x)=ax3+c, ∴f'(x)=3ax2. 则f'(1)=3a=6,∴a=2. ∴f(x)=2x3+c,f'(x)=6x2≥0, ∴f(x)在[1,2]上是增加的. ∴f(x)的最大值为f(2)=16+c=20, ∴c=4. 答案:B
[配套K12]2018版高中数学 第四章 函数应用章末复习课学案 北师大版必修1
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第四章函数应用章末复习课网络构建核心归纳知识点一函数的零点1．对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数的零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)<0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)．(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)·f(b)<0成立，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)<0．知识点二二分法二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．知识点三函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为要点一 函数的零点根据函数零点的定义，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图像与x 轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．【例1】 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e －14 －4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14 －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝e 34 >0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0． 答案 C【训练1】 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 设g (x )＝x 3－22－x，则g (0)＝－4，g (1)＝－1，g (2)＝7，g (3)＝2612，g (4)＝6334，显然g (1)·g (2)<0，于是函数g (x )的零点在(1,2)内，即y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图像的交点在(1,2)内．答案 B要点二 二分法及其应用二分法是把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．它适合于：①函数y ＝f (x )的图像在[a ，b ]上连续，②f (a )·f (b )<0.同时满足这两个条件，才能利用二分法求函数零点的近似值．【例2】 利用计算器，求方程lg x ＝3－x 的近似解(精确度0.1)． 解 作出函数y 1＝lg x 与y 2＝3－x 的图像，如图所示．由图可以发现，方程lg x ＝3－x 有唯一解，记为x 1，并且这个解在区间(2,3)内． 设f (x )＝lg x ＋x －3，用计算器计算，得：f (2)<0，f (3)>0⇒x 1∈(2,3)； f (2.5)<0，f (3)>0⇒x 1∈(2.5,3)； f (2.5)<0，f (2.75)>0⇒x 1∈(2.5,2.75)； f (2.5)<0，f (2.625)>0⇒x 1∈(2.5,2.625)；f (2.562 5)≈－0.028 8<0，f (2.625)≈0.044 1>0⇒x 1∈(2.562 5,2.625)．∵|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1， ∴原方程的近似解可取为2.562 5．【训练2】 用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是________．解析 令f (x )＝ln x －2＋x ，取区间[1,2]的中点32．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－2＋32＝ln 32－12<0， f (1)＝ln 1－2＋1＝－1<0，f (2)＝ln 2－2＋2＝ln 2>0，所以f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0． 所以下一个含根的区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 要点三 函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图像和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图像的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．【例3】 某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解 (1)由图像知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P ＝15t ＋2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为P ＝－110t ＋8，故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为： P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N *，－110t ＋8，20<t ≤30，t ∈N *.(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N *． (3)由(1)(2)可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2－t ＋，0≤t ≤20，t ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8－t ＋，20<t ≤30，t ∈N *，＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －2＋125，0≤t ≤20，t ∈N *，110t －2－40，20<t ≤30，t ∈N *.当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125，当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小．所以，在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．【训练3】 某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N *)．(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式； (2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解 (1)根据图像，可得P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N *，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *.(2)设日销售额为y 元， 则y ＝P ·Q⎩⎪⎨⎪⎧t ＋－t ＋，0<t <25，t ∈N *，－t ＋－t ＋，25≤t ≤30，t ∈N *，即有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －2＋900，0<t ≤24，t ∈N *，t －2－900，25≤t ≤30，t ∈N *.①若0<t <25，t ∈N *，则当t ＝10时，y max ＝900； ②若25≤t ≤30，t ∈N *，则当t ＝25时，y max ＝1 125． 故第25天的日销售金额最大，最大值为1 125元.方向1 数形结合思想在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，就是使抽象思维与形象思维联系起来，实现抽象概念与具体图像之间的相互转化，即数量关系转化为图像的性质或者把图像的性质转化为数量关系来研究．本章数形结合思想主要体现在判断函数零点的个数或零点所在的大致区间．【例4－1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则k 的取值范围是________．解析 易知函数f (x )的图像如图所示：由图可知0<k <1． 答案 0<k <1 方向2 方程思想当一个问题可以与某个方程建立关联时，构造方程并对方程的性质进行研究，由此解决这个问题，这就是方程思想．本章方程思想的应用主要体现在：由求方程f (x )＝0的实数根确定函数y ＝f (x )的零点，即求函数y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．【例4－2】 求下列函数的零点．(1)f (x )＝x 3＋1；(2)f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1．解 (1)f (x )＝x 3＋1＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)． 令(x ＋1)(x 2－x ＋1)＝0， 解得x ＝－1．∴函数f (x )＝x 3＋1的零点是－1．(2)令f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1＝x ＋2x －1＝0，解得x ＝－1．∴函数f (x )＝x 2＋2x ＋1x －1的零点是－1．方向3 转化与化归思想转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．【例4－3】 设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的个数．解 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，a －x >0，x －－x ＝a －x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，3－x >0，x －－x ＝a －x ，整理得－x 2＋5x －3＝a (1<x <3)．在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝a ，及y ＝－x 2＋5x －3，x ∈(1,3)的图像，如图所示．(1)当a >134或a ≤1时，两个函数的图像无交点，故原方程无实数根；(2)当a ＝134或1<a ≤3时，两个函数的图像有一个交点，故原方程有一个实数根；(3)当3<a <134时，两个函数的图像有两个交点，故原方程有两个实数根．。
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4.2.3 函数建模案例
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1. 甲乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图426所示，则下列说法正确的是( )
图426
A ．甲比乙先出发
B ．乙比甲跑得路程更多
C ．甲、乙两人的速度相同
D ．甲先到达终点
【解析】 由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D.
【答案】 D
2. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图427所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
图427
A ．310元
B ．300元
C ．290元
D ．280元
【解析】 令y ＝kx ＋b ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝500，
b ＝300，
所以y ＝500x ＋300，令x ＝0，y ＝300. 故营销人员没有销售量时的收入是300元． 【答案】 B
3. 某机器总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2
－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )
A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
【解析】 设安排生产x 台，则获得利润
f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x
＝－(x －50)2
＋2 500.
故当x ＝50台时，获利润最大．故选C. 【答案】 C
4. 如图428，开始时桶(1)中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e
－n t
，那么桶(2)中水就是y 2＝a －a e
－n t
，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过
( )桶(1)中的水只有a
8
.
图428
A ．7分钟
B ．8分钟
C ．9分钟
D ．10分钟
【解析】 由题意得a e
－5n
＝a －a e
－5n
，e －n
＝5
1
21⎪⎭
⎫
⎝⎛.设再经过t 分钟，桶(1)中的水只有a
8
，得a e
－n (t ＋5)
＝a 8，则t ＋55
＝3，解得t ＝10. 【答案】 D 二、填空题
5. 经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t (单位：天)的函数．日销售量为f (t )＝2t ＋100，价格为g (t )＝t ＋4，则该种商品的日销售额S (单位：元)与时间t 的函数关系式为S (t )＝________.
【解析】 日销售额S ＝f (t )·g (t )＝(2t ＋100)(t ＋4)＝2t 2
＋108t ＋400. 【答案】 2t 2
＋108t ＋400
6. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图429表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为________．
图429
【解析】 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得：
y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115
x x
，＜x ＜，
110x －
x
【答案】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
15
x x
，＜x ＜，
110x －
x
三、解答题
7. 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
22
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？ 【导学号：04100080】 【解】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10
＝12a ，
即(1－x )10
＝12
，
解得x ＝1－10
121⎪
⎭
⎫
⎝⎛.
故每年砍伐面积的百分比为1－10
121⎪
⎭
⎫
⎝⎛.
(2)设经过m 年剩余面积为原来的22
， 则a (1－x )m
＝
2
2
a ， 即10
21m ⎪⎭
⎫ ⎝⎛＝2
121⎪⎭⎫ ⎝⎛，m 10＝12， 解得m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍伐了n 年，则n 年后剩余面积为2
2
a (1－x )n . 令
22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24
， 10
21n ⎪⎭
⎫
⎝⎛≥2
3
21⎪⎭⎫ ⎝⎛，n 10≤32，解得n ≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
[能力提升]
1. 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2
，则总利润L (Q )的最大值
是________万元．
【解析】 L (Q )＝40Q －120Q 2
－10Q －2 000
＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2
＋2 500，
当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 【答案】 2 500
2. 销售甲、乙两种商品所得利润分别是y 1，y 2万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为y 1＝a x ＋1＋m ，y 2＝bx ，(其中m ，a ，b 都为常数)，函数y 1，y 2对应的曲线C 1，C 2如图4210所示．
图4210
(1)求函数y 1，y 2的解析式；
(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【解】 (1)由题意⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＋a ＝0，3a ＋m ＝8
5，
解得a ＝45，m ＝－4
5
，
y 1＝
45x ＋1－4
5
(x ≥0)． 又由题意8b ＝85得b ＝15
，
y 2＝1
5
x (x ≥0)．
(2)设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入(4－x )万元．令所获利润为y 万元． 由(1)得
y ＝
45x ＋1－45＋1
5
(4－x ) ＝
45x ＋1－1
5
x (0≤x ≤4)． 令x ＋1＝t (1≤t ≤5)，则有
y ＝－15t 2＋45t ＋15
＝－15(t －2)2
＋1(1≤t ≤5)．
当t ＝2即x ＝3时，y max ＝1.
综上，该商场所获利润的最大值为1万元．。