数值分析

华中科技大学

数值分析

姓名祝于高

学号T201389927

班级研究生院（717所）

2014年4月25日

实验4.1

实验目的：复化求积公式计算定积分

试验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值。

（1）3

22

1

ln 2ln 321

dx x -=--⎰； （2）12

1

41

dx x π=+⎰； （3）

10

2

3ln 3x dx =⎰； （4）2

21

x e xe dx =⎰；

实验要求：

（1）若用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公

式做计算，要求绝对误差限为71

102

ε-=⨯，分别利用他们的余项对每种算法做出

步长的事前估计。

（2）分别用复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Gauss-Legendre I 型公式做计算。

（3）将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。

实验内容：

1.公式介绍

（1）复化梯形公式： []110(x )(x )2n n k k k h T f f -+==+∑=1

1(a)2(x )(b)2n k k h f f f -=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦

∑；

余项：2''

(f)()12

n b a R h f η-=-

； （2）复化Simpson 公式：

1

1210

(x )4(x )(x )6n n k k k k h S f f f -++=⎡⎤=++⎣⎦∑

=11

1201(a)4(x )2(x )(b)6n n k k k k h f f f f --+==⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦

∑∑； 余项：4(4)

(f)()()1802

n b a h R f η-=-

； （3）复化Gauss-Legendre I 型公式：

112120(x)(x (x 2n b

k k a

k h f dx f f -++=⎡⎤

≈++⎢⎥⎣⎦

∑⎰

；

余项:4

)4(4320

)())(h f b a f R n η-=

（； 该余项是这样分析的：

由Gauss 求积公式)()()(0

k b

a

n

k k x f A dx x f x ⎰∑=≈ρ得：

余项dx x x n f x f A dx x f x f b

a n n b

a

n

k k k )()()!22()()()()()(R 12)22(0

G ⎰⎰

∑++=+=-=ωρηρ 由于复化G-L 求积公式在每个子区间],[1+k k x x 上用2点G-L 求积公式：

)]3

1

22()3122([2)(111111

k k k k k k k k x x k k x x x x f x x x x f x x dx x f k k

-+++--+-≈

+++++⎰

+ 其余项为：dx x x x x f f R k k

x x G 2

1

20)4()()(!4)()(1--=⎰+η，其中kh a x k +=，h k a x k )1(1++=+。

可得)(4320

)()4(5

k G f h f R η=

，则： 4

)4(10)4(51

4320)()()(4320)()(h f b a f h f R f R k n k n k G n ηη-===∑∑-=-= 2.步长估计

利用公式7102

1

)(-⨯≤f R n ,令)(x f n 在区间上取最大，通过matlab 编程求得h 的估计值。 3.编程计算结果

（1）计算结果及误差：

分别对4题作复化Trapezoid 、Simpson 、Gauss_Legendre 计算，并计算计算值与精确值之间的误差，结果如下表：

（1）3

221

ln 2ln 32

dx -=-⎰计算结果表

（2）1

201

4

dx π

=⎰

计算结果表

（3）

1

2

3x dx =⎰计算结果表

（4）2

2

1

x e

xe dx =⎰计算结果表

由上表中的误差分析可知，利用题目所要求的复化求积公式运算的结果均在

绝对误差限71

102

ε-=⨯内，精度满足要求。

由各种算法的步长可知，在相同精度的情况下复化梯形公式的步长最小，比其它两个方法要小两个数量级（为-410），计算量最大，精度也是最低的；复化Simpson 公式和复化Gauss_LegendreI 公式，它们的步长基本上相差无几（在同一个数量级-210），但是Gauss_LegendreI 公式步长更大计算量更小，精度更却更高,。

4.附Matlab 程序

clear all ;

x=input('请输入函数:\n','s'); a=input('请输入积分下限:\n'); b=input('请输入积分上限:\n');

m=input('复化梯形输T ，复化Simpson 输S ，复化G-L 输G ：\n','s'); if (m=='T') n=2; else

n=4; end

f=inline(sym(x)); y=diff(sym(x),n); g=inline(y);