ch3 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 所有可能取的 值为 ( x i , y j ), i , j 1, 2,, 记 P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1, 2,, 称此为二维离散型随机 变量 ( X ,Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律 .
对于任意固定的x ,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
2o
0 F ( x, y ) 1, 且有
lim F ( x , y ) 0, 对于任意固定的 y, F ( , y ) x
对于任意固定的 x , F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
( 2)
f ( x , y ) d x d y F (, ) 1.
(3) 设 G 是 xOy 平面上的一个区域 , 点 ( X , Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
G
2 F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠
笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示 抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律. 解 ( X, Y ) 所取的可能值是
( 0,0), ( 0,1), (1,0 ), (1,1), ( 0,2), ( 2,0).
3 2 3 8 3 抽取两支都是绿笔 抽取一支绿笔 , 一支红笔 P { X 0,Y 0} , 0 0 2 2 28 3 2 3 8 3 P { X 0,Y 1} , 0 1 1 2 14
概率论之二维随机变量及其分布
2
arctan
y 4
(2) P(3<<+，0<4)
=F(+，4)-F(+，0) -F(3，4) +F(3，0)
1. 16
3、二维随机变量的概率分布
1）离散型随机变量
如果二维随机变量(，)是在有限个或无限可列 个点(xi，yj)上取值（i，j=1，2，…）。则称(，)为
离散型随机变量。 并称
P{ =xi， =yj}=pij i，j=1，2，… 为二维离散型随机变量(，)的概率分布或分布律， 或称二维型离散随机变量(，)的联合分布律。
2）性质
二维分布函数F(x，y)具有下述性质：
(1) F(x，y)是x、y的单调不减函数.即对任意固定 的y，当x2>x1时，F(x2，y) ≥F(x1，y)，对任意固 定的x，当y2>y1时，F(x，y2)≥F(x，y1)；
(2)F(x，y)关于x、y均是右连续的，即
F(x，y)=F(x+0，y)，F(x，y)=F(x，y+0)；
j 1,2,
例5 一盒中装有三只正品和两只次品的某种产品， 现随机地抽取两次，每次抽取一种产品，记
1, 0,
第一次取出的是正品， 第一次取出的是次品。
1, 0,
第二次取出的是正品， 第二次取出的是次品。
试就有放回、无放回情形考察(，)的分布。
(1) 有放回情形
的分布
0
1
pi
0 22 32
2
55 55 5
xy
F ( x, y)
p(u, v)dudv
则称(，)是连续型二维随机变量，函数p(x，y)称 为二维随机变量(，)的概率密度，或称随机变量
第三讲 二维随机变量及其分布
第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、 各种分布与随机变量的独立性1. 各种分布(1) 一般二维随机变量 F (x , y )=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (−∞, +∞)的性质F (x , y )为联合分布函数 ⇔ 1) 0 ≤F (x , y ) ≤1 , ∀x ∈ (−∞, +∞),, y ∈ (−∞, +∞); 2) F (−∞, y ) = F (x , −∞) =0, F (+∞,+∞) =1;3) F (x , y )关于x , y 均为单调不减函数； 4) F (x , y )关于x , y 均分别右连续.(2) 二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p i j ≥ 0,1=∑∑ijj i p .边缘分布律 p i ∙ = P {X = x i }=∑jj i p , i =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,p ∙ j = P { Y = y j }=∑ij i p , j =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,条件分布律 P {X = x i |Y = y j } =jj i p p ∙, P { Y = y j | X = x i } =∙i j i p p .(3) 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f (x , y )为联合概率密度 ⇔ 1︒ f (x , y ) ≥0,2︒1=⎰⎰∞+∞-∞+∞- ),(d x d y y x f .设( X , Y ) ~ f (x , y ) 则 分布函数:⎰⎰∞-∞-=x y dxdy y x f y x F ),(),(;边缘概率密度: ⎰∞+∞-=),()(dy y x f x f X , ⎰∞+∞-=),()(dx y x f x f Y .条件概率密度: )(),()(|x f y x f x f Y Y X =,)(),()(|x f y x f x f X X Y =.⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(.),(),(yx y x F y x f ∂∂∂=2(4) 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 ⇔ F (x , y )= F X (x ) F Y (y );⇔ p i j = p i ∙ ⨯ p ∙ j (离散型) ⇔ f (x , y )= f X (x ) f Y (y ) (连续型)【注】1︒ X 与Y 独立, f (x ), g (x ) 为连续函数 ⇒ f (X )与g (X )也独立.2︒ 若X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m , Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数⇒ f (X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m )与g (Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n )也独立.3︒ 常数与任何随机变量独立.3. 常见的二维分布(1) 二维均匀分布 (X , Y ) ~ U (D ), D 为一平面区域. 联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,.),(,)(),(其他01D y x D S y x f(2) 二维正态分布 (X , Y ) ~ N (μ1 , μ2, σ12 ,σ22, ρ ), −∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0, | ρ | <1. 联合概率密度为221121ρσπσϕ-=),(y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e性质:( a ) X ~ N (μ1, σ12 ), Y ~ N (μ2, σ22 )( b ) X 与Y 相互独立 ⇔ ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关. ( c ) C 1X +C 2Y ~ N (C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12 σ12 + C 22σ22 +2C 1C 2 ρ σ1σ2 ). ( d ) X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122111ρσμσσρμ--+y N【 例1 】 设A ，B 为事件，且P (A )＝41, P (B |A )＝21, P (A |B )＝12令 X ＝⎩⎨⎧否则发生若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1(1) 试求(X , Y )的联合分布律； （2）计算Cov ( X , Y )；(3) 计算 22(2,43)C ov X Y +.【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X , Y )联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U ,min ,,max ==. (I) 求(U , V )的概率分布; (II) 求(U , V )的协方差C ov (U , V ).【详解】(I) 易知U , V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,min ,1,(max )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P ,{}{}0})2,min ,1,(max )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,min ,2,(max )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P )2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 94=,{}{}})2,min ,2,(max )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 91=,故(U , V )的概率分布为:(II) 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=,而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E . 故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov .【 例4】 设随机变量X 在区间(0, 1)上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度; (Ⅱ) Y 的概率密度; (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P .二、 二维(或两个)随机变量函数的分布1 分布的可加性(1) 若X ~B (m, p ), Y ~B (n, p ), 且X 与Y 相互独立，则 X +Y ~ B (m +n , p ). (2) 若X ~P (λ1), Y ~P (λ2), 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P (λ1+λ2).(3) 若X ~N (211,μσ), Y ~P (222,μσ), 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N (221212,μμσσ++).一般地，若X i ~N (2,i i μσ), i =1, 2, …, n , 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y =C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),nniii i i i N C C Cμσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布.【 例5 】 设X 与Y 相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠= {min(,)0}__________.P X Y ≠=【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:1,01,()X x f x <<⎧=⎨⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.【 例7】设二维随机变量(X , Y )的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.(I) 求{}Y X P 2>；(II) 求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z .【详解】(I) {}Y X P 2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=12210)2(ydx y x dy 247=.(II) 方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z d x d y y x f Z Y X P z F ),()()(当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=y z z dx y x dy 0)2(3231z z -=；当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=；当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z 方法二： ⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,1,10,2其他x z x x z当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ⎰-=z Z dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f (x ) , Y 的分布律为 ()i i P Y a p ==, i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.。
二维随机变量及其分布函数
y1
y2
y3
...
p11
p12
p13
...
p21
p22
p23
...
p31
p32
p33
...
例1 设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定 义两个随机变量如下
X 表示骰子出现的点数.
1, 当出现奇数点时, Y 2,当出现偶数点时.
试求X与Y的联合分布律．
解 (X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、 (4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)．
f (x, y)
1
1 (x2y2)
e 2 2
, x, y
2 2
G {(x, y) | x 2 y 2 2} ， P{( X ,Y ) G}(P{X 2 Y 2 2})
求
．
解 P{(X ,Y )G} f (x, y)dxdy
P{x1 X x2 , y1 Y y2} F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F(x2 , y1 ) F(x1, y.1 )
y y2 y1
o x1
x2 x
二、二维离散型随机变量
定义 若二维随机变量 (X，Y) 所有可能取的值是有限 对或可列无穷多对，则称 (X，Y) 为二维离散型随机变 量． 设二维离散型随机变量 (X，Y) 所有可能取值为
f (x, y)dxdy
x
y
f
(u, v)dudv．
则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X，Y)的概率密度或X、Y的 联合概率密度．
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
第三章 二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。
例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。
例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。
例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。
二维随机变量及其分布
有放回抽取方式
P(X=1,Y=1)=1/9 P(X=1,Y=2)=2/9
Y X
1
2
P(X=2,Y=1)=2/9
1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/9
2 2/9
4/9
§1.2 二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量及联合分布律
分布律与分布函数的关系
若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…
则(X,Y)的分布函数为
F(x,y) pij xi x,y j y
i4
j i 于是（X ,Y）的分布规律为
y x1
2
3
4
如求：Y=2概率
1
1/4 1/8 1/12 1/16 0 1 1 1
2
0
1/8 1/12 1/16
8 12 16
3
0
0
1/12 1/16 6 4 3 1348 48 48 48
4
0
0
0
1/16
例：从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠 笔的盒子里，随机抽取两支，若X,Y分别表示抽出 的蓝笔数和红笔数，求（X,Y)的分布规律。
为:
P{(X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2 , 介于它和 xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4, P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z= f(x,y)为顶
第三讲 二维随机变量及其分布
第三讲二维随机变量及其分布一、基本概念如果随机变量X ，Y 是定义在同一样本空间Ω上，那么其整体( X , Y )就称为二维随机变量。
( X , Y )的分布函数：对任意x,y ，,∈R ，{}{}y Y x X P y Y x X P y x F ≤≤=≤≤=)(,)(;,),(ωωω例如，设{})6,,2,1()(,6,5,4,3,2,1 ===i i i X Ω,⎩⎨⎧===6,4,225,3,11)(i i i Y , 那么 {}{}{}6/12)6,4,2()3,2,1(1)(,3)(,)3,1(===≤≤=P P i Y i X i P F分布函数的特点：对每个x ,或y 是单调不减的；;1),(=∞∞F0),(),(=-∞=-∞x F y F 。
离散型二维随机变量：若X 和Y 均取有限或可列值，其分布列{},2,1,,====ij p y Y x X P ij j i离散型边际分布列： {}{} ,2,1,,,11=======⋅∞=⋅∞=∑∑j i p p y Y P p p x X P j i j i j i j j i i连续型二维随机变量：若存在二元非负实值函数f (x,y )，对任意x,y ,∈R ，⎰⎰∞-∞-=y x d u d v v f y x F ),(),(μ 就称f (x,y )为(X , Y )的联合分布密度(密度函数，概率函数)，且在f 的连续点处有：yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 边际分布函数：dt t f y F y F dt t f x F x F y YY x X X )(),()(,)(),()(⎰⎰∞-∞-=∞==∞= 其中)(x f X 和)(y f Y 分别称为X , Y 的边际（边缘）密度且dx y x f y f dy y x f x f Y X ⎰⎰∞∞-∞∞-==),()(,),()( 条件分布：),(/),()(y f y x f y x f Y = 连续型{}{}{},/,j j i j i y Y P y Y x X P y Y x X P ======离开型相互关系：称随机变量X , Y 相互独立，如果对任意x,y ,∈R ，均有 ⎩⎨⎧∀⋅==⇔=⇔k j p p p y f x f y x f y F x F y x F k j jkY X Y X ,)()(),()()(),( 协方差：度量随机变量X , Y 协同变换的量。
二维随机变量及其分布函数
边缘概率密度函数的计算方法
边缘概率密度函数是二维连续随机变量的两个随机变量的Fra bibliotek缘分布的密度函数。
边缘分布函数的例子
例如，对于二维正态分布，边缘分布函数是标准正态分布函数。
二维随机变量及其分布函 数
本节将介绍二维随机变量的定义、表示方法，以及二维离散和连续随机变量 的分布函数和分布密度函数。
二维随机变量的定义
二维随机变量是由一对随机变量组成的随机变量，可以用一个有序对表示(X, Y)，其中X和Y是两个单独的随机变量。
二维随机变量的表示方法
二维随机变量可以用概率分布函数或概率密度函数来表示其取值范围和概率 分布。
二维离散随机变量的分布函数
二维离散随机变量的分布函数是一个二维数组，其中每个元素表示随机变量 取对应值的概率。
二维连续随机变量的分布密度函数
二维连续随机变量的分布密度函数表示随机变量的取值在某个区域内的概率密度。
边缘分布函数的定义
边缘分布函数指的是一个随机变量的分布函数，忽略另一个随机变量的影响。
二维随机变量及其分布函数
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,, 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
P{X 2,Y 0} 3 2 3 8 3 . 2 0 0 2 28
故所求分布律为
X Y
0
0 3 28
1 3 14
2 1 28
1 9 28 3 14
0
2 3 28
0 0
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从 中任取一个, 不放回袋中,再任取一个,设每次取球时, 各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和 第二次取到的球上标有的数字,求 ( X, Y ) 的分布 律与分布函数.
2. 分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随机变 量X 和 Y 的联合分布函数.
F ( x, y) 的函数值就是随机点落在如图所示区域
内的概率.
y (x, y) •
X x,Y y
O
x
3. 分布函数的性质 1o F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y,当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
xy
F( x, y)
f (u,v)d udv
二维随机变量
1
例3:将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，已 在例1中求了(X,Y)的联合分布律，现求二维随机 变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.
X0
1
2
3 p. j
Y
1
0 3/8 3/8 0 6/8
求（X1 ,X2）的联合分布律及边缘分布律。 假设： （1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 （3）通过此题你得出何结论?
FX ( x) P( X x,Y ) F( x,)
x
x
dx f ( x, y)dy ( f ( x, y)dy)dx
固定x
同理:
固定y
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值 是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维 离散型随机变量。
中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
6e2x3 y , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
求( X ,Y )关于X与Y的边缘概率密度。
解：当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
=0
当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
6e 2x3 y dy 6e 2 x e 3 y dy 2e 2 x
(2) pij 1
ij
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
二维随机变量及分布
二维随机变量及其概率分布复习资料内容摘要一、二维随机变量设随机试验的样本空间为Ω，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量（X ，Y ）为二维随机变量或二维随机向量。
1． 联合分布函数设（X ，Y ）是二维随机变量，y x ,是任意实数，函数F （x ,y ）=P{X ≤x ,Y ≤y}称为（X ，Y ）的分布函数，或称随机变量X 与Y 的联合分布函数. 2． 联合分布函数的性质（1） 0≤F （x ,y ）≤1;（2） F(x ,- ∞)= F(-∞,y)= F(-∞,- ∞)=0F(+∞,+ ∞)=1;（3） F(x ,y)对x 和y 分别是不减的.即对于固定的y ，若x 1<x 2,则F （x 1，y ）()，y x F 2≤；对于固定的x ，若y 1<y 2，则F(x ，y 1)≤F(x ，y 2)；（4） F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 右连续，即 F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y+0）=F （x ，y ）。
（5） 对于任意的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1<x 2，y 1<y 2，有 F(x 2,y 2)-F(x 2,y 1)-F(x 1,y 2)+F(x 1,y 1)≥0. 3.二维离散型随机变量如果二维随机变量(X ，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X ，Y ）为二维离散型随机变量．并且称Ｐ｛Ｘ＝i , Y=y j ｝=ij p ,i ,j=1,2…为（Ｘ，Ｙ）的分布律，或称做Ｘ与Ｙ的联合分布律． 分布律也可用表格列出：分布律满足下列３条性质：４．二维连续型随机变量设（Ｘ，Ｙ）的分布函数为Ｆ（x，y），如果存在非负函数f（x，y），使得对任意实数x，y都有则称（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，函数f（x，y）称做（Ｘ，Ｙ）的概率密度，或Ｘ，Ｙ的联合概率密度．f（x，y）具有下列性质：（１）f(x,y)≥0,（２）⎰+∞∞-⎰+∞∞- f(x,y)d x dy=1（３）若f（x，y）在点（x，y）连续，则有（４）设Ｄ为x Oy平面上的区域，则f(x,y)d x dyP{(x,y)∈D}=⎰⎰D二、边缘分布１．边缘分布函数设Ｆ（Ｘ，Ｙ）是Ｘ与Ｙ的联合分布函数，则ＦX（x）＝Ｐ｛Ｘ≤x，Y＜+∞｝=F(x,+∞)F Y(y)=P{ X＜+∞，Y≤y } =F（+∞）分别称为（Ｘ，Ｙ）关于Ｘ与Ｙ的边缘分布律。
概率论二维随机变量及其分布
FY(y)
F (, y)
.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
(x 2 , y2)
y1
O x1
x2 x
图 2.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y .1 ).
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即
.
联合分布函数的性质 注：以上四个等式可从几何上进行说明.
（2）F(x,y)关于 x和 y均为单调非减函数，即 对任意固定的 y, 当 x 2 x 1 ,F ( x 2 ,y ) F ( x ,y 1 ), 对任意固定的 x, 当 y 2 y 1 ,F ( x ,y 2 ) F ( x ,y 1 ); （3）F(x,y)关于 x和 y均为右连续，即 F ( x , y ) F ( x 0 , y ) F ( x , y , ) F ( x , y 0 ).
二维随机变量及其分布简介
第三章 多维随机变量及其分布在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高H 、体重W , 这里, H 和W 是定义在同一个样本空间==}{e S {某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X 和纵坐标Y . 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量.第一节 多维随机变量的分布内容分布图示★ 二维随机变量★ 二维随机变量的分布函数 ★ 例1 ★ 二维离散型随机变量及其概率分布★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 二维连续型随机变量及其概率密度★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 二维均匀分布 ★ 例10 ★ 二维正态分布 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-1内容要点：一、 二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为}{e S =, S e ∈为样本点，而)(),(e Y Y e X X ==是定义在S 上的两个随机变量, 称),(Y X 为定义在S 上的二维随机变量或二维随机向量.二、 二维随机变量的分布函数定义2 设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数},{)}{()}{(),(y Y x X P y Y P x X P y x F ≤≤≤≤=记为称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.联合分布函数的性质: （1） ,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的,0),(,=-∞x F x ;1),(,0),(=+∞+∞=-∞-∞F F(2) ),(y x F 关于x 和y 均为单调非减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥> 对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥>(3) ),(y x F 关于x 和y 均为右连续, 即 ).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F三、 二维离散型随机变量及其概率分布定义3 若二维随机变量),(Y X 只取有限个或可数个值, 则称),(Y X 为二维离散型随机变量.结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布(分布律), 或Y X 与的联合概率分布(分布律).与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定),(Y X 取值于任何区域D 上的概率，即∑∈=∈Dy x ijj i pD Y X P ),(}),{(,特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:.},{),(,∑≤≤=≤≤=yy x x ijj i p y Y x X P y x F四、二维连续型随机变量及其概率密度定义 设),(Y X 为二维随机变量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数),(y x f , 使对任意实数),(y x , 有,),(),(⎰⎰∞-∞-=xydsdt t s f y x F则称),(Y X 为二维连续型随机变量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或Y X ,的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数),(y x f 的性质: ;0),()1(≥y x f ;1),(),()2(=+∞+∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F dxdy y x f(3) 设D 是xOy 平面上的区域,点),(Y X 落入D 内的概率为⎰⎰=∈Ddxdy y x f D y x P ),(}),{(特别地, 边缘分布函数},{}{)(+∞<≤=≤=Y x X P x X P x F X ,),(),(⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-∞-+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==x x ds dt t s f dsdt t s f上式表明: X 是连续型随机变量, 且其密度函数为:,),()(⎰+∞∞-=dy y x f x f X同理, Y 是连续型随机变量, 且其密度函数为:⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(,分别称)(x f X 和)(y f Y 为),(Y X 关于X 和Y 的边缘密度函数.(4) 若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有 ).,(),(2y x f yx y x F =∂∂∂进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当y x ∆∆,很小时, 有,),(},{y x y x f y y Y y x x X x P ∆∆≈∆+≤<∆+≤<即, ),(Y X 落在区间],(],(y y y x x x ∆+⨯∆+上的概率近似等于.),(y x y x f ∆∆五、二维均匀分布设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1),(Gy x Ay x f 则称),(Y X 在G 上服从均匀分布.六、二维正态分布若二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122)1(21221121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x ey x f其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且1||,0,021<>>ρσσ,则称),(Y X 服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数ρ，亦即对给定的2121,,,σσμμ，不同的ρ对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于X 和关于Y 的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量),(Y X 的联合分布的.例题选讲：二维随机变量的分布函数例1 设二维随机变量),(y x 的分布函数为+∞<<∞-+∞<<∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y C x B A y x F ,,3arctan 2arctan ),((1) 试确定常数.,,C B A(2) 求事件}30,2{≤<+∞<<Y X 的概率. 解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得 ,1)2/)(2/(),(=++=+∞+∞ππC B A F,0)2/)(2/(),(=+-=+∞-∞ππC B A F ,0)2/)(2/(),(=-+=-∞+∞ππC B A F由这三个等式中的第一个等式知,0≠A ,02/≠+πB ,02/≠+πC 故由第二、三个等式知,02/=-πB ,02/=-πC 于是得,2/π==C B 2/1π=A 故),(Y X 的分布函数为.3arctan 22arctan 21),(2⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x y x F πππ(2) 由(1)式得}30,2{<<∞+<Y X P )0,2()3,2()0,()3,(F F F F +-+∞-+∞=.16/1=二维离散型随机变量及其概率分布例2 (讲义例1) 设随机变量X 在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，试求),(Y X 的分布律.解 由乘法公式容易求得),(Y X 的分布律. 易知},{j Y i X ==的取值情况是: ,4,3,2,1=i 取不大于i 的正整数, 且}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,411⋅=i ,4,3,2,1=i i j ≤于是),(Y X 的分布律为例3 (讲义例2) 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X 为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求),(Y X 的概率分布及),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.解 ),(Y X 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),8/1)2/1(}3,0{3====Y X P ,8/3)2/1(3}1,1{3====Y X P,8/3}1,2{===Y X P ,8/1}3,3{===Y X P故),(Y X 的概率分布如右表. 从概率分布表不难求得),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.,8/1}0{==X P ,8/3}1{==X P ,8/3}2{==X P ,8/1}3{==X P ,8/68/38/3}1{=+==Y P ,8/28/18/1}3{=+==Y P从而得右表例4 设二维随机变量的联合概率分布为求}0,1{≥≤Y X P 及).0,0(F 解}0,1{≥≤Y X P}1,1{}0,1{=-=+=-==Y X P Y X P }1,1{}0,1{==+==+Y X P Y X P.4.002.01.01.0=+++=}0,1{}2,1{)0,0(=-=+-=-==Y X P Y X P F .4.01.03.0=+=二维连续型随机变量及其概率密度 例5 设),(Y X 的概率分布由下表给出，求 }0,0{},0,0{≤≤=≠Y X P Y X P |}.||{|},{},0{y X P Y X P XY P ===解}0,0{=≠Y X P }0,2{}0,1{==+===Y X P Y X P ,05.0005.0=+=}0,0{=≠Y X P }0,0{}1,0{==+-===Y X P Y X P ,3.02.01.0=+=}1,1{}0,0{|}||{|-==+====Y X P Y X P Y X P }1,1{-==+Y X P .6.01.03.02.0=++=例6 一整数N 等可能地在10,,3,2,1 十值中取一个值. 设=D )(N D 是能整除N 的正整数的个数，)(N F F =是能整除N 的素数的个数（注意1不是素数）. 试写出D 和F 的联合分布律.并求分布律.解 将试验的样本空间及F D ,取值的情况列表如下:2111211110434242322110987654321F DD 所有可能取值为1,2,3,4; F 所有可能取值为0,1,2.容易得到),(F D 取),,(j i ,4,3,2,1=i 2,1,0=j 的概率, 可得D 和F 的联合分布律及边缘分布律如下表:即有边缘分布律10/310/210/410/14321k p D10/210/710/1210k p F例7 (讲义例3) 具有概率密度设二维随机变量),(Y X⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-.,0,0,0,2),()2(其它y x ey x f y x(1) 求分布函数);,(y x F (2) 求概率}.{X Y P ≤ 解 (1) ⎰⎰∞-∞-=xy dxdy y x f y x F ),(),(⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎰⎰+-,,00,0,20)2(0其它y x dxdy e xy x y即有.,00,0),1)(1(),(2⎩⎨⎧>>--=--其它y x e e y x F y x (2) 将),(Y X 看作是平面上随机点的坐标, 即有},),{(}{G Y X X Y ∈=≤ 其中G 为xOy 平面上直线x y =及其下方的部分, 如图. 于是G y x P X Y P ∈=≤),{(}{⎰⎰=Gdxdy y x f ),(⎰⎰+∞+-+∞=yy x dxdy e )2(02⎰⎰+∞+-+∞∞-=yy x dx e dy)2(2⎰+∞∞-∞+---=dy e e y x y ][2.313==⎰+∞∞--dy e y例8 (讲义例4) 设),(Y X 的概率密度是⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它,00,10),2(),(xy x x cy y x f求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度. 解 (1) 由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 确定.cdx dy x cy x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰01)2( ⎰-=12]2/)2([dx x x c24/5=c .5/24=c(2) ),2(512)2(524)(20x x dy x y x f xX -=-=⎰10≤≤x ,2223524)2(524)(21⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=⎰y y y dx x y y f yY 10≤≤y即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,010),2(512)(2x x x x f X.,010,2223524)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=其它y y y y y f Y二维均匀分布例9 设随机变量X 和Y 具有联合概率密度 ⎩⎨⎧≤≤=其它,0,6),(2xy x y x f求边缘概率密度),(x f X )(y f Y . 解⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(,,010),(6622⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰其它x x x dy xx⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(.,010),(66⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==⎰其它y y y dx yyOxy y x=y x =211例10 (讲义例5) 设),(Y X 服从单位圆域122≤+y x 上的均匀分布, 求X 和Y 的边缘概率密度.解,,01,/1),(22⎩⎨⎧≤+=其它时当y x y x f π 当1-<x 或1>x 时，,0),(=y x f 从而.0)(=x f X 当11≤≤-x 时，⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(.12121122x dy x x-==⎰---ππ于是我们得到X 的边缘概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它,011,12)(2x x x f X π由X 和Y 在问题中地位的对称性, 将上式中的x 改成,y 就得到Y 的边缘概率密度.,011,12)(2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它y y y f Y π二维正态分布例11 (讲义例6) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度)sin sin 1(21),()(2122y x e y x f y x +=+-π试求关于Y X ,的边缘概率密度函数.解 利用Γ函数及奇偶函数的积分性质得,21),()(2/2x X edy y x f x f -+∞∞-==⎰π.21),()(2/2yY e dx y x f y f -+∞∞-==⎰π注: 此例说明, 边缘分布均为正态分布的二维随机变量, 其联合分布不一定是二维正态分布.课堂练习1.将两封信随意地投入3个邮筒, 设X ,Y 分别表示投入第1, 2号邮筒中信的数目, 求X 和Y 的联合概率分布及边缘概率分布.2.设向量),(Y X 的密度函数),(y x f 的密度函数为11xy-O⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,),(y x kxy y x f求 (1) 参数k 的值；（2）),(Y X 的边缘密度.。
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设X,Y是二维
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x,y)∈R 2,则称F(x,y)=P{X<x,Y<y}为(X,Y)的分布函数，或X 与Y 的联合分布函数。
几何意义：分布函数F(00,y x )表示随机点(X,Y)落在区域{}00,),(y y x x y x <<-∞<<∞-中的概率。
如图阴影部分： 对于(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),则P{x 1≤X<x 2，y 1≤y<y 2}＝F(x 2,y 2)－F(x 1,y 2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)2、分布函数F(x, y)具有如下性质(p119)：(1)归一性：对任意(x,y)∈R 2, 0≤F(x,y)≤1,(2)单调不减：对任意y ∈R,当x 1<x 2时，F(x 1,y)≤F(x 2,y)；对任意x ∈R ，当y 1<y 2时，F(x,y 1)≤F(x,y 2)。
(3)左连续：对任意x ∈R,0y ∈R,1),(lim ),(==∞∞∞→∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞-∞→-∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ).,(),(lim )0,(000y x F y x F y x F y y ==--→(4)矩形不等式：对于任意(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),F(x 2,y 2)－F(x 1,2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)≥0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例1:已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为:1)求常数A ，B ，C ；2)求P{0≤X<2,0≤Y<3}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10 01 二维随机变量及其分布知识网络图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧===+=⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧→→⎩⎨⎧=−−−−→−→),,min(),,,max(/)()(),()(),()),(11,n n Y X Y X Y X X X V X X U Y X Z Y X Z y F x F y x F y F x F y x F 连续型离散型分布随机变量的函数的概率连续型离散型条件分布正态分布均匀分布常见分布独立性边缘概率密度联合概率密度连续型独立性边缘分布律联合分布律离散型概率分布边缘分布函数联合分布函数分布函数量变机随维二相互独立主要内容一、 二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为}{e S =, S e ∈为样本点，而)(),(e Y Y e X X ==是定义在S 上的两个随机变量, 称),(Y X 为定义在S 上的二维随机变量或二维随机向量.二、 二维随机变量的分布函数1.联合分布函数定义2 设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数},{)}{()}{(),(y Y x X P y Y P x X P y x F ≤≤≤≤=记为称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.联合分布函数的性质: （1） ,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的,0),(,=-∞x F x ;1),(,0),(=+∞+∞=-∞-∞F F(2) ),(y x F 关于x 和y 均为单调非减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥> 对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥>(3) ),(y x F 关于x 和y 均为右连续, 即 ).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F（4）22211112(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y -+-≥2.边缘分布函数对X 的边缘分布有：),(},{}{)(+∞=+∞<≤=≤=x F Y x X P x X P x F X 对Y 的边缘分布有：),(},{}{)(y F y Y X P y Y P y F Y +∞=≤+∞<=≤=三、 二维离散型随机变量及其概率分布1.离散型随机变量的联合分布律定义 若二维随机变量),(Y X 只取有限个或可数个值, 则称),(Y X 为二维离散型随机变量.结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布(分布律), 或Y X 与的联合概率分布(分布律).与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表:1)2(,0111=≥∑∑∞=∞=i j ij ij p p ）性质：（2. 离散型随机变量的边缘分布的分布律X 的分布律为： ,2,1,}{1====⋅∞=∑i p p x X P i j ij iY 的分布律为： ,2,1,}{1====⋅∞=∑j p p y Y P j i ij j四、二维连续型随机变量及其概率密度1.联合概率密度定义 设),(Y X 为二维随机变量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数),(y x f , 使对任意实数),(y x , 有,),(),(⎰⎰∞-∞-=xydsdt t s f y x F则称),(Y X 为二维连续型随机变量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或Y X ,的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数),(y x f 的性质:;0),()1(≥y x f ;1),(),()2(=+∞+∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F dxdy y x f(3) 设D 是xOy 平面上的区域,点),(Y X 落入D 内的概率为⎰⎰=∈Ddxdy y x f D y x P ),(}),{((4) 若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有).,(),(2y x f yx y x F =∂∂∂2.边缘概率密度X 是连续型随机变量, 且其密度函数为:,),()(⎰+∞∞-=dy y x f x f X同理,是连续型随机变量, 且其密度函数为:⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(,分别称)(x f X 和)(y f Y 为),(Y X 关于X 和Y 的边缘密度函数.五、二维均匀分布设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1),(Gy x Ay x f 则称),(Y X 在G 上服从均匀分布.六、二维正态分布若二维随机变量),(Y X 具有概率密度⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222221121122)1(21221121),(σμσμσμρσμρρσπσy y x x ey x f其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且1||,0,021<>>ρσσ,则称),(Y X 服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布.七、条件分布1.离散型随机变量的条件分布定义：设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为,2,1,,},{====j i p y Y x X P ij j i ，X 的边缘分布律为：,2,1,}{1====⋅∞=∑i p p x X P i j ij iY 的边缘分布律为：,2,1,}{1====⋅∞=∑j p p y Y P j i ij j设0>⋅j p ，由条件概率的公式可得,2,1,}{},{}{=======i y Y P y Y x X P y Y x X P j j i j i称为在j y Y =的条件下随机变量X 的条件分布律； 同理，设0>⋅i p ，由条件概率的公式可得,2,1,}{},{}{=======j x X P y Y x X P x X y Y P i j i i j称为在i x X =的条件下随机变量Y 的条件分布律； 性质：以上两个条件分布律均满足分布律的基本性质。
2.连续型随机变量的条件分布 （1） 条件分布函数定义：设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为)(),,(x f y x f X 和)(y f Y 分别是关于X 和Y 的边缘分布的概率密度。
若0)(>y f Y ，我们把⎰∞-==≤xY dx y f y x f y Y x X P )(),(}{ 称为在y Y =的条件下，X 的条件分布函数，记为)(y x F Y X 。
若0)(>x f X ，我们把⎰∞-==≤yX dy x f y x f x X y Y P )(),(}{称为在x X =的条件下，Y 的条件分布函数，记为)(x y F XY 。
（2） 条件概率密度在y Y =的条件下，X 的条件概率密度为：)(),()(y f y x f y x f Y Y X =在x X =的条件下，Y 的条件概率密度为：)(),()(x f y x f x y f X X Y =.八、 随机变量的独立性1.定义 设随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F , 边缘分布函数为)(x F X ,)(y F Y , 若对任意实数y x ,,有},{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤即 ),()(),(y F x F y x F Y X = 则称随机变量X 和Y 相互独立. 2.离散型随机变量的独立性设),(Y X 是二维离散型随机变量, 其概率分布为,2,1,,},{====j i p y Y x X P ij j i若对),(Y X 的所有可能取值),,(j i y x 有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =====即 ,2,1,,==⋅⋅j i p p p j i ij 则称X 和Y 相互独立.3. 连续型随机变量的独立性对二维连续型随机变量),(Y X , 其独立性的定义等价于: 若对任意的y x ,, 有)()(),(y f x f y x f Y X =几乎处处成立, 则称Y X ,相互独立. 九、二维随机变量的函数的分布 1.Y X Z +=的分布（1）. 两个离散型随机变量的函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为： ,2,1,,},{====j i p y Y x X P ij j i 若随机变量Z 是X 和Y 的和，即Y X Z +=，则Z 的任一可能的值k z 是X 的可能值i x 和Y 的可能值j y 的和：k z =i x +j y于是有：∑∑==ij k z Z P }{},{j i y Y x X P ===∑i},{i k i x z Y x X P -==或者==}{k z Z P ∑j},{j j k y Y y z X P =-=讲解例题：P71-72：例1、2；练习：P76：1。
（2） 两个连续型随机变量的函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为),(y x f ，则Y X Z +=的概率密度为：⎰⎰∞+∞-+∞∞--=-=dxx z x f dy y y z f z f Z ），（或），（）（特别地，当X 和Y 相互独立时，有⎰⎰∞+∞-+∞∞--=-=dxx z f x f z f dyy f y z f z f Y X Z Y X Z ）（）（）（或）（）（）（上面两个式子称为卷积公式。
2. 商 XZ Y=（Y ≠0）的概率密度函数． ()(),d Z f z y f zy y y +∞-∞=⋅⎰若X 与Y 相互独立，则()[||()()]d Z X Y f z y f zy f y y +∞-∞=⋅⋅⎰3.),min(),max(Y X N Y X M ==及的分布 （1）. ),min(),max(Y X N Y X M ==及的分布设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，则有)](1)][(1[1)()()()(min max y F x F z F y F x F z F Y X Y X ---==（2.）推广：设n X X X ,,,21 是相互独立的随机变量，则),,,max(21n X X X M =及),,,min(21n X X X N =的分布函数分别为：)](1[)](1)][(1[1)(),()()()(21min 21max 2121n X X X n X X X x F x F x F z F x F x F x F z F n n ----==特别地，当n X X X ,,,21 相互独立且具有相同的分布函数)(x F 时有：n n z F z F z F z F )](1[1)(,)]([)(min max --==常见题型1、二维随机变量联合分布、边缘分布与条件分布1. （98，3分）设平面区域D 由曲线所围成及直线2,1,01e x x y xy ====，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，则（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为。