第1课时 平均变化率
高中数学1-1平均变化率1-2瞬时变化率北师大版选择性必修第二册
Δ
当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,
∴4a=8,解得a=2.
角度2.求函数的瞬时变化率
1
【例4】 估算函数y=x- 在x=1处的瞬时变化率.
解 因为
1
1
Δ
Δ
Δy=(1+Δx)-1+Δ-(1-1)=Δx+1+Δ,所以Δ
=
Δ
1+Δ=1+ 1 .
Δ+
Δ
1+Δ
1
(3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.( √ )
2.如果某物体在某时间段内的平均速度为0,能否判定该物体在此时间段内
的瞬时速度都为0?
提示 不能.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
平均变化率
角度1.求物体运动的平均速度
【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,
=
( 0 +Δ)-( 0 )
;
Δ
趋于的那个确定值即为所求函数在某点处的瞬时变
变式训练4已知函数f(x)= √ ,估算f(x)在x=1处的瞬时变化率为
解析 由题意可得
(1+Δ)-(1)
Δ
=
当 Δx 趋于 0
√1+Δ-1
Δ
=
1
,
√1+Δ+1
1
1
时,
趋于 ,因此
2
√1+Δ+1
时速度.
无限趋近于常数v,即为t0时刻的瞬
变式训练3一质点M按函数s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),
1.1平均变化率与瞬时变化率(第一课时)
1.1、平均变化率、瞬时变化率第一课时（学案）学习目标：通过对气球半径平均变化率和高台跳水平均速度两个具体模型的学习，体会平均变化率、平均速度是刻化事物变化快慢的量。
明确瞬时速度的含义,通过两个实例分析，经历从平均速度过渡到瞬时速度的探究过程，体会“无限逼近”的方法在如何用平均变化率求瞬时变化率中的作用。
阅读课本2页问题1.气球膨胀率问题，并回答以下问题：品味之1、：如何理解课本中 “随着气球内的空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”？这句话里涉及到哪几个量？ 和 “气球的半径增加得越来越慢”的含义就是换用数学的角度描述就是“随着体积的增大，比值 越来越小，而这个比值就是 。
品味之2、当空气容量V 1从增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？阅读课本3页问题2.高台跳水问题。
回答以下问题。
品味之3、在高台跳水的例子中，平均速度也是变化率吗？是哪个变量对哪个变量的变化率？ 练一练之1、计算当时间t=4965时，运动员离水面的高度。
练一练之2、计算49650≤≤t 这段时间里的平均速度v 是多少？其物理意义是什么？品味之4、运动员在这段时间里是静止的吗？在4965=t 这一时刻运动员是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么欠缺吗？练一练之3、那么当运动员在4965 t 时这一瞬间，运动员的实际速度到底是多少呢？瞬时速度的快慢该如何描述 你能设计一种方案计算t=2这一时刻的瞬时速度吗？拓展：这一方案的基本思路和方法你能作一个总结吗？（或者在你的方案中，平均速度与瞬时速度两者之间有联系与区别？）练一练之4、已知一小车自A 点处沿直线方向向B 点处运动，其路程s 与时间t 的关系式为s=12t,试求（1）小车t 1 秒末到t 2秒末内的平均速度 （2）小车在3秒末时的瞬时速度是多少？你是如何确定的？简述你的方案。
练一练之5、如图设正方形的边长为x ，设其面积为s ，当边长x变化时，其面积s 也会随之变化，猜测其面积s 变化率的变化规律是什么？并设计一个方案证明你猜测的规律是正确的。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标：1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学内容：1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法及应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，增强学生对概念的理解。
3. 开展小组讨论，让学生在合作中思考、交流，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出平均变化率的概念。
2. 讲解与演示：讲解平均变化率的定义，展示相关图形，让学生直观理解。
3. 自主学习：学生自主探究平均变化率的计算方法。
4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法，互相学习。
5. 练习与应用：布置练习题，让学生巩固所学知识，并应用到实际问题中。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生为主体，注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。
在教学过程中，充分利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，有助于学生更好地理解概念。
通过生活中的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
在练习与应用环节，注重让学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的数学素养。
本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识，培养学生的数学思维能力。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平均变化率定义的理解程度。
2. 练习题：收集学生的练习作业，评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和问题解决能力。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、引言1. 引入话题：讨论物体速度的变化，引导学生思考如何描述速度的变化。
2. 引入平均变化率的概念：速度的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是速度的变化量与时间的比值。
二、平均变化率的定义与计算1. 讲解平均变化率的定义：平均变化率是变化量与变化时间的比值，表示变化的快慢。
2. 给出平均变化率的计算公式：平均变化率= 变化量/ 变化时间。
3. 举例说明：假设一个物体在时间t1时的速度为v1，在时间t2时的速度为v2，速度的平均变化率为(v2 v1) / (t2 t1)。
三、平均变化率的应用1. 问题情境：给出一个物体在不间点的速度，要求学生计算平均变化率。
2. 学生分组讨论：学生分组讨论并计算给定情境下的平均变化率。
3. 集体讨论：各组汇报计算结果，集体讨论并解释结果的意义。
四、巩固练习1. 给出一些实际问题，要求学生计算平均变化率。
2. 学生独立完成练习，教师进行解答和讲解。
五、总结与反思1. 总结平均变化率的定义、计算方法和应用。
2. 学生反思学习过程中的困难和问题，提出疑问并进行解答。
教学资源：1. 教学PPT：用于展示平均变化率的定义、计算公式和应用实例。
2. 练习题：用于巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 学生反馈：收集学生对教学内容的反馈和建议，以便进行教学改进。
六、实际情境分析1. 引入实际情境：讨论商品价格的变化，引导学生思考如何描述价格的变化。
2. 应用平均变化率的概念：商品价格的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是价格的变化量与时间的比值。
2019-2020年高二数学选修1-1平均变化率教案 苏教版
2019-2020年高二数学选修1-1平均变化率教案苏教版教学目标：（一）知识目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（二）能力目标体会平均变化率的思想及内涵（三）情感态度与价值观使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义教学难点：对生活现象作出数学解释教学过程：一．问题情境（1）情境某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：（2）问题1：“从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？”问题2：“AB段与BC段哪一段速度较快？”二．师生活动（1）速度快慢是生活用语，怎样将它数学化？（2）曲线上BC之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（3）由点B上升到C点必须考察的大小，但仅注意到的大小能否精确量化BC段陡峭的程度？为什么？（4）在考察的同时必须考察，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变而言。
三．建构数学（1）通过比较位移在区间上的平均变化率与位移在区间上的平均变化率，感知曲线陡峭程度的量化。
（2）一般地，给出函数在区间上的平均变化率（3）回到位移曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构（4）用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当很小时，这种量化便由“粗糙”逼迫“精确”。
四．课堂练习学生讨论P57练习1，发表见解。
教师补例：甲、乙两汽车，速度从分别加速到和，如何评判两车的性能？五．数学应用例1．P56页例1、例2，并注意小结（1）如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（月）？（2）例1中两个不同的平均变化率的实际意义是什么？（3）例2中是一个随时间变化而变化的量，（）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度？例2．P57页例3、例4，并注意小结（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例2的深化（2）例3中四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？（3）例4讲完后应让学生当堂回答课本中的思考。
高中数学3.1.2函数的单调性第1课时函数的单调性及函数的平均变化率人教B版必修第一册
第1课时 函数的单调性及函数的平均变化率[A 基础达标]1．如图是函数y ＝f (x )的图像，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由图像，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|解析：选B.y ＝3－x ，y ＝1x，y ＝－|x ＋1|在(0，2)上都是减函数，只有y ＝x 2＋1在(0，2)上是增函数．3．若函数f (x )在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)解析：选D.因为f (x )是R 上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D. 4．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：选C.因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x ＜－2.作出y ＝|x ＋2|的图像，如图所示，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．5．(2019·宣城检测)已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>0解析：选A.因为y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数， 所以a <0，b <0，所以f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．解析：当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．答案：(－∞，1)7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图像的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2.答案：(－∞，2]8．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图像上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为__________．解析：因为A (0，－2)，B (－3，2)在函数y ＝f (x )的图像上，所以f (0)＝－2，f (－3)＝2，故－2<f (x )<2可化为f (0)<f (x )<f (－3)，又f (x )在R 上是减函数，因此－3<x <0.答案：(－3，0)9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像，并指出函数的单调区间． 解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图像如图所示，由图像可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2]； 单调递增区间为(2，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．解：(1)由题意知x ＋1≠0，即x ≠－1.所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)证明：∀x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2＋1－2x 1－1x 1＋1＝(2x 2－1)(x 1＋1)－(2x 1－1)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0. 又因为x 1，x 2∈[1，＋∞)， 所以x 2＋1>0，x 1＋1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x 2)>f (x 1)．所以函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．函数y ＝2x －3的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－3] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.由2x －3≥0，得x ≥32.又因为t ＝2x －3在(－∞，＋∞)上单调递增，y ＝t在定义域上是增函数，所以y ＝2x －3的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 解析：选A.当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，所以0≤a ≤13.13．已知定义在[1，4]上的函数f (x )是减函数，求满足不等式f (1－2a )－f (3－a )>0的实数a 的取值范围．解：由题意，可得f (1－2a )>f (3－a )． 因为f (x )在定义域[1，4]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤1－2a ≤41≤3－a ≤41－2a <3－a ，解得－1≤a ≤0，所以实数a 的取值范围为[－1，0]．14．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ax 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．[C 拓展探究]15．设f (x )＝x 2＋1，g (x )＝f (f (x ))，F (x )＝g (x )－λf (x )．问是否存在实数λ，使F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22上是减函数且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0上是增函数？ 解：假设存在这样的实数λ，则由f (x )＝x 2＋1，g (x )＝f (f (x ))，得g (x )＝(x 2＋1)2＋1， 所以F (x )＝g (x )－λf (x )＝x 4＋(2－λ)x 2＋2－λ. 令t ＝x 2，则t ＝x 2在(－∞，0)上递减，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22时，t ＞12；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0时，0＜t ＜12.故要使F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0上递增， 则函数φ(t )＝t 2＋(2－λ)t ＋2－λ在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递减，所以函数φ(t )＝t 2＋(2－λ)t ＋2－λ的图像的对称轴t ＝λ－22为t ＝12，即λ－22＝12，则λ＝3.故存在这样的实数λ(λ＝3)，使F (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22上是减函数且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0上是增函数．。
人教课标版高中数学选修1-1《变化率与导数(第1课时)》教案-新版
3.1.1 变化率与导数第一课时一、教学目标 1.核心素养:通过了解平均变化率，培养学生的数学抽象和运算能力. 2.学习目标（1）理解平均变化率的概念. （2）了解平均变化率的几何意义. （3）会求函数在某点处附近的平均变化率. 3.学习重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 4.学习难点 平均变化率的概念. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P72—P74，思考：什么是平均变化率？计算平均变化率的步骤有哪些？平均变化率有怎样的几何意义？ 2.预习自测1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆= D.0x ∆≠ 解：D2.下列各式中，不能表示平均变化率的是（ ） A.yx ∆∆ B.1212()()f x f x x x -- C.11()()f x x f x x +∆-∆ D.1221()()f x f x x x --解：D（二）课堂设计 1.知识回顾（1）sv t=,即速度等于路程变化量除以时间变化量.（2）1212y y k x x -=-,即直线的斜率等于直线上两点纵坐标之差除以横坐标之差.2.问题探究问题探究一 ●活动一 分析实例 想一想：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =. 分析:对于343)(πV V r =， （1）当V 从0增加到1时，气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--（2）当V 从1增加到2时，气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 想一想：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.想一想：如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度. 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=.●活动二 探索新知上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示，称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，若设12x x x -=∆，)()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)，则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 问题探究二 平均变化率有怎样的几何意义？ ●活动一 观察结构，得出结论 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示函数()y f x =图像上两点11(,())x f x ,22(,())x f x 连线的斜率.问题探究三 如何计算函数在某点附近的平均变化率？●活动一 初步运用，计算平均变化率例1 物体的运动方程是23s t =+，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为（ ） A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 【知识点：平均变化率】详解：平均速度为22(3 2.1)(32)4.12.12s t ∆+-+==∆-,答案选D.●活动二 结合图形，深化运用例2 现有重庆市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：思考1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？ 2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？温度T (℃时间t （d ）【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】详解：（1）“气温陡降”从数学角度是指在相应时间内，气温的平均变化率很大. （2）从A 到B ，平均变化率为18.6 3.50.49321-≈-；从B 到C ，平均变化率为33.418.67.43432-=-点拨：关于平均变化率计算的问题，关键是准确算出各自的变化量. 3.课堂总结 【知识梳理】 平均变化率=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 【重难点突破】x ∆表示横坐标的变化量，可以为正数，也可以是负数，但不能为0. 4.随堂检测1.物体的运动方程是22s t =，则从2s 到3s 这段时间内路程的增量为（ ） A.18 B.8 C.10 D.12 【知识点：平均变化率】 解：B2.某质点A 沿直线运动的方程为221y x =-+，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为（ ） A.－4 B.－8 C.－6 D.6 【知识点：平均变化率】 解：C3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；（2）[-2，-1]；（3）[-1，2]；（4）[5，10] 【知识点：平均变化率】解：（1）(3)(1)431y f f x ∆-==∆-;（2）(2)(1)31y f f x ∆---==-∆-；（3）(2)(1)13y f f x ∆--==∆（4）(10)(5)155y f f x ∆-==∆. 4.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如右图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】 解：11(3)(0)13y f f x ∆-==∆；22(12)(6)0.46y f f x ∆-==∆. （三）课后作业 基础型 自主突破1.在平均变化率的定义中，自变量的增量满足（ ）A.0x ∆>B.0x ∆<C.0x ∆=D.0x ∆≠ 【知识点：平均变化率】 解：D2.物体的运动规律是()s s t =，物体在t 至t t +∆这段时间内的平均速度是（ ）A._st v t = B._s t v t ∆=∆ C._s v t ∆=∆ D.0t ∆→时，_s t v t ∆=∆解：C【知识点：平均变化率】 能力型 师生共研3.水经过水管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内的平均变化率. 【知识点：平均变化率】 解：(10)(0)1104y v v x ∆-==-∆. 4.已知函数()21f x x =+，g()2x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及g()x 的平均变化率.【知识点：平均变化率】解：在[-3-1]，上，(-1)(-3)22f f f x ∆-==∆;(-1)(-3)22g g g x ∆-==-∆; 在[05]，上，(5)(0)25f f f x ∆-==∆；(5)(0)25g g g x ∆-==-∆. 探究型 多维突破5.已知函数2()f x x x =-+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy. 【知识点：平均变化率】 解：-3x ∆+∵222(1)(1)32y x x x x -+∆=--+∆+-+∆=-∆+∆-,∴=∆∆xy-3x ∆+. 6.过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，则当0.1x ∆=时割线的斜率为 .【知识点：平均变化率】 解：3.311.3311(1.1,1.331), 3.310.1y Q k x ∆-===∆. （四）自助餐1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆≠ D.0x ∆= 【知识点：平均变化率】 解：C2.设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A.()0f x x +∆ B.()0f x x +∆ C.()0f x x ⋅∆ D.()()00f x x f x +∆- 【知识点：平均变化率】 解：D3.已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆∆等于（ ） A.4 B.4x C.42x +∆ D.()242x +∆ 【知识点：平均变化率】 解：C4.自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A.在区间[]01,x x 上的平均变化率 B.在0x 处的变化率 C.在1x 处的变化量 D.在区间[]01,x x 上的导数 【知识点：平均变化率】 解：A5.如果质点M 按规律23s t =+运动，则在一小段时间[]2,2.1中相应的平均速度是（ ） A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 【知识点：平均变化率】 解：B6.一质点运动方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内的平均速度是（ ） A.36t ∆+ B.36t -∆+ C.36t ∆- D.36t -∆- 【知识点：平均变化率】 解：D7.已知212s gt =(其中g 为重力加速度)，t 从3秒到3.1秒的平均速度是 . 【知识点：平均变化率】 解：3.05g8.已知函数32y x =-，当2x =时，yx∆=∆ . 【知识点：平均变化率】 解：2612yx x x∆=∆+∆+∆。
人教版九年级上册数学精品课件 第21章 一元二次方程 第1课时 传播问题、数字问题与平均变化率问题
解：设百位数字为 x，则十位数字为 x＋3，个位数字为 x＋(x＋3)＝ 2x＋3．根据题意，得 100x＋10(x＋3)＋2x＋3＝5(2x＋3)2＋12．解得 x1
＝2，x2＝35(不符合题意，舍去)．当 x＝2 时，x＋3＝5,2x＋3＝7．∴这个 三位数是 257．
• 12．(上海中考)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动 期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六 天总营业额的12%．
6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的 基础上将增加 6a%，每户物业管理费将会减少41a%．这样，参加活动的 这部分住户 6 月份总共缴纳的物业管理费比他们按原方式共缴纳的物业 管理费将减少158a%，求 a 的值．
• 解：(1)设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有
参与活动二：50 平方米住宅每户所交物业管理费为 1001－130a%元， 有 200(1＋2a%)户参加活动二；80 平方米住宅每户所交物业管理费为 1601－41a%元，有 50(1＋6a%)户参加活动二．由题意，得 1001－130a% ×200(1＋2a%)＋1601－14a%×50(1＋6a%)＝[200(1＋2a%)×100＋50(1 ＋6a%)×160]1－158a%．令 t＝a%，化简，得 t(2t－1)＝0，∴t1＝0(舍)， t2＝12，∴a＝50．答：a 的值为 50．
高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的平均变化率课件 新人教B版选修2-2
(3)平均变化率是指函数值的“增量”(即“改变量”)Δy与 相应的自变量的“增量”Δx的比，这也给出了平均变化率的 求法，可得平均变化率可正、可负，也可为零．
2．求函数平均变化率的步骤： 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0； (2)求函数的增量Δy＝f(x1)－f(x0)； (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0.当求函数在某点附近 的平均变化率时，可在函数图象上表示出来．
)
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
[答案] D
[解析] ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx， ∴ΔΔyx＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝－Δx＋3. 故选D.
求运动物体的平均速度
以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位：m)与 时间(单位：s)的关系为：s(t)＝v0t－12gt2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第一章
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本 方法．
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分 和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的 阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面 积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思 想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚 的论述．比如《庄子》一书中，记有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”．
二、平均速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，如图，从t0到t0＋ Δt这段时间内，物体的平均速度是v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝ΔΔst. 可见平均速度v0就是函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均变 化率．
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 引导学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 培养学生运用平均变化率解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点：平均变化率的计算方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究平均变化率的定义和计算方法。
2. 利用几何图示法，帮助学生理解平均变化率的意义。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件：平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 练习题：包括不同类型的题目，以便巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生理解为出发点，通过问题驱动、几何图示和实例分析等教学方法，让学生掌握平均变化率的定义、计算方法及其应用。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养学生的数学思维能力。
教学过程分为三个部分：1. 引入：通过实例引导学生关注变化率的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解平均变化率的定义、计算方法，并结合几何图示帮助学生理解。
3. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
在教学过程中，关注学生的学习情况，及时进行反馈和调整教学方法，以确保教学效果。
布置练习题，让学生在课后巩固所学知识。
六、教学步骤1. 引入：通过一个实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，引导学生关注变化率的概念。
2. 讲解：讲解平均变化率的定义，即物体在某段时间内的位移与时间的比值。
通过几何图示，如直线、曲线，帮助学生理解平均变化率的几何意义。
3. 计算：讲解平均变化率的计算方法，即求解位移关于时间的导数。
给出具体的计算示例，让学生跟随步骤进行计算。
4. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。
例如，分析物体在不间段的平均速度，或者计算物体在某段时间内的平均加速度。
北师大9年级上册2.6 第1课时 行程(或动点)问题及平均变化率问题
(1)小岛 D 与小岛 F 相距多少海里?
解：连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线.
A
北
东 D
∴DF∥AB，且 DF =
1 2
AB，
∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， B
FC
∴DF⊥BC，DF = 100 n mile.
(2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C
(5)若售价涨了 4 元，每斤利润为__5__元， 同时少买了 40 斤，销售量为_6_0__斤， 利润 w =_3_0_0__元__.
(6)若售价涨了 x 元，每斤利润为(_1__+_x_)_元， 同时少买了_1_0_x__斤，销售量为_(_1_0_0__-_1_0_x_)_斤， 利润 w =_(1__+_x_)_×__(_1_0_0_-__1_0_x_) _元___.
(100 - 10×2） w = (3 - 2 + 3)×
(100 - 10×3) w = (3 - 2 + 4)×
(100 - 10×4) w = (3 - 2 + x)× (100 - 10x)
单件利润 × 销售量 = 总利润 （售价-进价） × 销售量 = 总利润
涨价
售价
成本
单件利润
少卖量
销售量
当堂练习
1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产
量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( B )
A. 500(1 + 2x) = 720
B. 500(1 + x)2 = 720
C. 500(1 + x2) = 720
沪科版八年级数学下册第1课时 平均变化率与利润问题课件
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑. 依题意 1 + x + （1 + x）x = 81， （1 + x）2 = 81，x + 1 = 9 或 x + 1 = –9. 解得 x = 8 或 x = –10（舍去） 三轮感染后被感染的电脑台数为
（1 + x）2 +（1 + x）2 x =（1 + x）3 =（1 + 8）3 = 729 > 700.
答：平均每月降价 20%.
6. 某新华书店计划第一季度共发行图书 122 万册， 其中一月份发行图书 32 万册，二、三月份平均每月的 增长率相同. 求二、三月份各应发行图书多少万册？
解：设平均每月的增长率为 x. 依题意，32 + 32（1+x）+ 32（1 + x）2 = 122. 解得 x1 = 0.25，x2 = –3.25（舍去）. 二月份发行图书 32×（1 + 0.25）= 40（万册） 三月份发行图书 32×（1 + 0.25）2 = 50（万册）
A. 500（1 + 2x）= 720 B. 500（1 + x）2 = 720 C. 500（1 + x2）= 720 D. 720（1 + x）2 = 500
2. 受全球金融危机的影响，2015 年某家电商 城的销售额由第二季度的 800 万元下降到第四季 度的 648 万元，则该商城第三、四季度的销售额 平均下降的百分率为（ A ）
例 2 原来每盒 27 元的一种药品（如图）， 经两次降价后每盒售价为 9 元.求该药品两次降 价的平均降价率是多少？（精确到 1%）
解 设该种药品两次平均降价率是 x. 根据题意，得
高中数学 第一章 导数及其应用 第1课时 平均变化率教案 苏教版选修2-2(2021年整理)
江苏省丹阳市2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用第1课时平均变化率教案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省丹阳市2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用第1课时平均变化率教案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平均变化率【教学目标】1。
感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程； 2. 理解平均变化率的意义，会求函数在指定区间的平均变化率 【教学难点、重点】平均变化率的实际意义和数学意义 【教学过程】 一、问题情境1. 情境:现有南京市某年3月和4月某日最高气温记载：观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(形与数两方面） 问题2：如何量化曲线的陡峭程度？ 2。
学生活动① 曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。
② 由点B 上升到C 点，必须考察C B y y -的大小，但仅仅注意C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？③ 在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改(d)20月)变必定相对于另一个量的改变.二、知识要点1. 平均变化率的概念：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为1212)()(x x x f x f --，平均变化率是曲线的陡峭程度的“数量化"，或者说，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化".2。
2021年高中苏教版数学选修1-1名师导学：第3章 第1课时 平均变化率
第1课时平均变化率教学过程一、问题情境某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃“气温陡增”这一句生活用语用数学方法如何刻画?二、数学建构问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)[1]问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?[2]解通过争辩,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率:.概念理解1.具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用==,应留意分子、分母的匹配.2.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3回到问题1中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.25.从形的角度:比较斜率大小.[3]三、数学运用【例1】设函数y=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:(1)自变量的增量Δx;(2)函数的增量Δy;(3)函数的平均变化率.(见同学用书P41)[规范解答]解(1)Δx=1.1-1=0.1.(2)Δy=f(1.1)-f(1)=1.12-1-(12-1)=0.21.(3)==2.1[题后反思]求平均变化率时关键在于分清Δx与Δy分别指的是什么.变式甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用5年时间获利10万元,乙用5个月时间获利2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?[处理建议]同学争辩、推断,并且由同学给出理由或举出实例.[规范板书]解甲、乙获利的平均变化率分别为,,由于<,且甲、乙投入相同的资金,所以可以认为乙的经营成果较好.【例2】(教材第69页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见同学用书P42)[处理建议]可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让同学体会的含义.[规范板书]解函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2.函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2.函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2.函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.[题后反思]一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于斜率k.变式已知某质点的运动方程为s=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于5.(图3)【例3】如图,路灯距地面8m,一身高1.6m的人沿路灯下方的直路以84m/min的速度从A点走向B点,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)[处理建议]先由同学争辩,老师在同学中沟通,了解同学的思考过程,侧重于理解人影长度的变化速率的意义.。
推荐-高中数学北师大版选修1-1课件3.1.1平均变化率
知识梳理
【做一做 1】 已知函数 f(x)=2x2-1 的图像上一点(1,1)及邻近一
点(1+Δx,1+Δy),则ΔΔ������������等于(
)
A.4
B.4x
C.4+2Δx
D.4+2(Δx)2
解析:ΔΔ������������
=
������(1+������)-������(1) ������
=-������0(������01+������).
答案:-������0(������01+Δ������)
随堂演练
12345
4.已知 s=12gt2,t 从 3 s 到 3.1 s 的平均速度是 m/s2) 解析:ΔΔ������������ = 12������×3.102.1-12������×32=29.89(m/s).
=
3×62+1-(3×32+1) 3
=3×623-3×32=36-9=27(m/s).
反思求解平均速度方法就是把位移s看成时间t的函数,进而求出
s(t1),s(t2),
������
=
������(������2)-������(������1) ������2-������1
.
题型一
题型二
题型三
典例透析
答案:29.89 m/s
.(g 取 9.8
随堂演练
12345
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
解:在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0),
但������1(������0-Δ������)-������1(������0)
江苏省盐城市文峰中学高二苏教版数学选修1-1教案：第3章第1课时平均变化率
高中数学教教案第三章导数及其应用第 1课时均匀变化率教课目的：1. 感觉均匀变化率宽泛存在于平时生活之中，经历运用数学描绘和刻画现实世界的过程，领会数学的广博精湛以及学习数学的意义；2. 理解均匀变化率的意义，为后续成立刹时变化率和导数的数学模型供给丰富的背景.教课要点：均匀变化率的实质意义与数学意义教课难点：对生活现象作出数学解说教课过程：Ⅰ.问题情境（ 1）情境某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移时间图象如下图：（ 2）问题 1：“从问题 2：“AB 段与Ⅱ.建构数学均匀变化率 :A 到 B 的位移是多少？从BC 段哪一段速度较快？”B 到C 的位移是多少？”Ⅲ.数学应用例 1：某婴儿从出生到第12 个月的体重变化如下图个月与第 6 个月到第12 个月该婴儿体重的均匀变化率(见书籍.),试分别计算从出生到第3变式练习：水经过虹吸管冷静器甲中流向容器乙, t s 后容器甲中水的体积V t5e 0.1t (单位cm3),计算第一个 10s 内 V 的均匀变化率 .例 2：已知函数f x x 2,分别计算 f x 在以下区间上的均匀变化率:(1)1,3(2)1,2(3) 1,1.1(4)1,1.001变式练习：已知函数 f x 2x 1 , g x2x ,分别计算在区间3, 1, 0,5上f x 及 g x 的均匀变化率.Ⅳ.课时小结 :Ⅴ.讲堂检测Ⅵ.课后作业书籍 P59习题 2， 3，41.甲、乙两人投入同样的资本经营某商品，甲用 5 年时间挣到10 万元，已用 5 个月时间挣到 2 万元，怎样比较和评论甲、乙两人的经营成就？2. 已知函数f x x2x ,分别计算 f x 在以下区间上的均匀变化率:(1)1,3(2)1,2(3) 1,1.1(4)1,1.001。
北师大版高中数学选修2-2《变化的快慢与变化率》第一课时教案-新版
1变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。
二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。
教学难点：对平均速度的数学意义的认识三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
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高中数学教学案
第三章导数及其应用
第1课时平均变化率
教学目标：
1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，
体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 教学重点：
平均变化率的实际意义与数学意义
教学难点：
对生活现象作出数学解释
教学过程：
Ⅰ.问题情境
（1）情境
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
（2）问题1：“从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？”
问题2：“AB段与BC段哪一段速度较快？”
Ⅱ.建构数学
平均变化率:
Ⅲ.数学应用
例1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示(见书本),试分别计算从出生到第3 个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
变式练习：水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙, t s 后容器甲中水的体积()0.15t V t e -= (单位3
cm ),计算第一个10s 内V 的平均变化率.
例2：已知函数()2x x f =,分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率: (1)[]3,1 (2)[]2,1 (3)[]1.1,1 (4)[]001
.1,1
变式练习：已知函数()12+=x x f ,()x x g 2-=,分别计算在区间[]1,3--,[]5,0上 ()x f 及()x g 的平均变化率.
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P 59 习题2，3，4
1.甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，已用5个月 时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
2. 已知函数()x x x f +=2,分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率:
(1)[]3,1 (2)[]2,1 (3)[]1.1,1 (4)[]001
.1,1。