天津市六校静海一中杨村一中宝坻一中等2017_2018学年高二数学上学期期末联考试题文2_含答案 师生通用
2017-2018学年天津市五校期末数学试卷(理科)(含答案)
2016-2017学年天津市五校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中）高三（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A. {1，4}B. {0，1，4}C. {0，2}D. {0，1，2，4}2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x-2y的最小值为（）A. B. -3 C. 0 D. 13.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.已知ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则AB=.A. B. C. D. 35.设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为单调递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP．设=x+y（x，y∈R），则x，y的值分别为（）A. B. C. D.8.已知f（x）=（x2-3）e x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）-t1][f（x）-t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A. （-2e，0）B. （-2e，0]C. [-2e，6e-3]D. （-2e，6e-3）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1-2i）（2+ai）=b-2i，则a+b的值为______ ．10.在的展开式中，x-3的系数为______ ．（用数字作答）11.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______ ．12.在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为______ ．13.在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为______．14.已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（Ⅱ）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A-PC-D的余弦值．18.已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．20.已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x0））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解析】解：∵集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选D．2.【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x-2y得：y=x-z，平移直线y=x，结合图象直线过A（，）时，z最小，z的最小值是：-，故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=-1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=-1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环次数不多或由规律时，常采用模拟运行程序的方法来解决，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且ABC的面积为，则×sin C=，解得sin C=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos C=1+4-2×1×=3，AB=，则A是最大角，cos A=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos C=1+4+2×1×=7，则AB=，故选：B．根据题意和三角形的面积公式求出sin C的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C，再分别利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件．本题考查余弦定理及其变形，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围，考查化简、计算能力．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列-1，-2，-4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立，若a n=-1（）n-1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.6.【答案】A【解析】解：双曲线的焦点的渐近线的距离为2，可得b=2；双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，可得，解得a=4．所求双曲线方程为：．故选：A．利用焦点的渐近线的距离为2，双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，求出a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．7.【答案】C【解析】【分析】由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ+（1-λ），以及E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，根据平面向量基本定理即可得，解得λ或μ，再根据平面向量基本定理即可求出x，y的值．本题考查共线向量基本定理，以及向量的减法，以及平面向量基本定理，属于中档题【解答】解：由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ=λ（-），∴-==λ（-），∴=λ+（1-λ），∵AD：DB=1：2，∵=，∴=λ+（1-λ），由E为AC中点，由E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，∴，解得∴=+，∵=x+y（x，y∈R），∴x=，y=，故选：C.8.【答案】D【解析】解：f（x）=（x2-3）e x的导数为f′（x）=（x2+2x-3）e x=（x-1）（x+3）e x，当-3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1或x＜-3时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）的极小值为f（1）=-2e，极大值为f（-3）=6e-3，作出y=f（x）的图象，如图：当t1＞0时，关于x的方程[f（x）-t1][f（x）-t2]=0恰好有5个实数根，即为f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5个实数根，若t1＞6e-3，f（x）=t1只有一个实根，不合题意；若0＜t1＜6e-3，f（x）=t1有三个实根，只要-2e＜t2≤0，满足题意；若t1=6e-3，f（x）=t1有两个实根，只要0＜t2＜6e-3，满足题意；综上可得，t2的范围是（-2e，6e-3）．故选：D．求出f（x）的导数，单调区间和极值，画出f（x）的大致图象，讨论t1的范围，确定t2的范围，通过图象即可得到所求范围．本题考查函数和方程的转化思想，考查数形结合思想方法运用，以及导数的运用：求单调区间和极值，属于中档题．9.【答案】8【解析】解：∵（1-2i）（2+ai）=（2+2a）+（a-4）i=b-2i，∴，解得．则a+b的值为：8．故答案为：8．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题．10.【答案】-24【解析】解：的展开式的通项公式为T r+1=•（4x2）6-r•（-）r=（-1）r•46-r••x12-3r，令12-3r=-3，解得r=5，∴展开式中x-3的系数为-24．故答案为-24．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-3，求出r的值，即可求得x-3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11.【答案】【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×4=4，底面周长为：2+4+=6+2，故棱柱的表面积S=2×4+4×（6+2）=，故答案为：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．12.【答案】4-ln3【解析】【分析】本题考查封闭图形的面积的计算，考查定积分知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+，即可得出结论．【解答】解：由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+=（3x-ln x）+2=4-ln3．故答案为4-ln3．13.【答案】【解析】解：∵曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），∴曲线C1的普通方程为x2-y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a＞1，∵C1恰好经过C2的焦点（，0），∴a2-1=4，解得a=．故答案为：．求出曲线C1的普通方程为x2-y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a＞1，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程的互化及椭圆、双曲线性质的合理运用．14.【答案】（-∞，e）【解析】解：，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，就是分段函数的图象与y=kx的图象只有一个交点，如图：显然k小于直线OA的斜率时满足题意，y=e x，x≥1，导函数为y′=e x，是增函数，当x=1时，函数取得最小值，此时OA的斜率最小，为e，可得k＜e．故答案为（-∞，e）．画出分段函数与y=kx的图象，利用方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，判断k的范围即可．本题考查函数的零点的求法，导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查学生的计算能力．15.【答案】解：（1）函数=，…（4分）∴f（x）的最小正周期为π；（2）当时，2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为-1+a+1=2，∴a=2．【解析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+∈[，]，利用f（x）的最小值为2，求a的值．本题考查二倍角、辅助角公式，化简函数，考查函数的性质，属于中档题．16.【答案】解：（I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A=“恰有1位女棋手”，则，…（4分）所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为．…（5分）（II）随机变量X的所有可能取值为0，2，4．其中，，．…（9分）所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望．…（13分）【解析】（Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）∴=（2，4，0），=（0，0，λ），=（2，-1，0），∴=4-4+0=0，．∴DE⊥AC，DE⊥AP，且PA∩AC=A，∴ED⊥平面PAC，∵ED⊂平面PDE，平面PDE⊥平面PAC．解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一个法向量是=（2，-1，0），∵△PAB为等腰直角三角形，故PA=2，．设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则===，∴直线PE与平面PAC所成角的正弦值为．（ii）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），=（2，2，0），=（0，-2，2），则，令x=1，则=（1，-1，-1），∴cos＜＞==．∵二面角A-PC-D的平面角是锐角，∴二面角A-PC-D的余弦值为．【解析】（1）由AB⊥PA，AB⊥AD，建立建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PDE⊥平面PAC．（2）（i）求出平面PAC的一个法向量和，利用向量法能求出直线PE与平面PAC所成角的正弦值．（ii）求出平面PCD的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：（1）当n≥2时，，，两式相减：a n=A n-A n-1=2n-1；当n=1时，a1=A1=1，也适合a n=2n-1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n-1；（2）由题意知：，C n=c1+c2+…+c n，，，两式相减可得：，即，，.（3），显然，即b n＞2，B n=b1+b2+…+b n＞2n；另一方面，，即，，…，，，即：2n＜B n＜2n+2.【解析】本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题．（1）当n≥2时，利用a n=A n-A n-1可得a n=2n-1，再验证n=1的情况，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意知：，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和C n；（3）利用基本不等式可得＞，可得B n=b1+b2+…+b n ＞2n；再由b n=，累加可，于是可证明：．19.【答案】解：（1）由已知得，解得．所以椭圆C的方程为．（2）由题意知A1（-2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），则，得．且由点P在椭圆上，得．若以MP为直径的圆过点A2，则，所以，因为点P是椭圆C上不同于A1，A2的点，所以x0≠±2．所以上式可化为，解得m=14．【解析】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．（1）由已知列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．（2）由题意知A1（-2，0），A2（2，0），设P（x0，y0），求出M坐标，由点P在椭圆上，以MP为直径的圆过点A2，则，求出x0≠±2．然后求解m即可．20.【答案】解法一：（1）f'（x）=x2-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2-2x+c≥0所以（x2-2x+c）min≥0，而x2-2x+c在x=1处取得最小值，所以1-2+c≥0，c≥1；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，所以，所以c=-α2+2α，又因为y=f（x）-m有不同的零点α，β，所以f（α）=f（β），即，整理得：，所以2α+β=3．…（9分）（3）满足条件的实数c存在，由f'（x）=x2-2x+c，知过A（x0，f（x0））点与曲线相切的直线l1为：y=f'（x0）（x-x0）+f（x0），且k1=-2x0+c，将y=f'（x0）（x-x0）+f（x0）与y=f（x）联立即得B点得横坐标，所以f'（x0）（x-x0）+f（x0）=f（x）即：整理得：由已知x≠x0，所以x+2x0-3=0所以x=3-2x0，即B点的横坐标为3-2x0所以过点B的曲线的切线斜率为：===4k1+3-3c因此当且仅当 3-3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1即存在实数c=1，使为定值．…（14分）解法二：（1）f'（x）=x2-2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2-2x+c≥0，所以c≥-（x2-2x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[-（x2-2x）]max，即[-（x2-2x）]max=1，故c的取值范围是[1，+∞）；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，且y=f（x）-m有两个零点α，β（α≠β），所以f（x）-m=0的三个实数根分别为α，α，β，由根与系数的关系得；…（9分）（3）满足条件的实数c存在，因为f'（x）=x2-2x+c，所以过A（x0，f（x0））点且与曲线C相切的直线l1为：y=f'（x0）（x-x0）+f（x0），其中．设l1与C交于另一点B（x1，y1），则x0，x0，x1必为方程f（x）=f′（x0）（x-x0）+f （x0）的三个实数根，由f（x）=f′（x0）（x-x0）+f（x0）得，因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以，所以x1=3-2x0，所以===4k1+3-3c．因此当且仅当 3-3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1，即存在实数c=1，使为定值．…（14分）【解析】（1）求出函数的导数，根据x=1是函数的最小值点，得到关于c的不等式，解出即可；（2）求出c=-α2+2α，根据f（α）=f（β）得：，从而求出α和β的关系；（3）求出函数f（x）的导数，得到x+2x0-3=0，即B点的横坐标为3-2x0所以过点B的曲线的切线斜率，根据k1，k2的值，作商即可．（1）求出函数的导数，分离参数c，根据函数的单调性求出c的范围即可；（2）根据根与关系判断即可；（3）分别求出k1，k2的值，作商即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及直线的斜率问题，考查转化思想，是一道综合题．。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(精品解析)
2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）A. 16B. 15C. 14D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列的公差为2，，根据，解得，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差为2，前项和为，因为，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（）A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“”的否定是“”D. 是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据等比数列的性质，可判定D正确.对于A中，若，则“”的充分条件是“且【详解】由题意，对于A中，若，则“”的充分条件是“且”，所以是错误的；对于B中，若，则“”的充要条件是“且”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以是正确的；对于D中，在是等比数列，，例如当且时，此时为单调递增数列，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得和，根据和椭圆的定义可得，从而求得，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线与轴的交点，又直线过椭圆的左焦点，所以，即，因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，且，所以，即，又由，所以椭圆的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点E 到平面的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6.已知，，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 7.已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）A. 或B. 或C. 或D.或【答案】C 【解析】 【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解.【详解】由题意，令，当时，，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，所以，所以函数为定义域上的奇函数，所以函数在上单调递增，又因为，所以，且.所以当或时，，当或时，，又由，即，即，所以或所以不等式的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得是的中位线，得到，因为，所以，，又由抛物线的定义可得，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，因为O为的中点，又由，则点为的中点，所以是的中位线，所以,因为，所以，又，所以，设点，则由抛物线的定义可得，所以，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，即实数的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________. 【答案】【解析】由已知得，两式相减可得，，，或（舍去），故答案为.11.在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.【解析】【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知，，且，则的最小值等于__________.【答案】【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为___________.【答案】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在无变号零点，即在上无变号零点，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分）15.数列的前项和为，已知，. 其中（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意.（2）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有解得.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【解析】【分析】（Ⅰ）由，是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（Ⅲ）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.【详解】（1）证明：∵，是的中点，∴，又平面，∴，∵，∴平面，∴．（2）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：， ，，， ，，，，，设平面的一个法向量，则：，取，， ，所以，设平面的一个法向量，则取， ，，所以，．故平面与平面所成的二面角的正弦值为． （3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且，，∴，∴， ，，∴，若直线与平面所成的的角为，则 ，解得， 所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列满足，，其中.（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.试题解析：（1）证明：，所以数列是等差数列，，因此，由.（2）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为，与椭圆联立，得，，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由,可设的方程为，与椭圆联立方程得点的横坐标，由，结合基本不等式即可求出最小值. 试题解析：（1）∵左顶点为∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得化简得，，则当时，，∴∵点为的中点∴点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立∴即∴定点的坐标为.（3）∵∴的方程可设为，由得点的横坐标为由，得，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【答案】（1．（2）答案不唯一，具体见解析（3）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；（Ⅱ）由题意，得，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.【详解】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．验证：当时，在处取得极大值．（2）解：因为所以．①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．（3）证明：当时，，因为，所以，即，所以．令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。
2017-2018学年天津市静海县第一中学高二上学期期末数学文试题(解析版)
静海一中2017-2018第一学期高二数学（文）期末终结性检测试卷第Ⅰ卷基础题（共136 分）一、选择题：（每小题5分，共40分）1. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，所以答案选择B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.视频2. 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A. 9B. 19C. 21D. －11【答案】A【解析】，，，半径为，圆心距为，由于两圆外切，故，解得.所以选.3. 如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )A. y2＝9xB. y2＝6xC. y2＝3xD. y2＝x【答案】C【解析】试题分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选C．4. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )A. 2或－B. －2C. －2或－D.【答案】D【解析】，依题意有，解得，故.所以选.5. 已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值是（)A. －3B. －2C. －1D. －4【答案】C【解析】圆心为，圆心到直线距离为，故圆的半径为，即，故选. 6. 设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵过的直线交椭圆于P，Q两点，若，，∴直线PQ过右焦点且垂直于x轴，即为等边三角形，为直角三角形，∵，又，，由勾股定理，得，即，∴考点：椭圆的简单性质7. 若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由题，令：解得；。
天津市七校(静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2018～2019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（）A. 16B. 15C. 14D. 13【答案】B【解析】【分析】由题意，等差数列的公差为2，，根据，解得，即可求解.【详解】由题意，等差数列的公差为2，前项和为，因为，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.下列叙述中正确的是（）A. 若，则“”的充分条件是“”B. 若，则“”的充要条件是“”C. 命题“”的否定是“”D. 是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件【答案】C【解析】【分析】由题意，根据二次函数的性质，可判定A不正确；根据不等式的性质，可判定B不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定C正确；根据等比数列的性质，可判定D正确.对于A中，若，则“”的充分条件是“且【详解】由题意，对于A中，若，则“”的充分条件是“且”，所以是错误的；对于B中，若，则“”的充要条件是“且”，所以不正确；对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”，所以是正确的；对于D中，在是等比数列，，例如当且时，此时为单调递增数列，所以不正确.故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记二次函数的性质，不等式的性质以及等比数列的单调性等知识点，合理、准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得和，根据和椭圆的定义可得，从而求得，进而可求解椭圆的标准方程.【详解】由题意，直线与轴的交点，又直线过椭圆的左焦点，所以，即，因为直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为，且，所以，即，又由，所以椭圆的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中认真审题，合理利用椭圆的定义和几何性质求解得值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，取得平面的法向量为，即可求解点E到平面的距离，得到答案.【详解】如图所示，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，所以点E到平面的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了空间向量在的距离中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，熟练应用平面的法向量和距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.7.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由题意，令，利用函数的奇偶性的定义和导数求得函数单调性，又由，即，即，即可求解.【详解】由题意，令，当时，，所以函数在上单调递增，又由函数为偶函数，所以，所以函数为定义域上的奇函数，所以函数在上单调递增，又因为，所以，且.所以当或时，，当或时，，又由，即，即，所以或所以不等式的解集为或，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，利用导数研究函数的单调性及应用，其中解答中根据题意合理构造函数，利用导数得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，求得是的中位线，得到，因为，所以，，又由抛物线的定义可得，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为，则的坐标为，因为抛物线为，所以为抛物线的焦点，因为O为的中点，又由，则点为的中点，所以是的中位线，所以,因为，所以，又，所以，设点，则由抛物线的定义可得，所以，过点F作的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，得，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准及简单的几何性质的应用，以及抛物线的定义的应用，其中解答中合理应用圆锥曲线的几何性质，得出关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9.已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解【详解】由题意，方程表示椭圆，则满足，解得且，即实数的取值范围为且.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，其中解答中根据椭圆的标准方程，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.【答案】【解析】由已知得，两式相减可得，，，或（舍去），故答案为.11.在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.【详解】由题意，设，建立空间的一个基底，在正四面体中，所以.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算问题，其中解答中建立适当的空间基底，熟记向量的表示，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知，，且，则的最小值等于__________.【答案】【解析】【分析】由题意，根据题设条件，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，且，则，当且仅当，即时等号成，所以的最小值等于.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意，合理恒等变换，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13.设抛物线（）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义，化简得到直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系求得，求得，求得的长，利用面积公式，即可求解.【详解】如图所示，由抛物线的定义可知，则，则,所以直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立方程组，整理得，所以，所以，则，所以的面积为，解得.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及抛物线的几何性质的应用问题，其中解答中熟练应用抛物线的定义，求得直线的方程，利用抛物线焦点弦的性质，求得的长是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用.14.已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据题意是函数的唯一的一个极值点，得出在无变号零点，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，因为是函数的唯一的一个极值点，所以是导函数的唯一根，所以在无变号零点，即在上无变号零点，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中把是函数的唯一的一个极值点，转化为在无变号零点，构造新函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，以及推理与计算能力，属于中档试题.三、解答题（共6小题，共80分）15.数列的前项和为，已知，. 其中（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1)由，可得，即，从而可得结论；（2）由（1）知，，可得，利用错位相减法，结合等比数列求和公式，即可得结果.【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.【点睛】本题主要考查等比数列的定义和等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.16.已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，由是函数的极值点，得到，求得，再利用导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）由，得，令，又由方程在上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，求得函数的导数时，取得极值，故解得.经检验符合题意.（2）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有解得.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线方程，以及利用导数研究方程的根的问题，其中解答中熟记导数的几何意义求解切线的方程，以及把方程的根转化为在上恰有两个不同实数根，利用导数取得函数的单调性和最值，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【解析】【分析】（Ⅰ）由，是的中点，得到，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．（Ⅱ）以为原点，分别以为轴，如图建立坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（Ⅲ）设且，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.【详解】（1）证明：∵，是的中点，∴，又平面，∴，∵，∴平面，∴．（2）以为原点，分别以，为，轴，如图建立坐标系．则：，，，，，，，，，设平面的一个法向量，则：，取，，，所以，设平面的一个法向量，则取，，，所以，．故平面与平面所成的二面角的正弦值为．（3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且，，∴，∴，，，∴，若直线与平面所成的的角为，则，解得，所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.18.已知数列满足，，其中.（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.【解析】试题分析：（1）利用递推公式即可得出为一个常数，从而证明数列是等差数，再利用等差数列的通项公式即可得到，进而得到；（2）利用（1）的结论，利用“裂项求和”即可得到，要使得对于恒成立，只要，即，解出即可.试题解析：（1）证明：，所以数列是等差数列，，因此，由.（2）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）．【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为，与椭圆联立，得，，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由,可设的方程为，与椭圆联立方程得点的横坐标，由，结合基本不等式即可求出最小值.试题解析：（1）∵左顶点为∴又∵∴又∵∴椭圆的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得化简得，，则当时，，∴∵点为的中点∴点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，∴恒成立∴即∴定点的坐标为.（3）∵∴的方程可设为，由得点的横坐标为由，得，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：.【答案】（1）．（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；（Ⅱ）由题意，得，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.【详解】（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得．验证：当时，在处取得极大值．（2）解：因为所以．①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减．（3）证明：当时，，因为，所以，即，所以．令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．所以，即，所以或．因为为正实数，所以．当时，，此时不存在满足条件，所以．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。
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2017-2018学年天津一中高一（下）期末化学试卷2017-2018学年天津一中高二（下）期末化学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．62．（3分）设函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2（x+）（x∈R），则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数3．（3分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增4．（3分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．95．（3分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=70°B．a=60，c=48，B=60°C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°6．（3分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）7．（3分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．8．（3分）已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=π9．（3分）设函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，0]C．[0，2]D．[2，4]10．（3分）已知函数f（x）=2x+log2x，g（x）=2﹣x+log2x，h（x）=2x•log2x﹣1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）已知a=log54．b=（log53）2，c=log45，则a，b，c从小到大的关系是．12．（4分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．13．（4分）已知tan（α+β）=，tan（）=﹣1，则tan（）=．14．（4分）在△ABC中的内角A、B、C所对的边a、b、c，a=4，b=5，c=6，则=．15．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．16．（4分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题（共4小题，满分46分）17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值的最小值；（2）若f（x）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．18．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．19．（13分）已知函数f（x）=（1+）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）（1）当m=0时，求f（x）在区间[，]上的取值范围；（2）当tana=2时，f（a）=，求m的值．20．（13分）在△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记．（1）求A的大小；（2）当t取最大值时，求tan∠ACD的值．2017-2018学年天津一中高一（上）期末数学试卷答案与解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】利用两角和公式把原式的分母展开后化简，把tanα的值代入即可．【解答】解：==2tanα=6故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．考查了基础知识的运用．2．（3分）设函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2（x+）（x∈R），则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【分析】利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解析式，进而求出其周期，并判断其奇偶性，可得答案．【解答】解：∵f（x）=sin2（x+）﹣cos2（x+）=﹣cos2（x+）=﹣cos（2x+）=sin2x，∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T=π，又∵f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），故f（x）为奇函数．故函数f（x）是最小正周期为π的奇函数．故选：A．【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性，三角函数的奇偶性，其中利用倍角公式及诱导公式，化简函数的解析式，是解答本题的关键．3．（3分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．4．（3分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．9【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．5．（3分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=70°B．a=60，c=48，B=60°C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°【分析】A、由A和C的度数，利用三角形内角和定理求出B的度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，c及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意；C、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意；D、由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．【解答】解：A、∵A=45°，C=70°，∴B=65°，又b=10，∴由正弦定理==得：a==，c=，此时三角形只有一解，不合题意；B、∵a=60，c=48，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=3600+2304﹣2880=3024＞0，∴此时三角形有一解，不合题意；C、∵a=7，b=5，A=80°，∴由正弦定理=得：sinB=，又b＜a，∴B＜A=80°，∴B只有一解，不合题意；D、∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理=得：sinB==＞，∵a＜b，∴45°=A＜B，∴B有两解，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．6．（3分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA 的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7．（3分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据图象变换规律，把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2（x++φ））的图象，要使所得到的图象对应的函数为奇函数，求得φ的值，然后函数f （x）在上的最小值．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin（2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，三角函数的值域的应用，属于中档题．8．（3分）已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=π【分析】函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ﹣，由此可求得a=tan∅=tan（kπ﹣）=﹣，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．【解答】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又图象关于对称，∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ﹣，由此可求得a=tan∅=tan（kπ﹣）=﹣，∴函数y=﹣sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=﹣）其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，即x=kπ+﹣θ又tanθ=﹣，故θ=k1π﹣，k1∈z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k﹣k1）π++=（k﹣k1）π+，k﹣k1∈z，当k﹣k1=1时，对称轴方程为x=故选：A．【点评】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．9．（3分）设函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A．[﹣4，﹣2]B．[﹣2，0]C．[0，2]D．[2，4]【分析】将函数f（x）的零点转化为函数g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的交点，在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象，数形结合对各个区间进行讨论，即可得到答案【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象如下图示：由图可知g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，由图可知函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考查，对能力要求较高，属较难题．函数F（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，即函数f（x）的图象与函数g（x）的图形有两个交点．10．（3分）已知函数f（x）=2x+log2x，g（x）=2﹣x+log2x，h（x）=2x•log2x﹣1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：f（x）=2x+log2x=0，可得log2x=﹣2x，g（x）=2﹣x+log2x=0，可得log2x=﹣2﹣x，h（x）=2x log2x﹣1=0，可得log2x=2﹣x，∵函数f（x），g（x），h（x）的零点分别为a，b，c，作出函数y=log2x，y=﹣2x，y=﹣2﹣x，y=2﹣x的图象如图，由图可知：a＜b＜c．故选：D．【点评】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）已知a=log54．b=（log53）2，c=log45，则a，b，c从小到大的关系是b＜a＜c．【分析】根据对数的性质进行估算即可．【解答】解：∵log45＞1，0＜log54＜1，0＜log53＜1，∴log54＞log53＞（log53）2，即b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c【点评】本题主要考查对数值的大小比较，根据对数的性质进行估算是解决本题的关键．12．（4分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．13．（4分）已知tan（α+β）=，tan（）=﹣1，则tan（）=5．【分析】由题意利用两角差的正切公式，求得tan（）的值．【解答】解：∵已知tan（α+β）=，tan（）=﹣1，∴tan（）===5，故答案为：5．【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．14．（4分）在△ABC中的内角A、B、C所对的边a、b、c，a=4，b=5，c=6，则=1．【分析】由已知及正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵a=4，b=5，c=6，∴======1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．==，化【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．==bc=，化为bc=24，∵S△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（4分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（﹣，+）．【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（共4小题，满分46分）17．（10分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值的最小值；（2）若f（x）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【分析】（1）直接利用三角函数关系是的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．（2）利用整体的角的恒等变换求出结果．【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．=，=，所以函数的最小正周期为：．由于x∈[0，]，则：，所以函数的最大值2，函数的最小值1．（2）由于f（x）=，所以：，则：，=+，=，=【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，角的恒等变换的应用．18．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）设则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故cosA=﹣，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=cosB+sinB=sin（60°+B）故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．【点评】本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．19．（13分）已知函数f（x）=（1+）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）（1）当m=0时，求f（x）在区间[，]上的取值范围；（2）当tana=2时，f（a）=，求m的值．【分析】（1）当m=0时，利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为+sin（2x﹣），再根据x的范围，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[，]上的取值范围．（2）由tana=2时，f（a）=，利用同角三角函数的基本关系求得sin2a=，cos2a=．化简tan（a）等于，可得=，由此解得m的值．【解答】解：（1）当m=0时，函数f（x）=（1+）sin2x=•sin2x=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x﹣）．∵≤x≤，∴0≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，0≤f（x）≤，故f（x）在区间[，]上的取值范围为[0 ，]．（2）∵当tana=2时，f（a）=，∴sin2a=，cos2a=．再由f（a）=（1+）sin2a+msin（a+）sin（a﹣）=sin2a+m（sin2a﹣cos2a ）=，可得=，解得m=﹣2．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定于域和值域，属于中档题．20．（13分）在△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记．（1）求A的大小；（2）当t取最大值时，求tan∠ACD的值．【分析】（1）直接利用已知条件，对三角函数的关系式进行恒等变换，进一步求出结果．（2）利用（1）的结论，进一步利用已知条件和正弦定理建立联系，最后求出最值．【解答】解：（1）因为sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，所以sinB=sinC﹣sin（A﹣B），即sinB=sin（A+B）﹣sin（A﹣B），整理得sinB=2cosAsinB．又sinB≠0，所以，即．（2）设BD=x，∠BAD=θ，，则DC=2x，sinB=tsinθ．由正弦定理得AD=tx，．又，由，得．因为，所以，=，=．因为，所以．所以当，即时，t取得最大值，此时，所以，．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用及函数的最值问题．2017-2018学年天津一中高一（下）期末化学试卷一、选择题（每小题有1个正确答案，每题2分）1．（2分）下列有关物质性质与用途具有对应关系的是（）A．NaHCO3受热易分解，可用于制胃酸中和剂B．SiO2熔点高硬度大，可用于制光导纤维C．Al2O3是两性氧化物，可用作耐高温材料D．SO2具有还原性，微量的SO2可用作葡萄酒中的抗氧化剂2．（2分）下列说法错误的是（）A．蔗糖和麦芽糖均为双糖，互为同分异构体B．油脂为天然高分子化合物C．植物油含不饱和脂肪酸酯，能使Br₂/CC l4褪色D．淀粉和纤维素水解的最终产物均为葡萄糖3．（2分）以下是中华民族为人类文明进步做出巨大贡献的几个事例，运用化学知识对其进行的分析不合理的是（）A．四千余年前用谷物酿造出酒和酯，酿造过程中只发生水解反应B．商代后期铸造出工艺精湛的后（司）母戊鼎，该鼎属于铜合金制品C．汉代烧制出“明如镜、声如磬”的瓷器，其主要原料为黏土D．屠呦呦用乙醚从青蒿中提取出对治疗疟疾有特效的青蒿素，该过程包括萃取操作4．（2分）已知反应：C （s）+O2（g）=CO2（g）△H1CO2（g）+C（s）=2CO（g）△H2 2CO（g）+O2（g）=2CO2（g）△H32Cu（s）+O2（g）=2CuO （s）△H4CO（g）+CuO （s）=CO2（g）+Cu（s）△H5（）A．△H1＞0，△H3＜0 B．△H2=△H1﹣△H3C．△H2＜0，△H4＞0 D．△H5=△H1+△H45．（2分）下列实验方案不能达到目的是（）A．用裂化汽油萃取碘水中的碘B．用水鉴别苯、四氯化碳、乙醇三种无色液体C．用如图装置验证Na 和水反应是否为放热反应D．往酸性KMnO4溶液中加入乙醇，验证乙醇的还原性6．（2分）下列关于资源综合利用和环境保护的化学方程式与工业生产实际不相符的是（）A．海水提溴时用SO2吸收Br2蒸气：SO2+Br2+2H2O=H2SO4+2HBrB．将煤气化为可燃性气体：C（s）+H2O （g）CO（g）+H2（g）C．用电解法从海水中提取镁：2MgO（熔融）2Mg+O2↑D．燃煤时加入CaCO3脱硫：2CaCO3+2SO2+O22CaSO4+2CO27．（2分）在生成和纯化乙酸乙酯的实验过程中，下列操作未涉及的是（）A．B．C．D．8．（2分）下列各组物质的相互关系描述正确的是（）A．H2、D2和T2互为同素异形体B．和互为同分异构体C．乙烯和环己烷互为同系物D．（CH3）2CHC2H5和CH3CH2CH（CH3）2属于同种物质9．（2分）下列有关从海带中提取碘的实验原理和装置能达到实验目的是（）A．灼烧碎海带B．过滤海带灰的浸泡液C．制备用于氧化浸泡液中I﹣的Cl2D．吸收氧化浸泡液中I﹣后的Cl2尾气10．（2分）N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）A．7.8g Na2O2中所含阴、阳离子总数目为0.4N AB．22.4 L（标准状况）氩气含有的质子数为18N AC．某密闭容器盛有0.1molN2和0.3molH2，在一定条件下充分反应，转移电子的数目为0.6N A D．1.0 mol CH4与Cl2在光照下反应生成的CH3Cl 分子数为1.0N A11．（2分）下列有关叙述能说明非金属元素M 比N 的非金属性强的是（）①M 原子比N 原子容易得到电子；②单质M 跟H2反应比N 跟H2反应容易得多③气态氢化物水溶液的酸性H m M＞H n N；④氧化物对应水化物的酸性H m MO x＞H n NO y；⑤熔点M＞N；⑥M 单质能与N 的氢化物反应生成N 单质；⑦M 原子在反应中得到的电子数比N 原子在反应中得到的电子数少；⑧M 的最高正价比N 的最高正价高A．②③④⑤B．①②③⑤C．①②⑥D．全部12．（2分）下列说法中，正确的是（）A．非金属元素之间只能形成共价化合物B．第IA族元素的金属性一定比IIA族元素的金属性强C．短周期中，同周期元素的离子半径从左到右逐渐减小D．非金属元素的气态氢化物还原性越强，对应元素的最高价含氧酸酸性越弱13．（2分）用下列装置进行实验，能达到相应实验目的是（）A．可用于吸收多余的NOB．可用于检验SO2的漂白性C．可用于加快反应产生H2的速率D．可用于测定CO2的生成速率14．（2分）以淀粉为基本原料可制备许多物质，如：下列有关说法中正确的是（）A．淀粉是糖类物质，有甜味，与纤维素互为同分异构体B．反应③是消去反应、反应④是加聚反应、反应⑤是取代反应C．乙烯、聚乙烯分子中均含有碳碳双键，均可被酸性KMnO4溶液氧化D．在加热条件下，可用银氨溶液将鉴别葡萄糖和乙醇15．（2分）根据下列实验操作和现象所得到的结论正确的是（）A．A B．B C．C D．D16．（2分）如图所示装置中，观察到电流计指针偏转；M棒变粗；N棒变细，由此判断表中所列M、N、P物质，其中可以成立的是（）A．A B．B C．C D．D17．（2分）下列有关氮元素的单质及其化合物的说法错误的是（）①氮气与氧气在放电的条件下可直接生成NO2②铵盐都不稳定，受热分解都生成氨气③向Fe（NO3）2溶液中滴加稀盐酸，无明显的变化④实验室加热氯化铵固体，用碱石灰除去氯化氢的方法制备氨气．A．①③④B．①③C．①④D．①②③④18．（2分）在下列变化过程中，既有离子键被破坏又有共价键被破坏的是（）A．烧碱熔化B．硫酸氢钠溶于水C．将HCl 通入水中D．将NH3通入水中19．（2分）下列热化学方程式及有关应用的叙述中，正确的是（）A．甲烷的燃烧热△H=890.3kJ/mol，则甲烷燃烧的热化学方程式可表示为：CH4（g）+2O2（g）═CO2（g）+2 H2O （g）△H=890.3kJ/molB．已知强酸与强碱在稀溶液里反应的中和热△H=57.3kJ/mol，则H2 SO4（aq）+Ba（OH）（aq）=BaSO 4（s）+H2 O（l）△H=57.3kJ/mol2C．500℃、30MPa 下，将0.5mol N2和 1.5mol H2置于密闭的容器中充分反应生成NH3，放热19.3kJ，其热化学方程式为：N2（g）+3 H2（g）2NH3（g）△H=38.6kJ/mol D．已知25℃、101KPa 条件下：4 Al（s）+3O2（g）=2 Al2O3（s）△H=284.9kJ/mol4 Al（s）+2O3（g）=2 Al2O3（s）△H=3119.1kJ/mo l，则O2比O3稳定20．（2分）研究表明，氮氧化物和二氧化硫在形成雾霾时与大气中的氨有关（如图所示）。
天津市静海县一中2017-2018学年高二上学期期末终结性检测数学(理)试卷
静海一中2017-2018第一学期高二理科数学期末终结性检测试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（134分）和第Ⅱ卷提高题（16 分）两部分，共150分，考试时间为120分钟。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
第Ⅰ卷 基础题（共134分）一、选择题: （每小题5分，共40分）1.设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α⊂⊥m m l ,，则α⊥l B ．若m l l //,α⊥，则α⊥m C ．若αα⊂m l ,//，则m l // D ．若αα//,//m l ，则m l //2.已知方程11222=+-+m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,(--∞B ．),2(∞+-C ．)23,(--∞),1(∞+-⋃ D ．)1,23()23,2(--⋃-- 3.设a 为实数，直线1:1=+y ax l ，a ay x l 2:2=+，则“21//l l ” 是“1-=a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，090=∠ABC ，点F E ,分别是棱1BB AB 和的中点，当二面角B AA C --11为45时，直线EF 和1BC 所成的角为（ ）A. 45B. 60C. 90D.1205.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D. 15-6．已知21F F ，为双曲线14522=-y x 的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则2AF AP +的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 57．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,()0,(21c F c F ，-，若am c =2且22222c m n +=，则椭圆的离心率是( )A.41 B. 21 C. 33 D. 22 8．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2=∙ (其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B .1728C ．3 D.10 二、填空题：（每小题5分，共30分）9．命题"42"2≥≥∀x x ，则的否定是 .10．若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是 . 11. 有下列四个命题：①命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ②“若1=xy ，则y x ,互为倒数”的逆命题；③命题“若B B A =⋂，则B A ⊆”的逆否命题； ④命题“若,1>m 则022=+-m x x 有实根”的逆否命题.其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）12. 已知直线l 过点)0,4(-且与圆25)2()1(22=-++y x 交于B A ,两点，如果8=AB ，那么直线l 的方程为 ．。
天津市六校静海一中杨村一中宝坻一中等2018届高三数学上学期期末联考试题理20180315241
第（3）题2017～2018学年度第一学期期末六校联考高三数学（理）试卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．（1）若集合{}{}22,R ,230,R x A y y x B x x x x ==∈=-->∈，那么R A B （）ð=（ ）.（A ）(]3,0 （B ）[]3,1- （C ）()+∞,3（D ）()()0,13,-+∞（2）已知实数y x ,满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≥，则目标函数12--=y x z 的最大值为（ ）.（A ）3-（B ）21（C ）4（D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）.（A ）64 （B ）73 （C ）512 （D ）585（4）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知双曲线 与抛物线x y 42=共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为 ，则22b e -的值是（ ）. （A1（B）2e)0,(12222>=-b a b ya x第（12）题（C ）4-（D ）4（6）已知函数2()2cos f x x x =-，则f ,13(log 2)f ,2(log 3)f 的大小关系是（ ）.（A ）)2(log 31f <)3(log 2f <)2(2f（B ）)2(log 31f <)2(2f <)3(log 2f（C ）)3(log 2f <)2(log 31f <)2(2f（D ）)2(2f <)3(log 2f <)2(log 31f（7）已知O 是ABC △的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x )0(≠x ，则ABC △的面积为（ ）.（A ）24（B（C ）18（D ）220（8）已知函数211)(--+=x x x f ，函数1)(2+-=x ax x g ．若函数)()(x g x f y -=恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）),0(+∞（B ）),2()0,(+∞-∞（C ）),1()21,(+∞--∞（D ）)1,0()0,( -∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上． （9）在复平面内，复数2)21(1i ii+++的共轭复数对应的点位于第______象限． （10）直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=.以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ（ρ＞0，02θπ≤<），则圆心C 到直线l 的距离为______.（11）已知二项式nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数等于______． （12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r 的半球拼接组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620π+，则r =______.（13）在锐角ABC △中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23=，c ＝7，且ABC △，则b a +=______． （14）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R ∈x ，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =++. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求当[,]62x ππ∈时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）当[,]62x ππ∈时，若8()5f x =，求()12f x π-的值.（16）（本小题满分13分）已知盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为321,,x x x ，随机变量X 表示321,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望)(X E ．（17）（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60°，求CPCM的值．（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和112(N*)2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足n n n a b 2=．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a nc 2l o g=，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+22n n c c 的前n 项和为nT ，求满足25(N*)21n T n <∈的n 的最大值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为2，且与椭圆1222=+y x 有相同离心率，直线m kx y l +=:与椭圆C 交于不同的B A ,两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足λ=+，（O 为坐标原点），求实数λ取值范围．（20）（本小题满分14分）已知函数)1(ln )(44--=x a x x x f ，R ∈a ． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）()f x 的极小值为()a ϕ,当0a >时，求证：()11414104a a e e a ϕ--⎛⎫-< ⎪⎝⎭≤．（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底）2017～2018学年度第一学期期末六校考试高三数学（理）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．（1）A ．提示：{}{}13,0-<>=>=x x x B y y A 或（2）C ．提示： ⎩⎨⎧-==+11y y x 相交于点)1,2(-A∴41122=-+⨯=y ．（3）B ．提示： 1,1;2,9;4,7350x S x S x S ======>． （4）B ．必要而不充分条件．（5）D ．提示：由抛物线的焦点.1),0,1(22=+b a F 得到①设公共点00000(,),12,1P x y x x ∴+=∴=，代入到抛物线方程得到420=y ， 从而.14122=-b a ②由①②可得到2232a b =-=．于是11ca e a===，，224e b ∴-=． （6）A ．提示：()22cos f x x x =- 是偶函数，()22sin f x x x '=+在)2,0(π上恒大于零，所以()22cos f x x x =-在)2,0(π单调递增.∵13333(log 2)(log 2)(log 2),0log 21f f f =-=<<，21log 32<<，22,π<<∴)2(log 31f <)3(log 2f <)2(2f .（7）D ．提示：取AC 中点D ，因为O 是ABC △的外心，则AC DO ⊥.50105,=⨯==⋅+⋅=⋅∴+= .又y x +=，=⋅∴y x ⋅+)(=x +⋅=60cos 10050x A y +=．又5102=+y x ，322sin ,31cos ,2cos 6=∴==∴A A x A x ．22032210621=⨯⨯⨯=∴S ． （8）D ．提示：由2()(1)0f x ax x --+=，得2()1f x x ax +-=．2(1),()121(11),(1).x x f x x x x x x -<-⎧⎪∴+-=--≤≤⎨⎪>⎩作函数()1y f x x =+-与函数2y ax =的图象， 当0<a 时，两个函数图象恒有两个公共点； 当0=a 时, 两个函数图象仅有一个公共点； 当0>a 时，①若01a <<，此时函数2ax y =图象与函数()1y f x x =+-，有两个公共点； ②若1=a ，此时函数2ax y =图象与函数12-=x y 相切，函数2ax y =与函数()1y f x x =+-的图象仅有一个公共点；③若1a >时，此时函数2ax y =与函数()1y f x x =+-的图象无公共点． 所以∈a )1,0()0,( -∞．二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分． （9）三． 提示：i z i z 2925,2925--=+-=． （10）235．提示：圆C 和直线l 的直角坐标方程分别是22430x y x +-+=，0y -+，则圆心C 到直线l 的距离235133332=++=d ． （11）135．提示：令1x =，由已知6164:264,6,n n r r r r n T C -+=∴==，361,2,13522r rr T x -∴-==∴=．（12）2．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积ππππ2016222222S 22+=+⋅+⋅+=r rr r r r ，得到2=r ．（13）52sin sin ,sin 0sin A C A A C =≠∴=．又三角形是锐角三角形，∴3C π=．1sin 62S ab C ab ==∴= ．再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，有27()126a b =+--，2()25,5a b a b ∴+=+=．（14）1≤m ．提示：令()22()(),()().22x x g x f x g x f x -=--=--得到0)()(=-+x g x g ，)(x g ∴为奇函数． 又∵在(0,)+∞上()()0g x f x x ''=->，),0()(+∞∴在x g 单调递增．而由奇函数性质得到()R g x 在上单调递增.已知(2)()22f m f m m --≥-，且22(2)2222m m m --=-， 有22(2)(2)()22m m f m f m ----≥，即(2)()0g m g m --≥． ∴m m ≥-2．解得1≤m ．三、解答题：本大题6小题，满分80分． （15）本题满分13分．解：(Ⅰ)211cos 21()cos cos 2222x f x x x x x +=++=++sin(2)16x π=++ ，……………………3分22T ππ∴==． ……………………4分 又[,]62x ππ∈，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,262πππx ，且()y f x =在[]62ππ，上单调递减．又1()2,()622f f ππ==，所以()f x 的值域为1[2]2，．……………………7分 (Ⅱ)由8()5f x =，则3sin(2)65x π+=． ……………………8分又7[,],2,62266x x πππππ∈≤+≤4cos(2)65x π∴+=-．……………………9分又7()sin 21sin[(2)]1.1266105f x x x πππ-=+=+-+=+……………13分 （16）本题满分13分．解：(Ⅰ) 取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以2224322963153618C C C P C ++++===． …………………………4分（Ⅱ）随机变量X 所有可能的取值为2，3，4，1261)4(4944===C C x P ； 6313)3(4916331534=+==C C C C C x P ； 于是1411)4()3(1)2(==-=-==x P x P x P ． ………………………10分 所以随机变量X因此随机变量X 的数学期望E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209. ………………………………13分 （17）本题满分13分．（Ⅰ）证明：∵侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，∴AB PQ ⊥．∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，PQ ⊂侧面PAB ， ∴PQ ⊥底面ABCD ． ……………………3分（Ⅱ）连接AC ，设A C B D O =，以O 为原点，分别以,,OB OC QP的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -， 则)3,21,233(),3,21,23(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(--=--P D C B O ．……………………4分设平面PBC 的法向量(,,)u x y z ==0,0,102y u BC u BP x y ⎧-⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=-+=⎪⎪⎩⎩，则(1u = ．…………6分sin |cos |u PD θ=<>= ．……………………8分 另解：可求得四棱锥的体积=2V ，三棱锥P BCD -的体积=1，PBC S =△，进而可得三棱锥D PBC -的高h =．又PDsin h PD θ==．（Ⅲ）设3,)2CM tCP t ==- ，(0<t <1) ，……………………9分 则M )3,123,23(t t t +-，=BM )3,123,323(t t t +--，)0,0,32(=DB ， 设平面MBD 的法向量为),,(z y x =， 由0,0=∴=⋅⇒⊥x ．由0n MB n MB ⊥⇒⋅=，可取z6(0,32tn t =- ．……………………11分 又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=，2160cos ,cos ==><= n m ．12=．解得22()5t t ==舍或 ．所以，此时52=CP CM ． ……………………13分 （18）本题满分13分．解：（Ⅰ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得11112S a a =--+=，即112a =．当2n ≥时，2111()22n n n S a ---=--+，∴121111()22n n n n n n n a S S a a ----=-=-+-+（），1112()2n n n a a --=+．即11221n n n n a a --=+．而n nn a b 2=， ∴11n n b b -=+．即当2n ≥时，11n n b b --=．又1121b a ==，∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列．…………………………4分 于是1(1)1=2n n n b n n a =+-⨯=，∴2n nna =． ……………………………6分 （Ⅱ）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++ ． ………………8分 ∴111111111111)()()()()132435112212n T n n n n n n =+-+-++-+-=+---++++ （1-………………10分由2521n T <，得11125121221n n +--<++，即11131242n n +>++， 又∵11()12f n n n =+++单调递减，且111313(4),(5)304242f f =>=， ∴n 的最大值为4． ………………………………13分 （19）本题满分14分．解：（I ）由已知可⎪⎩⎪⎨⎧==2222ac c 解得1,12=∴⎩⎨⎧==b c a ． ………………………3分（II ）由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 得0224)21(222=-+++m kmx x k ， )21(8)22)(21(416Δ222222m k m k m k -+=-+-=∴．由直线直线l 与椭圆C 交于不同的B A ,两点，由2221,0Δm k >+∴>． ①……………………………6分设点),y x B ,y x A 2211(),(，则122212241222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，当0=m 时，易知点B A ,关于原点对称，则0=λ； ……………9分 当0≠m 时，易知点B A ,不关于原点对称，则0≠λ．由OA OB OQ λ+= ，得12121(),1(),Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即224,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩． ……………11分 Q 点在椭圆上，∴2])21(2[2])21(4[2222=+++-k m k km λλ． ……………12分 化简得22222)21()21(4k k m +=+λ．)21(4,0212222k m k +=∴≠+λ ． ② 由①②两式可得022,42≠<<-∴<λλλ且．综上可得实数λ的取值范围是22<<-λ． ……………14分（20）本题满分14分．解：（Ⅰ）333()4ln 4f x x x x ax '=+-， …………………………………1分 则(1)14f a '=-. 又(1)0f =，所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(14)(1)y a x =--. …………3分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得3()(4ln 14)f x x x a '=+-.因为4ln 14y x a =+-为增函数，所以当1x …时， 4ln 144ln11414x a a a +-+-=-…， ①当14a …时，()0f x '…，当且仅当14a =，且1x =时等号成立. 所以()f x 在[1,)+∞上为增函数.因此，当1x …时，()(1)0f x f =…. 所以，14a …满足题意． …………………………………6分 ②当14a >时，由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4x a =-. 解得14e a x -=. 因为14a >，所以104a ->，所以104e e 1.a ->= 当14(1,e )a x -∈时，()0f x '<，因此()f x 在14(1,e)a -上为减函数. 所以当14(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是1(,]4-∞．……………………………………9分 （Ⅲ）由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4x a =-，14e a x -=. 当14(0,e)a x -∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当14(e ,)a x -∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()f x 的极小值14()(e)a a f ϕ-=411e 4a a -=-． ………………………………10分 由()a ϕ'=411e 0a --=，得14a =． 当1(0,)4a ∈时，()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数； 当1(,)4a ∈+∞时，()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数， 所以0)41()=<ϕϕa （． …………………………………11分 而114141()(e e )4a a a ϕ----114141411e (e e )44a a a a ---=---1141e 4a a -=-． 下证：0a >时，1141e 04a a --…． 1141e 04a a --…⇔1144e a a -…⇔1ln(4)14a a -…⇔1ln(4)104a a +-…．………………12分 令1()ln(4)14r a a a =+-，则221141()44a r a a a a-'=-=. 当1(0,)4a ∈时，()0r a '<，()r a 为减函数； 当1(,)4a ∈+∞时，()0r a '>,()r a 为增函数， 所以1()()=04r a r …，即1ln(4)104a a +-…．所以1141e 04a a --…，即114141()(e e )0.4a a a ϕ----…所以114141()(e e ).4a a a ϕ---… 综上所述，要证的不等式成立． ……………………………………………14分。
2017-2018学年天津市六校联考(静海一中、宝坻一中等)高一(上)期末数学试卷(精编含解析)
2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A ={1，2.4}，B ={y |y =2x ，x ≤3，x ∈N }，则∁U （A ∩B ）等于（ ）A. B. C. 2，3， D. 2，{3,5}{5}{1,4}{1,4}2.已知扇形的圆心角为165°，半径长为10cm ，则扇形的弧长为（ ）A.B. C. D. 55π24cm 55π3cm 55π6cm 55π12cm 3.下列函数中是奇函数的为（ ）A.B. C. D. y =(13)x y =‒sinx y =log 2x y =|x|4.函数f （x ）=ln （x +1）-的零点所在区间是（ ）2x A.B. C. D. (12,1)(1,e ‒1)(e ‒1,2)(2,e)5.在△ABC 中，若，则sin C 的值为（ ）cosA =35，cosB =513A.B. C. D. ‒566556656365‒16656.若向量，满足||=，=（-2，1），•=5，则与的夹角为（ ）⃗a ⃗b ⃗a 10⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b A. B. C. D. 90∘60∘45∘30∘7.已知a =20.3，b =log 20.3，c =0.32，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. B. C. D. b <a <c a <c <b a <b <c b <c <a 8.要得到函数y =2sin2x ，x ∈R 的图象，只需将y =sin2x -cos2x ，x ∈R 的图象（ ）3A.向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度π6π12C.向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度π6π129.已知函数f （x ）=2sin （ωx +）（ω＞0），y =f （x ）的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于π，π6则f （x ）的单调递增区间为（ ）A.B. [kπ‒π12,kπ+5π12]k ∈Z [kπ+5π12,kπ+11π12]k ∈ZC.D. [kπ‒π3,kπ+π6]k ∈Z [kπ+π6,kπ+2π3]k ∈Z 10.实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b =．设函数f （x ）=（x 2-2）⊗（x -x 2），x ∈R ，若函数{a,a ‒b ≤1b,a ‒b >1y =f （x ）-c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A. ，B. ，(‒∞,‒2]∪(‒132)(‒∞,‒2]∪(‒1‒34)C. D. ，(‒1,14)∪(14,+∞)(‒1,‒34)∪[14+∞)二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.函数y =a x -3+7（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点______．12.已知tan （）=，则tan2α的值为______．α‒π41313.函数f （x ）=log （x 2-4）的单调递增区间是______．1214.在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，四边形OABC 是平行四边形，且顶点A ，B ，C 的坐标分别为A （4，a ），B （b ，8），C （a ，b ），则在上的投影等于______．⃗AB ⃗AO 15.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB =2，BC =1，∠ABC =60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且=，=，则•的值为______．⃗BE 23⃗BC ⃗DF 16⃗DC ⃗AE ⃗AF 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知=3．sin(3π2‒α)cos(π2+α)cos(π‒α)sin(3π‒α)sin(‒π‒α)（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）当α为第三象限角时，求cosα，tanα的值．17.已知集合A ={x |y =+，x ∈R }与集合B ={x |y =lg[（x -a -1）（2a -x ）]，x ∈R }．x 2‒11x +1（Ⅰ）若B ⊆A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若A ∩B =∅，求a 的取值范围．18.已知=（1，2），=（-3，2），⃗a ⃗b （1）当k 为何值时，k +与-3互相垂直；⃗a ⃗b ⃗a ⃗b （2）当k 为何值时，k +与-3平行，平行时他们是同向还是反向．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b19.已知函数f （x ）=sin 2x -sin 2（x -），x ∈R ．π6（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[-]的最大值和最小值．π3，π420.设函数f （x ）=log 为奇函数（a 为常数），且f （x ）在定义域内为单调递减函数；121+ax 1‒x （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若f （5-3x ）+f （3-2x ）＞0，求x 的取值范围；（Ⅲ）若对于区间[0，1）上的每一个x 值，不等式f （x ）＜2x +m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={1，2，4，8}；∴A∩B={1，2，4}；∴∁U（A∩B）={3，5}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集和补集的运算．2.【答案】C【解析】解：L===cm．故选：C．根据弧长公式L=即可求解．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=（）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=-sinx，有f（-x）=-sin（-x）=sinx=-f（x），为奇函数，符合题意；对于C，y=log2x，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y=|x|，有f（-x）=|-x|=|x|=f（x），为偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性．4.【答案】C【解析】解：∵f（e-1）=lne-=1-=＜0，f（2）=ln3-1＞lne-1=0，即f（e-1）•f（2）＜0，∴函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间是（e-1，2），故选：C．函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．5.【答案】B【解析】解：∵△ABC中，，∴sinA==，sinB==，则sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．故选：B．由A和B为三角形的内角，以及cosA和cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinB的值，把所求的式子sinC中的角换为π-（A+B），利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵=（-2，1），∴，又||=，•=5，两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，∴cos＜＞===．∴与的夹角为45°．故选：C．由已知的坐标求出，然后代入数量积求夹角公式得答案．本题考查利用数量积求向量的夹角，考查向量模的求法，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：∵a=20.3＞20=1，b=log20.3＜log21=0，0＜c=0.32＜0.30=1，∴a，b，c的大小关系为b＜c＜a．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】C【解析】解：将y=sin2x-cos2x=2sin（2x-），x∈R的图象，向左平移个单位长度，可得函数y=2sin2x，x∈R的图象，故选：C．利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，函再利用数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+），∵y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，∴函数的周期是π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），∵2x+∈[2kπ-，2kπ+]，k∈z，∴x∈[kπ-，kπ+]，k∈z，故选：C．根据y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期是π，得到ω，写出解析式，根据正弦曲线的增区间，写出函数的增区间．本题考查三角函数的解析式和有关性质，是一个基础题，这种题目是高考卷中每一年都要出现的一种题目，注意题目的开始解析式不要出错．10.【答案】B【解析】解：若x2-2-（x-x2）≤1，则2x2-x-3≤0，解得-1≤x≤，若x2-2-（x-x2）＞1，则2x2-x-3＞0，则x＜-1或x＞，∴f（x）=，作出f（x）的函数图象如图所示：∵y=f（x）-c有两个零点，∴f（x）=c有两解，∴c≤-2或-1＜c＜-．故选：B．根据定义得出f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象得出答案．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．11.【答案】（3，8）【解析】解：对于函数y=a x-3+7（a＞0且a≠1），令x-3=0，求得x=3，y=8，故它的图象经过定点（3，8），故答案为：（3，8）．令幂指数等于0，求得x、y的值，可得图象经过定点的坐标．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．12.【答案】-4 3【解析】解：已知tan（）==，得tanα=2，∴tan2α===-，故答案为：-．由题意利用两角差的正切公式求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．本题主要考查两角差的正切公式，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．13.【答案】（-∞，-2）【解析】解：由x2-4＞0得（-∞，-2）∪（2，+∞），令t=x2-4，由于函数t=x2-4的对称轴为y轴，开口向上，所以t=x2-4在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）递增，又由函数y=log t是定义域内的减函数．所以原函数在（-∞，-2）上递増．故答案为：（-∞，-2）．单调区间按照复合函数单调区间的求法进行即可．本题考查了复合函数单调区间的求法，一般的先求函数的定义域，然后确定内外函数并研究各自的单调性，再按照“同增异减”的原则确定原函数的单调性．14.【答案】-25【解析】解：由题意得，=∴（4，a）=（b-a，8-b）∴b-a=4①a=8-b②；①②联立得a=2，b=6∴=（2，6），=（-4，-2）∴在上的投影为==-2故答案为-2．运用数量积的坐标运算和平行四边形的知识可解决．本题考查数量积的坐标运算．15.【答案】2918【解析】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2-1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）∵已知==-=3，∴sinα=-．sin(3π2‒α)cos(π2+α)cos(π‒α)sin(3π‒α)sin(‒π‒α)‒cosα⋅(‒sinα)‒oosα⋅sinα⋅sinα1sinα13（Ⅱ）当α为第三象限角时，∵sinα=-，∴cosα=-=- tanα===．131‒sin 2α223sinαcosα12224【解析】（Ⅰ）由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，求得sinα的值．（Ⅱ）当α为第三象限角时，由sinα=-，利用同角三角函数的基本关系cosα，tanα的值．本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简三角函数式，属于基础题．17.【答案】解：要使函数集合y =+有意义，须使，x 2‒11x +1{x 2‒1≥0x +1≠0所以集合A ={x |x ＜-1或x ≥1}．要使函数y =lg[（x -a -1）（2a -x ）]有意义，须使（x -a -1）（2a -x ）＞0，即（x -a -1）（x -2a ）＜0，所以集合B ={x |（x -a -1）（x -2a ）＜0}．（Ⅰ）①a =1时，B =∅，∅⊆A ；②a ＞1时，B ={x |a +1＜x ＜2a }，∴B 中全是正数，若B ⊆A ，则a +1≥1，∴a ≥0，∴a ＞1；③a ＜1时，B ={x |2a ＜x ＜a +1}，若B ⊆A ，则a +1≤-1或2a ≥1，∴a ≤-2或a ≥，12∴a ≤-2或a ＜1；12≤综上可知：a ≤-2或a ≥．12（Ⅱ）①a =1时，B =∅，A ∩∅=∅；②a ＞1时，B ={x |a +1＜x ＜2a }，∴B 中全是正数，若A ∩B =∅，则2a ≤1，∴a ≤，∴a ∈∅；12③a ＜1时，B ={x |2a ＜x ＜a +1}，若A ∩B =∅，则，∴-≤a ≤0，{2a ≥‒1a +1≤112综上可知：-≤a ≤0或a =1．12【解析】（Ⅰ）首先简化集合A 、B ，然后结合B ⊆A 分类讨论得不等式组，取三类的并集可得结果； （Ⅱ）首先简化集合A 、B ，然后结合A∩B=∅分类讨论得不等式组，取三类的并集可得结果．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．18.【答案】解：由=（1，2），=（-3，2），⃗a ⃗b 得k ⃗a +⃗b =k(1，2)+(‒3，2)=(k ‒3，2k +2)．⃗a ‒3⃗b =(1，2)‒3(‒3，2)=(10，‒4)（1）若k +与-3互相垂直，则10（k -3）-4（2k +2）=0，解得k =19．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ∴当k 为19时，k +与-3互相垂直；⃗a ⃗b ⃗a ⃗b （2）若k +与-3平行，则-4（k -3）-10（2k +2）=0，解得k =-．⃗a ⃗b ⃗a ⃗b 13∴当k 为时，k +与-3平行，此时k +=，与-3反向．‒13⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b ‒13(10，‒4)⃗a ⃗b 【解析】由向量坐标的数乘及及加法和减法运算求出k +与-3的坐标．（1）利用向量垂直的坐标运算列式求解；（2）利用向量平行的坐标运算列式求解，然后求出两向量的坐标关系得结论．本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了两个向量平行的坐标表示，考查计算能力，是基础题．19.【答案】解：（1）化简可得f （x ）=sin 2x -sin 2（x -）π6=（1-cos2x ）-[1-cos （2x -）]1212π3=（1-cos2x -1+cos2x +sin2x ）121232=（-cos2x +sin2x ）121232=sin （2x -），12π6∴f （x ）的最小正周期T ==π；2π2（2）∵x ∈[-，]，∴2x -∈[-，]，π3π4π65π6π3∴sin （2x -）∈[-1，]，∴sin （2x -）∈[-，]，π63212π61234∴f （x ）在区间[-，]内的最大值和最小值分别为，-．π3π43412【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x-），由周期公式可得；（2）由x ∈[-，]，结合合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=log为奇函数，121+ax 1‒x ∴f （-x ）+f （x ）=0对定义域内的任意x 都成立，有log +log =0，121‒ax 1+x 121+ax1‒x 于是•=1，解得a =1或a =-1（舍）．1‒ax 1+x 1+ax 1‒x ∴a =1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f （x ）=log，121+x 1‒x 由＞0，得-1＜x ＜1，函数f （x ）的定义域为（-1，1）．1+x1‒x又f （x ）在定义域内为单调递减函数，∴f （5-3x ）+f （3-2x ）＞0⇔，解得．{‒1＜5‒3x ＜1‒1＜3‒2x ＜15‒3x ＜2x ‒385＜x ＜2∴x 的取值范围是（）；85，2（Ⅲ）令g （x ）=f （x ）-2x ，x ∈[0，1），已知函数f （x ）在（-1，1）内是单调递减函数，且函数y =2x 在x ∈[0，1）上是增函数，可知g （x ）=f （x ）-2x ，x ∈[0，1）是减函数．∴g （x ）max =g （0）=-1，∵对于区间[0，1）上的每一个x 值，不等式f （x ）＜2x +m 恒成立，即m ＞g （x ）max 恒成立，∴m ＞-1．【解析】（Ⅰ）由已知结合奇函数的定义有log+log =0，即•=1，由此解得a 值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f （x ）=log，求其定义域，再由函数的单调性把f （5-3x ）+f （3-2x ）＞0转化为关于x 的不等式组求解；（Ⅲ）令g （x ）=f （x ）-2x ，x ∈[0，1），由g （x ）=f （x ）-2x ，x ∈[0，1）是减函数求其最大值，可得实数m 的取值范围．本题考查函数单调性与奇偶性的判定及应用，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．。
天津市五校(宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中
2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷第I 卷(选择题 共40分)一、选择题:每小题5分,共40分,把答案涂在答题卡上． 1．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=- 2．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若AB =a ，1AA =c ，BC =b ，则BM 可表示为ABCD 4．直线()1(1)y k x k -=-∈R 与2220x y y +-=的位置关系A ．相离或相切B ．相切C ．相交D ．相切或相交5．方程22(0x y +-=表示的曲线是A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线6．设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥． （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥． （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β．11正(主)视图11俯视图侧(左)视图21其中正确命题的个数A ．0B ．1C ．2D ．3 7；条件:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p ¬是q ¬的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线21:8C y x =的焦点F 到双曲线()22222:1,0,0y x C a b a b-=>>的渐近线的距离为，P 是抛物线1C 的一动点，P 到双曲线2C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线20x +=的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为A ．22123y x -= B ．2214x y -= C ． 2214y x -= D ． 22132y x -= 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线2228x y -=的实半轴长与虚轴长之比为 ▲ ． 10．由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ▲ ． 12．如图，椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为43的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 ▲ ． 13．若关于x 的方程243x x b x --=+只有一个解， 则实数b 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l ax by c ++=被圆2216x y +=截得的弦的中点为M ，且满足20a b c +-=，当||OM 取得最大值时，直线l 的方程是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分13分)已知圆锥曲线22:12x y E k+=．命题p ：方程E 表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q：圆锥曲线E 的离心率e ∈，若命题p q ⌝∧为真命题，求实数k 的取值范围．16．(本小题满分13分)如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面A B CD，F E ,分别是PB AC ,的中点，2PA AB ==． （Ⅰ）求证//EF 平面PCD ；（Ⅱ）求直线EF 与平面PAB 所成的角； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的外接球的体积．17．(本小题满分13分)已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程． 18． (本小题满分13分)已知曲线C 在x 的上方，且曲线C 上的任意一点到点()0,1F 的距离比到直线2y =-的距离都小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设0m >，过点()0,M m 的直线与曲线C 相交于,A B 两点．①若△AFB 是等边三角形，求实数m 的值； ②若0FA FB ⋅<，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3BAD ∠=，2AD =，DE =（Ⅰ）异面直线AE 与DC 所成的角余弦值； （Ⅱ）求证平面AEF ⊥平面CEF ；（Ⅲ）在线段AB 取一点N ，当二面角N EF C --的大小为60︒时，求||AN ．20．(本小题满分14分)已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A ，B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）答题纸二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 10． 11． 12． 13． 14． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15． (本小题满分13分)16．(本小题满分13分)17．(本小题满分13分)18． (本小题满分13分)2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷一、选择题 (每小题5分,共40分．把答案涂在答题卡上．) 1．A 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．; 10．2+; 12．57; 13．13b -<≤或1b =-．250x y ++=三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：因为22:12x y E k+=表示曲线，所以0k ≠．命题p 是真命题，则02k <<；……………………………………2分 命题q是真命题时，因为e ∈，所以2222k-<<，解得42k -<<-．…………………………………………5分因为命题p q ⌝∧为真命题，所以p ⌝，q 均为真命题，……………………7分 当p ⌝为真命题时，0k <或2k ≥．…………………………………………10分 于是命题p q ⌝∧为真命题时，满足0,2,42k k k <≥⎧⎨-<<-⎩或解得42k -<<-．……………13分16.（Ⅰ）如图,连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴PD EF //．又 ∵⊄EF 平面PCD ，⊂PD 面PCD ∴//EF 平面PCD ．……4分（Ⅱ）取AB 的中点H ，连接EH ，HF ．在正方形ABCD 中，E 是BD 的中点，有HE AB ⊥．∵ PA ⊥平面ABCD ，HE ⊂平面ABCD ，∴ PA HE ⊥，∵PA AB A =，∴HE ⊥平面PAB ， ∴HF 是直线EF 在平面PAB 的射影，∴EFH ∠是直线EF 与平面PAB 所成的角．在直角三角形FEH 中，1HE HF ==，所以t a n EFH ∠=1．∴直线EF与平面PAB 所成的角为45︒．…………………………9分 （Ⅲ）设四棱锥P A B C -的外接球半径为R ，2PA AB AD ===，则2R ==，即R ．所以外接球的体积为3344ππ33V R ===．…………13分17．（Ⅰ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c =，得2a b ==，解得离心率c e a ==5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=． (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB的中点，且||AB =． 易知，AB 不与x 轴垂直．设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=．…………………………7分 设1122(,),(,),A x y B x y 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++……8分 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =． 从而21282x x b =-．于是12|||AB x x =-==10分由||AB ==，解得23b =．故椭圆E 的方程为221123x y +=．……………………………………………13分18． （Ⅰ）设点(),P x y 曲线C 上的任意一点，由题设有()||12PF y +=--，于是()()22211x y y +-=+，整理得24x y =．…………………………………2分 由于曲线C 在x 的上方，所以0y >．所以曲线C 的方程24x y =()0y >．………………………………………3分（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ．①由题意||||AF BF =，即()()2222112211x y x y +-=+-， 于是()()22221212110x x y y -+---=，将2112224,4x y x y ⎧=⎨=⎩代入，得()()121220y y y y -++=，由120,0y y >>，得12y y =． 从而12x x =-，所以122||||2||AB x x x =-=．因为△AFB是等边三角形，所以22||x =将2224x y =代入，2221410y y -+=,解得27y =±7m =±8分 （此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分） ②设直线:AB y kx m =+，联立24,x y y kx m⎧=⎨=+⎩得2440x kx m --=，()2160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-．()12122y y k x x m +=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++于是()()()()11221212,1,111FA FB x y x y x x y y ⋅=--=+--()1212121x x y y y y =+-++22614m m k =-+-．因为0FA FB ⋅<，即22614m m k -+<．因k ∈R ，从而2610m m -+<．解得33m -<<+13分 19．（Ⅰ）因为//AB DC ，所以BAE ∠就是异面直线AE 与DC 所成的角，连接BE ，在ABE ∆中，2,AB AE BE ===，于是cos BAE ∠==AE 与DC 所成的角余弦值为7．……………4分 （Ⅱ）取EF 的中点M ．由于ED ⊥面ABCD ,ED ∥FB ,∴,,,ED AD ED DC FB BC FB AB ⊥⊥⊥⊥，又ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，所以，,,,ADE EDC ABF BCF ∆∆∆∆是全等三角形，,,CF CE AF AE ==所以EF CM EF AM ⊥⊥,，AMC ∠就是二面角C EF A --的平面角 …6分经计算AM CM ==，AC =222AM CM AC +=，即AM MC ⊥．所以平面AEF ⊥平面CEF ．…………………8分（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由.2=AD 则)3,21,23(M ，)0,2,0(C，A，(E，F．平面CEF的法向量132n AM ⎛==- ⎝．10分设),0Nλ，则(3,,EN λ=，()3,1,0EF =设平面NEF 的法向量()2,,n x y z =，则220EF n EN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00y my ⎧+=⎪+=，令1x =，则1yz λ==-，得()21,n λ=-．11分 因为二面角N EF C --的大小为60︒，所以)22|1|cos 60||||3n AN n AN λ+-⋅︒==⋅，……………………12分 整理得2630λλ+-=，解得3λ=，……………………………13分所以||2AN =……………………………………………………14分 20．解：（Ⅰ）如图，由题意得，22b c ==．∴b c ==2a =．∴ 所求的椭圆方程为22142x y +=．…………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）．……………………4分由题意可设CM ：(2)y k x =+，P（1x ，1y ）．MD CD ⊥，∴M （2，4k ）………………………………………5分z由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得2222(12)8840k x k x k +++-=． 21284212k x k --=+，得2122412k x k-=+．……7分 ∴1124(2)12ky k x k=+=+， 222244(,)1212k k P k k-++．………………8分 ∴222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k -+⋅=⋅+⋅==+++． …………………9分（Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥，即0MQ DP ⋅=……10分由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =-，22284(,)1212k kDP k k-=++． …………12分 ∴202284(2)401212k k QM DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++．即2028012k x k =+恒成立． ∴00x =．∴存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．…14分19．(本小题满分14分)20．(本小题满分14分)。
【数学】2017-2018年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高三(上)期中数学试卷与答案(理科)
2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（）A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n ∈N，2n＜10002．（5分）已知向量=（1，2），﹣=（4，5），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣43．（5分）若数列{a n}中，a1=3，a n+a n﹣1=4（n≥2），则a2017的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+cos（2α+）=（）A．0 B．C．D．5．（5分）“a=1”是“函数f（x）=﹣是奇函数”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，则a=f（log 32），b=f（﹣log），c=f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则θ的值可以是（）A． B． C．D．8．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围为（）A．（0，27）B．（0，45）C．（27，45）D．（45，72）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分）.9．（5分）已知集合M={x|y=}，N={x|﹣2x+3＜0}，则集合M∩∁R N等于．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a4=4，a3+a5+a7=15，则前10项和S10=．11．（5分）已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是．13．（5分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•=．14．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，则不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集为．三、解答题：本大题共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（13分）设函数f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx﹣（ω＞0），且y=f（x）图象的一条对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知A（﹣1，0），B（0，2），C（﹣3，1），•=5，2=10．（Ⅰ）求D点的坐标；（Ⅱ）若D点在第二象限，用，表示；（Ⅲ）设=（m，2），若3+与垂直，求的坐标．17．（13分）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且cos2A﹣3cosBcosC+3sinBsinC=1．（Ⅰ）求角A的大小；．（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC18．（13分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=4n+（﹣1）n﹣1•λ•2（λ为非零整数，n∈N*），是否存在λ的值，＞c n恒成立，若存在求出λ的值，若不存在说明理由．使得对任意n∈N*，有C n+119．（14分）已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．20．（14分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值；（Ⅲ）证明：ln＞（n∈N*，n≥2）．2017-2018学年天津市静海一中、杨村一中、宝坻一中等六校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为（）A．∀n∈N，2n≤1000 B．∀n∈N，2n＞1000 C．∃n∈N，2n≤1000 D．∃n ∈N，2n＜1000【解答】解：∵命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为∀n∈N，2n≤1000故选：A．2．（5分）已知向量=（1，2），﹣=（4，5），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：向量=（1，2），﹣=（4，5），=（x，3），若（2+）∥，∴=﹣（﹣）=（1，2）﹣（4，5）=（﹣3，﹣3），∴（2+）=2（1，2）+（﹣3，﹣3）=（﹣1，1），∵（2+）∥，∴﹣3=x，故选：C．3．（5分）若数列{a n}中，a1=3，a n+a n﹣1=4（n≥2），则a2017的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：数列{a n}中，a1=3，a n+a n﹣1=4（n≥2），可知数列是3，1，3，1，3，1，3…，即数列奇数项是3；偶数项是1；所以a2017的值为：3．故选：C．4．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+cos（2α+）=（）A．0 B．C．D．【解答】解：点P（co sα，sinα）在直线y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2，则sin2α+cos（2α+）=sin2α﹣sin2α====，故选：D．5．（5分）“a=1”是“函数f（x）=﹣是奇函数”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“函数f（x）=﹣是奇函数”⇔“f（﹣x）=﹣f（x）”⇔“==﹣（）”⇔“a=±1”故“a=1”是“函数f（x）=﹣是奇函数”的充分不必要条件，故选：B．6．（5分）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，则a=f（log 32），b=f（﹣log），c=f（3）的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（﹣x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，f（x）=（）x﹣1为减函数，∵f（log32）=f（2﹣log32）=f（log3），且﹣log=log2=log 34，log34＜log3＜3，∴b＞a＞c，故选：C．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则θ的值可以是（）A． B． C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣＜θ＜）向右平移θ个单位，得到g（x）=sin（2x﹣2θ+φ），因为两个函数都经过P（0，），所以sinφ=，又因为﹣＜φ＜，所以φ=，所以f（x）=sin（2x+），sin（﹣2θ）=，所以﹣2θ=2kπ+，k∈Z，此时θ=kπ，k∈Z，或﹣2θ=2kπ+，k∈Z，此时θ=kπ﹣，k∈Z，当k=0时，θ=．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围为（）A．（0，27）B．（0，45）C．（27，45）D．（45，72）【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则0＜x1＜1，1＜x1＜3，则log3x1=﹣log3x2，即log3x1+log3x2=log3x1x2=0，则x1x2=1，同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），∵x3，x4关于x=9对称，∴x3+x4=18，则x4=18﹣x3，则=x3x4﹣3（x3+x4）+9=x3（18﹣x3）﹣45=﹣x32+18x3﹣45=﹣（x3﹣9）2+36，∵x3∈（3，6），∴﹣（x 3﹣9）2+36∈（0，27），即∈（0，27），故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分）.9．（5分）已知集合M={x|y=}，N={x|﹣2x+3＜0}，则集合M∩∁R N 等于（1，] ．【解答】解：由﹣x2+4x﹣3＞0，解得1＜x＜3，即M=（1，3），由N={x|﹣2x+3＜0}=（﹣，+∞），∴∁R N=（﹣∞，]，∴M∩∁R N=（1，]，故答案为：（1，]，10．（5分）在等差数列{a n}中，若a4=4，a3+a5+a7=15，则前10项和S10=55．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a4=4，a3+a5+a7=15，可得a5=5，则a6=6，则前10项和S10==55．故答案为：55．11．（5分）已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．【解答】解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0∴=当且仅当a﹣b=时取等号故答案为12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：当∀x1∈[﹣1，2]时，由f（x）=x2﹣2x得，对称轴是x=1，f（1）=﹣1是函数的最小值，且f（﹣1）=3是函数的最大值，∴f（x1）=[﹣1，3]，又∵任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴当x2∈[﹣1，2]时，g（x2）⊇[﹣1，3]．∵a＞0，g（x）=ax+2是增函数，∴，解得a≥3．综上所述实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．13．（5分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||=2，||=1，且∠BAD=60°，则•=．【解答】解：由题意不难求得，则===故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，则不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集为（﹣1，1）．【解答】解：由题意设g（x）=（x+1）f（x），则g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），∵当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，∴当x＜﹣1时，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，∵函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，∴函数f（x﹣1）的图象关于点（0，0）中心对称，则函数f（x﹣1）是奇函数，令h（x）=g（x﹣1）=xf（x﹣1），∴h（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）递增，由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递减，∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x﹣1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1），即|x|＜1，解得﹣1＜x＜1，∴不等式的解集是（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．三、解答题：本大题共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（13分）设函数f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx﹣（ω＞0），且y=f（x）图象的一条对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx﹣=•+sin2ωx﹣=sin （2ωx ﹣）（ω＞0），且y=f （x ）图象的一条对称中心到最近的对称轴的距离为==，∴ω=1，f （x ）=sin （2x ﹣）．（Ⅱ）在区间[，]上，2x ﹣∈[﹣，]，故当2x ﹣=﹣时，函数f （x ）取得最小值为﹣，当2x ﹣=时，函数f （x ）取得最大值为1．16．（13分）已知A （﹣1，0），B （0，2），C （﹣3，1），•=5，2=10．（Ⅰ）求D 点的坐标； （Ⅱ）若D 点在第二象限，用，表示；（Ⅲ）设=（m ，2），若3+与垂直，求的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设D 点的坐标为（x ，y ）， ∵A （﹣1，0），B （0，2），C （﹣3，1）， ∴=（1，2），=（x +1，y ）； 由•=5，2=10， 得， 解得或，∴D 点的坐标为（﹣2，3）或（2，1）； （Ⅱ）∵D 点在第二象限， ∴D （﹣2，3），=（﹣1，3）；又=（﹣2，1）， 设=m+n，则（﹣2，1）=m （1，2）+n （﹣1，3），即有，解得，∴=﹣+；（Ⅲ）∵3+=3（1，2）+（﹣2，1）=（1，7），且=（m，2），∴（3+）•=0，∴m+14=0，解得m=﹣14，∴=（﹣14，2）．17．（13分）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且cos2A﹣3cosBcosC+3sinBsinC=1．（Ⅰ）求角A的大小；．（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC【解答】解：（Ⅰ）cos2A﹣3cosBcosC+3sinBsinC=1，可得2cos2A﹣1﹣3（cosBcosC﹣sinBsinC）=1，即有2cos2A﹣1﹣3cos（B+C）=1，即为2cos2A+3cosA﹣2=0，解得cosA=（﹣2舍去），由0＜A＜π，可得A=；（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，则由正弦定理可得b=2c，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=4c2+c2﹣4c2×，解得c=，b=2，=bcsinA=×2××=．则S△ABC18．（13分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=4n+（﹣1）n﹣1•λ•2（λ为非零整数，n∈N*），是否存在λ的值，使得对任意n∈N*，有C n+1＞c n恒成立，若存在求出λ的值，若不存在说明理由．【解答】（I）证明：S n+1+S n﹣1=2S n+1（n≥2，n∈N*）．∴a n+1=a n+1，即a n+1﹣a n=1，又a2﹣a1=3﹣2=1．∴数列{a n}为等差数列，首项为2，公差为1．∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（II）解：由（I）可得：S n==．∴b n==，∴数列{b n}的前n项和T n==．（Ⅲ）解：C n=4n+（﹣1）n﹣1•λ•2=4n+（﹣1）n﹣1•λ•2n+1．假设存在λ的值，使得对任意n∈N*，有C n+1＞c n恒成立，则4n+1+（﹣1）nλ2n+2＞4n+（﹣1）n﹣1•λ•2n+1．n为偶数时，化为：λ＞=﹣2n﹣1，∴λ＞﹣2．n为奇数时，化为：λ＜﹣=2n﹣1，∴λ＜1．综上可得：﹣2＜λ＜1．又λ为非零整数，∴λ=﹣1．19．（14分）已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅲ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x）==x2﹣1﹣（x＞0），则φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，且φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）在（1，2）内有零点，又f（x）=x3﹣x﹣=x•φ（x），显然x=0为f（x）的一个零点，∴f（x）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g（x）=+lnx=lnx+，则g'（x）==，设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，且有一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，由于x1x2=1，即x2＞e，由于h（0）=1，故只需h（）＜0即可，即﹣（2+a）+1＜0，解得a＞e+﹣2，∴实数a的取值范围是（e+﹣2，+∞）．20．（14分）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值；（Ⅲ）证明：ln＞（n∈N*，n≥2）．【解答】（I）解：f′（x）=1+﹣=，x∈（0，+∞）．令u（x）=x2﹣ax+1，△=a2﹣4．由△≤0，解得﹣2≤a≤2，f′（x）＞0．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．△＞0，解得a＜﹣2或a＞2．a＜﹣2时，f′（x）＞0．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞2时，由x2﹣ax+1=0，解得x=．令x1=，x2=．可得0＜x1＜x2．∴函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．综上可得：a≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞2时，函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．（II）解：g（x）=f（x）+2alnx=x﹣+alnx，（x＞0）．g′（x）=1++=．∵g（x）有两个极值点x1，x2，∴g′（x）=0，即u（x）=x2+ax+1=0，必有两个不等的正实数根．又u（0）=1＞0，∴对称轴x=＞0，△=a2﹣4＞0，解得a＜﹣2．x=．其中x1∈（0，e]，x1+x2=﹣a＞2，x1x2=1．∴x2=，a=﹣．g（x1）﹣g（x2）=+alnx1﹣=x1﹣x2++aln=2（x1﹣x2）+aln=2﹣ln，令x1=t∈（0，e]．h（t）=2﹣2lnt．则h′（t）=2﹣2lnt﹣2=≤0，因此函数h（t）在（0，e]上单调递减，∴t=e时函数h（t）取得最小值h（e）=﹣．∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣．（III）证明：∵ln=（ln1﹣ln3）+（ln2﹣ln4）+（ln3﹣ln5）+…+[ln（n﹣2）﹣lnn]+[ln（n﹣1）﹣ln（n+1）]=ln2﹣lnn﹣ln（n+1）=．∴证明ln＞（n∈N*，n≥2）．即证明：＞（n∈N*，n≥2）．令t=n（n+1）≥6，则上述不等式等价于ln＞，t≥6．令v（t）=ln﹣，t≥6．则v′（t）=﹣+==＞0．∴函数v（t）在[t，+∞）上单调递增．∴v（t）≥v（6）=ln+＞0，∴ln＞，t≥6．因此ln ＞（n ∈N *，n ≥2）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2017-2018学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学理试题(Word版)
天津一中2017-2018-1高二年级期末质量检测数学(理科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列说法正确的个数是( )①“若4a b +?，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b R Î，若6a b +?，则3a ¹或3b ¹”是一个真命题 ③“0x R $?，2000x x -<”的否定是“x R "?，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A.0B.1C.2D.33.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值是( ) A.4B.14C.2D.124.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程是( )A.2212128x y -=B.2212821x y -=C.22134x y -=D.22143x y -=5.若直线l 被圆224x y +=所截得的弦长为23，则l 与曲线2213x y +=的公共点个数为( ) A.1个B.2个C.1个或2个D.1个或0个6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.167.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF =( )A.72B.3C.52D.28.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.21+B.51-C.212+ D.512- 9.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰有6个不同的点使得12F F P △为等腰三角形，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.12,33骣琪琪桫B.1,12骣琪琪桫C.2,13骣琪琪桫D.111,,1322骣骣琪琪琪琪桫桫10.已知抛物线24x y =的焦点为F ，设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上的两个动点，如满足122323y y AB ++=，则AFB ∠的最大值是( ) A.3p B.23pC.34pD.56p 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y mx =的焦点重合，则n 的值为.12.给定两个命题，P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：方程2213x y a a +=-表示双曲线.如果P Q Ú为真命题，P Q Ù为假命题，则实数a 的取值范围是.13.若双曲线2244x y -=的左、右焦点是12,F F ，过1F 的直线交左支于,A B 两点，若5AB =，则2AF B △的周长是.14.曲线1C 的极坐标方程2cos sin r q q =，曲线2C 的参数方程为31x ty t í=-ïì=-ïî，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为.15.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距为()0c c >，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线()2158y a c x =+与椭圆交于,B C 两点，若四边形ABFC 为菱形，则椭圆的离心率是. 16.已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为.三、解答题 （本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ==∠∠°，E 是PD 中点.(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M AB D --的余弦值.18.已知点,M N 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，MF 与FN 的等比中项是3，椭圆的离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该轨迹交于,A B 两点，若直线,,OA AB OB 的斜率依次成等比数列，求OAB △的面积的取值范围.19.已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于,P Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR FQ ∥； (2)若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴的四个端点为顶点为四边形的面积为43.(1)求椭圆C的方程；x=上运动时，直(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A和B，当动点M在定直线4线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q，求四边形APBQ面积的最大值.天津一中2017-2018-1高二年级数学(理科)期末质量检测参考答案一、选择题1-5:BCBDC 6-10:BBADB二、填空题11.12 12.0a =或34a ? 13.18 14.72815.1216.213三、解答题17.解：(1)取PA 的中点F ，连结,EF BF ， 因为E 是PD 中点，所以EF AD ∥，12EF AD =，由90BAD ABC ==∠∠°， 得BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥，EF BC =，四边形BCEF 为平行四边形，CE BF ∥，又BF Ì平面PAB ，CE Ë平面PAB ，故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA AD ^，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,3P ，()1,0,3PC =-，()1,0,0AB = ，设(),,M x y z ()01x <<，则()1,,BM x y z =- ，(),1,3PM x y z =--，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()0,0,1n =是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin 45BM n <>=°，()222221zx y z =-++， 即()22210x y z -+-=.①又M 在棱PC 上，设PM PC l =，则 x l =，1y =，33z l =-，②由①，②得2121()62x y z éê=+êêê=êêê=-êë舍，212162x y z íï=-ïï=ìïï=ïïî.所以261,1,22M 骣琪-琪桫，从而261,1,22AM 骣琪=-琪桫， 设()000,,m x y z =是平面ABM 的法向量，则00m AM m AB í?ïìï?î，即()0000222600x y z x í-++=ïìï=î， 所以可取()0,6,2m =- ，于是10cos ,5m n m n m n×<>==，因此二面角M AB D --的余弦值为105. 18.解：(1)MF a c =+，BN a c =-，3是MF 与FN 的等比中项， ∴()()3a c a c +-=， ∴2223b a c =-=，又12c e a ==，解得2,1a c ==， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线():0l y kx m m =+?，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和椭圆2234120x y y kx mí+-=ïì=+ïî，消去y 得，()2223484120k x kmx m +++-=，由题意可知，()()()22226444341248430km k m k m D=-+-=-+>， 即2243k m +>，且122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，又直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，所以21212y y k x x ?，将1y ，2y 代入并整理得()22430m k -=， 因为0m ¹，32k =?，206m <<，且23m ¹， 设d 为点O 到直线l 的距离，则有27m d =，2212711833AB k x x m =+-=-， 所以()221136323OAB S AB d m m ==-<△， 所以三角形面积的取值范围为()0,3.19.解：(1)由于F 在线段AB 上，故10ab +=， 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b ab k b k a a ab a a---=====-=+-， 所以AR FQ ∥.(2)设l 与x 轴的交点为()1,0D x ， 则1111222ABF S b a FD b a x =-=--△，2PQF b a S -=△，由题设得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍)，11x =. 设满足条件的AB 的中点为(),E x y ， 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得()211yx a b x =?+-， 而2a by +=，所以()211y x x =-?， 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 所以，所求轨迹方程为21y x =-.20.解：(1)由题设知，2a c =，243ab =， 又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >，将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，由22410827A P t x x t -?+，2A x =-得2254227P t x t -=+， 则21827P ty t =+，再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t x t x t +---=，由224123B Q t x x t -?+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t =-+， 故四边形APBQ 的面积为221186222273P Q P Q t tS AB y y y y t t 骣琪=?=-=+琪++桫()()()()()222222222489489489122739129t t t t t tt t t tt t ++===+++++++，由于29=6t tl +³，且12l l +在[)6,+?上单调递增，故128ll+?， 从而，有48612S l l=?+，当且仅当6l =，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时， 四边形APBQ 的面积取最大值6.。
2017-2018年天津市六校联考(静海一中、杨村一中等)高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案
2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．（5分）若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩（∁U B）=（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知p：|x+1|＞2，q：|x|≥a（a≥0），且￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0≤a≤3C．a≤1D．a≥33．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y﹣1的最大值为（）A．5B．4C．D．﹣34．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．5855．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或6．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2cosx，则f（2），f（log2），f（log 23）的大小关系是（）A．f（log2）＜f（log 23）＜f（2）B．f（log2）＜f（2）＜f（log 23）C．f（log 23）＜f（log2）＜f（2）D．f（2）＜f（log 23）＜f（log2）7．（5分）设函数f（x）=ax+（1﹣x）（其中a＞0）在0≤x≤1的最小值为g（a），则g（a）的最大值为（）A．a B．C．2D．18．（5分）已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x+y，且2x+10y=5（x≠0），则△ABC的面积为（）A．24B．C．18D．20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸的相应位置上．9．（5分）在复平面内，复数+（1+2i）2的共轭复数对应的点位于第象限．10．（5分）已知圆C的圆心C在x轴正半轴上，半径为1，直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆C截得的弦长为，则圆C的方程为．11．（5分）已知a，b，c分别是锐角△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=，若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，则a=．12．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r的半球拼接组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=．13．（5分）如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且=﹣3，设=，=，=，若=m+n，则m﹣n的值等于．14．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（﹣x）+f （x）=x2，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，列出选择的所有可能情况，并求这2人都来自高校C的概率．17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面ABCD的直角梯形，AB∥CD，CD⊥AD，CD=2AB=2AD=2，M为PC 中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求证：直线BM⊥平面PDC；（Ⅲ）求直线PD与平面BDM所成角的正弦值．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n（1）求证：数列{b n}是等差数列（2）设c n=log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n＜（n∈N*）的n的最大值．19．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2（r＞0），若圆C2的直径是椭圆C1的焦距长的倍，且圆C2的面积为4π，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的上顶点A有一条斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆的另一个交点是B．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C1的右焦点为F，O为坐标原点，当2S=S△OBA时，求△OBA△OBF的面积．20．（14分）已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．2017-2018学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．（5分）若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩（∁U B）=（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：集合A={y|y=2x}={y|y＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，∁U B={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤3}，A∩（∁U B）=（0，+∞）∩[﹣1，3]=（0，3]．故选：A．2．（5分）已知p：|x+1|＞2，q：|x|≥a（a≥0），且￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．0≤a≤3C．a≤1D．a≥3【解答】解：由p：|x+1|＞2，得x＞1或x＜﹣3；由q：|x|≥a（a≥0），得x＞a或x＜﹣a．∴￢p：﹣3≤x≤1，￢q：﹣a≤x≤a，由已知得，则a≤1．又∵a≥0，∴0≤a≤1．故选：A．3．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y﹣1的最大值为（）A．5B．4C．D．﹣3【解答】解：由约束条件作可行域如图，由z=2x﹣y﹣1，得：y=2x﹣z﹣1．要使z最大，则直线y=2x﹣z﹣1在y轴上的截距最小，由图可知，当直线过可行域内的点C时在y轴上的截距最小．联立，解得C（2，﹣1）．∴目标函数z=2x﹣y﹣1的最大值为2×2﹣（﹣1）+1=4．故选：B．4．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64B．73C．512D．585【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．故选：B．5．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2cosx，则f（2），f（log2），f（log 23）的大小关系是（）A．f（log2）＜f（log 23）＜f（2）B．f（log2）＜f（2）＜f（log 23）C．f（log 23）＜f（log2）＜f（2）D．f（2）＜f（log 23）＜f（log2）【解答】解：函数f（x）=x2﹣2cosx，有f（﹣x）=（﹣x）2﹣2cos（﹣x）=x2﹣2cosx=f（x），则函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+2sinx，在（0，2π）上，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，2π）上递增，|log2|=|log 32|＜1＜log23＜2＜，则f（log2）＜f（log 23）＜f（2）；故选：A．7．（5分）设函数f（x）=ax+（1﹣x）（其中a＞0）在0≤x≤1的最小值为g（a），则g（a）的最大值为（）A．a B．C．2D．1【解答】解：f（x）=（a﹣）x+，当0＜a＜1时，a﹣＜0，f（x）递减，在[0，1]上的最小值为f（1）=a；当a=1时，a﹣=0，f（x）=1；当a＞1时，a﹣＞0，f（x）递增，在[0，1]上的最小值为f（0）=（a＞1）．因此g（a）=，可得g（a）的最大值为1．故选：D．8．（5分）已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x+y，且2x+10y=5（x≠0），则△ABC的面积为（）A．24B．C．18D．20【解答】解：取AC中点D，因为O是△ABC的外心，则．由于，所以：===5×10=50，由于：=x+y，则：=x+y=60xcosA+100y=50．即：6xcosA+10y=5，由于2x+10y=5，所以：6xcosA=2x，解得：cosA=，所以：sinA=，则：=20．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸的相应位置上．9．（5分）在复平面内，复数+（1+2i）2的共轭复数对应的点位于第三象限．【解答】解：由+（1+2i）2 ==，∴复数+（1+2i）2的共轭复数为，对应的点的坐标为（），位于第三象限．故答案为：三．10．（5分）已知圆C的圆心C在x轴正半轴上，半径为1，直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆C截得的弦长为，则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1．【解答】解：根据题意，设圆心C的坐标为（a，0）（a＞0），C到直线8x﹣6y ﹣3=0的距离为d，则d==，又由直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆C截得的弦长为，则有d2+（）2=1，解可得d=，又由d=，则有=，解可得：a=1或﹣，又由a＞0，则a=1；故圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1；故答案为：（x﹣1）2+y2=1．11．（5分）已知a，b，c分别是锐角△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=，若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，则a=．【解答】解：∵sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴由已知得sin（A+B）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，又cosa＞0，∴sinB=2sinA．由正弦定理，得b=2a．由c=2，C=，根据余弦定理，可得：4=a2+b2﹣ab=a2+4a2﹣2a2，解得：a=．故答案为：．12．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r的半球拼接组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=2．【解答】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S==16+20π，得到r=2．故答案为：2．13．（5分）如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且=﹣3，设=，=，=，若=m+n，则m﹣n的值等于﹣2．【解答】解：向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且=﹣3，则：==，即：，设=，=，=，若=m+n，则：，所以：，故答案为：﹣2．14．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（﹣x）+f （x）=x2，且在（0，+∞）上f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围（﹣∞，1] ．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣）=====．∴；（2）∵x∈[﹣，]，∴2x∈[]，则[﹣]，sin（2x）∈[﹣1，1]．∴f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为和﹣．16．（13分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，列出选择的所有可能情况，并求这2人都来自高校C的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意==，所以x=1，y=3．（Ⅱ）记高校B的两个人为a，b，高校C的三个人为x，y，z，则从中任抽取2人的所有可能情况为：ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz，共10种，而其中这2人都来自高校C有xy，xz，yz，共3种，所以P=17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面ABCD的直角梯形，AB∥CD，CD⊥AD，CD=2AB=2AD=2，M为PC 中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求证：直线BM⊥平面PDC；（Ⅲ）求直线PD与平面BDM所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点N，连结MN，AN，∵M为PC的中点，∴MN∥CD，且MN=，又AB∥CD，且AB=，∴四边形ABMN是平行四边形，∴MB∥AN，∵MB⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∵AN⊂平面PAD，∴AN⊥CD，∵△PAD是正三角形，PD中点为N，∴AN⊥PD，又∵PD∩CD=D，∴AN⊥平面PDC，∵MB∥AN，∴MB⊥平面PDC．解：（Ⅲ）过P作PE⊥DM于E，∵MB⊥平面PDC，MB⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面PDC，且平面BDM∩平面PDC=DM，∴PE⊥平面BDM，∴DE是PD在平面BDM内的射影，∴∠PDE为直线PD与平面BDM所成角，Rt△PDC中，DM=PM=PC=，PE===，∴Rt△PDE中，sin∠PDE==，∴直线PD与平面BDM所成角的正弦值为．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n（1）求证：数列{b n}是等差数列（2）设c n=log2，数列{}的前n项和为T n，求满足T n＜（n∈N*）的n的最大值．【解答】（1）证明：数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*），n=1时，a1=S1=﹣a1﹣1+2，解得a1=．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n﹣（）n﹣1+2﹣=﹣a n+a n﹣1+，∴2a n=a n﹣1+，即2n a n﹣2n﹣1a n﹣1=1．数列{b n}满足b n=2n a n，=1．又b1=2a1=1．∴b n﹣b n﹣1∴数列{b n}是等差数列，首项与公差为1．∴b n=1+（n﹣1）=n=2n a n．∴a n=．（2）c n=log2=n，∴==﹣．∴数列{}的前n项和T n=++…++=1+﹣﹣=﹣＜，化为：13n2﹣45n﹣100＜0，化为：（13n+20）（n﹣5）＜0，∴﹣＜n＜5，又n∈N*，∴n max=4．19．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2（r＞0），若圆C2的直径是椭圆C1的焦距长的倍，且圆C2的面积为4π，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的上顶点A有一条斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆的另一个交点是B．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设椭圆C1的右焦点为F，O为坐标原点，当2S=S△OBA时，求△OBA△OBF的面积．【解答】解：（Ⅰ）πr2=4π，r＞0，∴r=2．∵2r=2c，∴c=．∴e==，a2﹣b2=c2，∴a=，b=1．∴椭圆方程为：=1．（Ⅱ）设B（x1，y1），直线l：y=kx+1，由联立方程组，消去y 得（3k2+1）x2+6kx=0．∴x1=，y1=kx1+1=．∴直线OB的方程为：y=x．设点A到直线OB的距离为d1，点F到直线OB的距离为d2，∵2S=S△OBA，∴d2=d1．△OBF有2×=，∴18k4﹣15k2+2=0．解得k2=，或k2=．∵k ＞0，∴k=，或k=，此时均有S △OBA=．20．（14分）已知x=1是函数f （x ）=mx 3﹣3（m +1）x 2+nx +1的一个极值点，其中m ，n ∈R ，m ＜0．（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）当x ∈[﹣1，1]时，函数y=f （x ）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=3mx 2﹣6（m +1）x +n ．因为x=1是f （x ）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m ﹣6（m +1）+n=0． 所以n=3m +6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x ）=3mx 2﹣6（m +1）x +3m +6=3m （x ﹣1）[x ﹣（1+）] 当m ＜0时，有1＞1+，当x 变化时f （x ）与f'（x ）的变化如下表：，由上表知，当m ＜0时，f （x ）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x ）＞3m ，即3m （x ﹣1）[x ﹣（1+）]＞3m ， ∵m ＜0．∴（x ﹣1）[x ﹣1（1+）]＜1．（*）①x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上①②知﹣＜m＜0．。
天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校2017
2017～2018学年度第一学期期中七校联考高二数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上。
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是（ ）.（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定（2）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）. （A ）23π错误！未找到引用源。
（B ）43π错误！未找到引用源。
（C ）53π （D ）2π（3）已知平面α，β，直线l ，m ，且有l ⊥α，mβ，则下列四个命题正确的个数为（ ）．①若α∥β，则l ⊥m ； ②若l ∥m ，则l ∥β；③若α⊥β，则l ∥m ； ④若l ⊥m ，则l ⊥β； （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4（4）已知点(4a ，2b )(a >0，b >0)在圆C ：x 2＋y 2＝4和圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的公共弦上，则12+a b 的最小值为（ ）. （A ）1 （B ）2（C ）4（D ）8（A）（B）（C）（D）C11（5）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．（6）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，⊥AC BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）．（A（B（C（D）35（7）设点P是函数y=，则|PQ|的最大值为（）.（A＋2（B＋2 （C（D（8）已知圆x2+y2+x–6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx–y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）．（A）y= –21错误！未找到引用源。
天津市六校(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)2017-2018学年高二化学上学期期末联考试题
2017～2018学年度第一学期期末六校联考高二化学试卷可能用到的相对原子质量 H 1 C 12 O 16 S 32 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Ag 108第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
本题20个小题，每题只有一个选项符合题意，每题2分，共40分1．下列说法正确的是A．南海开采出的可燃冰属于新能源B．任何化学反应中的能量变化都表现为热量变化C．有化学键断裂不一定发生化学反应D．吸热反应只有加热才能发生2．下列反应中生成物总能量高于反应物总能量的是A．氢氧化钠溶液和盐酸反应B．碳酸钙受热分解C．铝粉与盐酸反应D．氧化钙溶于水3．下列说法正确的是A．金属腐蚀的本质是金属原子被还原B．接线时铜线与铝线能直接拧在一起C．镀层破损后，镀锌铁比镀锡铁更易生锈D．电热水器里放镁棒是为保护内胆和加热管4．反应4A(s)+3B(g)=2C(g)+D(g)，经2min B的浓度减少0.6 mol/L。
有关反应速率的说法正确的是A．用A表示的反应速率是0.4 mol/(L·min)B．分别用A、B、C、D表示反应的速率，其比值是4:3:2:1C．在2 min末的反应速率，用B表示是0.3 mol/(L·min)D．在这2 min内用B和C表示的反应速率的值都是逐渐减小的5．下列有关叙述中正确的是盐桥ZnCuA ．强电解质在水溶液中的电离过程是不可逆的B ．CO 2的水溶液能导电，所以CO 2是电解质C ．碳酸钙在水里的溶解度很小，所以碳酸钙是弱电解质D ．强电解质的水溶液导电能力一定比弱电解质的水溶液导电能力强6．下列说法中错误．．的是A ．凡是放热反应而且熵增加的反应，就更易自发进行B ．对于同一物质在不同状态时的熵值是：气态>液态>固态C ．平衡常数K 值越大，则可逆反应进行越完全，反应物的转化率越大D ．凡是能量达到活化能的分子发生的碰撞均为有效碰撞 7．下列事实不能用平衡移动原理解释的是A ．红棕色的NO 2，加压后颜色先变深后变浅B ．工业上生产硫酸的过程中，使用过量的空气以提高SO 2的利用率C ．由H 2(g)、I 2(g)、HI(g)气体组成的平衡体系加压后颜色变深D ．实验室中常用排饱和食盐水的方法收集氯气 8．在恒温、恒容的密闭容器中发生反应A （g ）B （g ）+C （g ）（反应热量因素忽略）。
天津市静海县六校2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题
2017～2018学年度第一学期期中联考高二数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上。
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是（ ）.（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定（2）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）. （A ）23π错误！未找到引用源。
（B ）43π错误！未找到引用源。
（C ）53π （D ）2π（3）已知平面，，直线l ，m ，且有l ⊥，m，则下列四个命题正确的个数为（ ）．①若∥，则l ⊥m ； ②若l ∥m ，则l ∥； ③若⊥，则l ∥m ； ④若l ⊥m ，则l ⊥； （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4（4）已知点(4a ，2b )(a >0，b >0)在圆C ：x 2＋y 2＝4和圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的公共弦上，则12+a b 的最小值为（ ）. （A ）1 （B ）2（C ）4（D ）8（5）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的C 11图形是（ ）．（6）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，⊥AC BC ，且CA=CC 1=2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为（ ）． （A（B（C（D ）35（7）设点P 是函数y =|PQ |的最大值为（ ）. （A＋2 （B＋2 （C（D（8）已知圆x 2+y 2+x –6y+3=0上的两点P ，Q 关于直线kx –y+4=0对称，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），则直线PQ 的方程为（ ）．（A ）y= –21x+23（B ）y= –21x+21或y= –21x+45 （C ）y= –21x+41（D ）y= –21x+23或y= –21x+45第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）（9）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点B 1的坐标是__________．（10）经过点M (–2，m )、N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为__________．PADCBFE（11）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为__________．（12）一只虫子从点(0，0)出发，先爬行到直线l ：x –y +1=0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行 的最短路程是__________．（13）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________m 3．（14）若圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2–4=0（a ∈R）与圆C 2：x 2+y 2–2by –1+b 2=0（b ∈ R）恰有三条公切线，则a+b 的最大值为__________．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （15）（本小题满分13分）已知圆C ：x 2+y 2+2x –2y –2=0和直线l ：3x+4y+14=0． （Ⅰ）求圆C 的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．（16）（本小题满分13分）如图，四棱锥P ―ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD=60°，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点，F 是PC 的中点．（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：BF ∥平面PDE ．（17）（本小题满分13分）已知点P (2，–1)．（Ⅰ）求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；（Ⅱ）求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少?第13题图正视图 侧视图俯视图EFB AC D（18）（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BF BC ⊥，BF CE ＜，2BF =，1AB =，AD =（Ⅰ）求证：BC AF ⊥； （Ⅱ）求证：AF DCE ∥平面；（Ⅲ）若二面角E BC A --的大小为120°，求直线DF 与平面ABCD 所成的角．（19）（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都是2，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角D -BA 1-A 的余弦值； （Ⅲ）求点B 1到平面A 1BD 的距离．（20）（本小题满分14分）已知圆M ：x 2+(y –2)2=1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （Ⅰ）当Q 的坐标为（1，0）时，求切线QA ，QB 的方程； （Ⅱ）求四边形QAMB 面积的最小值； （Ⅲ）若|AB |=324，求直线MQ 的方程．高二数学参考答案一、选择题：二、填空题： （9）（3，1，2）；（10）1；（11）122a 3； （12）2；（13）6+π；（14）32三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（15）解：（Ⅰ）圆的方程化为(x+1)2+(y –1)2=4，……………4分∴圆心C 的坐标为(–1，1)，半径r=2．……………6分 （Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离d=2243141431++⨯+⨯-=3，……………10分 ∴圆C 上的点到直线l 距离的最大值为d+r=5．……………13分（16）解：（Ⅰ）∵底面ABCD 是菱形，∠BCD=60°，∴△ABD 为正三角形，∵E 是AB 的中点，DE ⊥AB ． ……………2分 ∵PA ⊥面ABCD ，DE面ABCD ，∴DE ⊥AP ， ……………3分 ∴DE ⊥面PAB ， ∵DE面PDE ，∴面PDE ⊥面PAB ． ……………6分（Ⅱ）取PD 的中点G ，连结FG ，GE ， ……………7分∵F ，G 是中点，∴FG ∥CD 且1=2FG CD ， ……………9分 ∴FG 与BE 平行且相等，∴BF ∥GE ， ……………11分 ∵GE面PDE ，∴BF∥面PDE．……………13分（17）解：（Ⅰ）①当l的斜率k不存在时l的方程为x=2，符合题意．……………2分②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k(x–2)，即kx–y–2k–1=0，=2，解得k=34，……………7分所以l：3x–4y–10=0．故所求l的方程为x=2或3x–4y–10=0．……………8分（Ⅱ）数形结合可得，过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．由l⊥OP，得k l k OP= –1，所以k l= –1OPk=2．……………10分由直线方程的点斜式得直线l的方程为y+1=2(x–2)，即2x–y–5=0，即直线2x–y–5=0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为．……………13分（18）解: （I）∵四边形ABCD为矩形，∴BCAB⊥，又∵BCBF⊥，BFAB,是平面ABF内的两条相交直线，∴⊥BC平面ABF……………2分∵⊂AF平面ABF，∴AFBC⊥……………3分（II）在CE上取一点M，使BFCM=，连FM，∵BF∥CE，∴BF∥CM ∴四边形BCMF为平行四边形……………5分MF BC MF AD∴∴∥∥∴四边形ADMF为平行四边形……………6分∴AF∥DM，∵⊂DM平面DCE，⊄AF平面DCE，∴AF∥平面DCE……………7分（III）∵BFBCABBC⊥⊥,，∴ABF∠就是二面角ABCE--的平面角∴ABF∠120=，……………8分∵5,1,2===ADABBF∴7cos222=∠⋅-+=ABFBFABBFABAF……………9分1∴在直角ADF ∆中，3222=+=AF AD DF ……………10分过F 作FN 与AB 的延长线垂直，N 是垂足，∴在直角FNB ∆中，3=FN∵⊥BC 平面ABF ，⊂BC 平面ABCD ， ∴平面ABF ⊥平面ABCD ∴⊥FN 平面ABCD ，∴FDN ∠是直线DF 与平面ABCD 所成的角 ……………12分 在直角FDN ∆中，21323sin ===∠DF FN FDN ， ∴ 30=∠FDN……………13分（19）解：（Ⅰ）∵AB=BC=CA ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ， ……………1分∵AA 1⊥平面ABC ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， ……………2分 ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥AE ． ……………3分 又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点， ∴A 1D ⊥AE ．∴AE ⊥平面A 1BD ． ……………5分（Ⅱ）连结AB 1交A 1B 于O ，设A 1D 交AE 于F ，连结OF ．在正方形AA 1B 1B 中，AB 1⊥A 1B ， 又由（Ⅰ）知AE ⊥A 1B ， ∴A 1B ⊥平面AFO ，∴∠AOF 即为二面角D -BA 1-A 的平面角． ……………8分∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都是2，∴AO=2，AF=552，∴在Rt△AOF 中，OF=530．∴cos∠AOF=AO OF =515． 即二面角D -BA 1-A 的余弦值为515． ……………11分 （Ⅲ）∵O 为AB 1的中点，∴点B 1到平面A 1BD 的距离等于点A 到平面A 1BD 的距离． …………12分由（Ⅰ）知AF 的长度即为所求． ……………13分 由（Ⅱ）知点B 1到平面A 1BD 的距离等于552． ……………14分 （20）解：（Ⅰ）设过点Q 的圆M 的切线方程为x=my+1， ……………1分则圆心M 到切线的距离为1， 所以1|12|2++m m =1，所以m= –34或0． ……………3分 所以QA ，QB 的方程分别为3x+4y –3=0和x=1． ……………5分（Ⅱ）因为MA ⊥AQ ，所以S 四边形MAQB =|MA |·|QA |=|QA |=22||||MA MQ -=1||2-MQ ≥1||2-MO =3，所以四边形QAMB 面积的最小值为3． ……………9分（Ⅲ）设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，所以|MP |=23221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31． ……………10分 在Rt△MBQ 中，|MB |2=|MP ||MQ |， ……………11分 即1=31|MQ |， 所以|MQ |=3．设Q (x ，0)，则x 2+22=9， ……………12分 所以x=±5， 所以Q (±5，0)，所以MQ 方程为2x+5y –25=0或2x –5y+25=0． ……………14分。
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第6题图°°ba o 2017～2018学年度第一学期期末六校联考高二数学（文）试卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．（1）抛物线22y x =的准线方程为（ ）．（A ）1x =（B ）12x =（C ）1x =-（D ）12x =-（2）命题“x ∀∈R ，211≥x +”的否定是（ ）．（A ）x ∀∈R ，211x <+（B ）0x ∃∈R ，2011x +≤（C ）0x ∃∈R ，2011x +<（D ）x ∀∈R ，211≤x +（310y +-=的倾斜角为（ ）．（A ）30 （B ）60（C ）120（D ）150（4）已知空间两点(2,3,5)A ，(3,1,4)B ，则,AB 两点间的距离为（ ）．（A（B（C）（D （5）函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x（A ）5个 （B ）4个（C ）3个（D ）2个（6）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱柱的各个顶点均在 同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）． （A ）244π （B） （C ）244π3（D（7）设O 是空间一点，,,a b c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命．．题．不成立的是（ ）． （A ）当O b a = 且α⊂a ，α⊂b 时，若c a ⊥，c b ⊥，则α⊥c （B ）当O b a = 且α⊂a ，α⊂b 时，若β//a ，β//b ，则βα// （C ）当α⊂b 时，若β⊥b ，则βα⊥ （D ）当α⊂b ，且α⊄c 时，若α//c ，则c b //（8）下列四个条件中，p 是q 的充分不必要．．．．．条件的是（ ）． （A ）有非零向量a ，b ，直线1l a∥，直线2l b ∥，:p 12l l ∥，:q 0a b +=（B ）:2p m =，:q 直线20mx y ++=与(2)10m x my +++=平行 （C ）:0p ab <，22:q ax by c +=为双曲线（D ）:0p F =，:q 曲线220x y Dx Ey F ++++=过原点二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸相应位置上． （9）两条平行线1:330l x y -+=与2:320l x y --=间的距离为_______．（10）若直线13y x b =-+与两坐标轴所围成的三角形面积不大于3，则实数b 的取值范围是_______．（11）已知函数()sin f x ax x =+，1)3π(='f ，则a =_______．（12）直线240x y +-=关于直线y x =-对称的直线方程为______________.第（6）题图（13）已知双曲线1922=-my x 的一个焦点为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为______________.（14）已知命题p :220x x a -+≥在R 上恒成立，命题q : 2000,220x x ax a ∃∈++-=R ，若p且q 为真，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知两点(32)A ，，(12)B -，，圆C 以线段AB 为直径． （Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）已知直线l :4y kx =+，①若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；②若直线l 与圆C 相交于P ,Q 不同的两点，是否存在横坐标为13-的点M ，使点M 恰好为线段PQ 的中点，若不存在说明理由，若存在求出k 值.（16）（本小题满分13分）已知椭圆22:12x C y +=．（Ⅰ）求椭圆C 的长轴和短轴的长，离心率e ，左焦点1F ；（Ⅱ）经过椭圆C 的左焦点1F 作直线l ，直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AB =求直线l 的方程．（17）（本小题满分13分）设a 为实数，函数322()f x x ax a x a =+-+． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 的极值；D BAPE（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且22PA PB PC PD AB =====，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//PD 平面AEC ；（Ⅱ）求异面直线AE 与PD 所成角的正切值； （Ⅲ）求AE 与底面ABCD 所成角的余弦值.（19）（本小题满分14分）已知函数2()ln 33af x x a x x=-++,a ∈R ．若(1)0f '=（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若对1[,4]4x ∈，31()ln 12f x c >-恒成立，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程2321()133x f x x x kx +-+=有实数解，求实数k 的取值范围．（20）（本小题满分14分）已知椭圆E ：22221x y a b +=）（0>>b a过点2P ，其上顶点(0)B ,b 与左右焦点12,F F 构成等腰三角形，且12120F BF ∠= .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）以点(0)B ,b 为焦点的抛物线C ：22(0)x py p =>上的一动点(,)P P m y ，抛物线C 在点P 处的切线l 与椭圆E 交于12,P P 两点，线段12P P 的中点为D ，直线OD （O 为坐标原点）与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ，问：当0m b ≤时，POM △面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． （1）D 提示：122,1,22p p p ===，准线方程. 12x =- （2）C（3）C 提示：tan k α==120α=（4）B 提示：(2,3,5)A ，(3,1,4)B ,AB ==（5）C 提示：当导函数值由负到正时，函数()f x 存在极小值，则从导函数图象知有3个 （6）A 提示：可将三棱柱补成一个长、宽、高分别是12,8,6的长方体，则该长方体的外接球的直径22226812244d =++=，于是球的表面积等于22=4244S R d πππ==球 （7）C（8）B 提示：选项A,C 中p 是q 的必要不充分条件；选项D 中p 是q 的充分必要条件；选项B 满足条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9 提示：d ==．（10）b 提示：1332b b ≤，b （11）12 提示：1()cos ,()cos 1332f x a x f a a p p ⅱ=+=+=+=，12a =． （12）240x y ++= 提示：直线240x y +-=上任意一点(,)x y 关于y x =-的对称点(,)y x --一定在对称直线上（13）43y x =± 提示：925,m +=得16m =，双曲线方程是221916x y -=（14）1a ≥ 提示：p :220x x a -+≥在R 上恒成立，1=440a ∆-≤，即1a ≥；q :2000,220x x ax a ∃∈++-=R ，22=44(2)0a a ∆--≥，即2a -≤或1a ≥．若p 且q为真，则1a ≥三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）圆的直径||4AB ，故半径为2．圆心坐标为(32)A ，，(12)B -，的中点(1,2)， 所以圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=. ……………………………5分（Ⅱ）①直线l :4y kx =+，若直线l 与圆C 相切，则圆心到直线l 的距离2d ==，解得43k =或0k =，………8分 所以直线l 的方程为43120x y -+=或4y =. ……………9分②由方程组22(1)(2)4,+4x y y kx ⎧-+-=⎨=⎩ 消去y ，整理得22(1)(42)10k x k x ++-+=. ………………………10分 若直线l 与圆C 相交于P ,Q 不同的两点，则4(34)0k k ∆=->， 得43k >或0k <. ……………………………………………11分 设11(,)P x y ,22(,)Q x y ，则122241kx x k -+=+.若122121213x x k k +-==-+，解得3k =分所以存在横坐标为13-的点M ，使点M 恰好为线段PQ 的中点，此时3k =分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由椭圆22:12x C y +=知222,1a b ==，则1a b ==，故1c =. …………2分所以椭圆C 的长轴2a =22b =，离心率c e a ===， 左焦点1(1,0)F -. …………………………5分（Ⅱ）设直线l 方程(1)y k x =+，由方程组22(+122y k x x y =⎧⎨+=⎩），消去y ，整理得 2222(21)4220k x k x k +++-=. ……………………………………6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -=+. ……………………………8分又因为AB ，且已知AB ==．解得23k =，k =， ……………………………11分所以直线l 的方程：1)y x +或1)y x =+．0y -0y +． …………………………………13分 （17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22()32f x x ax a '=+-，当1a =-时，2()321(31)(1)f x x x x x '=--=+-．令()0f x '=，解得13x =-或1x =. ………………………………3分列表如下：…………………………6分32111122()()()()1333327f -=------=-，(1)11112f =---=-，所以()f x 的极大值为2227-，极小值为2- ．………………………………8分 （Ⅱ）22()32(3)()f x x ax a x a x a '=+-=-+， ……………………………10分当0a >时，03a a -<<， 此时()f x 单调递增区间为(,)a -∞-，(,)3a +∞；减区间为(,)3aa -.……………11分当0a <时，03aa <<-， 此时()f x 单调递增区间为(,)3a -∞，(,)a -+∞；减区间为 (,)3aa -. …………12分当0a =时， 此时2()30f x x '=≥函数在R 上单调递增. …………………13分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 为正方形,连结BD 交AC 于点O ，则O 为BD 的中点.连结EO ,…………………………2分 因为E 为PB 的中点，故//EO PD .…………………3分 又EO ⊂平面AEC ，PD ⊄平面AEC ,所以//PD 平面AEC . ……………………4分（Ⅱ）由于//EO PD ，故AEO ∠为异面直线AE 与PD 所成角. …………………5分因为PA PC =，故PO AC ⊥.又BD AC ⊥,PO BD O = ，所以AC ⊥平面PBD .又EO ⊂平面PBD ，故AC EO ⊥. ………………6分 所以三角形AOE 为直角三角形，112OE PD ==，AO = ………7分tan AO AEO EO ==.即异面直线AE 与PD. ………………………8分 （Ⅲ）取OB 中点F ,则//EF PO，且12EF PO ==. 又由PA PB PC PD ===，可得PO ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD . 故EAF ∠为AE 与底面ABCD 所成的角. ………………………12分 又22258AF AO OF =+=，22232AE AF EF =+=，cos AF EAF AE ∠===，所以AE 与底面ABCD. ……………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0)+∞，， 22()33a af x x x '=--+． ……………………………… 2分由2(1)033af a '=--+=，解得1a =. ……………………………3分（Ⅱ）可知21()ln 33f x x x x=-++，于是222111()(1)(21)333f x x x x x x '=--+=---． …………………………4分当1[,4]x ∈时，可知函数()f x 在12x =处取得极小值1ln 23-． ……………………………6分 由于1(4)()2f f <，故对1[,4]4x ∈，()f x 最小值为312ln 212-+． ……………………8分使31()ln 12f x c >-恒成立，只要312ln 212-+31ln 12c >-， …………………9分 所以04c <<． ………………………………10分（Ⅲ）由2321()133x f x x x kx +-+=，整理后得2ln 1x x kx +=．所以1ln x x k x+=． …………………………………11分 令1()ln g x x x x =+，则22211()ln 1ln x g x x x x x-'=+-=+． …………… 12分显然(1)0g '=．当01x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数． 所以当1x =时，min ()(1)1g x g ==，即()g x 的值域为[1)+∞，． 所以使方程2321()133x f x x x kx +-+=有实数解的k 的取值范围1k ≥． …… 14分（20）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知得①2a b =和②222112a b+=，解得21b =，24a =． 故椭圆E 的方程为2214x y +=. …………………………………4分 （Ⅱ）抛物线C 的焦点(0,1)B ,则其方程为24x y =. ………………………5分于是抛物线上点(,)P P m y 的坐标是2(,)4m m ，则在点P 处的切线l 的斜率为2x m mk y ='==， …………………………6分故切线l 的方程为2()42m m y x m -=-，即224m m y x =-. 由方程组222,2414m m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，做题破万卷，下笔如有神天才出于勤奋 整理后得22341(1)404m x m x m +-+-=． ………………………………7分 由已知直线l 与椭圆交于两点，则62414(1)(4)04m m m ∆=-+->．解得208m <+≤0m =是不合题意的． 所以0m <或0m < ………………………8分设111222(,),(,)P x y P x y ，则312222(1)D x x m x m +==+. …………………………9分 代入l 的方程得224(1)D m y m -=+. 故直线OD 的方程为D D y y x x =，即12y x m=-. …………………………10分 当x m =时，12y =-，即点1(,)2M m -. …………………………11分 POM △面积2311111()222484m S PM m m m m ==+=+. ……………………12分 因为231084S m '=+>，故S 关于m 单调递增. 因为01m <≤时，所以当1m =时，POM △面积最大值为38. …………………………14分。