概率论与数理统计在数学建模中的应用
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的研究———以应用型本科院校为例
①本文系宁夏大学新华学院2014年本科教学质量工程项目，宁夏回族自治区2014年本科教学质量工程项目的研究成果。
作者简介：亢婷（1984—），女，宁夏中宁人，硕士，讲师，研究方向：应用数学、统计学、金融数学。
在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的研究①———以应用型本科院校为例亢婷（宁夏大学新华学院，宁夏银川750021）应用型本科院校是以培养应用型人才为主的院校，它既不同于普通本科院校也不同于高职高专院校，其专业设置以新兴专业或新的专业培养方向为主体，课程体系设计侧重于学科及应用，教学方法兼顾学科性与应用性，以具备应用能力的“双师型”教师为师资队伍。
概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它从量化的角度揭示了随机事件与必然事件之间的联系，是高等院校理工、经管等专业的一门主干课程，该课程最大的特点是具有较强的应用性。
比如，面对供过于求的市场环境，商家简单地采用促销手段，有的降价销售，有的买一赠一，还有的抽奖促销，对于这些活动到底参加与否？均可借助概率统计的相关知识做出决策。
为增强学生运用概率统计知识解决实际问题的能力，在应用型本科院校《概率论与数理统计》课程的教学中，运用数学建模案例教学是一种行之有效的好方法。
数学建模就是把抽象的数学概念融入具体的案例并建立起数学模型的过程。
即选择一个实际问题，按照其内在规律做出一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，借助数学的分析与计算全面探讨并求出所得模型的解，再结合相关背景知识，利用所得结果解释或回答实际问题。
数学家李大潜教授曾指出：如果数学建模的精神不能融合进数学类主干课程，仍然孤立于原有数学主干课程体系之外，数学建模的精神是不能得到充分体现和认可的。
因此，数学建模思想应与已有的课程教学内容有机地结合起来，从而为大学数学教学改革提供一种全新的思路。
随着全国大学生建模竞赛影响力的不断扩大，数学建模这一有效的教学方式被越来越多的教师与学生所认可，数学建模既能提高学生的数学运用能力，又能克服教师在教学中对复杂知识难以用语言描述以及学生难以理解的障碍。
数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用
经济研究导刊ECONOMIC RESEARCH GUIDE总第90期2010年第16期Serial No．90No．16，2010数学建模是指对现实世界的特定对象，为了某特定目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。
数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其他科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化、数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用，因此数学建模被时代赋予更为重要的意义[1]。
大学生数学建模竞赛自1985年由美国开始举办，竞赛以三名学生组成一个队，赛前有指导教师培训，赛题来源于实际问题。
比赛时要求就选定的赛题每个队在连续三天的时间里写出论文，它包括：问题的适当阐述；合理的假设；模型的分析、建立、求解、验证；结果的分析；模型优缺点讨论等。
数学建模竞赛宗旨是鼓励大学师生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种方式鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。
以竞赛的方式培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献，自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造力、想象力、联想力和洞察力。
他还可以培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。
这项赛事自诞生起就引起了越来越多的关注，逐渐有其他国家的高校参加。
中国自1989年起陆续有高校参加美国大学生数学建模竞赛。
《概率论与数理统计》教学与数学建模思想方法的融入
论： ・
概 念时 ， 们可 以从 生 活中的 “ 术平 均数 ”“ 我 算 、加权平 均数” 引入 ， 深学 生对 “ 学期望 ” 加 数 就是 “ 值 ” 均 的理
解。
２通过实例融人数学建模思想方法 。《 ． 概率论与数 理统计 》 是一门应用性很强 的学科 ， 教师 应充分利用教 材 中的实例 或 自己设计 实例进行讲解 。使 学生学会如 何收集 、 分析数据 ， 建立模型解决实 际问题 。
几条标有记号（ 有ｍ条 ）然后再根据 收集到 的资料进 设 。 行估计 。 ’ 问题 的解决 ： 池 中有Ⅳ 设 条鱼 ， 第二次 钓 出且 有记 号 的鱼数是个随机变数记为 则 ，
＾
人ｎ 个盒 中， 计算相关事件的概率 。一般来说 ， 放人 根据 的方 式不 同 ， 可分 四种情况讨论 ：
放 人方 式 不 同放法 总数 个 质 点 每 盒 可 容 纳 质 点 可分 辨
随 机放入 任意个质点 质点不可分辨 嚣 Ｃ
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Ｐ ＝ （： ）
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运用 能力 。 二、概 率论与数理统计》教 学中融入数学建模 思 《
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率在数学建模中:的应用姓名：邓洪波高强庞宁班级：文电082-2专业：电子计算机与科学技术电话：?概率论与数理统计在数学建模中的应用通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回归模型，以及马氏链模型。
通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。
下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。
首先对概率模型做一下简单的介绍。
对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问题。
在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中，抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。
比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
用到的知识是（s ，S ）存贮策略，即制丁下界s ，上界S ，当周末库存小于s 时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。
要解决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s ，S ）存贮策略，使总费用最小。
首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费0c ,每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ，每件商品缺货损失费3c （1c <3c ）；2.每周销售量r 随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x ，订货量u ，周初库存量u x +；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设，比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。
当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生率x b 与t ∆成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率x b 与人口的总数n 成正比。
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计中有广泛的应用。
下面列举一些常见的应用：
1. 随机过程建模：随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型，在概率论中有重要应用。
例如，布朗运动是一种随机过程，可以用来模拟金融市场的价格变动。
2. 概率模型建立：概率模型是用来描述随机事件发生的概率分布的数学模型。
在数理统计中，我们可以通过拟合数据来估计概率模型的参数，然后利用这些模型进行预测和推断。
常用的概率模型有正态分布、泊松分布、指数分布等。
3. 统计推断：统计推断是利用样本数据对总体特征进行估计和推断的方法。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据对总体参数进行估计，以及对总体分布进行假设检验。
4. 决策分析：决策分析是一种基于概率模型的决策方法，用于在不确定条件下进行决策。
通过建立决策模型，并考虑各种可能的结果和概率，可以选择最佳的决策方案。
5. 置信区间估计：置信区间是对总体参数的估计结果给出的一个范围，该范围内的真实值的概率称为置信度。
通过建立合适的统计模型，可以根据样本数据计算出置信区间，从而对总体参数进行估计。
这些只是数学建模在概率论与数理统计中的一些应用，实际上数学建模在概率论与数理统计领域应用非常广泛，涉及的问题和方法非常多样化。
概率论和数理统计的数学建模研究
２０１６年第２７期２２６青年时代 ＹＯＵＴＨ ＴＩＭＥＳ. 基础教育 .概率论和数理统计的数学建模研究李一璞天津市武清区杨村一中 天津 301700摘 要：在概率论和数理统计中运用数学建模可以提高自身的创造性思维及培养自身的创新能力，数学建模在一定程度上也促进了数学创新与改革的步伐。
在如今的全新时代背景下，将数学建模的内容及思想运用到概率论和数理统计中，具有深远的意义，并且是科学、可行的。
本文就对概率论和数理统计中的教学建模进行了一系列的研究。
关键词：概率论；数理统计；数学建模在学习数学时，概率论和数理统计是最为基础的课程，也是数学中的主要课程，此课程中的知识内容有助于培养学生的数学素质及提高学生的解决问题能力。
将教学建模运用到概率论和数理统计中，可以有效提高学生数学应用能力，并且弥补传统数学教学中的不足，促进数学教学可持续发展，对于数学来说，这是一件非常有意义的事情。
一、概率论和数理统计中应用数学建模的实例要想使数学可以应用到我们的日常生活中，并且能够解决日常生活中的实际问题，就要创建数学模型。
在现实中有着许多数学建模的例子，比如：我们学校有6500名学生，但是每到下午打水的人就非常多，导致水房水管不够用，经常会出现排队很长的现象。
基于此问题，学校应该在原有的水管上面添加多少水管才能有效的解决此问题？分析：首先我们可以先了解学校中水房现有的水管有多少个，然后再调查学生在打水过程中占用水管的时间（比如1%），经过分析我们可以了解到学生在打水时候使用水管都是独立的，基于此我们就可以运用中心极限定理。
在此基础上还有一种情况，就是学生使用水管和不使用水管的机率，使用水管的概率是0.01。
学生使用水管可以是一个独立的实验，那么这个问题就可以是n=6500的n 重伯努利实验。
假设使用水管的学生人数为X ，那么X-B （6500,0.1），就可以通过建立一个数学模型使用德莫佛-拉普拉斯中心极限定理来解决这个问题。
以数学建模渗透概率论与数理统计实验教学
金数据 ， 立模型研究薪金与资历、 建 管理 责 组 成 的 １ 向量 。 ３ 维
型 并 判 断 解 释 的 可 靠 性 、 一 步 优 化 模 型 任 、 育 程 度 的 关 系 ， 进 教 分析 人 事 策 略 的 合 理
Ｉ ｏ ｅ（ ，）％ Ｉ 元素 全 为 ｌ 维 向 ＝ ｎ ｓ １； ｎ 是 的ｎ
量。
并求解等， 到求解出“ 直 最优 模 型 。 的 通过 性 ， 为 新 聘 用 人 员薪 金 的 参 考 。 作
这 一 系列 过 程 ， 生 可 以 将 所 学 理 论 得 到 学
分析 与假 设 ： 表 示 薪 金 ； 历ｘ． 从 用ｙ 资 为
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以 培 养学 生 应 用 概 率 统 计 方 法 解 决 实 种 新 方 法 、 思 路 ）下 面 通 过 实 例 说 明数 新 。
为概 率论与数 理统计教学 的重要环 节。 数 作 用 。 学 建 模 通 过 分 析 问 题 、 立初 始模 型 、 入 建 输
观 测 数 据 求 解 模 型 、 据 运 行 结 果 解 释 模 根
浅谈概率论与数理统计课程与数学建模思想的融合
浅谈概率论与数理统计课程与数学建模思想的融合作者：王芬夏建业刘娟来源：《教育教学论坛》2017年第01期摘要：概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门数学学科，是高等本科院校的一门重要公共基础课。
在概率论与数理统计课程中融入数学建模思想是十分必要的。
本文从教学内容、教学方法等方面对上述内容进行了探讨。
关键词：概率论与数理统计；数学建模；案例教学中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）01-0105-02引言利用数学基础知识抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模[1]。
数学建模是指针对实际生产生活中的特定对象，为了特定的一些目的，通过一定的数学知识与数学思想，对研究对象做出简化和假设，以此对实际问题进行抽象。
数学模型的建立要求建立者针对实际问题，合理地应用数学符号、数学知识、图形等对实际问题进行本质并且抽象地描绘，而不是现实问题的直接翻版。
概率论是一门历史悠久的学科，产生于赌博中的问题，现在早已经发展成为了研究随机现象及其规律的一门数学学科。
概率论与数理统计分成了概率以及统计两大部分，是各类高校必修的重要基础课程之一。
概率论与数理统计中所涉及的学习方法和学习内容，与后期将要学习的随机过程、计量经济学、微观经济学、时间序列分析等课程息息相关，是学生学习这些后续课程的理论基础。
概率论与数理统计在社会生产生活的各个领域都有着非常广泛的应用[2]。
但是，不少学生感到概率统计课程的概念听起来似乎不难理解，但是一遇到实际问题就不知道该如何入手，思维难以展开，所学的分析方法与概率思想很难与自身专业联系起来。
针对现在的教学现状与学生所遇到的实际困难，作为高等教育的工作者，我们能做些什么呢？将数学建模思想融入到概率统计教学中，在抽象、枯燥的概率统计教学过程中，穿插一些与学生专业相关的或者在实际生产生活中常见的问题，对其进行数学建模，同时进行分析和求解，不仅能够帮助学生更好地理解与掌握理论知识，而且也能在很大程度上提高学生的学习兴趣，并且能够帮助学生提高解决实际问题的能力。
在概率论与数理统计教学中融入数学建模的探讨
一、在概率论与数理统计教学中融入数学建模 的重要性 李大潜院士表示，要用数学方法解决一个实际 问题，就要建立相应的有代表性的数学模型， “数学 原来的教学是有缺陷的。过去数学教学有天衣无缝 的数学体系，看起来很美，但忽略了来龙去脉，成 为一个封闭的体系。我们要开展数学建模竞赛活动， 在大学开设数学建模、数学实验等课程，努力将数 学建模思想融入数学类主干课程，让学生在学习知 识的同时，有发现和创造的过程” 。目前，很多大学 都开设了数学模型和数学实验课程，已有 200 多本 教材，一些教师正在将数学建模的思想和方法融入 数学主干课程的研究和试验中。 在今天教育改革的大背景下，面对着大学生生 源不断扩大的现状，面对着大学毕业生种种就业去 向，概率论与数理统计课程的教学决不应该仅仅定 位于传授给学生概率知识，教给他们定义、公理、 定理、推论，把他们当作灌注知识的“容器” 。相 反，我们的教学，不仅要使学生学到许多重要的数 学概念、方法和结论，更应该在传授数学知识的同 时，使他们学会数学的思想方法，领会数学的精神 实质，知道数学的来龙去脉，在数学文化的熏陶中
广： 在一个有 n 个人的集体里，至少两人的生日在 同一天的可能性为 p = 1 − 下的概率值 p 。
n A365 。下表列出很难想到， 两个班级 60 位同学，至少有两人的生日在同一天的 概率竟高达百分之九十九以上。所以小王才敢说他 会算卦，有特异功能呢。 （二）利用现有教材中的习题将数学建模的思 想和方法融入其中 教材的习题中有这样一个题： 已知一个家庭有 3 个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩 的概率（假设小孩是男是女是等可能的） 。利用这个 题，我们融入数学建模的思想，让学生学会开放式 的思维方式，养成从不同的角度思考问题的习惯 [4]。 问题描述：实行计划生育是我国的基本国策。 国家提倡一对夫妻生育一对子女。如果符合规定， 可以生育第二胎。在我国的农村地区，许多家庭都 希望有一个男孩。于是我们提出如下问题： 问题 1：如果一对夫妻第一胎是女孩就可以再 生一胎小孩，但是不能生育第三胎小孩，这样是否 会影响下一代男女比例的变化？ 于是，在教师的指导下，学生们用全概率公式 就可以证明： 在下一代中任选一个小孩，他是男孩 的概率与男孩的出生率是相等的。所以说，国家实 行上述政策不会影响下一代的男女比例。 问题 2：如果一对夫妻一直生育到一个男孩为 止，但是不能生育第三胎小孩，是否会影响下一代 男女比例？
概率统计学中数学建模思想的融入分析
概率统计学中数学建模思想的融入分析概率统计学是一门研究随机现象规律性和随机现象数量特征的学科。
其在实际中有着广泛的应用，包括金融风险评估、医学统计分析、商业决策等领域。
而数学建模是概率统计学的一个重要分支，它通过数学方法对实际问题进行建模和分析，为实际问题提供解决方案。
本文将从概率统计学的角度出发，分析其与数学建模思想的融合，探讨其中的理论依托和实践应用。
一、概率统计学的数学基础概率统计学是以概率论和数理统计为基础的学科。
概率论是研究随机现象的数学理论，其主要内容包括随机变量、概率分布、随机过程等。
数理统计则是以样本数据为基础，通过数理模型来推断总体特征的学科，主要内容包括参数估计、假设检验、方差分析等。
概率统计学的数学基础为数学建模提供了丰富的理论工具，使得数学建模能够更精确地描述实际问题的随机性和不确定性，为问题的解决提供了可靠的数学依据。
1. 风险评估在金融领域，风险评估是一个重要的问题。
概率统计学通过建立数学模型，分析金融市场的波动性和风险性，为投资者提供风险管理和资产配置的依据。
通过对股票价格的随机波动进行建模，可以得到股票价格的概率分布，从而评估投资的风险和收益情况。
2. 医学统计分析在医学研究中，概率统计学的方法被广泛运用。
在临床试验中，可以使用随机化对照试验的方法来评估新药的疗效和副作用。
可以利用统计学方法对疾病流行病学数据进行分析，研究疾病的传播规律和危险因素，为疾病的预防和控制提供科学依据。
3. 商业决策在商业领域，概率统计学的方法可以用来分析市场需求、预测销售额和评估商业风险。
可以利用时间序列分析的方法对销售额进行预测，从而制定合理的生产计划和库存控制策略。
可以利用概率模型对市场需求和竞争情况进行评估，为企业的定价和营销策略提供经济学依据。
三、数学建模思想在概率统计学中的应用数学建模思想是指通过数学方法对实际问题进行抽象和简化，构建数学模型进行分析和求解的思维方式。
在概率统计学中，数学建模思想被广泛应用于实际问题的分析和解决。
概率论与数理统计教学融入数学建模思想的研究与实践
概率论与数理统计教学融入数学建模思想的研究与实践摘要：概率论与数理统计是高校具有较强理论性和应用性的一门基础课。
针对本课程的特点及教学中存在的问题，本文分析了将数学建模思想融入课程教学中的必要性，探讨了在概率统计教学中融入数学建模思想的相应措施，通过引进数学建模，激发学生的学习兴趣，提高学生分析和解决实际问题的能力，提高教学质量。
关键词：数学建模思想；课程教学；教学研究1绪论概率论与数理统计是从数量上对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的一门数学学科，它具有较强的理论性和广泛的应用性，对于培养学生处理随机现象、解决实际问题的能力具有重要意义。
然而由于课程内容多而课时少，教学内容抽象枯燥，往往导致学生学习兴趣不足、积极性不高，甚至学完后不知道所学有何用，仅停留在表层没有内化，无法应用。
2融入数学建模思想的必要性从提高学生的能力素质这一教育改革目标来看，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要，正如数学家王梓坤所说：“数学兼具有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的科学。
”[3]数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，有助于培养学生的创新能力。
从大学生数学建模竞赛赛题来看，近年来许多题目也都不同程度的涉及到概率統计的相关，比如，北京奥运会馆的人流分布问题、上海世博会经济影响力的定量评估、高等教育学校收费问题等等。
因此，在课堂教学中，教师有必要选择一些具有现实意义、应用性强又便于课堂实践的案例，将其应用到概念、性质、理论的授课中，从而既为概率统计知识找到了应用的肥沃土壤，建立起知理论知识同应用实践的沟通桥梁，建模的思维模式也能激发学生的学习兴趣，改善课堂氛围，提高授课质量。
3融入数学建模思想的相应措施3.1创设情境，案例教学，逐步渗透数学建模思想随机现象是概率统计研究的对象，其在日常生活及工程应用中十分常见。
教师在授课过程中，精心备课，依据授课内容选取相应典型案例，创设教学情境，并将实际问题转换为具体的数学问题，引导学生置身于情境，对案例进行思考、分析和研究，建立数学模型，在这一系列的过程中建模思想的无形渗透，有助于培养学生运用数学知识发现、分析和解决实际问题的能力。
数学建模所需要的数学基础
数学建模所需要的数学基础数学建模是将实际问题转化为数学模型并通过数学方法进行求解的过程。
它在现代科学研究和工程实践中具有重要的应用价值。
要进行数学建模，需要一定的数学基础。
本文将介绍数学建模所需要的数学基础，并提供一些指导意义的建议。
第一，数学分析是数学建模的基础。
数学分析是对实数、复数、函数等数学概念和性质的研究。
它主要包括极限、连续性、微积分等内容。
在数学建模中，往往需要通过分析来建立模型的数学表达式，计算模型的数值结果等。
因此，熟练掌握数学分析的理论和方法对于数学建模非常重要。
第二，概率论与数理统计是数学建模的重要工具。
概率论用于描述和研究随机现象的规律性，数理统计则是通过概率论的方法进行随机数据的分析和推断。
在数学建模中，不可避免地会涉及到一些随机性的问题，例如随机变量、概率分布、抽样调查等。
因此，对概率论和数理统计的基本概念和方法需要有一定的了解和掌握。
第三，线性代数是数学建模的基础工具。
线性代数主要研究线性方程组、线性映射、向量空间等内容。
在数学建模中，线性代数常常用于描述和计算模型中的向量、矩阵等数学对象。
例如，矩阵可以表示线性变换、线性方程组可以用于描述模型的关系等。
因此，对线性代数的理论和方法需要有一定的了解和熟练掌握。
第四，离散数学是数学建模的基础理论之一。
离散数学主要研究离散结构和离散对象的性质和关系。
在数学建模中，离散数学常常用于描述和计算离散的模型对象，例如图论、组合数学等。
熟练掌握离散数学的基本概念和方法有助于解决实际问题中的离散性特征。
综上所述，数学建模所需要的数学基础主要包括数学分析、概率论与数理统计、线性代数和离散数学等。
建议在学习数学建模时，首先要打好数学基础，通过系统地学习和练习以上所述的数学知识和方法。
其次，结合实际问题进行数学建模实践，不断提升数学建模的能力和经验。
此外，还需要培养数学思维和创新能力，灵活运用已学知识解决实际问题。
通过不断地学习和实践，相信每个人都能够掌握数学建模所需要的数学基础，并在实践中取得优秀的成绩。
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究随着社会的发展和科技的进步，数学已经不再是一门孤立的学科，而是与现代科技、经济等领域紧密相关的应用性学科。
而数学建模就是数学的一种应用，它可以将数学的抽象理论与实际问题相结合，从而揭示出问题的本质规律和解决问题的有效方法。
而概率论和数理统计则是数学建模的重要工具，它们能够分析和描述现实中的不确定性问题，求解概率和统计量，并为实际应用提供科学的依据。
在数学建模中，概率论常被用于模拟随机事件，度量事件发生的不确定性，如同样大小的数据集中可能存在的差异性；而数理统计常用于处理模型中误差来源的问题，如在测量数据、实际数据中存在的随机误差，以及不完整信息带来的偏差。
可以说，在数学建模中，概率论和数理统计发挥着至关重要的作用，它们为模型提供了一个严谨的数学框架，能够通过分析事件的发生规律而预测未来的结果，并提供多种数据分析的方法，为实际问题提供了解决模型的可靠依据。
在概率论和数理统计的教学中，也应该尝试将数学建模的思想融入其中。
我作为一名学生，认为在学习概率论和数理统计时，光有纯理论的知识是不够的，需要引导学生从实际问题出发，通过建立数学模型分析实际数据，来更好地学习和掌握这两门课程。
为此，教师需要充分运用丰富而又具有挑战性的、有现代性应用价值的实际问题。
比如，在概率论中，可以引导学生从实际问题出发建模，如随机事件的事件空间的构建，一些常用的概率分布函数的应用等等。
在数理统计中，可以引导学生走向实际，分析数据的分布，技术处理和分析实际问题，包括：如何处理“悖论”、“难样本”、样本的可信度分析等等。
这样一来，就可以让学生更好地理解概率论和数理统计与实际问题之间的关联，让理论知识更加深入人心。
除了教学中的实践，还需要进行更深入和具有针对性的研究。
例如，在数学建模中，如何将概率论和数理统计的知识应用到实际问题中，如通过数据预处理、观察量选取、优化问题建模等方法，以更好地预测和分析实际问题；或者在统计推断中，如如何在实际数据中、使用最佳的参数估计方法、缩减模型、减小结构/参数不确定性等等方面进行研究，以更有效地对实际问题进行分析。
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究数学建模作为一种综合运用数学、物理、信息学、经济等学科知识和技能，解决实际问题的方法和手段，已经成为当今社会科学技术进步的重要手段之一。
概率论与数理统计作为一种重要的运用数学方法的学科，它在实际应用中起到重要的作用。
因此，将数学建模思想融入概率论与数理统计教学，对于学生掌握数学方法和解决实际问题具有重要意义。
本文将从数学建模与概率论的融合、数学建模与数理统计的融合两个方面阐述实践与研究的经验。
一、数学建模与概率论的融合数学建模作为解决实际问题和研究新问题的一种现代科学方法，必须建立在应用数学之上，而概率论恰好是数学建模中最重要的应用数学分支之一。
如何将这两者进行有机的融合，对于提高数学建模的应用水平，具有极其重要的意义。
概率论的基本思想是利用数学方法分析和描述实验中随机现象的规律性。
它为数学建模提供了丰富的数学工具，如概率分布、随机过程、随机变量、期望等等。
利用这些数学方法，可以根据实际数据建立某一现象的数学模型，这就是概率模型。
利用概率模型可以预测某一现象的未来趋势，或者对某个方案进行评价和抉择。
举个例子，如果要评估某个保险业务的风险，我们可以用概率论中的期望和方差等概念来分析，并建立相应的数学模型。
在教学实践中，将数学建模思想融入概率论的教学中，可以让学生更好地理解概率论的基本思想和方法。
比如教学中可以选取一些实际问题，让学生从中训练抽象建模的能力。
对于那些比较抽象的概念，可以给学生提供适当的应用场景，让学生感受到这些概念所代表的现实意义。
例如，在讲解概率模型时，可以提供某个实际问题的数据，让学生自己设计模型，从中学习和练习建模的过程。
另外，数学建模思想也可以为概率论的应用提供指导。
概率论应用中有时需要建立一个混合模型，即同时使用连续模型和离散模型。
这时候就需要进行数学建模，将问题转化为一个从贝叶斯角度出发的统计推断问题，然后利用概率计算工具进行求解。
概率论与数理统计及数学建模的应用探讨
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １６概率论与数理统计及数学建模的应用探讨概率论与数理统计及数学建模的应用探讨Һ许奕喆㊀（湖南科技大学，湖南㊀湘潭㊀４１１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ概率论与数理统计是数学类相关专业的一门基础学科，在数学建模中有着广泛的运用．在概率论与数理统计的学习过程中我们需要加入实际的例子来进行研究分析，以数学模型的方式进行学习．可见，概率论与数理统计及数学建模的学习应用是相辅相成的．基于此，本文将浅谈概率论与数理统计在数学建模中的应用和在概率论与数理统计学习中应用数学建模思想及其具体实践．ʌ关键词ɔ概率论与数理统计；数学学习；建模思想；数学建模引㊀言概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门学科．随着信息技术的进步，很多学科都建立起了自己的数据库，这样概率论与统计学科在其中所发挥的作用就显得更为重要了．经过不断尝试与探索，我们发现数学建模思想如果能够灵活地运用到概率论与数理统计的学习中，将会有意想不到的效果，并且在数学建模过程中概率论与数理统计也能很好地被运用．针对这两个问题，本文将浅谈概率论与数理统计在数学建模中的应用和在概率论与数理统计学习中应用数学建模思想及其具体实践．一㊁概率论与数学建模的定义及其作用概率统计是指通过收集生活中的大量实际现象，用结果分析㊁猜测，对我们的生活起着十分重要的作用．比如对未来天气的预测就是基于大量的数据统计得出的，另外，在金融经济中，对股票升降的预测也是通过大量的数据来进行猜测的，其在我们的生活中应用得十分广泛．而建模思想是我们数学学习中一种重要的学习方法，主要是通过对问题的分析还原，找到问题的本质，然后再模拟出一个相同的模型，通过对模型的分析研究，类比到实际问题中，解决实际问题．它具有将复杂的问题简单化，降低我们在学习过程中的难度的作用．但是，无论是概率论与数理统计的学习，还是建模思想的运用都具有许多困难，我们想要真正地把二者结合起来是十分困难的，还需要进行很长时间的探索，不断地改进建模方式，完善学习方式．二㊁概率论与数理统计在数学建模中的运用对于生活中的实际问题的解决，我们往往要对该问题进行数学建模，而概率论与数理统计在数学建模中有着广泛的运用，如分析处理数据，对模型做预测和解决决策问题等．（一）概率论在数学建模中的运用概率论的知识在数学建模中有着广泛的运用，如非常经典的报童卖报问题，报童早上以ａ元／份购进报纸，白天以ｂ元／份零售给顾客，晚上将没有卖出的报纸以ｃ元／份退回．若报童不知这一天的顾客数量，购进太多报纸，卖不完会赔钱，购进太少，不够卖会少挣钱．报童要怎么对购进的报纸数量做出决策呢？这时我们就可以运用概率论的知识建立数学模型，即概率模型，对销售额做出预测，找到使得销售额最大的报纸数量，从而做出购进报纸数量的决策．可见，概率模型可以有效地解决这一类决策问题，同时，概率模型体现了概率论在数学建模中的运用，并能很好地解决实际问题．（二）数理统计在数学建模中的运用数理统计是一门以概率论为基础的应用学科，当面对数以万计的数据时，人们往往希望通过少数的样本包含的相关信息来反映样本总体的规律．当面对大量数据时，我们往往可以通过概率论与数理统计的知识来建立数学模型，从而解决实际问题．在常用的数学模型中，有许多都体现了数理统计在数学建模中的应用，如参数估计㊁假设检验和运用回归分析对数据做预测等．三㊁数学建模思想在概率论与数理统计中的运用（一）引导学生建立建模思维针对如何改进 学习难 的问题，我们从学生的角度去看，又会有不同的看法．学生认为概率论与统计的老师在教学中最主要的任务就是引导他们建立出有关概率的最基本的知识点 不确定㊁随机性，然后再向他们介绍数学建模的操作方式及具体作用，让他们对这两个概念有一定的认识，这样他们才能更好地运用它们．从我们自身的教学感受上来看，我们认为有必要重新考虑当前高校 概率论与数理统计 课程的学习内容，应导入目前较为热门的㊁与之相关的科学技术㊁方法和概率统计学的实际应用问题，使传统的学习方式与现代的先进技术相结合，促使学习方式具有突破性的改变．同时，我们还可以在常规的教学任务中加入一些反映当前社会热点的各种实际问题，如社会中的股票升降问题，估计一种新产品在上市后的销售情况，工程上的质量评估报告分析，社会学中人民群众对艾滋病的了解程度的社会调查报告，某服装厂上个季度与这个季度销售额的对比分析及存在的问题等，使学生从本质上对用建模思想解决实际问题有更为直观的认识，对数学建模产生极其浓厚的兴趣，从而改变原先被动地接受灌输知识的学习状态，主动地去学习新知识，温习旧知识．（二）加强建模思想的运用如何让学生在课堂的学习中达到最大效率？我们认为. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １６应该让学生抛弃 完全听讲 的学习方法，而是采取联想㊁启发等方式，真正体会建模思想在概率论与统计学中的作用，提高学生的学习兴趣，从根本上解决学生不爱学，不想学的问题．我们想要真正地提升学生的学习效率，就要深入学生当中，了解学生的真实想法，再根据学生的想法进行备课，具有针对性地解决问题．另外，在如今教育改革的要求下，我们需要对学习课堂进行创新．将建模思想应用到概率论与统计学的学习中，就十分鲜明地体现出了这个特点．当然，如何运用好建模思想，是我们应该好好考虑的问题，学生也应该自己主动配合老师的工作，共同建立起良好的课堂氛围，把建模思想真正运用起来．这时，我们需要把教材中所呈现的例子还原㊁分解，用最原始的思路去考虑问题，把困难的问题简单化，用虚拟的方式建立一个简单的数学模型，通过模型分析，找出我们所需要的内容，再还原到例子中，看是否符合我们的具体需要．例如在讲解‘二项分布“这一章节时，我们可以先通过电脑互联网找到一个实际生活中的具体问题，再模拟出一个类似的模型，接着运用归纳类比的方法，得出这样一个结论：小球被投出５０００次后的落点分布的集散程度与二项分布在理想条件下的图形是有点类似的，这既让学生从中明白了二项分布是如何产生的，又让学生明白了如何用已知的㊁明确的实际问题去检验处于猜想中的㊁理论的模型，同时使学生加深了对 频率近似于概率 这一知识点的认知，了解了如何用计算机去模拟实际问题，建立模型的方法．又如在讲解正态分布时，我们需要先提出问题： 为什么我们需要假设我们的研究对象服从正态分布呢？是因为这样才能建立模型吗？为什么可以这样假设呢？ 然后我们向学生介绍此定理，主要是介绍该定理在社会生活中的实际运用情况．另外，我们还可以通过计算机功能，来模拟某个正态分布的具体延展，加强学生对数学模型的思考，也培养了学生的数学建模思维．我们还认为，对统计与概率学知识的讲授，不应该仅仅只是以传播知识为目的，还应注意对知识的拓展与延伸，注意对学生思维的培养，解除学生思想上的束缚，让学生可以用创新型的思维来思考问题．例如，事件问题中有关事件的独立性和互斥性是两个完全不同的概念，我们在上课的时候要着重地讲这一点，直到学生都能分清，更需要采用严格证明和举实际例子来说明，以确保在知识点传授中学生对知识认知的完整性与紧密性．总而言之，在课堂上，教师采用诱导式的方法来教学，不仅能培养学生积极的思维，还能以一种全新的方式改变学生的学习态度，使学生养成自主学习的良好习惯，从根本上提高学生独立进行问题的研究分析，以及自己利用建模方式解决实际问题的能力．（三）加强实践性学习环节针对学生在学习过程中缺乏实践活动的问题，我们要加强对实际问题的引进，同时引导学生积极采用建模的思想去解决实际生活中的问题．我们加入具体的实践性较强的案例，让学生自身去领悟建模的整个过程，即从最基本的问题还原做起，然后分析问题，建立一个相对简单的模型，对模型进行分析，统计研究数据，得出结论，最后再验证结果是否符合需求．原则上，整个过程都应该由学生独立完成，遇到确实无法解决的问题时再寻求老师的帮助．我们有理由相信，在这样结合实际的学习方式下，学生对建模思想的领悟程度会有质的变化，同时也让学生对建模过程有了一个更为完整的了解，这为学生以后进行相关的科学研究或者社会调查时运用概率与统计的知识，打下了一个可靠的基础，同时对学生建模思想的培养也有了一个全面的发散性，对提升学生自身的素质具有重要作用．（四）建立开放的考核方式在当前大学的学习制度中，期末考试是检验一个学生是否认真学习的重要方式，它从侧面反映出了学生在整个学习过程中的学习效率及学习的认真度．其对任何一个学科都具有非常重要的作用，对数学的学习也是不可缺少的一个环节．在当今的教育下，考核制度一般由两个部分组成：闭卷考和形成性考核．形成性考核主要是指学生在一个学期中的学习情况，包括考勤情况㊁日常作业㊁课堂回答问题的情况等等，其考核结果占到总成绩的五分之二．而闭卷考占总成绩的五分之三．在这样一个基本现状下，我们希望学校可以放宽考核力度，建立更为灵活和开放的考核制度，主要是加大日常作业的比重，同时加大日常作业的开放性，增加学生课外的实践作业．当然，对于概率与统计学，我们可以开展难度更大的社会调查任务，要求学生通过统计分析的方式做出报告，最后的考核也可以依据学生的社会调查来给予评价，给出分数，作为学生形成性考核的结果．这样的方式更能激发学生的学习热情，相信学生都会更加重视㊁更加认真地完成社会调查，同时，还可以培养学生认真做事，不骄不躁的品格．结束语综上所述，我们将建模思想应用到概率论与数理统计的教学中，可以激发学生学习的主动性，培养学生独立完成任务的好习惯，这对提高学生学习质量有着重要的意义，并且将概率论与数理统计的知识运用在数学建模中，有利于解决实际问题．同时，建模思想的运用也对我们提出了更高的要求，要求我们对问题的分析研究等要更加细致认真，对学生的关注度更高，与学生的联系更加紧密．总之，数学建模思想的发展是远大的，更是艰难的，需要老师与学生一起努力．ʌ参考文献ɔ［１］杨静，杨新木，许峰，李德权．大数据背景下‘概率论与数理统计“课程改革探索［Ｊ］．浙江水利水电学院学报，２０２０（０４）：９３－９６．［２］张琳珠．数学建模教学的三种境界［Ｊ］．江西教育，２０２０（３０）：５４．［３］王晓峰，李庆玉，谭婕，等．应用型高校概率论与数理统计教学改革与实践 以重庆科技学院为例［Ｊ］．重庆科技学院学报（社会科学版），２０２０（０５）：１０６－１０８．. All Rights Reserved.。
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究
数学建模思想融入概率论与数理统计教学的实践与研究传统的数学教学给人们留下的印象是：数学研究的内容仅仅是从公理、公式、定义出发的逻辑推理，是由大量的计算、推理组成。
而在实践中需要用到的数学技术和其他科学技术一样，都是先从观察开始的，都需要形象思维作为先导。
数学建模恢复了数学研究收集数据，建立模型，求取答案，解释验证的本来面目。
“概率论与数理统计”是一门理论性和应用性都很强的学科，它几乎在工程和科学的每一个分支都有着重要的应用，同时在医学上也发挥的越来越大的作用。
在高科技发展的今天，如何增强学生运用概率统计思想解决实际问题的能力？在概率统计教学中融入数学建模的思想是值得我们认真思考的问题，也是解决学与用之间关系的一个非常有意义的尝试。
传统的概率论与数理统计教学方式多注重于理论知识的讲授，轻视了在实践中的应用；注重于知识结构的系统性和严密性，忽视了知识本身的趣味性；注重于数学公式的推导、计算能力的训练，忽略了把理论知识应用于实践的能力的培养。
这就要求我们从注重于理论知识的传授转变为理论和实际相结合，在教学中将理论和实践融为一体。
?⑹?学建模思想融入到概率论与数理统计的教学中，宜采用启发式的、归纳类比式的教学模式，应该由浅入深，由直观到抽象，使学生真正体会从收集数据，建立模型，求取答案，最后解释验证这一数学过程，不仅能从中获得知识，还能从中获得学习上的乐趣。
例如我们在讲解二项分布时，为了既让学生了解二项分布的来源，又让学生感悟到怎样用实际模型去检验理论模型，同时使学生加深对“频率近似于概率”这一原理的理解，了解计算机模拟方法，我们引入由英国生物统计学家Galton设计的钉板模型，并用计算机模拟该模型，通过归纳类比，5000次投球小球堆积的频率图与二项分布的理论图形极其相似，又如在讲解中心极限定理时，首先向同学们提出思考问题：“为什么生活中、工程上经常假设某个研究对象是服从正态分布的？这一假设的理论依据是什么？”，然后介绍该定理，重点是介绍中心极限定理在实际应用中所起的重要作用。
数学建模在概率论与数理统计的应用
数学建模在概率论与数理统计的应用对数学建模方法在概率论与数理统计教学中的应用进展讨论。
概率论与数理统计课程所包含的数学建模方法主要有引入随机变量和引入其他小的数学模型。
随机变量就是从样本空间到实数集的一个映射，并满意肯定条件，把随机大事问题转化为变量的问题，然后再定义分布函数，这样就完全把随机试验问题转化为了数学问题，从而可以通过数学工具来讨论随机现象。
概率论与数理统计中包含着许多小的数学模型，如古典概型、几何概型、n重贝努利概型，还有好多习题也是小的数学模型，可以充分利用这些例子来帮忙学生把握概率论与数理统计的理论学问，并用其来解决实际问题。
将建模方法应用在概率论与数理统计课程教学中能够讲清晰概念的来龙去脉，使学生理解概率论与数理统计的理论和方法的背景意义及应用价值。
利用数学建模方法能够提高课程教学的实效性，使学生能够利用其解决实际问题。
关键词:数学建模方法;概率论与数理统计;教学应用1概率论与数理统计课程所包含的数学建模方法1.1引入随机变量。
针对概率论与数理统计课程教学改革的讨论成果比拟多［1－4］，可以将数学建模思想融入其中［5］。
概率论是讨论随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象在自然界随处可见。
在随机试验中，可直接观看到的、最根本的、不能再分解的结果被称为根本结果(根本大事)。
根本结果也被称为样本点，将全部样本点放在一起构成的集合被称为样本空间，可以把随机试验问题转化为集合问题和样本空间子集问题，将大事之间的关系和运算问题转化为集合的关系和运算问题，这样就第一次建立了随机现象的数学模型。
概率论最先要讨论的是随机现象在一次试验中消失的可能性大小问题，即大事的概率，但直接定义不便利，于是就采纳了公理化定义，将全部大事放在一起构成大事域，将概率定义为从大事域到实数集的映射，并满意相应条件。
为了更好地利用数学工具讨论随机现象，便引入了随机变量的概念。
随机变量就是从样本空间到实数集的一个映射，并满意肯定条件，把随机大事问题转化为变量的问题，然后再定义分布函数，这样就完全把随机试验问题转化为数学问题，从而可以通过数学工具来讨论随机现象。
概率论在数学建模中的应用数学建模论文
概率论在数学建模中的应用摘要：概率论作为数学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用，无论是经济管理还是工业工程，其中都少不了概率的身影。
人们通过对概率论和数理统计的研究成果来指导生产生活，对实际中出现的问题进行分析并寻求最好的解决方案。
概率论在数学建模中也有着重要的地位，本文主要就彩票模型和空中交通管理两个实例对其在数学建模中的应用进行分析。
引言：概率的研究从实际生活问题起源，在研究中升华，今日的概率论已被广泛应用于各个领域，成为一颗参天大树，枝多叶茂，硕果累累。
正如钟开莱1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深远，概率论发展的每一步都凝结着数学家的心血，正式一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天”。
关键词：概率论；数学建模；彩票问题；空中交通管理；（模型一）问题：彩票中的数学要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。
目前流行的彩票主要有下列两种类型：（1）“传统型”分析：投注者从0～9这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。
开奖时，从0～9中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级。
假设：假设实际中彩民中奖情况与计算概率值相同建模：如下表所示（其中abcdef为摇出的基本号码，g为摇出的特别号码，X为其他号码）：求 解：投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是101，不符的概率是109。
选的特别号码，与摇出号码相符的概率是51，选错的概率是54。
因为各位号码的选对与否，是相互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有0000002.051)101(}{6=⨯=一等奖P ； 0000008.054)101(}{6=⨯=二等奖P ； 000018.0109)101(2}{5=⨯⨯=三等奖P ； 000243.0109)101(3}{24=⨯⨯=）（四等奖P ； 002916.0109)101(4}{33=⨯⨯=）（五等奖P ； 032805.0109)101(5}{42=⨯⨯=）（六等奖P 。
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概率论与数理统计在数学建模中的应用——国 冰第一节 概率模型一、初等概率模型初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题：1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大?这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N = ,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用1()ni i p p x ==∏ （9.1）来表示.又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为1max ()ni i p p x ==∏（9.2）11..,1,2,Ni i i Ni i i i c x cs t w x c x N i N ==⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪∈=⎪⎩∑∑问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数，属于非线性整数规划问题。
2、传染病流行估计的数学模型问题分析和模型假设本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。
被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。
这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程。
假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人，即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的. 问题在于一旦掌握了随机规律，那么如何去估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大?给出以下假设（1）设人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记为i 和s ，总数n 不变，即i s n += （9.3）（2）人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率p ，每人每天平均与m 人接触；（3） 当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为λ。
模型建立求解由假设（2）知道一个健康人每天接触的人数服从(1,)b n p -，且平均值是m ，则(1)m n p =-于是 (1)m p n =- (9.4) 又设一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为1p ，则由假设3及(9 .4)式得11mp p n λλ==- (9.5)那么一健康人每天被感染的概率2p 为211(1)1(1)1i i mp p n λ=--=--- (9.6) 由于健康人被感染的人数服从2(,)b s p ，其平均值μ为22()sp n i p μ==- (9.7)标准差σ为σ==注意，通常,1n m n ≥≥，取(9.6)式右端展开式的前两项，有21(1)mimip n n λλ=--+≈ (9.9)最后得到()mi n i n λμ-=(9.10)σμ== (9.11) (9.10)式给出了健康人每天平均被感染的人数μ与n 、i 、m 、λ的关系，(9.11)式σμ为变异系数，可看作对平均值μ的相对误差的度量。
二、随机性决策模型所谓行为决策理论，就是用行为科学的观点和方法，对决策活动进行描述，解释和预测的一种理论。
它以人的决策行为作为基本要素，以自然科学的实证方法作为主要手段，归纳出一套建立在经验证据基础上的理论观点，拓展了决策论的研究范围。
合理的决策必须具备三个条件：（1）目标合理；（2）决策结果满足预定目标的要求；（3）决策本身符合效率、满意、有限合理、经济性的原则。
所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策存在一定的风险.①风险决策模型的基本要素决策者——进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.方案或策略——参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.准则——衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期望效益值越小的方案越好.事件或状态——不为决策者可控制的客观存在的且将发生的自然状态称为状态(事件)，如下小雨，下大雨和下暴雨即为三个事件或称三种状态，均为人所不可控因素.结果——某事件(状态)发生带来的收益或损失值.②风险决策方法∙利用树形图法表示决策过程具有直观简便的特点，将其称为决策树的方法.∙充分利用灵敏度分析(即优化后分析)方法对决策结果作进一步的推广和分析.决策树一般都是自上而下的来生成的。
选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。
从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。
决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。
对每个节点的衡量：1) 通过该节点的记录数2) 如果是叶子节点的话，分类的路径3) 对叶子节点正确分类的比例。
有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。
决策树对于常规统计方法的优点。
构造好的决策树的关键在于如何选择好的逻辑判断或属性。
对于同样一组例子，可以有很多决策树能符合这组例子。
人们研究出，一般情况下或具有较大概率地说，树越小则树的预测能力越强。
要构造尽可能小的决策树，关键在于选择恰当的逻辑判断或属性。
由于构造最小的树是NP-难问题，因此只能采取用启发式策略选择好的逻辑判断或属性。
下面我们利用一个例题来说明如何来建立风险决策模型。
例1、天龙服装厂设计了一款新式女装准备推向全国。
如果直接大批量生产与销售，主观估计成功与失败的概率各为0.5，其分别的获利为1200万元与-500万元，如取消生产销售计划，则损失设计与准备费用40万元。
为稳妥起见，可先小批量生产试销，试销的投入需45万元。
据历史资料与专家估计，试销成功与失败的概率分别为0.6与0.4，又据过去情况，大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%。
试根据以上数据，通过建立决策树模型按期望值准则确定最优决策。
解答：本题显然是要考核风险性决策模型的建立能力。
按照这类模型的建立思路，我们有：问题分析与模型假设1. 问题涉及直接大批量生产与销售、取消生产销售计划和小批量试销售这样三个决策方案的取舍，在每种方案下又分为成功或失败两种结果；2. 决策目标在表面上看是获利大小，实际上是要决定试销与否；3. 尚需注意后面几句话：“大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占84%，大批生产销售失败的事例中，试销成功的占36%”，这意味着要计算两个概率，其一是当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率；其二是试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率，这意味着要利用贝叶斯概率公式；4. 设定以下变量A --试销成功，则A --试销失败；B --大量销售成功，则B --大量销售失败。
模型建立求解1.先来计算两个概率，注意到,36.0)/(,6.0)(,84.0)/(===B A P B P B A P 代入贝叶斯概率公式 )()/()()/()()/()/(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=,78.04.036.06.084.06.084.0≈⨯+⨯⨯= 从而.22.0)/(=A B P 即当试销成功时，大批量销售成功与失败的概率分别为0.78和0.22.同理可以算出在试销失败情况下，大批量销售成功与失败的概率分别为0.22和0.78.2. 以试销与否作为决策思路，先画一方块“囗”称为决策结点，由决策结点向右引出若干条直线表示不同的策略(方案)称为策略分枝，策略分枝的右端画一个圆圈“○”称为状态结点，由它引出表示不同状态及其发生的概率的分枝称为概率分枝，最后在概率分枝的终点画“△”符号表示这一分枝的最终结果的效益值(期望值)，正值表收益，负值表示损失．本例对应的决策树如图（见图-2）：万万 40万 万 500万40万 万 500万40万 图--2这棵树即为所求的数学模型。
我们继续将模型求解出来。
根据期望利润值最大准则对决策树进行计算，值得指出的是，画决策树是从左向右画出，画的过程中将各种已知数据标于相应的位置上. 但在决策树上进行决策计算却是从右向左进行的：先计算最右端每个状态结点的期望值。
一级决策问题，只需利用结果点效益值计算各状态结点的期望效益值即可. 当有两级以上决策时则需从右向左逐级计算.结果如图-3决策树的优缺点：优点：1)可以生成可以理解的规则。
2)计算量相对来说不是很大。
3)可以处理连续和种类字段。
4)决策树可以清晰的显示哪些字段比较重要缺点：1)对连续性的字段比较难预测。
2)对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作。
3)当类别太多时，错误可能就会增加的比较快。
4)一般的算法分类的时候，只是根据一个字段来分类成功0.78万 万 40万万500万40万 万 500万40万图--3三、随机性存储模型问题分析与模型假设工厂为了稳定的生产，需要贮存一定的原料或零部件；商店为了满足顾客的需要，要有足够的库存商品；银行为了进行正常的营业，需要一定的货币进行周转；医院为了手术的急需，血库必备充足血液. 总之库存问题是普遍存在的. 早在1915年, 哈里斯(Harris)对商业中的库存问题建立了一个简单模型，并求得了最优解, 但未被人们注意. 1918年威尔逊(Wilson)重新得出了哈里斯的公式, 并将其发展. 他们的模型都是确定性的, 二次大战后, 带有随机性因素的库存模型得到研究。
目前, 库存问题的兴趣已转到了多物品、多个库存点的理论。
在随机性需求的情况下，要制订最优的存储策略必须知道一个时间段（如一天、一周、一个月等）内需求量的概率分布，以及订货费、存储费、缺货费（在随机需求的情况下，缺货几乎是不可避免的）。
这里有两个可以考虑的问题，第一个问题是：决策者在每个时间段初，应该根据已有的存储量确定应订购多少货物使存储量达到最大，记这个最大的存储量为S 。
第二个问题是：已有的存储量不低于什么数值时，本时间段就可以不再订购，记这个决定不再订购的那个存储量的最低值为s 。