2018高考数学(一轮复习)最基础考点系列：考点6 函数的周期性 Word版含解析
高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性
专题6 函数的周期性函数的周期性★★★○○○○1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f x，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．[典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.答案：(－1,4)2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案：21．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，故选D.2．(·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 3．(·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值． 解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝336＋3＝339.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
2018届高考数学第一轮复习的重点总结
2018届高考数学第一轮复习的重点总结;第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节;主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数;重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三：数列;数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何;在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计;这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一。
等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何;这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2018年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七：押轴题;考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
谢谢阅读！。
2018高考数学第一轮复习函数的奇偶性与周期性 精品优选公开课件
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例：设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结
论恒成立的是
( )．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
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3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)
(D)2 012
(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
ax1,1 x＜0,
在区间［-1，1］上，
f
x
bx
2
其中a,b∈R,若
f ( 1 ) f ( 3 ), 则a+3b的值为_____x_.1 ,0 x 1,
22
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【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.
解得2<x< 6 ,即不等式的解集为(2, 6 ). 答案:(2, 6 )
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(2)当a=1时，f
x
2x
1, 1
此时
fx2 2 x x 1 11 1 2 2x x2 2x x 1 1
=-f(x), ∴f(x)是其定义域上的奇函数.
当f 即
2 2 xx x a a22 xx aa2 2x x是 a a 其, 定1 1 a义 域2 2x x上a 的a 奇2 2x x函, 数1 a时a，, fa( -x)1=.-f(x),
=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× 2 0 1 0 =335.
高中数学一轮复习之三角函数的周期性
高中数学一轮复习之三角函数的周期性
三角函数是数学中重要的概念之一，它们具有周期性的特点。
本文将对三角函数的周期性进行详细介绍。
正弦函数的周期性
正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。
其周期性非常明显，即每隔一定的距离，函数的值将重复。
正弦函数的周期是2π，即在区间[0, 2π]上，sin(x)的值将重复出现。
余弦函数的周期性
余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
和正弦函数一样，余弦函数也具有周期性。
余弦函数的周期也是2π，即在区间[0, 2π]上，cos(x)的值将重复出现。
正切函数的周期性
正切函数是三角函数中稍微复杂一些的函数，表示为tan(x)。
和正弦函数、余弦函数类似，正切函数也具有周期性。
但是，和正弦函数、余弦函数不同的是，正切函数的周期是π，即在区间[0, π]上，tan(x)的值将重复出现。
其他三角函数的周期性
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有很多其他的三角函数，如余割函数、正割函数等等。
这些函数也都具有周期性，其周期和对应的函数关系密切相关。
总结
三角函数的周期性是它们的重要特性之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π, 而正切函数的周期是π。
除了这些常见的三角函数外，还有其他的三角函数也具有周期性。
了解三角函数的周期性将有助于我们更好地理解和应用三角函数的相关概念。
以上就是对高中数学一轮复之三角函数的周期性的详细介绍。
希望本文能够对您的研究有所帮助。
参考资料：
- 数学教材《高中数学》。
函数周期知识点总结
函数周期知识点总结一、函数的周期性函数的周期性是指函数在特定区间内具有重复性的性质。
如果函数在一个区间内满足f(x+T)=f(x)，其中T为正数，则称函数f(x)在该区间上有周期T，T称为函数f(x)的周期。
函数的周期性是函数中非常重要的一种性质，对于周期函数而言，其周期性是其定义的本质。
二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指函数的取值在每个周期内具有重复性。
周期函数的周期是指函数在一个区间内具有重复性。
设f(x)是定义在一定区间上的函数，如果存在正数T，使得任意x∈[a,a+T]，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为周期。
周期函数的周期一般是不唯一的。
2. 周期函数的图像特点周期函数的图像表现出在一个周期内具有重复性的特点。
周期函数的图像通常是具有规律的波动，在一定周期内呈现出反复的形状。
3. 周期函数的基本性质周期函数在一个周期内具有相同的性质，包括最大值、最小值、零点等。
周期函数还具有周期平移、镜像对称等性质。
周期函数的和、差、积、商也是周期函数。
4. 周期函数的分类周期函数根据周期的不同可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等。
根据周期的形式还可以分为奇函数和偶函数。
5. 周期函数的应用周期函数在自然界和各种科学领域有着非常广泛的应用，如物理学、工程学、生物学等等。
周期函数的研究对于理解自然规律和解决实际问题具有重要的意义。
三、常见周期函数1. 正弦函数正弦函数是最基本的周期函数之一。
其函数表达式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有周期性。
2. 余弦函数余弦函数也是最基本的周期函数之一。
其函数表达式为y=Acos(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
3. 正切函数正切函数的函数表达式为y=A tan(Bx+C)+D，其中A，B，C，D为常数，A为振幅，B为角频率，C为相位差，D为垂直位移。
(完整word版)2018高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳
2018高考一轮复习函数知识点及题型归纳一、函数的及其表示题型一：函数的概念映射的概念：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集．．．．．，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作()y f x = ,其中x ∈A ,y ∈B ，原象的集合A 叫做定义域，象的集合C 叫做函数()y f x =的值域． 映射的基本条件：1. 可以多个x 对应一个y ，但不可一个x 对应多个y 。
2. 每个x 必定有y 与之对应，但反过来，有的y 没有x 与之对应。
函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。
例1：已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. f ∶x →y=21x B. f ∶x →y=x 31 C. f ∶x →y=x 32 D. f ∶x →y=x例2：设M ＝｛x ｜－2≤x ≤2｝，N ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ， 则f （x ）的图象可以是（ ）例3：下列各组函数中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的是（1）)(x f ＝x ，)(x g ＝xx 2； （2）)(x f ＝3x －1，)(t g ＝3t －1；（3）)(x f ＝0x ，)(x g ＝1； （4）)(x f ＝2x ，)(x g ＝2)(x ；题型二：函数的表达式1. 解析式法例4：已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .真题：【2017年山东卷第9题】设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（A ）2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【2015高考新课标1文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14- 2. 图象法例5：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是_______________ 例6：向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图2—4所示，那么水瓶的形状是（ ）例7：如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，l //1l ，l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点.设弧FG 的长为x(0＜x ＜π),y=EB+BC+CD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数y=f(x)的图像大致是( )真题：【2015高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是st OA ．st Ost OstOB ．C ．D ．A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【2015年新课标2文科】如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3.表格法例8：已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出x 123x 123f(x)131g(x)321则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．题型三：求函数的解析式.1. 换元法例9：已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f =变式1：已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =变式2：已知f （x 6）＝log 2x ，那么f （8）等于2.待定系数法例10：已知二次函数f (x)满足条件f (0)=1及f (x+1)-f (x)=2x 。
2018年高考数学高频考点--函数 精品
2018年高考数学高频考点2、函数命题动向函数既是高中数学最重要的基础知识又是高中数学的主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地位，其考查的内容是丰富多彩的，考查的方式是灵活多变的，既有以选择题、填空题形式出现的中低档试题，也有以解答题形式出现的中高档试题，更有以综合了函数、导数、不等式、数列而出现的压轴题．在试卷中往往是以选择题、填空题的形式考查函数的基础知识和基本方法，以解答题的形式考查函数的综合应用．押猜题3已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的∈x R 都有),()2(x f x f -=+若当]2,0[∈x 时，),1lg()(+=x x f 则有（ ）A ．)27()1()23(f f f >>-B ．)1()27()23(f f f >>-C ．)27()23()1(f f f >->D ．)23()1()27(->>f f f 解析 )(),()2()22()()2(x f x f x f x f x f x f ∴=+-=++⇒-=+Θ的最小正周期为 4.因为)(x f 是定义在R 上的偶函数，则),()(x f x f =-则),23()23(f f =- ),21()21()27(f f f =-=因为当]2,0[∈x 时，)1lg()(+=x x f 为增函数，故).27()1()23(f f f >>-故选A. 点评 本题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考查，是高考命题者惯用的手法，充分体现了高考选择题的“小、巧、精、活”的特点，是一道难得的好题.押猜题4（理）已知函数.)1ln()1()(22x x x f +-+=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]1,11[--∈e ex 时（其中Λ71828.2=e ），不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.解析 因为,)1ln()1()(22x x x f +-+=所以.12)1(2)(x x x f +-+=' （1）令120]11)1[(212)1(2)(-<<-⇒>+-+=+-+='x xx x x x f 或0>x ，所以)(x f 的单调增区间为)1,2(--和),0(+∞；令010]11)1[(212)1(2)(<<-⇒<+-+=+-+='x xx x x x f 或,2-<x 所以)(x f 的单调减区间为)0,1(-和).2,(--∞（2）令0012)1(20)(=⇒=+-+⇒='x xx x f 或,2-=x Θ函数)(x f 在]1,11[--e e 上是连续的，又,2)1(,1)0(,21)11(22-=-=+=-e e f f ee f 所以，当]1,11[--∈e ex 时，)(x f 的最大值为.22-e 故]1,11[--∈e e x 时，若使m x f <)(恒成立，则.22->e m （3）原问题可转化为：方程2)1ln()1(x x a +-+=在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根.令,)1ln()1()(2x x x g +-+=则,121)(xx g +-='令,0)(='x g 解得：,1=x 当)1,0(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴<'在区间)1,0(上单调递减，当)2,1(∈x 时，)(,0)(x g x g ∴>'在区间)2,1(上单调递增.)(x g Θ在0=x 和2=x 处连续，又,9ln 3)2(,4ln 2)1(,1)0(-=-==g g g且,19ln 34ln 2<-<-∴当]2,0[∈x 时，)(x g 的最大值是)(,1x g 的最小值是.4ln 2-∴在区间]2,0[上方程a x x x f ++=2)(恰好有两个相异的实根时，实数a 的取值范围是：.9ln 34ln 2-≤<-a点评 本题考查导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充分体现了导数的工具和传接作用.作为一道代数推理题，往往处在“把关题”或“压轴题”的位置，具有较好的区分和选拔功能.（文）已知函数)(x f y =与函数)(1x f y -=互为反函数，且函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，若0)1(=f ，则)2010(1-f =（ ）A ．0B ．1C ．2009-D ．2010-解析 求得函数)1(+=x f y 的反函数为,1)(1-=-x f y 又函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 也互为反函数，所以)2010(,1)()1(111---∴-=+f x f x f .2009201012010)0(2)2008(1)2009(111-=-=-==-=-=---f f f Λ故选C.点评 本题是以“年份”为背景的代数推理题，挖掘出1)()1(11-=-+--x f x f 是解题的关键，是推理的基础，结合累加法和反函数的有关知识可使问题圆满解决.此题对文科考生而言有相当的难度.。
函数的周期性的知识点总结
函数的周期性的知识点总结一、周期函数的定义周期函数是指具有周期性的函数，即在一定的区间内，函数的数值在一定的时间间隔内重复出现。
更具体地说，对于函数f(x)来说，如果存在一个常数T>0，使得对任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，而这个常数T被称为函数的周期。
二、周期函数的性质1. 周期函数的性质：周期函数的周期T是一个正数，且函数的周期性对于所有的自变量都成立，即对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
2. 周期函数的图像性质：周期函数的图像通常具有重复出现的特点，这使得它在图像上形成规律的波形。
3. 周期函数的特殊性质：有些周期函数具有特殊的对称性，比如正弦函数、余弦函数等。
三、周期函数的分类1. 固定周期函数：在一个确定的周期内，函数的数值是固定的，比如正弦函数、余弦函数等。
2. 变周期函数：在一个周期内，函数的数值是变化的，比如三角函数的变型函数、指数函数、对数函数等。
四、周期的求法对于周期函数，我们通常需要求解它的周期T，有以下几种方法：1. 观察法：通过观察函数的图像特征，找到函数的周期性。
2. 公式法：对于一些已知的周期函数，可以直接利用其性质和公式来求解周期。
3. 方程求解法：将周期函数的周期T代入函数的周期性公式中，得到关于T的方程，然后求解方程得到周期T。
五、周期函数的图像特征1. 周期函数的波形特点：周期函数的图像通常呈现出规律性的波形，如正弦函数、余弦函数的波形特点。
2. 周期函数的振幅：周期函数的振幅代表了波形的最大振幅，它决定了函数波形的高低。
3. 周期函数的相位：周期函数的相位代表了波形的平移特征，它决定了函数波形的水平位置。
六、周期函数的应用周期函数在很多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等，常见的应用包括：1. 物理波动：周期函数常常用于描述物理中的波动现象，如声波、光波等。
2. 电路分析：在电路分析中，周期函数可用于描述电流、电压的周期性变化。
2018年高考数学一轮温习第二章函数导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性理
A．－2B．2
C．－98D．98
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，因此f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝ 是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)假设函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，那么－x>0，
因此f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，因此f(－x)＝－f(x)，
2．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其概念域为[6a－1，a]，那么a＋b＝( A )
A． B．－1
C．1D．7
解析：因为偶函数的概念域关于原点对称，因此6a－1＋a＝0，因此a＝ .又因为f(x)为偶函数，因此3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，因此a＋b＝ ，应选A．
解析：f(x)是概念在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，因此f(－x)＝－f(x)，
f ＝f ⇒f(x)＝f(1－x)，
因此f(－x)＝f(1＋x)＝－f(x)，
f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)，
因此f(0)＝f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
因此f(－1)＝ f(1)＝0.
【高中数学函数专题】函数的周期性(解析版)
函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。
2018版高考一轮数学文科：第6讲-函数的奇偶性与周期性ppt课件
＝f( 2)，可得 2|a 1|< 2，即
－
1 1 3 |a－1|< ，∴ <a< . 2 2 2
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3．[2016· 四川卷] 若函数 f(x)是定义在 R 上的 周期为 2 的奇函数，当 0<x<1 时，f(x)＝4x， 5 则 f(－ )＋f(2)＝________． 2
[答案] -2
[解析] 因为 f(x)是周期为 2 的函数，所以 f(x)＝f(x＋2)． 又 f(x) 是奇函数，所以 f(x) ＝－f(－x)，所以 f(0)＝0. 5 1 1 所以 f －2 ＝ f －2 ＝－ f 2 ＝－42＝－2，f(2)＝f(0)＝0， 所以
5 f－2＋f(2)＝－2.
1
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4．[2015· 福建卷] 下列函数为奇函数的是( A．y＝ x B．y＝ex C．y＝cos x － D．y＝ex－e x )
[解析] D 对于 A，函数 y＝ x的定义域为[0，＋∞)，不 关于原点对称，故既不是奇 函数也不是偶函数； 对于 B，y＝ex 为非奇非偶函数； 对于 C，y＝cos x 为偶函数； － 对于 D， 设 f(x)＝ex－e x， 则 其定义域为 R，且 f(－x)＝e －x －e－(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， 所以 f(x) ＝ ex － e － x 为奇函 数．故选 D.
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2．[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 偶函数 y＝f(x) 的图像关于直线 x＝2 对称， f(3)＝3， 则 f( － 1)＝________．
[答案] 3
[解析] 因为函数图像关于直线 x ＝2 对称，所以 f(3)＝f(1)，又函 数为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)， 故 f(－1)＝3.
高中数学(一轮复习)最基础考点系列：考点6 含逻辑联结词命题的真假判断 含解析
专题6 含逻辑联结词命题的真假判断含逻辑联结词命题的真假判断★★★○○○○命题p∧q、p∨q、非p的真假判定p q p∧q p∨q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q p与p真假相反”．判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________．[解析] 由关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案] ⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)1．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．已知命题p ：当a >1时，函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ；命题q ：“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直”的充要条件，则以下结论正确的是( ) A ．p ∨q 为真命题 B ．p ∧q 为假命题 C ．p ∧非q 为真命题D ．非p ∨q 为假命题解析：选A 当a >1时，一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，则x 2＋2x ＋a >0对任意x ∈R 恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，故命题p 是真命题；直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直等价于a ×2＋2×(－3)＝0，解得a ＝3，故“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直”的充要条件，故命题q 是真命题．所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，p ∧非q 为假命题，非p ∨q 为真命题．故选A.3．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．1．已知命题:p α∃∈R ,使得sin 2cos 3αα+=;命题π:0,,2q x x sinx ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭,则下列判断正确的是（ ）A. p 为真B. q ⌝为假C. p q ∧为真D. p q ∨为假KS5U 】甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考试数学（文）试题 【答案】B【解析】()sin 2cos 55,5sin αααθ⎡⎤+=+∈-⎣⎦，θ是参数，∵3>5，∴∀α∈R ， 23sin cos αα+≠； 故命题p 为假命题，设()f x x sinx =-,则()'10f x cosx =-…， 则函数f (x )为增函数， ∵则当x >0时,f (x )>f (0)，即x −sin x >0，则x >sin x ，故命题q 是真命题， 则q ⌝为假，其余为假命题， 故选：B.2．已知命题p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；命题q ：复数112i i ++的虚部为15i -，则下面为真命题的是（ ） A.()()p q ⌝⌝∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ⌝∧ D. p q ∧【来源】【全国市级联考】湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试数学（理）试题 【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=，所以56z i i i=+=-，所以命题p 为真； 复数()()()112131212)125i i i ii i i +-+-==++-，虚部为15-，所以命题q 为假. A.()()p q ⌝⌝∧为假；B. ()p q ⌝∧为假；C. ()p q ⌝∧为真；D. p q ∧为假.故选C.3．下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；（2）在回归直线ˆ12yx =+中， x 增加1个单位时， y 减少2个单位； （3）若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题；（4）命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++>.A. 1B. 2C. 3D. 4KS5U 】广东省珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试文科数学4．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.因为p ∨q 是真命题，所以a ∈R. 答案：R5．已知命题p ：方程22167x y m m -=+-表示椭圆，命题q ： 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤，.（1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真， q ⌝为真，求实数m 的取值范围.KS5U 】河南省鲁山县一中2017-2018学年高二第一次月考（文）数学试卷 【答案】（1）(],1-∞ （2）()1,7【解析】试题分析：（1）命题p 为真，就是对应不等式有解，m=0时恒成立， 0m ≠时结合二次函数图像列条件解得实数m 的取值范围；本题也可利用参变分离法求解 （2）先根据椭圆标准方程分母符号得p m 为真的取值范围，再根据p q ∨为真， q ⌝为真，得p q 为真为假，解不等式得实数m 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∵命题q 为真，当0m > 时， ()2044210101m m m m m ∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤；当0m ≤ 时，不等式恒成立.综上， 1m ≤ .（Ⅱ）若p 为真，则60,7067m m m +>-<⇒-<< ，.∵若p q ∨为真， q ⌝为真，∴p q 为真为假∴1,6717m m m >-<<∴<< 6．设命题：关于的不等式的解集是；命题：.若为假命题，求实数的取值范围.KS5U 】甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考试数学（理）试题 【答案】【解析】试题分析：由复合命题的真假得命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得，由为假命题得，求其交集即可.试题解析：由为假命题，得：命题为真命题，命题为假命题.由命题为真命题，得，；由命题为假命题，得：为真命题，，解得：； 因此，所求实数的取值范围是.7．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R，x ＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．KS5U 】【全国百强校】宁夏育才中学2018届高三上学期第一次月考（理）数学试题 【答案】a ≤－2或a ＝1.8．已知命题甲：或，命题乙：或，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数的取值范围.KS5U】【全国百强校】河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（文）试题【答案】【解析】试题分析：乙为假命题即为求乙集合的补集，进而同甲集合取交即可.试题解析：当甲真乙假时，集合.______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______。
函数周期性规律及公式
函数周期性规律及公式函数是数学中的一个重要概念，它描述了一种输入输出的关系。
在实际问题中，很多现象具有一定的周期性规律，而函数周期性规律及公式恰好可以描述这种周期性。
本文将介绍函数的周期性规律以及常见的周期性函数的公式。
一、函数的周期性规律函数的周期性是指函数图像在一定区间内重复出现相同的模式。
具体来说，对于一个周期为T的函数，当自变量x从一个周期的起点变化到终点时，函数的取值会出现一个循环，然后再从起点开始重新循环。
周期性是一种重复性，可以将函数图像想象成一个周期性图像，不断重复。
函数的周期性规律可以由函数的公式来确定。
实际上，函数的周期性规律与函数的周期相关。
周期是函数重复性的基本特征，同时也决定了函数的重复间隔。
对于周期性函数来说，周期性规律可以表达成数学公式，这些公式可以用来描述函数图像的重复性。
二、常见的周期性函数公式1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最常见的周期性函数之一。
它的图像可以描述成一条连续的曲线，沿着x轴周期性地上下振动。
正弦函数的周期是2π，公式为：y = A * sin(B * x + C) + D其中，A代表振幅（即最大纵向距离），B代表频率（即单位区间内的周期数），C代表相位偏移（即图像的水平位移），D代表垂直位移（即图像在y轴上的位置）。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数与正弦函数非常相似，只是相位偏移不同。
余弦函数的周期也是2π，公式为：y = A * cos(B * x + C) + D其中，A、B、C和D的含义与正弦函数相同。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是另一种常见的周期性函数。
它的图像具有一系列无限多个垂直渐近线，周期为π，公式为：y = A * tan(B * x + C) + D同样，A、B、C和D分别代表振幅、频率、相位偏移和垂直位移。
除了上述三个函数以外，还有很多其他的周期性函数，如指数函数、对数函数等等。
2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第6讲 函数的奇偶性与周期性
课堂考点探究
变式题 [2015· 福建卷] 下列函数为奇函数的是 ( ) B．y＝|sin x| D．y＝e －e
x
－x
[答案] D
[解析] 对于 A，函数 y＝ x的定义域为
A．y＝ x C．y＝cos x
0，＋∞ ，不关于原点对称，故既不是
奇函数也不是偶函数；B，C 选项为偶 函数；对于 D，设 f(x)＝e －e ，则其 定义域为 R，且 f(－x)＝e －e
x
－x －(－x)
x
－x
＝e
－
－e ＝－f(x)， 所以 f(x)＝e －e
xx－x来自为奇函数．故选 D.
课堂考点探究
考点二 函数的周期性
例 2 [2016· 江苏卷] 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 x＋a，－1≤x<0， 的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝2 － x ， 0 ≤ x <1 ， 5 5 9 其中 a∈R.若 f－2＝f2，则 f(5a)的值是________．
函数的奇偶 性与周期性
第6讲 PART 06
课前双基巩固│课堂考点探究│高考易失分练│教师备用例题
第 6讲
考试说明
1. 结合具体函数，了解函数奇偶性、周期性的含义．
2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．
课前双基巩固
知识聚焦
1． 函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图像特点
偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域 内任意一个 x，都有 f(________ －x)＝f(x) ， 那么函数 f(x)是偶 函数 如果对于函数 f(x)的定义域 内任意一个 x，都有 f(－ x)＝－f(x ) 那么函数 f(x)是奇 ________ ， 函数
三精考点之高中数学(一轮复习)最基础考点系列：考点6 函数的周期性 Word版含解析
专题6 函数的周期性函数的周期性★★★○○○○1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f x，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．[典例] (1)(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.答案：(－1,4)2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案：21．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，故选D.2．(2017·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12解析：选 A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为 2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.3．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值． 解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝336＋3＝339.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题06函数的奇偶性与周期性
(2) ∵ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f (0) ＝0.
又当 x<0 时，－ x>0，∴ f ( － x) ＝ x2＋ 4x.
又 f ( x) 为奇函数，∴ f ( － x) ＝－ f ( x) ， 则 f ( x) ＝－ x2－ 4x( x<0) ，
x2－ 4x， x>0， ∴ f ( x) ＝ 0， x＝ 0，
例 2、(1) 定义在 R上的函数 f(x) 满足 f(x ＋ 6) ＝ f(x) ，当－ 3≤x<－ 1 时，f(x) ＝－ (x ＋ 2)2 ；当－ 1≤x<3
时， f(x) ＝x. 则 f(1) ＋ f(2) ＋ f(3) ＋… ＋ f(2017) 等于 ________． 1
(2) 已知 f(x) 是定义在 R上的偶函数，并且 f(x ＋ 2) ＝－ f x ，当 2≤x≤3 时， f(x) ＝ x，则 f(105.5) ＝ ______.
5
1
1
f ( ) f ( 2) f ( )
1 f( )
1
42
2 ，所以
f(
5 )
f (1)
2.
2
2
2
2
2
2.【 2016 高考山东理数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， f ( x) x3 1 ；当 1 x 1 时，
f ( x)
f ( x) ；当 x 1 时， f ( x 1 ) f ( x 1 ) .则 f(6)= （ ）
－ x2－4x， x<0.
答案 (1)C
x2－ 4x， x>0，
(2) 0， x＝0，
－
x
2
－
4
2018届高三数学一轮复习： 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性
第三节 函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )【导学号：01772032】A ．－13B.13C.12D.－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B.y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12x D.y ＝x ＋e xD [A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋(－x )2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以是奇函数．C选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e x －x ，所以是非奇非偶函数．]4．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. －2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.] 5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )，∴f (x )＝x (1－x )．]判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0. [解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )．∴该函数为奇函数.4分(2)由1－x 1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]． ∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数.12分[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，3分 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.8分因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.12分a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝(1)1 (2)⎩⎨⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0 [(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )【导学号：01772033】A ．－3B.－1 C ．1 D.3A [因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________.1 009[∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.][迁移探究1]若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分[迁移探究2]若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝1f(x)”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝1f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1f(x＋1)＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.12分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．[变式训练3]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.339[∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＝1×2 0166＝336.又f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝339.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．。
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专题6 函数的周期性 1．周期函数
对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 周期函数y ＝f (x )满足：
(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1
f x
，则函数的周期为2a ； (4)若f (x ＋a )＝
1
f x
，则函数的周期为2a ； (5)若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |；
(6)若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |； (7)若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是4|b －a |； (8)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； (9)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a .
函数周期性的判定与应用
(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．
(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．
[典例] (1)(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2 1－x ，0≤x ≤1，
x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *
，定义f n (x )
＝，那么f 2 016(2)的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2
，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.
[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.
1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3
a ＋1，则实数a 的取值范围为
________．
解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，
∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4
a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.
答案：(－1,4)
2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2
，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．
3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，
f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52
＝________.
解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20
－1＝ 2.
答案：2
1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2
－2，－2≤x ≤0，
x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52＝
( )
A ．0
B ．1 C.1
2
D ．－1
解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
－2＝－1，故选
D.
2．(2017·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52的值为
( )
A.12
B.14 C ．－14
D ．－1
2
解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 3．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，则f (5a )的值是________．
4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________. 解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 017
5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2
；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值． 解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2
； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，
∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)
＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.
而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝336＋3＝339.
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