【配套K12】2017高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.4统计与统计案例课时练理
[推荐学习]2017高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.1.1事件与概率对点训练理
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2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.1.1 事件与概率对点训练 理1．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78答案 D解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝78，故选D. 2.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案 56解析 从4只球中一次随机摸出2只球，C 24＝6，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56. 3．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案 2063 解析 由题意知m 的可能取值为1,2,3，…，7；n 的可能取值为1,2,3…，9.由于是任取m ，n ：若m ＝1时，n 可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m 取2,3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7×9＝63种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1,3,5,7；n 的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063.4．A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下： A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立．从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2，…，7. (1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.1 随机事件的概率 理-人
【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.1 随机事件的概率 理1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B )相等关系 若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B )交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B (或AB )互斥事件 若A ∩B 为不可能事件(A ∩B ＝∅)，则称事件A 与事件B 互斥A ∩B ＝∅对立事件 若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件P (A )＋P (B )＝1(1)概率的取值X 围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ ) (6)两互斥事件的概率和为1.( × )1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________． ①至多有一次中靶 ②两次都中靶 ③只有一次中靶 ④两次都不中靶 答案 ④解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为________． 答案 0.3解析 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.3．(2015·某某改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石． 答案 169解析 因为样品中米内夹谷的比为28254，所以这批米内夹谷为1 534×28254≈169(石)．4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.题型一 事件关系的判断例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 不发生可导致事件E 一定发生，且事件E 不发生会导致事件B 一定发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件． (4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是女生．解①是互斥事件，不是对立事件．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件．②不是互斥事件，也不是对立事件．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．③是互斥事件且是对立事件．“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以两个事件互斥且对立．题型二随机事件的频率与概率例2 (2015·)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．思维升华 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn(1)(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解 (1)依据公式f ＝mn，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二 设红球有n 个，则n12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是312＝14，212＝16，312＝14.命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1X 奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数 10环 9环 8环 7环 概率0.320.280.180.12(1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率．解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，则B 表示事件“射击一次，命中不足8环”． 又B ＝A 8∪A 9∪A 10，由互斥事件概率的加法公式得P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. 故P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.22．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规X解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[8分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[10分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[12分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[14分]温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示 (1)对统计表的信息不理解，错求x ，y ，难以用样本平均数估计总体． (2)不能正确地把事件A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．[方法与技巧]1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )． 2．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． [失误与防X]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M ：“两次出现正面”，事件N ：“只有一次出现反面”，则事件M 与N 互为对立事件；②若事件A 与B 互为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件；③若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 互为对立事件；④若事件A 与B 互为对立事件，则事件A ∪B 为必然事件，其中，真命题是________． 答案 ②④解析 对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M 与N 是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A 、B 为对立事件，则一次试验中A 、B 一定有一个要发生，故④正确．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________． 答案1735解析设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______________．答案0.35解析“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率＝1－P(A)＝0.35. 4．从存放的分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一X卡片并记下，统计结果如下：卡片12345678910取到次数138576131810119则取到为奇数的卡片的频率是________．答案0.53解析取到为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53. 5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案0.45解析设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值X 围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A <1，0<P B <1，P A ＋P B ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43.9．(2014·某某)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.10．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F)．解(1)第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.(3)第六组[180,185)的人数为4，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2，设为A，B，则从中选两名男生有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB ，AB ，共15种情况，因事件E ＝{|x －y |≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB ，共7种情况，故P (E )＝715.由于|x －y |max ＝195－180＝15，所以事件F ＝{|x －y |>15}是不可能事件，P (F )＝0. 由于事件E 和事件F 是互斥事件， 所以P (E ∪F )＝P (E )＋P (F )＝715.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是___________．①A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件； ②B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件； ③A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件； ④A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件． 答案 ④解析 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，④正确．12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________． 答案 45解析 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90>15(442＋x )，解得x <8，所以x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________． 答案 9解析 由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1y )＝5＋(4y x ＋x y )≥9，当且仅当4y x ＝xy，即x＝2y 时等号成立．14.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P (B 1)<P (B 2)， ∴乙应选择L 2.15．(2015·某某)随机抽取一个年份，对某某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期12345678910 11 12 13 14 15(2)某某市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，某某市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.。
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.3 几何概型 理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十二章概率、随机变量及其概率分布 12.3 几何概型理1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.( ×)1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．答案13解析坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤121log()2x+≤1”发生的概率为________．答案34解析∵由－1≤121log()2x+≤1，得12≤x＋12≤2，∴0≤x≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝32－02－0＝34.3．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．答案π4解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________． 答案1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求事件的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR ＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4 3p －2 ≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. (2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2015·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________． 答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax－b 2＋π2有零点的概率为________．(2)(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 (1)1－π4 (2)78解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.题型三 与体积有关的几何概型例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V －－＝＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S矩形ABCD·AA 1＝16V长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16.16．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[6分] 要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[10分] 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[14分]温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则22x x －≥14的概率是________．答案 35解析 不等式22x x －≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－ －1 4－ －1 ＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为_________________________________________________． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________． 答案 1－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是1－π4.5．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________．答案 45解析 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π.9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________． 答案π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.12．(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则下列关系正确的是________．①p 1<p 2<p 3 ②p 2<p 3<p 1 ③p 3<p 1<p 2 ④p 3<p 2<p 1答案 ②解析 如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.13.如图，已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________． 答案524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10，所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为 P ＝3－ －746＝1924，所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524.14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S＝π8. (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4，所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝ 24－1 2×12＋ 24－2 2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
届高考数学一轮总复习十二概率与统计统计与统计案例PPT课件
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二、用样本估计总体
1.用样本的频率分布估计总体分布
(1)频率分布表与频率分布直方图
频率分布表和频率分布直方图,是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数
据分布的规律.它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况.
绘制频率分布直方图的步骤:
求极差;决定组距与组数;将数据分组;列频率分布表;画频率分布直方图.
个数,则中间两数的平均数是中位数.
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x1 x2 xn
(3)平均数: x =
n
,反映了一组数据的平均水平.
(4)标准差:
s=
1 n
[( x1Leabharlann x)2( x2
x)2
( xn
x)2
]
,反映了样本数据的离散程度.
1 x
x
x
(5)方差:s2= n [(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2] ,反映了样本数据的离散程度.
进行抽取
抽样或系统抽样
成
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2.用样本估计总体 用样本估计总体,包括用“形”与“数”两个方面.用“形”就是利用样本数据列出频率分布 表、画出频率分布直方图和频率折线图.用“数”就是用样本的数字特征来反映总体的某个方 面的特征,最常用的是借助平均数、众数、中位数、标准差和方差等数字特征来估计数据的平 均水平和离散、波动的程度.它们是同一组数据的频率分布的不同表现形式. 3.对回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法,它主要解决三个问题: (1)确定两个变量之间是否有相关关系,如果有,就找出它们之间贴近的数学表达式; (2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势; (3)求出回归直线方程.
《高考调研》高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》课件121 选修2
的种数为 2，∴P＝120＝0.2.
• 题型一 基本事件 • 例1 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同
号码的3个黑球，从中摸出2个球． • (1)共有多少种不同结果？ • (2)摸出2个黑球有多少种不同结果？ • (3)摸出2个黑球的概率是多少？ • 【分析】 本题为等可能事件的概率问题，关键是弄清
• 3．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上 的点数之和为4的概率是________．
答案
1 12
解析 本题基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有 3
个事件为(1,3)、(2,2)、(3,1)，故 P＝6×3 6＝112.
【解析】 共有 6 种发车顺序：① 上、中、下②上、 下、中③中、上、下④中、下、上⑤下、中、上⑥下、上、 中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等 车的概率为36＝12.
【答案】
1 2
• 例3 盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张，从盒中任 意抽取3张，每张卡片被抽出的可能性相等，求：
P(ξ＝3)＝C3424·2＝881， P(ξ＝4)＝(13)4＝811 所以这 4 位同学中只有 1 个同学选数学选修课的概率 最大．
1．随机事件概率的定义是随机事件概率的计算依据， P(A)＝mn 中，n 是所有基本事件的个数，m 是事件 A 包含的 基本事件的个数，要注意考虑每个基本事件是否是等可能 出现的．
• (1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
• (2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
• (3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率． • 【分析】 本题是等可能抽取，且与组合有关，可用等
2017高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.4.2变量间的相关关系统计案例课件理
0.22 0.0012)×50＝0.22，于是 x＝ ＝0.0044. 50 (2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7， ∴所求户数为 0.7×100＝70.
[错解]
[错因分析]
频率 在频率分布直方图中，小矩形的面积表示频率，纵坐标表示 ，解本题时，易把频率 组距
2．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( ^ A.y＝1.23x＋4 ^ C.y＝1.23x＋0.08 ^ B.y＝1.23x＋5 ^ D.y＝0.08x＋1.23
)
解析 因为回归直线方程必过样本点的中心( x ， y )，将点(4,5)代入 A，B，C，D 检验可知，选项 C 正 确．
若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，试求： (1)线性回归直线方程； (2)根据回归直线方程，估计使用年限为 12 年时，维修费用是多少？
[解]
(1)列表 i xi yi xiyi x2 i 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36 合计 20 25 112.3 90
③如果 k≥k0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)；否则，就认为在 犯错误的概率不超过 P(K2≥k0)的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”．
注意点
对独立性检验的理解
(1)通常认为 k≤2.706 时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与 Y 有关系”． (2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的， 只能说结论成立的概率有多大， 而不能完全肯定一个结论， 因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计 计算的结果作出错误的解释.
《高考调研》高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》课件12-1 选修2
• 【解】 (1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，共有C42＝ 6种不同的结果，即由所有结果组成的集合I含有6个元素， 即(白，黑1)、(白，黑2)、(白，黑3)、(黑1，黑2)(黑1，黑 3)、(黑2，黑3)． • 所以共有6种不同的结果． • (2)从3个黑球中摸出2个黑球，共有C32＝3种不同的结果， 这些结果组成I的一个含有3个元素的子集A，所以从口袋 内摸出2个黑球有3种不同的结果．
解析 从 5 只羊中任选两只，有 C52＝10 种选法，喜 • 答案 C 羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有 C21· C31＝6 种， C21· C31 故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为 C 2 ＝ 5 3 .选 C. 5
• 2．一个口袋内有带有标号的7个白球与3个黑球，分别求 下列事件的概率： • (1)事件A1：从中摸出一个放回后再摸出一个，两次摸出 的球是一白一黑的概率为________； • (2)事件A2：从袋中摸出一个是黑球，放回后再摸出一个 是白球的概率为________．
• 题型二 等可能随机事件的概率 • 例2 某人有5把不同的钥匙，但忘记了开房门的是哪一 把，于是他逐把不重复地试开，求： • (1)他恰好第三次打开房门的概率是多少？ • (2)三次内打开房门的概率是多少？ • (3)如果5把钥匙中有2把是该房门的钥匙，那么三次内打 开房门的概率是多少？
• 1．随机事件及其概率． 必然 要发生的事件，叫做必然 • (1)在一定的条件下 事件．在一定的条件下 不可能发生 的事件，叫做不可 能事件；在一定的条件下可能发生 也 可能不发生 的事件，叫做随机事件．
1．(2011· 《高考调研》原创题)羊村村长慢羊羊决定从 喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊 去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为 ( ) 3 A.10 3 C.5 6 B.7 4 D.5
A版2017版高考数学(理)一轮专题复习课件专题12-概率与统计
➢ 考点71 排列与组合的综合应用
目录
600分基础 考点&考法
➢ 考点69 随机事件及其概率
✓ 考法1 频率估计概率 ✓ 考法2 求互斥事件、对立事件的概率
➢ 考点69 随机事件及其概率
1.频率与概率
2.互斥事件 与对立事件 3.互斥事件 与对立事件 的概率公式
➢ 考点69 随机事件及其概率
第2节 离散型随机变量的分布列、期望与方差 目录 600分基础 考点&考法
➢ 考点72 离散型随机变量的分布列 ➢ 考点73 离散型随机变量的均值、方差的计算与性质应用
700分综合 考点&考法
➢ 考点74 离散型随机变量的均值与方差在决策问题中的应用
600分基础 考点&考法
➢ 考点72 离散型随机变量的分布列
根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题设引入适当变量
把题设条件转换成代数条件
找出相应的几何区 域．
✓ 考法4 几何概型的概率计算
类型及适用情况
一般步骤
B
700分综合 考点&考法
➢ 考点71 排列与组合的综合应用
✓ 考法5 概率与其他知识的综合应用
✓ 考法5 概率与其他知识的综合应用
概率与图象、积 分等的综合
一般方法如下： （1）确定出几何概型中试验所表示的总体,有时需要先画
✓ 考法1 求离散型随机变量的分布列 ✓ 考法2 超几何分布的求解
➢ 考点72 离散型随机变量的分布列
1.分布列
2.离散型随机变 量分布列的性质
3.两种常见 的分布列
➢ 考点72 离散型随机变量的分布列
1.分布列
2.离散型随机变 量分布列的性质 3.两种常见 的分布列
[推荐学习]2017高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.1.3几何概型对点训练理
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2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.1.3 几何概型对点训练 理1．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1答案 B解析 x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.2.设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π答案 B解析 ∵|z |≤1，∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作图如下：∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.3．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18 B.14 C.34 D.78答案 D解析 如图，由题意知平面区域Ω1的面积S Ω1＝S △AOM ＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝S Ω1－S △ABC ＝2－12×1×12＝74.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴S Ω1＝742＝78.故选D.4．设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤2}，B ＝{(x ，y )∈A |y ≤x 2}，从集合A 中随机地取出一元素P (x ，y )，则P (x ，y )∈B 的概率是( )A.112 B.23 C.1724D.56答案 C解析 集合A 表示顶点为(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)的正方形，作出集合A ，B ，如图所示：则S 正＝8，S B ＝8－2⎠⎛01(2－x －x 2)d x ＝8－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝173，∴P＝1738＝1724.故应选C .5．如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 依题意知点D 的坐标为(1,4)，所以矩形ABCD 的面积S ＝1×4＝4，阴影部分的面积S 阴影＝4－⎠⎛12x 2d x ＝4－13x 3⎪⎪⎪21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P ＝S 阴影S ＝534＝512.6.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 1－π12解析 如图，与点O 距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积为V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，根据几何概型概率公式得，点P 与点O 距离大于1的概率P ＝23－2π323＝1－π12. 7．若在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，则满足|x|≤3的概率为________． 答案 56解析 由|x|≤3，所以－3≤x≤3.所以在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，满足|x|≤3的区间为[－2,3]，故所求概率为3－－4－－＝56.。
(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第十二章 算法、统计与概率 文
第十二章 算法、统计与概率
【知识网络】
【考情分析】
年份
试题
知识点
备注
2013
第5，6，7题
流程图，方差，，6题
流程图，古典概型，频率分布直方图
一如既往的送分题
2015
第2，4，5题
均值、伪代码、基本算法语句、古典概率、对立事件的概率
一如既往的送分题
【备考策略】
1.算法是高考的热点，每年均有考查，备考时需要掌握算法的基本思想和流程图的三种基本逻辑结构——顺序结构、选择结构、循环结构，以及几种基本算法语句——输入、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.1.2古典概型对点训练理word版本
2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.1.2 古典概型对点训练 理1.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1答案 B解析 由题意得基本事件的总数为C215，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C110C15，所以所求概率P ＝C110C15C215＝1021.故选B. 2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 从5个点取2个共有C25＝10种取法，而不小于正方形边长的只有4条边与2条对角线，共6种，所以P ＝610＝35. 3．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.110B.310C.15D.35 答案 B解析 将数列1,3,5,7,9…记为{a n }，则前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a 46＝2×46－1＝91，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P ＝310. 4．从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是( )A.29189B.2963C.3463D.47答案 B 解析 从8个顶点中任选2个共确定直线28条，从中任取两条直线，共有C228种取法；考查异面直线有多少对，可以考虑8个顶点共组成多少个三棱锥：上、下底面各取两点，共面的情形有10个．从而三棱锥共2C14C34＋C24C24－10＝58个，每个三棱锥有三对异面直线，故P ＝58×3C228＝2963. 5．从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.45B.1625C.1325D.25答案 D解析 解法一：(列举法)从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，总的情况为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20种情况．两张卡片上的数字之和为偶数的有：(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8种情况．∴从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字之和为偶数的概率P ＝820＝25.故选D. 解法二：(组合法)由题意知本题是一个古典概率模型，试验发生包含的事件是从5张中随机地抽2张，共C25＝10种结果．满足条件的事件分两种情况，一种为从1,3,5中任取两张，有C23＝3种结果，另一种为从2,4中任取两张，有C22＝1种，所以取到的两张卡片上的数字之和为偶数共有3＋1＝4种结果，∴P ＝410＝25.故选D. 6．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．答案 16解析 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有C710种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有C36·C 3种不同的取法，故所求概率P ＝C36·C 3C710＝20120＝16. 7.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．答案 13解析 从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数，不同的取法为{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}共6个基本事件，其中乘积为6的有{1,6}，{2,3}两个基本事件，因此所求事件的概率为P ＝26＝13. 8．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________. 答案 8解析 因为5＝1＋4＝2＋3，所以2C2n ＝114，即n (n －1)＝56，解得n ＝8或n ＝－7(舍)．。
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2017高考数学一轮复习 第十二章 概率与统计 12.4 统计与统计案例课时练 理时间：60分钟1.[2016·冀州中学期中]某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为( )A ．25B ．26C ．27D ．以上都不是答案 B解析 系统抽样是把个体编号后，先抽取第一个，然后每次间隔相同的数依次抽取，本题中每次间隔20，第一个抽取的是6号，接下来应该抽取的是第26号，故选B.2．[2016·衡水中学仿真]在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 答案 D解析 由题原来众数88变为90，中位数由86变为88，平均数增加2，所以每个数与平均数的差不变，即标准差不变．故选D.3．[2016·枣强中学预测]对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116 B.18C.14D.12 答案 B解析 依题意可知x ＝68，y ＝38，样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18.4.[2016·冀州中学一轮检测]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o <xC ．m e <m o <xD ．m o <m e <x 答案 D解析 由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现次数最多，故m o ＝5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o <m e <x .故选D.5．[2016·武邑中学一轮检测]某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 四类食品的每一种被抽到的概率为 2040＋10＋30＋20＝15，∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×15＝6.6．[2016·武邑中学月考]甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x －甲，x －乙，则下列判断正确的是( )A.x －甲>x －乙；甲比乙成绩稳定B.x －甲>x －乙；乙比甲成绩稳定C.x －甲<x －乙；甲比乙成绩稳定D.x －甲<x －乙；乙比甲成绩稳定 答案 D解析 由茎叶图可知x －甲＝17＋16＋28＋30＋345＝25，x －乙＝15＋28＋26＋28＋335＝26，∴x －甲<x －乙．又s 2甲＝15[(17－25)2＋(16－25)2＋(28－25)2＋(30－25)2＋(34－25)2]＝52，s 2乙＝15[(15－26)2＋(28－26)2＋(26－26)2＋(28－26)2＋(33－26)2]＝35.6，∴s 2甲>s 2乙，∴乙比甲成绩稳定．7.[2016·衡水中学热身]将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9 答案 B解析 依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.所以第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8(人)．8．[2016·衡水二中热身]在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 答案 D解析 由题设可知这组样本中的数据完全正相关，又都在y ＝12x ＋1上，故相关系数为1，故选D.9．[2016·武邑中学期末]甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：________．答案 甲解析 x 甲＝x 乙＝9环，s 2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定，故填甲． 10．[2016·衡水二中预测]某中学2015年共91人参加高考，统计数据如下：)答案 无关解析 2×2列联表如下：0计算K 2＝－255×36×50×41≈0.11.我们接受统计假设，故考生的户口形式对高考录取没有影响．11．[2016·枣强中学月考]某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000,1500)(单位：元)．(1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数．解 (1)由题意知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为1－(0.0002＋0.0001＋0.0003＋0.0005×2)×500＝1－0.0016×500 ＝1－0.8＝0.2.(2)由频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)中，设中位数为x ，则0.0002×500＋0.2＋0.0005(x －2000)＝0.5，解得x ＝2400.12.[2016·衡水二中猜题]以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵树的平均数与方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学植树总棵数为19的概率．解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵树是8,8,9,10，所以平均数为x －＝8＋8＋9＋104＝354，方差为s 2＝14⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)．用C 表示“选出的两名同学的植树总棵树为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．由古典概型知，所求概率P (C )＝416＝14.能力组13.[2016·衡水二中一轮检测]某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( )A ．48个B ．49个C ．50个D ．51个 答案 B解析 由题意知x －＝17.5，y －＝39，代入回归直线方程得a ^＝109,109－15×4＝49，故选B.14．[2016·冀州中学周测]某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[39.5,43.5)内的顾客所占百分比为________．答案55%解析后两个小组的频率为(0.0375＋0.0875)×2＝0.25，所以前3个小组的频率为1－0.25＝0.75，又前3个小组的面积比为1∶2∶3，即前3个小组的频率比为1∶2∶3.所以第三小组的频率为31＋2＋3×0.75＝0.375，第四小组的频率为0.0875×2＝0.175，所以购鞋尺寸在[39.5,43.5)的频率为0.375＋0.175＝0.55＝55%.15．[2016·冀州中学热身]有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，能否有95%的把握认为“成绩与班级有关系”？(3)按下面的方法从甲班的优秀学生中抽取一人．把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号或10号的概率．附：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)2×2(2)K2＝－255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，则所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝836＝29.16．[2016·枣强中学周测]某百货公司1～6月份的销售量x 与利润y 的统计数据如下表：(1)根据2至5月份的数据，画出散点图，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？解 (1)根据表中2至5月份的数据作出散点图，如图所示：计算得x －＝11，y －＝24，∑5i ＝2x i y i ＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，∑5i ＝2x 2i ＝112＋132＋122＋82＝498，则b ^＝∑5i ＝2x i y i －4x －y－∑5i ＝2x 2i －4x－2＝1092－4×11×24498－4×112＝187， a ^＝y －－b ^x －＝24－187×11＝－307.故y 关于x 的回归直线方程为y ^＝187x －307.(2)当x ＝10时，y ^＝187×10－307＝1507，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪1507－22<2；当x ＝6时，y ^＝187×6－307＝787， 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪787－12<2.故所得的回归直线方程是理想的．。