北师大版七年级数学上《应用一元一次方程——水箱变高了》

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初一上数学课件(北师版)-应用一元一次方程——水箱变高了

【规范解答】设长方形的长为 x 米，依题意得：x＋2(x－5)＝35，解得 x＝ 15，∵15＞14，∴小王的设计不合实际．【题后反思】类似此类有关实际问题的应用题，在解出未知数的值后要注意其值是否符合问题的实际意义．
知识点一：等积变形
等体积变形：即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，
列方程解决形体问题．【例 1】锻造车间要铸造底面半径为 8cm，高为 12cm 的圆柱形零件毛坯 5 个，需要用横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材多长？(生产过程中的损耗不计)
【思路分析】锻造过程中，虽然物体形状变了，但体积不变，就是利用这一点为相等关系建立方程求解．
【规范解答】设需要横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材 xcm，根据题意，得 5π×82×12＝π×162×x，解得 x＝15.答：需要横截面半径为 16cm 的圆柱形钢材 15cm 长．
箱壁每平方米的造价是箱底每平方米造价的23，若整个水箱共花去 1860 元，
求水箱的高度．
解：设水箱的高度为 x 米，2(5x＋3x)×60×23＋5×3×60＝1860，∴x＝1.5，答：水箱的高度为 1.5 米．
7．用一根铁丝围成一个三条边都为 24cm 的三角形，如果将它改围成一个
正方形，这个正方形的边长是( B )
A．24cm
B．18cm
C．12cm
D．9cm
8．如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为 6cm 的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为 8cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( B )
A．20 C．48
B．24 D．144
9．长方形的长是宽的 3 倍，如果宽增加了 4m 而长减少了 5m，那么面积增加 15m2，设长方形原来的宽为 xm，所列方程是( B ) A．(x＋4)(3x－5)＋15＝3x2 B．(x＋4)(3x－5)－15＝3x2 C．(x－4)(3x＋5)－15＝3x2 D．(x－4)(3x＋5)＋15＝3x2

北师大版七年级数学上册第五章《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿

《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿(北师大版数学七年级上册·第五章第三节)尊敬的各位领导、各位同仁，大家下午好。

今天，我将和在座各位共同分享的说课题目是：《应用一元一次方程——水箱变高了》，我的说课主要围绕以下七个部分展开。

一、【教材分析】本节课是北师大版七年级上册第五章第三节的教学内容，它是学生学习完一元一次方程的概念和解法后的第一个模型应用内容，目的是让学生感受一元一次方程是刻画现实世界常见的数学模型之一。

本节课内容与学生现实生活结合紧密，这样可以让学生更容易根据问题中的数量关系建立方程模型。

与此同时，由于本节课是学生首次经历建立数学模型并求解的全过程，所以对于本课的教学，需引导学生真正经历从实际问题中获得等量关系、建立和求解一元一次方程模型的全过程，感悟模型思想，为以后学习研究其他数学模型奠定基础。

可以说，本课内容虽然不难，但在学生数学学习过程中起到基础性与启迪性作用。

二、【学情分析】本班学生课堂活跃，善于提问与思考，勤于动手，乐于分享，但学生之间差异明显。

相比小学阶段的学习，初中阶段的应用题阅读量大，这对学生的阅读理解来说是不小的挑战。

本课的学习，需要学生认真审题，能获取题中的等量关系并用代数式表示出来，进而建立一元一次方程加以解决，这对学生的思维是极大的训练与提升。

三、【教学目标】根据上述对教材和学情的分析，我确立了如下教学目标：1.初步学会从操作实验中感受体积的不变性，获取其中的数量关系，体会用数学的眼光观察世界；2.能从具体问题中找出等量关系，并用代数式表示出其中每一个量，列出一元一次方程解决问题；3.经历运用一元一次方程解决实际问题的全过程，体会方程模型的作用，感悟模型思想；4.在探索等量关系过程中培养自主探究、合作交流的能力，在评价结果的过程中发展数学思考能力。

四、【重点难点】在此基础上，我确定了本节课的教学重难点：教学重点：在“体积问题”中寻找等量关系，建立一元一次方程模型来解决。

北师大版初中数学七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了课件

想一想什么发生了变化？
什么没有发生变化？
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积解：设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：
锻压前
底面半径
高
9 cm
体积
锻压后
x cm
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
根据等量关系，列出方程： π× 102×9 = π× 52×x
（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为x米. 由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米；面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果
两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是
(B)
A．20 cm
B．24 cm
C．48 cm
D．144 cm
课堂检测
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
基础巩固题
2.从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为 5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降( B ) A．8cm B．2cm C．5cm D．4cm
北师大版数学七年级上册 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
5.3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
导入新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？

初中数学北师大版七年级上册3 应用一元一次方程—水箱变高了

因此，水面增高约为0.9厘米。
3.(1)在一个底面直径为3cm，高为22cm的量筒内装满水，再将筒内的水到入底面直径为7cm，高为9cm的烧杯内，能否完全装下？若装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度。
(2)若将烧杯中装满水倒入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还剩水多高？
解：
目 Contents 录
5.3应用一元一次方程 ——水箱变高了
双羊初中孔丽玲
教学目标
1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。
回顾公式
（1）长方形的周长= 2(a+b)
面积=
ab
长方体的体积= abc
（2）正方形的周长= 4a
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？
（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形（1）所围成的长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？
等体积变形
导入新课
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？
想一想
什么发生了变化？
什么没有发生变化？
等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积
面积= a2
正方体的体积=
a3
（3）圆的周长= 2 πr
圆的面积 =

应用一元一次方程水箱变高了定义

应用一元一次方程水箱变高了定义一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。

在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。

水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。

水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。

假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。

那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。

现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。

在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。

根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。

也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。

这就是这个问题的数学表达方式。

接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。

在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。

假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。

这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。

在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。

从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。

也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。

这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。

要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。

通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。

在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。

北师大版七年级上册数学5.3《应用一元一次方程————水箱变高了》教学设计

北师大版七年级上册数学5.3《应用一元一次方程————水箱变高了》教学设计一. 教材分析北师大版七年级上册数学5.3《应用一元一次方程————水箱变高了》这一节主要讲述了一元一次方程在实际生活中的应用。

通过水箱变高的实例，让学生掌握一元一次方程的解法及其在实际问题中的应用。

教材以生活中的实际问题为背景，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学过一元一次方程的理论知识，对解方程有一定的了解。

但将方程应用于实际问题中，求解现实生活中的问题，对学生来说还较为陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解一元一次方程在实际生活中的应用，体会数学与生活的紧密联系。

2.掌握一元一次方程的解法，提高学生的数学解题能力。

3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：一元一次方程在实际生活中的应用。

2.难点：将实际问题转化为方程，求解问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置实际问题，引导学生运用一元一次方程解决问题，培养学生的数学应用能力。

同时，学生进行小组合作交流，分享解题心得，提高学生的合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的生活案例，用于引导学生思考和讨论。

2.准备课件，展示解题过程和思路。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一个关于水箱变高的实际问题，引发学生的思考。

提问：“如何计算水箱变高后的容量？”让学生意识到需要运用数学知识解决问题。

2.呈现（10分钟）讲解水箱变高的实例，引导学生将实际问题转化为方程。

呈现一元一次方程的解法，让学生跟随老师一起解题，体会解题过程。

3.操练（10分钟）让学生独立完成类似的题目，巩固一元一次方程的解法。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）学生进行小组讨论，分享解题心得。

5.3应用一元一次方程-水箱变高了七年级数学上册课件(北师大版)

二、新知探究
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多
少？它围成的正方形的面积解与：(2设)中正相方比形，的又边有长什为么xm同以变.样围化长更？的大铁的丝地可方. 根据题意，得 4x =10
xm
解得
x
正方形的边长为m
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2) 比(2)中面积增大（m2）
六、作业布置
习题
2.(1)长方形的周长= 2a+2b ;面积= ab (a,b分别表示长方形的长和宽). (2)圆的周长= 2πr ，面积= πr2 (r表示圆的半径). 3.(1)长方体的体积= abc (a,b,c分别表示长方体的长、宽、高); (2)圆柱的体积= πr2h (r表示圆柱底面圆的半径，h表示圆柱的高).
三、典例精析
例1：要锻造一个直径为12 cm，高为8 cm的圆柱形毛坯，应截取多少直径为8 cm的圆钢？(不计锻造时的损耗) (1)本题建立方程的相等关系是_圆__钢__体__积__＝__毛__坯_；体积 (2)设截取直径为8 cm的圆钢x cm，根据数量关系填表：
底面半径(cm) 高(cm)
体积(cm3)
2．用5.2 m长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6 m，求围成的长
方形的宽为多少．设长方形的宽为x m，可列方程为( C )
A．x＋(x＋0.6)＝5.2
B．x＋(x－0.6)＝
C．2(x＋x＋0.6)＝5.2
D．2[x＋(x－0.6)]＝
四、当堂练习
3.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就
在这个过程中什么没有发生变化？
二、新知探究
等量关系：

北师大版七年级数学上册 (应用一元一次方程—水箱变高了)一元一次方程教学课件

10
解：（1）设此时长方形的宽为__x__米，则它的长为____(x_+_1_._4_)__米。根据题意，得：
(x+1.4+x)×2=10
解方程，得 2x+1.4=5
x
2x=3.6
x=1.8 1.8+1.4=3.2
x+1.4
1.8×3.2=5.76
此时，长方形的宽为__1_._8__米，长为__3_.2___米，面积为____5_.7__6___平方米。
长方形的周长不变时，它的面积会随着长和宽的变
化而变化，当__长__=_宽____（即为_正__方_形__）时，面积最大。
14
2.练习变式小华的父亲养了一群鸡，把它们圈在用80米篱笆围成的长为30米、
宽为10米的鸡圈内．为了扩大养鸡规模，利用现有的篱笆把鸡圈面积扩大，你能帮他想想办法吗？
解：将80米的篱笆围成正方形时，面积最大这时，正方形的边长为80÷4=20米。
11
（3）设此时长方形的宽为___x__米，则它的长为____(x_+_0_._8_)__米。根据题意，得：
(x+0.8+x)×2=10
解方程，得 2x+0.8=5 2x=4.2 x=2.1
2.1+0.8=2.9
x x+0.8
2.1×2.9=6.09
此时，长方形的宽为__2_._1__米，长为__2_._9__米，面积为___6_._0_9____平方米。
追上时,距学校还有多远?
280米
新知讲解
解（1）设爸爸追上小明用了x分钟，据题意，得 180x=80x+80×5
解得x=4 因此，爸爸追上小明用了4分。（2）因为 180×4＝720（米）

北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿

北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》这一节内容，是在学生已经掌握了一元一次方程的基本知识、解一元一次方程的基本方法的基础上进行讲解的。

通过前面的学习，学生已经知道如何列出一元一次方程，并能够熟练地解一元一次方程。

而本节课，则是让学生运用一元一次方程解决实际问题，从而提高学生解决实际问题的能力，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的基本知识和解一元一次方程的基本方法，对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决问题，也有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往因为对问题的理解不够深入，而导致列出的方程不正确，或者解出的答案与实际情况相差较远。

因此，在教学过程中，我需要引导学生深入理解问题，培养学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生会将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，提高运用数学知识解决生活问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生感受到数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.教学难点：学生对实际问题的理解，如何正确列出方程，并解出符合实际情况的答案。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。

同时，我会利用多媒体手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解问题，提高解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

2.新课讲解：讲解如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

北师大版数学七上：5.3《应用一元一次方程-水箱变高了

[目标定位] 1.知道液体分子的排列情况． 2. 知道液体分子热运动的特点，了解液晶的微观结构． 3.通过实例了解液晶的主要性质及其在显示技术中的应用．
预习导学
一、液体的性质
1．具有一定的体积，不压缩易被 2．宏观物理性质上表现同为性各向 3．没有一定的形状，一定具的有体积
．．．
预习导学
方
面的应用，这方
光学
面的应用是利用了液晶的多种
效应，
笔记本电脑的彩
定向排列
色显示各向器异性也是液晶显示器．在某些液薄片晶状中掺
入少量的多生物色膜性染料，染料分子会与液晶分
子结合而
，从而表现出光
学
．某些物质在水溶液中能够形成
液
晶，而这正是
的主要构成部分．液晶
课堂讲义
一、液体的性质 1．液体的微观结构
4．液体微观结构非晶与体可以液体看作粘性极
非常类似，非晶体
晶体
大的，所以严格地快说，只有才能叫
做真正的固体．
振动
5．液体的扩散搬迁现象比固体进行得定居．
6．分子的热运动：主要表现为在平衡位置附
近
，其特点
是短时间的“ “ ”交替进行．
”和比较长时间的
预习导学
二、液晶
1．人们把介于晶体和液体之间的中间态叫做液
课堂讲义
(4)扩散特点：液体的扩散现象是由液体分子热运动产生的，分子在液体里的移动比在固体中容易得多，所以液体的扩散要比固体的扩散快．
课堂讲义
例1 关于液体和固体，以下说法不正确的是 ()
A．液体分子间的相互作用比固体分子间的相互作用强
B．液体分子同固体分子一样，也是密集在一起的
C．液体分子的热运动没有长期固定的平衡位置 D．液体的扩散比固体的扩散快答案 A

北师大七年级上-第14讲-一元一次方程的应用(水箱变高了)

一元一次方程的应用（水箱变高了）知识点一：等体积变形问题1．等体积变形，即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，一利用体积不变这一等量关系，可列方程解决等积变形问题．2．常见几何体的体积公式：(1)圆柱体体积;2h r V π=(2)长方体体积;abc V =(3)正方体体积;3a V =(4)圆锥体的体积.312h r V π= 例1如图所示，将一个底面直径为10cm ，高为36cm 的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“矮胖”形圆柱．假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？分析：在锻压过程中，圆柱由“瘦”变“胖”，形状发生了变化，但它的体积始终保持不变，所以在这个问题中有如下等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设锻压后圆柱的高为xcm ，填写下表：x ⨯⨯210365ππ，解得x =9．答：高变成了9cm .例2 有一个长、宽、高分别是20cm 、15cm 、40cm 的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形且正方形边长为20cm 的长方体钢锭，高变成了多少？（忽略锻压过程中的损耗）分析：此题的相等关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设高变成了xcm ，依题意得20 ×20 ×x =20 ×15×40.解方程，得x = 30.答：高变成了30cm .变式训练1.将一个底面积为236cm ，高为30cm 的金属圆柱熔铸成一个底面长8cm ，宽5cm 的长方体，求该长方体的高．这个问题的等量关系是，如果设长方体的高是xcm ，则可列方程 .解．圆柱体的体积=长方体的体积，.303658⨯=⨯⨯x2.用一个长、宽、高分别是16cm 、10cm 、5cm 的小长方体容器向一个底面为20cm ×20cm 的大长方体容器注水，当小长方体容器的水全部注入大长方体容器中时，大长方体中的水面高度是多少？解：设大长方体中的水面高度为xcm ．依题意，得.102051016x ⨯⨯=⨯⨯解之得x =2．答：大长方体中水面的高度为2cm .知识点二：等长变形问题1．等长变形，即用物体（通常是铁丝等）围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．利用周长不变列出方程．2．常用平面图形的周长、面积公式：(1)长方形周长C =2(a +6)，面积S = ab ，(2)正方形的周长C =4a ，面积S =;2a(3)三角形的面积;21ah S = (4)平行四边形的面积S = ah;(5)梯形的面积;)(21h b a S +=(6)圆的周长C =2πr ，面积2r S π=（r 表示圆的半径）. 例3用一根铁丝可围成边长为9cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm 的长方形，则长方形的面积是多少？分析：图形的形状改变了，但是周长不变，始终等于铁丝的长度，故此题的相等关系是：正方形的周长=长方形的周长．解：设长方形的长为xcm ，则宽为（x -2）cm .依题意得2x +2（x -2）=9×4．解得x = 10.x -2 =8．故x （x -2）=80.答：长方形的面积为.802cm例4墙上钉着一个由一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示（单位：cm ），小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示．求小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？分析：从梯形变成长方形，形状变了，但周长不变，可根据这一等量关系建立方程，长方形的宽为8cm .解：设长方形的长为xcm .由题意，得2(8 +x )=8 +15 +10 +8 +5 +13,∴x = 21.5．答：长方形的长为21.5cm ，宽为8cm .变式训练1. 一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm 的正方形．如果用这根绳子围成一个长8cm 的长方形，这个长方形的宽为____ cm ，面积是____.2cm解.4 32 提示：设长方形的宽为xcm ，则有46⨯ =2(8+ x )．解得x =4．则长方形的面积为48⨯ =32（2cm ).一、专题精讲题型一：形积变化——体积不变例1在一个内部长、宽、高分别为3m 、3m 、80cm 的长方体水箱内装满水，然后倒入一个底面直径是2m ，高是12m 的圆柱形容器中，问水是否会溢出？若不溢出，请求出水面离容器口的距离．（π取3.14，结果精确到0. 01m ）分析：先分别求出两容器的体积，然后通过比较大小，确定水是否会溢出，解：长方体的体积).(2.78.03331m V =⨯⨯= 圆柱形容器的体积=⨯⋅==12)22(222ππh r V ).(123m π 因为7.2< 12π，所以水不会溢出．设将水倒入圆柱形容器后，水面高度为xm ．由题意得.)22(8.0332x ⋅⋅=⨯⨯π解得x ≈2.29．所以12 -x =9.71. 答：水不会溢出，水面离容器口的距离约为9.71m .变式训练1．把一个长、宽、高分别为8cm 、7cm 、6cm 的长方体铁块和一个棱长5cm 的正方体铁块，熔炼成一个直径为20cm 的圆柱体，这个圆柱体的高是多少？(精确到0. 01cm )解：设这个圆柱体的高为xcm .依题意，得.)220(14.3567823x ⨯=+⨯⨯解之得x ≈1. 47．答：这个圆柱体的高度大约是1. 47cm .题型二：形积变化——面积不变例2如图(1)、(2)，长方形的长、宽分别为a 、b ，阴影部分中长方形的宽为c ，图(1)、(2)中空白部分的面积分别为21,S S ，那么1S 与2S 的大小关系为( )．21.S S A < 21.S S B > 21.S S C = D ．无法确定分析：通过移动阴影部分，将所有阴影部分合在一起后，利用阴影部分面积=长方形面积一空白部分面积，可知面积相等，解：C变式训练1．一个长方形如图所示，恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是21cm ，求这个长方形的面积．解：设最大正方形B 的边长为xcm ，则C 的边长为 (x -1)cm ，D 的边长为（x -2）cm ，E 的边长为（x -3）cm ，F 的边长也是（x -3）cm ．根据长方形对边相等得2（x -3）+（x -2）=x +(x -1)．解得x =7．则C 的边长为6cm ，D 的边长为5cm ，E 和F 的边长都为4cm .长方形面积为).(143)47()67(2cm =+⨯+题型三：形积变化——周长不变例3小刚家打算靠墙（墙长14m ）修建一个长方形的养鸡场（靠墙的一边作为长），另三边用35m 长的篱笆围成．小刚的爸爸打算让鸡场的长比宽多2m ，小刚的妈妈打算让鸡场的长比宽多5m .你认为他们谁的设计合理？按照这种设计，鸡场的面积是多少？分析：此题中的“墙长14m ”是一个限制条件，故所建的鸡场的长不能大于14m .解：设鸡场的宽为xm .①按小刚爸爸的设计，其长应为（x +2）m ．根据题意，得x +2 +2x = 35.解得x = 11. 因为11+2= 13m <墙长14m ，所以小刚爸爸的设计合理，这时鸡场的面积为).(14311132m =⨯ ②按小刚妈妈的设计，其长应为(x +5)m ．依题意，得x +5 +2x = 35.解得x = 10.因为10 +5 =15m >墙长14m ，所以小刚妈妈的设计不符合实际．故小刚爸爸的设计合理，此时鸡场的面积为.1432m点拨：运用一元一次方程解决实际问题时，要注意解的合理性，即所得结果必须符合实际情况，变式训练1．已知两个长方形的长和宽的比都是2:1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm ，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，求这两个长方形的面积．解：设小长方形的宽为xcm ，则大长方形的宽为(x +3)cm ，依题意，得2(x +2x )=x +3+2(x +3)．解之得x =3．则小长方形的面积为⋅=⨯⨯)(18)23(32cm ，大长方形的面积为⋅=⨯⨯)(72)26(62cm能力培养 1.一根内径为3cm 的圆柱形长试管中装满了水．现把试管中的水逐渐滴人一个内径为8cm 、高为1.8cm 的圆柱形玻璃器皿中．当玻璃器皿装满水时，试管中水的高度下降了多少厘米？解：设试管中水的高度下降了xcm ．依题意有8.1)28()23(22⨯⨯=⋅ππx ．解得x = 12.8．答：试管中水的高度下降了12. 8cm .2．如果用16m 长的篱笆围成一个长方形养鸡场，长、宽各是多少米时，其面积最大？解：只有当长、宽均为4m ，即围成一个正方形时，养鸡场面积最大，).(16422m S ==最大达标测试：1．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m 而长减少了5m ，那么面积增加.152m 长方形原来的宽为xm ，所列方程是( )．2315)53)(4.(x x x A =+-+ 2315)53)(4.(x x x B =--+ 2315)53)(4.(x x x C =-+- 2315)53)(4.(x x x D =++- 2．已知内径为120mm 的圆柱形玻璃杯和内径为300mm 、内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为( )．A ．150mmB ．200mmC ．250mmD ．300mm3．三角形的周长是84cm ，三边长的比为17:13：12，则这个三角形最短的一边长为 .4．要锻造一个直径20cm ，高16cm 的圆柱形毛坯，应截取直径16cm 的圆钢 cm .5．一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周长为88cm 的正方形（不计接口部分），这个罐头的容积是（精确到31cm ，π取3.14） .6．把一个半径为3cm 的铁球熔化后，能铸造个半径为1cm 的小铁球个．（球的体积为334R π)7．在一个内径为20cm ，高为110cm 的圆柱形铁桶中装有30cm 深的水，现把棱长为8cm 的正方体铁块慢慢放到桶中，铁桶中的水位大约上升了( ) cm .（π取3.14，精确到0.1）A .1.6B .1.7C .3.2D .3.38．长方体甲的长、宽、高分别为260mm 、150mm 、325mm ，长方体乙的底面积为.1301302mm ⨯已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．参考答案1. B2. B3. 24cm4. 25 3848.5cm 提示：圆柱高为22cm ，底面半径为.11cm π 6. 27 提示：n ⋅⨯=⨯33134334ππ，解得n = 27. 7．A 提示：328)220(=⋅⨯h π，解得h ≈1.6．8．解：设乙的高为xmm ，依题意得.5.2130130325150260⨯⨯⨯=⨯⨯x 解之得x = 300.答：乙的高为300mm .课后作业：一．选择题1．已知半径为5厘米，高为7厘米的圆柱体的体积是直径为4厘米，高为x 厘米的圆柱体的体积的5倍，则下列方程正确的是（）A ．5π•42•x=π•102•7B ．π•42•x=5π•102•7C ．5π•（）2（）2（）22二．填空题2．一个长方形的周长是42，宽比长少3，如果设长为x ，那么根据题意列方程为 2（x+x ﹣3）=42 ．3．如图，8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块地砖的长和宽，设每块地砖的宽为xcm ，根据题意，列出的方程为 4x=60 ．4．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面性为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x 毫米，则可列方程 2 x =1312 81 ．5．水池有一进水管，5时可注满空池；池底有一出水管，8时可放完满池水．如果同时打开进水管和出水管，1时后，水池的水是满池的，若同时打开进水管和出水管刚好x 时注满空池，可列方程是．6．三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）如图所示．则三个几何体的体积和为 60π cm 3．（计算结果保留π）7．一个底面直径6cm ，高为50cm 的“瘦长”形圆柱钢材锻压成底面直径10cm 的“矮胖”形圆柱零件毛坯，高变成多少？（1）本题用来建立方程的相等关系为 V 锻压前=V 锻压后．（3）列出方程 π．（）2.50=π（）2 x 解得方程 x=18 cm ．8．一小圆柱形油桶的直径是8cm ，高为6cm ，另一大圆柱形的油桶的直径是10cm ，且它的容积是小圆柱的油桶容积的2.5倍，如果设大圆柱油桶的高为xcm ，可建立方程为 π•52x=2.5π×42×6 ．。

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4
3.2
4
x
(4)2 4
2
(3.2)2 x
2
根据等量关系，列出方程：
(4)2 4 = (3.2)2 x
2
2
.
25
25
解得x= 4 . 因此，水箱的高变成了 4 m.
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形． (1)使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？
解: (1)设此时长方形的宽为 x m，则它的
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)相比又有什么变化？
设正方形的边长为xm.
根据题意，得 x x 10 1. 2
解这个方程，得x=2.5.
正方形的边长为2.5m，
正方形的面积为2.5 2.5 6.25(m2 ), 比(2)中面积增大6.25 6.09 0.16(m2 ).
你发现了什么规律？
同样长的铁丝围成的长方形，长和宽的差越小，面积越大；围成的正方形面积最大.
应用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？
1.审题； 2.找等量关系； 3.设未知数( x ); 4.列方程； 5.解方程； 6.检验； 7.作答.
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右图实线所示(单位：cm). 小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如右图虚线所示. 小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱. 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m 减少为3.2m. 那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？
在这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
设水箱的高变为 x m, 填写下表：
长为(x+1.4)m.
根据题意，得 x x 1.4 10 1.
解这个方程，得 x=1.8.
2
1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形．
(2)使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化？
设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m.
根据题意，得 x x 0.8 10 1.
解这个方程，得 x=2.1.
2
2.1+0.8=2.9.
此时长方形的长为2.9m,宽为2.1m, 面积为
2.9×2.1=6.09(m2 )，(1) 中长方形的面积为方形的面积增大 6.09-5.76=0.33(m2).