人教B版高中数学 必修五 第二章 归纳与总结 课件 (共39张PPT)
高中数学 第二章 数列小结课件 新人教B版必修5
an2
an ,则a6
__3__;
5
(2)an
(1)n an1
1(n
2), 且a7
4 7
, 则a5
_2___;
(3)a1
1 2
, an
1
1 an1
(n
2), 则a2004
__2___ .
例3 在数列{an }中
(1)已知a1
1 3
, an
(1)n
•
2an1 ( n
2), 求a5 , an;
(2)a1
Sn
n(2 log2
51 2
2 log2
5
n)
1 2
n2
1 2
(4 log2
Hale Waihona Puke 5 1)n(3)∵{bn}为递减的等差数列 ∴n=1时, bn取得最大值,最大值为log25
数列的求和
例8 等差数列{an}中,a1=13,S3=S11,求Sn
解法一：由S3 S11，得a4 a5 a11 0， a4 a11 0，由a1 13，解得d 2 Sn n2 14n 解法二： ∵{an }是等差数列，设Sn An2 Bn 由a1 S1 13，S3 S11，代入得9AAB3B13121A 11B 解得A 1，B 14， Sn n2 14n
也是等比数列 ③等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 4. 数列求和: 常用求和方法:裂项求和、分组求和、错位相减、倒序相加
求通项
例1 根据数列的前几项,写出下列数列的一个通项
公式：
(1) 1 , 3 , 7 , 15 , 31 ,… 2 4 8 16 32
2n 1 (1)an 2n
1, an1
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课
D典例透析 S随堂演练
目标导航
题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即
1
=
2
1
+1,则
设 Tn= +
2
3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2
1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.
2
+
2 +1
1
,②
−
+…+
2
2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
D典例透析 S随堂演练
目标导航
IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修五知识点汇总第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。
作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理，在△ABC 中， bbc c sin sin =步骤2.证明：2sin sin sin a b cR A B C===如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(21c b a p ++=，求证：（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则pc p b p a p r ))()((---=（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明：（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系，sin C ==代入1sin 2S ab C =，得12S ====记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以S r p == 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和 故得：pr cr br ar S =++=212121（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3:证明等式成立证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.lhα2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 .注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
第三十一页，共42页。
法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
第十九页，共42页。
【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
第九页，共42页。
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
人教版高中数学必修五第二章数列课件PPT
(2)从函数的观点看数列. 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取 正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…， f（n），….
（3）数列的图象表示. 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可 以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的 有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些 点的个数可以是无限的，也可以是有限的.
（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由 于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数 集有本质的区别.
2.数列分类的判断 （1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列； （2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列； （3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列； （4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项，则是摆动数列.
为 4， 4，4，…，4 ，再把分母分别加1，又变为
2 5 8 11
4， 4， 36
4， 9
1…42，，∴数列的通项公式为an=
4 （(n∈1）Nn1*).
3n 1
数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应. 对于任意数列如：1，1，1，1，1，1，1，…，每一项的序号与该
234567
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 （-1）k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等.
2.“基本数列”的通项公式. (1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n； (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n； (3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1； (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n； (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；
高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)
1 自主学习
PART ONE
知识点一 递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 二 项(或某一项)开始的任一项_a_n_与 它的前一项 an－1 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式叫做这个数列的递推公式. 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有 递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需 的项.
第二章 §2.1 数 列
2.1.2 数列的递推公式(选学)
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
12345
课小结
KETANGXIAOJIE
1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列 的一种简记情势.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整 体”的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反应an和n之间的关系，即an 是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公 式则是间接反应数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推 导关系，不能由n直接得出an.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.2习题课——等差数列习题课
得 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即
1
1
1
-1
−
1
+2=0,
∴ − =2.
∴数列
-1
1
是公差为 2 的等差数列.
1
1
2
1
又 S1=a1= ,∴ =2.
1
1
∴ =2+(n-1)×2=2n,Sn=2 ,
1
1
-1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 − 2(-1) = 2(-1).
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最大;
2
+-1
++1
2
2
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
,Sn 最大.
②若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最小;
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
2
+-1
++1
2
2
,Sn 最小.
目标导航
题型一
4
(+2)
1
2
1
d=3n+
2
1
(-1)
1
1 1
2
1 1
-
2 4
1
1
-
4(+1)(+2)
.
+2
2
,
+…+
2 +1 +2
2+3
2(+1)(+2)
高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列(二)课件 新人教
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4
d＝－6.
2.3.1 等比数列(二)
12
预课当所习堂以导讲检，学义测当a＝4，d＝4时，所求栏四目个索数引为0,4,8,16； 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
2.3.1 等比数列(二)
4
预课当[预习堂习导讲检学义测导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
1.等比数列的第二通项公式
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等比数列的通项公式为：an＝ a1qn－1 ，推广形式为：an＝am·_q_n_－_m_
(n，m∈N＋).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 am·an＝ak·al .
2.3.1 等比数列(二)
6
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
要点一 等比数列性质的应CON用TENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
例1 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a23＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断成等比数列的方法.
2.3.1 等比数列(二)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
高中数学人教B版必修五课件 第二章 数列 2.1.2精选ppt课件
[再练一题] 2．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ 【导学号：33300040】 (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值．
【解】 (1)由 n2－5n＋4<0， 解得 1<n<4. ∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数． (2)法一 ∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴方程为 n＝52＝2.5. 又∵n∈N*，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值，且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2 ＋4＝－2.
[再练一题] 1．已知数列{an}的第一项 a1＝1，以后的各项由公式 an＋1＝a2n＋an2给出，试写 出这个数列的前 5 项. 【导学号：33300039】 【解】 ∵a1＝1，an＋1＝a2n＋an2， ∴a2＝a21＋a12＝23， a3＝a22＋a22＝223× ＋232＝12，
a4＝a23＋a32＝212× ＋122＝25， a5＝a24＋a42＝225× ＋252＝13. 故该数列的前 5 项为 1，23，12，25，13.
a1
＝
1
，
an
＝
n n－1
·an
－
1(n>1)
，
则
a4 ＝
________.
【解析】 依次对递推公式中的 n 赋值，当 n＝2 时，a2＝2；当 n＝3 时，a3 ＝32a2＝3；当 n＝4 时，a4＝43a3＝4.
【答案】 4
4．已知数列{an}中，a1＝－12，an＋1＝1－a1n，则 a5＝_________________. 【解析】 因为 a1＝－12，an＋1＝1－a1n， 所以 a2＝1－a11＝1＋2＝3， a3＝1－13＝23，a4＝1－32＝－12，a5＝1＋2＝3. 【答案】 3
高中数学 2本章归纳整合课件 新人教B版必修5
q＝1 时，Sn＝na1，q≠1 时， a11－qn a1－anq Sn＝ ＝ 1－q 1－q
专题一 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心内容之一．它如同函数中的 解析式一样，对研究数列的性质起着重要的作用．在解题时， 根据题目所给条件的不同，可以采用不同的方法求数列的通项
公式，常见方法有如下几种：
1 1 A 法二 设an＋1－A＝ (an－A)，则an＋1＝ an＋ . 2 2 2 1 根据an＋1＝ an＋1可得：A＝2， 2 1 ∴an＋1－2＝ (an－2)． 2 1 令bn＝an－2则b1＝a1－2＝－1，bn＋1＝ bn， 2 1 ∴数列{bn}是以－1为首项， 为公比的等比数列． 2 ∵bn＝b1· q
n－1
1 n－ 1 ＝(－1)· ( ) ， 2
1 n－1 ∴an＝2＋bn＝2－( ) . 2
an＋2 2an 1 1 1 1 (2)∵an＋1＝ ，∴ ＝ 得 － ＝ . 2 a an＋2 an＋1 an＋1 an 2 n 1 1 1 ∴数列{ }是等差数列，首项为 ＝1，公差为 . an a1 2 1 1 1 n＋1 2 ∴ ＝ ＋(n－1)·＝ .∴an＝ . an a1 2 2 n＋1
(1)证明 ∵Sn＋1＝4an＋2
∴Sn＝4an－1＋2(n≥2)，∴an＋1＝4an－4an－1
∴an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1) 又∵bn＝an＋1－2an，∴bn－1＝an－2an－1，∴bn＝2bn－1
又∵a1＝1，∴S2＝4a1＋2＝6
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3 ∴{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列．
求通项．
1 【例 1 】 (1) 若数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ an ＋ 1 ，则 an 2 ＝ . 2an (2) 已知数列 {an} 中 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ ，则通 项 公式 an an＋2 ＝ .
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 本章小结》_0
（第1课时教学设计）
教师行为
学生学习活动
设计意图
(一)创设情境引人新课
1.导入（播放PPT课件）如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，100 .现工地需要6000根这样的圆木，那么采购员是否还需购买圆木?
2.根据学生的探究结果利用PPT演示所要解决的问题1+2+3+······+100=？
10.演示两道例题，利用实物投影仪展示学生的解题过程，给予鼓励。
11.演示习题，让学生纠错，总结
12.独立思考、完成，展示解题过程
13.独立完成，辨析、反省，总结
让学生熟悉公式的要素与结构.落实了知识与技能目标.加深学生对公式的基本量意义的认识.
(四)拓展应用
14.设置问题：如何从函数的角度理解例2
5.设置习题引导学生推导等差数列求和公式的另一形式
6.独立思考，再小组讨论交流.总结等差数列前n项和公式的推导方法及过程
7.独立完成习题，并归纳出求等差数列前n项和的两个公式。
8.让学生从高斯的课例中寻找求和思路，并亲自经历公式推导过程，加深对公式的印象
9.提高学生解决问题的能力
(三)讲练结合深化目标反馈巩固
(六)随堂小测检验教学效果
设置测试题
独立、按时完成
利于教师进行评价
学生观察图片，探讨如何将这一实际问题转化为数学问题。
该素材源于生活，有利于调动学生的学习积极性、激发学生的求知欲，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
(二)学生探究推导公式
3.明确概念设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an-1+ an
人教版高中数学必修5：第二章 数列 章末总结PPT优质课件
数学
(1)证明:因为 lg a1、lg a2、lg a4 成等差数列,
所以 2lg a2=lg a1+lg a4.即 a22 =a1a4.设等差数列{an}的公差为 d, 则(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d. 因为 d≠0,所以 a1=d.所以 a2n =a1+(2n-1)d=2n·d.
3 1 3n1
即 an-a1=
- nn 1 .又因为 a1=1,所以 an= 1 ×3n- nn 1 - 1 .
13
2
2
22
显然 a1=1 也适合上式,所以{an}的通项公式为 an= 1 ×3n- nn 1 - 1 .
2
22
数学
(2)因为 an1 =2n, an
所以 a2 =2, a3 =22, a4 =23,…, an =2n-1,
数学
(2)
an2 (
1 2
)n=(2n -1)
1 2n
.
Sn=1·
1 2
+3×
1 22
+5 ×
1 23
+…+(2n-1)·
1 2n
,①
1 2
Sn=1·
1 22
+3·
1 23
+5 ·
1 24
+…+(2n-1)·
1 2n 1
,②
①-②,得
1 2
Sn=
1 2
+2(
1 22
+
1 23
+
1 2n
)- (2n-1)·
数学
四、数列中的最值
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1 又∵a1＝3， 1 ∴an＝ (n≥2)． 2n＋12n－1 1 a1＝3满足上式， 1 ∴an＝ (n∈N*)． 2n＋12n－1
6．辅助数列法 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈ N*)．求数列{an}的通项公式．
[解析]
∵an＋1＝3an＋2(n∈N*)，
2．需要注意的问题 (1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的 特征直观地去认识数列的性质． (2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它 们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系．
专题一
数列的通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函 数的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类 型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的 前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据 数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
4n＝1 ∴an＝ n－1 n≥2 2
.
4．累加法 已知{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n(n∈N*)， 求通项 an.
[解析] ∵an＋1－an＝3n(n∈N*)，
∴a2－a1＝3， a3－a2＝32， a4－a3＝33， …… an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∵a1，a3，a9成等比数列，∴a2 3＝a1a9， 即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d. ∵d≠0，∴a1＝d.①
2 ∵S5＝a5 ，
5×4 ∴5a1＋ d＝(a1＋4d)2.② 2 3 3 由①②得a1＝5，d＝5. 3 3 3 ∴an＝ ＋(n－1) ＝ n. 5 5 5
3．前n项和法 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求 通项 an； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2，求通项 an.
[解析] ∵Sn＝n(2n－1)an，
∴Sn－1＝(n－1)(2n－3)an－1(n≥2)， 两式相减，得an＝n(2n－1)an－(n－1)(2n－3)an－1(n≥2)， 即(2n＋1)an＝(2n－3)an－1， an 2n－3 ∴ ＝ . an－1 2n＋1
a2 1 ∴ ＝ ， a1 5 a3 3 a2＝7， a4 5 ＝ ， a3 9 …… an 2n－3 ＝ (n≥2)，以上各式相乘，得 an－1 2n＋1 an 3 a1＝2n＋12n－1，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)， an＋1＋1 ∴ ＝3(n∈N*)． an＋1 ∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数 列． ∴an＋1＝2· 3n 1，
[解析]
(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－(n－1)2
－3(n－1)－1＝2n＋2， 又n＝1时，a1＝S1＝5不满足上式．
5n＝1 ∴an＝ 2n＋1n≥2
.
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n－1－2＝2n－1， 又n＝1时，a1＝S1＝4不满足上式，
1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项 公式． 5 7 9 (1)1,1，7，15，31，…； (2)3,0，－3,0,3，….
[解析]
5 7 9 (1)数列1,1，7，15，31，…；
1 3 5 7 9 即1，3，7，15，31，…， 由于分子是等差数列{2n－1}的各项，分母是数列{2n－1} 的各项， 2n－1 ∴ an ＝ n (n∈N*)． 2 －1
.
3．主要性质 (1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)， 在等差数列{an}中有：am＋an＝ap＋aq； 在等比数列{an}中有：am· an＝ap· aq. (2)等差(比)数列依次k项之和仍然成等差(比)．
1．学习要求 (1)理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数 列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写 出数列的任意一项，会根据数列的递推公式写出数列的前几 项． (2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n 项和的公式，并能运用公式解决一些简单的问题． (3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n 项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题．
(2)所求数列的通项可转化为数列1,0，－1,0,1，…的通 项，这恰好是“五点法”作三角函数的图象的值， nπ 从而an＝3sin (n∈N*)． 2
2．定义法 等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且 a1，a3，a9成等比数列，S5＝a2 5.求数列{an}的通项公式．
[解析]
设数列{an}公差为d(d>0)，
2．主要公式 (1)通项公式an与前n项和公式Sn间的关系：
n＝1 S1 an＝ Sn－Sn－1 n≥2
.
(2)等差数列 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. 1 1 Sn＝2n(a1＋an)，Sn＝na1＋2n(n－1)d. a＋b A＝ (等差中项)． 2
(3)等比数列 an＝a1qn－1，an＝am· qn－m. q＝1 na1 Sn＝a1－anq a11－qn ＝ q≠1 1－q 1－q G＝± ab(等比中项)．
以上各式相加得 an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1 31－3n 1 3n 3 ＝ ＝ 2 －2， 1－3
－
3n 3 3n 1 ∴an＝a1＋ － ＝ － (n≥2)． 2 2 2 2 又a1＝1满足上式， 3n 1 ∴an＝ 2 －2(n∈N*)．
5．累乘法 1 已知数an，求通项an.
第二章 归纳与总结
1．数列的基本概念 (1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列． (2)通项公式： 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系 可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式． (3)递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任 何一项 an 与它前一项 an－1(或前几项)间的关系可用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．