4.5垂线的性质与判定
湘教初中数学七下《4.5 垂线》word教案 (3)
垂线知识与技能：1、掌握点到直线的距离的有关概念。
2、会作出直线外一点到一条直线的距离。
3、理解垂线段最短的性质。
过程与方法：理解垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单推理。
情感态度与价值观：通过学生体验，培养学生对数学的良好情感，激发学生学习数学的热情。
教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。
教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法教学过程：一、预学：1、垂直的概念2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？二、探究：1、经过一点作一条已知直线的垂线。
（1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB外2、讨论思考题：过一点P作已知直线的垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？如果有两条直线P C、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合）3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。
三、精导：1、垂线段的概念：如图，设PO垂直于AB于O，线段PO叫作点P到直线AB的距垂线段。
PA、PB、PC、PD叫作斜线段。
2、垂线段PO的长度叫作点P到直线AB的距离。
3、做一做（1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。
（2）按教材的做一做操作。
4、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
5、垂线段的应用四、提升：1. 你能量出图中点P到直线AB的距离吗？2．如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？3 如图，在三角形ABC中，∠ABC = 90，BD⊥AC，垂足为D，AB = 5，BC = 12，AC= 13.求：（1）点A到直线BC的距离；（2）点B到直线AC的距离.小结：教学反思：。
湘教版七年级下册数学：4.5垂线(2)
4.5 垂 线
第2课时 垂线段与点到直线的距离
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标： 1.理解垂线的性质并会过一点画已知 直线的垂线； 2.了解垂线、垂线段、点到直线的距 离这几个概念，掌握垂线段的性质.
重点：垂线段的性质 难点：利用垂线段的性质解决相关的 问题.
导入新课
E
A
F
∟
B
D
C
2.如图，体育课上应该怎样测 量同学们的跳远成绩？
答：量绳的一端 放在“落足点”，拉 紧与起跳板垂直。
3.如图，在直角三角形ABC中， ∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm， 求点A到BC的距离，点C到AB的距离。
解：
（1）作AD⊥BC，垂足为D，
所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离。
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠 最短并说明根据.
（2）过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G . H
G
“过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段 最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据.
• 小结
垂线段最短 m
举例
例3：如图，在三角形ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12， AC=13。求：
（1）点A到直线BC的距离； （2）点B到直线AC的距离。
为∠ABC=90°， 所以AB⊥BC，B为垂足。 所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段。 因为AB=5， 所以点A到直线BC的距离为5。
说一说： 1.线段PA, PB, PO , PC,PD谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？
湘教版七年级数学下册_4.5 垂线
1 2
AB·CD，
所以 AC·BC=AB·CD，
所以 CD=8× 6÷ 10=4.8(cm) .
答案： 8； 6； 4.8
感悟新知
知4－练
(2)点 P 为直线 m 外一点，点 A， B， C 为直线 m 上三点，PA=4 cm， PB=5 cm， PC=2 cm，则点 P 到直 线 m 的距离( ) A. 等于 4 cm B. 等于 2 cm C. 小于 2 cm D. 不大于 2 cm
条线段，长度可度量.
感悟新知
知4－讲
(3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： ①区别： 垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂直是
两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直 的线段 .
②联系： 垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线 段所在的直线与已知直线垂直 .
感悟新知
知4－讲
2. 点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线的垂线段的长 度，叫做点到直线的距离 . (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几 何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度 .
感悟新知
知识点 2 垂线的性质
知2－讲
1.垂线的性质： (1) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式： 如图 4.5 － 4，直线 a， b， c 在同一平面内 . 因为 a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c.
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 三条直线“在同一平面内”是前提， 丢掉这个前
知2－练
所以 EF ∥ CD (在同一平面内，垂直于同一条直
线的两条直线平行) .
所以∠ 2= ∠ 3 (两直线平行，同位角相等) .
因为∠ 1= ∠ 2 (已知) ，
线段中垂线知识点总结
线段中垂线知识点总结线段垂线是初中数学中的重要概念，它是指一个线段与另外一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
线段垂线的性质和定理是数学学习中需要深入理解和掌握的内容。
下面将对线段垂线的定义、性质和相关定理进行详细的总结和解释。
一、线段垂线的定义线段垂线的定义比较简单，即一个线段与另一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
在平面几何中，我们通常说两条线段或线段与平面的相交是指它们有一个交点。
当两条线段相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直时，我们称这个连线是线段的垂线。
二、线段垂线的性质线段垂线有一些重要的性质：1. 垂线的性质：线段的垂线是垂直于它的。
2. 垂直的判定：如果两条线段的垂线互相垂直，则这两条线段也是垂直的。
3. 角的性质：线段的垂线和被交线段所构成的角是直角。
4. 长度的性质：在线段的垂线上分割线段成为两个互相垂直的线段，这两个线段的长度之积等于原线段的长度之积。
5. 完全性质：一个平面内经过一点的线段的垂线只有一条。
这些性质是线段垂线的基本性质，能够帮助我们更好地理解和应用线段垂线的知识。
三、线段垂线的相关定理线段垂线的知识点主要还包括一些相关的定理，能够帮助我们解决一些具体的问题。
1. 线段垂线定理：在一个直角三角形中，三角形的任意一条边上的高都是这条边的垂线。
2. 垂心定理：在一个三角形中，三条高的交点叫做垂心，它是这个平面三角形的一个特殊点。
3. 垂直平分线定理：在一个平面几何中，如果一个线段的中点到另一个线段的两个端点的连线是这个线段的垂线，那么这个线段被中点垂直平分。
4. 垂直平分线的唯一性：在一个平面几何中，一个线段只有一条通过它中点且与它垂直的直线。
这些定理是线段垂线知识点的有力补充，它们有利于我们深入理解和应用线段垂线的相关知识。
四、线段垂线的应用线段垂线的知识点不仅在学习中有重要的地位，也在实际生活和工作中有着广泛的应用。
垂直与平行线的性质
垂直与平行线的性质垂直与平行线是几何学中的基本概念，它们之间有着一系列独特的性质和关系。
本文将详细介绍垂直与平行线的性质，包括定义、判定方法、性质特点以及在几何证明中的应用。
一、垂直线的性质垂直线是指在同一平面上，两条线段相交时，相交角度为90度（也称为直角）。
根据垂直线的定义，我们可以得出以下两个性质：1. 垂直线的判定方法判定两条线段是否垂直的方法有多种，其中最常用的方法是判断两条线段的斜率是否相乘为-1。
若两条线段的斜率（垂直或倾斜）之积等于-1，则可以确定它们是相互垂直的。
2. 垂直线的性质垂直线的性质有许多，以下是其中几个重要的性质：(1) 相交直线的垂直角度为90度；(2) 一个点到一条直线的垂直距离为两线段间的最短距离；(3) 垂直线与水平线之间无斜率关系，即水平线的斜率为0，垂直线的斜率不存在。
二、平行线的性质平行线是指在同一平面上，永不相交且始终保持等间距的两条直线。
平行线也有一系列与之相关的性质和定理。
1. 平行线的判定方法判定两条直线是否平行也有多种方法，其中常用的有以下几种：(1) 借助对应角、内错角或同位角等角度关系判断是否平行；(2) 判断两条直线的斜率是否相等或互为倒数关系；(3) 求取两条直线上两个点的坐标，并验证斜率是否相等。
2. 平行线的性质平行线的性质有：(1) 平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交叉点；(2) 平行线具有等间距性，两条平行线上任意一点到另一条线的距离保持不变。
三、垂直线与平行线的关系垂直线与平行线之间存在一系列重要的关系，我们来看一下：1. 垂直线与平行线的关系(1) 垂直线与平行线不可能同时存在于同一平面上；(2) 两条平行线分别与第三条垂直线相交，则它们与垂直线的交点之间的角度相等。
2. 平行线之间的垂直线关系(1) 两条平行线与一条垂直线相交，则垂直线与平行线上的各个角度之和为180度。
(2) 平行线之间的垂直线等于从平行线上的任意一点到垂直线的距离。
垂线段知识点总结
垂线段知识点总结一、垂线段的定义垂线段是指一个线段与另一个线段交点为90度的线段。
在平面内，如果两条线段的交点形成一个直角，则这两条线段互相垂直，即它们是垂直线段。
二、垂线段的性质1. 互相垂直：如果一条线段与另一条线段垂直，则这两条线段互相垂直。
2. 垂线段的斜率：如果两条线段互相垂直，它们的斜率乘积为-1。
3. 垂线段的长度：如果两条线段互相垂直，它们的长度符合勾股定理，即a²+b²=c²。
三、垂线段的求解1. 已知两个点坐标求垂线段：如果已知直线上两个点的坐标，可求垂线段的斜率，然后用斜率在垂线段上求解。
2. 已知线段斜率求垂线段：如果已知直线的斜率，可求垂线段的斜率，然后用斜率在垂线段上求解。
四、垂线段的相关定理1. 直线的倾斜度为k，沿着其斜率为-k的直线方向，这两条直线互为垂线段。
2. 如果一线段垂直于一平面，则这个线段与平面相交的直线的两个直线也互相垂直。
3. 如果在一个三角形内，两条垂直的边，则他们的第三边是斜边，他们可能构成直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度就是垂直边的长度乘以2次方再加上水平边的长度的2次方。
五、垂线段的应用1. 解决几何问题：在解决几何问题中，垂线段的性质可以帮助我们解决很多有关角度和距离的问题。
2. 实际应用：垂线段在地图绘制、建筑设计、工程测量等领域有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，垂线段可以帮助我们确定建筑物的水平、垂直方向，确保建筑物的稳定和美观。
总之，垂线段是平面几何学中一个重要的概念，它有着丰富的性质和应用。
掌握垂线段的定义、性质和相关定理，对于我们理解和解决几何问题有着重要的意义。
希望通过本篇知识点总结，能够让读者对垂线段有更深入的理解，并能够灵活运用垂线段的知识解决实际问题。
垂直线的判定与性质
垂直线的判定与性质在几何学中，垂直线是一个重要的概念。
在本文中，我们将讨论如何判定两条线是否垂直以及垂直线的性质。
通过了解垂直线的定义和性质，我们可以更好地理解几何学中的垂直关系。
一、垂直线的定义垂直线是指两条线或线段之间的夹角为90度的线。
当两条线或线段的夹角等于90度时，我们就可以说它们是垂直的。
这个定义告诉我们如何判定两条线是否垂直。
二、垂直线的判定方法1. 几何推理法：通过几何推理的方法，可以快速判定两条线是否垂直。
如果两条线段之间的夹角为90度，那么它们就是垂直的。
通过观察几何图形的形状和角度，我们可以轻松判定线段是否垂直。
2. 斜率法：在解析几何中，我们可以使用斜率来判断两条线段是否垂直。
如果两条线段的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
具体的计算方法是比较两条线段的斜率乘积是否等于-1，如果等于-1，则说明它们是垂直的。
三、垂直线的性质1. 互补角性质：两条垂直线之间的夹角是互补角，即它们的和等于90度。
这个性质使得我们可以通过已知其中一条垂直线的角度，快速计算出另一条垂直线的角度。
2. 线段垂直平分性质：如果一条线段与另外两条垂直线相交，并将它们分成两部分，那么这条线段就是这两条垂直线的垂直平分线。
这个性质在几何证明中经常被使用，它说明了垂直线的重要性。
3. 垂直线的延伸性：垂直线可以无限延伸。
无论在平面内或空间中，一条垂直线都可以一直延伸下去，没有止境。
这个性质使得垂直线在几何学中具有独特的特点和应用。
四、垂直线的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直线的应用非常广泛。
例如，在建造一栋建筑物时，垂直线被用来确保墙面的垂直和地面的垂直。
通过使用垂直线，可以保证建筑物的结构稳定和美观。
2. 地图标示：在地图上，垂直线通常用来标示方向。
例如，纬度线和经度线是垂直于彼此的线，它们被用来确定地球上任意一个地点的位置。
通过使用垂直线，我们可以准确地定位和导航。
3. 几何证明：在几何证明中，垂直线经常被用来推导其他几何命题。
理解平面几何中的垂线和平行线的判定方法
理解平面几何中的垂线和平行线的判定方法在平面几何中，垂线和平行线的判定方法是非常重要的基础知识。
垂线和平行线的性质是平面几何中最基础的性质之一，对于几何图形的推导和证明有着重要的作用。
本文将介绍关于垂线和平行线的判定方法，并分析其应用。
一、垂线的判定方法在平面几何中，垂线是指与另一条直线相交于直角的线段。
判定垂线有以下几种方法：1. 两条线段垂直（垂线的定义）：如果两条线段交于一点，并且交角为直角，则可以判定这两条线段互相垂直。
2. 两条直线垂直（垂线的性质）：如果两条直线的斜率乘积为-1，则可以判定这两条直线互相垂直。
3. 垂心法：通过已知条件，构造垂线，使之与已知直线垂直交于一点，从而判定所构造出的垂线。
4. 垂线定理：如果一条直线与一个等于90度的角的两条非共线线段相交，那么这条直线就是这两条线段所在平面内的垂线。
二、平行线的判定方法在平面几何中，平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
判定平行线有以下几种方法：1. 两条线段平行（平行线的定义）：如果两条线段的长度相等，并且彼此之间没有交点，则可以判定这两条线段平行。
2. 两条直线平行（平行线的性质）：如果两条直线的斜率相等，但截距不同，则可以判定这两条直线平行。
3. 平行线定理：如果一条直线与一个等于180度的角的两条非共线线段相交，那么这条直线与这两条线段所在平面内的任意直线都是平行的。
4. 平行四边形的性质：如果一条边是平行四边形的对边，并且两个相邻顶点的对角线互相垂直，则可以判定另外两条边也是平行的。
三、垂线和平行线的应用垂线和平行线的判定方法在解决几何问题时具有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 证明几何定理：通过判定垂线和平行线的性质，可以推导出许多几何定理，如垂直角的性质、平行线的性质等。
2. 作图问题：在进行几何图形的作图时，常常需要根据已知条件进行垂线和平行线的判定，以达到构造所需图形的目的。
3. 解题思路：在解决几何问题时，可以根据已知条件利用垂线和平行线的性质进行推理和演算，从而解决问题。
垂线段的定义和性质
垂线段的定义和性质
垂线段的定义及性质：
一、定义：
1.垂线段是指由一点拉垂直在另一条直线上的线段。
2.根据叉乘定理，一条垂线段与被垂直的直线夹成一小角。
二、性质：
1.垂线段与其垂直的直线具有相交的关系，即垂线段的端点位于垂直的直线上。
2.垂线段的上端点位于垂直的直线的端点处，下端点位于垂直的直线的中点处。
3.垂线段的长度只和垂直的直线的长度有关，不受其它因素的影响。
4.垂线段的斜率与垂直的直线的斜率完全相反，垂线段和垂直的直线必须成90度。
5.垂线段完全可以用来解决空间中的未知数，也可用于在空间中计算距离drop。
6.垂线段的可用性受到其他已知的空间特征的影响，比如距离、斜率、角度等。
7.任何一条垂线段都可以看成一条从原点拉垂上的直线，所以可以求出该垂线段的函数定义。
垂直线的性质与判定
判定方法：可以通过直线与直线的交角、平面与 平面的交角等来判断是否为垂直线
02
垂直线的判定
垂直线的判定定理
两条直线被第三条 直线所截，如果同 位角相等，那么这 两条直线平行。
两条直线被第三条 直线所截，如果内 错角相等，那么这 两条直线平行。
两条直线被第三条 直线所截，如果同 旁内角互补，那么 这两条直线平行。
垂直线在几何图形中的判定
两条直线相交，若它们的对顶角相等，则这两条直线互相垂直。
两条直线相交，若它们的邻补角相等，则这两条直线互相垂直。
两条直线相交，若其中一条直线与第三条直线垂直，则另一条直线也与第三条直线 垂直。
两条直线相交，若它们的斜率之积等于-1，则这两条直线互相垂直。
03
垂直线的应用
垂直线在日常生活中的应用
用工具。
垂直线的性质定理的推论： 如果两条直线都与第三条 直线垂直，那么这两条直
线平行。
垂直线在几何图形中的应用
定义：垂直线是指与给定直线或平面垂直的直线 或平面
性质：垂直线与给定直线或平面之间的夹角为90 度，且垂直线上的任意一点到给定直线或平面的于确 定物体的位置、形状和大小，还可以用于 解决一些实际问题，如建筑、机械设计等 领域
垂直线的性质与判 定
汇报人：XX
目录
01 垂直线的性质 02 垂直线的判定 03 垂直线的应用 04 垂直线的作法
01
垂直线的性质
垂直线的定义
垂直线是连接 直线外一点与 直线上各点的 所有线段中最 短的线段。
垂直线与直线 形成90度的角。
垂直线是直线 的垂线，与该 直线共面。
垂直线的性质 包括垂直距离 最短、垂直角 为直角等。
垂直线在工程问题中的应用
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
高中数学垂线解题技巧
高中数学垂线解题技巧在高中数学中，垂线是一个重要的概念，常常出现在各种几何题目中。
掌握垂线的解题技巧，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍一些常见的垂线解题技巧，并通过具体题目进行说明和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这些技巧。
一、垂线的性质和判定在解题过程中，首先要了解垂线的性质和判定方法。
垂线是指与另一条线段或直线相交，且与之相交的角为90度的线段或直线。
我们可以通过以下几种方法来判定两条线段或直线是否垂直：1. 利用垂直线段的判定条件：如果两条线段的斜率乘积为-1，则它们互相垂直。
例如，已知线段AB的斜率为k1，线段CD的斜率为k2，如果k1 * k2 = -1，则可以判定线段AB与线段CD垂直。
2. 利用垂直直线的判定条件：如果两条直线的斜率相乘为-1，则它们互相垂直。
例如，已知直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，如果k1 * k2 = -1，则可以判定直线l1与直线l2垂直。
3. 利用垂直线段和直线的判定条件：如果一条线段与一条直线相交，且相交的角为90度，则它们互相垂直。
通过掌握这些判定条件，我们可以更准确地判断两条线段或直线是否垂直。
二、垂线的应用举例1. 题目：已知直线l1的斜率为2，直线l2过点A(-1, 3)且与直线l1垂直，求直线l2的方程。
解析：根据垂直直线的判定条件，我们知道直线l2的斜率与直线l1的斜率相乘为-1，即k2 * 2 = -1。
解方程得到k2 = -1/2。
又已知直线l2过点A(-1, 3)，可以利用点斜式求直线l2的方程。
直线l2的方程为y - 3 = -1/2(x - (-1))，化简得到y - 3 = -1/2x - 1/2，进一步化简得到2y - 6 = -x - 1，即x + 2y = 5。
2. 题目：在平面直角坐标系中，已知直线l1的方程为2x + y = 4，点A(2, 1)，求直线l2通过点A且与直线l1垂直的方程。
春七年级数学下册 4.5 垂线课件 (新版)湘教版
题组二:垂线的画法及性质的应用 1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP长
不可能是(
)
A.2.5
B.3
C.4
D.5
【解析】选A.因为AC是BC上的垂线段,所以点A到BC的最短距离 是3,故不可能是2.5.
【解析】选B.在钟表的表面上,相邻数字(如1和2)与表中心连
线的夹角为30°,而3点整时,时针指向3,分针指向12,故在3点
整时时针与分针的夹角为直角.
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠COE=55°,则∠BOD 的度数是( )
A.40°
B.45°
C.30°
D.35°
【解析】选D.因为OE⊥AB,∠COE=55°,所以∠AOC=90°∠COE=35°;因为∠BOD与∠AOC是对顶角,所以 ∠BOD=∠AOC=35°.
三、点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的_______的长度. 垂线段
(打“√”或“×”) (1)点到直线的距离是点到直线的垂线段.( × (2)一条直线只有一条垂线.( )
× )
(3)同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( (4)垂线段最短.( √ )
√
)
(5)两条直线互相垂直,则这两条直线所形成的四个角都是直角. ( √ )
所以∠BOF=180°-∠DOA-∠DOF
=180°-40°-40°=100°.
7.如图,AB,CD相交于O点,若∠EOD=40°,
∠BOC=130°,猜想射线OE与直线AB的位
置关系,并说明理由.
【解析】OE⊥AB.理由如下:
因为∠BOC=130°(已知), 所以∠AOD=∠BOC=130°(对顶角相等), 所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=130°-40°=90°. 所以OE⊥AB.
初中数学七年级下册《4.5 垂线》PPT课件 (5)
垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个 角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．
如图，AB ⊥CD，垂足为Ｏ． 记作：AB ⊥CD于点Ｏ．
如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，
解∠1: =75°,求∠EOD的度数.
CE
∵ AB⊥OE EOB=90°(垂直的定义).
（ （ 其56中））正线 线确段 段的AA有BB（的 是长 点B）B度到是A点CB的到距A离C的. 距离；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如图，在 △ABC中，∠ACB=90°， △ABC 的三条边AB＝10，BC＝8，CA＝6。 求：（1）点A到直线BC的距离；
（2）点C到直线AB的距离
A
1. 放
2. 靠
3. 移
4. 画
o
在平面内，过直线上一 点有且只有一条直线与已知 直线垂直.
过直线外一点能画这条直线的垂 线吗？能画几条？
1. 放
o
2. 靠 3. 移 4. 画
过直线外一点有且只有 一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质1：
经过一点（已知直线上或直线外），能 画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一 条垂线，即：
在平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直.
思考： 在灌溉时，要把河中的水引到
农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
P
请你画图，把这个问题转化为数学问题.
∟
P
l DC B A 0 E F 如图PO⊥l ，我们称PO为点P到直线l 的垂线段.
垂线的性质2：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中，垂线段最短.即：
∵∠BOD=∠1=75°（对顶角相等）, D
∴ ∠EOD=∠EOB+∠BOD
垂线段性质及应用
垂线段性质及应用垂线段是指与另一直线段垂直相交的直线段。
垂线段具有许多重要的性质和应用，下面将详细介绍。
首先，垂线段的性质之一是垂直性质。
如果一条直线段与另一直线段垂直相交，那么它们的斜率乘积为-1。
这是因为两条垂直线段所代表的直线的斜率互为相反数。
利用这一性质，我们可以判断两个线段是否垂直。
其次，垂线段的性质之二是长度比性质。
设两条线段AB和CD是垂线段，如果他们相交于垂足O，那么AO与OC的比等于BO与OD的比，即AO/OC = BO/OD。
这一性质可以用来解决一些与线段长度比有关的几何问题。
另外，垂线段的性质之三是分解性质。
任意一条线段的垂线段可以将其分解为两个互相垂直的线段。
例如，一条线段AB的垂线段AC可以将线段AB分解为AB = AC + BC，其中AB和BC是互相垂直的线段。
垂线段的应用非常广泛。
首先，垂线段在勾股定理中起到重要的作用。
根据勾股定理，如果一个三角形的两条边互相垂直，那么它们的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中a和b是两条垂直边的长度，c是斜边的长度。
这一定理在解决与三角形有关的问题时经常用到。
其次，垂线段在求解两条直线的交点时也非常有用。
如果两条直线互相垂直，那么它们的交点是它们斜率乘积为-1的点。
通过求解垂线段和直线的交点，我们可以确定两条直线的交点位置。
此外，垂线段还可以在平面几何中用来构造垂直平分线。
垂直平分线是指将一条线段垂直平分为两个等长度的线段的直线。
通过取一条垂至于线段中点的线段，我们可以得到该线段的垂直平分线。
垂直平分线在绘制正方形、长方形等图形时非常有用。
最后，垂线段还可以用于解决与圆有关的问题。
当一条线段的两个端点分别位于圆上时，可以通过画垂至于线段中点的线段，确定线段与圆的切点。
而切线与半径的垂线段的斜率乘积为-1，可以用于判定一条线段是否为圆的切线。
综上所述，垂线段具有垂直性、长度比、分解等性质，可以应用于勾股定理、求解交点、构造垂直平分线、解决与圆有关的问题等几何应用中。
新湘教版七年级下4.5垂线课件ppt
例2
如图，已知CD⊥AB，∠1＝∠2，求∠BFE的度数．
解： 因为∠1＝∠2，所以
EF//CD （同位角相等，两直线平 行）．
又因为CD⊥AB，所以 EF⊥AB，即∠BFE＝90º
A
D
F
1
2
B
E
C
1.如图，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD, ∠BOE ＝60º，求∠AOC的度数．
解:∵ EO⊥CD ∴ ∠EOD=90°
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
如图中，AB与CD垂直（O为垂足），记作AB⊥CD， 读作AB垂直于CD.
如图，在同一平面内，如果a⊥l, b⊥l，那么a//b吗？
a
b
1
2
l
因为∠1＝∠2＝90º， 它们是同位角，所以
a//b
在平面内垂直于同一条两条直线平行
如图，设a//b，l⊥a，那么l⊥b吗？
因为l⊥a，所以∠1＝90º， 因为a//b，所以∠2＝∠1 ＝90º，从而l⊥b
l 1 a
2 b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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A B
D C
）
1.如图，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD, ∠BOE ＝60º ，求∠AOC的度数．
解:∵ EO⊥CD
D
A O B
∴ ∠EOD=90° C
又 ∠BOE+∠BOD＝∠EOD＝90° E
∴ ∠BOD＝90°－∠BOE＝90°－60°＝30°
又 ∠BOD＝∠AOC
∴ ∠AOC＝30°
2.如图，AB⊥AD,CD⊥AD，∠B＝56º ，求∠C 解: ∵ AB⊥AD
一、课前抽测
1.举例说明什么是两条直线相交。 (画图说明） 2.当两条直线相交成90°时，这 两条直线位置关系又怎样?
二、明确目标
教学目标： 1、掌握互相垂直及其有关概念 2、会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线 3、理解并掌握垂线的两条性质
重点： 两直线互相垂直的概念及垂线的有关性质 难点： 垂线的有关性质及垂线的画法
直于同一条直线的两条直线平行）
B 2
1 E
H F G
C
D
从而 ∠2＝∠1＝60º （两直 线平行，同位角相等）
如图，已知CD⊥AB，∠1＝∠2，求∠BFE的度数．
A
解： 因为CD⊥AB
所以∠BDC=90°
F 又因为∠1＝∠2， 所以 EF//CD （同位角相等， B 两直线平行） D
1 E
2 C
所以∠BFE＝ ∠BDC=90°（
l 因为l⊥a，所以∠1＝90º ， 因为a//b，所以∠2＝∠1 ＝90º ，从而l⊥b
1
2
a b
在平面内，如果一直线垂直于两条平行线 中的一条，那么这条直线必垂直于另一条.
如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1 ＝60º ，求∠2的度数．
A
解 : 因为BD，AE都垂直于 CG，所以BD//AE（在平面内，垂
三、自主学习
1、阅读教材P96-98，并思考下列
问题： （1）、什么叫垂直、垂线、垂足？ （2）、垂直的符号表示是什么？ 记作什么？读作什么？ （3）、垂直的两条性质是什么？ （4）、例1、例2看懂了没有？
四、合作探究
小组交流讨论 以上问题
五、展示提升
1、师生共同归纳总结
2、例题分析
两条直线相交所成的四个角中， 有一个是直角时，这两条直线 叫作互相垂直. 其中每一条直线叫作另一条的 垂线 它们的交点叫作垂足．
“垂直”用符号“⊥”表示.
C
A
O
B
D
如图中，AB与CD垂直（O为垂足）， 记作AB⊥CD， 读作AB垂直于CD.
a
b 2 l
如图，在同一平面内，如果a⊥l, b⊥l，那么a//b吗？
1
因为∠1＝∠2＝90º ， 它们是同位角，所以 a//b
在平面内垂直于同条直线的两条直线平行
如图，设a//b，l⊥a，那么l⊥b吗？