生活中的优化问题举例习题

[学业水平训练] 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝43t 3－2t 2，那么速度为0的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．2秒末D ．0秒末或1秒末解析：选D ．由题意可得t ≥0，s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝0，解得t 1＝0，t 2＝1.2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C ．y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0.所以当x ＝9时，y 取得最大值．3．把长度为l 的铁丝围成一个长方形，则围成的最大面积为( )A ．l 2 B.l 24 C ．l 28 D ．l 216解析：选D ．设长方形一边长为x ，则另一边长为l 2－x ，从而可知面积 S ＝x (l 2－x )＝－x 2＋l 2x (0＜x ＜l 2)． 令S ′＝－2x ＋l 2＝0知x ＝l 4. 又0＜x ＜l 4时， S ′＞0，l 4＜x ＜l 2时，S ′＜0， 故S max ＝l 216，故选D ． 4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元解析：选D ．毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700＝－3(P ＋130)(P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)．又P ∈[20，＋∞)，故f (P )max ＝f (P )极大值，故当P ＝30时，毛利润最大，∴f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．5．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32(x ∈N *)，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为( ) A ．14 B ．16C ．24D ．32解析：选B.因为T ＝200x (1－p )－100xp ＝25·64x －x 2x ＋8(x ∈N *)， 所以T ′＝25·⎣⎢⎡⎦⎥⎤64－2x x ＋8－64x －x 2(x ＋8)2 ＝25·－x 2－16x ＋512(x ＋8)2(x ∈N *)． 令T ′＝0，所以x ＝16或x ＝－32(舍去)．因为当x ＜16时，T ′＞0；当x ＞16时，T ′＜0，所以T 取得最大值，故日产量应定为16件．6．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．解析：依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30(200－x )＝－x 2＋230x －6 000(0＜x ＜200)．L ′＝－2x ＋230，令－2x ＋230＝0，解得x ＝2302＝115.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大．答案：1157．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．解析：设该公司一年内总共购买n 次货物，则n ＝400x， ∴总运费与总存储费之和f (x )＝4n ＋4x ＝1 600x ＋4x ，令f ′(x )＝4－1 600x 2＝0， 解得x ＝20，x ＝－20(舍去)，x ＝20是函数f (x )的最小值点，故当x ＝20时，f (x )最小．答案：208．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．解析：设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其表面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a . 令S ′＝2a －210a 2＝0，得a ＝8. 当0＜a ＜8时，S ′＜0；当a ＞8时，S ′＞0；当a ＝8时，S 最小，此时h ＝25682＝4. 答案：4 9.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x轴上运动，求此矩形的面积的最大值．解：设CD ＝x ，则点C 坐标为(x 2，0)，点B 坐标为(x 2，1－(x 2)2)， ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·[1－(x 2)2]＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0， 得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23， ∴x ∈(0，23)时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的； x ∈(23，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的， ∴当x ＝23时，f (x )取最大值439. ∴此矩形的面积的最大值为439. 10．设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平方成正比，若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出，问当给存户支付的年利率为多少时才能获得最大利润？解：设支付存户的年利率为x ，银行获得的利润y 是贷出后收入的利润与支付存户的利息差，即y ＝kx 2×0.9×0.1－kx 2·x＝0.09kx 2－kx 3(x ＞0)，令y ′＝0.18kx －3kx 2＝0，得x ＝0.06或x ＝0(舍去)．当0＜x ＜0.06时，y ′＞0；当x ＞0.06时，y ′＜0.故当x ＝0.06时，y 取得极大值，并且这个极大值就是函数y 的最大值，即当给存户支付的年利率为6%时，才能获得最大利润．[高考水平训练]1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米解析：选A.设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x 米，其他两边的边长均为y 米，则xy ＝512.则所用材料l ＝x ＋2y ＝2y ＋512y(y ＞0)， 求导数，得l ′＝2－512y2. 令l ′＝0，解得y ＝16或y ＝－16(舍去)．当0＜y ＜16时，l ′＜0；当y ＞16时，l ′＞0.所以y ＝16是函数l ＝2y ＋512y (y ＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x ＝51216＝32. 所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．2．体积为定值V 0的正三棱柱，当它的底面边长为________时，正三棱柱的表面积最小． 解析：设底面的边长为a ，高为h ，则V 0＝34a 2h ，∴h ＝4V 03a 2，S ＝34a 2×2＋3ah ＝32a 2＋3a ·4V 03a2＝32(a 2＋8V 0a )， ∴S ′＝32(2a －8V 0a 2)， 由S ′＝0，得a ＝34V 0，所以当底面的边长为a ＝34V 0时，正三棱柱的表面积最小．答案：34V 03．已知一圆柱形金属饮料罐，当圆柱形金属饮料罐的容积为定值V 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2.由V ＝πR 2h ，得h ＝V πR2， 则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2V R＋2πR 2. 令S ′(R )＝－2V R2＋4πR ＝0， 解得R ＝3V 2π，此时S (R )取得最小值． 从而h ＝V πR 2＝V π(3V 2π)2＝34V π＝23V 2π， 即h ＝2R .所以当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．4．现有一批货物从海上由A 地运往B 地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：(1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0＜x ≤35)． (2)由(1)知，y ′＝－480 000x 2＋300， 令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0＜x ≤35时，y ′＜0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减， 故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值． 故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．。