拉普拉斯变换的定义 收敛域
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11
例4 1 求f (t) sin( t)的拉氏变换F(s).
f (t) sin(t) 1 (e jt e jt )
2j
F (s) LT[sin(t)] LT[e jt e jt ]
2j
1 (LT[e jt ] LT[e jt ]) 1 [ 1 1 ]
2j
2 j s j s j
st
ds
2j j
s j d 1 ds
j
2
对于不满足绝对可积条件的f (t), 即: lim f (t) t
则其傅里叶变换不存在. [ f (t)为因果信号]
寻找一衰减函数 et 使得 : lim f (t)et 0 t
则其傅里叶变换 : f (t)ete jtdt 存在. 0
s
j
F() FT[ f (t)]
F(s) LT[ f (t)]
f (t)e jt dt
0
f (t)estdt
0
3
单边拉普拉斯变换对
F (s) LT [ f (t)] f (t)estdt 0
象函数
f (t) LT 1[F (s)] 1
j
F
(s)e
st
ds
2j j
f (t) f (t)u(t)
1 2
LT[1]
1 2
[
s
2
s 42
1] s
13
求函数 f (t) cos(t ) 的拉氏变换
cos(t ) cost cos sin t sin
F (s) cos s sin
s2 2
s2 2
s cos
s2
sin 2
14
二、时域微分与复频域微分特性
1、时域微分特性
若LT[ f (t)]
FT[ f (t)et ] F1()
f (t)ete jt dt
0
s j
f (t)e( j)tdt f (t)est dt F (s)
0
0
f (t)et 1
2
F1
(
)e
jt
d
f (t) 1
2
F1()ete jt d
1
2
F1
(
)e
(
j
)t
d
1
j
F
(
s)e
F(s), 则LT[ d dt
f (t)] sF (s)
f (0 )
d2
d
LT[ dt 2
f (t)] sLT[ dt
f (t)]
f '(0 )
s[sF (s) f (0 )] f '(0 )
s2F (s) sf (0 ) f '(0 )
dn LT[ dt n
f (t)] snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f '(0 )
双边拉普拉斯变换对
原函数
FB (s) LTB[ f (t)]
f (t)est dt
f
(t)
LT
1[FB (s)]
1
2j
j
F j B
(
ຫໍສະໝຸດ Baidus)e
st
ds
4
二、拉氏变换的收敛
lim f (t)et 0
t
( 0 )
收敛域 : Re[s] 0
例 : 求LT [eatu(t)]的收敛域
lim eatet 0
t
a 0 a
满足 lim f (t)et 0的函 t
数f (t)称为指数阶函数
轴收 敛
0
标收 敛 坐
收敛区
5
三、一些常用函数的拉氏变换
1、阶跃函数 f (t) u(t)
LT[u(t)] u(t)estdt estdt 1
0
0
s
2、指数函数 f (t) eat
LT[sin(
t)]
s2
2
LT[cos(t)]
s2
s
2
12
4 1 求下列各函数的拉氏变换
(2) sin t 2cost
LT[sin
t
2cos t]
1 s2 1
2s s2 1
2s s2
1 1
(10) cos2 (t)
cos2 (t) 1 [cos(2t) 1] 2
F(s)
1 2
LT[cos(2t)]
LT[eat ] eatest dt e(sa)t dt 1
0
0
sa
6
3. t 的幂函数 f (t) t n (n是正整数)
LT[t n ] t nest dt 1 t nd (est )
0
s0
1 t nest 1 nt e n1 st dt n LT[t n1]
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F () f (t)e jtdt
f (t) 1 F ()e jtd
2
F() f (t)e jtdt 绝对可积条件 : f (t) dt
0
1
对于不满足绝对可积条 件的f (t), 求f (t)et的傅里叶变换
f (n1) (0 )
15
若LT[ f (t)] F(s), 则LT[ d dt
f (t)] sF (s)
f (0 )
LT
[
d2 dt 2
f (t)] s2F (s) sf (0 )
0
0
LT[ (t)] 1
9
P2504 3 求下列函数的拉氏变换, 注意阶跃函数
的跳变时间.
(1) etu(t 2) (3) e(t2)u(t)
(1) LT[etu(t 2)] etu(t 2)est dt etest dt
0
2
e(s1)t 1 e2(s1) s 1 s 1
e at u (t )
eat
ea t
F(s) 1
LT 1[ 1 ] eatu(t)
sa
sa
8
2、当函数在t=0时刻出现跳变时，规定单 边拉氏变换定义式的积分下限从0-开始。
F(s) f (t)estdt 0
0-系统
4、冲激函数 f (t) (t)
LT[ (t)] (t)estdt (t)estdt 1
s
0 s0
s
LT[t n ]
n s
LT[t n1]
n(n s
1)
2
LT[t
n2
]
n! sn LT[1]
n! s n1
LT[t n ]
n! s n 1
LT[t]
1 s2
LT[u(t)] LT[1] 1 s
7
应注意的几点
1、单边拉氏变换是从零点开始积分的， t<0区间的函数值与变换结果无关。
2
(3) LT [e(t2)u(t)] e(t2)u(t)est dt 0
e2 etest dt e2 LT [et ] 1 e2
0
s 1
10
4.3 拉氏变换的基本性质
一、线性（叠加） 若LT[ f1(t)] F1(s), LT[ f2 (t)] F2 (s) 则: LT[k1 f1(t) k2 f2 (t)] k1F1(s) k2F2 (s)
例4 1 求f (t) sin( t)的拉氏变换F(s).
f (t) sin(t) 1 (e jt e jt )
2j
F (s) LT[sin(t)] LT[e jt e jt ]
2j
1 (LT[e jt ] LT[e jt ]) 1 [ 1 1 ]
2j
2 j s j s j
st
ds
2j j
s j d 1 ds
j
2
对于不满足绝对可积条件的f (t), 即: lim f (t) t
则其傅里叶变换不存在. [ f (t)为因果信号]
寻找一衰减函数 et 使得 : lim f (t)et 0 t
则其傅里叶变换 : f (t)ete jtdt 存在. 0
s
j
F() FT[ f (t)]
F(s) LT[ f (t)]
f (t)e jt dt
0
f (t)estdt
0
3
单边拉普拉斯变换对
F (s) LT [ f (t)] f (t)estdt 0
象函数
f (t) LT 1[F (s)] 1
j
F
(s)e
st
ds
2j j
f (t) f (t)u(t)
1 2
LT[1]
1 2
[
s
2
s 42
1] s
13
求函数 f (t) cos(t ) 的拉氏变换
cos(t ) cost cos sin t sin
F (s) cos s sin
s2 2
s2 2
s cos
s2
sin 2
14
二、时域微分与复频域微分特性
1、时域微分特性
若LT[ f (t)]
FT[ f (t)et ] F1()
f (t)ete jt dt
0
s j
f (t)e( j)tdt f (t)est dt F (s)
0
0
f (t)et 1
2
F1
(
)e
jt
d
f (t) 1
2
F1()ete jt d
1
2
F1
(
)e
(
j
)t
d
1
j
F
(
s)e
F(s), 则LT[ d dt
f (t)] sF (s)
f (0 )
d2
d
LT[ dt 2
f (t)] sLT[ dt
f (t)]
f '(0 )
s[sF (s) f (0 )] f '(0 )
s2F (s) sf (0 ) f '(0 )
dn LT[ dt n
f (t)] snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f '(0 )
双边拉普拉斯变换对
原函数
FB (s) LTB[ f (t)]
f (t)est dt
f
(t)
LT
1[FB (s)]
1
2j
j
F j B
(
ຫໍສະໝຸດ Baidus)e
st
ds
4
二、拉氏变换的收敛
lim f (t)et 0
t
( 0 )
收敛域 : Re[s] 0
例 : 求LT [eatu(t)]的收敛域
lim eatet 0
t
a 0 a
满足 lim f (t)et 0的函 t
数f (t)称为指数阶函数
轴收 敛
0
标收 敛 坐
收敛区
5
三、一些常用函数的拉氏变换
1、阶跃函数 f (t) u(t)
LT[u(t)] u(t)estdt estdt 1
0
0
s
2、指数函数 f (t) eat
LT[sin(
t)]
s2
2
LT[cos(t)]
s2
s
2
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4 1 求下列各函数的拉氏变换
(2) sin t 2cost
LT[sin
t
2cos t]
1 s2 1
2s s2 1
2s s2
1 1
(10) cos2 (t)
cos2 (t) 1 [cos(2t) 1] 2
F(s)
1 2
LT[cos(2t)]
LT[eat ] eatest dt e(sa)t dt 1
0
0
sa
6
3. t 的幂函数 f (t) t n (n是正整数)
LT[t n ] t nest dt 1 t nd (est )
0
s0
1 t nest 1 nt e n1 st dt n LT[t n1]
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F () f (t)e jtdt
f (t) 1 F ()e jtd
2
F() f (t)e jtdt 绝对可积条件 : f (t) dt
0
1
对于不满足绝对可积条 件的f (t), 求f (t)et的傅里叶变换
f (n1) (0 )
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若LT[ f (t)] F(s), 则LT[ d dt
f (t)] sF (s)
f (0 )
LT
[
d2 dt 2
f (t)] s2F (s) sf (0 )
0
0
LT[ (t)] 1
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P2504 3 求下列函数的拉氏变换, 注意阶跃函数
的跳变时间.
(1) etu(t 2) (3) e(t2)u(t)
(1) LT[etu(t 2)] etu(t 2)est dt etest dt
0
2
e(s1)t 1 e2(s1) s 1 s 1
e at u (t )
eat
ea t
F(s) 1
LT 1[ 1 ] eatu(t)
sa
sa
8
2、当函数在t=0时刻出现跳变时，规定单 边拉氏变换定义式的积分下限从0-开始。
F(s) f (t)estdt 0
0-系统
4、冲激函数 f (t) (t)
LT[ (t)] (t)estdt (t)estdt 1
s
0 s0
s
LT[t n ]
n s
LT[t n1]
n(n s
1)
2
LT[t
n2
]
n! sn LT[1]
n! s n1
LT[t n ]
n! s n 1
LT[t]
1 s2
LT[u(t)] LT[1] 1 s
7
应注意的几点
1、单边拉氏变换是从零点开始积分的， t<0区间的函数值与变换结果无关。
2
(3) LT [e(t2)u(t)] e(t2)u(t)est dt 0
e2 etest dt e2 LT [et ] 1 e2
0
s 1
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4.3 拉氏变换的基本性质
一、线性（叠加） 若LT[ f1(t)] F1(s), LT[ f2 (t)] F2 (s) 则: LT[k1 f1(t) k2 f2 (t)] k1F1(s) k2F2 (s)