概率论简明教程5-5条件分布

X 边缘概 率密度 Y 条件概率密度
联合概率 密度f(x,y)
这个分布就是条件分布.
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽 取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X 和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.
身高Y
体重X 的分布
身高Y 的分布
体重X
现在若限制1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求X 的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高 在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出 的学生中求其体重的分布. 容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样.
为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律. 在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律也可以表示为：.
Y|X=xi
P(Y|X=xi)
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的 一切性质.
即：
P ( X x i | Y y j ) 0 , i 1,2 ,
+∞
+∞
X
f Y ( y ) =∫∞ f ( x , y ) d x . f ( x, y) f ( x, y) fY | X ( y | x ) f X |Y ( x | y ) f X ( x) fY ( y )
条件概率密度
Y
边缘概 率密度
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
Pij= P (X=xi ,Y=yi)= P(X=xi )P(Y=yi|X=xi ) = P(Y=yi )P(X=xi|Y=yi )
说明：对于连续型r.v. 若已知(X,Y)的联合概率密度f(x,y)。 联合概率 密度f(x,y)
f X ( x ) =∫∞ f ( x , y ) d y .
+∞
+∞
P( X x
i 1

i
|Y yj ) 1 .
设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如下表 求： Y|X=0 以及X|Y=-1 的条件分布。
X Y
-1 1/12 2/12 3/12 6/12=1/2
1 0 1/12 1/12 2/12=1/6
2 3/12 1/12 0 4/12=1/3
X|Y=yj
x1
x2

xn
P ( B | A) P ( AB ) P ( A)
P(X|Y=yj)
定义 类似地，对于固定的 i，若P(X=xi)>0，则称
P {Y y j X x i }
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }

pi j pi
， j 1,2 ,
Pij= P (X=xi ,Y=yi)= P(X=xi )P(Y=yi|X=xi ) = P(Y=yi )P(X=xi|Y=yi )
例2 设二维随机变量 (X,Y) 的联合分布律为：
2 已知 P( X x2 | Y y2 ) . 3
X
Y
y1
y2
x1 x2
0.1
b
a
0.4
试求常数a,b的值。
X 边缘概 率密度 Y 条件概率密度
联合概率 密度f(x,y)
例3 设 G 是平面上的有界区域 , 其面积为 A. 若二
维随机变量 ( X ,Y ) 具有概率密度 1 , ( x, y) G, f ( x, y) A 0, 其它. 设 ( X ,Y ) 在圆域 x y 1 上服从均匀分布 , 求条
于是当 1 y 1 时, 有
1π 1 2 2 , 1 y x 1 y , 2 2 f X Y ( x y ) ( 2 π) 1 y 2 1 y 0, 其他.
例4 设数 X 在区间 (0,1) 上随机地取值,当观察到
X x (0 x 1) 时, 数 Y 在区间 ( x , 1) 上随机地取 值.求 Y 的概率密度 fY ( y ). 解 由题意知 X 具有概率密度 1, 0 x 1, f X ( x) 0, 其它. 对于任意给定的值 x(0 x 1), 在X x的条件下,
X, Y
0 2/25 a 1/25
1 b 3/25 2/25
P{ X = i }
0 1 2
P{Y = y j }
2/25+b a+3/25 3/25
(2)当a,b取(1) 中的值时， X与Y是否独 立？
a+3/25
b+5/25
1
a+3/25+b+5/25=a+b+5/25=1
二、连续型随机变量的条件分布
P{ X = i }
0 3/2 2
P{Y = y j }
4/12=1/3 4/12=1/3 4/12=1/3
1

pi j pi

pi j p j
，
， Y|X=0
X|Y=-1 P(X|Y=-1)
P(Y|X=0)
说明:对于离散型r.v.
联合分布率、边缘分布率、条件分布率的关系： 若已知(X,Y)的联合分布律Pij= P (X=xi ,Y=yi)。 X 联合分 边缘分 布率Pij 布率 Y
第五节
随机变量条件分布
一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 三、小结
第五节
随机变量条件分布
在第三章中，我们介绍了条件概率的概念 .
在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P ( AB ) P ( A | B) P (B)
推广到随机变量 设有两个随机变量X,Y ，在给定Y取某个或某 些值的条件下，求X的概率分布.
在给定 X xi 条件下随机变量Y 的条件分布律为 P{ X xi ,Y y j } pij P{Y y j X xi } , P { X xi } pi 其中 i , j 1, 2,.
说明:对于离散型r.v.
联合分布率、边缘分布率、条件分布率的关系： 若已知(X,Y)的联合分布律Pij= P (X=xi ,Y=yi)。 X 联合分 边缘分 布率Pij 布率 Y
f ( x, y) f X |Y ( x | y ) fY ( y )
f ( x, y) fY | X ( y | x ) f X ( x)
说明：对于连续型r.v. 若已知(X,Y)的联合概率密度f(x,y)。 联合概率 密度f(x,y)
f X ( x ) =∫∞ f ( x , y ) d y .
P{ X xi Y y j } P{ X xi ,Y y j } P {Y y j }
P {Y y j X x i }
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }
条件分布率
反之：若X、Y相互独立 Pij= P (X=xi ,Y=yi)。若不独立，则由
X
f Y ( y ) =∫∞ f ( x , y ) d x . f ( x, y) f ( x, y) fY | X ( y | x ) f X |Y ( x | y ) f X ( x) fY ( y )
条件概率密度
Y
边缘概 率密度
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
2 2
件概率密度 f X Y ( x y ).
解 由题意知随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 yபைடு நூலகம்2 1, f ( x, y) 0, 其它,
又知边缘概率密度为
fY ( y ) f ( x , y ) d x


2 1 1 y 2 2 d x 1 y , 1 y 1, 1 y 2 π π 0, 其他.
解： 由
0.1 a b 0.4 1
P{ X x2 , Y y2 } 0.4 2 P{ X x2 | Y y2 } P{Y y2 } a 0.4 3
解得
a 0.2, b 0.3.
两个未知数，两个方程．
习题14设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律 如下表已知P(Y=1|X=0) =3/5。(1)求a,b的值。
P{ X xi Y y j } P{ X xi ,Y y j } P {Y y j }
P {Y y j X x i }
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }
条件分布率
反之：若X、Y相互独立 Pij= P (X=xi ,Y=yi)。若不独立，则由
Y 的条件概率密度为 1 , 0 x y 1, fY X ( y x ) 1 x 其它. 0,
因此 X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x , y ) fY X ( y x ) f X ( x )
1 , 0 x y 1, 1 x 其它. 0, 故得 Y 的边缘概率密度
一、离散型随机变量的条件分布
定义 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j， 若P(Y=yj)>0，则称 P{ X xi ,Y y j } pi j P{ X xi Y y j } ，i 1 , 2 , P {Y y j } p j 为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律. 在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律也可以表示为： .
fY ( y ) f ( x , y ) d x


y 1 d x ln(1 y ),0 y 1, 0 1 x 其它. 0,
三、小结
1. 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , pij ( i , j 1, 2,) 为其联合分布律, 在给定Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律为 P { X xi ,Y y j } pij P { X xi Y y j } , P {Y y j } p j