《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料

一、填空题

1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。则：

=)|(B A P ；

=)(B A P 。

2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则： （1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 ； （2）恰有一次取到次品的概率为 。 3．设随机变量)2,

1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则：

)2(Y X E += ； )2(Y X D + 。

4．设随机变量X 的概率分布为

X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ；

Y X =-21的概率分布为

。

5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。 6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2

)1(1

)(--=

x e

x f π

(-∞<<+∞x ) ； ?

?

?≤≤=其它，，03

12/1)(y y ?

则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。

7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。

8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为 。

9．设Y X 、的概率分布分别为

???≤≤=其它，，05

14/1)(x x ?； ?()y e y y y =>≤???-40004，，

则：)2(Y X E += ；)4(2

Y X

E -= 。

10．设随机变量X 的概率密度为?????

≤

=其它，

，02cos )(πx x A x f ，则：

系数A = 。

11．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。则第一次取到次品，第二次取到正品的概率为 ；

恰有一次取到次品的概率为 ；两次都取到次品的概率为 。

12．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是A 工厂的概率为 。

13．设随机变量X 的概率分布为f x Ax x ()=<

?，，

其它

010，以Y 表示对X 的三次独

立重复观察中事件{}X ≤1

2

出现的次数，则P Y {}=2= 。 14．设X 与Y 独立同分布，且)3,2

(~2N X ，则D (32X Y -)= 。

二、 选择题

1．设随机变量X 的密度函数为

?????<<=其它,

01

0,)(3x Cx x f

则常数C = 【 】。

()A 3 ()B 4 ()C 1/4 ()D 1/3

2．设每次试验成功的概率为1/3，则在3次重复试验中恰有1次成功的概率为【 】。

(A ) 1/27 (B ) 26/27 (C ) 4/9 (D ) 19/27 3．设X 和Y 相互独立，且均服从)1,0(N ，则【 】。 (A )2/1}0{=≤+Y X P (B )2/1}1{=≤+Y X P (C )2/1}1{=≤-Y X P (D ) A 、B 、C 都不对。 4．设4=DX ，9=DY ，4.0=xy ρ，则D )2(Y X +=【 】。 (A ) 40 (B ) 30.4 (C ) 35.2 (D ) 49.6

5．设X 的概率分布为f x Ax x ()=<

?，，

其它

010，则}2

1{

(A )

43 (B ) 31 (C ) 41 (D ) 2

1 6．甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.5 和0.6，则目标被命中的概率是【 】。

(A ) 0.9 (B ) 0.7 (C ) 0.55 (D ) 0.8

7．设每次试验成功的概率为3/1)10(<

(A ) 3

)3/1( (B )3

)3/2(1- (C ) 3)3/2( (D )3

)3/1(1-

8．设4=DX ，1=DY ，5.0=xy ρ，则D ()23Y X -=【 】。 (A ) 28 (B ) 40 (C ) 20 (D ) 32

9．设A 和B 是任意概率不为零的互斥事件，则下结论正确的是【 】。 (A ))()(B P A B P =- (B )A 与B 互斥

(C ) )()()(B P A P AB P = (D )A 与B 不互斥

10．设)(Y X ，的概率密度?

?

?≤≤≤≤=其它，，

，，02010)(y x C y x f ，则=C 【 】。

(A ) 3 (B ) 1/3 (C ) 1/2 (D ) 2

11．设X 与Y 相互独立且方差分别为5和2，则D ()2Y X -=【 】。 (A ) 1 (B ) 13 (C ) 9 (D ) 7 12．记0H 为待检验假设，则所谓犯第二类错误指的是【 】。

(A ) 0H 为真时，接受0H (B )0H 为真时，拒绝0H (C ) 0H 不真时，拒绝0H (D )0H 不真时，接受0H 13． 设X 和Y 相互独立，且分别服从)2,

1(2N 和)1,1(N ，则【 】。

（A ）2/1}1{=≤+Y X P （B ）2/1}0{=≤+Y X P （C ）2/1}0{=≤-Y X P （D ）2/1}1{=≤-Y X P

14．已知4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，5.0)|(=A B P ，则=)(B A P 【 】。

(A ) 1 (B ) 0.7 (C ) 0.8 (D ) 0.5

15．设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为【 】。

()A 73)32()31

( ()B 73310)32()31(?C ()C 373

10)32()31(?C ()D 3)3

1(

16．设4=DX ，1=DY ，0.6XY ρ=，则D ()23Y X +=【 】。

(A ) 40 (B ) 28.4 (C ) 54.4 (D ) 25.6

三、一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求： （1）两件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率；

（3）至少取到一件次品的概率。

四、有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。

五、设随机向量()X Y ，的概率密度为

?

??<<<<=其他,00,10,),(x

y x A y x f

试求:（1）常数A ；

（2）关于X Y 、的边缘概率密度。

六、已知r v ?X 、Y 分别服从正态分布)3,0(2N 和)4,2(2N ，且X 与Y 的相

关系数ρXY =-12/，设Z X Y =+//32，求： （1）数学期望EZ ，方差DZ ； （2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。

七、设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一

周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。

八、设总体X 服从(0-1)分布，X X X n 12，，， 为X 的一个样本，求p 的极大似

然估计。

九、已知随机变量X 的分布列为

X -1 0 2 P k 0.4 0.2 0.4 求：（1）Y X =-()12

的分布列；

（2）随机变量X 的期望EX 和方差DX 。

十、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，

再从袋中任取一球，以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：

（1）X 和Y 的联合概率分布； （2）边缘分布；

（3）X 与Y 是否独立？为什么？

参考答案：

一、填空题

1． 3/14 19/30 2． 8/45 16/45 3． 5 19

4． 1 1 Y －3 －1 1 3

p k 0.1 0.2 0.3 0.4

5． 1/3 6． 3 －11

7． 9.0=EX 49.0=DX 8． 7/13

9． 213 31

9

10． 1/2

11． 5/36 10/36 1/36 12． 3/7 13． 9/64 14． 117 二、 选择题

1． B 2． C 3． A 4． D 5．C

6．D 7． B 8． A 9． A 10. C

11． B 12． D 13．C 14．C 15．B

16． C

三、一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求： （1）两件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率；

（3）至少取到一件次品的概率。

解：设A 表示：“取出的两件都是正品是正品”；B 表示：“取出的两件恰有一件次品”； C 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则

（1）两件都是正品的概率 )(A P 22

15

212

210=

=

C C （2）恰有一件次品的概率 )(B P 33

10

212

12110=

=

C C C （3）至少取到一件次品的概率 )(C P 22

7221511)(1212

210=-

=-

=-=C C A P 四、有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。

解：设A 表示：“由甲袋取出的球是白球”； B 表示：“由甲袋取出的球是黑球”； C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 )|()()|()()(B C P B P A C P A P C P += 21

816262161264=+?+++?=

五、设随机向量()X Y ，的概率密度为

?

??<<<<=其他,00,10,),(x

y x A y x f

试求:（1）常数A ；（2）关于X Y 、的边缘概率密度。

解：（1）由归一性

????===∞+∞-∞

+∞-1002

),(1A

dydx A dxdy y x f x

所以2=A 。

X Y 、的联合概率密度为

???<<<<=其他,

00,10,2),(x

y x y x f

（2）关于X Y 、的边缘概率密度为 )10(22),()(0≤≤===??+∞

∞-x x

dy dy y x f x f x

X

即 ???≤≤=其它0

1

0,2)(x x x f X

同理关于Y 的边缘分布密度为

?

?

?≤≤-=其他,01

0),1(2)(y y y f Y 六、已知r v ?X 、Y 分别服从正态分布)3,0(2N 和)4,2(2N ，且X 与Y 的相关系数ρXY =-12/，设Z X Y =+//32，求：

（1）数学期望EZ ，方差DZ ；（2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。

解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ 1221

031)2()3()23(

=?+?=+=+=Y E X E Y X E DZ =+=++D X Y D X D Y X Y ()()()()3232232

C o v ， DY DX DY DX XY ρ21

3122

1

3122??++= 324143)21(21312421

3312222

=-+=??-???+?+

?=

（2）Cov Cov Cov Cov ()()(,)(,)X Z X X Y X X X Y ，，=+=+1312131

2

=

+=131

2

0DX DX DY XY ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρXZ X Z DX DZ

=

=Cov(,)0

七、设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。

解：设Y 表示生产利润,X 表示每周发生故障的次数，则Y 是X 的函数，

而X B ~(.)502，，其概率分布为P X k C p q k k k {}==-55

Y 可能取值为－2，0，4，8。

3125/

10245/48.0}0{}8{555======X P Y P 3125/12805/458.02.0}1{}4{5441

5

=?=??====C X P Y P P Y P X C {}{}..//====??=?=02020810456403125522335 P Y P X {}{}=-=≥=2313181518131255-<==P X {}// 144.43125

12950

3125181)2(31256400312512804312510248==?-+?+?+?

=EY 八、设总体X 服从（0—1）分布，X X X n 12，，， 为X 的一个样本，求

p 的极大似然估计。

解：X 的分布律为p x p p p x x (,)()=--11 （x =10，）于是似然函数 L p p x p p p i i n

x x i n

i i （)(,)()==-=-=∏∏1

11

1

=-==∑∑-p

p x n x i

i n

i

i n

1

1

1()

ln ln ()ln()L p x n x p i i n i i n

=+--==∑∑1

1

1

d L

dp

x p n x p

i

i n

i i n

ln =

-

--==∑∑1

1

1

令d L

dp ln =0，解得p n x X i i n ===∑11

因此p 的极大似然估计为

p

=11n x X i i n

=∑= 九、已知随机变量X 的分布列为

X -1 0 2 P k 0.4 0.2 0.4 求：（1）Y X =-()12的分布列；

（2）随机变量X 的期望EX 和方差DX 。

解：（1） Y 1 4 P k 0.6 0.4

（2）4.04.022.004.01=?+?+?-=EX 24.022.004.0)1(2222=?+?+?-=EX

84.14.02)(222=-=-=EX EX DX

十、一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：

（1）X 和Y 的联合概率分布； （2）关于X 和关于Y 边缘分布； （3）X 与Y 是否独立？为什么？ 解：（1）（X ，Y ）的概率分布表为

Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 （2）X 的边缘概率分布为

X 1 2 3 ?i p 1/4 1/2 1/4

Y 的边缘概率分布为

Y 1 2 3 j p ? 1/4 1/2 1/4

（3）X 与Y 不独立，由于P X Y P X P Y {}{}{}==≠==1111，。