数学八年级下《一元二次方程》复习课件
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2021年浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程复习课》公开课课件.ppt
x2+x = 1
1
1
-1
x- 7x2 = 0 -7
1
0
3y2 = 6
3
0
-6
解决问题：
建造一个面积为20平方米，长比宽多 1 米的长方形喷泉， 问它的宽是多少？
x+1 解： 设这个喷泉的宽为x米，
x 则长为（x+1）米， 根据题意得：
x ( x+1) = 20 即 x 2 + x - 20 = 0
x(402x) ？
原式= 2x2 40 x 2(x2 20 x) 2(x2 20 x 100 100 ) 2(x 10)2 200
X
X
40-2X
所以当X=10米时，长方形的最大面积为200平方米。
小结： 这节课你有哪些收获？
作业：作业本（一）复习题
1.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是_2_y_2_-6_y_+__4_=0, 它的二次项系数是__2___,一次项是_-_6_y__,
20
32
要求草坪面积为540平方米，并求出方案中道路的宽为多少米？
分析：利用“图形经过平移”，它的面积大小不会改变的道理，把纵横 两条路平移一下
x 解：设道路的宽为 米，根据题意得，
(3 2x)2 ( 0x)540
化简，得 x25x2100
(32x)
(20x)
20
解得 x1＝2， x2＝50
32
答：道路宽为1米。
学校要建一个长方形的实验基地，基地的一边靠 墙,另三边用长40米的木栏围成。到木材店买木 材,老板说只要我们能帮他解决一个问题,他就给 我们打个折。
问题: 从2006年初到现在,木材的价格提高了44% ,若每 一年比前一年提高的这个百分比相同,求这个百分数?
【最新】沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程》复习公开课课件.ppt
心动 不如行动 公式法是这样生产的
w 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解 : x2 b x c 0.
w1.化1:把二次项系数化为1;
x2
x2
b a
ba
x
a
x
b
2a
ac
.
a2
b 2a
2
c a
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
.
w3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
1.直接开平方法
• 对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可 以用直接开平方法解
解方程：
（1）3(x2)2 60
（2） 9x26x10
2.配方法
w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程 的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); w2.移项:把常数项移到方程的右边; w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; w4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; w6.求解:解一元一次方程; w7.定解:写出原方程的解.
x1,2
2a
.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 :
b x1,2 2a .
当b2 4ac 0时, 方程ax2 bx c 0a 0没有实数根
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这两个数为32或23.
浙教版八年级数学下册第二章《 一元二次方程复习》公开课课件
4.将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一 条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
2
一元二次方程根与系数的关系
根的判别式
一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)（△=b2-4ac） 判别式 情况 △＞0 △＝0 X1=X2= 根 的 情 况 X1,X2= b 定 理 与 逆 定 理
④不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数 时，用 配方法 也较简单。
比一比，看谁做得快：
(1) 4(t+2 )2=3 (2)3t(t+2)=2(t+2)
(3)(y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3) (4)-5x2-7x+6=0
(5)x2+2x-9999=0
提高：为了解方程（y² -1）² -3（y² -1）+2=0，我 们将y² -1视为一个整体，解：设 y² -1=a，则 （y² -1）² =a² ， a² - 3a+2=0， （1） a1=1，a2=2。
2
2、若方程 (m 2) x
m2 2
(m 1) x 2 0
是关于x的一元二次方程，则m的值为
2
。
3、关于x的方程 （k2+2k-3)x2 + (k-1)x + 5 = 0 ,
(1)k为何值时，方程是一元一次方程？
(2)k为何值时，方程是一元二次方程？
一元二次方程的解法
用适当的方法解下列方程
反思－提高：
1.已知一直角三角形的三边为
a, b, c, B 90 , 请你判断关于 x 的方程
浙教版八年级数学下册第二章一元二次方程小结复习课件(分层走班A)公开课
一元二次方程复习
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√ ２、x2－2x=8
√
1
3、x2+ ＝１
× ４、x２＝y+１
×
x
5、x３－２x２＝１ × 6、x（x－２）＝１+x2 ×
方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数
求知数的最高次数是2
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单
方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理
为一般形式再选取合理的方法。
综合提高（整体思想在方程解法应用 及其方程解的. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
x
80cm
x
50cm
x x
列方程解应用题的步骤有:
审 即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量， 哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关 系。
设 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用 未知数字母的代数式表示其他相关量（注意未知 数的取值范围）。
列 根据等量关系列出方程
解 解方程
3 x2 4x 1
4 x2 3x 1 0
（5）y 22 3y 1（2 6）3xx 2 x 2
直接开平方法 化成x2 mm 0 x m
因 式 分解法 化成A• B 0 A 0或B 0
一元二次方程的解法 配 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
求 根 公式法 先将方程化成一般形式，确定a，b，c。
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
方程则m ≠－ 2 。
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√ ２、x2－2x=8
√
1
3、x2+ ＝１
× ４、x２＝y+１
×
x
5、x３－２x２＝１ × 6、x（x－２）＝１+x2 ×
方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数
求知数的最高次数是2
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单
方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理
为一般形式再选取合理的方法。
综合提高（整体思想在方程解法应用 及其方程解的. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求a2+b2 的值。
x
80cm
x
50cm
x x
列方程解应用题的步骤有:
审 即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量， 哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关 系。
设 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用 未知数字母的代数式表示其他相关量（注意未知 数的取值范围）。
列 根据等量关系列出方程
解 解方程
3 x2 4x 1
4 x2 3x 1 0
（5）y 22 3y 1（2 6）3xx 2 x 2
直接开平方法 化成x2 mm 0 x m
因 式 分解法 化成A• B 0 A 0或B 0
一元二次方程的解法 配 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
求 根 公式法 先将方程化成一般形式，确定a，b，c。
1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次
方程则m ≠－ 2 。
《一元二次方程》课件-2021-2022学年鲁教版(五四制)八年级数学下册
子底端距墙 6 m
如果设梯子底端滑动x m，那么滑 动后梯子底端距墙 x＋6 m
根据题意，可得方程：
72＋(x ＋6)2＝102
6m x
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(5-2x)=18 即 2x2－13x＋11=0 x２+(x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2－8x－20＝0 72＋(x＋6)2＝102 即 x2+12x-15＝0 上述三个方程有什么共同特点？
根据题意，可得方程：
x 2＋ (x ＋1)2 ＋ (x ＋ 2)2 ＝(x ＋3)2 ＋ (x ＋4)2
问题三
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？（设梯子底端滑动xm，列出方程）
1
8m 7m
解：由勾股定理可知，滑动前梯
1.输入一组数据，按如图所示的程序进行计算，输出结果如 下表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x+8)2-826=0的一个 正数解x的大致范围为（ ） A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9 2.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下：
-2
5.25
13
x
0
5x2-24x+28 28
0.5 1 1.5 2 17.25 9 3.25 0
2.5 3 3.5 4 -0.75 3 5.25 12
如果设梯子底端滑动x m，那么滑 动后梯子底端距墙 x＋6 m
根据题意，可得方程：
72＋(x ＋6)2＝102
6m x
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(5-2x)=18 即 2x2－13x＋11=0 x２+(x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２ 即 x2－8x－20＝0 72＋(x＋6)2＝102 即 x2+12x-15＝0 上述三个方程有什么共同特点？
根据题意，可得方程：
x 2＋ (x ＋1)2 ＋ (x ＋ 2)2 ＝(x ＋3)2 ＋ (x ＋4)2
问题三
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？（设梯子底端滑动xm，列出方程）
1
8m 7m
解：由勾股定理可知，滑动前梯
1.输入一组数据，按如图所示的程序进行计算，输出结果如 下表： x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程(x+8)2-826=0的一个 正数解x的大致范围为（ ） A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9 2.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0,可列表如下：
-2
5.25
13
x
0
5x2-24x+28 28
0.5 1 1.5 2 17.25 9 3.25 0
2.5 3 3.5 4 -0.75 3 5.25 12
八年级数学下册 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法课件
（5）(x-1)(x+1)=x
（6）x (2x+5)=2 (2x+5)
一元二次方程的解法(jiě fǎ)
第一页，共三十六页。
一元二次方程的一般(yībān)形式
a2x b xc0（a≠0）
一元二次方程 （关于x）
3x²-1=0
3x（x-2）=2（x2）
一般形式
3x²-1=0
3x²-8x+4=0
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
3
0 -1
3 -8 4
第二页，共三十六页。
例2. 解方程 ① (x+1)(x-1)=2x ②(2m+3)2=2(4m+7)
③ 3t(t+2)=2(t+2) ④ 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简 单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整 理为一般形式再选取(xuǎnqǔ)合理的方法。
那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
第二十页，共三十六页。
方程的左边是完全平方式,右边是非(shìfēi)负数;
即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2a
(7x-7)(-x-1)=0
7x-7=0或-x-1=0
x14322,x24322
x1 = -1， x2 =1
第三十一页，共三十六页。
做一做
2、请Байду номын сангаас选择最恰当的方法(fāngfǎ)解下列一元二次方程
初中数学八年级下册《2.2 一元二次方程的解法》PPT课件 (12)
4.用开平方法，解得答案。
b2-4ac 4a2
2.移项，得 x2+ bax= - ca
3.方程两边都加上(
b 2a
)2 ，得
x2+
xba+( )22=ba
b2-4ac 4a2
4.用开平方法，解得答案。
练一练
1.用配方法解下列方程: (1) 2x2+6x+3=0 (2) 2x2-7x+5=0
练一练
2.用配方法解下列方程:
(1)0.2x2+0.4x=1
2.2一元二次方程的解法(2)
x 2 bx c 0
复习回顾
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的 区别与联系.
开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x+a）2=b（b≥0）。
配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c. ②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
即：
x2+bx+ (x+ b2)2=
(
b2)2b=2-4-cc + 4
( b2)2
③当 b2-4c>0 时，就可以通过开平方法求出
方程的根.
做一做
解下列一元二次方程: 1.x2- 6x=- 8 2.x2=10x - 30 3.- x2+5x+6=0
试一试
解方程 5x2=10x+1
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的 两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解二 次项系数是1的一元二次方法。
x2-8/3x-1=0 移项，得 x2-8/3x=1 方程两边都加上16/9，得
x2-8/3x+16/9=25/9 即：（x-4/3)2=25/9
数学八年级下《一元二次方程》复习课件
-1
时是一元一次方程， 时是一元一次方程，
½
时，x=0。 。
例题： 例题：用最好的方法求解下列方程 1、（ -2）²-49=0 、（3x ） 、（ 2、（ -4）²=（4x -3）² 、（3x ） （ 、（ ） 解： 解： （3x-2）²=49 ） 3x -2=±7 ± x= 2±7 5 3 x1=3，x2= ， 法一3x-4=±（4x-3） ± 法一 ） ∴3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 或 ∴-x=1或 7x=7 或 ∴ x1 = -1， x2 =1 ， ）（3x-4x+3）=0 （3x-4+4x-3）（ ）（ ） ）（-x-1）=0 （7x-7）（ ）（ ） 7x-7=0或-x-1=0 或 ∴ x1 = -1， x2 =1 ， 解：3y²+8y -2=0 b² - 4ac =64 -4×3×（-2） × × ） =88
巩固提高： 巩固提高：
1、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于 的一元二次方程则 、 是关于x的一元二次方程则 ） （ ） 是关于 m ≠－ 2 。 －
≠± 2、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m ±1 、已知关于 的方程 的方程（ ） （ ） ，
时是一元二次方程， 时是一元二次方程，当m= 当m=
选择适当的方法解下列方程: 选择适当的方法解下列方程
(1)3x = 9x (2)(x + 3) − 25 = 0 2 2 2 (3)4x =(x+1) (4)2x = x + 6 2 2 (5)x - x −1= 0 (6)x − 4x - 5 = 0 2 2 (7)2x − 2 2x = 1 (8)2x + 7x- 3 = 0 2 (9)3(x− 2) = x(x− 2) 2 (10)(x+ 2) + 3(x+ 2)− 4 = 0
沪科版数学八年级下册17章一元二次方程复习课件
一元二次方程复习
学习目标
1、熟练掌握一元二次方程的定义及解法
2、熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与 系数关系的应用
3、能运用一元二次方程解决实际问题
引独导立探自究学
认真阅读课本46页内容，并根据本章知识网络图 回顾本章主要知识，并用笔将重点内容画下来.
一元二次方 程的概念
定义 一般情势
方程的解
知识点二 一元二次方程的解法
3、我们学习过的解一元二次方程的方法有: 直_接__开__平__方_法、__配__方__法___、__公_式__法____、_因__式__分_解__法__.
用适当地方法解下列方程
(1)(3x 2)2 (2x 3)2 0 (2)x2 8x 9 0 (3)2x2 4x 1 0
巩固练习
2、已知实数a,b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0, 且a b,则 b a 的值是多少？
ab
专题四 一元二次方程的应用
1.某商场销售某种冰箱，每台进价为2500元， 市场调研表明：当售价为2900元时，平均每天 能销售8台；而当售价每降低50元时，平均每 天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销 售利润平均每天到达5000元，每台冰箱的定价 应为多少？
一元二次方
一
程的解法
元
二 次
根的判别式
方 程
求根公式的 应用
根与系数的关系
一元二次方程 的应用
5分钟后比一比谁的效果好
知识点一 一元二次方程的概念
1、含有__一____个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的 _整__式___方程，称为一元二次方程。（三个条件缺一不可）
2、一般地，任何一个一元二次方程经过整理，都能化成如下的 情势：_________________________（其中____≠0 ） 这种情势叫做一元二次方程的一般情势。其中，ax2叫_二__次__项_ bx叫_一__次__项____,c叫_常__数__项___;a叫__二__次__项__系数，b叫一__次__项_ 系数，c叫_常__数__项___.
学习目标
1、熟练掌握一元二次方程的定义及解法
2、熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与 系数关系的应用
3、能运用一元二次方程解决实际问题
引独导立探自究学
认真阅读课本46页内容，并根据本章知识网络图 回顾本章主要知识，并用笔将重点内容画下来.
一元二次方 程的概念
定义 一般情势
方程的解
知识点二 一元二次方程的解法
3、我们学习过的解一元二次方程的方法有: 直_接__开__平__方_法、__配__方__法___、__公_式__法____、_因__式__分_解__法__.
用适当地方法解下列方程
(1)(3x 2)2 (2x 3)2 0 (2)x2 8x 9 0 (3)2x2 4x 1 0
巩固练习
2、已知实数a,b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0, 且a b,则 b a 的值是多少？
ab
专题四 一元二次方程的应用
1.某商场销售某种冰箱，每台进价为2500元， 市场调研表明：当售价为2900元时，平均每天 能销售8台；而当售价每降低50元时，平均每 天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销 售利润平均每天到达5000元，每台冰箱的定价 应为多少？
一元二次方
一
程的解法
元
二 次
根的判别式
方 程
求根公式的 应用
根与系数的关系
一元二次方程 的应用
5分钟后比一比谁的效果好
知识点一 一元二次方程的概念
1、含有__一____个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的 _整__式___方程，称为一元二次方程。（三个条件缺一不可）
2、一般地，任何一个一元二次方程经过整理，都能化成如下的 情势：_________________________（其中____≠0 ） 这种情势叫做一元二次方程的一般情势。其中，ax2叫_二__次__项_ bx叫_一__次__项____,c叫_常__数__项___;a叫__二__次__项__系数，b叫一__次__项_ 系数，c叫_常__数__项___.
一元二次方程的解法_复习课_八年级数学课件
一元二次方程的解法 （复习）
.解一元二次方程的方法有：
①因式分解法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 （ (ax+b)2=C C≥0 ）
③配方法 （易凑成完全平方的) （二次项系数为1，而一次项系为偶数）
④公式法 (化方程为一般式）
因开 配 公
一、 因式分解法
1 提公因式法 2 平方差公式与完全平方公式
5.开方:两边开平方;
x 9 17 . 44
9 17 9 17 x1 4 ; x2 4 .
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
做一做
1、x2＋12x =－9 2、x2+10x+20=0 3、2x2-8x+1=0 4、x2+2x-1=0
四、 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
小结：
ax2+c=0 ====> 直接开平方法
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一 定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用
“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行， 再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值，将其 与0比较。
3、代入求根公式 : X=
.解一元二次方程的方法有：
①因式分解法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 （ (ax+b)2=C C≥0 ）
③配方法 （易凑成完全平方的) （二次项系数为1，而一次项系为偶数）
④公式法 (化方程为一般式）
因开 配 公
一、 因式分解法
1 提公因式法 2 平方差公式与完全平方公式
5.开方:两边开平方;
x 9 17 . 44
9 17 9 17 x1 4 ; x2 4 .
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
做一做
1、x2＋12x =－9 2、x2+10x+20=0 3、2x2-8x+1=0 4、x2+2x-1=0
四、 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
小结：
ax2+c=0 ====> 直接开平方法
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一 定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用
“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行， 再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值，将其 与0比较。
3、代入求根公式 : X=
八年级下第17章《一元二次方程》单元复习课件(共37张ppt)
解：（1）若方程是一元二次方程， 且有实数根，则必有
b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0 且m2-1≠0
解得 m≥- 5 且m≠ 1 4
（2）若方程为一元一次方程，则有
m2-1=0且-2(m+2)≠0，解得m= 1
当m=1时，原方程为-6x+1=0，解得x= 1 6
当m=-1时，原方程为-2x+1=0，解得x= 1 2
第17章 《一元二次方程》 单元复习
一、知识结构图
概念、一般形式
一 元
解法
二 次
根的判别式
方
程
根与系数的关系
应用
开平方法 配方法 公式法 因式分解法
分式方程（续） 列方程解应用题
二、主要知识回顾 （一）、概念、形式 概念：只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是2的整式方程叫做 一元二次方程. 一般形式：y=ax2+bx+c （a≠0）
A. 81 B. 79 C.-79 D. -81
4.一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在 空中的高度h（m）与时间t（s）近似地满 足关系式：h=15t-5t2，则小球回到地面的 时间为（ B ）
A. 0s B. 3s C. 0s或3s D. 5s
5.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式是
2.若方程x2-x+k=0的两根之比为2，则k
的值为（ C ）
A. 1 3
B. - 1 3
C. 2 9
2 D.- 9
3.两数和为5，积为6，则这两个数是 _____2_和__3_____.
4.点P(a，b)是直线y=-x+5上的点，且 a，b是方程x2+px+6=0的两个实根， 则p=______-_5______.
初中数学八年级下册《17.1一元二次方程》PPT课件 (16)
定采取降价措施．经调查发现：如果这种衬衫的售 价每降低1元时，平均每天能多售出2件．商场要想
平均解 每: 设天每盈件利衬1衫20应0元降，价每x元件, 根衬据衫题应意降, 得价多少元？
x (40 x)(20 2 ) 1200.
1 整 理 得 : x2 30x 200 0.
( x 2 1)(3 5 0 1 0 x ) 4 0 0 . 整 理 得 : x2 56x 775 0.
解这个方程,得
x1 2 5, x2 3 1 .
x 3 1 2 1 1 2 0 % 2 5 .2 , x 3 1不 合 题 意 , 舍 去 .
答 : 每 件 商 品 的 售 价 应 为 25元 .
开启 智慧
运动与方程
6． 某汽车在公路上行驶，它的路程s(m)和时间t(s) 之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶 200m需要多长
解时:间根 ？据 题 意 , 得
3t 2 10t 200.
整理得 :
解得 :
3t 2 10t 200 0,
解 得 x1 2, x 2 3 . 5 x 5 2 3, 或 5 x 5 3 2. 答 : 这 两 个 数 为 32或 23.
源于生活，服务于生活
销售问题
4．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天能售出 20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决
．把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另 一个两位数，两个两位数的积为736．求原来的两位数 解．: 设 这 个 两 位 数 的 个 位 数 字 为 x , 根 据 题 意 , 得
1 0 5 x x 1 0 x 5 x 7 3 6 .
八年级数学一元二次方程2(PPT)3-3
方 程 程的解法
个一次式的积，右边是0的方程
3、公式法: 适应于任何一个一元二次方程
一元二次方 前提是: b2-4ac≥0.
程的应用
4、配方法：适应于任何一个一元二次方程
来它俩并非属同类，白萝卜是十字花科萝卜属的白胖子，而胡萝卜是伞形科胡萝卜属的红脸壮汉。胡萝卜不是萝卜，而是胡萝卜。 相似的外形更多 胡萝卜是
一元二次方程复习
你要通过复习，掌握一元二次方程的概念，并能够熟练的 解一元二次方程，并且利用一元二次方程解决实际问题
一元二次方 把握住：一个未知数，未知：ax²+bx+c=0（a0）
元
1、直接开平方法：适应于形如（x-k）²=h
二
（h>0）型
次 一元二次方 2、因式分解法: 适应于左边能分解为两
伞形科胡萝卜属的一员，于是在外形上和萝卜有很大差异。胡萝卜原产西亚，和萝卜一样也是一种古老的蔬菜，只是它来中国的时间有些晚。除了萝卜和胡 萝卜，还有三种； 股票知识：https:// ；芥菜疙瘩、芜菁和甜菜经常被错认成萝卜。 内容整理 捉虫行动 中文学名 胡萝卜 拉丁学名 Daucus carota L. var. sativa Hoffm. 别 称 红萝卜、甘荀 界 植物界 门被子植物门 纲双子叶植物纲 亚 纲原始花被亚纲 目伞形目 科伞形科 亚 科芹亚科 族胡 萝卜族 属胡萝卜属 种胡萝卜 分布区域 分布于欧洲及东南亚地区。 营养成分胡萝卜素、果胶等 性 质 一、二年生草本 目录 植物学史 形态特征 生长环境 分布范围 主要品种 ? 红森 ? 日本杂交胡萝卜 ? 改良新黑田五寸 ? 超级红芯 ? 汉城六寸 ? 法国阿雅 ? 红映二号 ? 宝冠 ? 红芯六号 ? 春红二号 栽培繁殖技术 ? 播种期选择 ? 土壤管理 ? 播种 ? 苗期管理 ? 覆土 ? 浅水与施肥 ? 基肥 ? 追肥 ? 除草 ? 采收 ? 储藏 虫害防治 ? 小地老虎 ? 菜蚜 ? 菜螟 8 病害防治 ? 霜霉病 ? 黑斑病 ? 黑腐病 营养成分及提取方法 主要价值 植物学史 胡萝卜原产亚洲西部，阿富汗是紫色胡萝卜最早培植地，栽培历史是年以上。世纪时经伊朗传入 欧洲大陆，演化发展成短圆锥形橘黄色。世纪英国已有栽培，世纪传入美国。世纪经伊朗传入中国，此时，胡萝卜在中国发展成长根形，日本在世纪从中国 引入，有胡萝卜、黄胡萝卜之分。胡萝卜即称黄萝卜，日本人称人参。中国的内蒙古自治区乌兰察布市察哈尔右翼中旗乌素图乡主产的红萝卜“草原参”。 [] 形态特征 胡萝卜为一年生或二年生草本。根粗壮，长圆锥形，呈橙红色 胡萝卜 胡萝卜(张) 或黄色。茎直立，高～cm，多分枝。叶具长柄，～回羽状复叶， 裂片线形或披针形，先端尖锐，有小尖头；叶柄基部扩大，形成叶鞘。复伞形花序；花序梗长～cm，有糙硬毛；总苞片多数，呈叶状、羽状分裂，裂片线形； 伞辐多数，结果期外缘的伞辐向内弯曲；小总苞片～片，不分裂或～裂；花通常白色，有时带淡红色；花柄不等长。果实圆明形，棱上有白色刺手。花期月。 [] 生长环境 胡萝卜的种子在～℃温度条件下易发芽，所需时间约为天；茎叶最适
八年级数学一元二次方程复习(中学课件2019)
有实根
（三）根与系数关系
ax2+bx+c=0
x1+x2 =
-
b a
(a≠0)x1x(2x=1、xc2是它的两个根) a
(四) 可化为一元二次方程的分式方程
（五）二元二次方程组
1．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 2．由两个二元二次方程组成
二、本章重点 1．一元二次方程的解法 2．可化为一元二次方程的分式方程的解法 3．列方程解应用题
三、本章难点 1．配方法 2．列方程解应用题 3．分式方程的增根和验根问题
四、本章的关键 熟练掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。
；欢乐斗牛 斗牛游戏 斗牛/
；
二十年春王正月 皆封列侯 靡不得所 诏问所以谢状 各由时务 年九十卒官 上为淫侈如此 战栗恐惧 凡行星四百一十五度八百二十一万八千五分 河堤使者王延世使塞 书言王莽为真天子 距懿公七十六岁 虽遭初元 永光凶年饑馑 稚绝嘉应 臣闻之 孝文时士人则邓通 用章中兴之德 遗贾为 食饮费 殴杀良民 左将军史丹举贤良方正 故历本之验在於天 举三十二城 此黄帝之兵 不为章句 蜀人以为宠 何忧见反 后谓群臣 盖主报言 吴 楚 齐 赵之兵是也 上曰 吾闻黄帝不死 立孙剽 秦始皇二十六年更名曰《五行》也 赵军已不能得信 耳等 古今之通义也 其后幸酒 而代王立 曰 嗟乎 闻其言 金沴木曰木不曲直 遣大鸿胪田广明击益州 故且听公 虽有蔽短 〔名鞅 丙午 人心说则天意解矣 亦哀之十四也 列馆环之 又罢雍五畤 不备善而苦恶 杀之 抑之则在深泉之下 唯缓之 控弦四十万骑 子嘉嗣 诏曰 《书》云文王作罚 文雅虽不能及萧望之 匡衡 卫后 史良悌葬 长安城南 祸乱辄应 好礼让 太初元年更为京兆君 太尉勃亲以兵诛吕氏 伏谒道旁 星 辰 水 火 沟 渎 於是楚王乃登阳云之台 七国发兵 而欲侯宠姬李
（三）根与系数关系
ax2+bx+c=0
x1+x2 =
-
b a
(a≠0)x1x(2x=1、xc2是它的两个根) a
(四) 可化为一元二次方程的分式方程
（五）二元二次方程组
1．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 2．由两个二元二次方程组成
二、本章重点 1．一元二次方程的解法 2．可化为一元二次方程的分式方程的解法 3．列方程解应用题
三、本章难点 1．配方法 2．列方程解应用题 3．分式方程的增根和验根问题
四、本章的关键 熟练掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。
；欢乐斗牛 斗牛游戏 斗牛/
；
二十年春王正月 皆封列侯 靡不得所 诏问所以谢状 各由时务 年九十卒官 上为淫侈如此 战栗恐惧 凡行星四百一十五度八百二十一万八千五分 河堤使者王延世使塞 书言王莽为真天子 距懿公七十六岁 虽遭初元 永光凶年饑馑 稚绝嘉应 臣闻之 孝文时士人则邓通 用章中兴之德 遗贾为 食饮费 殴杀良民 左将军史丹举贤良方正 故历本之验在於天 举三十二城 此黄帝之兵 不为章句 蜀人以为宠 何忧见反 后谓群臣 盖主报言 吴 楚 齐 赵之兵是也 上曰 吾闻黄帝不死 立孙剽 秦始皇二十六年更名曰《五行》也 赵军已不能得信 耳等 古今之通义也 其后幸酒 而代王立 曰 嗟乎 闻其言 金沴木曰木不曲直 遣大鸿胪田广明击益州 故且听公 虽有蔽短 〔名鞅 丙午 人心说则天意解矣 亦哀之十四也 列馆环之 又罢雍五畤 不备善而苦恶 杀之 抑之则在深泉之下 唯缓之 控弦四十万骑 子嘉嗣 诏曰 《书》云文王作罚 文雅虽不能及萧望之 匡衡 卫后 史良悌葬 长安城南 祸乱辄应 好礼让 太初元年更为京兆君 太尉勃亲以兵诛吕氏 伏谒道旁 星 辰 水 火 沟 渎 於是楚王乃登阳云之台 七国发兵 而欲侯宠姬李
初中数学八年级下册《2.0第2章 一元二次方程》PPT课件 (2)
(1）学校D和小华姑妈家F相距多少千米? （2）已知小华的速度是教师的2倍， 小华在由B到C的途中与教师相遇于E 分处析，： •那（么1相）遇因时为教依师题行意走可了知多△少AB千C米是?等腰直角三角形，△DFC也 是（等结腰果直精角确三到角0.1形千，米A）C可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求 DF的长．（2）要求教师行使的距离就是求DE的长度，DF已求，
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2
• 思考:如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，
BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点
C以2cm/s，的速度移动，如果P、Q分别从A、
B同时出发，那么几秒后五边形APPQCD的面B
积为64cm2？
A
Q
海报长27dm，宽21dm，正中央是一个与 整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周 的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设 计四周边衬的宽度（精确到0.1dm）？
喜讯
中雁学校在 2009年的中考中 再创佳绩，有20 名学生考上乐清 中学
学生家长贺
分析：封面的长宽之比为 27：21＝9：7 ，中央矩形的长宽之比也应200是9年7，月
中考时间，小华家位于A处，他到考场的路径如图，他需沿正南 方向行20千米里，再向正东方向行20千米才到达考场，学校D位 于AC的中点，小华姑妈家（F）位于BC上且恰好处于D的正南方 向，早上7时，小华父亲带小华从A出发，经B到C匀速行使，同时 在校教师发现小华有重要物品落在学校，从D出发，沿南偏西方向 匀速直线航行，欲将该物品送给小华．
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2
• 思考:如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，
BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点
C以2cm/s，的速度移动，如果P、Q分别从A、
B同时出发，那么几秒后五边形APPQCD的面B
积为64cm2？
A
Q
海报长27dm，宽21dm，正中央是一个与 整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周 的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设 计四周边衬的宽度（精确到0.1dm）？
喜讯
中雁学校在 2009年的中考中 再创佳绩，有20 名学生考上乐清 中学
学生家长贺
分析：封面的长宽之比为 27：21＝9：7 ，中央矩形的长宽之比也应200是9年7，月
中考时间，小华家位于A处，他到考场的路径如图，他需沿正南 方向行20千米里，再向正东方向行20千米才到达考场，学校D位 于AC的中点，小华姑妈家（F）位于BC上且恰好处于D的正南方 向，早上7时，小华父亲带小华从A出发，经B到C匀速行使，同时 在校教师发现小华有重要物品落在学校，从D出发，沿南偏西方向 匀速直线航行，欲将该物品送给小华．
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6 4 22 4 22 x1 , x2 3 3
3
法二（3x-4）² -（4x-3）²=0 X= 8 88
7x-7=0或-x-1=0
x1 = -1， x2 =1
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
请用四种方法解下列方程:
2 4(x＋1)
=
2 9(2x－5)
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
选择适当的方法解下列方程: 16 2 2 1 x 1 2 5x 2x 25 2 2 2 3 3x 1 4x 4 (x 2) 9x
3
y4= - 3
解答问题：1、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想。 2、用上述方法解下列方程：
4 2
，
x x 12 0
( x 2 2 x ) 2 7( x 2 2 x ) 8 0
选择适当的方法解下列方程:
2 2
13x 9x 2(x 3) 25 0 2 2 2 34x (x 1) 4 2x x 6 2 2 5x - x 1 0 6x 4x - 5 0 2 2 72x 2 2x 1 8 2x 7x - 3 0 2 93(x 2) x(x 2) 2 10(x 2) 3(x 2) 4 0
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式 方程
一元二次方程的定 义
一般形式：ax² +bx+c=0（a0） 一 元 直接开平方法：适应于形如（x-k）² =h（h>0）型 二 一元二次方程的解法 配方法： 适应于任何一个一元二次方程 次 公式法： 适应于任何一个一元二次方程 方 因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积， 程
一元二次方程（关 于x） 3x² -1=0 3x（x-2）=2（x2） 一般形式 二次项 系数 一次项 常数项 系数
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.引例：给下列方程选择较简便的方 法
⑴ 5x2-3 2 x=0 ⑵ 3x2-2=0 ⑶ x2-4x=6 ⑷ 2x2-x-3=0 ⑸ 2x2+7x-7=0 （运用因式分解法） （运用直接开平方法） （运用配方法） （运用因式分解法） （运用公式法）
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
2 即形如x =a(a≥0)
x1 a ,x2 a
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
4.用开平方法求解。
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
若已知条件改为“这个方程有实数根”， 则a的取值范围是 a___________ ≤1/3
一元二次方程根的情况：
(1) 当b2 4ac 0时，方程有两个不相 等的实数根 (2) 当b2 4ac 0时，方程有两个相等 的实数根 (3) 当b2 4ac 0时，方程没有实数根
阅读材料，解答问题
右边是0的方程
一元二次方程的应用
一、一元二次方程的概念 1.判断下列方程是不是一元二次方程 （1）4x-½x² + 3 （3）ax² +ｂx+c=0 =0 是
注意：一元二次方程的 三个要素 不是
（2）3x² - y -1=0 （4）x +1/x=0
不一定
不是
2.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 -6y 2y2-6y+4=0 它的二次项系数是_____, 2 一次项是_____, ___________, 4 常数项是_____
为了解方程（y² -1）² -3（y² -1）+2=0，我们将y² -1视为一个整体， 解：设 y² -1=a，则（y² -1）² =a² ， a² - 3a+2=0， （1）
a1=1，a2=2。
当a=1时，y² -1=1，y =± 2 ， 当a=2时，y² -1=2，y=± 3 2 所以y1= 2 ，y2 =y 3=
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握. • 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
1、填空： ① ④ x2-3x+1=0 x2-4x=2 ② ⑤ 3x2-1=0 2x2-3x+1=0 ③ ⑥ -3t2+t=0 5(m+2)2=8
⑦
3y2-y-1=0
⑧
2x2+4x-1=0
⑨
2x2-5x-3=0
适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0
2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0 ① x 适合运用公式法 ④ x2-4x=2
⑥ 5(m+2)2=8
适合运用因式分解法 ③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2-3x+1=0 ⑨ 2x2-5x-3=0
⑧ 2x2+4x-1=0
适合运用配方法
规律： ① 一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， ② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定
2+bx=0），应选用因式分解法； 应选用直接开平方法；若常数项为 0 （ ax 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平 若一次项系数和常数项都不为 0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看 方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法 一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选 （适当也可考虑配方法） 用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单。
有两个不相等的实根。
m2 4m 8 (m 2) 2 4 2 无论m取任何实数都有： m 2 4 0
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。
练习.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有两个不相等的 实数根，则a的取值范围是___________ a＜1/3
巩固提高：
1、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二次方程则 m ≠－ 2 。
≠± 1 2、已知关于x的方程（m² -1）x² +（m-1）x-2m+1=0，当m
时是一元二次方程，当m= 当m=
-1
时是一元一次方程，
½
时，x=0。
例题：用最好的方法求解下列方程 1、（3x -2）² -49=0 2、（3x -4）² =（4x -3）² 3、4y = 1 3 2
5 x(3x 7) 2x
2 2
49 6 x(2x 7) 8 2x
7(2x 1) (3x 1) 8 (x 1)(x 1) 2
例求证：关于x的方程：
2
x m 2x 2m 1 0
2
证明： m 2 4 2m 1
小结：
1、
ax2+c=0
====> 直接开平方法
ax2+bx=0
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简 单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方 法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
y²
解： （3x-2）² =49 3x -2=±7 x= 2 7 5 3 x1=3，x2= -
解：
法一3x-4=±（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 -x=1或 7x=7 x1 = -1， x2 =1 （3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0 （7x-7）（-x-1）=0 解：3y² +8y -2=0 b² - 4ac =64 -43（-2） =88
3
法二（3x-4）² -（4x-3）²=0 X= 8 88
7x-7=0或-x-1=0
x1 = -1， x2 =1
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
请用四种方法解下列方程:
2 4(x＋1)
=
2 9(2x－5)
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
选择适当的方法解下列方程: 16 2 2 1 x 1 2 5x 2x 25 2 2 2 3 3x 1 4x 4 (x 2) 9x
3
y4= - 3
解答问题：1、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想。 2、用上述方法解下列方程：
4 2
，
x x 12 0
( x 2 2 x ) 2 7( x 2 2 x ) 8 0
选择适当的方法解下列方程:
2 2
13x 9x 2(x 3) 25 0 2 2 2 34x (x 1) 4 2x x 6 2 2 5x - x 1 0 6x 4x - 5 0 2 2 72x 2 2x 1 8 2x 7x - 3 0 2 93(x 2) x(x 2) 2 10(x 2) 3(x 2) 4 0
把握住：一个未知数，最高次数是2，整式 方程
一元二次方程的定 义
一般形式：ax² +bx+c=0（a0） 一 元 直接开平方法：适应于形如（x-k）² =h（h>0）型 二 一元二次方程的解法 配方法： 适应于任何一个一元二次方程 次 公式法： 适应于任何一个一元二次方程 方 因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积， 程
一元二次方程（关 于x） 3x² -1=0 3x（x-2）=2（x2） 一般形式 二次项 系数 一次项 常数项 系数
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.引例：给下列方程选择较简便的方 法
⑴ 5x2-3 2 x=0 ⑵ 3x2-2=0 ⑶ x2-4x=6 ⑷ 2x2-x-3=0 ⑸ 2x2+7x-7=0 （运用因式分解法） （运用直接开平方法） （运用配方法） （运用因式分解法） （运用公式法）
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
2 即形如x =a(a≥0)
x1 a ,x2 a
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
4.用开平方法求解。
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
若已知条件改为“这个方程有实数根”， 则a的取值范围是 a___________ ≤1/3
一元二次方程根的情况：
(1) 当b2 4ac 0时，方程有两个不相 等的实数根 (2) 当b2 4ac 0时，方程有两个相等 的实数根 (3) 当b2 4ac 0时，方程没有实数根
阅读材料，解答问题
右边是0的方程
一元二次方程的应用
一、一元二次方程的概念 1.判断下列方程是不是一元二次方程 （1）4x-½x² + 3 （3）ax² +ｂx+c=0 =0 是
注意：一元二次方程的 三个要素 不是
（2）3x² - y -1=0 （4）x +1/x=0
不一定
不是
2.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 -6y 2y2-6y+4=0 它的二次项系数是_____, 2 一次项是_____, ___________, 4 常数项是_____
为了解方程（y² -1）² -3（y² -1）+2=0，我们将y² -1视为一个整体， 解：设 y² -1=a，则（y² -1）² =a² ， a² - 3a+2=0， （1）
a1=1，a2=2。
当a=1时，y² -1=1，y =± 2 ， 当a=2时，y² -1=2，y=± 3 2 所以y1= 2 ，y2 =y 3=
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握. • 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
1、填空： ① ④ x2-3x+1=0 x2-4x=2 ② ⑤ 3x2-1=0 2x2-3x+1=0 ③ ⑥ -3t2+t=0 5(m+2)2=8
⑦
3y2-y-1=0
⑧
2x2+4x-1=0
⑨
2x2-5x-3=0
适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0
2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0 ① x 适合运用公式法 ④ x2-4x=2
⑥ 5(m+2)2=8
适合运用因式分解法 ③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2-3x+1=0 ⑨ 2x2-5x-3=0
⑧ 2x2+4x-1=0
适合运用配方法
规律： ① 一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0）， ② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定
2+bx=0），应选用因式分解法； 应选用直接开平方法；若常数项为 0 （ ax 是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平 若一次项系数和常数项都不为 0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看 方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法 一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选 （适当也可考虑配方法） 用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单。
有两个不相等的实根。
m2 4m 8 (m 2) 2 4 2 无论m取任何实数都有： m 2 4 0
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。
练习.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有两个不相等的 实数根，则a的取值范围是___________ a＜1/3
巩固提高：
1、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二次方程则 m ≠－ 2 。
≠± 1 2、已知关于x的方程（m² -1）x² +（m-1）x-2m+1=0，当m
时是一元二次方程，当m= 当m=
-1
时是一元一次方程，
½
时，x=0。
例题：用最好的方法求解下列方程 1、（3x -2）² -49=0 2、（3x -4）² =（4x -3）² 3、4y = 1 3 2
5 x(3x 7) 2x
2 2
49 6 x(2x 7) 8 2x
7(2x 1) (3x 1) 8 (x 1)(x 1) 2
例求证：关于x的方程：
2
x m 2x 2m 1 0
2
证明： m 2 4 2m 1
小结：
1、
ax2+c=0
====> 直接开平方法
ax2+bx=0
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简 单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方 法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
y²
解： （3x-2）² =49 3x -2=±7 x= 2 7 5 3 x1=3，x2= -
解：
法一3x-4=±（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 -x=1或 7x=7 x1 = -1， x2 =1 （3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0 （7x-7）（-x-1）=0 解：3y² +8y -2=0 b² - 4ac =64 -43（-2） =88