10.3.2旋转的特征(华师大版)

A C C B B B C A
两次翻折(对 称轴相交)相当 于一次旋转.
∠BPB″与∠QPR 有什么关系？
∠BPB″=2∠QPR
P
应用一：找旋转中心
1.如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共
边CD,请设计方案,使正方形ABCD旋转后能与正
方形CDEF重合,你能写出几种方案?
解: 方案一: 把正方形ABCD绕点D 顺时针旋转90°. 方案二: 把正方形ABCD绕点C
D
B O
斜边DE恰好过点B, 直角边
CD交AB于O, 求∠BOC的度数.
E C A
例练 如图中, 正方形ABCD和正方形AKLM 试用旋转的思想说明线段BK和DM的关系
解: 由正方形得:
D
C
AB=AD, AK=AM
且∠ BAD=∠KAM =90° ∴△ABK绕点A逆时针 旋转90°恰与△ADM重合
′ ∠COC ′ ′ ∠BOB= ∠AOA=
B′
旋转角
A′ C
⑶ 即: 每一点都绕旋转中 心按同一方向转过相 等的角度
A
B
观察下图，你发现有哪些线段相等?有 哪些角相等?
O A'
C'
A
B'
B
B ∠A ， B C ∠CAB＝∠C ， A B ∠ABC＝
AB＝ A
C
， BC＝ B C ， AC＝ A C ；
C
3.画ABC绕点O逆时针旋转90°的图形. 画法: ⑴连结OA、OB、OC; ⑵分别画OA、OB、OC
C′
B′
绕点O逆时针旋转90° 0 · 90° ′ ′ ′ 的线段OA、OB、OC ;
′ ′、BC ′ ′、CA ′′. ⑶顺次连结AB A
A′ C
B
解：△A′B′C ′就是所要画的图形.
变式与巩固：如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对 应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边 形.
CA ∠BCA＝ ∠B ．
旋转的特征：
(1)图形的形状和大小不变，图形的位置改变。 (2)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方 向旋转了同样大小的角度。 (3)对应线段相等。 (4) 对应角相等。
探索
观察下图，你能发现还有哪些线段相等? 我们可以看到，
C'
OA＝OA ， OB＝OB ， OC＝OC ；
B′
C′
变式与巩固：如图，△ ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为 点D。试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形。
分析：假设顶点B的对应点为点E，则 ∠BCE，∠ACD都是旋转角，且 CE=CB,CD=CA.
E
A
D ·
解E， 使得∠BCE= ∠ACD. (3)在射线CE上截取CE=CB. (4)连接DE. ∴△DEC就是△ABC绕C点旋转后的图形.
旋转的特征：
O
A'
A
B'
B C
(5)对应点到旋转中心的距离相等.
“两次翻折”与“旋转”的关系
结论：
如图，在纸上画△ABC和过点P的两条直线PQ、 PR．画出△ABC关于PQ对称的△A B C ,再画出 △A B C关于PR对称的△A B C ． 观察△ABC和△A B C ,你能发现这两个三角 形有什么关系吗? Q A R
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∠A, ∠B= ′ ∠B, ∠C= ′∠C AB=AB, BC=BC, AC=AC, ∠A=
观察下列旋转 ,探索对应元素的关系 旋转的特征
即 ⑴: 对应线段相等 对应角相等 C′ ′ ′ ′ OA=OA, OB=OB, OC=OC 还有相等的线段和角吗 ? ⑵ 即 : 对应点到旋转中 心的距离相等 0·
交于O,另有正方形OEFG
绕O旋转任意角度,OE、
D
C
O
N G
OG分别交AB、BC于M、N ⑴观察△OCN和△OBM A 的关系，求CN+AM； ⑵求四边形OMBN的面积.
M
E
B
F
应用三：求角度
例练3
已知Rt△ABC中, ∠ACB=90 , ∠A=35 ,
° °
以直角顶点C为旋转中心, 将
△ABC旋转到△DEC的位置,
（2）可以看成连续两个箭头绕圆心旋转
3次而生成，每次旋转90°
课堂小结
旋转的特征： (1)图形的形状和大小不变，图形的位置改变。 (2)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方 向旋转了同样大小的角度。 (3)对应线段相等。 (4) 对应角相等。 (5)对应点到旋转中心的距离相等。
作业 课本：第140至141页 第12，13题
A
B B
C A
O
┓
D
∴如图即可作出“小旗子” 按要求旋转后的图案.
C
F
练习
5.画出所给图形绕点O顺时针旋转90°的的图形.
这样旋转几次可以
与原来的图形重合?
A
A′ （B）
·
O
B′
2.画△ABC绕顶点A顺时针旋转45°的 B C 图形.
画法: ⑴以A为顶点, AB为边顺 45° ′ 时针方向画∠BAB =45°, 45° A 且AB =AB′ ; ′ ′; ⑵同样画边AC′ , 并连结BC 解：△A′ B ′C 就是所要画的图形.
B A
C
· O
D
F E
逆时针旋转90°.
方案三: 把正方形ABCD绕CD的 中点O旋转180°.
应用二：求面积
2.已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之 边长相等的正方形ABCD的对角线交点O旋转任意 角度，求图中重叠部分的面积.
G A D
M
O E B C
0.25
H
F
例练
已知正方形ABCD的边长为2, 对角线相
L
M A
且垂直.
K B
∴对应线段BK和DM相等
应用四：画旋转图形
例1.在方格子纸上作出“小旗子”绕点O按顺时 针方向旋转90°后的图案.
解：
(1)作ODOA,在OD上截取 OA ＝OA,OB ＝ OB; (2) 连结OC; (3) 作OFOC,在OF上 截取OC ＝OC; (4) 连结A C 、B C.
应用四：图案的设计
5、如图,香港特别行政区区旗中央的紫荆花图 案由5个相同的花瓣组成,它是由其中一个花瓣经过 几次旋转得到的? 每次旋转了多少度？
每次旋转720。 解：经过4次旋转得到的，
6、本图案可以看做是一个菱形通过几次 旋转得到的？每次旋转了多少度？
5次 600 也可以看做是二个相邻菱 形通过几次旋转得到的？ 每次旋转了多少度？ 2次 1200
解
（1）连接OA、OB、OC、OD、OE. (2)分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF， ∠COG， ∠DOH，使 ∠BOF= ∠COG= ∠DOH= ∠AOE. (3）分别在射线OF，OG，OH上，截取OF=OB，OG=OC， OH=OD （4）连接EF，FG，GH，HE. 四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形。
还可以看做是几个菱形通 过几次旋转得到的？每次 旋转了多少度？ 3个 1次 600 0 180
升华与拓展： 确定图形中的旋转中心，指出这一图形可以看成 是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转几次，每 一次旋转多少度．(不计颜色)
解：旋转中心为圆心，本题图形由 8个箭头组成，答案不唯一。
如： （1）可以看成一个箭头绕圆心旋转7次而 生成，每次旋转45°。