2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学上学期(12月)考前热身练数学试题

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2021届高三新高考统一适应性考试 江苏省南通中学考前热身练数学试题

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．）

1.集合A ＝{1，x ，y }，B ＝{1，x 2,2y }，若A ＝B ，则实数x 的取值集合为( ) A ． {1

2} B ． {1

2，−1

2} C ． {0，1

2} D ． {0，1

2，−1

2

}

2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－)，b ＝f ，c ＝f ，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ． a ＜c ＜b

B ． b ＜a ＜c

C ． b ＜c ＜a

D ． c ＜b ＜a

3.欧拉公式e ix ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限

4.电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )

A ． 1

180 B ． 1

288 C ． 1

360 D ． 1

480 5.函数f (x )＝

e x +e −x e x −e −x

的大致图象是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

注意事项：

1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6.如图所示，扇形OPQ 的半径为2，圆心角为π

3，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则SABCD 的最大值是( )

A ． 2√33

B ． 2√3

C ． √3

D ． 2

3

7.将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( ) A ． 对任意的a ，b ，e 1>e 2

B ． 当a >b 时，e 1>e 2；当a

C ． 对任意的a ，b ，e 1

D ． 当a >b 时，e 1e 2

8.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A ． [−

32e

,1) B ． [−

32e ,34) C ． [32e ,34) D ． [3

2e

,1) 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）

9.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：其中根据茎叶图能得到的统计结论为( )

A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

C.甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

D.甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．

10.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ）

A.水的部分始终呈棱柱状；

B.水面四边形EFGH 的面积不改变；

C.棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；

D.当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值．

11.已知{an }为等比数列．下面结论中错误的是( )

A ． a 1＋a 3≥2a 2

B ． a 12＋a 32≥2a 2

2 C ． 若a 1＝a 3，则a 1＝a 2 D ． 若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 12.在△OAB 中，OA

⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ，μ＞0)，则λ＋μ的不可能取到的值为( ) A ． 2+√37

B ． 3+√37

C ． 3+2√37

D ． 4+2√37

三、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)

13.已知AB 是平面α的垂线，AC 是平面α的斜线，CD ⊂平面α，CD ⊥AC ，则面面垂直的有________________________________.

14.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________；a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝________；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________；|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________.

15.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点.现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足.设AK ＝t ，则t 的取值范围是____________.

16.设函数f (x )＝

e 2x 2+1x

，g (x )＝

e 2x e x

，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式

g (x 1)k

≤

f (x 2)k+1

恒成立，则正数k 的取值范

围是________．

四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本题10分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应分别是a ，b ，c ，c ＝2，sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B . (1)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积； (2)求AB 边上的中线长的取值范围． 18.（本题12分）

已知数列{an }与{bn }满足bn ＋1an ＋bnan ＋1＝(－2)n ＋1，bn ＝3+(−1)n−1

2

，n ∈N*，且a 1＝2.

(1)求a 2，a 3的值；

(2)设cn ＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N*，证明：{cn }是等比数列； (3)设Sn 为{an }的前n 项和，证明：S 1a 1

＋S 2a 2

＋…＋S 2n−1

a

2n−1

＋S 2n a 2n

≤n －1

3，n ∈N*.

19.（本题12分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC ＝2√2，PA ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .