三角函数经典解题方法及考点题型

三角函数经典解题方法与考点题型(教师)

1．最小正周期的确定。

例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。

【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+

2

π

时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）,

所以若最小正周期为T 0，则T 0=m π, m ∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co s π)，所以T 0=2π。

过手练习

1.下列函数中，周期为

2

π

的是 （ ）

A ．sin

2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4

x

y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

的最小正周期为

5

π

，其中0ω>，则ω=

3.（04全国）函数|2

sin |x

y =的最小正周期是（ ）.

4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .

（2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4

(cos 22

--

=π

x y 是 ( )

A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为

2

π

的奇函数 D. 最小正周期为

2

π

的偶函数

6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。

例2 已知函数y =s inx +x 2

cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=+ππ

θθ4304

sin 2cos 1,cos 22

x ,

则有y =).4

sin(2sin 2cos 2π

θθθ+

=+

因为

ππ

4304

≤

≤，所以ππ

θπ≤+≤4

2， 所以)4

sin(0π

θ+≤≤1，

所以当πθ43=，即x =2k π-2

π

(k ∈Z )时，y m in =0， 当4

π

θ=

，即x =2k π+

2

π

(k ∈Z )时，y m ax =2.

2

(sin cos )1y x x =++

【解法二】 因为y =s inx +)cos 1(sin 2cos 1222

x x x ++≤+,

=2（因为(a +b )2

≤2(a 2

+b 2

)），

且|s inx|≤1≤x 2cos 1+，所以0≤s inx +x 2cos 1+≤2， 所以当x 2cos 1+=s inx ，即x =2k π+2

π

(k ∈Z )时, y m ax =2，

当x 2cos 1+=-s inx ，即x =2k π-

2

π

(k ∈Z )时, y m in =0。

注：三角函数的有界性、|s inx |≤1、|co s x |≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 过手练习

1.（09福建）函数()sin cos f x x x =最小值是= 。

2.（09上海）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是 .

3．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ．

6π7 B ．3π C ．6π D ．2

π 4.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则

MN 的最大值为（ ）

A ．1 B

C

D ．2

5.函

数2

()s i 3s i n c o s f x x x =在区间,42ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ( )

A.1

C.

3

2

3．换元法的使用。

例4 求x

x x

x y cos sin 1cos sin ++=的值域。

【解】 设t =s inx +co s x =).4sin(2cos 22sin 222π+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x x x 因为,1)4

sin(1≤+

≤-π

x

所以.22≤≤-t

又因为t 2

=1+2s inxco s x ,

所以s inxco s x =2

12-t ，所以21121

2-=+-=

t t x y ，

所以

.2

1

2212-≤≤--y 因为t ≠-1，所以121

-≠-t ，所以y ≠-1. 所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤

⎝

⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈ y 4.函数单调性练习 1.（04天津）函数]),0[()26

sin(

2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是

（ ）.

A. ]3,

0[π

B. ]127,12[ππ

C. ]6

5,3[π

π D. ],65[ππ 2.函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）

A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，

B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭

， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭

，

D ．32π⎛⎫

π

⎪2⎝⎭

， 3.

函

数

()s n 3c o s ([,0])f x x x π=∈-的单调递增区间是

（ ） A ．5[,]6ππ--

B ．5[,]66ππ--

C ．[,0]3π-

D ．[,0]6

π

- 4．（07天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π⎛

⎫

=+

∈ ⎪⎝⎭

R ，

则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦，上是增函数

B ．在区间2π⎡

⎤

-π-

⎢⎥⎣⎦

，上是减函数 C ．在区间34

ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上是增函数

D ．在区间536

ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上是减函数

5.函数22cos y x =的一个单调增区间是 ( )

A ．(,)44ππ

-

B ．(0,)2π

C ．3(,)44

ππ

D ．(,)2ππ

6．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4

π)=

f (

x

-4

π

)，则f (x)的解析式可以是

（ ）

A ．f (x)=cosx

B ．f (x)=cos(2x 2

π

+

) C ．f (x)=sin(4x 2

π

+

) D ．f (x) =cos6x

5. 函数对称性练习 1.（08安徽）函数sin(2)3

y x π

=+

图像的对称轴方程可能是 （ ）