高等数学微积分第九章
高等数学第九章课件.ppt
z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
（二） 平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为
它的底为
于是，
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是，立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一） 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域，
间的关系：
x=rcos , y=rsin ，
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成．
高等数学第九章知识要点
高等数学第九章知识要点二 重 积 分 三 重 积分 概念来源 1、曲顶柱体体积、曲顶柱体体积 ()()()()ini i i DiDn i i i u d y x M m f d x f v s h x s s h x s l l D ==D ==åòòòòå=®=®1010,lim ,2,lim 、平面薄片质量空间中立体的质量()()ini iiiv u dv z y x u M D ==òòòåW=®1,,lim,,z h x l基本性质 1、线性性质：()()[]()()òòòòòò+=×+×DDDdxdy y x g ldxdy y x fkdxdy y x g l y x fk ,,,,2、关于区域的可加性：()()()21,,,,21D DD dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f D DD +=+=òòòòòò3、()()()òòòò===D D D d dxdy y x f y x f 的面积时，s s ,1,4、()()()()()òòòò£Þ£ÎDDdxdy y x g dxdy y x f y x g y x f D y x ,,,,,时，5、()()òòòò£DDdxdy y x f dxdy y x f ,, 6、估值定理 ：()s s M dxdy y x f m D££òò,7、中值定理 ：()()()D f dxdy y x f D Î×=òòh x s h x ,,,,三重积分有类似的性质 计算方法1、直角坐标系下()()()()()òòòò=Dba x x X D dy y x f dxd y x f 21,,f f s 型为()()()()()òòòò=Dd cy yY D dx y x f dyd y x f 21,,y y s 型为2、极坐标下()()()()òòòò=D d f d d y x f 21211sin ,cos ,q qq r rq rr q r q r qs 1、直角坐标系下 ）（1投影法投影法 ()()()()òòòòòòúûùêëé=W Dxy y x z y x z dxdy dz z y x f dv z y x f ,,21,,,, （2）截面法）截面法()()òòòòòò=Dc c Dz dxdy z y x f dz dv z y x f 21,,,,2、在柱面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()()()òòò=212121,,,sin ,cos q q q r q r q r q r q r q r rqz z dz z f pd d3、球面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()òòò=212121,.2sin cos ,cos sin ,sin sin j jq j q j q qj q q j q j jqr r drr r r r f d d几何及物1、体积 ()òò=Ddxdy y x f v ,2、曲面面积 òò++=Dy x dxdy f f A 221 1、体积 òòòW =dv v 2、质量 ()òòòW=dv z y x M ,,r理中的应用 3、质量 ()òò=Ddxdy y x m ,r4、质心坐标 ()()òòòò==DDy d y x d y x x M M x s r s r ,,()()òòòò==D D x d y x d y x y M M y s r sr ,, 5、转动惯量()òò=Dx d y x y I s r ,2，()sr d y x x I Dy òò=,2()()òò+=DOd y x y xI s r ,226 6、平面薄片对空间质点的引力、平面薄片对空间质点的引力设面密度为()xoy y x 的,r 面上的闭区域D 对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=，则，则òòòò==Dy D x d r y G F d r x G F s rs r 33,òò-=D z dr GaF s r 3其中G 为引力常数，222a y x r ++=3、质心坐标 ()()òòòòòòW W ==dv z y x dvz y x x M M x yz,,,,r r ()()òòòòòòW W ==dvz y x dv z y x y M M y zx ,,,,r r ()()òòòòòòWW==dvz y x dv z y x z MM z xy ,,,,r r 4、转动惯量()()òòòW +=dvz y x z y I x,,22r ()()òòòW+=dvz y x x z I y,,22r ()()òòòW++=dvz y x z y x I O,,222r 5、物体对空间质点的引力设物体密度为()z y x ,,r ，占有空间闭区域W 的物体对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=则dv r yp G F dv r xpG F y x òòòòòòW W ==33,,()dv r a z GF z òòòW-=3r 其中G 为引力常数，()222a z y x r -++=对称性在计算中的应用 1、若（、若（11）D 关于x 轴对称，且1D 为D 内0³x 部分 （2）()y x f ,是关于y 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòD d y x f s,=()()()()()ïîïíì=--=-òòDy x f y x f d y x f y x f y x f ,,,,2,,,0当当s 当D 关于y 轴对称，而()y x f ,关于x 为奇函数或偶函数时，有类似的结论函数时，有类似的结论2、若D 关于直线x y =对称，则对称，则()()òòòò=D Dd x y f d y x f s s ,,3、若D 关于原点对称，则关于原点对称，则()òòD d y x f s,()()()()()ïîïíì=--=--=òòy x f y x f d y x f y x f y x f D ,,,,2,,,01当当s 01³x D D 内为部分部分若（若（11）W 关于xOy 面对称；部分为01³W z（2）()z y x f ,,是关于z 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòòWdv z y x f ,,=()()()()()ïîïíì=--=-òòòW 1,,,,,,,2,,,,0z y x f z y x f dv z y x f z y x f z y x f 当当， 当W 关于()zOx yOz 面对称，而()z y x f ,,是关于)(y x 的奇函数或偶函数时，有类似结论函数时，有类似结论..。
大学高数第九章知识点总结
大学高数第九章知识点总结本章的内容可以分为多元函数的导数、方向导数和全微分、隐函数与参数方程、复合函数的偏导数等四个部分。
下面我将对第九章的主要知识点进行总结和归纳。
一、多元函数的导数1、定义：假设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)附近有定义，当自变量x和y分别以x=x0,y=y0为自变量时，关于z的增量Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)与增量Δx,Δy之间的比值分别为：(1) 当Δx≠0,Δy=0时，称为f对x的偏导数，记为fx(x0, y0)，即f对x的偏导数是指在y=y0时，f对x的导数。
fx(x0, y0)=lim(Δx→0){f(x0+Δx, y0)-f(x0,y0)}/Δx;(2) 当Δx=0,Δy≠0时，称为f对y的偏导数，记为fy(x0, y0)，即f对y的偏导数是指在x=x0时，f对y的导数。
fy(x0, y0)=lim(Δy→0){f(x0, y0+Δy)-f(x0,y0)}/Δy.2、几何意义：函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,f(x0,y0))处沿着x轴、y轴的方向导数。
3、求导法则：多元函数的导数具有以下性质：（1）线性性：若z=f(x,y)可导，则对任何常数α、β，函数αf(x,y)+βg(x,y)也可导，并且有（αf(x,y)+βg(x,y))' = αf'(x,y) + βg'(x,y)；（2）乘积法则：如果z=u(x,y) v(x,y)可导，则z' = u(x,y) v'(x,y) + u'(x,y) v(x,y)；（3）复合函数的求导法则：如果z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都可导，则z' = f_u(x,y) u' +f_v(x,y) v'。
二、方向导数和全微分1、方向导数：函数z=f(x,y)在点P(x0, y0)处沿任一方向l=(α,β)的方向导数是函数f在这一方向上的变化率，其定义为：D_uf(x0,y0)=fa(x0, y0)α+fb(x0,y0)β;2、全微分：若z=f(x,y)在点P(x0, y0)可导，Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)近似等于其全微分：df(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.三、隐函数与参数方程1、隐函数存在定理：若z=f(x,y)在点(x0,y0)邻域内连续且fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在且至少有一个不为0，则z=f(x,y)=0在此点邻域内确定一个连续且具有连续导数的隐函数。
大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第七节(课堂讲义)PPT课件
一条直线)上所有点的距离以垂线最短.
下面可以证
明一个固定向量和一个子空间中各向量的距离也是
以“垂线最短” .
先设一个子空间 W，它是由向量 1, 2, …, k
所生成，即 W = L(1, 2, …, k) .
说一个向量 垂
直于子空间 W，就是指向量 垂直于 W 中任何一
个向量. 容易验证 垂直于 W 的充分必要条件是
我们想找出 y 对 x 的一个近似公式.
解 把表中数值画出图来看，发现它的变化
趋势近于一条直线.
因此我们决定选取 x 的一次式
ax + b 来表达 .
当然最好能选到适当的 a , b 使得
下面的等式
3.6a + b - 1.00 = 0 , 3.7a + b - 0.9 = 0 ,
9
3.8a + b - 0.9 = 0 , 3.9a + b - 0.81 = 0 , 4.0a + b - 0.60 = 0 , 4.1a + b - 0.56 = 0 , 4.2a + b - 0.35 = 0
都成立. 实际上是不可能的.
任何 a , b 代入上面
各式都会发生些误差.
于是想找 a , b 使得上面各
式的误差的平方和最小，即找 a , b 使
10
(3.6a + b - 1.00 )2 + (3.7a + b - 0.9 )2 + (3.8a + b - 0.9 )2 + (3.9a + b - 0.81 )2 + (4.0a + b - 0.60 )2 + (4.1a + b - 0.56 )2 + (4.2a + b - 0.35 )2 最小. 这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为 最小二乘法. 现在转向一般的最小二乘法问题.
高等数学课后习题答案--第九章
9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
《高等数学》各章知识点总结——第9章
《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。
微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。
本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。
-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。
- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。
2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。
3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。
-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。
4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。
-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。
-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。
6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。
微积分(刘迎东)第九章习题答案
9.1 二重积分的概念与性质习题9.11. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）()2D x y d σ+⎰⎰与()3Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 为由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成。
解：因为在D 上，()()23x y x y +≥+，所以()()23DD x y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰。
（2）()2D x y d σ+⎰⎰与()3D x y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 为由圆周()()22212x y -+-=所围成。
解：因为在D 上，()()23x y x y +≤+，所以()()23DD x y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰。
（3）()ln D x y d σ+⎰⎰与()2ln D x y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中积分区域D 为三角形闭区域，三顶点分别为()()()1,0,1,1,2,0.解：因为在D 上，()()2ln ln xy x y +≥+⎡⎤⎣⎦，所以()()2ln l n DDxy d x y d σσ+≥+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。
（4）()ln Dx y d σ+⎰⎰与()2ln Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中(){},35,01D x y x y =≤≤≤≤。
解：因为在D上，()()2ln ln xy x y +≤+⎡⎤⎣⎦，所以()()2ln l n DDxy d x y d σσ+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰。
2. 利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）()DI xy x y d σ=+⎰⎰，其中(){},01,01.D x y x y =≤≤≤≤解：在D 上，()02xy x y ≤+≤，所以0 2.I ≤≤ （2）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中(){},0,0.D x y x y ππ=≤≤≤≤解：在D 上，220sin sin 1x y ≤≤，所以20.I π≤≤ （3）()1DI x y d σ=++⎰⎰，其中(){},01,02.D x y x y =≤≤≤≤解：在D 上，114x y ≤++≤，所以28.I ≤≤（4）()2249DI xy d σ=++⎰⎰，其中(){}22,4.D x y xy =+≤解：在D 上，22134925x y ≤++≤，所以52100.I ππ≤≤ 9.2 二重积分的计算法 习题9.23. 计算下列二重积分：（1）()22D xyd σ+⎰⎰，其中(){},1,1.D x y x y =≤≤解：()()11122222111282.33Dx yd dx x ydy x dx σ---⎛⎫+=+=+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （2） ()32Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域。
高数第九章知识点总结
高数第九章知识点总结第九章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
数列和级数是数学中研究数值规律和求和的重要工具，具有广泛的应用价值。
下面将对第九章的知识点进行总结。
一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用一个公式或递推关系来表示。
2. 数列的分类：数列可以分为等差数列和等比数列，其中等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两项之比为常数。
3. 数列的通项公式：对于等差数列，可以通过求出公差和首项来得到通项公式；对于等比数列，可以通过求出公比和首项来得到通项公式。
4. 数列的性质：数列可以进行加法、乘法、递推等运算，可以通过这些性质来研究数列的规律和性质。
二、级数的概念和性质1. 级数的定义：级数是将数列的各项相加所得到的和，可以用求和符号来表示。
2. 部分和数列：级数的部分和数列是指将级数的前n项相加所得到的和，可以用Sn表示。
3. 级数的收敛与发散：如果级数的部分和数列Sn的极限存在，则称该级数收敛，否则称该级数发散。
4. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列是有界的，且任意两个部分和之间的差值可以任意小。
5. 收敛级数的判定：通过级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法可以判断级数的收敛性。
三、数列和级数的应用1. 数列的应用：数列可以应用于等差数列和等比数列的求和问题，常见的应用有求等差数列和等比数列的前n项和，求解等差数列和等比数列的最大值和最小值等。
2. 级数的应用：级数可以应用于求解无穷级数的和问题，常见的应用有求解几何级数的和，求解幂级数的收敛区间等。
以上就是高数第九章的主要知识点总结。
掌握数列和级数的概念和性质，对于理解高等数学的整体框架和解题思路具有重要作用。
在实际应用中，数列和级数也有广泛的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
因此，我们要认真学习和掌握这些知识点，提高数学素养和解题能力。
大学数学高数微积分第九章欧几里得空间第六节课件课堂讲义
= T( A ) .
证毕
等式 (3) 把实对称矩阵的特性反映到线性变换上.
我们引入下述概念：
定义 12 欧氏空间中满足等式
x1 x1
A
x2
A
x2
.
(1)
x n x n
(A , ) = ( , A ) ，
(3)
变换称为对称变换.
容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是
n ， 使
L ( 1 , 2 , … , i ) = L ( 1 , 2 , … , i) , i = 1 ,2 ,… ,n .
证明
设 1 , 2 , … , n 是 一 组 基 ， 我 们 来 逐
个 地 求 出 向 量 1 , 2 , … , n .
首先，可取
1
1 | 1
| 1
.
一般地，假定已经
单击这里求解
求得基础解系为
(1，-1，-1，1) .
把它单位化，得
4
1,1,1, 2 2 2
1. 2
特征向量 1 , 2 , 3 , 4 构成 R4 的一组标准正交基
所求的正交矩阵为
1
1 1
1
2 6
12 2
1
T
2
0
1 6
2
1
12 1
1
2 1
.
6
12
2
0 0
3 1
12
2
而
TTAT = diag(1, 1, 1, -3) .
nn
aij xi x j ,
i1 j 1
aij a ji
都可以经过正交的线性替换变成平方和
1y12 + 2y22 + … + n yn2 ,
高等数学第九章习题答案
高等数学第九章习题答案高等数学第九章习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，涵盖了广泛的数学知识和技巧。
第九章是高等数学中的一个重要章节，主要涉及到微分方程和级数。
本文将为大家提供高等数学第九章习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解微分方程dy/dx = 2xy。
首先，我们可以将该微分方程转化为变量分离的形式。
将dy/dx移项得到dy/y = 2xdx。
对两边同时积分，得到ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。
再对等式两边取指数，得到|y| = e^(x^2 + C)。
由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到y = ±e^(x^2 + C)。
因此，该微分方程的通解为y = Ce^(x^2)，其中C为任意常数。
2. 求解微分方程dy/dx = y^2 - 1。
同样地，我们将该微分方程转化为变量分离的形式。
将dy/dx移项得到dy/(y^2 - 1) = dx。
对两边同时积分，得到∫(1/(y^2 - 1))dy = ∫dx。
对左边的积分进行分解，得到∫(1/[(y+1)(y-1)])dy = ∫dx。
通过部分分式的方法，我们可以将左边的积分化简为∫[(1/2)/(y-1) - (1/2)/(y+1)]dy = ∫dx。
继续进行积分，得到(1/2)ln|y-1| - (1/2)ln|y+1| = x + C，其中C为常数。
再对等式两边取指数，得到|y-1|/|y+1| = e^(2x+2C)。
由于指数函数的定义域为正数，所以我们可以去掉绝对值符号，得到(y-1)/(y+1) = e^(2x+2C)。
进一步化简得到y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))。
因此，该微分方程的通解为y =(1+e^(2x+2C))/(1-e^(2x+2C))，其中C为任意常数。
3. 求解级数∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2]。
首先，我们可以对级数进行变形，得到∑(n=1到∞) [(n+1)/n^2] = ∑(n=1到∞) [1/n - 1/n^2]。
《高等数学》各章知识点总结——第9章
第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续1、维空间为二元数组的全体，称为二维空间。
为三元数组的全体，称为三维空间。
为元数组的全体，称为维空间。
维空间中两点间的距离：邻域: 设是的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体称为点的邻域，记为，即空心邻域:的邻域去掉中心点就成为的空心邻域,记为=。
内点与边界点：设为维空间中的点集，是一个点。
如果存在点的某个邻域，使得，则称点为集合的内点。
如果点的任何邻域内都既有属于的点又有不属于的点，则称为集合的边界点,的边界点的全体称为的边界．聚点：设为维空间中的点集，是一个点。
如果点的任何空心邻域内都包含中的无穷多个点，则称为集合的聚点。
开集与闭集: 若点集的点都是内点，则称是开集。
设点集, 如果的补集是开集，则称为闭集。
区域与闭区域：设为开集，如果对于内任意两点，都可以用内的折线（其上的点都属于）连接起来, 则称开集是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集，若存在，使得，即中所有点到原点的距离都不超过，则称点集为有界集，否则称为无界集．如果是区域而且有界，则称为有界区域．有界闭区域的直径：设是中的有界闭区域，则称为的直径。
二、多元函数元函数就是的一个子集到的一个函数，即对任意的，都存在唯一的，使得。
习惯上，我们用表示一元函数，用表示二元函数，用表示三元函数. 一般用或表示元函数．三、多元函数的极限设多元函数在有定义，是的一个聚点，为常数。
如果对任意给定的，都存在，当时，有则称为趋于时函数在上的极限，记为或。
四、多元函数的连续性设多元函数在有定义，是的一个聚点。
如果，则称在点连续。
如果在区域上各点都连续，就称在上连续．如果函数在点处不连续，则称函数在点处间断, 也称是函数的间断点。
五、偏导数设二元函数，为平面上一点。
如果在的某一邻域内有定义且在点可导，即极限存在, 则称在点处对可偏导，称此极限值为函数在点处对的偏导数，记为或六、高阶偏导数，，，如果函数的两个二阶混合偏导数都在平面区域D内连续，那么这两个二阶混合偏导数在D内相等。
微积分 第九章 第一节 常数项级数的概念与性质
子
序
列
无极
限
，
所
以lim n
sn不
存
在
，
级
数
发散.
二、级数的基本性质
性质1
如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛，且有
n1
n1
kun k un .
思考：可逆吗？
n1
n1
性质2 如果级数 un 、 vn 都收敛,则 (un vn )
连续复利计算利息，则该合同的现值等于多少？
解 （1）以年复利计算利息
总的现值
3
3 1.05
3 1.052
3 1.05n
63（百万元）
（2）以连续复利计算利息
总的现值 3 3e0.05 3(e0.05 )2
61.5（百万元）
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
3n
n1
1
3
1
1 4
3
4
n1 4n2 1
n1
2 2n
1
2 2n
1
sn
2
2 3
2 3
2 5
2 2n 1
2 2n 1
2 2 2n 1
n1
4 4n2
1
lim
n
sn
2
原级数收敛，且其和为 3 . 4
性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影 响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).
第一节 常数项级数的概念与性质
一、问题的提出
高等数学 第九章 多元函数微积分
增量 x 时，相应的函数有增量 f (x0 x ，y0 ) f (x0 ，y0 ) ，如果
lim f (x0 x ，y0 ) f (x0 ，y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x ，y) 在点 (x0 ，y0 ) 处对 x 的偏导数，记作
z x
x x0 y y0
， f x
x x0 y y0
， zx
x x0 y y0
或 fx (x0 ，y0 ) ．
函数 z
f (x ，y) 在点 (x0 ，y0 ) 处对
y
的偏导数定义为 lim y 0
f (x0
，y0
y) y
f (x0 ，y0 )
，
记作
z y
x x0 y y0
，
f y
x x0 y y0
， zy
x x0 y y0
{(x ，y ，z) | z f (x ，y) ，(x ，y) D} ， 这个点集称为二元函数 z=f(x,y)的图形,如图 4 所示。
图9-4
二、多元函数的极限
定义 2 设函数 z f (x ，y) 在 P0 (x0 ，y0 ) 的某去心邻域内有定义，点 P(x ，y) 是该邻域内异于点
P0 (x0 ，y0 ) 的任意一点，如果当点 P(x ，y) 以任意方式无限地趋于点 P0 (x0 ，y0 ) 时，函数 f (x ，y) 总
lim
( x ，y)(0 ，0)
f
(
x
，y)
lim
x0
x2
kx2 k2x2
k 1 k2
．
y kx
三、多元函数的连续性
定义 3 设函数 z f (x ，y) 在点 P0 (x0 ，y0 ) 的某邻域内有定义，如果
《高等数学》第9章多元函数积分学
体积的计算（利用二重积分） 体积的计算（利用二重积分）
例 求在曲面 z = 4 − x 2 − y之下 , 而在长方形 R = {( x , y ) | ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2}之上的立体的体积 V . 0
解： V = ∫∫ (4 − x 2 − y )dA = ∫ 2 ∫ 1(4 − x 2 − y )dxdy 0 0
S R
z
z = f ( x, y )
o
y
s
x
f ( x, y ) = 0
R
注：在矩形区域中二重积分具有的性质，在任意区域中仍具有. 在矩形区域中二重积分具有的性质，在任意区域中仍具有.
练
习
R =
1. 计算在 R 上的二重积分
( ∫∫ ) xy 3 dA １
R R
{( x , y ) | 0 ≤
k =1 n
存在, 则称 f ( x, y )在R上是 可积的.而且这个极限值称 f在R上 的二重积分 , 记作 : f ( x, y ) dA = lim ∑ f ( xk , yk ) ∆Ak ∫∫ δ →0
R k =1 n
其中∫∫ 称为二重积分号 , f ( x, y )称为 被积函数 , f ( x, y ) dA称为 被积表达式 , dA为面积元素 , x, y称为 积分变量 , R称为 积分区 域 , ∑ f ( xk , yk ) ∆Ak 称为 积分和式 .
解：用 S 代表 xoy 面上形成四面体底部的 三角形区域 ,
2. 计算二次积分 .
1 x
2 ye x dx dy . ∫0 ∫0
y2 1
2
1 y2
原式 = ∫0 ( 2 ye ) 0 dy ∫0 ( 2 ye y − 2 y ) dy = 解： = (e
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5. 已知u( x，y )或v ( x，y )， 利用C-R条件，求解析 函数 f ( z ) u( x，y ) iv ( x，y )。
例1 设C为由M (0, 1)沿曲线x 1 y 2 经E (1, 0)到点 N (0, 1)的一段弧，计算I | y | dx y 3dy。
解由格林公式得： Q P 1 I [ ]dxdy 2 dxdy 2 x y x y D D
3d 4
2
1
1
2
d
12
ln 2
例4 设质点P 在力 F (2 xy - y cos x )i (1 - 2 y sin x 3 x y ) j 的作用下， 沿抛物线 2 x y 从点O (0, 0)运动到
第九章 复习小结
1.第二型曲线积分的物理意义 F ( P , Q , R ), W Pdx Qdy Rdz
L
2. 设为空间曲线， 利用曲线的参数方程化为定积分来 计算曲线积分。 3.设L为平面曲线， 曲线积分
L
Pdx Qdy 的计算：
(1) 利用曲线的参数方程化为定积分。
L
OA
(b a )dxdy (b a )
D
a2
2
I (b a )
a2
2
2ba 2
x t - sin t 例6 设C为摆线 从O(0, 0)到 A(2 ,0)， y 1 - cos t 计算 I z sin z 2dz。
C
解由于 f ( z ) z sin z 2 处处解析， 曲线积分在复平面上 与路径无关， 2 1 2 I z sin z dz (1 cos(4 2 )) 0 2
例7 设C为 | z | 2的正向，计算 I (
C
ez z (1 z )
2
e sin z cos z )dz。
答案 I 2 i
例8 已知u( x , y) v( x , y) ( x y)( x 4 xy y ), 求 解析函数 f ( z ) u( x，y) iv( x，y)。
解 u v x 3 3 x 2 y 3 xy 2 y 3 , 两边对x , y求偏导得：
2 2 u v 3 x 6 xy 3 y x x 2 2 u v 3 x 6 xy 3 y y y 由C R方程得
2 2 u u 3 x 6 xy 3 y y x 2 2 u u 3 x 6 xy 3 y y x 解得 ux 3 x 2 3 y 2 , u y 6 xy
I
AB
(1 2 xy )dx x dy
2
1
1
dx 2.
例3 设L为圆周x 2 y 2 1, x 2 y 2 4 与直线 y x , y 3 x 在第一象限内所围区域的边界的正向， 计算 1 y 2 x I arctan dx arctan dy. x x y y L
2
2
u x 3 3 xy 2 c , v 3 x 2 y y 3 c f ( z ) z 3 c(1 i )
练习题
1 设C为圆 ( x 2)2 ( y 4)2 9 的正向，计算积分 2 xe C ( x y2 )dy y
Байду номын сангаас2 计算积分
e
x2
W
2
4
例5 设L为从点A(2a, 0)沿曲线 y 2ax x 到点 O (0, 0)的弧，a, b为常数，求
Q P 解 由于 b a, 则 x y I
2
I ( e x sin y b( x y ))dx ( e x cos y ax )dy。
(Re z )cos z z2
(2) 对闭曲线L， 利用格林(Green)公式化为二重积分。
(3) 对非闭曲线L， 利用曲线积分与路径无关(在单连通 区域内)化为其它曲线(常用折线)，或补曲线化为闭 曲线。
4. 复积分 f ( z )dz 的计算：
C
(1) 对闭曲线C， 利用Cauchy定理，Cauchy公式 (包括n阶Cauchy公式)计算。 (2) 对非闭曲线C， 利用积分与路径无关(在单连 通区域内)化为其它曲线来计算。
4 设L为圆 x 2 y 2 1的正向，计算积分 I ydx - xdy
L 3x 2
2 xy 3 y
。 2
5 设C 为 | z | 2的正向，计算积分 1 I ( cos )dz。 3 C z ( z 1) z4 ez
6 设C为 z 2 正向，计算积分I= C
C
解 I [
1
1
| y| y 1 y
L
2
y ]dy 0
3
例2 计算 I (1 2 xy )dx x 2dy, 其中L为从A(1, 0)到 B( 1, 0)的上半椭圆x 2 2 y 2 1。
Q P 解 由于 2 x , 则曲线积分在xoy面上与路径无关， x y
2
3
2
2 2
点 A( ， 1)， 求力 F 所做的功。 2
解 W (2 xy 3 - y 2 cos x )dx (1 - 2 y sin x 3 x 2 y 2 )dy
L
Q P 2 由于 6 xy 2 y cos x , 则曲线积分在xoy面上 x y 与路径无关，
x2
dx
C
( x y )dx ( x y )dy x 2 y2 x2 a
2
, 其中C 是从点
A( a, 0)经上半椭圆 的弧段。
y2 b
2
1( y 0)到点B( a, 0)
3 设闭区域D的边界为C，u( x，y )，v ( x，y )在D上有 一阶连续偏导数，证明： u v v x dxdy C uvdy u x dxdy. D D