2019-2020学年新教材高中数学 第五章 统计与概率 5.3.3 古典概型课堂检测素养达标 新人教B版必修2
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课后篇提升新人教B版必修第二册
5.3.2事件之间的关系与运算课后篇巩固提升夯实基础1.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则()A.A⊆BB.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3,故选C.2.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N()A.是互斥且对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.是对立事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥不对立.故选C.3.口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.43,摸出白球的概率是0.27,那么摸出黑球的概率是()A.0.43B.0.27C.0.3D.0.74.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.7,中二等奖为互斥事件,故中奖的概率为0.1+0.1=0.2.故选B.5.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是()A.[0,0.9]B.[0.1,0.9]C.(0,0.9]D.[0,1]A和B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,所以0≤P(B)≤0.9,故选A.6.甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.8,两人下成平局的概率是0.5,则甲胜的概率是()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.7p,则p+0.5=0.8,所以p=0.3,故选A.7.一枚硬币连掷三次,事件A为“三次反面向上”,事件B为“恰有一次正面向上”,事件C为“至少两次正面向上”,则P(A)+P(B)+P(C)=.A,B,C之间是互斥的,且又是一枚硬币连掷三次的所有结果,所以P(A)+P(B)+P(C)=1. 8.同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为,则5点或6点至少出现一个的概率是.,“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件,所以5点或6点至少出现一个的概率是P=1-.能力提升1.(多选)下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.其中不正确的命题序号是()A.①B.②C.③D.④2.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是()A.0.62B.0.38C.0.7D.0.684.8g”为事件A,“质量不小于4.85g”为事件B,“质量不小于4.8g,小于4.85g”为事件C,易知三个事件彼此互斥,且三个事件的并事件为必然事件,所以P(C)=1-0.3-0.32=0.38.故选B.3.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=.事件A,B互斥,且P(A)=2P(B),它们都不发生的概率为,∴1-P(A)-P(B)=1-2P(B)-P(B)=,∴P(B)=1,∴P(A)=2P(B)=,∴P()=1-P(A)=1-.4.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知111是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+1=0.则甲射击一次,不中靶的概率为;乙射击一次,不中靶的概率为.P1满足方程x2-x+1=0知,1-P1+1=0,解得P1=1.因为111是方程x2-5x+6=0的根,所以111=6,所以P2=1,因此甲射击一次,不中靶的概率为1-11,乙射击一次,不中靶的概率为1-1.5.高一军训时,某同学射击一次,命中10环,9环,8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.(1)求射击一次,命中10环或9环的概率;(2)求射击一次,至少命中8环的概率;(3)求射击一次,命中环数小于9环的概率.,命中i环”为事件A i(0≤i≤10,且i∈N),则A i两两互斥.由题意知P(A10)=0.13,P(A9)=0.28,P(A8)=0.31.(1)记“射击一次,命中10环或9环”为事件A,那么P(A)=P(A10)+P(A9)=0.13+0.28=0.41.(2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么P(B)=P(A10)+P(A9)+P(A8)=0.13+0.28+0.31=0.72.(3)记“射击一次,命中环数小于9环”为事件C,则C与A是对立事件,所以P(C)=1-P(A)=1-0.41=0.59.6.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为1,中二等奖或三等奖的概率是1.(1)求任取一张,中一等奖的概率;(2)若中一等奖或二等奖的概率是1,求任取一张,中三等奖的概率.,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥事件.由条件可得P(D)=1,P(B+C)=P(B)+P(C)=1,(1)由对立事件的概率公式知P(A)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1-1 111,所以任取一张,中一等奖的概率为11.(2)∵P(A+B)=1,P(A+B)=P(A)+P(B),∴P(B)=1111,又P(B+C)=P(B)+P(C)=1,∴P(C)=1,即任取一张,中三等奖的概率为1.7.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地某车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)求该地某车主甲、乙两种保险都不购买的概率.A表示事件:该车主购买甲种保险;B表示事件:该车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D表示事件:该车主甲、乙两种保险都不购买.(1)由题意得,P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.(2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课件新人教B版必修第二册
若 A∩B 为__∅_，A∪B 为 __必__然__事_件__，那么称事件 A
与事件 B 互为对立事件
若 A∩B＝ ∅，且 A∪B ＝U，则 A 与 B 对立
事 件 的 运 算
并事 件
交事
若某事件发生当且仅当
_事__件__A__发__生__或_事__件___B_发_，生
则称此事件为事件 A 与事 件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当
跟踪训练 1 从一批产品中取出”，C 表示“三件产 品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是( )
A.A 与 C 互斥 B．任何两个均互斥 C．B 与 C 互斥 D．任何两个均不互斥
解析：由题意可知，事件 A 与事件 C 不可能同时发生，故 A 与 C 互斥，选 A.
【解析】 (1)用 x1，x2 分别表示甲、乙两个元件的状态，则可 以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以 1 表示元件正常，0 表示 元件失效，则样本空间为 Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．
(2)根据题意，可得 A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}， A ＝{(0,0)，(0,1)}， B ＝{(0,0)，(1,0)}．
2．抽查 10 件产品，记事件 A 为“至少有 2 件次品”，则 A 的 对立事件为( )
A．至多有 2 件次品 B．至多有 1 件次品 C．至多有 2 件正品 D．至少有 2 件正品
解析：至少有 2 件次品包含 2,3,4,5,6,7,8,9,10 件次品，共 9 种 结果，故它的对立事件为含有 1 或 0 件次品，即至多有 1 件次品．
新教材高中数学第5章统计与概率5-3概率5-3-3古典概型新人教B版必修第二册
5
P(A)=10
=
1
.
2
规律方法
解决古典概型综合问题的两个关键点
(1)审读题干:对于实际问题要认真读题,深入理解题意,计算样本点总数要
做到不重不漏,这是解决古典概型问题的关键.
(2)编号:分析实际问题时,往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替,
(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)},共10个样本点,记A:2类元素相生,则A={(木,
火),(火,土),(木,水),(金,水),(金,土)},共5个样本点,所以2类元素相生的概率
为 P(A)= 5 = 1 ,故选A.
10
2
1 2 3 4
3.甲、乙两校共有5名教师报名支援边远地区教育,其中甲校3名教师,乙校
分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解 设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表
示样本点.
(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),
1 2 3 4
.故选D.
2.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如图,分别是
金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从
5类元素中任选2类元素,则2类元素相生的概率为( A )
1
A.2
1
B.3
1
C.
4
1
D.
2019_2020学年新教材高中数学第5章统计与概率5.3.3古典概型课时21古典概型练习含解析新人教b版必修第二册
课时21 古典概型知识点一样本点个数的计算错误！未指定书签。
1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)答案 C解析把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求出这个试验的样本点的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)样本点的总数为6.(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．知识点二古典概型的判断错误！未指定书签。
3.下列问题中是古典概型的是( )A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.4．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．答案③解析①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．知识点三古典概型概率的计算错误！未指定书签。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
方法归纳 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若 A， B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也是相互独立的，代入相 互独立事件的概率公式求解．
跟踪训练 3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮 活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮 猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结 果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率．
解析：设 A1，A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件， B1，B2 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语的事件．根据独立性假 定，得 P(A1)＝2×34×14＝38，P(A2)＝342＝196.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人 射中”2 种情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A B )＋P( A B)]＝0.72＋ 0.26＝0.98.
(4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人 都未射中”两种情况．
故所求概率为 P＝P(A] B )＋P(A B )＋P( A B)
解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不 影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射 手可能同时击中目标，也就是说事件 A 与 B 可能同时发生，所以事 件 A 与 B 不是互斥事件．
甲、乙击中目标相互不影响，所以相互独立，甲击中目标、乙 击中目标，可以同时发生，所以不互斥．
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对事件是否 相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.4频率与概率课件新人教B版必修第二册
教材反思 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大 量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件 发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算 概率．
跟踪训练 1 李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的高等数
学，下表是李老师这门课 3 年来的考试成绩分布：
一名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率．
【解析】 由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中， 在[90,100]内的概率为
0．01×(100－90)＝0.1. 因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学 得分在[90,100]内的频率可以估计为 0.1. 根据用频率估计概率的方法可知，随机选取一名学生，这名学 生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率可以估计为 0.1.
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5 解析：共 20 个数据，频率为 0.2，在此范围内的数据有 4 个， 只有在 11.5～13.5 范围内有 4 个数据：13,12,12,12，故选 D. 答案：D
高中数学 第5章 统计与概率 5.3 概率 5.3.4 频率与概率课件 b高一必修第二册数学课件
概率与频率的关系及求法
情
课
境 导
堂
【例 2】 下面的表中列出了 10 次抛掷硬币的试验结果，n 为 小
学
结
·
探 每次试验抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试 提
新
素
知 验中正面向上的频率，并考察它的概率．
养
·
·
合
试验序号 抛掷次数(n) 正面向上次数(m) 正面向上的频率
素 养
·
·
合
则取到号码为奇数的频率是( )
课
作
探
A．0.53
究
B．0.5
时 分
层
释
C．0.47
D．0.37
作
疑
难
A [取到号码为奇数的频率是10＋8＋160＋0 18＋11＝0.53.]
业 返
首
页
12/8/2021
第十二页，共四十三页。
·
情
课
境
堂
导
4．(一题两空)在一次掷硬币试验中，掷 30 000 次，其中有 14 984 小
情
课
境
[跟进训练]
导
堂 小
学
结
探
1．某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图
·
提
新
素
知 所示)，并规定：顾客购物 10 元以上就能获得一次转
养
·
合 动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就
课
作
探 可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计
究
时 分
层
释 数据．
作
疑
业
难
·
返 首 页
2019-2020学年新教材人教B版必修第二册 5.3.3 古典概型 课件(46张)
【思维·引】 先列举出基本事件,紧扣古典概型的特点加以判断,再 用古典概型概率公式求相应概率.
【解析】(1) 样本空间为Ω ={ (红1,红2),(红1,红3), (红1,蓝1),(红1,蓝2),(红2,红3),(红2,蓝1),(红2,蓝 2),(红3,蓝1),(红3,蓝2),(蓝1,蓝2) }共10种,由于基 本事件个数有限,且每个基本事件发生的可能性相等, 所以是古典概型.
【解析】1.选C.样本空间为:Ω ={甲乙丙、甲丙乙、 乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲}共六个,甲站在中 间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,所以甲站在中间 的概率: P= 2＝1 .
63
2.(1)用树状图表示所有的结果为:
所以样本空间为Ω ={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd, ce,de}.
8
类型三 复杂的古典概型问题 【典例】袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分 别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2;现从袋中任 取两张卡片. 世纪金榜导学号 (1)若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件,则共 有多少个基本事件?是古典概型吗?
(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件,则共有 多少个基本事件?是古典概型吗? (3)求所取卡片标号之和小于4的概率.
(3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有 限的,而且每个整数被抽到的可能性相等.
类型二 简单的古典概型的计算
【典例】1.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间
的概率是 ( )
A. 1 B. 1
6
2
C.1 D. 2
3
3
2.盒子中有5个大小相同的球,其中编号为a,b的是2个 黑球,编号为c,d,e的是3个红球,从中任意摸出2个球.
高中数学 第五章 统计与概率 5.3.3 古典概型课件 b高一第二册数学课件
(1)写出所有不同的结果； (2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； (3)求至少摸出1个黑球的概率．
第十七页，共三十四页。
[解] (1)用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. (2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A， 则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6 个基本事件， 所以P(A)＝160＝0.6， 即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
第十一页，共三十四页。
[方法技巧] 1．古典概型求法的步骤 (1)确定等可能基本事件总数n； (2)确定所求事件包含基本事件数m； (3)P(A)＝mn . 2．使用古典概型概率公式的注意点 (1)首先确定是否为古典概型； (2)所求事件是什么，包含的基本事件有哪些．
第十二页，共三十四页。
[对点练清] 1．在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，
1
1
A.6
B.2
1
2
C.3
D.3
解析：该试验的样本空间Ω＝{(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲
丙)(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)}，共6个样本点，乙站中间包
含(甲乙丙)，(丙乙甲)共2个样本点，所以P＝26＝13. 答案：C
第四页，共三十四页。
2．口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为 1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编 号之和大于4的概率为________． 解析：该试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)， (2,4)，(3,4)}，共6个样本点，其中摸出的2个球的编号之和 大于4包含(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个样本点，因此摸 出的2个球的编号之和大于4的概率为46＝23. 答案：23
2019_2020学年新教材高中数学第5章统计与概率单元质量测评(含解析)新人教B版
第五章统计与概率单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是( )A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况答案 B解析A选项做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求不高，适合采用抽样调查的方式；B选项班级人数有限，比较容易调查因而适合普查；C选项数量大并且耗时长，不适合普查；D选项普查时数量太大，要费太大的人力、物力，得不偿失，不适合普查．故选B.2．近几年来移动支付越来越普遍，为了了解某地10000名居民常用的支付方式，从中抽取了500名居民，对其常用支付方式进行统计分析．在这个问题中，10000名居民的常用支付方式的全体是( )A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案 A解析10000名居民的常用支付方式的全体是总体，样本容量是500，每个居民的常用支付方式是个体，500名居民的常用支付方式是从总体中抽取的一个样本．故选A.3．下列说法正确的有( )①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的事件不可能同时发生；③任意事件A发生的概率P(A)总满足0＜P(A)＜1；④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案 B解析易知①是正确的；一次试验中不同的事件可能同时发生，故②错误；任意事件A 发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1，故③错误；当事件A的概率P(A)＝0时，事件A是不可能事件，故④错误．所以选B.4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A．08 B．07 C．02 D．01答案 D解析从左到右符合题意的5个个体的编号分别为08,02,14,07,01，故第5个个体的编号为01.5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A．100,10 B．200,10C．100,20 D．200,20答案 D解析易知(3500＋4500＋2000)×2%＝200，即样本容量为200.抽取的高中生人数为2000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了10场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．若甲运动员得分的中位数为a，乙运动员得分的众数为b，则a－b的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 A解析 ∵甲运动员得分的中位数为a ，∴a ＝19＋172＝18，∵乙运动员得分的众数为b ，∴b ＝11.∴a －b ＝18－11＝7.故选A.7．五张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这五张卡片中随机抽取一张，事件M 为“抽出的卡片上的数字为素数”，事件N 为“抽出的卡片上的数字为4”，则P (M ＋N )＝( )A.15B.35C.45 D ．1 答案 C解析 从五张卡片中随机抽取一张，所含的样本点总数为5.事件M 为“抽出的卡片上的数字为素数”，则事件M 所包含的样本点有3个，分别为2,3,5，所以P (M )＝35.事件N 为“抽出的卡片上的数字为4”，则事件N 所包含的样本点有1个，所以P (N )＝15，因为事件M 与事件N 为互斥事件，所以P (M ＋N )＝P (M )＋P (N )＝45.故选C.8．从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为( )A ．125,125B ．125.1,125C ．124.5,124D ．125,124答案 D解析 由题图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025，则这100名学生成绩的平均数为105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x －120)＝0.5，解得x ＝124.故选D.9．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下： 甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 86 则下列结论正确的是( ) A.x －甲>x －乙，s 甲>s 乙 B.x －甲>x －乙，s 甲<s 乙 C.x －甲<x －乙，s 甲>s 乙 D.x －甲<x －乙，s 甲<s 乙答案 A解析 x －甲＝110×(88＋100＋…＋92＋83)＝88.8；x －乙＝110×(93＋89＋…＋89＋86)＝85.1，s 甲＝110×[(88－88.8)2＋…＋(83－88.8)2] ＝110×501.6≈7.08， s 乙＝110×[(93－85.1)2＋…＋(86－85.1)2] ＝110×410.9≈6.41，∴x －甲>x －乙，s 甲>s 乙． 10．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a ，b ，使得lg (3a )≥lg (4b )成立的概率是( )A.13B.512C.12D.712 答案 C解析 因为lg (3a )≥lg (4b )，所以3a ≥4b .从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数字，这个试验所包含的样本点有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个，且这12个样本点出现的可能性相等，符合条件3a ≥4b的样本点有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6个，所以所求概率为612＝12.故选C.11．在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列事件中概率为710的是( )A ．恰有1件一等品B ．至少有1件一等品C ．至多有1件一等品D ．都不是一等品答案 C解析 将3件一等品编号为1,2,3，将2件二等品编号为4,5，从中任取2件所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，这10个样本点出现的可能性相等．其中恰有1件一等品所包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，故恰有1件一等品的概率为P 1＝610＝35.恰有2件一等品所包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，故恰有2件一等品的概率为P 2＝310，则其对立事件是“至多有1件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－310＝710.12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( )A.110 B.715 C.815 D.1315答案 C解析 根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A，B，生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C，D，E，F，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，这15种结果出现的可能性相等．2位工人不在同一组的结果有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共8种．则选取的这2人不在同一组的概率为815.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．某次能力测试中，10人的成绩统计如表，则这10人成绩的平均数为________，20%分位数为________．答案 3 1解析这10人成绩的平均数为110×(5×3＋4×1＋3×2＋2×1＋1×3)＝110×(15＋4＋6＋2＋3)＝110×30＝3.因为10×20%＝2，所以这10人成绩的20%分位数为1＋12＝1.14．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)内的为一等品，在区间[15,20)或[25,30)内的为二等品，在区间[10,15)或[30,35]内的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为________．答案 0.45解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则由所有矩形面积之和为1，得(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05，所以该件产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.15．某工厂生产A ，B 两种元件，现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A ，B 两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等，则xy ＝________.答案 72解析 因为x －A ＝15×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，x －B ＝15×(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )，由x －A ＝x －B ，得x ＋y ＝17.①因为s 2A ＝15×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，s 2B ＝15×[4＋(8－x )2＋0.25＋0.25＋(8－y )2]，由s 2A ＝s 2B ，得x 2＋y 2＝145.②由①②可得(x ＋y )2＝145＋2xy ＝289， 解得xy ＝72.16．将一个质地匀匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数的概率是________．答案 14解析 由题意，函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，2]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ba≥2.当a 取1时，b 可取2,3,4,5,6；当a 取2时，b 可取4,5,6；当a 取3时，b 可取6，共9种．因为(a ，b )的取值共36种情况， 所以所求概率为936＝14.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？ (2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用水量？ 解 (1)x －＝110×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51.(2)中位数为41＋442＝42.5.(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述公司每天的用水量更合适．18．(本小题满分12分)对某班甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值(单位：分)如下：问：(1)甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课较平衡？(2)该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分和总方差分别是多少？ 解 (1)x －甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x －乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，s 2甲＝15×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，s 2乙＝15×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，因为x －甲>x －乙，s 2甲>s 2乙，所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课较平衡． (2)因为甲同学的权重w 甲＝510，乙同学的权重w 乙＝510，所以该班甲、乙两名同学5门功课成绩的总平均分x －＝510×74＋510×73＝73.5，总方差s 2＝w 甲[s 2甲＋(x －甲－x －)2]＋w 乙[s 2乙＋(x －乙－x －)2]＝510×[104＋(74－73.5)2]＋510×[56＋(73－73.5)2]＝80.25.19．(本小题满分12分)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w 为整数，根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解 (1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.故用水量在[0.5,2.5]内的频率是0.1＋0.15＋0.2＋0.25＝0.7＜0.8，在[0.5,3]内的频率是0.1＋0.15＋0.2＋0.25＋0.15＝0.85＞0.8，因为w 为整数，所以为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为3立方米． (2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．20．(本小题满分12分)每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元．电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．(1)求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．解 (1)设事件A ＝“某人获得优惠金额不低于300元”，则P (A )＝150＋10050＋150＋100＝56.(2)由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，从中选出2人的样本空间Ω＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)}，共15个样本点，这15个样本点出现的可能性相等．设事件B ＝“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，则B ＝{(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，(c 1，c 2)}，共包含4个样本点，则P (B )＝415. 21．(本小题满分12分)近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．雾霾天气的形成与PM2.5有关，PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》，见下表：某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个城市的空气质量较好；(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天的空气质量等级为一级的概率．解 (1)甲城市抽取的样本数据分别是32,34,45,56,63,70；乙城市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.x －甲＝32＋34＋45＋56＋63＋706＝50， x －乙＝33＋46＋47＋51＋64＋716＝52.因为x －甲<x －乙，所以甲城市的空气质量较好．(2)由茎叶图，知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级，有4天的空气质量等级为二级，记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a ，b ，c ，d ，空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m ，n ，则从这6天中抽取2天，这个试验的样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )}，共有15个样本点，且这15个样本点出现的可能性相等．记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A ，则事件A 包含的样本点有(a ，m )，(b ，m )，(c ，m )，(d ，m )，(a ，n )，(b ，n )，(c ，n )，(d ，n )，共8个．所以P (A )＝815，即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为815. 22．(本小题满分12分)某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在一组的概率．解 (1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]的频率分别为0.04,0.08,0.5a,0.20,0.25,0.5a,0.07,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a ＋0.5a ，∴a ＝0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时，因为前5组频率和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，前4组频率和为0.47<0.5，所以2＜m <2.5，由0.50(m －2)＝0.5－0.47，得m ＝2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06.(3)由题意得，周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的人分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，Ad，BC，Ba，Bb，Bc，Bd，Ca，Cb，Cc，Cd，ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，抽取的2人在同一组包含的样本点有AB，AC，BC，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共9个，故所求概率P＝921＝37.。
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5.3.3 古典概型
课堂检测·素养达标
1.下列试验是古典概型的是( )
A.口袋中有2个白球和3个黑球,从中任取一球,基本事件为“取中白球”和“取中黑球”
B.在区间[-1,5]上任取一个实数x,使x2-3x+2>0
C.从一副扑克牌(去掉大、小王)中随机抽取一张,观察其是红桃、黑桃、方片还是梅花
D.某人走到一个路口遇到红灯或绿灯
【解析】选C.A中两个基本事件不是等可能的;B中基本事件的个数是无限的;D中“遇到红灯”与“遇到绿灯”不是等可能的;C符合古典概型的两个特征.
2.抛掷一枚骰子,出现偶数点的基本事件个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.因为抛掷一枚骰子出现数字的样本点有6个,它们分别是1,2,3,4, 5,6,故出现偶数点的样本点是3个.
3.在国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.用(A,B,C)表示A,B,C通过主席台的次序,则样本空间为Ω ={ (A,B,
C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A) },共6种,其中B先于A,C通过的有:(B,C,A)
和(B,A,C),共2种,故所求概率P==.
4. 一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同色的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】选A.把红球标记为红1、红2,白球标记为白1、白2,本试验的样本点共有16个,其中2个球同色的事件有8个:红1、红1,红1、红2,红2、红1,红2、红2,白1、白1,白1、
白2,白2、白1,白2、白2,故所求概率为P==.。