(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例题

反比例函数

、基础知识

k ..…............................................ k

1. 正义：一般地，形如y -（k为常数，k o）的函数称为反比例函数。y -

x x 还可以写成y kx 1

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做

比例系数k），分母中含有自变量x ,且指数为1.

⑵比例系数k 0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

①列表（应以。为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②描点（有小到大的顺序）

③连线（从左到右光滑的曲线）

.._ .. .. ._ .. … k.

⑵反比例函数的图像是双曲线，y - （k为常数，k 0）中自变量x 0,

x

函数值y 0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐

靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y x或y x）。

.. .. ................................. k .... 一… ... . .. ...................... k

⑷反比例函数y - （ k 0）中比例系数k的几何怠义是：过双曲线y -

x x （k 0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为|k。

4.

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点

的坐标即可求出k

6. “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数

一 .一 .. ...... ... k ..

但是反比例函数y -中的两个变重必成反比例关系。

x

7. 反比例函数的应用

、例题

2

【例1】如果函数y kx 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值

是多少？

k

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y - k 0）即y kx

x

（k 0） 乂在第二，四象限内，贝U k 0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：

2k 2

k 2 1

解得 k 1 或k 2 k 0

k 0 2

k 1

k 1时函数y kx 2k

2

k 2

为y 1

x

1 . .................... 【例2】在反比例函数y

一的图像上有二点x 1 ,

y 1

,

x 2 ,

y 2 , x 3 , y 3

x

若X x 2 0 x 3则下歹0各式正确的是（

）

A. y 3 y 〔 y B . * 霍 y 〔 C . y 〔 y y D . y 〔

* y

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法三：用特殊值法 （2,2），那么该直线与双曲线的另-个交点为（

【解析】 解法一：由题意得

y 1

-

x 〔

1

y 2

— ， y 3 x 2

x 3

x 1 x 2

0 x 3 ,

y 3 y 〔

y 2所以选A

解法二：用图像法, 在直角坐标系中作出 y 1 ,

-的图像

x

描出三个点，满足 x 〔 x 2 0 x 3观察图像直接得到y 3 y 〔

x 1 x 2 0 x 3,令x 1

2, x 2

1

1,x 3

1 y 〔

-,y 2

1必

V2

【例3】如果一次函数y mx n m 0与反比例函数y

3n x

m 的图像相交丁点 直线

y mx n

与双曲线y

\^x 相交丁 2"

1 -m

2 3n

2

解得 1

限的交点，且S AOB 2，则m 的值是

解：因为直线y x m 与双曲线y m 过点A,设A 点的坐标为

则有 y A X A m, y A —.所以 m X A Y A .

X A

乂点A 在第一象限，所以OB x A x A ,AB y A y A . 1 1 1

所以 S AOB — OB ? AB — x A y A — m.而已知 S AOB 2 .

2 2 2

所以m 4.

三、练习题

2 ___ _

1.

反比例函数y 《的图像位丁（ ）

x

A.第一、二象限 B .第一、三象限 C .第二、三象限 D .第二、四象限 2.

若y 与x 成反比例，x

与z 成正比例，贝U y 是2的（ ）

A 、正比例函数

B 、反比例函数

C 、一次函数 》不能确定

3. 如果矩形的面积为 6新，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为

直线为y 2x 1,双曲线为y ［解方程组

x

y 2x 1 1 y - x

X i 得

y i X 2 y 2

另一个点为

1, 1

【例4】 如图，在Rt AOB 中，点A 是直线y

x m 与双曲线y 切在第一象

x

XA W -