(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.2(2)
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高中数学选修2-2几个常见函数的导数课件
Δx
Δx
x(x +Δx)Δx
=
-
x2
+
1 xΔx
∴y' = lim Δy = lim(- 1 )= - 1
δx→0Δx δx→0 x2 + xΔx
x2
新知探究
探究
画出函数y = 1 的图像， x
根据图像，描述它的变化情 况，并求出曲线在点（1，1） 处的切线方程.
新知探究
结合函数图像及其导数
y'
新知探究
x 3. 函数y=f(x)= 2 的导数
证明：
∵ Δy = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)2 - x2
Δx
Δx
Δx
= x2 + 2x× Δx +(Δx)2 - x2 Δx
= 2x + Δx
∴y' lim Δy lim(2x + Δx) = 2x. x0 Δx x0
x
（3）求极限 y lim y . x0 x
课前导入
我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬 时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？ 上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.
课前导入
本节知识结构
Δx
Δx
Δx
=
1
x + Δx + x
∴y' = lim Δy = lim
1
=1
δx→0 Δx δx→0 x + Δx + x 2 x
新知探究
知识拓展
公式2:( x n ) nx n1 (n. Q)
人教版高中数学选修2-2第一章 导数及其应用 夯实基础第二节导数的计算(共54张PPT)教育课件
心
安
；
书
一
笔
清
远
，
盈
一
抹
恬
淡
，
浮
华
三
千
，
只
做
自
己
；
人
间
有
情
，
心
中
有
爱
，
携
一
米
阳
光
，
微
笑
向
暖
。
口
罗
不
是
。
•
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
正
式
给
人
一
种
威
严
感
。
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
以
说
知识点3 利用导数求曲线的切线方程 答案
知识点3 利用导数求曲线的切线方程
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
高中数学选修2-2第一章,1.1导数及其应用课件
A．在 x＝x0 处的斜率 B．在点(x0，f(x0))处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C．曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率 D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率 解析：选 C.根据 f′(x0)的几何意义知 C 正确．
第28页
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高中教材经典解读
2．在曲线 y＝x2 上的哪一点处的切线倾斜角为π4( D )
f(x)＝ x
第23页
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导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－x12 f′(x)＝21 x
高中教材经典解读
1．1.3 导数的几何意义
第24页
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高中教材经典解读
1．导数的几何意义
(1)割线斜率与切线斜率
设函数 y＝f(x)的图象如图所示，
AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线
第26页
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高中教材经典解读
2．函数的导数 当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f′(x)是 x 的一 个函数，称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作 y′，即 f′(x) ＝y′＝
第27页
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高中教材经典解读
C 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是( )
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高中教材经典解读
3．若函数 y＝2x2＋4x 在 x0 处的导数是 8，求 x0 的值． 解：根据导数的定义
f′(x)＝ΔΔyx＝
fx＋Δx－fx Δx
＝
2x＋Δx2＋4x＋Δx－2x2＋4x Δx
＝
4x·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
第28页
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高中教材经典解读
2．在曲线 y＝x2 上的哪一点处的切线倾斜角为π4( D )
f(x)＝ x
第23页
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导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－x12 f′(x)＝21 x
高中教材经典解读
1．1.3 导数的几何意义
第24页
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高中教材经典解读
1．导数的几何意义
(1)割线斜率与切线斜率
设函数 y＝f(x)的图象如图所示，
AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线
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高中教材经典解读
2．函数的导数 当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，f′(x)是 x 的一 个函数，称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作 y′，即 f′(x) ＝y′＝
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高中教材经典解读
C 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是( )
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高中教材经典解读
3．若函数 y＝2x2＋4x 在 x0 处的导数是 8，求 x0 的值． 解：根据导数的定义
f′(x)＝ΔΔyx＝
fx＋Δx－fx Δx
＝
2x＋Δx2＋4x＋Δx－2x2＋4x Δx
＝
4x·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
2018学年高中数学新选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运
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1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
返回
题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
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题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
数学选修2-2第一章导数及其应用09导数的综合应用 (共37张PPT)
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
• 预学2:函数极值的特点 • 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近 所有的点x，都有f(x)＜f(x0)，那么f(x0)是函数 的一个极大值，记作y极大值＝f(x0);如果对x0附 近的所有的点都有f(x)＞f(x0)，那么f(x0)是函 数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，极大值 与极小值统称为极值.导数f'(x)＝0的点不一定 是函数y＝f(x)的极值点，如使f'(x)＝0的点的 左、右的导数值异号，则是极值点，其中左 正右负点是极大值点，左负右正点是极小值 点.极大值未必大于极小值.
No.1 middle school ，my love ！
高中数学人教A版 选修2－2 第一章
四川省成都市新都一中 肖宏
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
• 函数与导数是高中数学的核心内容，函 数思想贯穿中学数学全过程.导数作为工 具，提供了研究函数性质的一般性方法. 作为“平台”，可以把函数、方程、不等 式、圆锥曲线等有机地联系在一起，在 能力立意的命题思想指导下，与导数相 关的问题已成为高考数学命题的必考考 点之一.函数与方程、不等式相结合是高 考的热点与难点.
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
• 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2， ＋∞)，单调递减区间为(1，2). • (3)由(2)知，函数f(x)在(0，1)和(2，＋∞)上单 调递增，在(1，2)上单调递减，且当x＝1或x ＝2时，f'(x)＝0. • 故函数f(x)的极大值为f(1)＝4ln 1＋1－6＋b＝ b－ 5， • 函数f(x)的极小值为f(2)＝4ln 2＋4－12＋b＝ 4ln 2－8＋b，
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
极值的综合应用
已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下 列命题：
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
f′(x) －
0
f(x)
不是极值
(0,3) －
3 (3，＋∞)
0
＋
极小值
故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2 0 极小值
(2，＋∞) ＋
∴当x＝2时，f(x)取得极小值． 答案： x＝2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.4
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： y′＝－x2＋81， ∴当 x>9 时，y′<0，当 x∈(0,9)时，y′>0， ∴函数 y＝－13x3＋81x－234 在(0,9)上递增，在(9，＋∞)上 递减． 故当 x＝9 时，y 有最大值．
答案： C
数学 选修2-2
C(x)＝
k 3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8
万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．4 生活中的优化问题举例
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消 耗费用为C(x)＝3x＋k 5，
再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x4＋0 5＋6x ＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： 点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上， ∴f(5)＝－5＋8＝3. 且f′(5)＝－1， ∴f(5)＋f′(5)＝2. 答案： 2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
高效测评 知能提升
1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别 与联系．会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方 程．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线 有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点 P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
1．导数几何意义的理解
如图，设曲线C上一点
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
导函数
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
高二人教版数学选修2-2课件：1.2.2 导数的运算法则
题型二 求曲线的切线方程
例 2 已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在点(1，0)处的 切线，l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2.
(1)求直线 l2 的方程； (2)求由直线 l1，l2 和 x 轴所围成的三角形的面积．
解析：(1)∵y′＝2x＋1，∴y′|x＝1＝3. ∴直线 l1 的方程为 y＝3(x－1)＝3x－3. 设直线 l2 过曲线 y＝x2＋x－2 上的点 P(x0，x20＋x0－2)， 则直线 l2 的方程为 y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)，∵l1⊥ l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－23.∴直线 l2 的方程为 y＝－13x －292.
►变式训练 1．求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－4x＋5； (2)y＝x2tan x； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (4)y＝xx－ ＋11. 分析：通过分析各函数解析式的结构特征，联系基 本初等函数求导公式求解．
解析：(1)y′＝(x4－3x2－4x＋5)′
＝(x4)′－(3x2)′－(4x)′＋5′
(2)因为 y＝x2＋csions xx，
所以
y′
＝
(x2)′
＋
sin cos
x x
′
＝2x＋cos2
x－sin x（－sin cos2 x
x）
＝2x＋cos12 x.
(3)y′＝2(x3)′＋(3 x)′＋(cos x)′
＝6x2＋ 1 －sin x.
3 3
x2
(4)y′＝lg
x＋1）
1（ ＝2 x
x－1）－2
1
（ x
（ x－1）2
x＋1） ＝ 2
－1－1 x（ x－1）2
高中数学选修2-2第一章-导数及其应用
选修2-2
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.2(2)
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第一章 导数及其应用
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复合函数求导的注意事项 (1)求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合 关系，选好中间变量． (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导， 不能混淆，如y＝cos 2x可由y＝cos u和u＝2x复合而成，第一步 为y对u求导，第二步为u对x求导． (3)复合函数求导后，要把中间变量换成自变量的函数 ． (4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练 后中间步骤可省略． 特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导数
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第一章 导数及其应用
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解析： (1)y′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′ ＝2x·ex＋x2·ex ＝(2x＋x2)·ex. (2)令u＝2x，y＝cos u， 则yx′＝yu′·ux′＝(cos u)′·(2x)′ ＝－2sin 2x.
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(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导 ，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
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第一章 导数及其应用
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
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3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
6分 8分
10 分 12 分
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1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线 上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系： 一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线 的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
2018学年高中数学选修2-2配套课件：第一章 导数及其应用1-2-1 精品
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝c_
f(x)＝ax
f′(x)＝ axln a (a>0，且a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝_e_x
1 f′(x) xln a ＝(a>0，且a≠1)
1
f′(x)＝_x__
答案
(2) y log1 x;
2
解 y′＝xl1n21＝－xl1n2；
重点突破
解析答案
(3)y＝cos π4；
解
y′＝cos
π4′＝0；
(4)y＝22x.
解 y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x·ln 4.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；
解 y′＝8x7；
(2)y＝12x； 解 y′＝12xln 12＝－12xln 2；
f′(x)＝kx＋b (k，b为常数) f(x)＝C(C为常数) f(x)＝x f(x)＝x2
f(x)＝ 1 x
f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝__k f′(x)＝__0 f′(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x f′(x)＝_－__x1_2
1
f′(x)＝_2__x
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答案
思考 (1)函数f(x)＝C，f(x)＝x，f(x)＝x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ 答案 常数函数f(x)＝C：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴， 斜率为0；当y＝C表示路程关于时间的函数时，y′＝0可以解释为某物体的瞬时 速度始终为0，即一直处于静止状态. 一次函数f(x)＝x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y＝x 表示路程与时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动； 一般地，一次函数y＝kx：导数y′＝k的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为 k，|k|越大，函数变化得越快. 二次函数f(x)＝x2：导数y′＝2x，几何意义为函数y＝x2的图象上点(x，y)处的切 线斜率为2x，当y＝x2表示路程关于时间的函数时，y′＝2x表示在时刻x的瞬时速 度为2x.
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答案： A
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2．函数y＝sin x·cos x的导数是( A．y′＝cos2x＋sin2x
)
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x
解析： cos2x－sin2x.
D．y′＝cos x·sin x
f x f′x gx′＝g′x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函
数积与商的求导公式中符号的异同， 积的导数法则中是“＋”， 商的导数法则中分子上是“－”．
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可导函数的和或差，即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′ ＝ f′1(x)± f′2(x) ±…±f′n(x)．
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(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数的 积与商的导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及
复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间 yu′·ux′ 即 y 对 x 的 导 数 等 于 ____________ 的 关 系 为 y ′ ＝ __________. y对u的导数
x
与u对x的导数的乘积 ． ____________________
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1.2.2 基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则(二)
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2
－2 ＝2x＋Δx＋ ， xx＋Δx
－2 2 2x＋Δx＋ ∴l i m ＝2x－x2. → xx＋Δx Δx 0
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[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
∵f′(x)＝8x＋4a，
∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 答案： 1
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4．求下列函数的导数：
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2．复合函数求导应注意的问题 (1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的，对于常 用的基本函数要熟悉． (2)求复合函数的导数，关键要分清函数的复合关系，特别
要注意中间变量．
(3)要注意复合函数的求导法则与四则运算求导法则的综合 运用．
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1．应用导数的运算法则应注意的问题 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定 义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即 可．
(2)对于和差的导数运算法则，此法则可推广到任意有限个
2 [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x2.
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自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评)＋g(x)的导数．
2 2 2 x＋Δx ＋ －x ＋x x＋Δx Δy [提示 2] Δx＝ Δx
y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝
答案： B
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3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________. 解析： f(x)＝4x2＋4ax＋a2，
导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x) 两个函数的 f′(x)＋g′(x) [f(x)＋g(x)]′＝________________ 和的导数 两个函数的 f′(x)－g′(x) [f(x)－g(x)]′＝________________ 差的导数 两个函数的 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) [f(x)·g(x)]′＝__________________ 积的导数 f′xgx－fxg′x f x 两个函数的 (g(x)≠0) 2 ′ [ g x ] 商的导数 gx ＝_____________________________
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1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．
2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
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2 已知 f(x)＝x ，g(x)＝x .
2
[问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？
[问题 4]
[提示 4]
试说明
π y＝cos3x－4如何复合的．
π 令 u＝g(x)＝3x－4，y＝f(u)＝cos u，
π ∴y＝f(u)＝f(g(x))＝cos3x－4.
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1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为(
A．1－sin 1 C．sin 1－1 B．1＋sin 1 D．－sin 1
)
1 解析： 因为 f′(x)＝－sin x＋x， 1 所以 f′(1)＝－sin 1＋1＝1－sin 1.故选 A.