高等代数与解析几何--考试样题
高等代数与解析几何考研试题 (2)
北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222222sin 1sin .sin sin ,,lim sup sin 11x x x x x x x x x x x x x x →+∞-≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到.2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()0.sin sin x x x x x x f x f x x x x x→+∞→+∞→+∞===--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。
（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的12()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.显然此12121()(1)(0,1).().2(1)f x x f x x -'=-=-在上是可微的而121()(0,1).2(1)f x x -'=-在上是无界的3．设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高等代数与解析几何练习题
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数与解析几何试卷答案
高等代数与解析几何试卷答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]暨 南 大 学 考 试 试 卷一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
共5小题，每小题4分，共20分）1． 下列关于欧式空间中内积的结论错误的是（ B ）。
A ．),(),(αββα=； B ．),(),(βαβα=k k ； C. ),(),(),(γβγαγβα+=+； D. 0),(≥αα。
2. 设1))(),((=x g x f ，则以下说法中错误的是（ B ）。
A ． 若)()()(x h x g x f ，则)()(x h x f ；B ． 对任意)(),(x v x u 都有1)()()()(=+x g x v x f x u ；C ． 如果)()(x h x f ，)()(x h x g ，则)()()(x h x g x f ；D ． )())()(),()((x h x h x g x h x f =，)(x h 为非零的首一多项式。
3. 曲线⎩⎨⎧=+=++y z x z y x 22222212对xOy 平面的射影柱面的方程为（ A ）。
A ． 01222=+--y y x ； B ． 02422=-++y z y ； C ． 12222=++z y x ； D ． y z x =+222。
4. 方程02410222=-++-y x y x 表示的曲线是（ B ）。
A ． 椭圆； B ． 双曲线； C ． 抛物线； D ． 无法确定。
5. （ C ）不是矩阵A 与B 相似的充分必要条件。
A ．A E -λ与B E -λ等价； B ．A 与B 有相同的不变因子；C ．A 与B 等价；D ．A 与B 有相同的初等因子。
二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。
共5小题，每小题4分，共20分）1. 2-x 除23223+-+x x x 的余式为 12 。
11-12(2)高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。
高等代数与解析几何期末考试试卷
部特征向量，其中 k1, k2 全不为零； (D) 若| A | = 0，则 A 至少有一个特征值为 0。
5、矩阵
A
=
⎜⎛ ⎜
2 0
0 2
0 0
⎟⎞ ⎟
，
B
=
⎜⎛ ⎜
2 0
1 2
0 0
⎟⎞ ⎟
，
B
=
⎜⎛ ⎜
2 0
1 2
0 1
⎟⎞ ⎟
，
则
。
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
(A) 任何两个矩阵都不相似； (B) A 与 B 相似；
α 2 = −ε1 + ε 2 + ε 4 ，则
是V1 的一组标准正交基。
3、R3 中的线性变换ϕ 把基α = (1,0,1)T ，β = (0,1,1)T ，γ = (0,0,1)T 变为基 (1,0,2)T ，(−1,2,−1)T ，
(1,0,0)T 则ϕ 在基α , β ,γ 下的矩阵为__________
绝
不题 作
(A) ϕ1( f (x), g(x)) = 1, ∀f (x), g(x) ∈V ；
弊
∫ (B)
ϕ2 ( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx,
0
∀f (x), g(x) ∈V ；
∫ ∫ (C)
ϕ3 ( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx −
0
0
f (x)g(x)dx,
自
觉
遵装
守 考订
试线 规
则内 ， 诚不 信
考得
试
，答 绝
得 分 六、设ϕ 是 n 维欧氏空间 V 上的正交变换，令 V1 = {α ∈ V | ϕ(α ) = α}，
高等代数与解析几何期末测试题
1．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则1()-=AB ．2．4阶行列式中含有因子1123a a 的项为 和 ．3．设矩阵200038025⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1A -= ．4．当k 满足条件 时，向量组12(,3,0), (1,,1),=-=--k k αα3(0,2,1)α=-线性相关．5．设A 是3阶方阵，2A =，则2-=A ． 6．若242(1)|1,x Ax Bx -++ 则A = ，B = ． 7. 计算下列n 阶行列式123123123123n n n n n x m x x x x x m x x D x x x m x x x x x m--=--.8. 设212134212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AX A X =+，求X .9. 设123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求（1）A ； （2）1A -.10. 设非齐次线性方程组123231231,63, 54,x x x x x x x bx a ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩当b a ,为何值时，此方程组(1) 无解；(2) 有唯一解；(3) 有无穷多解，并在有无穷多解时，写出其通解. 11. 求向量组12(1,0,2,1),(1,2,0,1),αα==3(2,5,1,4),α=-4(2,1,3,0)α=的秩及一个极大无关组，并用此极大无关组来线性表示其余的向量． 12. 设向量组123,,ααα线性无关，令1123,βααα=++213 23,βαα=+31233βααα=++，证明向量组123,,βββ线性无关. 13. 求经过直线120,:4320,+-+=⎧⎨-++=⎩x y z L x y z 且与直线212,:1=-+⎧⎨=⎩y x L z x平行的平面方程．14. 求解线性方程组12341234123431231/2 x x x xx x x xx x x x--+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=-⎩共2页，第2页。
《高等代数与解析几何》课程分章节经典练习题及参考解答
《⾼等代数与解析⼏何》课程分章节经典练习题及参考解答公众号ID：campusinout关注本⽂推送的练习与典型例题及参考解答对应于《⾼等代数与空间解析⼏何》课程学习、考研等通⽤的经典教材，由陈志杰编写、⾼等教育出版社的《⾼等代数与空间解析⼏何(第⼆版)》教材. 这些课后习题都是学习该课程，或者线性代数学习提⾼应知应会的、⾮常经典的练习题，不管是对于课程学习、还是考研等相关内容的复习、备考，都应该逐题过关、熟练掌握！注：本⽂内容由学友整理⾃⽹络搜索的⽂档，分享转载仅供学习参考，如原出处不允许转载分享，请告知删除，谢谢！更多通⽤教材课后习题分享在逐步完善中...《⾼等代数解析⼏何》练习题解答第⼀章向量代数1.1 向量的线性运算1.2 向量的共线与共⾯1.3 ⽤坐标表⽰向量1.4 线性相关性与线性⽅程组1.5 n维向量空间1.6 ⼏何空间向量的内积1.7 ⼏何空间向量的外积1.8 ⼏何空间向量的混合积1.9 平⾯曲线的⽅程第⼆章⾏列式2.1 映射与变换2.2 置换的奇偶性2.3 矩阵2.4 ⾏列式的定义2.5 ⾏列式的性质2.6 ⾏列式按⼀⾏（⼀列）展开2.7 ⽤⾏列式解线性⽅程组的克拉默法则2.8 拉普拉斯定理第三章线性⽅程组与线性⼦空间3.1 ⽤消元法解线性⽅程组3.2 线性⽅程组的解的情况3.3 向量组的线性相关性3.4 线性⼦空间3.5 线性⼦空间的基与维数3.6 齐次线性⽅程组的解的结构3.7 ⾮齐次线性⽅程组的解的结构，线性流形第四章⼏何空间中的平⾯与直线4.1 ⼏何空间中平⾯的仿射性质4.2 ⼏何空间中平⾯的度量性质4.3 ⼏何空间中直线的仿射性质4.4 ⼏何空间中直线的度量性质4.5 平⾯束第五章矩阵的秩与矩阵的运算5.1 向量组的秩5.2 矩阵的秩5.3 ⽤矩阵的秩判断线性⽅程组的解的情况5.4 线性映射及其矩阵5.5 线性映射及矩阵的运算5.6 矩阵乘积的⾏列式与矩阵的逆5.7 矩阵的分块5.8 初等矩阵5.9 线性映射的象空间与核空间第六章线性空间与欧⼏⾥得空间6.1 线性空间及其同构6.2 线性⼦空间的和与直和6.3 欧⼏⾥得空间6.4 欧⼏⾥得空间中的正交补空间与正交投影6.5 正交变换与正交矩阵第七章⼏何空间的常见曲⾯7.1 ⽴体图与投影7.2 空间曲⾯与曲线的⽅程7.3 旋转曲⾯7.4 柱⾯与柱⾯坐标7.5 锥⾯7.6 ⼆次曲⾯7.7 直纹⾯7.8 曲⾯的交线与曲⾯围成的区域第⼋章线性变换8.1 线性空间的基变换与坐标变换8.2 基变换对线性变换矩阵的影响8.3 线性变换的特征值与特征向量8.4 可对⾓化线性变换8.5 线性变换的不变⼦空间第九章线性空间上的函数9.1 线性函数与双线性函数9.2 对称双线性函数9.3 ⼆次型9.4 对称变换及其典范形9.5 反称双线性函数9.6 ⾣空间9.7 对偶空间第⼗章坐标变换与点变换10.1 平⾯坐标变换10.2 ⼆次曲线⽅程的化简10.3 平⾯的点变换10.4 变换群与⼏何学10.5 ⼆次曲线的正交分类与仿射分类10.6 ⼆次超曲⾯⽅程的化简第⼗⼀章⼀元多项式的因式分解11.1 ⼀元多项式11.2 整除的概念11.3 最⼤公因式11.4 不定⽅程与同余式11.5 因式分解定理11.6 重因式11.7 多项式的根11.8 复系数与实系数多项式11.9 有理系数多项式第⼗⼆章多元多项式12.1 多元多项式12.2 对称多项式12.3 结式12.4 吴消元法12.5 ⼏何定理的机器证明第⼗三章多项式矩阵与若尔当典范形13.1 多项式矩阵13.2 不变因⼦13.3 矩阵相似的条件13.4 初等因⼦13.5 若尔当典范形13.6 矩阵的极⼩多项式第⼗四章若尔当典范形的讨论与应⽤14.1 若尔当典范形的⼏何意义14.2 简单的矩阵⽅程14.3 矩阵函数14.4 矩阵的⼴义逆14.5 矩阵特征值的范围。
高等代数与解析几何复习题
高等代数与解析几何复习题(总18页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数与解析几何复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。
3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。
4.设矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。
（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。
6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。
7.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。
8.设矩阵200012035A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
9.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。
10.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩()R A = 。
11.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
12.设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==13.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。
14.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
15.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
16.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）。
17.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。
高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(000001λλλλ→ )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)1(0000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Z y Y xX == ----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx )24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分 因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-0024z yx ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（ α，A β）．证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高等代数与几何考试试题
高等代数与几何考试试题高等代数与几何是数学领域中非常重要的基础学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象能力和解决问题的能力有着至关重要的作用。
以下是一套涵盖了高等代数与几何主要知识点的考试试题，希望能够帮助同学们检验自己的学习成果。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、设矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，则 AB 等于（）A 19 22; 43 50B 19 26; 31 40C 19 22; 31 40D 19 26; 43 502、若向量组α1 ＝（1, 2, 3)，α2 ＝（2, 4, 6)，α3 ＝（1, 0, 0)线性相关，则（）A k1 ＝ 2k2B k1 ＝－2k2C k1 ＝ 3k2D k1 ＝－3k23、二次型 f(x1, x2, x3) ＝ x1^2 ＋ 2x2^2 ＋ 3x3^2 ＋ 4x1x2 6x2x3 的矩阵是（）A 1 2 0; 2 2 －3; 0 －3 3B 1 2 0; 2 2 3; 0 3 3C 1 2 －3; 2 2 0; －3 0 3D 1 2 －3; 2 2 0; －3 0 －34、设空间直角坐标系中，直线的方程为 x 1 ＝（y 2) ／ 2 ＝（z3) ／ 3，则直线的方向向量为（）A （1, 2, 3)B （1, 1/2, 1/3)C （1, 2, －3)D （1, －2, 3)5、若平面π的方程为 2x 3y ＋ 4z 5 ＝ 0，则平面π的法向量为（）A （2, －3, 4)B （2, 3, －4)C （－2, 3, 4)D （－2, －3, －4)6、设曲线的参数方程为 x ＝ t^2，y ＝ t^3，则在 t ＝ 1 处的切线方程为（）A 3x 2y 1 ＝ 0B 3x 2y ＋ 1 ＝ 0C 2x 3y 1 ＝ 0D 2x 3y ＋ 1 ＝ 0二、填空题（每题 5 分，共 30 分）1、设矩阵 A 的特征值为 1，2，3，则 det(A) ＝。
高等代数与解析几何--考试样题
嘉应学院数学与应用数学专业20XX 年本科插班生考试《高等代数与解析几何》考试样卷(A 卷)一、空间直线（共15分）1、已知点(2,1,1)A -，直线230:210x y l y z +-=⎧⎨++=⎩,与平面:230x y z π+--=.（1）求点A 到直线l 的距离；（5分）（2）求通过点A ，且与直线l 相交，又与平面π平行的直线的方程．（10分）二、空间曲面（共15分）已知空间曲线20:20x y z x z +-=⎧Γ⎨+=⎩，求曲线Γ绕直线1:211x y z l -==-旋转所生成的旋转面的方程.三、（10分）求()143234---+=x x x x x f 与()123--+=x x x x g 的最大公因式()()()x g x f ,。
四、（10分）计算n 阶行列式0111110111||1110111110A =K K M M M K M M K K 。
五、（10分）求下列线性方程组的全部解（用特解及其导出组的基础解系来表示）。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=+---=++++-=++++93586652435522624354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 。
六、（10分）解矩阵方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011111011220111X 七、（10分）求由向量i α张成的子空间和由i β张成的子空间的交与和的基与维数。
()()⎩⎨⎧==1,0,1,10,1,0,121αα，()()⎩⎨⎧==0,1,1,01,0,1,021ββ。
八、（10分）设AX X x x f n '),...,(1=是一实二次型，若有实n 维向量21,X X 使0',0'2211<>AX X AX X ，证明：必存在实n 维向量00≠X 使0'00=AX X 。
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
高等代数与空间解析几何期末试卷
诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2010 — 2011 学年第 二 学期期末考试试卷 《 高等代数与空间解析几何（II ） 》答题卷开课单位： 计算分院 ；考试形式：闭卷；考试时间：_2011_年_6_月_26_日； 所需时间： 120 分钟 一．___填空题__(本大题共___10__空，每空___2__分，共___20__分。
)1. 2.3. 4. 5.二．问答题（本大题共_ 4_题，每题_5_分，共_20_分。
）2.3.4.2.五．__证明题_(本题6分。
)浙江大学城市学院2010 — 2011 学年第 二 学期期末考试试卷 《 高等代数与空间解析几何（II ） 》试题卷注：答案及过程写入答题卷中才有效。
一．___填空题__(本大题共___10__空，每空___2__分，共___20__分。
)1．σ是3R 上的一个线性变换，则σ保持向量的 运算和 运算. 2．设[][][]123131,251,26TTTαααλ===， 则λ=时，123,,ααα线性相关，且极大无关组可以取为 ，其余向量被此极大无关组线性表示的表示式为 .3．设矩阵01000100A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么齐次线性方程组0A X=的通解为.4.已知3阶方阵A 的特征值为1,3,a ，且9A =，则,a=224A A E --=.5. 矩阵10002003A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦所对应的二次型为，且此二次型的秩为.二．问答题（本大题共_ 4_题，每题_5_分，共_20_分。
）1．集合{}123123123,,1,,,TV x x x x x x x x x =++=⎡⎤⎣⎦其中均为实数是线性空间吗？请说明理由.2．已知向量组[][][]12311,121,31,2,4T TTααα=-=-=，，，，以及[]3,5,2Tβ=，则β能否由123,,ααα线性表示，请说明理由.3．请写出一个与[]3P x 同构的线性空间并说明理由.4.若矩阵1232103x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦能对角化，则x 取何值？请说明理由.三．__简单计算题_(本大题共_6_题，每题均5分，共_30_分。
高等代数与解析几何易中版3.1
习题3.1 1. （1）a b a b +=- ；（2）a b a b +=+ ；（3）a b a b +=- ；（4）a b a b -=+ ；（5）a b a b -=-解：(1) a b ⊥ ; (2) a b 或等于零或//a b 且同向； （3）0b = 或//a b且反向，;a b ≥ （4）,a b 至少有一个0//a b 或且反向； （5）0//b a b = 或且同向，;a b ≥2．证明不等式a b a b +≤+ ，说明等号什么时候成立并将其推广.（1）等式成立⇔a b 或等于零或//a b 且同向，（2）1212.n n a a a a a a +++≤+++ 3．已知四边形ABCD 中，2,3,34AB a b BC a b CD a b =+=-+=-+ .试判定四边形ABCD 的形状。
解：当,a b 均为非零向量时，因为 393(3)3AD AB BC CD a b a b BC =++=-+=-+= ，所以//AD BC ， 而AB 不平行于CD ，所以四边形ABCD 为梯形.4．设,,L M N 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，证明：三中线向量,,AL BM CN 可以构成一个三角形. 解：设,,AB a AC b == 则111(),,,222AL b a BM b a CN a b =+=-=- 即 0,,,A L B M C N A L B M C N ++= 构成一个三角形. 5.证明：O 是ABC ∆的重心的充分必要条件是0OA OB OC ++=解：设D 为BC 的中点，则当O 为ABC 的重心时， 2,OA DO = 又1(),2OD OB OC =+ 所以220OA OB OC DO OD ++=+= . 反之，由02,2,OA OB OC OA OD OA DO =++=+= 得即O 为三角形ABC 的重心.6．叙述并用向量方法证明三角形的中位线定理.解：设,M N 分别是,AB AC 的中点，则11(),22MN AN AM AC AB BC =-=-= 故1//2MN BC 7．用向量方法证明四边形ABCD 是平行四边形的充分必要条件是它的对角线互相平分.证明：充分性：设四边形的对角线,AC BD 交于点O ，且设 ,AO OC a BO OD b ==== ，则 ,AD AO OD a b BC BO OC b a =+=+=+=+ ，所以 AD BC = 且AD BC = ，所以四边形是平行四边形. 必要性：设四边形ABCD 是平行四边形，E 为AC 的中点，所以11()22AE AC AB BC ==+ ,而 1111()()()2222B E A E A B A B BC A B B C A B B C B A BD =-=+-=-=+= 所以E 为BD 的中点，那么，平行四边形的对角线互相平分.得证8．设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明:4O A O B O C O D O M +++= 证明： ()()()()4OA OB OC OD OM MA OM MB OM MC OM MD OM +++=+++++++=9．设点O 是正多边形12n A A A 的中心，证明： （1）120n OA OA OA +++= （2）对任意一点P ,有12n PA PA PA nPO +++=证明： （1）由1322431121,,,,,n n n OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA λλλλ-+=+=+=+= 相加，得12(2)()0n OA OA OA λ-+++= ，显然2λ≠，故120n OA OA OA +++= . （2）由1212()()()n n PA PA PA nPO PA PO PA PO PA PO +++-=-+-++- 120n OA OA OA =+++= 立得.。
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嘉应学院数学与应用数学专业20XX 年本科插班生考试
《高等代数与解析几何》考试样卷(A 卷)
一、空间直线（共15分）
1、已知点(2,1,1)A -，直线230:210x y l y z +-=⎧⎨++=⎩
, 与平面:230x y z π+--=. （1） 求点A 到直线l 的距离；（5分）
（2） 求通过点A ，且与直线l 相交，又与平面π平行的直线的方程．（10
分）
二、空间曲面（共15分）
已知空间曲线20:20
x y z x z +-=⎧Γ⎨+=⎩，求曲线Γ绕直线1:211x y z l -==-旋转所生成的旋转面的方程.
三、（10分）求()143234---+=x x x x x f 与()123--+=x x x x g 的最大公因式()()()x g x f ,。
四、（10分）计算n 阶行列式011
1110111||111
0111110
A =。
五、（10分）求下列线性方程组的全部解（用特解及其导出组的基础解系来表示）。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=+---=++++-=++++9
3586652435522624354321543
215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 。
六、（10分）解矩阵方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011111011220
11
1
X 七、（10分）求由向量i α张成的子空间和由i β张成的子空间的交与和的基与维数。
()()⎩⎨⎧==1,0,1,10,1,0,121αα，
()()
⎩⎨⎧==0,1,1,01,0,1,021ββ。
八、（10分）设AX X x x f n '),...,(1=是一实二次型，若有实n 维向量21,X X 使
0',0'2211<>AX X AX X ，
证明：必存在实n 维向量00≠X 使0'00=AX X 。
九、（10分）设1α,2α,…,t α,β为线性空间V 中的向量。
若1α,2α,…,t α线性无关而1α,2α,…,t α,β线性相关，则β可由向量组1α,2α,…,t α线性表示，且表示法唯一。