龙海程溪中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)
2014-2015年福建省漳州市龙海市程溪中学高一(下)期中数学试卷和答案
2014-2015学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在某几何体的三视图中，主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R，则这个几何体的体积是（）A．πR3B．πR3C．πR3D．2．（5分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角3．（5分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A．B．C．D．4．（5分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6B．3C．12D．65．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BD C．A1D D．A1A6．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5B．x2+（y﹣2）2=5C．（x﹣2）2+y2=5D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=57．（5分）以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角C﹣AD﹣B为多大时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形（）A．30°B．60°C．90°D．45°8．（5分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2B．x+y=1C．x=1或y=1D．x+y=2或x﹣y=09．（5分）三视图如图的几何体的全面积是（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣2=0与直线l2：2x﹣5y+b=0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（）A．﹣4B．20C．0D．2411．（5分）已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，则此球的表面积为（）A．25πB．50πC．125πD．均不正确12．（5分）直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A．B．﹣1＜b≤1或C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上．13．（4分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．14．（4分）等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为．15．（4分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答案卡对应的区域内．17．（12分）某个几何体的三视图如图所示（单位：m）（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．21．（12分）已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB （如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB．（I）若M为棱AB的中点，求四面体EMCB的体积；（II）若M为棱AB上的动点，确定M的位置，使直线AD平行于平面EMC，并证明．22．（14分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．2014-2015学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在某几何体的三视图中，主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R，则这个几何体的体积是（）A．πR3B．πR3C．πR3D．【解答】解：由题意，这个几何体是球，故体积为πR3．故选：D．2．（5分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角【解答】解：直线x=tan60°与x轴垂直，倾斜角是直角．故选：A．3．（5分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A．B．C．D．【解答】解：方程y=ax+可以看作一次函数，其斜率a和截距同号，只有B 符合，其斜率和截距都为负．故选：B．4．（5分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6B．3C．12D．6【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，==12所以：S△OAB故选：C．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BD C．A1D D．A1A【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），E（，，1），∴=（﹣，﹣，1），=（1，1，0），=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣1），=（0，0，﹣1），显然•=﹣+0=0，∴⊥，即CE⊥BD．故选：B．6．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于y轴对称的圆的方程为（）A．x2+（y+2）2=5B．x2+（y﹣2）2=5C．（x﹣2）2+y2=5D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=5【解答】解：已知圆关于y轴对称的圆的圆心坐标为（2，0），半径不变，还是2，故对称圆的方程为（x﹣2）2+y2=5，故选：C．7．（5分）以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角C﹣AD﹣B为多大时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形（）A．30°B．60°C．90°D．45°【解答】解：∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠BDC为二面角C﹣AD﹣B的平面角．设AB=AC=1，则BD=CD=，若，△ABC为等边三角形，则BC=1，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，故选：C．8．（5分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2B．x+y=1C．x=1或y=1D．x+y=2或x﹣y=0【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或x﹣y=0．故选：D．9．（5分）三视图如图的几何体的全面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形，一条侧棱与底面垂直，且侧棱的长是1，∴四棱锥的表面积是1×+2×=2+故选：A．10．（5分）已知直线l1：ax+4y﹣2=0与直线l2：2x﹣5y+b=0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为（）A．﹣4B．20C．0D．24【解答】解；∵直线l1：ax+4y﹣2=0与直线l2：2x﹣5y+b=0互相垂直∴﹣×=﹣1解得：a=10∴直线l1：5x+2y﹣1=0∵（1，c）在直线5x+2y﹣1=0上∴5+2c﹣1=0 解得：c=﹣2又∵（1，﹣2）也在直线l2：2x﹣5y+b=0上∴2×1+5×2+b=0解得：b=﹣12∴a+b+c=10﹣12﹣2=﹣4故选：A．11．（5分）已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，则此球的表面积为（）A．25πB．50πC．125πD．均不正确【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故选：B．12．（5分）直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A．B．﹣1＜b≤1或C．D．【解答】解：化简得x2+y2=1注意到x≥0所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一四象限．这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，﹣1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1）．分别算出三个情况的B值是：﹣，﹣1，1．因为B就是直线在Y轴上的截距了，所以看图很容易得到B的范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上．13．（4分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．【解答】解：∵两直线平行，∴，故答案为﹣．14．（4分）等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为．【解答】解：将等边三角形绕其一边所在直线旋转一周所得几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．圆锥的高h=，圆锥的底面半径为，∴几何体的体积V=2×=．故答案为：πa3．15．（4分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是2个．【解答】解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是（﹣13，13）．【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即，c的取值范围是（﹣13，13）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答案卡对应的区域内．17．（12分）某个几何体的三视图如图所示（单位：m）（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体是由半球和正四棱柱组成，棱柱是正方体棱长为：2，球的半径为1，（1）该几何体的表面积=正方体的表面积+半球面面积﹣球的底面积．∴S=6×2×2+2π×12﹣π×12=24+π（m2）．（2）该几何体的体积为正方体的体积+半球的体积，V=2×2×2+×π×13=8+π（m3）18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【解答】解：直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即2x+y﹣11=0，解方程组得则C点坐标为（4，3）．设B（m，n），则M（，），，整理得，解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），y﹣3=（x﹣4），即6x﹣5y﹣9=0．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．【解答】解：（1）把圆C的方程化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心为C（﹣1，2），半径r=2．当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=1，C到l的距离d=2=r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，则=2，解得k=﹣．∴l的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），即3x+4y﹣15=0．综上，满足条件的切线l的方程为x=1，或3x+4y﹣15=0．（2）设P（x，y），则|PM|2=|PC|2﹣|MC|2=（x+1）2+（y﹣2）2﹣4，|PO|2=x2+y2．∵|PM|=|PO|，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣4=x2+y2，整理，得2x﹣4y+1=0，∴点P的轨迹方程为2x﹣4y+1=0．21．（12分）已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB （如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB．（I）若M为棱AB的中点，求四面体EMCB的体积；（II）若M为棱AB上的动点，确定M的位置，使直线AD平行于平面EMC，并证明．【解答】解：（I）由等腰梯形知识可得AE=DE=1，BE=2．∵DE⊥AE，AE⊥BE，BE⊂平面BCDE，DE⊂平面BCDE，DE∩BE=E，∴AE⊥平面BCDE，∴V A===，﹣BCE又M为AB的中点，∴V E=V M﹣BCE=V A﹣BCE=．﹣MCB（II）连结BD交CE于O，连结OM，∵AD∥平面MCE，AD⊂平面ABD，平面ABD∩平面MCE=OM，∴OM∥AD，∴，∵△OCD∽△OEB，∴，∴，即当M为AB靠近A点的三等分点时，AD∥平面MCE．22．（14分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，由，得5y2﹣16y+m+8=0，∴，．代入①得．（3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，∴所求圆的方程为．。
2014—2015学年高二下学期期中考试 数学理 Word版含答案
2014—2015学年高二年级下期期中试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上。
） 1、i 是虚数单位，计算23i i i ++=（ ）A.i -B.i C ．－1 D.12、若32A 12n n C =，则n =（ ）A.8B.7C.6D.4 3、6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种D ．4种4、化简()()()()43244464441x x x x -+-+-+-+得( )A.4xB.()44x -C.()41x + D.5x5、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有（ ） A.120 B.60 C.240 D.1806、设()f x '是函数f(x)的导函数，将y ＝f(x)和)(x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )7、在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.()00,0x R f x ∃∈=使A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8、已知函数()32f x x ax bx c =+++,那么下列结论中错误的是（ ） A. B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9、已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB →→⋅取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.131243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B. 448333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，C.133224⎛⎫⎪⎝⎭，， D.447333⎛⎫⎪⎝⎭，， 10、若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是（ ）211124x x <-+ B. 21ln(1)8x x x +-… C. 21x e x x ++… D. 21cos 12x x -…第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上。
福建省龙海市第二中学2014届高考数学第二学期期初模拟考试试卷 理
2014届龙海二中高三第一学期期初数学科高考模拟卷（考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线2214x y -=的一个焦点坐标是（ ）A．( B ．(2,0)- C． D ．（1，0）2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2,(3)xf x f =-则的值是（ ）A ．18B ．18-C ．8D ．-83．已知为虚数单位，a 为实数，复数2(1)z i ai =⋅+在复平面内对应的点为M ，则“0a >”是“点M 在第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下：且回归方程是0.95,6,y x a x y =+=则当时的预测值为（ ） A ．8.4 B ．8.3 C ．8.2 D ．8.15．用若干个棱长为1cm 的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为 （ ）6．已知集合231{|(6)(10)0,},()()nM m m m m N x n M x =--≤∈-∈若的二项展开式中存在常数项，则n 等于（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．107．在区间[0,]π上随机取一个数x ，则事件“sin cos x x +≥”发生的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．238．已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若直线1y kx =+将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是（ ）A ．15B ．14C ．13 D ．129．若双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98 BC.D.10．记集合31212323{1,2,3,4,5,6},{|,,,}101010a a a A M m m a a a A ===++∈，将M 中的元素按从小到大排列，则第70个是（ ） A ．0.264 B ．0.265 C ．0.431 D ．0.432第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。
2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题附答案
2014—2015学年度下学期期中考试高二数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点， 因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确2. 设函数()ln(23)f x x =-，则'1()3f = （ ）A ．13B ．12C ．2-D ． 3- 3．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若关于x 的方程330x x m -+=在[0, 2]上有根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[20]-，B ．[02]，C ．[22]-，D ．(2)(2)-∞-+∞，，5. 若当n →+∞时，1123(0)p p p pP n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表示为 （ ）A ．101dx x ⎰B ．10p x dx ⎰C ．101()p dx x ⎰D ．10()p xdx n⎰6. 已知函数1ln ()x f x x +=，在区间2(,)3a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是 （ ）A .( 0,1)B .(23，1) C .( 12，1) D .( 13, 1) 7. 已知z ∈C ，且|z |=1，则|z -2-2i |（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．BC .D .8. 平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）Ａ．3a Ｂ．4a Ｃ．3a Ｄ．4a 9. 函数y =x +cosx 的大致图象是(图中虚线是直线y =x ) （ ）10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） A ．12 B . 10 C . 8 D . 611．曲线y =x 2-ln x 上任意一点P 到直线y =x -2的距离的最小值是 （ ）A ． １B .C . ２ D.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1, f '(x )为f (x )的导函数，已知y =f '(x )的图象如右图所示，若两正数a ,b 满足f (2a +b )<1,则22b a ++ 的取值范围是 （ ） A . (- ∞, -3) B . (- ∞, 12)∪(3,+∞) C .(12，3) D . ( 13,12) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ． 14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ． 15. 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则f (x )= ．16．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax (a <0) 在区间（-∞，3a）内单调递减，则a 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共4小题，共36分)17．(本小题满分8分) 已知抛物线C ：y =-x 2+4x-3 .（1）求抛物线C在点A（0，－3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.18. (本小题满分8分) 已知函数ln ()x f xx.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知a、b∈R,a>b>e, (其中e是自然对数的底数), 求证:b a>a b.19．（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知f (x )=ax 2(a ∈R), g (x )=2ln x . （1）讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性；（2）是否存在实数a ，使得f (x )≥g (x )+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出a 的取值范围;（3）若方程f (x )=g (x )在区间]e 上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.2014-2015-2学期期中考试参考答案高二数学（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．-2i ． 14．20201． 15. 34x -． 16．(－∞，－1]． 三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)解：(1)24y x '=-+，1(0)4,(3)2k y y y '''====-， 所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是43y 26y x x =-=-+和，两条切线的交点是（3,32），………………4分 (2)围成的区域如图所示：区域被直线32x =分成了两部分，分别计算再相加，得： 3333222233022[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰33232233232200332211(23)(23)(6)(23)33x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94=即所求区域的面积是94. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）ln ()x f x x =, ∴21ln ()xf x x-'= ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>,∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增.∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是(,)e +∞. ………………4分 (2)证明:∵0,0a b b a >> ∴要证: abb a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证ln ln b ab a>.(∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b ab a>. ∴ abb a >………………8分 19．（本小题8分） 解：（1）依题设可得111212a ==⨯，211623a ==⨯， 3111234a ==⨯，4112045a ==⨯； ………………………3分（2）猜想：1(1)n a n n =+．………………………4分证明：①当1n =时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，即1(1)k a k k =+．…………………6分那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11k k kS ka k =-=+， 所以111(1)1k k ka k a k +++=-++， 从而111(1)(2)(1)[(1)1]k a k k k k +==+++++．即1n k =+时，猜想也成立． ………………………7分 故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分20.（本小题满分12分）解：（1）2()2ln ,(0,)F x ax x =-+∞其定义域为222(1)()2(0)ax F x ax x x x-'∴=-=>（i ）当a >0时，由ax 2-1>0得 x>,由ax 2-1<0得 0x<<.故当a >0时，F (x )的递增区间为)+∞，递减区间为.（ii ）当0,()0(0)a F x x '≤<>时恒成立故当0,()(0,)a F x ≤+∞时在上单调递减. ………………………4分 （2）即使()20F x x ≥>在时恒成立.（i ）当a≤0时，由（1）知当,().x F x →+∞→-∞则∴()20F x x ≥>在时不可能恒成立.， （ii ）当a>0时，由（1）可知min 1()11ln F x F a ==-=-11ln2a∴-≥只须即可 , ln 1a a e ∴≥∴≥ 故存在这样的a 的值，使得()()2()f x g x x R +≥+∈恒成立 a 的取值范围是[e ,+∞] ………………………8分（3）等价于方程22ln ()xa x x ϕ==在区间]e 上有两个不等解， ∵242ln 2(12ln )()x x x x x x ϕ-'==()x ϕ在区间上为增函数，在)e 上为减函数，∴max 1()x eϕϕ==，222ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=<===，min ln 2()2x ϕϕ== a 的取值范围是ln 21[,)2e………………………12分。
2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学附答案
2014——2015学年下期期中试卷高二理科数学（时间：120分钟，满分：150分）一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.关于x 的方程2250x x -+=的一个根是12i -，则另一根的虚部为( ) A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2- 2.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A. 3y x =B. ()ln y x =-C. x y xe -=D. 2y x x=+ 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111122341n -+-++=-11(24n n +++1)2n ++时，若已假设(2n k k =≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A.1n k =+时等式成立B. 2n k =+时等式成立C.22n k =+时等式成立D. ()22n k =+时等式成立 4．下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA |+|PB |=2a >|AB |,则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆22221x y a b +=的面积S =πabD.以上均不正确5．已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为( )A.[1,)-+∞ B .(,2]-∞ C.(,1),(1,2)-∞- D.[2,)+∞6.在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证假设时正确的是( )A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1D.以上都不对7.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技术比赛决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有( ) A.54种 B.48种 C.36种 D.72种 8．设dx x x m ⎰-+=112)sin (3，则多项式6)1(xm x +的常数项( )A.45-B.45C.1615- D.16159．下面四个图象中，有一个是函数()()()3221113f x x ax a x a R =++-+∈的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于( )A ．13B ．－13C ．53D ．－13或5310.已知()ln xf x x=，且3b a >>，则下列各结论中正确的是( ) A.()2a b f a f ab f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B. )()2a b f ab f f b +⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. ()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭D. ()2a b f b f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭11.函数()()()2242,20,02x x f x x x x ⎧--≤<⎪=-≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．1π+ B. 5π- C. 3π- D. 1π-12.函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈，都有()()2f x f x '>成立，若()ln 42f =，则不等式()2xf x e >的解是( )A. ln 4x >B. 0ln 4x <<C. 1x >D. 01x <<二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭．14.已知i 为虚数单位，则232015i i i i++++= ．15．已知函数()324()3f x x ax a a R =+-∈，若存在0x ，使()f x 在0x x =处取得极值，且()00f x =，则a 的值为 ．16．计算12323nn n n nC C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法： 构造等式：0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导， 得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+= ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设,,,0.z a bi a b R b =+∈≠, 且1z zω=+是实数，且12ω-<<. (1)求z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；18.（本小题满分12分）从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告．（1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？（2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配方法？19.（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274. （1）求()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20.（本小题满分12分）已知函数()22ln f x x a x =+．（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为2，求函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程；（2）若函数)(2)(x f xx g +=在[]2,1上是减函数，求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，（其中*n N ∈）. （1）求0a 及12n n s a a a =+++；（2）试比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，并用数学归纳法给出证明过程.22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1af x x a R x =+∈+ （1）当92a =时，如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小；（3）求证：()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.高二 理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13. 3π-14.1- 15.3± 16. ()221-+n n n三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【解析】（1）,,,0.z a bi a b R b =+∈≠22221()a b a bi a b i a bi a b a b ω⎛⎫∴=++=++- ⎪+++⎝⎭ω是实数，0b ≠，221a b ∴+=即||1z =,2,12a ωω=-<<z ∴的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；………………………………5分（2）()()()()()2222111112111111a bi a bi z a bi a b bi bu i z a bi a bi a bi a a b --+-------=====-++++++-+++ 1,1,02a b ⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭u ∴为纯虚数. ……………………………………………………10分 18.【解析】（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关．每大项中选派一人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有144C =种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有246C =种． ∴有124410C C +=种． ……………………………………………………………………6分 (2)从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有2243464564227800C C C C A A ⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法． ……………………………………………12分19.【解析】 (1)由(0)0f =得0c =， ………………………………………2分2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =， ………………………………………4分∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为27[()]4af x dx --=⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. ………………………8分 （2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：又(3)0f =,①当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；②当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………………11分综上可知：当03m <≤时, max ()(0)0f x f ==；当3m >时, 32max ()()3.f x f m m m ==- …………………………………12分20.【解析】（1）()22222a x a f x x x x +'=+=，由已知()22f '=，解得2a =-.……2分 ()24ln f x x x ∴=-,()42f x x x'=-()11f ∴=,()12f '=-……………………………4分∴函数()f x 的图象在()()1,1f 的切线方程为()121y x -=--即230x y +-=. ……6分（2）由g(x)＝2x ＋x 2＋2aln x ，得g ′(x)＝－22x ＋2x ＋2a x， ……………………7分 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－22x ＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．…………8分 令h(x)＝1x －x 2，在[1,2]上h ′(x)＝－21x －2x ＝－(21x＋2x)＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min ＝h(2)＝－72，所以a ≤－72．……………11分故实数a 的取值范围为{a|a ≤－72}. …………………………………………………12分21.【解析】（1）取1x =，则02n a =； ………………………………………………2分 取2x =，013n n a a a +++=，1232n n n n s a a a ∴=+++=- ……………………4分（2）要比较n s 与()2222n n n -⋅+的大小，即比较3n 与()2122n n n -⋅+的大小. 当1n =时， ()23122n n n n >-⋅+； 当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+；当4,5n =时， ()23122n n n n >-⋅+； …………………………………………………6分猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：…………………7分 由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+成立. …………………………………………11分综上所述，当1n =或4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+；当2,3n =时， ()23122n n n n <-⋅+.………………………………………12分22.【解析】（1）当92a =时，()()9ln 21f x x x =++，定义域是()0,+∞.()()()()()22212192121x x f x x x x x --'=-=++ 令()0f x '=，得12x =或2x =.……………………………………………………………2分 当102x <<或2x >时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，∴函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. …………………4分∴()f x 的极大值是132ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值是()32ln 22f =+.当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，∴当()()g x f x k =-仅有一个零点时，实数k 的取值范围是()3,ln 23ln 2,2⎛⎫-∞+-+∞⎪⎝⎭.……………………………………………………………5分（2）当2a =时，()2ln 1f x x x =++，定义域是()0,+∞. 令()()21ln 11h x f x x x =-=+-+，则()()()222121011x h x x x x x +'=-=>++ ()h x ∴在()0,+∞上是增函数. …………………………………………………………7分 当1x >时，()()10h x h >=，即()1f x >；当01x <<时，()()10h x h <=，即()1f x <； 当1x =时，()()10h x h ==，即()1f x =；………………………………………………9分 （3）根据（2）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1x x x ->+. 令*1k x k N k +=∈，，则有2ln 11x x +>+，即1111ln1211k k k k k k k+-+>=+++ ()231111ln 1ln ln ln123521n n n n +∴+=+++>++++， 即()()*1111ln 135721n n N n +>++++∈+.…………………………………………12分。
2014-2015学年高二第二学期期中考试数学试卷
2014—2015学年度第二学期模块测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 是虚数单位，若复数z 满足(2i)7i z -=-，则z 等于（ ）A ．13i +B ．13i -C ． 3i -D ．3i +1．复数52i=+ A ．2i - B ．21i 55+ C ．105i - D ．105i 33- 5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(e)ln f x xf x '=+，则(e)=f 'A ．1B ．－1C ．－e －1D ．－e 6．若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,20sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b << 7．曲线311y x =+在点(1,12)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是A ．75B ．752C ．27D ．2728．已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===，现给出如下结论：①(0)(1)0f f ⋅>；②(0)(1)0f f ⋅<；③(0)(3)0f f ⋅>；④(0)(3)0ff ⋅<其中正确结论的序号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．设a R ∈,若函数e ,x y ax x R =+∈有大于零的极值点,则A ．1a <-B ．1a >-C ．1e a >-D ．1ea <- 10．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则 A ．ππ3()2()43f f > B ．(1)2()sin16πf f < C ．ππ2()()64f f > D ．ππ3()()63f f < 2．函数1()f x x =的图象在点(2,(2))f 处的切线方程是（ ） A. 40x y -= B. 420x y --= C. 210x y --= D ．440x y +-= 3．已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与x 轴所围成的封闭图形的面积等于（ A. 54 B ．π2 C ．43 D. 324.()f x '是函数()y f x =的导函数，()y f x '=图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能是（ ）yO 1 x-1 -1 (A) （B ） （C ） （D ）5．函数2()e x f x x =⋅的单调递减区间是（ ）（A ）(2,0)- B ）(,2)-∞-，(0,)+∞（C ）(0,2)（D ）(,0)-∞，(2,)+∞6．“1b ≥-”是“函数21([1,))y x bx x =++∈+∞为增函数”的（ ）A ）充分但不必要条件B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不是充分条件也不是必要条件8． 设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a =为常数），使得)()(x g x f ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知()g x ax =是函数()e x f x =的一个承托函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A. 1(0,]e B ．1[0,]eC ．(0,e]D ．[0,e]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9. 已知复数1i 1iz -=+，其中i 为虚数单位，那么||z =________. 11. 如果函数()sin f x x =，那么ππ()()66f f '+= ___________. 12．已知322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b ⋅=__________.13．已知函数3()3f x x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =__________.14．已知函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫-⎪⎝⎭上可导，其图象如图，记()y f x =的导函数()y f x '=，则不等式()0xf x '≤的解集是__________. 15．若函数21()43ln 2f x x x x =-+-,x 在[],1t t +上不单调，则t 的取值范围是__________. 16．若关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为__________.12. 函数ln ()x f x x=的最大值为___________. 13. 过点)6,25(，与抛物线2x y =相切的直线方程为 ．14．设函数()1n n f x x x =+-，其中*n ∈N ，且2n ≥. 给出下列三个结论：①函数3()f x 在区间1(,1)2内不存在零点；②函数4()f x 在区间1(,1)2内存在唯一零点；③设(4)n x n >为函数()n f x 在区间1(,1)2内的零点，则1n n x x +<.其中所有正确结论的序号为___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .18．已知函数21()e 2x f x x -=-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设b ∈R ，求函数)(x f 在区间[,1]b b +上的最小值.19．设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞. （Ⅰ）当1n =时，写出函数()1y f x =-零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线1l y =：的两侧，求n 的所有可能取值.17．已知函数()e 1x f x x =--（1）求函数()f x 的最小值；（2）设21()2g x x =，求()y f x =的图象与()y g x =的图象的公共点个数。
2014-2015学年高二下数学(理科)试题(含答案)
2014-2015学年度高二第二学期期中考试数学（理科）试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 实数，满足，则的值是（）A．1 B．2 C．D．2. 观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（）A． B．C． D．3. 类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，，其中，且，下面正确的运算公式是（）①；②；③；④.A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④4. 设函数处可导，则（）A． B． C． D．5. 的展开式中，的系数是（）A．B．C．297 D．2076. 某校有六间不同的电脑室，每天晚上至少开放两间，欲求不同安排方案的种数，现有3位同学分别给出了下列三个结果：①；②；③，其中正确的结论是（）A．①B．①与②C．②与③D．①②③7. 曲线与直线以及轴所围图形的面积为（ ） A ．2 B ．C ．D ．8. 若，，，则以下结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．，大小不定 9. 已知复数，，若，则（ ） A ．或B ．C ．D ．10．若函数在定义域R 内可导，，且，，，，则的大小关系是( ) A ．B ．C ．D ．第卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 定义运算，则符合条件的复数__________．12. 若，且，则__________．13. 已知，若，则_____________（填）.14. 如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是________．1 21 21 31 41 31 41 71 71 41 51 111 111 111 51 …………………………15._________.三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知复数，当实数为何值时:（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数对应的点在第四象限．17.（本小题满分12分）(1)若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；(2)已知的展开式中, 的系数是的系数与的系数的等差中项,求；(3)已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,求.18.（本小题满分12分）已知函数，数列满足，．（1）求；（2）猜想数列的通项，并用数学归纳法予以证明．19.（本小题满分12分）对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和.（1）试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）与产量之间的函数关系式；（2）当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？20.（本小题满分13分）已知为实数，.（1）求导数；（2）若是函数的极值点，求在区间上的最大值和最小值；（3）若在区间和上都是单调递增的，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：ABDCD CAABD二、填空题:11. 12. 11; 13. ; 14. ; 15. -99！三、解答题:16.解：（1）由，得或.所以，当或时，为实数；………………………………………………………………3分（2）由，得且.所以，当且时，为虚数；………………………………………………………6分（3）由得．所以，当时，为纯虚数；………………………………………………………………………9分（4）由得所以，当时，复数对应的点在第四象限．…………………………………………12分17.解：（1）的二项式系数是，的二项式系数是.依题意有………………………1分……………………………………………………………………………4分（2）依题意，得…………………………………………………………………5分即……………………………………………………………………8分（3）依题意得………………………………………………………………9分…………………………………………………………………………………………10分即解得，或所以.………………………………………………………………………………12分18.解：（1）由题意，得，，，．………………………………………………3分（2）猜想：.………………………………………………………………5分证明：①当时，，结论成立. ……6分（注：不写出的表达式扣1分）②假设当时，结论成立，即，…………………………………………7分那么，当时，………………………………………………………10分这就是说，当时，结论成立.………………………………………………………………11分由①，②可知，对于一切自然数都成立．……………………………12分19.解：（1）……………………………………………………………2分即……………………………4分（注：不写定义域“”扣1分）（2） (5)分令，得或……………………………………………………………………………………6分 当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值由上表可知：是函数的唯一极大值点，也是最大值点.所以，当时，取得取最大值.…………………………………………………………………………………………………………11分答：当产量为15时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元. ……………………12分 20. 解：（1），．………………………………………………………………………………3分（2）由，得.，．……………………………………………………6分由，得或．…………………………………………………………………………………7分又，，，，在区间上的最大值为，最小值为．……………………………………………9分（3）的图象是开口向上且过点的抛物线.由已知，得……………………………………………………………………………11分，的取值范围为．……………………………………………………………………………13分21. 解：（1）当时，，．令，得…………………………………………………………………………………………1分当时，；当时，.…………………………………………………2分因此，的单调递减区间是，单调递增区间是.………………………………3分（2）由可知：是偶函数．于是，对任意恒成立等价于对任意恒成立．……………………………………………………………………………4分由，得．…………………………………………………………………………………………5分①当时，，此时,在区间上单调递增．故，符合题意．…………………………………………………………………6分②当时，．当变化时，的变化情况如下表：极小值由上表可知：在区间上，．……………………………………8分依题意，得.又．综上：实数的取值范围是．……………………………………………………………………9分（3），当，且时，，即，………………………………………………………………………12分，，…，，故11 ．………………………………………………………14分。
福建省龙海程溪中学14—15学年下学期高一期中考试数学试题(附答案)
龙海程溪中学2014-2015学年下学期期中考高一数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为R ，则这个几何体的体积是( )A ．13πR 3B ．23πR 3C ．πR 3D ．43πR 32．直线x ＝tan 60°的倾斜角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．不存在 3．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )4．如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△AOB 的面积是( ) A ．6 B ．3 2 C ．12 D ． 6 2（第4题）5．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1 6．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于y 轴对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝57．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角C －AD －B 为多大时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．( ) A ． 30° B ．60° C ． 90° D ． 45°8．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是()A．x＋y＝2 B．x＋y＝1C．x＝1或y＝1 D．x＋y＝2或x＝y9．三视图如图所示的几何体的全面积是()A．2＋ 2 B．1＋ 2C．2＋ 3 D．1＋ 310．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a ＋b＋c的值为()A．0 B．20 C．－4 D．2411．已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为()A．25π B．50πC．125πD．均不正确12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个公共点，则b的取值范围是() A．|b|＝ 2 B．－1<b<1或b＝－ 2C．－1<b≤1 D．－1<b≤1或b＝－ 2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上。
2015-2016年福建省漳州市龙海市程溪中学高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
5． （5 分）若曲线 f（x）＝x4﹣x 在点 P 处的切线平行于直线 3x﹣y＝0，则点 P 的坐标为（ A． （﹣1，2） ） B． （1，﹣3） C． （1，0） D． （1，5）
6． （5 分）用反证法证明命题： “已知 a、b∈N*，如果 ab 可被 5 整除，那么 a、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ A．a、b 都能被 5 整除 C．a、b 不都能被 5 整除 ）
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2015-2016 学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下） 期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题；每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1． （5 分）复数 z＝2﹣3i 对应的点 z 在复平面的（ A．第一象限 B．第二象限 ） D．第四象限
一、选择题（本大题共 12 个小题；每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1． （5 分）复数 z＝2﹣3i 对应的点 z 在复平面的（ A．第一象限 2． （5 分）若 A A．1 B．第二象限 ＝10A B．8 ，则 n＝（ ） D．第四象限
C．第三象限 ） C．9
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12． （5 分）已知函数 f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1 在（﹣∞，+∞）上是单调函数， 则实数 a 的取值范围是（ A． C． ） B． D．
龙海程溪中学高二年级下学期期中考试数学Word版含答案
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龙海市程溪中学高二下学期期中考试数学 Word 版含答案
10. 设 是定义在 R 上的奇函数，
，当 时，有
恒成
立，则
的解集为
A.
B.
C.
D.
11. 如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供
栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色
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龙海市程溪中学高二下学期期中考试数学 Word 版含答案 率； Ⅲ 若三个人参加交通法规考试，用 X 表示这三人中考试合格的
人数，求 X 的分布列与数学期望．教育精品
22. 已知函数
．
Ⅰ 当 时，求曲线 在点
处切线的方程；
Ⅱ 求函数 的单调区间；
Ⅲ当
时，若
恒成立，求 a 的取值范围．教育精品
不同，则最多有几种栽种方案 教育精品
A. 180 种 B. 240 种 C. 360 种 D. 420 种
12. 已知函数 满足
，且当
时，
立，若
成 ，则
的大小关系是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若
，则
______ ．
14. 在口袋中有不同编号的 5 个白球和 4 个黑球，如果不放回地依次取两个
5. 已知
为虚数单位，若
为纯虚数，则 a 的值为
A. 2B. 1C. D.
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龙海市程溪中学高二下学期期中考试数学 Word 版含答案
6. 函数
的图象大致为
A.
B.
C.
D.
7. 已知
福建省漳州市龙海市程溪中学2015-2016学年高二下学期
2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．103．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b88．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=09．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=．14．计算定积分：∫dx=．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）16．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．18．设函数f（x）=ln（2x+3）+x2（1）讨论f（x）的单调性；（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？21．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选D．2．若A=10A，则n=（）A．1 B．8 C．9 D．10【考点】排列及排列数公式．【分析】利用排列数的计算公式即可得出．【解答】解：∵A=10A，∴2n（2n﹣1）（2n﹣2）=10n（n﹣1）（n﹣2），化为：4n﹣2=5n﹣10，则n=8．故选：B．3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错【考点】演绎推理的基本方法．【分析】对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解：∵当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．4．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【考点】定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意；选项B，（x+1）dx=（x2+x）=+1=，不满足题意；选项C，1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．5．若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1，0）D．（1，5）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可．【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f（x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，所以过点P的切线的斜率k等于直线3x﹣y=0的斜率，即k=3，则f′（a）=4a3﹣1=3，解得a=1，把a=1代入得：f（1）=0，则点P的坐标为（1，0）．故选C6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8【考点】类比推理；等比数列的性质．【分析】类比等差数列{a n}与等比数列{b n}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．8．复数a+bi（a，b∈R）的平方是实数等价于（）A．a2+b2=0 B．a=0且b=0 C．a≠0 D．ab=0【考点】复数相等的充要条件．【分析】计算复数a+bi（a，b∈R）的平方计算出来，写成代数形式，须虚部为0，再进行选择．【解答】解：（a+bi）2=（a2﹣b2）+2a b i，若是实数，则虚部a b=0，故选D9．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．【解答】解：∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故选C．11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．12．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x轴没有交点或只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选B二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．计算=2﹣ī．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：因为复数===﹣i+2故答案为：2﹣ī．14．计算定积分：∫dx=．【考点】定积分．【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=﹣3所围成的图形的面积即可．【解答】解：解：由定积分的几何意义知∫dx是由曲线y=，直线x=0，x=﹣3围成的封闭图形的面积，故∫dx==，故答案为：．15．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：1416．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n个三角形数为．【考点】归纳推理．【分析】设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，依此类推，可得第n个图中点的个数=n，将得到的式子，相加可得答案．比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1【解答】解：设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；由图可得：第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2﹣a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3﹣a2=3，…=n，第n个图中点的个数比第n﹣1个图中点的个数多n，即a n﹣a n﹣1则a n=1+2+3+4+…+n=；故答案为．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】（1）根据题意，把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将6个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案，（2）根据题意，4名男生互不相邻，应用插空法，要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，（3）根据题意，先在7个空位中任选3个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有1种站法，由分步计数原理计算可得答案，（4）根据题意，分2种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．【解答】解：（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A 22种顺序，将6个元素进行全排列，有A 66种情况，则共有A 66A 22=1440种不同站法；（2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A 33种情况，排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A 44种情况，共有A 33A 44=144种不同站法；（3）根据题意，先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可，有A 73种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站，则男生的顺序只有一个，将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况， 则共有1×A 73=210种不同站法；（4）根据题意，分2种情况讨论：①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A 52种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时有2×A 52×A 44=960种不同站法，②、老师不在两端，则老师有4种站法，中间还有4个位置可站女生，女生有A 42种站法，男生站剩余的4个位置，有A 44种站法，此时共有4×A 42×A 44=1152种不同站法，则老师不站中间，女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．18．设函数f （x ）=ln （2x+3）+x 2（1）讨论f （x ）的单调性；（2）求f （x ）在区间[﹣，]的最大值和最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f ′（x ）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知f （x ）在区间[﹣，]的最小值为f （﹣）求出得到函数的最小值，又因为f （﹣）﹣f （）＜0，得到f （x ）在区间[﹣，]的最大值为f （）求出得到函数的最大值．【解答】解：f （x ）的定义域为（﹣，+∞）（1）f′（x）=+2x=当﹣＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；当x＞﹣时，f′（x）＞0从而，f（x）在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣）上单调递减（2）由（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）=ln2+又f（﹣）﹣f（）=ln+﹣ln﹣=ln+=（1﹣ln）＜0所以f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）=+ln．19．已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2 （1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．【考点】函数与方程的综合运用；定积分．【分析】（1）用待定系数法设出解析式，据△=0，和f′（x）=2x+2确定结果．（2）利用定积分求曲边图形面积，找准积分区间和被积函数．【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f'（x）=2x+2．∴可设f（x）=x2+2x+c．又∵方程f（x）=0有两个相等实根，∴△=4﹣4c=0⇒c=1，∴f（x）=x2+2x+1（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点（0，1），（﹣3，4），∴两函数图象所围成的图形的面积为=．20．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm321．数列{a n}满足：a1=，前n项和S n=a n，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）根据，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a1，a2，a3，a4；（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a n，然后利用数学归纳法进行证明即得．【解答】解：（1）∵，∴令n=2，，即a1+a2=3a2．∴．令n=3，得，即a1+a2+a3=6a3，∴．令n=4，得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．①当n=1时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即，则当n=k+1时，=，即．∴∴．∴当n=k+1时结论成立．由①②可知，对一切n∈N+都有成立．22．已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．（1）求直线l的方程及实数m的值；（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜．【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明．【分析】（1）先根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程，最后将切线方程与联立方程组，使方程组只有一解，利用判别式建立等量关系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，ln（1+）＜即可得出f（a+b）﹣f（2a）＜．【解答】解：（1）∵，∴f'（1）=1．∴直线l的斜率为1，且与函数f（x）的图象的切点坐标为（1，0）．∴直线l的方程为y=x﹣1．又∵直线l与函数y=g（x）的图象相切，∴方程组有一解．由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①依题意，方程①有两个相等的实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0解之，得m=4或m=﹣2∵m＜0，∴m=﹣2．（2）由（1）可知，∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．∴．∴当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0．∴当x=0时，h（x）取最大值，其最大值为2，（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln=ln（1+）．∵0＜b＜a，∴﹣a，∴．由（2）知当x∈（﹣1，0）时，h（x）＜h（0）∴当x∈（﹣1，0）时，ln（1+x）＜x，ln（1+）＜．∴f（a+b）﹣f（2a）＜2016年7月3日。
福建省龙海程溪中学2014～2015学年下学期期中考高二年试卷数学理科
程溪中学2014-2015学年下学期中考高二数学<理科>试题〔考试时间：120分钟 总分：150分〕一、选择题〔本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
〕1．设复数z 的共轭复数是z ,z ＝3＋i,则z1等于<> A ．3＋i B ．3－iC.错误!i ＋错误! D.错误!＋错误!i2．若a ∈{1,2,3,5},b ∈{1,2,3,5},则方程y ＝错误!x 表示的不同直线条数为<>A ．11B ．12C ．13D ．143．正弦曲线y ＝sin x 上一点P,以点P 为切点的切线为直线l,则直线l 的倾斜角的范围是<>A.错误!∪错误!B ．[0,π>C.错误!D.错误!∪错误!4．已知7781n n n C C C +-=,则n 的值是〔〕 〔A 〕12 〔B 〕13 〔C 〕14 〔D 〕155．函数x e x y 2=的单调递减区间是 〔 〕A ．<–1, 2>B ．<–∞, –1>与<1, +∞>C ．<–∞, –2>与<0, +∞>D ．<–2,0>6．"函数)(x f y =在一点的导数值为0”是"函数)(x f y =在这点取极值"的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．使函数f<x>=x+2cosx 在［0,2π］上取最大值的x 为 〔 〕 A.0 B.6π C.3π D.2π 8．某城市的汽车牌照由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照共有〔 〕A ．()2142610C A 个B ．242610A A 个C ．()2142610C 个 D ．242610A 个 9．如图,阴影部分的面积为<>A ．2错误!B ．2－错误!C.错误!D.错误!10．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为〔 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题〔本题共5小题,每小题４分,共20分〕11．ʃ错误!错误!dx ＝____________.12．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是13.定义在R 上的可导函数()f x ,已知)('x f y =的图象如图所示,则()y f x =的增区间是.14．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的极大值与极小值分别为,M m ,则M m -=15．如图〔1〕,在三角形ABC 中,AB AC ⊥,若AD BC ⊥,则2AB BDBC =·；若类比该命题,如图〔2〕,三棱锥A BCD -中,AD ⊥面ABC ,若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ,则有___________。
福建省龙海市高二数学下学期期中试题 理
福建省龙海市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数()231i -的值是（ ）A ． 32iB ．32i - C ．i D ．i -2.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，n ＞1)，第一步应验证不等式（ ）A.1＋12<2B.1＋12＋13＜3C.1＋12＋13＋14＜3D.1＋12＋13＜23．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x = 是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 4.若25p a a =+++ ，34q a a =+++，0a ≥，则p 、q 的大小关系是（ ）A.p q >B.p q =C.p q <D.由a 的取值确定5．2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P （B|A ）=（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知随机变量η=8﹣ξ，若ξ～B （10，0.6），则Eη，Dη分别是（ ） A ．6和2.4 B ．2和5.6 C ．6和5.6 D ．2和2.4 7．设（2﹣x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5，那么的值为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣18．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ．240B ．300C ．150D ．1809.512x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）A ．252B ．-252C ．160D ．-160 10.已知随机变量X 服从正态分布），（2σμN ，且9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ，6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，若1,4==σμ， 则=<<)65(X P （ ）A. 0.1358B. 0.1359C. 0.2716D. 0.2718 11.设a 、b 、c 都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2 12.下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”.上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分．） 13.设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，1(1)4P ξ>=，则(11)P ξ-<<= 14．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是 15.一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X ，则X 的期望)(X E =16. 凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1,x 2,…,x n , 有1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++++++≤L L ，已知函数y=sin x 在区间（0,π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A+sin B+sin C 的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）(I)设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，求复数z .(II)实数m 取何值时，复数()22132z m m m i =-+-+,(i)是实数；（ii ）是纯虚数.18．（本题满分12分）有4个新毕业的老师要分配到四所学校任教，每个老师都有分配（结果用数字表示）． （1）共有多少种不同的分配方案？（2）恰有一个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？ （3）某个学校分配了2个老师，有多少种不同的分配方案？（4）恰有两个学校不分配老师，有多少种不同的分配方案？ 19.(本题满分12分)观察以下5个等式： -1=-1 -1+3=2 -1+3-5=-3 -1+3-5+7=4 -1+3-5+7-9=-5……根据以上式子规律．．．．．．．．： （1）写出第6个等式，并猜想第n 个等式；（n ∈N *）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立．（n ∈N *）20．（本题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数(010)x x <≤与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（1）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：1221ˆˆˆ,i ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑） （2）已知每辆该型号汽车的收购价格为2.1745.109.001.023+--=x x x w 万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润)(x L 最大？（利润＝售价－收购价） 21．(本题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X ，求X 的分布列和期望． 附表：22.(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为ξ0 2 3 4 5 p 0.03 P 1 P 2 P 3 P 4 2（2）求随机变量ξ的数学期望E ξ；（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
福建省漳州市龙海二中2014_2015学年高二数学下学期期末试卷理含解析
2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）1．函数的定义域为（）A．（﹣∞，1]∪[6，+∞）B．（﹣∞，1）∪[6，+∞）C．（﹣3，1）∪（2，+∞）D． [﹣3，1）∪（2，+∞）2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i3．下列有关命题的说法中，正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”D．“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件4．设A=[2，3]，B=（﹣∞，a），若A⊆B则a的取值范围是（）A．a≥3B．a≥2C． a＞3 D．a≤25．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若p（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A． 0 B． 2 C． 3 D． 46．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A． 6种B． 12种C． 30种D． 36种7．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”的是（）A． f（x）=（x+1）2B． f（x）=ln（x﹣1）C．D． f（x）=e x8．若函数y=﹣x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（）A．B．C．D．9．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．若，则x2+y2+z2的最小值为．12．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为．13．给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为．14．若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是．15．已知下列四下命题：①函数f（x）=2x满足：对任意；②函数均是奇函数；③函数f（x）=e﹣2﹣e x切线斜率的最大值是﹣2；④函数上有零点．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．17．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围．18．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）1．函数的定义域为（）A．（﹣∞，1]∪[6，+∞）B．（﹣∞，1）∪[6，+∞）C．（﹣3，1）∪（2，+∞）D． [﹣3，1）∪（2，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即x≥6或x＜1，故函数的定义域为（﹣∞，1）∪[6，+∞），故选：B点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：由已知得出x=（1+i）（1﹣yi），由复数相等的概念求出x，y确定出x+yi，再得出共轭复数解答：解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题．3．下列有关命题的说法中，正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1＞0”D．“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件考点：特称命题；四种命题；全称命题．专题：应用题．分析：若x2＞1，则x＞1的否命题为：若x2≤1，则x≤1原命题为假命题，根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题，x∈R，使得x2+x+1＜0的否定是∀x∈R，都有x2+x+1≥0由x2+x﹣2＞0，可得x＞1或x＜﹣2，由推出关系即可判断解答：解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误“若α＞β，则tanα＞tanβ”为假命题，根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题，故B错误命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故C错误x＞1⇒x2+x﹣2＞0，但是x2+x﹣2＞0时，x＞1或x＜﹣2，即x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故D正确故选D点评：本题主要考查了命题的否定、互为逆否命题的真假关系及特称命题的否定，充分必要条件的判断的应用，属于知识的综合应用4．设A=[2，3]，B=（﹣∞，a），若A⊆B则a的取值范围是（）A．a≥3B．a≥2C． a＞3 D．a≤2考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：根据A、B的包含关系，求出a的范围即可．解答：解：A=[2，3]，B=（﹣∞，a）若A⊆B则a＞3，故选：C．点评：本题考查了集合之间的包含关系，是一道基础题．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若p（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），则c=（）A． 0 B． 2 C． 3 D． 4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c+5）=P （ξ＜c﹣1），结合曲线的对称性得到点c+5与点c﹣1关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），∴c+5+c﹣1=4，∴c=0故选：A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A． 6种B． 12种C． 30种D． 36种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．解答：解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选C．点评：本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．7．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”的是（）A． f（x）=（x+1）2B． f（x）=ln（x﹣1）C．D． f（x）=e x考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据题目所给条件，说明函数f（x）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除．解答：解：函数满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数．f（x）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．函数f（x）=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义．对于函数f（x）=，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x20，x2﹣x1＞0，则，所以f（x1）＞f（x2），故函数f（x）=在（﹣∞，0）上为减函数．函数f（x）=e x在（﹣∞，+∞）上为增函数．故选C．点评：本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．8．若函数y=﹣x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．分析：对函数求导y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，由0＜x＜2可求导数的范围，进而可求倾斜角的范围解答：解：y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1∵0＜x＜2∴当x=1时，y′最小﹣1，当x=0或2时，y′=0∴﹣1＜y′＜0即﹣1≤tanα＜0∴即倾斜角的最小值故选D．点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．9．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）考点：函数的单调性与导数的关系；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．解答：解：∵f（x）是奇函数，∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∵F（x）=xf（x），∴F′（x）=xf′（x）+f（x），即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），∴|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即﹣2＜2x＜4，∴﹣1＜x＜2，即实数x的取值范围是（﹣1，2），故选：D．点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案．解答：解：∵当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，∴当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∵在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，令h（x）=log a（x+2），即f（x）=h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内有4个交点，在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，∴0＜log a（6+2）＜1，∴a＞8．故选D．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h（x）=log a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．若，则x2+y2+z2的最小值为．考点：柯西不等式在函数极值中的应用．专题：计算题．分析：根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥，由此可得结论．解答：解：根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥∵∴x2+y2+z2≥当且仅当时，x2+y2+z2的最小值为故答案为：点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明．12．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50 ．考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．解答：解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点13．给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为．考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察不等式，找出不等式中最后一项的分母的通项公式，不等式右边是首项为1，公差为的等差数列，从而可得到第n个不等式．解答：解：观察不等式中最后一项的分母分别是3、7、15、31…将每个数加1得4、8、16、32可知通项为2n+1则3、7、15、31…的通项为2n+1﹣1不等式右边是首项为1，公差为的等差数列，∴按此规律可猜想第n个不等式为故答案为：点评：本题主要考查了类比推理，解题的关键找出不等式的规律，同时考查了推理能力，属于基础题．14．若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是240 ．考点：定积分；二项式定理的应用．分析：由定积分的运算可得a=2，代入由二项式定理可得的通项T k+1=x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2，可得含x的项系数为：=240解答：解：由题意可得，a==﹣cosx=2，故=，其二项展开式的通项T k+1==x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2，故可得含x的项系数为：=240故答案为：240点评：本题考查定积分的求解和二项式定理的应用，属基础题．15．已知下列四下命题：①函数f（x）=2x满足：对任意；②函数均是奇函数；③函数f（x）=e﹣2﹣e x切线斜率的最大值是﹣2；④函数上有零点．其中正确命题的序号是②．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，函数f（x）=2x中，足：令x1=0，x2=2，可得f（）=f（1）=2；[f（x1）+f（x2）]=[f（0）+f（2）]=，可判断①；②，利用奇偶函的概念可判断函数均是奇函数从而可判断②；③，利用导数的几何意义可求得函数f（x）=e﹣2﹣e x切线斜率，从而可判断③；④，利用零点存在定理可判断函数在区间（，）上无零点．解答：解：对于①，函数f（x）=2x，令x1=0，x2=2，则=1，显然f（）=f （1）=2；[f（x1）+f（x2）]=[f（0）+f（2）]=，f（）＜[f（x1）+f（x2）]，故①错误；对于②，函数的定义域为R，且f（﹣x）+f（x）=+=log21=0，所以，f（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数；同理可得，g（﹣x）+g（x）=0，即是奇函数，故②正确；对于③，函数f（x）=e﹣2﹣e x的导函数f′（x）=﹣e x＜0，函数f（x）=e﹣2﹣e x切线斜率无最大值，故③错误对于④，函数，f′（x）=﹣ln=+ln4＞0，所以，为R上的增函数，又f（）=﹣＜0，f（）=﹣=﹣＜0，所以，在区间（，）上无零点，故④错误．故答案为：②．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）利用cos2α+sin2α=1即可得出；（II）把直线l的极坐标化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）由点P的坐标可得：且参数α∈[0，2π]，∴点P的轨迹方程为x2+（y﹣2）2=4．（Ⅱ）∵，∴，∴ρsinθ﹣ρcosθ=6，∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+6=0．即点P到直线l距离的最大值．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本不等式的性质先求出+的最小值，问题转化为解不等式9≥|x﹣10|﹣|x+6|，从而求出x的范围．解答：解：∵a＞0，b＞0 且a+b=1，∴+=（a+b）（+）=5++≥9，故+的最小值为9，因为对∀a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以，9≥|x﹣10|﹣|x+6|，当x≤﹣6时，16≤9，无解；当﹣6＜x＜10时，4﹣2x≤9，∴﹣2.5≤x＜10；当x≥10时，﹣16≤9，∴x≥10；∴{x|x≥﹣2.5}．点评：本题考查了基本不等式性质的应用，考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，是一道中档题．18．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围．（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．由∈（﹣∞，0），知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a的取值范围．解答：解：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，若a=0，显然不成立；若a≠0，解得a＞2故如果p是真命题时，实数a的取值范围是（2，+∞）（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．∵x＞0∴3x＞1∴3x﹣9x∈（﹣∞，0）所以如果q是真命题时，a≥0．又p或q为真命题，命题p且q为假命题所以命题p与q一真一假∴或解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是[0，2]点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．考点：条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P （ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=，能求出结果．解答：解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==，∴随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=++=，P（AB）==，P（B|A）===．点评：本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．20．已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立条件关系即可求实数k的值．（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，进行转化即可求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=2x+k•2﹣x是奇函数，∴f（0）=0，即1+k=0，∴k=﹣1．（2）∵x∈[0，+∞），均有f（x）＞2﹣x，即2x+k•2﹣x＞2﹣x成立，k＞1﹣22x，∴对x≥0恒成立，∴k＞[1﹣（22x）]max．∵y=1﹣（22x）在[0，+∞）上是减函数，∴[1﹣（22x）]max=1﹣1=0，∴k＞0．点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题，利用指数函数的运算性质是解决本题的关键．21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．通过考察f′（x）的正负值区间判断单调区间，得出极值点情况．（Ⅱ）a=1，f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜，令g（x）=，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），＞，整理得＞，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解．解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．（Ⅰ）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减，∴在（0，+∞）上没有极值点；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=．∴在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即在x=处有极小值．∴当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分）（Ⅱ）∵函数在x=处取得极值，∴a=1，f（x）=x﹣1﹣lnx，∵f（x）≥bx﹣2，移项得（1﹣b）x≥lnx﹣1，再将b分离得出，b＜，令g（x）=，则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，所以b≤1﹣．（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，有g（x）＞g（y），＞，整理得＞①当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小．考查了分类讨论、构造、推理计算能力．。
福建省漳州市龙海市程溪中学高二下期末数学试卷理科
2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．483．五张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．4．若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．05．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m+2n=1.2，则m﹣的值为（）ξ0 1 2 3P 0.1 m n 0.1A．﹣0.2 B．0.2 C．0.1 D．﹣0.16．设a n=1+++…+（n∈N*），则a n+1﹣a n等于（）A．B． +C． +D． ++7．已知变量x服从正态分布N（4，σ2），且P（x＞2）=0.6，则P（x＞6）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.18．函数f（x）=e x﹣x （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．1+B．1 C．e+1 D．e﹣19．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A．12 B．18 C．24 D．3210．函数y=x2e x的图象大致为（）A．B．C．D．11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．19912．己知函数f（x）=lnx+，则下列结论中正确的是（）A．若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是增函数B．若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是减函数C．∀x＞0，且x≠1，f（x）≥2D．∃x0＞0，f（x）在（x0，+∞）上是增函数二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．定积分的值为．14．设（x﹣1）21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11=．15．若抛物线y=x2﹣x+c上一点P的横坐标是﹣2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为．16．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）＞1.75，则p的取值范围．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．设函数f（x，n）=（1+x）n，（n∈N*）．（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）若f（i，n）=32i（i为虚数单位），求C﹣C+C﹣C+C．18．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间．19．某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20．（理）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．21．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 3 4 8 15分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数15 x 3 2乙校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 1 2 8 9分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数10 10 y 3（1）计算x，y的值；（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．甲校乙校总计优秀非优秀总计参考数据与公式：临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.63522．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（1）求曲线C的参数方程；（2）当α=时，求直线l与曲线C交点的极坐标．2015-2016学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z 可求．【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）A．14 B．24 C．28 D．48【分析】法一：用直接法，4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；法二：用排除法，首先计算从4男2女中选4人的选派方案种数，再计算4名都是男生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案．【解答】解：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12C34+C22C24=2×4+1×6=14；法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46﹣C44=15﹣1=14．故选A．【点评】本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．3．五张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数有3×2，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52=10种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数，有3×2=6种结果，∴要求的概率是故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．4．若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0【分析】根据导数的运算法则先求导，再判断其导函数为奇函数，问题得以解决【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c，∴f′（x）=4ax3+2bx，∴f′（﹣x）=﹣4ax3﹣2bx=﹣f′（x），∴f′（﹣1）=﹣f′（1）=﹣2，故选：B．【点评】本题考查了导数的运算法则和函数的奇偶性，属于基础题5．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m+2n=1.2，则m﹣的值为（）ξ0 1 2 3P 0.1 m n 0.1A．﹣0.2 B．0.2 C．0.1 D．﹣0.1【分析】由离散型随机变量分布列的性质可得m和n的一个关系式，与m+2n=1.2联立求出m和n．【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质，可得m+n+0.2=1，又m+2n=1.2，所以m=0.4，n=0.4，所以m﹣=0.2故选B．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，属基本题．6．设a n=1+++…+（n∈N*），则a n+1﹣a n等于（）A．B． +C． +D． ++【分析】直接利用数列的通项公式，推出结果即可．【解答】解：a n=1+++…+（n∈N*），则a n+1﹣a n=1+++…++++﹣（1+++…+）=．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，考查计算能力．7．已知变量x服从正态分布N（4，σ2），且P（x＞2）=0.6，则P（x＞6）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【分析】变量x服从正态分布N（4，σ2），得出正态分布曲线关于x=2对称，由此得出P （x＜2）=P（x＞6），求出P（ξ＜2）的值，得出正解答案．【解答】解：∵随机变量x服从正态分布N（4，σ2），∴正态分布曲线关于x=4对称，又x＜2与x＞6关于x=2对称，且P（ξ＞2）=0.6，∴P（x＜2）=P（x＞6）=0.4，故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点，解题的关键是理解正态分布曲线的对称性的特征，由特征得出P（x＜2）=P（x＞6）．8．函数f（x）=e x﹣x （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．1+B．1 C．e+1 D．e﹣1【分析】求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可得到函数的最大值．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=e x﹣1令f′（x）＞0，x∈[﹣1，1]，可得0＜x≤1；令f′（x）＜0，x∈[﹣1，1]，可得﹣1≤x＜0，∵f（﹣1）=，f（1）=e﹣1∴f（﹣1）＜f（1）∴函数f（x）=e x﹣x （e为自然对数的底数）在区间[﹣1，1]上的最大值是e﹣1故选D．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是求导确定函数的单调性．9．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A．12 B．18 C．24 D．32【分析】设出男同学的人数，可得女同学的人数，根据女同学的概率为，解得x的值，即可求得参加聚会的同学的人数．【解答】解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，由题意可得=，解得x=6，则这个班所有的参加聚会的同学的人数为2x+6=18人，故选B．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，属于基础题．10．函数y=x2e x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由y′=2xe x+x2e x＜0，解得x的取值范围，可得函数y=x2e x的单调递减区间，结合函数值均大于0，即可得出结论．【解答】解：由y′=2xe x+x2e x＜0，解得﹣2＜x＜0．∴函数y=x2e x的单调递减区间是（﹣2，0）．又由于函数值均大于0，故排除D，选A．故选A．【点评】本题考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想，熟练掌握运用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．11．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．【点评】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．12．己知函数f（x）=lnx+，则下列结论中正确的是（）A．若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是增函数B．若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的极值点，则f（x）在区间（x1，x2）内是减函数C．∀x＞0，且x≠1，f（x）≥2D．∃x0＞0，f（x）在（x0，+∞）上是增函数【分析】求导数，可得（，e）上函数单调递减，（0，），（e，+∞）上函数单调递增，即可判断．【解答】解：∵f（x）=lnx+（x＞0且x≠1），∴f′（x）=﹣=0，∴x=e，或x=当x∈（0，）时，f′（x）＞0，；当x∈（，1），x∈（1，e）时，f′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．故x=和x=e分别是函数f（x）的极大值点和极小值点，而函数f（x）在（，e）上单调递减，故A、B错误；当0＜x＜1时，lnx＜0，f（x）＜0，不满足不等式，故C错误；只要x0≥e，f（x）在（x0，+∞）上时增函数，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，正确求导是关键．二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．定积分的值为﹣1．【分析】根据分段函数的积分公式进行计算即可．【解答】解：==（﹣﹣x）|+（﹣x）|=，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查积分的计算，根据分段函数的积分公式是解决本题的关键，比较基础．14．设（x﹣1）21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21，则a10+a11=0．【分析】根据题意，可得（x﹣1）21的通项公式，结合题意，可得a10=﹣C2111，a11=C2110，进而相加，由二项式系数的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣1）21的通项公式为T r+1=C21r（x）21﹣r（﹣1）r，则有T11=C2110（x）11（﹣1）10，T12=C2111（x）10（﹣1）11，则a10=C2110，a11=﹣C2111，故a10+a11=C2110﹣C2111=0；故答案为：0．【点评】本题考查二项式系数的性质与二项式定理的运用，解题时注意二项式通项公式的形式与二项式系数的性质，综合考查可得答案．15．若抛物线y=x2﹣x+c上一点P的横坐标是﹣2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为4．【分析】先求在x=﹣2处的导数，从而求出在x=﹣2处的切线的斜率，根据切线恰好过坐标原点建立等量关系，解之即可．【解答】解：∵y′=2x﹣1，=﹣5，∴y′|x=﹣2又P（﹣2，6+c），∴=﹣5．∴c=4；故答案为4．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的运算等有关知识，属于基础题．16．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）＞1.75，则p的取值范围（0，）．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案．【解答】解：由已知条件可得P（X=1）=p，P（X=2）=（1﹣p）p，P（X=3）=（1﹣p）2p+（1﹣p）3=（1﹣p）2，则E（X）=P（X=1）+2P（X=2）+3P（X=3）=p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3＞1.75，解得p＞或p＜，又由p∈（0，1），得p∈（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．设函数f（x，n）=（1+x）n，（n∈N*）．（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）若f（i，n）=32i（i为虚数单位），求C﹣C+C﹣C+C．【分析】（1）展开式中系数最大的项是第4项；（2）（1+i）n=32i，两边取模，求出n，利用（1+x）10=（+（）i=32i，可得结论．【解答】解：（1）展开式中系数最大的项是第4项==20x3；…5′（2）由已知，（1+i）n=32i，两边取模，得=32，所以n=10．所以C﹣C+C﹣C+C=，而（1+x）10=（+（）i=32i所以=32．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查复数的运算，属于中档题．18．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间．【分析】（1）求出函数的导函数，函数在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，说明f′（1）=0，则k值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于0求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）因为函数，所以=，因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，所以f′（1）=0，即，解得k=1；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由，令g（x）=，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．19．某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．【分析】（1）设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2，“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2，不需要补考就获得证书的事件为A1B1，A1与B1相互独立，由此能求出考生不需要补考就获得证书的概率．（2）由已知得，ξ=2，3，4，各事件之间的独立性与互斥性，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2，“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2…不需要补考就获得证书的事件为A1B1，∵A1与B1相互独立，∴．该考生不需要补考就获得证书的概率为…（2）由已知得，ξ=2，3，4，各事件之间的独立性与互斥性，=．…=，=，故ξ的分布列为ξ 2 3 4P故．答：该考生参加考试次数的数学期望为【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求法，解题时要注意互相独立事件的概率乘法公式的合理运用．20．（理）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）在x=1处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【分析】（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f′（1）=0，解之即可；（2）由（1）知f（x）=x﹣lnx，故x2﹣3x+lnx+b=0，设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g（x），g（x）的变化情况，确定函数的最值，从而可建立不等式，即可求得结论．【解答】解：（1）f′（x）=1﹣，∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）在x=1处取得极值∴f′（1）=0，∴a=0（2）由（1）知f（x）=x﹣lnx，∴f（x）+2x=x2+b∴x﹣lnx+2x=x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b=0设g（x）=x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）=当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表x （0，）（，1） 1 （1，2） 2g′（x）+0 ﹣0 +g（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2=g（1）=b﹣2，g（）=b﹣﹣ln2，g（2）=b﹣2+ln2∴当x=1时，g（x）最小值∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴ +ln2≤b＜2【点评】本题主要考查函数的极值以及根的存在性及根的个数判断，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度21．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 3 4 8 15分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数15 x 3 2乙校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频数 1 2 8 9分组[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数10 10 y 3（1）计算x，y的值；（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．甲校乙校总计优秀非优秀总计参考数据与公式：临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010k0 2.706 3.841 6.635【分析】（1）由频数与总数关系可得x，y的值，先求出从甲、乙校各抽取的人数，再减去已知人数即得；（2）即求频率，按对应人数除以总数即可；（3）按公式代入计算得k≈2.829＞2.706，对照临界值表可知在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异．【解答】解：（1）从甲校抽取110×=60（人），从乙校抽取110×=50（人），故x=10，y=7．（2）估计甲校数学成绩的优秀率为×100%=25%，乙校数学成绩的优秀率为×100%=40%．（3）表格填写如图，甲校乙校总计优秀15 20 35非优秀45 30 75总计60 50 110K2的观测值k=≈2.829＞2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两个学校的数学成绩有差异．【点评】本题主要考查独立性检验的应用，考查概率的计算，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（1）求曲线C的参数方程；（2）当α=时，求直线l与曲线C交点的极坐标．【分析】（1）由ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ．把，ρ2=x2+y2代入可得：曲线C的直角坐标方程．利用cos2φ+sin2φ=1即可标准曲线C的直角坐标方程化为参数方程．（2）当α=时，直线l的方程为，化成普通方程为y=x+2．与圆的方程联立解出，进而化为极坐标．【解答】解：（1）由ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ．把，ρ2=x2+y2代入可得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y﹣2x，标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2．曲线C的直角坐标方程化为参数方程为（φ为参数）．（2）当α=时，直线l的方程为化成普通方程为y=x+2．联立，解得，或．利用，ρ2=x2+y2可得：直线l与曲线C交点的极坐标分别为（2，），（2，π）．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、圆的方程的应用、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第二节重要的体内能源——油脂课时训练3重要的体内能源——油脂一、油脂的组成、分类和结构1.下列物质属于油脂的是()A.B.C.D.解析:油脂是高级脂肪酸的甘油酯,A、B项中不是高级脂肪酸所形成的酯(不是高级脂肪酸),D项中不是甘油酯。
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福建省漳州市龙海程溪中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设复数z 的共轭复数是z ,z ＝3＋i ，则z1等于( ) A ．3＋i B ．3－i C.310i ＋110 D.310＋110i 2．若a ∈{1,2,3,5}，b ∈{1,2,3,5}，则方程y ＝bax 表示的不同直线条数为( )A ．11B ．12C ．13D ．143．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π44．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是 （ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）155．函数x e x y 2=的单调递减区间是 （ ）A ．(–1, 2)B ．(–∞, –1)与(1, +∞)C ．(–∞, –2)与(0, +∞)D ．(–2，0)6．“函数)(x f y =在一点的导数值为0”是“函数)(x f y =在这点取极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．使函数f(x)=x+2cosx 在［0，2π］上取最大值的x 为 （ ）A.0B.6π C.3π D.2π8．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）A ．()2142610C A 个B ．242610A A 个 C ．()2142610C 个D ．242610A 个9．如图，阴影部分的面积为( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.35310．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本题共5小题，每小题４分，共20分） 11．ʃ1－14－x 2dx ＝____________.12．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是13. 定义在R 上的可导函数()f x ,已知)('x f y =的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 .14．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的极大值与极小值分别为,M m ，则M m -=15．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BDBC =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有___________。
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本题满分13分）已知n n x x x )13()(223-+和比的展开式的二项式系数的展开式的系数和大992。
求在n x x 2)12(-的展开式中：（1）常数项（用数字表示）；（2）二项式系数最大的项。
； 17．(本题满分13分) 已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；18．（本题满分13分）4位男生和4位女生共8位同学站成一排，计算下列情况：（1）男生甲和女生乙相邻排队的概率； （2）男生甲和女生乙顺序固定的概率；（3）男生甲不站左端且女生乙不站右端队的排法有几种．19．（本题满分13分）某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．（本题满分14分）已知n m ,是正整数，n m x x x f )1()1()(+++=的展开式中x 的系数为7， （1）试求)(x f 中的2x 的系数的最小值；（2）对于使)(x f 的2x 的系数为最小的n m ,，求出此时3x 的系数；（3）利用上述结果，求)003.0(f 的近似值（精确到0.01）21．（本题满分14分）设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x >x 2－2ax ＋1.答案一、 选择题 DCACD BBACC 二、332+π -120 R 32 2ABC BCM BCD S S S =△△△· 分二项式系数最大的为分最大的为的展开式中二项式系数分常数项为令的通项为分解得依题意可得解13.........................................8064-.......11..........)x1-(2)(2x 9......................................................................8064-8064-2)1(2)1(502102)1()1()2()x 1-(1)(2x 4.............................5,99222:.16651010510550510556210101010101102=∴∴=-=-=∴=⇒=--=-===----+T C C x C T r r xC xx C T n rr r r r r r r n n17．[解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数． 即k ＝f ′(1)＝－1. 所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上．则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2.则切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )．①将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4.18. 解：（1）将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，有A 77=5040种情况， 共有2×5040=10080种情况；所以概率为0.25.......................................4分 （2）先对8个人全排列，有A 88=40320种情况，其中甲乙的顺序有两种情况，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占一半， 则甲、乙顺序一定的情况有×40320=20160种情况，所以概率为0.5...................................................8分 （3）①男生甲站右端则有A 77=5040种站法②男生甲不站右端则有6种选择,而女生乙也有6种选择,剩下6人有A 66=720种排法,则有6×6×720=25920种所以共有5040+25920=30960种........................13分19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x ·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20． 解：根据题意得：711=+n mC C ，即7=+n m （1）2x 的系数为22)1(2)1(2222nm n m n n m m C C nm--+=-+-=+将(1)变形为m n -=7代入上式得：2x 的系数为435)27(21722+-=+-m m m故当时，或43=m2x 的系数的最小值为9（1） 当时，或3,44,3====n m n m 3x 的系数为为53433=+C C02.2)003.0(≈f21． 、(1)解 由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x>x 2－2ax ＋1.。