高中数学选修2-1教案1.2充分条件与必要条件
选修2-1第一章第二节充分条件和必要条件
2．1充分条件2．2必要条件明目标、知重点 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．充分条件与必要条件p qp不是q的充分条件探究点一充分条件思考判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.答(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab；即“x>a2＋b2”是“x>2ab”的充分条件．小结一般地，“若p，则q”为真命题，是指由条件p可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件．例1下列各题中，p是不是q的充分条件？(1)p：x>3，q：x2>9；(2)p：x2＝y2，q：x＝y.解(1)因为x>3⇒x2>9，所以p是q的充分条件．(2)因为x2＝y2D⇒/x＝y，所以p不是q的充分条件．反思与感悟根据命题“p⇒q”的真假可以判定p是否为q的充分条件．跟踪训练1判断下列命题中，p是q的充分条件吗？(1)p：0<x<5，q：|x－2|<4；(2)p：x>2，且y>3，q：x＋y>5.解(1)∵|x－2|<4，∴－2<x<6.故“0<x<5”是“|x－2|<4”的充分条件．故p是q的充分条件．(2)当x>2且y>3时，x＋y>5一定成立，故p是q的充分条件．探究点二必要条件与充分条件思考1从命题“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”说明必要条件的含义．答已知命题为真命题，说明“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分条件；同时，“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要条件．若p⇒q，则称q是p的必要条件，必要条件可以理解为若q不成立，则p一定不成立，即q 是p成立的必不可少的条件．思考2判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．答“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件，“x2－4x＋3＝0”是“x＝1”的必要条件．两个条件“x＝1”和“x2－4x＋3＝0”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“x2－4x＋3＝0”对应集合记作B.显然A B.思考3结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？答一般地，关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p既是q的充分条件，又是q的必要条件．例2指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(2)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(3)p：x>1，q：x2>1.解(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件；(2)∵p⇒q，而qD⇒/p，∴p是q的充分不必要条件．(3)p对应的集合为P＝{x|x>1}，q对应的集合为Q＝{x|x<－1或x>1}，∵P Q，∴p是q的充分不必要条件．反思与感悟本例三个小题分别体现了定义法、等价法、集合法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，等价法主要用于否定性命题，集合法一般需对命题进行化简．跟踪训练2指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sinα>sinβ，q：α>β.解(1)∵x2＝2x＋1D⇒/x＝2x＋1，x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．(4)∵由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．探究点三充分条件、必要条件与集合的关系思考设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答p是q的充分条件，q是p的必要条件．例3是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1.令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝{x |x <－p 4}． 由题意得B ⊆A ，即－p 4≤－1，即p ≥4， 此时x <－p 4≤－1⇒x 2－x －2>0， ∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练3 已知p ：3x ＋m <0，q ：x 2－2x －3>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围．解 ∵由3x ＋m <0得，x <－m 3. ∴p ：A ＝{x |x <－m 3}． 由x 2－2x －3>0得，x <－1或x >3.∴q ：B ＝{x |x <－1或x >3}．∵p ⇒q 而qD ⇒/p ，∴A B ，∴－m 3≤－1， ∴m ≥3，即m 的取值范围是[3，＋∞)．1．a <0，b <0的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.a b>1 D.a b<－1 答案 A解析 a ＋b <0D ⇒/a <0，b <0，而a <0，b <0⇒a ＋b <0.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析由于θ＝0时，一定有sinθ＝0成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”的充分不必要条件．3．“a>b”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|.4．f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是()A．t≤－1B．t>－1C．t≥3D．t>3答案 D解析依题意，P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)<f(2)}，Q＝{x|f(x)<－4}＝{x|f(x)<f(－1)}．因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t<2}＝{x|x<2－t}，Q＝{x|x<－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，需有2－t<－1，解得t>3.[呈重点、现规律]1．充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．一、基础过关1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充分必要条件答案 C解析 ∵－2<x <1D ⇒/x >1或x <－1且x >1或x <－1D ⇒/－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分又不必要条件．2．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.3．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 |x |＝|y |D ⇒/x ＝y ，x ＝y ⇒|x |＝|y |.4．已知p ：α≠β，q ：cos α≠cos β，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 q ⇒p 成立，但pD /⇒q ，∴p 是q 的必要不充分条件．5．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的________条件． 答案 充分不必要解析 ∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1.∴当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件． 而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1， ∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分不必要条件． 6．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________条件． 答案 必要不充分解析 因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立． 7．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是等边三角形．解 (1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac <0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2，∴p ⇒q ，qD /⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴pD /⇒q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．二、能力提升8．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1成立”的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1答案 B解析 对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C ，D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但命题不成立，也不符合题意．9．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 x 2＋y 2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x |≥2且|y |≥2，而x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，故A 正确．10．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．答案 a >2解析 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.11．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由．(1)p ：p ≤－2或p ≥2；q ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根．(2)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切；q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解 (1)当p ≤－2或p ≥2时，如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根时，Δ≥0，得p ≤－2或p ≥6，可推出p ≤－2或p ≥2.所以p 是q 的必要不充分条件．(2)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，从而c 2＝(a 2＋b 2)r 2，反之，也成立．所以p 是q 的充分且必要条件． 12．已知a 、b 为不等于0的实数，判断“a b>1”是“a >b ”的什么条件？ 解 由条件“a b >1”可得a －b b>0，若b >0，则a >b ； 若b <0，则a <b ，所以“a b>1”D ⇒/“a >b ”， “a b>1”不是“a >b ”的充分条件． 反过来，a >b ⇔a －b >0，也不能推出a b >1⇔a －b b >0，“a b>1”也不是“a >b ”的必要条件． 所以“a b>1”是“a >b ”的既不充分也不必要条件． 三、探究与拓展13．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1. 即p ⇒q ，反之不成立．∴a ＝1.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 1.1.2 充分条件和必要条件》10
《充分条件与必要条件》教学设计学校：海南省东方市琼西中学授课人：陈雪柳一、本节课内容的地位、作用分析及课时按排说明：“充分条件与必要条件”是高中《数学》选修2-1第一章简单逻辑用语的内容。
本节内容的教学至少需要两个课时，而本节课是这一节内容的第一课时。
逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。
在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习。
这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用。
二、［教学目标］知识与技能1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断充要条件，充分不必要条件、必要不充分条件，既不充分也不必要条件；过程与方法1．通过对充分条件和必要条件的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力；情感、态度与价值观1通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
三、[教学重难点]重点：充分条件、必要条件的概念、正确区分充要条件、正确运用“条件”的定义解题难点：判断命题的充分条件、必要条件、正确区分充要条件与其拓展四、[教学过程]（一）、复习引入：复习：命题的概念及命题的常见形式。
1、命题的概念：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的常见形式：“若，则q”，我们把这种形式中的的叫做命题的条件，q叫做命题的结论。
3、（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；【设计意图】通过命题概念的复习，重点强调条件与结论，为新课学习做必要的准备和铺垫（二）、新课引入1、判断下列命题的真假1若，则2若，则（3）若，则（4）若或，则问题1:条件和结论有什么关系【设计意图】命题有真有假，通过对真假两种情况的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程（三）、新课讲授定义：一般地，“若，则q”为真命题，即，称是q的充分条件，称q是的必要条件若有，称不是q的充分条件，称q不是的必要条件。
高中数学 1.2《充分条件与必要条件》教案 新人教A版选修2-1
充分条件与必要条件教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出以下命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：〔1〕假设0ab =，那么0a =；〔2〕假设0a >时，那么函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒〞与“〞：①在上面两个命题中，命题〔1〕为假命题，命题〔2〕为真命题. 也就是说，命题〔1〕中由 “0ab =〞不能得到“0a =〞，即0ab =0a =；而命题〔2〕中由“0a >〞可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加〞，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①假设p q ⇒，那么p 是q 的充分条件〔sufficient condition 〕，q 是p 的必要条件〔necessary condition 〕.上述命题〔2〕中“0a >〞是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加〞的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加〞那么是“0a >〞的必要条件.②例1：以下“假设p ，那么q 〞形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ 〔1〕假设1x >，那么33x -<-；〔2〕假设1x =，那么2320x x -+=；〔3〕假设()3x f x =-，那么()f x 为减函数； 〔4〕假设x 为无理数，那么2x 为无理数.〔5〕假设12//l l ，那么12k k =.〔学生自练→个别回答→教师点评〕③练习：P12页 第2题④例2：以下“假设p ，那么q 〞形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ 〔1〕假设0a =，那么0ab =；〔2〕假设两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；〔3〕假设a b >，那么ac bc >；〔4〕假设x y =，那么22x y =.〔学生自练→个别回答→教师点评〕⑤练习：P12页 第3题⑥例3：判断以下命题的真假：〔1〕“x 是6的倍数〞是“x 是2的倍数〞的充分条件；〔2〕“5x <〞是“3x <〞的必要条件. 〔学生自练→个别回答→学生点评〕3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页 第1、2题充要条件教学要求：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出以下各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？〔1〕:p a Q ∈，:q a R ∈；〔2〕:p a R ∈，:q a Q ∈；〔3〕:p 内错角相等，:q 两直线平行；〔4〕:p 两直线平行，:q 内错角相等.二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件〔sufficient and necessary condition 〕.②上述命题中〔3〕〔4〕命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：以下命题中，哪些p 是q 的充要条件？〔1〕:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；〔2〕:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；〔3〕:p 0,0x y <<，:q 0xy >；〔4〕:p a b >，:q a c b c +>+.〔学生自练→个别回答→教师点评〕②练习教材P14 练习第1、2题③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.〔教师引导→学生板书→教师点评〕3. 小结：充要条件概念的理解.三、巩固练习：1. 从“⇒〞、“〞与“⇔〞中选出适当的符号填空：〔1〕1x >-1x >； 〔2〕a b >11a b<； 〔3〕2220a ab b -+=a b =； 〔4〕A ⊆∅A =∅.2. 判断以下命题的真假：〔1〕“a b >〞是“22a b >〞的充分条件；〔2〕“a b >〞是“22a b >〞的必要条件； 〔3〕“a b >〞是“22ac bc >〞的充要条件；〔4〕“5a +是无理数〞是“a 是无理数〞的充分不必要条件；〔5〕“1x =〞是“2230x x --=〞的充分条件.3. 作业：教材P14页 习题第3、4题。
2充分条件与必要条件
命题的形式（若 p 则 q ）和四种命题的学习，以及学生日常生活中已有大量逻辑经验
的积累都为本节课“充分条件与必要条件”概念的学习奠定了良好的基础.由于概念较 抽象, 与学生的原有思维习惯又有差异，导致学生不易理解，容易停留在形式上. 特别 是对“必要条件”概念的理解较为困难. 此外，充分条件与必要条件是一个开放性的知 识交汇点，往往涉及其它数学知识或者其它学科知识，对学生其它知识的掌握也有一 定要求。
活动过程：A 组提出问题 1：已知 a=0，请问 p 是 q 的什么条件？
B 组提出问题 1：已知 p 是 q 的充分条件，请问 a 的范围？
A 组提出问题 2：已知 a>0，请问 p 是 q 的什么条件？
B 组提出问题 2: 以 A 组方式反问 A 组：a=1 时，p 是 q 的什么条件？
标
活动形式：相互讨论、自主探究、小组发言、演板讲解
（1） “若 p，则 q”真，记 p ⇒ q ，则称 p 是 q 的充分条件； （2） “若 p，则 q”真，记 p ⇒ q ，则称 q 是 p 的必要条件.
二、如何判定 三、与集合的联系：
p : x ∈ A, q : x ∈ B 且 p ⇒ q ，则 A ⊆ B.
十二、教学反思： 根据新课程标准的理念,在教学中重视学生的主体地位，把学习的主动权还给学生,使学生亲自参
高中数学选修2-1精品教案1：1.2.1 充分条件与必要条件教学设计
1.2.1分条件与必要条件（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念．(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)难点：判断命题的充分条件、必要条件.关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：一.复习引入命题的概念及命题的真假性二.思考、分析写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab, （2）若ab＝0，则a＝0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？三.归纳总结：答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．四.抽象概括充分条件与必要条件1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A⇒B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D ，当a >b >0时，有a >b ，而a >0>b 或0>a >b 时，a 或b 无意义，∴p ⇒/ q .答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0， ∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2] 解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3. 所以正实数a 的取值范围是(0,3].六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).条件p 与结论q 的关系结论 p ⇒q ，但q ⇒/ pp 是q 成立的充分不必要条件 q ⇒p ，但p ⇒/ qp 是q 成立的必要不充分条件 p ⇒/ q ，q ⇒/ pp 是q 成立的既不充分也不必要条件(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A不是B的子集，且B不是A的子集，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(3)等价转化法，即利用A⇒B与￢B⇒￢A，A⇔B与￢B⇔￢A来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若“a＝2”，则“(a－1)(a－2)＝0”，即a＝2⇒(a－1)·(a－2)＝0.若“(a－1)(a－2)＝0”，则“a＝2或a＝1”，故(a－1)(a－2)＝0不一定能推出a＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则￢p是￢q的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ,所以A 是B 的必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[－12，2]}，B ＝{x ||x －m |≥1}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：先化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝(x －34)2＋716. ∵x ∈[－12，2]，∴y ∈[716，2]．∴A ＝{y |716≤y ≤2}．由|x －m |≥1，解得x ≥m ＋1或x ≤m －1. ∴B ＝{x |x ≥m ＋1或x ≤m －1}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴m ＋1≤716或m －1≥2，解得m ≤－916或m ≥3.故实数m 的取值范围是(－∞，－916]∪[3，＋∞)．。
人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案
§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。
（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。
（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0； 充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形； 必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1； 充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。
高中数学选修2-1精品教案1：1.2.2 充要条件教学设计
1.2.1分条件与必要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．（三）教学过程一.复习引入充分条件与必要条件的定义二.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．三.归纳总结：易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件四.抽象概括充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．注意：1．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．2．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D，当a>b>0时，有a>b，而a>0>b或0>a>b时，a或b无意义，∴p⇒/ q.答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；(3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0.解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q .若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件.[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2]解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]. [例3] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p 和结论q 分别指什么，然后证明p ⇒q (充分性)和q ⇒p (必要性)成立．[精解详析] 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得 ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[感悟体会](1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q .若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．训练题组36．试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0.充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 因为f (0)＝1>0，∴若a >0时，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0，方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求． 六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件(3)等价转化法，即利用A ⇒B 与￢B ⇒￢A ，A ⇔B 与￢B ⇔￢A 来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：直线l 与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l ⊥α，因为有可能是直线l 在平面α内与一组平行直线垂直．若l ⊥α，则直线l 垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若“a ＝2”，则“(a －1)(a －2)＝0”，即a ＝2⇒(a －1)·(a －2)＝0.若“(a －1)(a －2)＝0”，则“a ＝2或a ＝1”，故(a －1)(a －2)＝0不一定能推出a ＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则￢p 是￢q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________．解析：直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2⇔|1＋1＋m |2＝2⇔|m ＋2|＝2⇔m ＝－4或0. 答案：m ＝－4或06．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时，上式也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p . 因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p p －1p ＋q，∴q ＝－1， 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。
1.2.1充分条件与必要条件(第一课时)教案(人教A版选修2-1)
1.2.1 充分条件与必要条件（第一课时）教案一、教材内容分析充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容,也是认识问题、研究问题的工具,是高考的热点内容．这节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，概括出充分条件、必要条件的定义;明确了充分条件、必要条件和集合论之间的联系；总结出判断充分条件、必要条件的方法．教学重点是充分条件与必要条件的概念与判断；难点是对必要条件意义的理解．二、教学目标分析1、知识与技能（1）使学生能正确理解充分条件、必要条件的意义；（2）使学生会判断充分条件、必要条件.2、过程与方法（1）通过生活实例，引导学生联系四种命题间的相互关系，应用类比的方法来理解p与q的共存关系——p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；（2）通过题组的设置，让学生发现充分条件、必要条件和集合间的包含关系之间的联系，使学生学会用联系的观点来看待问题.3、情感态度与价值观（1）通过设置问题串的方式，引发学生思考，使学生养成勤学善思的好习惯；（2）通过小组成员之间互相交流，创设生动活泼的学习氛围，激发学生学数学的热情，使学生享受学以致用的快乐.三、学习者特征分析通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，在教学中，可以利用学生熟悉的知识来辅助“充分条件与必要条件”的概念的教学,但不宜过难，以免阻碍学生对充分条件与必要条件的理解.四、教学策略的选择与设计（1）先行组织者策略：教师先举例子，让学生感受充分性和必要性的意义，再由学生抽象概括出充分条件与必要条件的定义；（2）以问题解决为主的教学策略：以问题串的方式引导学生思考，使学生在具体问题的解决过程中提炼方法，更深刻理解充分条件与必要条件的意义,充分体现教师“为思维而教”的教育理念.五、教学过程（一）设置情境，引入新知1.对充分条件、必要条件的意义的理解（1）通过与学生互动，构造出“若p，则q”形式的命题并使其为真命题，即p q⇒；（2）p成立，充分保证了q成立，那么p是q的充分条件；刎Þ；（3）写出其逆否命题并判断出为真命题，即q p（4）提出问题：当p是q的充分条件时，q是p的什么条件？（5）理解学生预习情况，若对课本内容有不理解的，提出来大家共同解决；（6）提出问题：你能结合（1）中的命题，仿照课本的处理方式来解释必要条件的意义吗？；（7）当q不成立时，一定有p不成立；这就是说，要使p成立，必须满足q成立，那么q是p的必要条件.【设计意图】（1）举学生身边的例子，使学生觉得有趣，更容易接受，激发学生的学习热情，在轻松愉悦的氛围中自然地引出课题，有利于学生对充分条件、必要条件的意义的理解；（2）从逆否命题的角度来帮助学生理解必要条件的意义.2.充分条件与必要条件的定义定义：一般地，如果“若p，则q”为真命题，即p qÞ，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件.（初步想法是让学生通过对例子的分析来抽象概括，现场需结合学情灵活把握）（二）巩固新知，深化概念3.充分条件与必要条件的判断例1 在下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件吗？q是p的必要条件吗？（1）若()-∞+∞上为增函数；f x在(,)f x x=，则()（2）若直线a和b是异面直线，则a和b不相交；（3）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（4）若x为无理数，则2x为无理数.【设计意图】（1）在课件中先显示前三个命题，让学生在熟悉的知识情境中判断充分条件和必要条件，加深对概念的理解；（2）强调判断充分条件、必要条件的关键点是分清p与q的推出关系；（3）通过对命题（4）的分析发现p不是q的充分条件，以此来充实学生对概念的认识.例2 判断下列命题的真假：（1）1x¹的充分条件；x¹是1（2）若{2}=>，则x AB x x=>，{3}A x xÎ.Î的充分条件是x B 【设计意图】（1）对比两个命题的说法，强调审题的重要性，要分清哪个是充分条件；（2）引导学生从集合的角度进一步理解充分条件与必要条件，即“小充分，大必要”；（3）总结出判断充分条件与必要条件的方法：○1定义；○2集合的角度.（三）牛刀小试，能力提升练习：判断下列问题中，p是q的充分条件吗？请说明理由.（1）p：四边形对角线相等，q：四边形是平行四边形；（2）已知圆C的方程是221+=，p：直线l是圆C的切线，q：点(0,0)x yO到直线l的距离等于1；a b；（3）已知两个向量a，b，p：¹a b，q：¹（4）p：0m>，q：方程20+-=有实数根.x x m【设计意图】（1）让学生进一步掌握判断充分条件、必要条件的方法；(2)以判断充分条件为载体再现易错点，帮助学生巩固知识点；（3）在这四个命题中依次满足“p 是q的既不充分也不必要条件、充要条件、必要而不充分条件、充分而不必要条件”，为学生下节课的学习做好铺垫.思考题：1.已知p：0m>，q：方程20x x m+-=有实数根.○1p是q的必要条件吗？○2若不是，你能通过修改p，使得p是q的必要条件吗？变式：已知p：m a>，q：方程20+-=有实数根. 若p是q的必要条件，x x m求实数a的取值范围.（先独立思考，再小组交流，最后展示成果）2.请写出“5+=”的一个充分条件.（若时间不够，留作课后作业）a b【设计意图】（1）通过这组练习，引导学生积极地思考，进一步理解概念；（2）强调从集合的角度来理解充分条件与必要条件；（3）通过小组活动，加强同学间的交流，激发学生的学习热情，形成良好的学习氛围.（四）总结提炼 ，推陈出新1.请你对本节课的学习内容进行小结.【设计意图】（1）引导学生养成总结的习惯；（2）再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点.2.引导学生从练习的四个命题中发现p 与q 之间存在以下四种关系：○1p q ?且q p ?；○2p q Þ且q p Þ；○3p q ?且q p Þ；○4p q Þ且q ?p .对于这四种关系我们应该如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题.【设计意图】（1）巩固本节课的重点内容；（2）体现知识的连贯性，为下节课的引入埋下伏笔，同时激发学生的好奇心和求知欲，做好课前预习.【作业布置】一、写作业本上1.课本第10页练习4；第12页A 组1(1)(2)、2 (1)(2)；2.（1）“函数()f x 是奇函数”是“()00f =”的充分条件吗？（2）“22x a b >+”是“2x ab >”的必要条件吗？3.反思：上完这节课我的主要收获是什么？还没有弄清楚的内容是什么？二、预习作业1.自主阅读课本第11页，尝试理解充要条件的概念；2.分析课本第11页例4的解答过程,体会p 与q 之间的关系;3.做第12页练习1，分析p 与q 之间充分性和必要性的关系可分为哪几种？。
高中数学选修2-1课件1.2充分条件与必要条件
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的
（Ａ ）条件
A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
练习4、
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
请同学们判断下列命题的真假，并 说明条件和结论有什么关系？
• （1）若x＝y，则x2＝y2
• （2）若ab = 0，则a = 0 • （3）若x2>1，则x>1 • （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
推断符号“ ”的含义
• 如果命题“若p则q”为真，则记作p q （或q p）。
如果命题“若p则q”为假，则记作p q （或q p）。
• a= 0
＞ ab=0。
要使结论ab=0成立，只要有条件a =0就足够了， “足够”就是“充分”的意思，因此称a =0是
ab=0的充分条件。另一方面如果ab≠0，也不可
能有a =0，也就是要使a =0，必须具备ab=0的条
件，因此我们称ab=0是a =0的必要条件。
充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若p q成立，
例2：指出下列各组命题中，p是q的什么条件， q是p的什么条件：
（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等. （3） p：a>b；q：a2>b2 （4） p：四边形的四条边相等；
q：四边形是正四边形.
复习
充分条件，必要条件的定义:
若 p q，则p是q成立的＿充＿分＿＿条件
1.2 充分条件与必要条件(第一课时)教案
1.2 充分条件与必要条件（第一课时）一、【教材分析】《充分条件与必要条件》是本章的重点内容也是高中数学的重点内容和高考的热点。
现行教学大纲把教学目标定位在“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。
充分条件与必要条件是中学数学最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论的逻辑关系，目的是为了今后的学习，特别是数学推理的学习打下基础。
这是一节概念课，是高中数学的重点课、难点课。
在现行教材中这节内容被安排在数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》中的“命题及其关系”之后。
编写者在数学概念的处理上，贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，对定义简洁精炼，而对教材的例题、练习题编排比较充分。
实践证明现行教材是比较切合实际的。
因为：①有了“命题及其关系”这节内容的铺垫，这将有助于学生对充分条件、必要条件及充要条件概念的学习理解；②教学时间的前置，让学生有足够的时间来进行滚动的巩固训练，以便达到预期效果。
③题量的增加，使知识在训练中得以巩固。
二、【学情分析】这是一堂新授课，学生在学习本小节时由于是第一次学习充分条件和必要条件，学生学习这一概念时的知识储备不够丰富、逻辑思维能力的训练还不够充分。
所以，学生理解充分条件与必要条件比较困难（特别是必要条件．．．．的理解），需要有足够的理解、消化、训练的时间才能达到熟练掌握的要求。
学习是一个渐进的过程，现行教材在小结与复习中把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，而不是一步到位达到高考要求——“掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义”。
而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。
三、【教学目标】（一）知识目标：1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。
2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。
3、在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
（二）能力目标：1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。
苏教版数学高二-选修2-1教案充分条件和必要条件
1-1-2充分条件和必要条件明谍栋分系解读双•■狄法•三维目标1. 知识与技能正确理解充分条件、必要条件的概念：会判断命题的充分条件、必要条件.2. 过程与方法通过对充分条件、必要条件的概念的理解与应用，培养学生的分析、判断和归纳的逻辑 思维能力.3•情感、态度与价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及良好的思维品质，在练习过程中进行辨证唯 物主义思想教育・•重点难点重点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断.难点：充分条件、必要条件、充要条件的证明与探究.教学时，应以回顾命题的结构入手，结合具体的实例，归纳岀必要条件、充分条件、充 要条件的定义，并将理论应用于实践，通过适当的例题及练习，掌握判左条件充要性的方法, 强调利用推出符号得出条件之间的充要关系，在此基础上进一步探讨充分条件、必要条件、 充要条件的证明与探究方法，突出教学的重点，化解教学的难点.•教学建议本节课是四种命题的延伸和深化，首先应以上巧课学习的命题知识为基础，进行理论铺 垫，通过具体的命题，得出充分条件、必要条件、充要条件的泄义，进而探究充要性的判断 方法，以及充分条件、必要条件、充要条件的探究方法，培养学生发散性思维能力.在学习 的过程中，要多举实例，类型要全，设计知识而要广泛，使学生利用新的逻辑思维方式理解 以前各章节学习的概念、泄理及性质.•教学流程回顾提问四种命题的构成、貢假关系，举例回答.=＞通过具体实例抽象岀充分条件、必 要条件的左义，归纳岀充分条件、必要条件的判左方法.n 通过具体实例抽象出充要条件的 龙义，归纳岀充要条件的判定方法，进而总结条件关系的分类，辨析充分条件与充要条件的 关系.=通过例1及变式训练，使学生掌握条件充要性的判断方法及步骤，并提醒学生注意 判别时的常犯敷学方案设计 疫方略汰4X 细解用•■敎秦错误.=＞通过例2及变式训练，使学生掌握多个命题间充要关系的判断方法，即用推岀符号画岀多个命题间的关系，找出通路，并且注意是否可逆.n通过例3及变式训练,使学生掌握命题的条件充要性的应用，即由它们的充要性求字母参数的取值范羽.=通过易错易误辨析，体会探求充分条件、必要条件、充要条件时不要把题意弄反，充分条件与必要条件不可颠倒.〜归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.〜完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.1 •理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.（重点）2. 结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要 条件的方法.（难点）3. 会求或证明命题的充要条件.（易错点）......................... 符号与“洽”的含义【问题导思】前而我们讨论了“若P 则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题. 1. 若 x>a 2+b 2，能推出 x>2ab 吗？【提示】能.2. 若ab=O,能推岀a=0吗?【提示】不能.一般地，命题'喏p 则旷为真，记作E'l "若p 则旷为假，记作'凶二疝说2|充分条件、必要条件、充要条件的含义【问题导思】判断命题''若x=l,则x2-4x+3=（r 中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解 释・【提示】“x=l“是“X?-4x+3=0“的充分条件，“X?-4x+3=0"是“x=l”的必要条件.两个条件“X =1MIF X 2_4X +3=（T'都是变量的取值，和集合有关.将“x=r‘对应集合记 作A, y-4x+3=（T 对应集合记作B.显然A B.1 • 一般地，如果那么称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件:如果 且飞»',那么称p 是q 的充分必要条件，简记为p 是q 的充要条件，记作D0・—如果且^q=>p\那么称p 是q 的必要不充分条件. 4・如果“pTq ”,且“qD3p ”,那么称p 是q 的既不充分又不必要条件.1?谕自主导学理狄材自晝自測固••無咄 自主学 习区4课标解读 2. 那么称p 是q 的充分不必要条件. 咬疑难师生31动渕•■加滋" 究区I 如果和之广,指岀下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件曲必要不充分条件皿充要条件''和''既不充分又不必要条件''中选出一种):(l) p ： Xa=O, q ：入=0或a=0(英中.入是实数，a 是向量):(2) p ： x=a, q ： 1x1=lai ：(3) p ：四边形是矩形，q ：四边形是正方形：(4) p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形.【思路探究】结合充要条件定义结论判断p=K| ?判断q=>p?【自主解答】(1)因为加=g=0或a=0,所以P 是q 的充要条件.⑵因为x=a=Mxl=lal, lxl = lal 云〉x=a,所以p 是q 的充分不必要条件.(3) 因为四边形是正方形n 四边形是矩形，四边形是矩形洽四边形是正方形，所以p 是q 的必要不充分条件.(4) 因为四边形的对角线相等洽四边形是平行四边形，四边形是平行四边形洽四边 形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分又不必要条件.I 规律方法I1. 判断p 是q 的充分条件还是必要条件，即对命题“若p 则q”“若q 则p“进行真假判断, 即确左p 与q 之间有怎样的推式成立，注意命题的貞•假对应的推式.2. 判断p 是q 的什么条件，不能只看p=q 是否成立，还要检验qnp 是否成立.>娈垃训缰下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1) p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除：(2) p ： A ABC 中有两个角相等，q ： A ABC 是等腰三角形；(3) p ： a 2+b 2>2ab» q ： la+bklal+lbl ・【解】(1)因为能被6整除的数一立能被3整除，所以p=q,但能被3整除的数不一 定能被6整除，如9,所以q 冷p ，所以p 是q 的充分不必要条件.(2)因为三角形中若有两个角相等，则一立是等腰三角形.反之，等腰三角形中一定有充分条件、必要条件、充要条件卜例两个角相等，所以puq,即p是q的充要条件.(3)因为a24-b2—2ab=(a—b)2>0,所以a±b.而la+blvlal+lbl必须满足a, b异号，即p洽q，同时q=p，所以p是q的必要不充分条件.充分条件.必要条件、充要条件的探求若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件,q是s的必要条件，则s是p的什么条件？【思路探究】题设中给出的信息较多，而且还有一些干扰信息，因此要想从中找岀s 与p 的关系并不容易，可考虑将文字语言翻译成符号语言，使它们之间的关系一目了然，便于找到答案.【自主解答】p，q，r, s之间的关系如图所示，由图可知pns,但s冷p,故s是p 的必要不充分条件.I规律方法I1.当题目中涉及到多个命题时，判断其充要性时，一般可采用链接成图，寻求“通路".2.用图形来反映条件之间的关系有三个地方易岀错：⑴翻译不准确，(2)标注箭头有误，(3)读图错误.因此解决此类问题时，一立要细心，避免弄巧成拙.► illl 练如果p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，那么下列说法正确的是__________ .①r是p的充分不必要条件：② r 是p 的必要不充分条件；③ r 是p 的充要条件：④ r 是p 的既不充分又不必要条件.【解析】由题意可得pUq 貰J,故r 是P 的充分不必要条件. 【答案】 ①充分条件.必要条件、充要条件的应用1 —a 14-a i已知条件 p ： {xlx<—J —X>—(a>0)},条件 q ：农匚一％+1>" 试选取适当的实数a 的值，使p 是q 的充分条件.【思路探究】pnq-转化为集合关系-利用数轴-求a 范用【自主解答】 由已知，p 是q 成立的充分条件，则集合p 是集合q 的子集.ri-a 1•••a 的取值范国是求字母参数的取值范帀，一般转化为集合间的包含关系列等式(或不等 式). 2.作题时，要审淸题意，如本例中，p 是q 的充分条件，有两层含义，即充要和充分ri-a 1丁勺不必要，不要片而地当成后者，而列错不等式S a+1 F>1A 娈it 训蓬已知p ： x 2—8x —20>0, q ： x 2—2x+1 — m 2>0(m>0),若q 是p 的充分不必要条件，求 实数m 的取值范用.【解】 由 X 2—8x —20>0,得 x>10 或 x<—2.由 X 2—2x+1—m 2>0,得 x>l+m 或 x<l — m(m>0).a+1 I F /. a>4.V2x 2-3x+l>0>/.p ： {xlx>10 或 xv —2}, q ： {xlx>l+m 或 xvl —m}・ 又Tq 是p 的充分不必要条件，m>0,1+皿10,解得咗9.」一nW —2, 混淆充分条件与必要条件致误使不等式2x 2-5x-3>0成立的一个充分不必要条件是(D^O:②x<0 或 x>2： ③xG {—1,3,5}；④x£—扌或 沦3.【错解】 由2x 2—5x-3>0解得丘3或x<—因为集合{x|xN3或x<—{xlx>2或 x<0},所以“xvO 或x>2“是使不等式2x 2-5x-3>0成立的一个充分不必要条件.故填②.【答案】②【错因分析】 对于两个条件A, B,如果AnB 成立，则A 是B 的充分条件（B 的充分 条件是A ）, B 是A 的必要条件：如果B=>A 成立，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条 件：如果AuB,则A, B 互为充要条件.解题时最容易出错的原因就是颠倒了充分性和必 要性.【防范措施】 在解答问题时务必看淸设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后 根据充分、必要条件的概念作出准确的判断.【正解】 由于不等式2x 2-5x-3>0的解为沦3或x<-|,所以只有xG{-L3,5}是使 不等式2x2—5X-3R 成立的一个充分不必要条件.故填③.【答案】③易找易谋辨析巧分耕解疑辨渓避••昭倂" 技能提 升区I卜典例一1. 判断充要条件的步骤：(1) 确定条件p 是什么，结论q 是什么：(2) 尝试从条件推结论，如果p=q ，则充分性成立，p 是q 的充分条件；(3) 再考虑从结论推条件，如果qnp ，则p 是q 的必要条件，必要性成立;(4) 下一个完整的结论.2. 多个命题间充要性的判别方法：(1) 审淸题意，用“n”符号将命题链接成图：(2) 在图中寻求两命题间的推岀关系，由充要性的定义进行判别.3. 已知充要性求参数(或参数的取值范用)，一般利用转化思想，转化为集合间的关系, 进行求解.当 c=0 时，ac 2=bc 2.(3) 由平而几何知识知填【答案】(1)=> (2)u (3)02 •从“充分不必要条件"必要不充分条件…充要条件曲既不充分又不必要条件'，中选一种 填空:2 a>b ______ ac 2>bc 2: CCCCCCCCCCCC怨堂练生生互动达•■氷标”交谎学 习区I(2)ac 1 2 3>bc 2=>a>b, ac 2>bc 2,(lfa e N"是乜E 乙‘的 _______ ；(2 广 xv5"是W3“的 _____ :(3)“同旁内角互补“是,俩直线平行”的 ______【解析】(l)aGN=>aeZ> aWN# aWZ ・(3广同旁内角互补"b 两直线平行二【答案】充分不必要条件必要不充分条件充要条件3. (2013-浙江髙考改编)若aGR,则是geos a‘'的 ____________________ 条件.【解析】 若 a=0,贝lJsina=O, cos a= 1» 所以 sin a<cos a» 即 a=0=>sm a<cos a ：但当a=—号时，有siii a= — l<0=cos a,此时aR.所以"a=0，>是"sin geos cf'的充分不必要 条件.【答案】充分不必要 m h c4. 在A ABC 中，设命题p ： 命=碇=碗，命题牛A ABC 是等边三角形，那么 命题p 是命题q 的什么条件？【解】q=>p ，由△ ABC 是等边三角形，则a=b=c» A=B=C,显然成立.pnq ：由三角形的性质可知：b c asin B 'sin C —sin A'乂 l -'*^l sinB ==slnC =sin A*两式相除得:夕峠=?,令夕峠w=t,则 a=ct, b=at, c=bt,/.abc=abct 3t 得 t=l,因此a=b=c,即厶ABC 是等边三角形.因此p 是q 的充要条件.一.填空题1・、>1"是牛|>1"的 _______________ 条件.【解析】lxb>l«Ol 或 xv-l, ・「x>r'=qxpl,"但“|x|>LD=>广x>l", 故为充分不必要条件.【答案】充分不必要3 圆心O 到直线1的距离等于半径 ________ 直线1与圆O 相切.【解析】(l)X 2=l^X = ±l ・(2)x<5<=x<3, x<5课下测自我评怙 U °考肱"升区I2.设x, yeR,则^沦2且胆2"是'左+丫上疥'的___________ 条件.【解析】T沦2且y>2, x2-by2>4, /.J^2且y^2是x2J-y2>4的充分条件；而x* y±4不一泄得岀心且yN2,例如当xW—2且理一2时，x2+y2>4亦成立，故总2且yN2 不是x2+y2>4的必要条件.【答案】充分不必要3・已知a, b, c均为实数，b2—4ac<0是ax'+bx+c〉0恒成立的___________ 条件.【解析】b2—4ac<0D=>/ax2+bx+c>0 恒成立，ax2+bx+c>0 恒成立D=>/b2—4ac>0.【答案】既不充分也不必要4.设集合M={1,2}, N={a2},贝ij“a=l"是“NUM”的 ___________ 条件.【解析】若a=L则N ={1}, NUM：若Nn则汩=1或a2=2,得不出a=l. •••乜=1'4<=门匸皿'・【答案】充分不必要5.设{缶}是等比数列，贝favaxaT是“数列{aj是递增数列"的__________ 条件.【解析】{an}是等比数列，an=ai qn *,由ai<a2<a3，得ai<aiq<aiq2,即apO, q>l或ai<0.0<q<l,故⑻}是递增数列，反之亦成立.【答案】充要6.设a, b为向量,则>bl=lallbr*是“a〃b“的____________ 条件.【解析】当la.bl=lallbl时，若a, b中有零向量，显然a〃b：若a, b均不为零向量，则la-bl=lallbllcos a, b l=lallbl,/.Icos a, b 1=1,a, b =兀或0,•••a〃b,即la・bl=lallblw〃b.当a〃b时，a, b =0或兀，/. Ia-bl = llallblcos a, b l=lallbl>貝中，若a, b有零向量也成立，即a〃bnla・bl = lallbl,综上知，“|a・bl=lallb「是F// b"的充分必要条件.【答案】充分必要7.不等式(a+x)(l+x)<0成立的一个充分而不必要条件是一2<x<-L则a的取值范围是________ ・【解析】(a+x)(l+x)vO,由题意知其解集应为{xl-a<x<-l}・又T其充分不必要条件为一2<x< — 1,・°.{xl—2<x<—1} {xl —a<x<—1},/. —a<—2, •*.a>2・【答案】(2, 4-oo)8.给出下列命题：①“a>b”是“a*的充分不必要条件；②“lga=lgb^“a=b”的必要不充分条件：③若x, yGR,则“凶=|刃”是、2=y2”的充要条件：④ZkABC中，“sin A>sin B"是“A>B"的充要条件.英中真命题是 _______ .(写出所有真命题的序号)【解析】®a>bD=>/a2>b2, a2>b2D=>/a>b，应为既不充分也不必要条件：®lga=lgb=>a =b,但a=bD=Vlg a=Ig b.如a=b=—2,应为充分不必要条件：④sin A>sin B<=^Rsin A>2Rsin B<=»>b<=¥\>B.【答案】③®二、解答题9.求证：关于x的方程ax2 + bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【证明】必要性：•・•方程ax2+bx-kc=0有一个根为1,/.x= 1 满足方程ax2+bx+c=0,•\a-l2+b l+c=0,即a+b+c=0・充分性：Ta+b+c=0, •••c=—a—b,代入方程ax24-bx+c=0 中可得ax24-bx—a—b =0,即(x—l)(ax+a+b)=0.故方程ax2+bx+c=0 有一个根为1.综上可知，关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.2x—310.在直角坐标系中，求点(2x+3 — x?,亍=)在第四象限的充要条件.2\ —3【解】点(2x+3-x2, 在第四象限9Y —3 3•••点(2x+3-x2,亍=)在第四象限的充要条件是TVxV^或2Vx<3・11.已知p: 取值范围. —7<x<9, q： 1 —ni<x<l + m(m>0),若p是q的充分不必要条件，求m的f2x+3-x2>0 千2x_32—x <0-l<x<3昌3xp 或x>2<=>—1 VxV号或2<x<3.【解】设A={xl—7<x<9}, B={xll — mSxSl+m}, TP是q的充分不必要条件、：B,/. m>8>即m 的取值范围是(8, +°°)敷帅备课资源 感折展因材施数闱“视野“ 毙侵fA 叠选刮题.求证：方程mx?—2x+3=0(mW0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是OVmV#.【思路探究】解答本题首先应分清条件和结论，再证明充分性和必要性.【自主解答】(1)充分性：若 0<mV* 则 A=4— 12m>0,.•.方程有两个不相等的实数根.设两个不相等的实数根为X], X2，2 3 /.X| + X2=—>0, X1-X2 = —>0,•*.X1与X2同号,.・.0Vm<碁方程mX?—2x+3=0(n 详0)有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2-2x + 3=0(n#0)W 两个同号且不相等的实根，设两根为xi, x 2,贝9△=4— 12m>0,< 3 X1X2 =—>0,方程 mx?—2x+3=0(n#0)有两个同号且不相等的实根nOVmvg综上可知：方程mx?—2x+3=0(inM0)有两个同号且不相等实根的充要条件是OVm<g I 规律方法I1.本题中“OVmV 卜是条件，“方程mx?—2x+3=0(n 详0)有两个同号且不相等的实根” 是结论.1 —m<—71 +m>9 且等号不能同时成立.2.证明“充要条件"的一般步骤：分淸条件p，结论q—>充分性pnq-*必要性q=>p—>p<=q»备迭娈IL设x, yGR,求证lx+yl=lxl+lyl成立的充要条件是xyNO.【证明】①充分性：如果xyR,那么有xy=O和xy>0两种情况.当xy=O时，通过推理易知等式成立.当xy>0时，x>0,且y>0或xvO,且yvO•当x>0, y>0时，lx+yl=x + y, lxl+lyl=x+y,二等式成立.当x<0, yvO 时,lx+yl=_(x+y), lxl+lyl=_x_y, •:等式成立・②必要性：若lx+yl=lxl+lyl,且x, yGRt 贝ijlx+yl2=(lxl+lyl)2,即x2+2xy+y2 =x2+y2+2lxl-lyL /. Ixyl=xy, /. xy>0.综上可知xy>0是lx+yl=lxl+lyl成立的充要条件・(1) _________ x = l x2=l；。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 1.1.2 充分条件和必要条件》6
1.1.2 充分条件和必要条件一、教学内容、知识地位分析：1. 知识地位：逻辑是研究思维规律的学科，逻辑用语在数学中具有重要的作用.学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.而“充分条件与必要条件〞是数学中常用的逻辑用语，在数学学科中大量的命题用它们来表达.“充分条件与必要条件〞是在前一节“命题及其关系〞的根底产生的新知，也为后续“充要条件〞的学习提供了保障. 2. 教学内容：“充分条件与必要条件〞是在时，对与之间关系的一种描述.“〞与“是的充分条件〞、“是的必要条件〞之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中与之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假.另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，从“形〞上〔韦恩图表示集合关系〕帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.二、教学目标：1. 理解充分条件、必要条件的意义；能正确判断是否是充分条件或必要条件.2. 通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受；3. 通过对充分条件和必要条件与集合间的联系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯.三、学生学情分析：1．教学有利因素：高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式〔假设那么〕和四种命题的学习，以及学生日常生活中已有大量逻辑经验的积累都为本节课“充分条件与必要条件〞概念的学习奠定了良好的根底.2.教学不利因素：“充分条件与必要条件〞是密不可分的、相对的两个概念，以学生已有的知识根底对“充分条件〞的理解较为容易，但对“必要条件〞概念的理解较为困难.另外，充分条件与必要条件的是一个开放性的知识交汇点，往往涉及其它数学知识或者其它学科知识，对学生其它知识的掌握也有一定要求.四、教学重难点：1. 教学重点：充分条件与必要条件.2. 教学难点：必要条件概念的理解.五、教学过程：AB(3)假设a>b,那么ac>bc.三、新课探究二判断以下命题中,ｐ是ｑ的什么条件?关于ｘ的一元二次方程ｐ:方程有两个不相等的实数根,ｑ:ｍ＞１.从集合的角度来理解充分条件、必要条件思考： 充分条件和必要条件与集合之间的联系，且，集合与间之间有怎样的关系？（1）在中，一定在中：成立，一定成立；有它即可.（2）不在中，一定不在中：不成立，一定不成立；缺它不行.例3. 〔1〕用集合的方法来判断p 是q 的什么条件。
1.2.充分条件与必要条件-人教A版选修2-1教案
1.2 充分条件与必要条件-人教A版选修2-1教案一、教学目标1.理解充分条件与必要条件的概念；2.能够将一个命题转化为充分条件与必要条件的形式；3.掌握“充分必要条件”的基本思想；4.了解条件语句的真值表。
二、教学重、难点1.充分条件与必要条件的判定；2.充分必要条件的应用。
三、教学过程1.引入请同学们思考以下问题：如果一件事情发生了，它是因为什么导致的？如果我们知道这个原因，那么这件事情会发生吗？通过此种引入方式，让学生自然地进入前后件，充分条件，必要条件的认识，为后续教学打好基础。
2.概念•充分条件：如果A发生，那么B一定会发生。
即A→B，也记作B←A；•必要条件：如果B没有发生，那么A一定没有发生。
即A←B，也记作B→A。
3.例题1.如果生活习惯不良，那么容易生病。
这个命题用充分条件与必要条件的形式写出来是什么？解答：充分条件：容易生病→生活习惯不良，必要条件：生活习惯不良→容易生病。
2.如果一次函数y=kx+b的斜率k=0，那么这个函数是否为常函数？解答：充分条件：斜率k=0 → y是常数。
必要条件：y是常数→ 斜率k=0。
4.充分必要条件如果A是B的充分条件，且B是A的必要条件，那么我们就称 A是B的充分必要条件，也表示为A↔B。
充分必要条件的真值表如下：A B A→B B→A A↔BT T T T TT F F T FF T T F FF F T T T通过以上的真值表，可以得到A↔B的充分必要条件是 A与B的真值相等，即A和B同时为真或同时为假。
5.例题请证明：一个数是4的倍数，当且仅当它的末两位是4的倍数。
解答：设整数n=100a+b，其中1≤b≤99，证明“n是4的倍数当且仅当b是4的倍数”。
•充分性证明：若n是4的倍数，则n=4k，意味着n的末两位必为4k的末两位，即b=4k0，因此b是4的倍数。
•必要性证明：若b是4的倍数，则b=4k，则n=100a+b=4k+100a=4(25a+k)，即n是4的倍数。
第四课时 选修2-1 1.2 充分条件与必要条件
第四课时 选修2-1 1.2 充分条件与必要条件☆ 题型一 充分条件、必要条件的概念☆例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=； （2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（3）若x 为无理数，则2x 为无理数.拓展练习1 下列“若p ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若x y =，则22x y =； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；（3）若a b >，则ac bc >拓展练习2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？（1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.拓展练习3 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.☆ 题型二 充分条件、必要条件的判断☆例3下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤；（3）p ：2x =，q ：3x -= （4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形. 拓展练习4 p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.拓展练习5 p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.拓展练习6设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的 条件，x B ∈是x A ∈的 条件 拓展练习7 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q .(1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?☆ 题型三 充分条件、必要条件的应用☆例4 已知2:8200p x x --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围拓展练习8 已知:40p x m +<，2:20q x x -->，若p 是q 的一个充分不必要条件，求m 的取值范围.☆ 题型四 充要条件的证明☆例5求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.课堂检测 二1．“x 2>2 012”是“x 2>2 011”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在下列3个结论中，正确的有 ( )．①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是△ABC 为直角三角形的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③3．p ：|x －2|≤5是q ：x ≥－1或x ≤5的 条件4．平面//α平面β的一个充分条件是（ ）.A.存在一条直线,//,//a a a αβB.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂5．直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件为6．已知p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；实数x 满足260x x --≤或2280x x +->且p ⌝ 是q ⌝是的必要不充分条件，求a 的取值范围.家庭作业 二1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给定空间中直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的______条件．3．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件4．22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<< C.132x -<< D.16x -<< 5．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝________．6．证明：“0≤a ≤16”是“函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 1.1.2 充分条件和必要条件》
树人学校高一数学公开课导学案充分条件和必要条件（1）【学习目标】------ 有的放矢1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．理解“⇒”、“⇒”、“⇔”的意义，并会应用解题；3．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法．【预习导学】 ------ 积蓄能量，蓄势待发要求：1、自主阅读课本选修2—1第7～8页； 2、自主思考完成预习活动；3、尝试提出预习中的疑问．问题1：命题“若b a ln ln =，则b a =”．（1）p ： ，q ： ．（2）判断该命题的真假 ．（3）该命题可记为： ．问题2：命题“若0=ab ，则0=a ”．（1）p ： ，q ： ．（2）判断该命题的真假 ．（3）该命题可记为： ．〖结论〗1、一般地，“若p ，则q ”为真命题，我们就说，由p 推出q ，记作q p ⇒，并且说p 是q 的 ，同时称q 是p 的 ．2、一般地，“若p ，则q ”为 命题，我们就说，由p 不能推出q ，记作 ，并且说p 不是q 的 ，同时q 不是p 的 ．问题3：命题a ，R b ∈，“若b a >，则c b c a +>+”．（1）p ： ，q ： ．（2）判断该命题的真假 ，逆命题的真假 ．（3）p 与q 的关系可记为： ．〖结论〗3、一般地，如果既有q p ⇒，又有p q ⇒，记作 ，此时我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．问题4：观察命题1、命题2中p 、q 的关系，试得出如下结论：〖结论〗 4、如果有p q ，且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；5、如果有p q ，且q p ，则p 是q 的必要不充分条件．问题5：命题a ，R b ∈,“若b a >，则ba 11>”． （1）p ： ，q ： ．（2）判断该命题的真假 ，逆命题的真假 ．（3）p 与q 的关系可记为： ．〖结论〗 6、如果有p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．〖我的疑问〗------ 你能发现自学中的问题并提出问题吗？【合作探究】------ 比一比，哪个小组速度快！（结合预习中的问题，分小组合作探究，并合作完成练习）练习：用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填空：（1）:p 内错角相等，:q 两直线平行； p 是q 的 条件．（2）:p 1-≥x ，:q 12<x ； p 是q 的 条件．（3）:p 整数a 能被6整除，:q a 的个位数字为偶数； p 是q 的 条件．（4） :p b a >，:q 22b a >． p 是q 的 条件．【知识建构】----- 内化、深化概念1、充分条件、必要条件的定义：一般地，如果q p ⇒，那么称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件．2、命题成立的四种条件（用符号表示）：（1）充分不必要条件： ；（2）必要不充分条件： ；（3）充要条件： ；（4）既不充分也不必要条件： ．【学以致用】----- 运用理论、解决问题例1 用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表．M 是N 变式：已知充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则Q 是M 的 的条件例2 已知p ：1|1|>-x ，q ：010342>-+-x x x 问：非p 是非q 的什么条件？〖我的收获〗变式：已知p ： 102≤≤-x ；q ：)0(11>+≤≤-m m x m ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．〖我的收获〗【课堂反馈】----- 比一比，谁的效率高！用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填空：1．（2021福建卷）若R a ∈，则“1=a ”是“1=a ”的 条件．2．（2021浙江卷）设R a ∈，则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax l 与直线042:2=++y x l 平行”的 条件．3．（2021天津卷）设R x ∈，则“21>x ”是“0122>-+x x ”的 条件． 4．借助“电路图”理解充分条件与必要条件 设“开关A 闭合”为条件M ，“灯泡B 亮”为结论N ，则图（1）中M 是N 的 条件，图（2）中M 是N 的 条件图（1） 图（2）5．“22b a x +>”的 条件是“ab x 2>”．6．若甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的必要不充分条件，丁是丙的充要条件，则丁是甲的条件．【自主尝试建构】----- 学而不思则罔1．知识方面：2．题型与解题方法：。
高中数学选修2-1 1.2充分条件与必要条件
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原 命题。由于原命题和它的逆否命题具有相 同的真假性，要证原命题为真命题，可以 证明它的逆否命题为真命题。
3
选修2－1第一章 常用逻辑用语
1.2充分条件与必要条件
（第二课时）
一、复习回顾 1.充分条件 命题“若p,则q”为真.
若pq , 则称p是q的充分条件；
2.必要条件
若pq , 则称q是 p的必要条件；
3.充要条件 若p q，则称p是q的充要条件.
命题“若p,则q”为真， 一般说法： 命题 “若q,则p” 为假
A.x>1;
C.x<5;
B.x>8;
谁是条件？谁是结论? D.x<6.
(2)下列哪个条件是x>5成立的充分条件？( B )
A.x>1; B.x>8; 提示: ? x>5
C.x<5;
A.x>1;
D.x<6. 谁是条件？谁是结论?
B.x>8; 提示:x>5 ?
(3) x>5成立的必要条件是？( A)
例题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题 q是p的必要条件？
(1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b，则ac>bc. 点拨：还是判断“p q”是否为真命题。
例题3.填空题，试用适当的词语填空 充分不必要 （1）x＝y是x2＝y2的_____________ 条件 必要不充分 （2）ab = 0是a = 0 的________________条件 既不充分又不必要 （3）x2>1是x<1的__________________条件 充要 （4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件
北师大版高中数学选修2-1学案：第1章 充分条件与必要条件 充分条件与判定定理 必要条件与性质定理
§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件与必要条件2.2 充分条件与判定定理2.3 必要条件与性质定理学习目标：1.理解充分条件、必要条件的概念．(重点) 2.掌握充分条件、必要条件的判断．(易混点、难点)充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考：(1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？[提示]判定定理给出了结论成立的充分条件．(2)性质定理给出了结论成立的什么条件？[提示]性质定理给出了结论成立的必要条件.1.判断正误(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件．( )(2)若p是q的充分条件,则若p则q是真命题．( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．( )[答案](1)√(2)√(3)×2.下列命题中,真命题是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件B[“x2>0”是“x>0”的必要条件；“xy＝0”是“x＝0”的必要条件；“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件；“|x|>1”是“x2不小于1”的充分条件．故选B.]3.若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的________条件．充分[∵p⇒q,q⇒r,∴p⇒r.]4.“ab>0”是“a>0,b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．必要[∵a>0,b>0,∴ab>0.反之,不一定成立,故“ab>0”是“a>0,b>0”的必要条件．]充分条件【例1】(1) “a＋b>2c”的一个充分条件是( )A．a>c或b>c B．a>c或b<cC．a>c且b<c D．a>c且b>c(2)下列各题中,p是q的充分条件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0,q：x－2＝0；②p：两个三角形相似,q：两个三角形全等；③p：m＜－2,q：方程x2－x－m＝0无实根．(1)D (2)③[(1)a>c且b>c⇒a＋b>2c,a＋b>2c a>c且b>c,故选D.(2)①∵(x－2)(x－3)＝0,∴x＝2或x＝3,不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件．②∵两个三角形相似,不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件．③∵m＜－2,∴Δ＝12＋4m＜0,∴方程x2－x－m＝0无实根,∴p是q的充分条件．]1．判定p是q的充分条件要先分清什么是p,什么是q,即转化成p⇒q问题．2．除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A ⊆B,则p是q的充分条件．1．(1)“a＞b,b＞2”是“a＋b＞4,ab＞4”的________条件．(2)设命题甲为0＜x＜5,命题乙为|x－2|＜3,那么甲是乙的________条件．(1)充分(2)充分[(1)由a＞b,b＞2⇒a＋b＞4,ab＞4,∴是充分条件．(2)解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5,∵0＜x＜5⇒－1＜x＜5,∴甲是乙的充分条件．]必要条件的判断(1)p：x＞2且y＞3,q：x＋y＞5；(2)p：y＝x2,q：函数是偶函数；(3)p：一个四边形的四个角都相等,q：四边形是正方形．[思路探究]要判断p与q的关系,主要看是p⇒q,还是q⇒p.[解](1)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件．(2)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件．(3)由于q⇒p,故q是p的充分条件,p是q的必要条件．1．判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立；若p⇒q为真,则p是q的充分条件,若q⇒p为真,则p是q的必要条件．2．可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”．若A⊇B,则甲是乙的必要条件．2．“0＜x＜5”的一个必要条件是( )A．x＞5 B．x2－5x＞0C．0＜x＜4 D．x＜5D[∵0＜x＜5⇒x＜5,∴x＜5是0＜x＜5的一个必要条件．故选D.]充分条件与必要条件的应用1．从集合的角度如何判断充分条件、必要条件？[提示]设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A；若x具有性质q,则x∈B.若A⊆B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p⇒q,p是q的充分条件．同理,若B⊆A,即q⇒p,p 是q的必要条件．2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？[提示]不同. 若p是q的充分条件则p是条件,q是结论；若p的充分条件是q,则p是结论,q是条件．【例3】已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0,其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件,求实数a的取值范围．[思路探究]q是p的必要条件等价于p⇒q,可借助集合的知识求解．[解]由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a<x<a,所以p：3a<x<a,即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0得－2≤x≤3,所以q：－2≤x≤3,即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为q是p的必要条件,所以p⇒q,所以A⊆B,所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a ≤3，a<0⇒－23≤a<0,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.1.(变条件)本例中条件“a<0”改为“a>0”,若q 是p 的充分条件,求实数a 的取值范围． [解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a>0得a<x<3a, 所以p ：a<x<3a,即集合A ＝{x|a<x<3a}． 由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}． 因为q 是p 的充分条件,所以q ⇒p,所以B ⊆A, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥3，a ≤－2，⇒a ∈.a>02.(变条件)将“q：实数x 满足x 2－x －6≤0”改为“q：实数x 满足x 2＋3x≤0”,其他条件不变,求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a. 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}． 由x 2＋3x≤0得－3≤x≤0,所以q ：－3≤x≤0,即集合B ＝{x|－3≤x≤0}． 因为q 是p 的必要条件,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－3，a ≤0，a<0⇒－1≤a<0.所以a 的取值范围是[－1,0)．充分条件与必要条件的应用技巧1．应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题． 2．求解步骤：先把p,q 等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解．1．若a∈R,则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．无法判断A[由(a－1)(a－2)＝0得a＝1或a＝2,所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分条件,故选A.] 2．设x∈R,则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3A[x>2⇒x>1,∴x>1是x>2的必要条件．]3．设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A．丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C．丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件D．无法判断A[∵乙⇒甲,丙⇒乙,乙丙,∴丙⇒甲,甲丙,∴丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件．故选A.]4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．(1)必要条件(2)充分条件[(1) 当ac<0时,Δ＝b2－4ac>0,此时ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根,反之不一定成立,故“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要条件．(2)△ABC≌△A′B′C′可推出△ABC∽△A′B′C′,反之不一定成立,故“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件．]5．若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件,求m的取值范围．[解]由(x－1)(x－2)>0可得x>2或x<1,由已知条件,知{x|x<m}{x|x>2或x<1}．∴m≤1.。
高中数学选修2-1精品教案5：1.2.1 充要条件与必要条件教学设计
1.2.1 充分条件与必要条件教学目标：1.理解推断符号“⇒”的含义2.理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用3.培养学生的逻辑推理能力教学重点：充分条件、必要条件的判断教学难点：理解充分条件、必要条件的判断方法教具准备：多媒体教案教学过程：一、复习回顾1、命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q2、四种命题及相互关系：本节将在判断“若 p则q”命题的真假的基础上，研究p是q成立的充分条件还是必要条件问题二、新课§1.8.1 充分条件与必要条件1.推断符号“⇒”的含义：例如命题（2）、（3）、（4）为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q 一定成立，此时可记作“p⇒q”又例如命题（1）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq”请同学用推断符号“⇒”写出上述命题答：（1）a>b⇒ac>bc； (2)a>b⇒a+c>b+c；(3)x≥0⇒x2≥0；（4）两三角形全等⇒两三角形面积相等2.充分条件与必要条件下面给出充分条件与必要条件的定义一般地，如果已知p ⇒q ，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件由上述定义中，“p ⇒q ”即如果具备了条件p ，就足以保证q 成立，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解。
但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？请同学们讨论（不很理解的较多，特别是q 是结论，怎么又变为条件呢？）应注意条件和结论是相对而言的．由“p ⇒q ”等价命题是“┐q ⇒┐p ”，即若q 不成立，则p 就不成立，故q 就是p 成立的必要条件了．但还必须注意，q 成立时，p 可能成立，也可能不成立，即q 成立不保证p 一定成立回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”的必要条件（3）中：“x ≥0”是“x 2≥0”的充分条件；“x 2≥0”是“x ≥0”的必要条件（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件3.从集合角度理解：①p ⇒q ，相当于Q P ⊆，即 P Q 或P 、Q即：要使x ∈Q 成立，只要x ∈P 就足够了——有它就行②q ⇒p ，相当于Q P ⊇，即Q P 或P 、Q即：为使x ∈Q 成立，必须要使x ∈P ——缺它不行q ⇒p 等价于q p ⌝⇒⌝。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．2充分条件与必要条件
（一）教学目标
1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．
2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归
纳的逻辑思维能力．
３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思
维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（二）教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
难点：判断命题的充分条件、必要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
（三）教学过程
学生探究过程：
1．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．
２．给出定义
命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p⇒q．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ⇒ q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件．
上面的命题(1)为真命题，即
x ＞ a2 + b2 ⇒x ＞ 2ab，
所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．
3．例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
解略．
例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．
解略．
４、巩固巩固：P12 练习第1、2、3、4题
５．教学反思：
充分、必要的定义．
在“若p，则q”中，若p q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．
６．作业 P14：习题1.2A组第1(1)(2),2(1)(2)题
注：（1）条件是相互的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；
② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件；
④ p是q的既不充分也不必要条件．。