浙江省衢州市龙游湖镇初中2018届九年级数学上册 二次函数复习卷 精品
2018-2019学年浙教版九年级上数学专题复习二：二次函数图象与系数的关系含答案
专题复习二 二次函数图象与系数的关系(1)系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.(2)对称轴在y 轴的左侧，a ，b 同号；对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号.(3)c>0时，图象与y 轴交点在x 轴上方；c=0时，图象过原点；c<0时，图象与y 轴交点在x 轴下方.(4)b 2-4ac 的符号决定抛物线与坐标轴的交点个数.1.已知二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么a ，b 的符号为(C ).A.a ＞0，b ＞0B.a ＜0，b ＞0C.a ＞0，b ＜0D.a ＜0，b ＜0 (第1题) (第2题) (第5题)2.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，对称轴是直线x=1，则下列结论错误的是(D ).A.c ＞0B.2a+b=0C.b 2-4ac ＞0D.a-b+c ＞03.二次函数y=ax 2-a 与反比例函数y=xa (a ≠0)在同一平面直角坐标系中可能的图象为(A ). A. B. C. D.4.二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点(D ).A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)5.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b 2-4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c-a=2；④方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有(C ).A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M(a ，c)在第 三 象限.7.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1，给出以下结论：（第7题）①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③4b+c ＜0；④若B （-25，y 1），C （-21，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2； ⑤当-3≤x ≤1时，y ≥0.其中正确的结论有 ②③⑤ (填序号).8.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，顶点落在第二象限．(1)试确定a ，b ，b 2-4ac 的符号，并简述理由．(2)若此二次函数的图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为32，求抛物线的二次函数的表达式．【答案】(1)∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵顶点在第二象限，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-044022ab ac a b ，∴b ＜0，b 2-4ac ＞0. (2)由题意可得c=0，此时顶点坐标为（-a b 2，-a b 42）.∵顶点在直线x+y=0上，∴-a b 2-ab 42=0. ∴b=-2.此时顶点坐标为（a 1，-a 1）.∴21a +21a =(32)2.∴a=-31或a=31 (舍去).∴抛物线的函数表达式为y=-31x 2-2x. 9.已知函数y=x 2-2mx 的顶点为点D.(1)求点D 的坐标(用含m 的代数式表示).(2)求函数y=x 2-2mx 的图象与x 轴的交点坐标.(3)若函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围.【答案】(1)y=x 2-2mx=(x-m)2-m 2，∴顶点D(m ，-m 2).(2)令y=0，得x 2-2mx=0，解得x 1=0，x 2=2m.∴函数的图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2m ，0).(3)∵函数y=x 2-2mx 的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方.∴-m 2＞m ，即m 2+m ＜0.∴m 的取值范围是-1＜m ＜0.10.已知抛物线y=ax 2+3x+(a-2)，a 是常数且a ＜0，下列选项中，可能是它大致图象的是(B ).A. B. C. D.11.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①4ac-b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m(am+b)+b ＜a(m ≠-1).其中正确的结论有(B ).A.4个B.3个C.2个D.1个(第11题) (第12题) （第14题）(第15题)12.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，则下列结论：①b 2-4c ＜0；②c-b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+(b-1)x+c ＜0．其中正确结论的个数为(C ).A.1B.2C.3D.413.二次函数y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(-1，0).设t=a+b+1，则t 的取值范围是 0＜t ＜2 ．14.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则a b 的值为 -2 ，a c 的取值范围是 -8＜ac ＜-3.【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=-a b 2=1，即ab =-2.由图象知当x=-2时，y ＞0，即4a-2b+c ＞0①，当x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0②，将b=-2a 代入①②，得c ＞-8a ，c ＜-3a.又∵a ＞0，∴-8＜ca ＜-3.15.如图所示为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A ，B ，C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则a ，b 之间满足的关系式为 a-b+1=0 ．(第16题)16.如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象.(1)判断a ，b ，c 及b 2-4ac 的符号．(2)若OA=OB ，求证：ac+b+1=0．【答案】(1)a>0,b<0,c<0,b 2-4ac>0.(2)∵OA=OB ，且OB=|c|=-c ，∴ax 2+bx+c=0有一根为x=c.∴ac 2+bc+c=0.∴ac+b+1=0.17.对于二次函数y=ax 2+bx+c ，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2+2x+2)．(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的函数表达式： y=21x 2+21x .(不必证明) (2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=21x 2+21x (2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax 2+bx+c ，当x=0时，y=c;当x=1时,y=a+b+c.由整点抛物线定义知：c 为整数，a+b+c 为整数，∴a+b 必为整数.又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b ）+c 是整数，∴2a 必为整数.∴|a|≥21.∴不存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线.（第18题）18.【攀枝花】二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D ).A.a ＞b ＞cB.一次函数y=ax+c 的图象不经过第四象限C.m(am+b)+b ＜a(m 是任意实数)D.3b+2c ＞0【解析】由二次函数的图象可知a ＞0，c ＜0；由x=-1得-ab 2=-1，故b ＞0，b=2a ，则b ＞a ＞c ，故A 错误.∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y=ax+c 的图象经过第一、三、四象限，故B 错误.当x=-1时，y 最小，即a-b+c 最小，故a-b+c＜am 2+bm+c ，即m(am+b)+b ＞a ，故C 错误.由图象可知当x=1时y ＞0,即a+b+c ＞0，∵b=2a ，∴a=21b.∴21b+b+c ＞0.∴3b+2c ＞0，故D 正确.故选D. 19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=(x+a)(x-a-1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，-2)，求函数y 1的表达式.(2)若一次函数y 2=ax+b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的表达式.(3)已知点P(x 0，m)和点Q(1，n)在函数y 1的图象上，若m ＜n ，求x 0的取值范围.【答案】(1)函数y 1的图象经过点(1，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得a 1=-2，a 2=1.当a1=-2时，y1=(x-2)(x+2-1)=x 2-x-2；当a2=1时，y1=(x+1)(x-2)=x 2-x-2.综上所述，函数y1的表达式为y=x 2-x-2.(2)当y=0时，(x+a)(x-a-1)=0，解得x 1=-a ，x 2=a+1.∴y 1的图象与x 轴的交点是(-a ，0)，(a+1，0).当y2=ax+b 经过(-a ，0)时，-a 2+b=0，即b=a 2；当y2=ax+b 经过(a+1，0)时，a 2+a+b=0，即b=-a 2-a.(3)由题意知，函数y 1的对称轴为直线x=21.当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y 随x 的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由m ＜n ，得0＜x 0≤21；当点P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得21＜x 0＜1.综上所述，m ＜n ，所求x 0的取值范围0＜x 0＜1.20.如图所示，二次函数y=ax 2+2ax-3a(a ≠0)图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 右侧)，点H ，B 关于直线l:y=33x+3对称． (1)求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于点K,M,N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN,NM,MK ，求HN+NM+MK 的最小值．(第20题) 图1图2（第20题答图） 【答案】(1)由题意得ax 2+2ax-3a=0(a ≠0)，解得x 1=-3,x 2=1.∴点A 的坐标为(-3,0),点B 的坐标为(1,0).∵直线y=33x+3,当x=-3时,y=33×(-3)+ 3=0,∴点A 在直线l 上.(2)∵点H ，B 关于过点A 的直线y=33x+3对称,∴AH=AB=4.∵AH=BH ，∴△ABH 为正三角形.如答图1所示，过顶点H 作HC ⊥AB 于点C ，则AC=21AB=2,HC=23,∴顶点H(-1,23)，代入二次函数表达式,解得a=-23.∴二次函数表达式为y=-23x 2-3x+233. (3)易求得直线AH 的函数表达式为y=3x+33，直线BK 的函数表达式为y=3x-3.由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=33333x y x y ,解得⎩⎨⎧==323y x ,即K(3,23).∴BK=4.∵点H ，B 关于直线AK 对称,∴HN+MN 的最小值是MB.如答图2所示，过点K 作直线AH 的对称点Q,连结QK,交直线AH 于点E ，则QM=MK,QE=EK=KD=23,则QK=43,AE ⊥QK.∴BM+MK 的最小值是BQ,即BQ 的长是HN+NM+MK 的最小值.∵BK ∥AH,∴∠BKQ=∠HEQ=90°.由勾股定理可求得QB=8.∴HN+NM+MK 和的最小值为8.。
浙江省2018年中考数学《二次函数》总复习阶段检测试卷含答案
18．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左 3 边的抛物线可以用 y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为 m， 4 1 3 到墙边的距离分别为 m， m. 2 2 (1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为 10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
顶点 O 顺时针旋转 75°，使点 B 落在抛物线 y＝ax2(a＜0)的图象上，则该抛物线的解析式 为 . 16．已知：抛物线 y＝a(x－2)2＋b(ab＜0)的顶点为 A，与 x 轴的交点为 B、C. (1)抛物线对称轴方程为 ；
(2)若 D 点为抛物线对称轴上一点，若以 A，B，C，D 为顶点的四边形是正方形，则 a， b 满足的关系式是 .
二、填空题(本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 11．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度， 将这种植物分别放在不同温度的 环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长量 l/mm 与温度 t/℃之间是二次函数 关系：l＝－t2－2t＋49.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃.
第 9 题图
第 10 题图
10．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠ACB ＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设 CD 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是( 2 A．y＝ x2 25 2 C．y＝ x2 5 B．y＝ 4 2 x 25 )
4 D．y＝ x2 5
)
B．当 x＝2 时，y 有最大值－3 D．图象与 x 轴有两个交点
3．设 A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线 y＝－(x＋1)2＋a 上的三点，则 y1，y2， y3 的大小关系为( A．y1＞y2＞y3 ) B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
九年级上册 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)
九年级上册 二次函数单元复习练习(Word 版 含答案)一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42aa-＝2． （2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，12m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣12(m+2)2+2(m+2)]，∵PQ∥OD，∴12m2﹣2m＝﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)或12m2﹣2m＝﹣12(m+2)2+2(m+2)，解得m ＝，∴P或(3或(1和， 当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣32)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(3或(1)和)或(1，﹣32)． 【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题2．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ；（4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >-【解析】 【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =-（2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫--⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△ 解得：m=0（舍去）或29m =-由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-， 故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下： 作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²，故221()()42+=m m ，解得12==m m ，此时Q 点坐标为⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭，综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，355Q ⎛- ⎝⎭，4Q ⎛ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，3Q ⎝⎭，4Q ⎛ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．4．二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m mb a a m =-+， 即：2263m mb m a a -=-∵0bm ->， ∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4； （3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ）， 当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ， 当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中，DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．5．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点.【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得 396a =+13a ∴=- ∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=()21336233t t t ⎛⎫∴-=--++ ⎪⎝⎭化简得()1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ 13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+,-3)3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD =+=+=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径 则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围； （3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0），∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤， ∴﹣b 2≥4a ，∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ），∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，∴c （a+b+c ）＞0，∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0，∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0，∵a≠0，则9a 2＞0，∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， ∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．定义：函数l 与l '的图象关于y 轴对称，点(),0P t 是x 轴上一点，将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分，以x 轴为对称轴翻折，得到新的函数w 的图象，我们称函数w 是函数l 的对称折函数，函数w 的图象记作1F ，函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ，图象1F 和2F 合起来记作图象F ．例如：如图，函数l 的解析式为1y x =+，当1t =时，它的对称折函数w 的解析式为()11y x x =-<．（1）函数l 的解析式为21y x =-，当2t =-时，它的对称折函数w 的解析式为_______； （2）函数l 的解析式为1²12y x x =--，当42x -≤≤且0t =时，求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l 的解析式为()2230y ax ax a a =--≠．若1a =，直线1y t =-与图象F 有两个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）()212y x x =+<-；（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-；（3）当3t =-，1t <≤，5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点． 【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F 的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x =+<-（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =， 当1x =时，32y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；a ：当14t -=-时，3t =-，∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点；b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，2123t t t -=--，解得1t =2t = c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =14t -=，∴55t = ∴当3171t -<≤或3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-，3171t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN ==， 解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．9．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【答案】（1）243y x x=-+-；（2）32；（3）E（2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到32ADDC=，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==， 又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC=∠FAC ，∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB∽△OFA，∴13OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73-）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x=--+；（2）存在，点P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴0932 02a ba b=-+⎧⎨=++⎩2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y＝﹣23x2﹣43x+2；（2）存在．∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2．连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．则PM＝﹣23m2﹣43m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．∵当x＝0时，y＝﹣23×0﹣43×0+2＝2，∴OC＝2，∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO＝12AO•PM+12CO•PN﹣12AO•CO＝12×3×（﹣23m2﹣43m+2）+12×2×（﹣m）﹣12×3×2＝﹣m2﹣3m∵a＝﹣1＜0∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。
九年级数学上册 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)
九年级数学上册二次函数单元复习练习(Word版含答案) 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值2．如图，过原点的抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12-x 2+2x 上， 则12-×(32m )2+2×32m ＝12m ，解得：1209m =，20m =（舍去）． ∴m=209（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″． 当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）．∴n=2122 77 -=．∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．3．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=23S△ABD?若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10 【解析】 【分析】（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0）， ∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ，∴S △ABD =315522⨯=，设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=， 解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=， 解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）； 当3y =-时，2132322y x x =-++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去）， ∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴22125AC =+=,222425BC =+=， ∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0）， 设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩，∴直线BE 解析式为：312y x =-+； 联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩，∴点E 坐标为：(5,3)-，∴BE == 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．如图1，在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点，且其对称轴为1,x =其中点(C ，点()3,0B ．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图（1），点D 是直线CB 上方抛物线上的动点，当四边形DCAB 的面积取最大值时，求点D 的坐标；②如图（2），连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，请直接写出点M 的横坐标．【答案】（1）23233=y x ；（2）①D 3532，，②233+2 【解析】【分析】 （1）根据点(3C ，点()3,0B ，利用待定系数法，可得函数解析式；（2）①先求出直线BC 的解析式，当直线m 与抛物线只有一个交点时，点D 到BC 的距离最远，此时△BCD 取最大值，故四边形DCAB 有最大值，求出b 的值代入原式即可得到答案； ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12MCB ACO ∠=∠，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式，可得答案．【详解】解：（1）由题意得：120933baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩解得323a,b故抛物线的解析式是23233=-++y x x.图（1）图（2）（2）①设直线BC的解析式为3.∵直线BC过点B（3，0），∴3则k=33-，故直线BC解析式为y=33设直线m解析式为3y x b，且直线m∥直线BC当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时△BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值.令23323b3+=+23-333330x x b当2Δ(-33)-43(333)0b时直线m与抛物线有唯一交点解之得：73,b代入原式可求得：32x =∴D 353(,).24图（3）过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ，△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积， ∴D 3532⎛ ⎝⎭②存在，点M 的横坐标为313+2解题提示：如图3符合条件的直线有两条： CM 1和CM 2（分别在CB 的上方和下方）∵在Rt △ACO 中，∠ACO=30°，在Rt △COB 中，∠CBO=30°，∴∠BCM 1=∠BCM 2=15°∵△BCE 中，∠BCE=∠BEC 2=15°∴BC=BE=23则E （33+0）设直线CE 解析式为：3y kx =+∴0(323)3k解之得：32 ∴直线CE 解析式为：(32)3y x∴2323333(32)3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩解得：x 1=0，x 23－1∵ 在Rt △OCF 中，∠CBO=30°，∠BCF=15°∴在Rt△COF中，∠CFO=45°∴OC=OF=3∴F（3，0）∴直线CF的解析式为-3y x∴23233-3y x xy x⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩解之得：30x=（舍去），43+2x即点M的横坐标为：23-1或3+2【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．6．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣12）2+278当x=12时，yP=x2﹣1=﹣34．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣1k，0），F（0，1），OE=1k，OF=1．在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1．∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ，∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k-=， 解得：25， ∵k ＞0，∴25． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时25． 考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）； （2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BD AM AN =，即3535AN =， 解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．8．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，m=12+或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2． 故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中． 得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）． 将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==（不合题意，舍去）．所以12m += ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==所以m =． 综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m或m=32． （4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 1393132-+）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258， 解得：a ＝﹣12，∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，即点C 坐标为（0，2），同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ， 由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为： S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ， PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ， 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°， ∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ′∽△Q′FP，'''Q C Q PCO FQ=，即213222'a aaQ F-=，∴Q′F＝a﹣3，∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝22223213CO OQ+=+=，此时a＝13，点P的坐标为（13，9313-+）．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x=--+；（2）存在，点P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标． 【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ． 则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m ∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值 ∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， 在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△Q 1CD ≌△CBO ， ∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1， ∴OD ＝OC+CD ＝3， ∴Q 1（2，3）； 同理可得Q 4（﹣2，1）； 同理可证△CBO ≌△BQ 2E ， ∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1， ∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3， ∴Q 2（3，1）， 同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。
2018年人教版九年级数学上册二次函数测试卷及答案
人教版2018-2019学年度第一学期九年级数学二次函数测试题一.单项选择题(每小题2分，共20分，在每小题列出的四个选项中， 只有一个是正确的。
)1 .抛物线y=-x 2+2X +3的顶点坐标是 A. ( -1 , 4) B . (1 , 3) C . (-1 , 3) D . (1 , 4)2.若抛物线y=x 2 - 2x+3不动，将平面直角坐标系 xOy 先沿水平方向向右平移一个单位， 再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为2 2 2 2A. y= (x - 2) +3 B . y= (x - 2) +5 C . y=x - 1 D . y=x +423. 点 P 1 (- 1, y 1), P 2 (3, y 2), P 3 (5, y 3)均在二次函数 y =—x+2x + c 的图象上，则y 1, y , y 3的大小关系是 A .y 3 y 2 y 1B .y 3 y 1 = y 2 C .屮 七 y D . y =兀 y二次函数 y = x 2 -2x - 4化为y = a(x - h)2 • k 的形式，下列正确的是4. A.2 2y =(x -1) 2 B . y =(x -1)3C. 2 2y=(x-2) 2 D . y=(x-2)4二次函数y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线 (t 为实数)在-1< x v 4的范围内有解，则t A. B. C. D. 6. 5. x=1,若关于x 的一元二次方程 x 2+bx - t=0 的取值范围是t >- 1 -1< t < 3 -1< t < 8 3 < t < 8如图是抛物线 y=ax 2+bx+c (a 丰0)的部分图象，其顶点坐标为( 1, n ),且与1轴的一个交点在点(3, 0)和(4, 0)之间.则下列结AB为边作等y,能表示y2 2b > 0,抛物线y=ax +bx+a - 5a - 6为下列图形之一，则a的值为-10y c1C . :(I n}12. 将抛物线y=2 (x - 1) 2+2向左平移3个单位，再向下平移 4个单位，那么得到的抛物线的表达式为 ____________________ 13.已知二次函数 y = -ax 2 2ax ■ m 的图像与x 轴的一个交点是(3,0),则关于x 的一元二次方程 一 ax 2 + 2ax + m = 0的解为 _______________214. 若 A(1,2), B(3,2) , C(0,5) , D(m,5)是抛物线 y = ax bx c 图像上的四点，则 m = 15.如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A (-3 , 0),对称轴为x=-1 .给出四个结论：①b >4ac ；②2a+b=0;③a -b+c=0 :④5a v b .其中正确结论是 ________________9.在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax+b 与10.如图是二次函数2y =ax +bx +c 图象的一部分，图象过点A (- 3, 0),对称轴为直线x= - 1,下列给出四个结论中，正确结论的个数是 3 5②若点B (——, y 1 )、C ( 一一，y 2 )为函数图象上的两点，则2 2①c > 0;y :::③2a - b=0;④ 4ac—b2 v 0.3 D . 4 共15分)将函数 y= - 2x 2的图象先向右平移 1个单位长度，再向A. 1 B二.填空题(每小题3分， 11. 在平面直角坐标系中，上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是 __________________________ TA .-1 CD.解答题(6小题，共65分)16. （9分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店. 该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件•销售结束后，得知日销售量P （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：P=- 2x+80 （Kx w30,且x1为整数）；又知前20天的销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q=’X +302（1W x w 20,且x为整数），后10天的销售价格Q （元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q=45 （21 w x w 30,且x为整数）.（1 ）试写出该商店前20天的日销售利润R （元）和后10天的日销售利润艮（元）分别与销售时间x （天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润.（注：销售利润=销售收入-购进成本）_ ____________ 217. （11分）已知二次函数y=2x+bx- 1 .（1）求证：无论b取什么值，二次函数y=2x2+bx - 1图象与x轴必有两个交点.（2）若两点P （- 3, m）和Q（ 1, m）在该函数图象上.①求b、m的值；②将二次函数图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点?18. （12分）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a丰0,a丰c）过点A（1,0），顶点为B,且抛物线不经过第三象限.（1）使用a、c表示b; （2）判断点B所在象限，并说明理由；c（3）若直线y2=2x+m经过点B,且交抛物线于另一点C（ ,b+8）,求当x > 1时，y1的取值范a21. (12分)如图，已知二次函数 y= - x 2+bx+c ( b ，c 为常数)的图象经过点 A (3， 1)，点 C (0，4)，顶点为点 M,过点A 作AB// x 轴，交y 轴于点D,交该二次函数图象于点 B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；(2 )若将该二次函数图象向下平移m(m > 0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ ABC 的内部(不包括厶ABC 的边界)，求m 的取值范围；19. (9分)已知抛物线y --x 2 bx c 2与y 轴交于点C,与x 轴的两个交点分别为A (- 4, 0),B (1 , 0). (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知点P 在抛物线上，连接 PC, PB,若△ PBC 是以BC 为直角边的直角三 角形，求点P 的坐标；20. (12分)如图，抛物线2y=x 3x+ J 与x 轴相交于A 、 B 两点，与y 轴相交于点 是直线BC 下方抛物线上一点，过点 D 作y 轴的平行线，与直线 (1) 求直线BC 的解析式；(2) 当线段DE 的长度最大时，求点 D 的坐标.C,点D人教版2018-2019学年度第一学期九年级数学二次函数测试题参考答案、评分标准及题目解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分•在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11. y=2 (x- 1) 2+512.y=2(x 2)2- 213. x 1=-1 , X2=314. 4 15.①④三、解答题（本大题共6小题, 共65分）16. （9分）评分细则：第1小问求出R1、R2的函数关系式各2分，共4分第2小问求出R1、R2的最大值各2分，共4分，比较大小及结论1分【考点】二次函数的应用.【点评】本题需要反复读懂题意，根据营销问题中的基本等量关系建立函数关至式•根据时间段列出分段函压轴题.数，再结合自变量取值范围分别求出两个函数的最大值，并进行比较，月出结论.【分析】（1〕运用营销间题中的基本等量关系：请售利润=日销售童X—件销售利润.一件销售利间=一件的帯害价-一件的进价，建立函數关慕武;（2）分析函数关至式的类别及自变量取値范围求最犬值：其中氐是二次函数，斑是一次函数.【解答】解：〔1)根据题意，得R.i=P (Q1-2&)=十昭)[-20], •.12-201-500(. :<^20,且工为整数〕,R.Z=P (Q2-20) = C-2x+S0) (+5-2Q),•-5031+2000 ZlMMh 且E皆整数);（2） BEl<si20-且*为整数时,VRi-. （1J0）J-MMO P当孟=10时，EL的最大值为颁，3E21<X<J O*且*为It敷时.■-■R2=_i0i-200fl T50<0,尺2随x的増大而减小，A^x-2iat，的绘大值为站th7 950>90<1,■■-^x=2i即在第H天时，日销售利润最大，最大値為g即元.【点评】本题考査了二次磯与渤的交点；对干二次画数尸曲br （ii tn（:是常如2：）I A=b2-4ac^ 定删线剧蝴交点个熱A=b:-：ac>C0t，删线与谢有］个交氣Mr近时删线金椭1个交点；A事5<冊，删线与渤没有交嵐17. （11 分）评分细则：第1小问求出判别式的值及判断2分，结论1分，共3分第2小问求出函数解析式4分，m的值1分，平移后的函数解析式1分，判别式1分，k的值1分，结论1分，共8分其他方法酌情给分！【考点】删线与曲版点I二次函数图象与几廠换.【专畫】计算題［»«）⑴先计算判别刪11再褓非负数的性质可判斷"凡额根据判别轴意义可判融鳩与渤必有两个交点；（】）（S先刹用拋物线的对称性可确定物物集肘对称轴方程，从而可求出b的仙然后计J?自变量为I 所对应的函数値即可得到嗣值；②设平移后删删关系式为严川氐皿根翩别武憶义W鹤关千曲方铠懸后解方程求出蝴值即可判断抛物线平移艇离・【解容】⑴证明；TA-bUxix （.］）.bM>0*•:无毗取诃値时，二次函数戸心口聯与曲必有两个交点「（1）解；①丁馭Q*二次函如事加1瞞上的两為且两点纵坐标都畑二馭Q关千般塢对称轴对和川躺对称健直鼬7A -^-= b 解得E,2x1二掘物巍解析式为y皿七1,当E时，②设平移后般找舸关系式为产卫+収-减T平移后的團象与妨由仅有一个交点’AA-（6-S-8k=0i 解得上眄即冷二畑数釀向上平耕个单位昭函数團鮎潇仅有-个公共点・18. （12 分）评分细则：第1小问b表示正确1分；第2小问正确判断B的象限1分，理由4分（其他方法证明理由酌情给分），结论1分，共6分；第3小问5分其他方法酌情给分！二次函數练會题.【直评】此駐要鞋了訣碱牆合应刪及诙隸碾肺我函黑二縫数交帥题制认f 压轴题.（】〕抛物线经过亠（B OJ -把点代入國数即可得到b=-a-c；〔J判斯点在哪亍象限，需要根馆题意画圉，由条件：图象不经过弟三象限就可以推岀开口向上，■>0-只需要知道盹物枝与X轴有几于交点即可解决，判断与工轴有两亍交点，一牛可以考虑△"由色就可以判断出与上轴有两于交点，浙讽在第四象限；或者宜接用公式法（或十宇相痢法〕舜出，由两个不同的解列=1, X2=~,（J=c）进而锯出点B所在氤眼:（（酣当圧1时，y：的取值範围・只雯把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出口2 尸歸是54物釀与皿的另一个交点,理由是Al=u 贮=亍（3=c）,由这里可以发现，XAh b=-S, a^c=S, 还可以役现〔在代的右豪h可具确定直誌经过氏£两点，看韜掠可亂得到，©I时，刃大于等千最小苗，此时算出二次函数最小值即可，即求出弘即可已经知Jfib=.s T a -e=S,算岀釦c即可，即4白可得出X的取值范围.【編答】解：（1）抛物建、•严江J J TXP Ca=D. a-c）*经过玄【4（0,把点代入函数即引得到：b=-a-c;（2）B在弟四象限.理由却下：T 抛删线ymJbxY t a-Oi a»e）过点A （1> 0）・• ■C.X1B X2=—>1gr'+ J 1 —1 1 X2=~f片t、所以it物枝島E轴有两个交点，製叮葩物第不媪过第三叛限，m且顶点在弟四象隈；门〕丁口2 W）,且在抽物线上,3当b+g=O时.解得匕=一缶":a亠t=-b*A a^c=S T把E57)v C b-SJ两点忙人直线解析或谒* 2s 4s sfb~¥="C"會去）a剤图阱示，瓷在人的右訓,•:当它1时，竺迪1=一兀4 3尸斗A-冬£=4；1：在用也和，沁 M 中， 设直毀陛的解析式为心丄卞+心= AfF+f 疋3 = ^ + 2^ =20,fiC 2 = (XT 2 + OB 2 +r 2又■； AB 2 =5^ =25 把风1 ◎代入得h ^~~.'.AC 2 + BC 2 = AB 2 1 [.'.AACfi 杲直角三肃形 「•呱=^A -o.-■ ZACB =90 V _J_X _2 •:当点片与点4重合时，即弓(—4,0)时，梓E 是直角三角形.I =2 ~2注二:在RtAAOC 和R 应OE 中， “2--A +2AO OC AO OC 2 2» = _ £•】 =—£ '■ _ ---- =2OC OB OC OB 解得〔舍去)，1.-.Rf^AOC “ ZCAO = ZOCB ,v i = 0 l 儿=-3又'；Z 匸AO + z_ACO =r..-."匸甘=90°综上所述•存在点吃VQ),鬥(-5, -3) •:当点片与点-4重合时，即乐—4,0)时，呼E 是直角三角形19. ( 9分)求出函数解析式 4分，写出P 点坐标的其中一种情况 2分，两种4分，结论1 (1)il ：把 分别代入 _v =—丄 x 2+bx + c 2'仝一劲十〔=0得］1 . ___+乃+亡=0I 2 32解得心— 1 2 3 *V = -—22 2 法二:■/ ^(-4n 0),B(l j0) 设$ = 一扌住+ 4)〔工一1)得 ¥=一丄 A -2_-.V +2Q ■>⑵存在 令工=0得=2 匚〔0,2) OC = 2 ②当三尸「“二90。
九年级数学上册 二次函数单元复习练习(Word版 含答案)
九年级数学上册二次函数单元复习练习(Word版含答案)一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．（探究）（1）证明：OBC≌OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明OBC≌OED即可；（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE∴∠DEF＝90°又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，∴四边形ADEF是矩形又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°∵AD＝BC，∴BC＝DE由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．∴OC＝OD．在△OBC与△OED中，BC DEBCO FDEOC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△OBC≌△OED（SAS）；（2）连接EF、BE．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8．由（1）知，BC＝DE∵BC＝x，∴DE＝x∴CE＝8－x由（1）知△OBC≌△OED∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．∵∠OED＋∠OEC＝180°，∴∠OBC＋∠OEC＝180°．在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．∴y＝x2－8x＋32∴当x=4时，y有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．2．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围； （3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ）， 当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ， 当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥，∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．3．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥； 【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a-≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944y x =-+， 设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<， ∴当92x =时，k 有最大值8116； 当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ，设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n n y x --=+， 设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-， 当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--； ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩， ∴不等式组的解集为：2n >； 当204n -<时，有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109n ≥． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．4．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点，设3t ＝2解得t ＝23所以a ＝t×1＝23（2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0. 分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得111pk b tp b tp +=⎧⎨=⎩. 解得11k t b tp=-⎧⎨=⎩ 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得 2222pk b tp qk b tp +=⎧⎨+=⎩. 解得22k t b tp tp =-⎧⎨=+⎩ 所以k 1＝k 2.所以AB ∥PQ（3）解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）交y 轴于点D ， 所以点D 的坐标为（0,c ）.因为DM ∥x 轴，所以点M 的坐标为（x M ,c ），又因为点M 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）上. 可得ax M 2＋bx M ＋c ＝c ，即x M （ax M ＋b ）＝0.解得x M ＝0或x M ＝－b a. 因为点M 不与点D 重合，即x M ≠0，也即b≠0， 所以点M 的坐标为（－b a ,c ） 因为直线y ＝ax ＋m 经过点M ，将点M （－b a ,c ）代入直线y ＝ax ＋m 可得，a·（－b a）＋m ＝c. 化简得m ＝b ＋c所以直线解析式为：y ＝ax ＋b ＋c. 因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋b ＋c 交于另一点N ， 由ax 2＋bx ＋c ＝ax ＋b ＋c ，可得ax 2＋（b －a ）x －b ＝0. 因为△＝（b －a ）2＋4ab ＝（a ＋b ）2，解得x 1＝－b a ，x 2＝1. 即x M ＝－b a ，x N ＝1，且－b a≠1，也即a ＋b≠0. 所以点N 的坐标为（1,a ＋b ＋c ） 要使M （－b a ,c ）与N （1,a ＋b ＋c ）是一对泛对称点， 则需c ＝t ×1且a ＋b ＋c ＝t ×（－b a ）. 也即a ＋b ＋c ＝（－b a）·c 也即（a ＋b ）·a ＝－（a ＋b ）·c.因为a＋b≠0，所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.5．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=1927322288⨯=; P（12，﹣34）（3）存在；25【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y xy x⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣12）2+278当x=12时，yP=x2﹣1=﹣34．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣1k，0），F（0，1），OE=1k，OF=1．在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1．∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ，∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k-=， 解得：25， ∵k ＞0，∴25． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时25． 考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）； （2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BD AM AN =，即3535AN =， 解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．7．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，m=12+或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2． 故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中． 得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）． 将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==（不合题意，舍去）．所以12m += ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==所以m =． 综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m或m=32． （4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x； （2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A 和点B ．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时．①直接写出点D 的坐标 ；②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式 ．【答案】（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣12+35，0)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m＝﹣12﹣55∴D（﹣50）．当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣50）或（﹣3，0）．故答案为（﹣50）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF的面积为30，∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，可得'493''0cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：13'3'4bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣133x﹣4．故答案为：y＝﹣x2﹣133x﹣4．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x=--+；（2）存在，点P35,22⎛⎫-⎪⎝⎭，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在． ∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。
2018-2019学年浙教版九年级数学上册《第一章二次函数》单元测试题(含答案)
第一章 二次函数单元测试卷（本试卷共三大题，26个小题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分：一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A ．直线1x =B ．直线3x =C ．直线1x =-D ．直线3x =-2．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 （ ） A ．2(3)2y x =++ B ．2(3)2y x =-- C ．2(6)2y x =-- D ．2(3)2y x =-+3．若二次函数c x x y ++=22配方后为7)(2++=h x y ，则c 、h 的值分别为（ ） A ．8、－1 B ．8、1 C ．6、－1 D ．6、1 4．二次函数y =2(x －1)2+3的图像的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（－1，3）C ．（1，－3）D ．（－1，－3）5．已知二次函数2y 3=-+x x m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程230-+=x x m 的两实数根是（ ）A ．x 1=1,x 2=－2B ．x 1=1,x 2=2C ．x 1=1,x 2=0D ．x 1=1,x 2=3 6．二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．17．抛物线24y x x =-的对称轴是 ( ) A ．x ＝－2B ．x ＝4C ．x ＝2D ．x ＝－48．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x <3，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1），其中结论正确的有（ ）A ． ③④B ． ③⑤C ． ③④⑤D ． ②③④⑤ 10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（ ）二、认真填一填 (本题有8个小题, 每小题4分, 共32分) 11．抛物线22(1)2y x =-++的顶点的坐标是12．进价为30元/件的商品，当售价为40元/件时，每天可销售40件，售价每涨1元，每天少销售1件，当售价为 元时每天销售该商品获得利润最大，最大利润是 ___________元．13．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m )与水平距离x (m )之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.14．请你写出一个抛物线的表达式，此抛物线满足对称轴是y 轴，且在y 轴的左侧部分是上升的，那么这个抛物线表达式可以是 ．15．将抛物线y =(x +2)2－3的图像向上平移5个单位,得到函数解析式为 ． 16．若函数y =a (x －h )2+k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y =－2x 2－2x +3相17．周长为16cm 的矩形的最大面积为____,此时矩形边长为____,实际上此时矩形是 18．如图，抛物线y =ax 2+1与双曲线y =xm的交点A 的横坐标是2，则关于x 的不等式xm+ax 2+1<0的解集是 ．三、解答题(本题有8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．) 19．（6分）已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，－4）和（－1，2）.求抛物线解析式.20．（8分）如图，抛物线y =21x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式.21．（8分）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价1元，其销量就减少20件。
2018-2019学年最新人教版九年级数学上册《二次函数》达标检测题及答案-精品试题
第二十二章达标检测卷(120分，90分钟)题 号 一 二 三 总 分得 分一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列函数中是二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 2－1 2．对于二次函数y ＝3(x －2)2＋1的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－2 C ．顶点坐标是(2，1) D ．与x 轴有两个交点3．y ＝x 2－1可由下列哪一个函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到？( )A ．y ＝(x －1)2＋1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2－3D ．y ＝(x ＋1)2＋34．二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 3为二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 3＞y 26．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7．已知函数y ＝x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜4 B ．－1＜x ＜3 C ．x ＜－1或x ＞4 D ．x ＜－1或x ＞3(第7题)(第8题)(第9题)8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( ) A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是( )(第10题)二、填空题(每题3分，共30分)11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．12．函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)13．如图所示，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．14．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．15．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是______________．(第13题)(第15题)(第17题)(第20题)16．与抛物线y ＝x 2－2x ＋3关于x 轴对称的抛物线的解析式为__________________． 17．某涵洞的截面是抛物线形，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y ＝－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12 m 时，水面到桥拱顶点O 的距离为________m.18．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s ＝20t －5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性的作用，汽车要滑行________m 才能停下来．19．对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个交点；②如果当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m ＝1；③若图象向左平移3个单位长度后过原点，则m ＝－1；④如果当x ＝4与x ＝100时，函数值相等，则当x ＝104时，函数值为－3，其中正确的说法序号是________．20．如图，把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题(21题8分，22～25题每题10分，26题12分，共60分)21．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的解析式，写出该抛物线的对称轴及顶点；(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．(第21题)22．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B 同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y cm2.(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的最大面积．(第22题)23．如图，二次函数图象与y轴交于点A(0，－6)，与x轴交于C，D两点，顶点坐标为B(2，－8)．若点P是x轴上的一动点．(1)求此二次函数的解析式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．24．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，那么水面CD的宽是10米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．此船能否顺利通过这座拱桥？25．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．(1)直接写出．．．．y2与x之间的函数关系式；(2)求月产量x的范围；(3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？(第25题)26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q，①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？并说明理由．答案一、1.B 2.C 3.B4．B 5.D 6.C7．B 点拨：y<0，表示函数图象在x轴下面的部分，1－(－1)＝2，所以函数图象与x轴的另一个交点为(3，0)，故选B.8．A 9.C10．A 点拨：易知△DEB为等边三角形，∴∠EDB＝60°.又∵EF⊥DE，∴∠EFD＝30°.∴D F＝2DE＝2BD＝2(2－x)．在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF＝DF2－DE2＝4（2－x）2－（2－x）2＝3(2－x)，∴y＝12×3(2－x)×(2－x)＝32(x －2)2(0≤x<2)．故选A.二、11.高；(0，15) 12．－1；增大 13.1514．x 1＝－1，x 2＝3 点拨：由题意，得a ＋2a ＋c ＝0，∴c＝－3a ，∴ax 2－2ax －3a ＝0，∵a≠0，∴x 2－2x －3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝3.15．x ＜－2或x ＞816．y ＝－x 2＋2x －3 点拨：由－y ＝x 2－2x ＋3，得y ＝－x 2＋2x －3. 17．9 18.20 19.①④ 20.272点拨：由题意知抛物线m 的对称轴为x ＝－3，可设抛物线m 的解析式为y ＝12(x ＋3)2＋h.∵抛物线m 经过原点，∴0＝12×32＋h ，∴h＝－92.∴顶点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92.又∵点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12×32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，92.∴点P 与点Q 关于x 轴对称，∴S 阴影＝|－3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪92＝3×92＝272. 三、21.解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＋c ＝－1，9a －12＋c ＝－9.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－6.∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－4x －6. ∵y＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10，∴该抛物线的对称轴为x ＝2，顶点为(2，－10)． (2)∵点P(m ，m)在该函数的图象上， ∴m 2－4m －6＝m. ∴m 1＝6，m 2＝－1. ∴m 的值为6或－1.22．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB·BQ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y＝12(18－2x)x ，即y ＝－x 2＋9x(0＜x≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814，∵当0＜x≤92时，y 随x 的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2. 23．解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2－8. 将A(0，－6)的坐标代入得4a －8＝－6， ∴a＝12.∴y＝12(x －2)2－8，即y ＝12x 2－2x －6.(2)作点A 关于x 轴的对称点E(0，6)，连接BE 交x 轴于点P ， 连接PA ，此时PA ＋PB 最小．设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－8，b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7，b ＝6.∴y＝－7x ＋6.当y ＝0时，x ＝67，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫67，0. 24．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2. ∵抛物线关于y 轴对称，AB ＝20，∴点B 的横坐标为10.设点B(10，n)，则点D(5，n ＋3)．将B ，D 两点的坐标分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝100a ，n ＋3＝25a.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，a ＝－125.∴y＝－125x 2.(2)当x ＝3时，y ＝－125×9＝－925.∵点B 的纵坐标为－4，又|－4|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－925＝3.64>3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 25．解：(1)y 2＝500＋30x.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧500＋30x≤50x，170－2x≥90. 解得25≤x≤40.(3)∵W＝xy 1－y 2＝x(170－2x)－(500＋30x)＝－2x 2＋140x －500， ∴W＝－2(x －35)2＋1 950.而25<35<40, ∴当x ＝35时，W 最大＝1 950.即月产量为35套时，利润最大，最大利润是1 950万元．26．解：(1)联立两直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝－2x －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. ∴B 点坐标为(－1，1)，又C 点为B 点关于原点的对称点， ∴C 点坐标为(1，－1)．∵直线y ＝－2x －1与y 轴交于点A ， ∴A 点坐标为(0，－1)．设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A ，B ，C 三点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝c ，1＝a －b ＋c ，－1＝a ＋b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝－1.∴抛物线解析式为y ＝x 2－x －1.(2)①当四边形PBQC 为菱形时，PQ⊥BC， ∵直线BC 的解析式为y ＝－x ， ∴直线PQ 的解析式为y ＝x.联立可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2－x －1. 解得⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝1－2，或⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝1＋ 2.∴P 点坐标为(1－2，1－2)或(1＋2，1＋2)．(第26题)②当t ＝0时，四边形PBQC 的面积最大． 理由如下：如图，过P 作PD⊥BC，垂足为D ，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点E ， 则S 四边形PBQC ＝2S △PBC ＝2×12BC·PD＝BC·PD，∵线段BC 的长固定不变，∴当PD 最大时，四边形PBQC 的面积最大． 又易得∠PED＝∠AOC＝45°， ∴PD＝22PE ， ∴当PE 最大时，PD 也最大．∵P 点在抛物线上，E 点在直线BC 上，∴P 点坐标为(t ，t 2－t －1)，E 点坐标为(t ，－t)， ∴PE＝－t －(t 2－t －1)＝－t 2＋1.∴当t ＝0时，PE 有最大值1，此时PD 有最大值，即四边形PBQC 的面积最大．。
最新浙教版2018-2019学年九年级数学上册《二次函数》单元测试题及解析-精编试题
第1章自我评价一、选择题(每小题2分，共20分)1．若函数y ＝(2－m)xm 2－3是二次函数，且图象的开口向上，则m 的值为(B) A.± 5 B.－ 5 C. 5 D.02．若抛物线y ＝x 2＋2x ＋m －1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是(A) A. m ＜2 B. m ＞2 C. 0＜m ≤2 D. m ＜－23．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是(A) A. 0，－4 B. 0，－3 C. －3，－4 D. 0，04．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是(B)A. 当x ＞0时，y 随x 的增大而增大B. 当x ＝2时，y 有最大值－3C. 图象的顶点坐标为(－2，－7)D. 图象与x 轴有两个交点(第5题)5．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示．若y<0，则x的取值范围是(B)A. －1<x<4B. －1<x<3C. x<－1或x>4D. x<－1或x>36．在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，此函数图象与x 轴相交于P，Q两点，且PQ＝6.若此函数图象通过(1，a)，(3，b)，(－1，c)，(－3，d)四点，则a，b，c，d中为正数的是(D)A. aB. bC. cD. d(第7题)7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝(D)A. a＋bB. a－2bC. a－bD. 3a【解】观察图象可知：图象过原点，c＝0；抛物线开口向上，a＞0；抛物线的对称轴0＜－b2a＜1，－2a＜b＜0.∴|a －b ＋c|＝a －b ，|2a ＋b|＝2a ＋b ， ∴|a －b ＋c|＋|2a ＋b|＝a －b ＋2a ＋b ＝3a.8．已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是(A)A. 4B. 6C. 8D. 10【解】 ∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋2b ＋c ＝6，1≤－b2×1≤3， 解得6≤c ≤14.9．定义：若点P(a ，b)在函数y ＝1x 的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数y ＝ax 2＋bx 称为函数y ＝1x 的一个“派生函数”．例如：点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在函数y ＝1x 的图象上，则函数y ＝2x 2＋12x 称为函数y ＝1x 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：(1)存在函数y ＝1x 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧．(2)函数y ＝1x 的所有“派生函数”的图象都经过同一点．下列判断正确的是(C)A. 命题(1)与命题(2)都是真命题B. 命题(1)与命题(2)都是假命题C. 命题(1)是假命题，命题(2)是真命题D. 命题(1)是真命题，命题(2)是假命题 【解】 (1)∵点P(a ，b)在y ＝1x上，∴a ，b 同号，∴－b2a<0，即对称轴在y 轴的左侧，∴存在函数y ＝1x 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧是假命题．(2)∵函数y ＝1x 的所有“派生函数”为y ＝ax 2＋bx ，∴当x ＝0时，y ＝0，∴所有“派生函数”都经过原点，∴函数y ＝1x的所有“派生函数”的图象都经过同一点是真命题．10．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，当x ≤1时，总有y ≥0；当1≤x ≤3时，总有y ≤0，则c 的取值范围是(B)A. c ＝3B. c ≥3C. 1≤c ≤3D. c ≤3(第10题解)【解】 ∵当x ≤1时，y ≥0；当1≤x ≤3时，y ≤0， ∴当x ＝1时，y ＝0.设y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －1)(x －c)． ∵当1≤x ≤3时，y ≤0， ∴得草图如解图．∴c ≥3.二、填空题(每小题3分，共30分)11．抛物线y ＝(x ＋1)2－2的顶点坐标是(－1，－2)．12．写出一个二次函数的表达式，使其图象的顶点恰好在直线y ＝x ＋2上，且开口向下，则这个二次函数的表达式可写为y ＝－x 2＋2(答案不唯一)．13．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a－b＋c<0；③2a＝b ；④4a＋2b ＋c>0；⑤若点(－2，y 1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y 2在该图象上，则y 1>y 2.其中正确的结论是②④(填序号)．(第13题)14．如图，已知点D(0，1)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为(1±2，2)．(第14题)15．如图是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象，写出当y 2≥y 1时x 的取值范围：－2≤x ≤1．(第15题)16．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x ... －2 －1 0 1 2 ... y 046 6 4 …从上表可知，下列说法中，正确的是①③④(填序号)．①此抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②此函数的最大值为6；③此抛物线的对称轴是直线x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．17．若将二次函数y ＝x 2＋kx －12的图象向右平移4个单位后经过原点，则k 的值是__1__．(第18题)18．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为__1__．19．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)和正比例函数y ＝23x 的图象如图所示，则方程ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －23x ＋c ＝0(a≠0)的两根之和__>__0(填“>”“<”或“＝”)．(第19题)【解】 方程ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －23x ＋c ＝0可化为ax 2＋bx ＋c ＝23x ，故该方程的两根即为y＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝23x 的图象的交点的横坐标，由图象可知两根之和大于0.20．已知关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间(不包括－1和0)，则a 的取值范围是－94<a<－2．【解】 ∵关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－3)2－4·a·(－1)>0， 解得a>－94.设二次函数y ＝ax 2－3x －1，当x ＝0时，y ＝－1.∵一元二次方程ax 2－3x －1＝0的两个实数根都在－1和0之间， ∴易得a<0，且当x ＝－1时，y<0. ∴a ·(－1)2－3×(－1)－1<0，解得a<－2. 综上所述，a 的取值范围是－94<a<－2.三、解答题(共50分)21．(8分)已知以x 为自变量的二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m －1的图象与y 轴交于点(0，3)．(1)求出m 的值并画出这个抛物线．(2)求出它与x 轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标．(3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？(4)当x取什么值时，y随x的增大而减小？(第21题解)【解】(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋m－1与y轴交于点(0，3)，∴m－1＝3，∴m＝4.图象如解图所示．(2)令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．(3)当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．(4)当x≥1时，y随x的增大而减小．(第22题)22．(6分)如图，正方形ABCD是一张边长为12 cm的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD＝2DQ，PC＝RC，且P，Q，R三点分别在CD，AD，BC上．(1)当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ的长为x(cm)，请用含x的式子表示此时△PDQ 的面积．(2)在(1)的条件下，当x 的值为多少时，五边形PQABR 的面积最大？ 【解】 (1)设DQ ＝x(cm)， 则PD ＝2DQ ＝2x(cm)， ∴S △PDQ ＝12x·2x＝x 2(cm 2)．(2)∵PD＝2x(cm)，CD ＝12 cm ， ∴CR ＝PC ＝(12－2x)cm ， ∴S 五边形PQABR ＝S 正方形ABCD －S △PDQ －S △PCR ＝122－x 2－12(12－2x)2＝144－x 2－12(144－48x ＋4x 2)＝－3(x －4)2＋120，故当x ＝4时，五边形PQABR 的面积最大．(第23题)23．(6分)如图，正方形OABC 的边长为4，对角线OB ，AC 相交于点P ，抛物线L 经过O ，P ，A 三点，E 是正方形内的抛物线上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O ，P ，A 三点的坐标． ②求抛物线L 的函数表达式．(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．(第23题解)【解】 (1)以O 为原点，线段OA 所在的直线为x 轴，线段OC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，如解图所示．①∵正方形OABC 的边长为4，对角线OB ，AC 相交于点P ，∴点O 的坐标为(0，0)，点A 的坐标为(4，0)，点P 的坐标为(2，2)． ②设抛物线L 的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c. ∵抛物线L 经过O ，P ，A 三点， ∴⎩⎨⎧0＝c ，0＝16a ＋4b ＋c ，2＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，c ＝0.∴抛物线L 的函数表达式为y ＝－12x 2＋2x.(2)∵E 是正方形内的抛物线上的动点， ∴可设点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－12m 2＋2m (0＜m ＜4)，∴S △OAE ＋S OCE ＝12OA·y E ＋12OC·x E ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 2＋2m ＋2m ＝－m 2＋6m ＝－(m －3)2＋9，∴当m ＝3时，△OAE 与△OCE 的面积之和最大，最大值为9.24．(8分)王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价为10元/个，当售价为12元/个时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个．请回答以下问题：(1)求蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元/个)之间的函数表达式(12≤x≤30)．(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元的利润，售价应定为多少？(3)当售价定为多少时，王大伯获得的利润最大，最大利润是多少？【解】(1)根据题意可知：y＝180－10(x－12)＝－10x＋300(12≤x≤30)．(2)设王大伯获得的利润为W，则W＝(x－10)y＝－10x2＋400x－3000.当W＝840时，－10x2＋400x－3000＝840，解得x1＝16，x2＝24.∵王大伯为了让利给顾客，∴售价应定为16元．(3)W＝－10x2＋400x－3000＝－10(x－20)2＋1000，∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000.答：当售价定为20元时，王大伯获得的利润最大，最大利润是1000元．25．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.(第25题)(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM －AM|的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM －AM|的最大值．【解】 (1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由题意，得点A(1，0)，B(0，3)，C(－4，0)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，16a －4b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝－94，c ＝3.∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y ＝－34x 2－94x ＋3.(第25题解)(2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形．理由如下：∵OB＝3，OC ＝4，OA ＝1，∴BC＝AC ＝5.如解图，当点P 在点B 的右侧，且BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形， 此时BP ＝AC ＝5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴点P 的坐标为(5，3)．当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不可能是菱形，则当点P 的坐标为(5，3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形．(3)设直线PA 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k≠0)．∵点A(1，0)，P(5，3)，∴⎩⎨⎧5k ＋b ＝3，k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝－34，∴直线PA 的函数表达式为y ＝34x －34. 当点M 与点P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可知|PM －AM|＜PA ， 当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM －AM|＝PA ，∴当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM －AM|的值最大，即M 为直线PA 与抛物线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34x －34，y ＝－34x 2－94x ＋3， 解得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－5，y 2＝－92. ∴当点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－5，－92时，|PM －AM|的值最大，此时|PM －AM|的最大值为5.(第26题)26．(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(8，4)，连结AC ，BC.(1)求过O ，A ，C 三点的抛物线的函数表达式，并判断△ABC 的形状．(2)动点P 从点O 出发，沿OB 以每秒2个单位的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 以每秒1个单位的速度向点C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当t 为何值时，PA ＝QA?(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)∵直线y ＝－2x ＋10与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，∴点A(5，0)，B(0，10)．∵抛物线过原点，∴可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx.∵抛物线过点A(5，0)，C(8，4)，∴⎩⎨⎧25a ＋5b ＝0，64a ＋8b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝－56.∴抛物线的函数表达式为y ＝16x 2－56x. ∵点A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，∴AB 2＝52＋102＝125，BC 2＝82＋(10－4)2＝100，AC 2＝(8－5)2＋42＝25， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2,∴△ABC 是直角三角形．(第26题解)(2)如解图，当点P ，Q 运动t(s)时，OP ＝2t ，CQ ＝10－t.由(1)可得AC ＝OA ＝5，∠ACQ＝∠AOP＝90°，又∵PA＝QA ，∴Rt△AOP ≌Rt△ACQ(HL)，∴OP＝CQ ，∴2t＝10－t ，∴t＝103， 即当t ＝103时，PA ＝QA. (3)存在．∵y＝16x 2－56x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－2524， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝52. ∵点A(5，0)，B(0，10)，∴AB＝5 5.设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，m ， ①当BM ＝BA 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋(m －10)2＝125，∴m 1＝20＋5 192，m 2＝20－5 192， ∴点M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，20＋5 192，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，20－5 192. ②当AM ＝AB 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫52－52＋m 2＝125， ∴m 3＝5 192，m 4＝－5 192， ∴点M 3⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 5192，M 4⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－ 5 192. ③当MA ＝MB 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫52－52＋m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋(m －10)2, ∴m＝5.∵此时点M 恰好是线段AB 的中点，构不成三角形，故舍去．综上所述，点M 的坐标为M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，20＋5 192，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，20－5 192，M 3⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5 192，M 4⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－ 5 192.。
【浙教版】2017-2018年九年级上数学(3)《二次函数(3)》期末复习试卷
九年级数学期末复习资料三《二次函数3》姓名考点九：二次函数的综合应用【种类 1】面积叠合问题2. 如图，二次函数y 1 x2 bx 3 的图象与 x 轴交于点 A(-3 ， 0) 和点 B，以 AB为边在 x2 2轴上方作正方形ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连结DP，过点 P 作 DP的垂线与 y 轴交于点E. （ 1）请直接写出点D的坐标： _____. （ 2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、 O重合）上运动至哪处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值.（3）能否存在这样的点P，使△ PED等腰三角形？若存在，恳求出点P的坐标及此时△ PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明原因.【种类 2】等面积问题如图，抛物线 2 y ax bx c经过 A（ 10 3 0 0 3）三点，对称轴与，）、B（，）、C（，抛物线订交于点P 、与直线 BC 订交于点 M ，连结 PB 。
（1）求该抛物线的分析式；（ 2）抛物线上能否存在一点Q ，使△ QMB 与△ PMB 的面积相等，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明原因；（ 3 ）在第一象限、对称轴右边的抛物线上能否存在一点R ，使y△ RPM 与△ RMB 的面积相等，若存在，求出点R 的坐标；若不P 存在，请说明原因。
CMA O Q的Bx【种类 3】动向问题如图，等边△ ABC 的边长为12 cm，点D、E分别在边A B 、AC 上，且 AD AE4cm ，若点 F 从点 B 开始以 2cm / s 的速度沿射线BC 方向运动，设点 F 运动的时间为t 秒，当t 0 时，直线 FD 与过点 A 且平行于 BC 的直线订交于点G ， GE 的延伸线与BC 的延长线订交于点H ， AB 与 GH 订交于点 O 。
（1）设△ EGA 的面积为 S （ cm2），求 S和 t 的函数关系式；（2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否变化，若不变，求其值；若变化请说明原因。
数学九年级上二次函数复习测试题(答案)
二次函数一，选择题(每小题3分共24分）1.二次函数y=-(x-1)2+3的图象的顶点坐标是（ ）A ，（-1，3）B ，（1，3）C ，（-1，-3）D ，（1，-3）2.下列函数中，y 随x 的增大而减小的是（ ）A ，y=2xB ，y=-2x+5C ，y=-X3 D ，y=-x 2+2x-1 3，把二次函数y=x 2-2x-1配方成顶点式为（ ）A ，y=（x-1）2B ，y=（x-1）2-2C ，y=（x+1）2+1D ，y=（x+1）2-24，二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有两点（3，-8）和（-5，-8），则此抛物线的对称轴是直线（ ） A ，x=4 B ，x=3 C ，x=-5 D ，x=-15，二次函数y=2x 2的图象向右平移3个单位，得到的新图象的函数解析式是（ ）A ，y=2x 2+3B ，y=2x 2-3C ，y=（2x+3）2D ，y=（2x-3）26，小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，观察得出了下列信息：1，a<0； 2，c=0； 3，函数的最小值为-3； 4，当x<0时，y>0； 5，当0<x 1<x 2<2时，y 1>y 2。
其中正确的有（ ） y7，正方形的面积S 与边长t 的函数图象大致是（ ）S St O-38，下列图形中，阴影部分面积相等的是（ ） (第 X ① ② ③ ④二，填空题(每小题3分共24分）9,抛物线y=2x 2+6x+5的对称轴是直线x=________________.10，已知抛物线y=x 2+4x+5的对称轴是直线x=________________。
11，将抛物线y=x 2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是________________。
12，以知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，满足此条件的二次函数的解析式为________________。
2018-2019届最新浙教版九年级数学上册：二次函数的性质同步导学练及答案-精品试卷
1.3 二次函数的性质对于二次函数y=ax 2+bx+c ，a>0时，当x ≤-a b 2时，y 随x 的增大而减小，当x ≥-ab 2时，y随x 的增大而增大，当x=-a b 2时，y 有最小值ab ac 442-；a<0时，当x ≤-a b 2 时，y 随x 的增大而增大，当x ≥-a b 2时，y 随x 的增大而减小，当x=-ab2时，y 有最大值ab ac 442-.1.抛物线y=2x 2，y=-2x 2，y=21x 2共有的性质是(B). A.开口向下B.对称轴都是y 轴 C.都有最低点D.y 随x 的增大而减小 2.二次函数y=2x 2-x-1的顶点坐标是(C). A.(0，-1)B.(2，-1)C.（41，-89）D.（-41，89） 3.由二次函数y=6(x-2)2+1，可知(C).A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x=-2C.函数的最小值为1D.当x ＜2时，y 随x 的增大而增大4.已知函数y=ax 2-2ax-1(a 是常数，a ≠0)，下列结论中，正确的是(D). A.当a=1时，函数图象过点(-1，1) B.当a=-2时，函数图象与x 轴没有交点 C.若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小 D.若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大 5.如果抛物线y=21x 2+(m-3)x-m+2的对称轴是y 轴，那么m 的值是 3 ． 6.已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=-x 2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 (1,4) . 7.已知点A(2，m)与B(n ，4)关于抛物线y=x 2+6x 的对称轴对称，那么m+n 的值为 -4 ．(第8题)8.如图所示，已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，若点A 的坐标为(0,23)，则点B 的坐标为（2，23） ． 9.已知抛物线y=x 2-x-1．(1)求该抛物线的顶点坐标、对称轴．(2)抛物线y=x 2-x-1与x 轴的交点为(m ，0)，求代数式m 2+21m的值． 【答案】(1)y=x 2-x-1=x 2-x+41-1-41=(x-21)2-45.抛物线顶点坐标是(21，-45)，对称轴是直线x=12. (2)把（m,0）代入得m 2－m －1=0,∴m －m 1=1.∴m 2+21m =(m －m1)2+2=3.（第10题）10.如图所示，已知抛物线y=-x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y=-23x+3交于C ，D 两点，连结BD ，AD. (1)求m 的值.(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP =4S △ABD ，求点P 的坐标.【答案】(1)∵抛物线y=-x 2+mx+3过点B(3，0)，∴0=-9+3m+3，解得m=2.(2)由⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=323322x y x x y 得⎩⎨⎧==3011y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==492722y x .∴D(27，-49).∵S △ABP =4S △ABD ，∴21AB ×|y P |=4×21AB ×49.∴|y P |=9，y P =±9. 当y=9时，-x 2+2x+3=9，此方程无实数解；当y=-9时，-x 2+2x+3=-9，x 1=1+13，x 2=1-13， ∴P(1+13，-9)或P(1-13，-9).11.已知二次函数y=2x 2-9x-34，当自变量x 取两个不同的值x 1，x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1+x 2时的函数值应当与(B)时的函数值相等. A.x=1B.x=0C.x=41D.x=49(第12题)12.如图所示，抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=21 (x-3)2+1交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C.给出下列①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1； ③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC.其中正确的结论是(D). A.①②B.②③C.③④D.①④13.已知二次函数y=ax 2-(a+1)x-2，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的值为 1 ．（第14题）14.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)，D 是抛物线y=-x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 15 .（第15题）15.如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线y=-21x+4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 的坐标为(-2，0).(1)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式.(2)如果M 为抛物线的顶点，连结AM ，BM ，求四边形AOBM 的面积. 【答案】(1)当x=0时，y=-21x+4=4，则A(0，4)，当y=0时，-21x+4=0，解得x=8，则B(8，0).设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-8)， 把A(0，4)代入，得a ·2·(-8)=4，解得a=-41. ∴抛物线的函数表达式为y=-41 (x+2)(x-8)，即y=-41x 2+23x+4.（第15题答图） (2)∵y=-41x 2+23x+4=-41 (x-3)2+425，∴M(3，425).如答图所示,作MD ⊥x 轴于点D. S 四边形AOBM =S 梯形AODM +S △BDM =21×(4+425)×3+21×(8-3)×425=31. 16.如图所示，二次函数y=21x 2+bx+c 的图象交x 轴于A ，D 两点，并经过点B ，若点A 的坐标是(2，0)，点B 的坐标是(8，6)．(第16题)(1)求该二次函数的表达式．(2)求函数图象的顶点坐标及点D 的坐标．(3)该二次函数的对称轴交x 轴于点C.连结BC ，并延长BC 交抛物线于点E ，连结BD ，DE ，求△BDE 的面积．【答案】(1)∵y=21x 2+bx+c 的图象过点A （2，0），B （8，6），∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⨯=++⨯68821222122c b c b ，解得⎩⎨⎧=-=64c b .∴二次函数表达式为y=21x 2-4x+6. (2)y=21x 2-4x+6=21（x-4）2-2，∴函数图象的顶点坐标为（4，-2）.∵点A ，D 是y=21x 2+bx+c 与x 轴的两个交点，点A 的坐标为（2，0），对称轴为直线x=4，∴点D 的坐标为（6，0）.(3)由题意得点C 的坐标为（4，0）.设BC 所在直线的函数表达式为y=kx+b.∴⎩⎨⎧=+=+6804b k b k ,解得.∴BC 所在直线的函数表达式为y=23x-6.∵点E 是y=23x-6与y=21x 2-4x+6的交点，∴23x-6=21x 2-4x+6，解得x 1=3，x 2=8（舍去）.当x=3时，y=-23，∴点E 的坐标为(3，-23).∴S △BDE =S=S △CDB +S △CDE =21×2×6+21×2×23=215.17.【株洲】已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ＞0)的图象经过点A(-1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m ，n)，则下列说法中，错误的是(B). A.c ＜3B.m ≤21C.n ≤2D.b ＜1（第18题）18.【泰州】二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为23个单位，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为(2,-3)或(1+7,3) .19.【江西】已知抛物线C1：y=ax 2-4ax-5(a ＞0). (1)当a=1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴.(2)①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标. ②将抛物线C 1沿这两个定点所在的直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的函数表达式. (3)若(2)中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值.（第19题）【答案】(1)当a=1时，抛物线的函数表达式为y=x 2-4x-5=(x-2)2-9，∴对称轴为直线x=2.∴当y=0时，x 2-4x-5=0，解得x=-1或x=5.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(-1，0)或(5，0). (2)①抛物线C1的表达式为y=ax 2-4ax-5，整理得y=ax(x-4)-5.∵当ax(x-4)=0时，y=-5， ∴抛物线C 1一定经过两个定点(0，-5)，(4，-5).②这两个点的连线为直线y=-5，将抛物线C 1沿直线y=-5翻折，得到抛物线C 2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C2的表达式为y=-ax 2+4ax-5.(3)抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，则x=2时，y=2或-2；当y=2时，2=-4a+8a-5，解得a=47；当y=-2时，-2=-4a+8a-5，解得a=43，∴a=47或43.20.如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为点M(-2，-4)，它与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(-6，0)，与y 轴交于点C ． (1)求该抛物线的二次函数表达式． (2)求△ABC 的面积．(3)抛物线第三象限的图象上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(第20题)【答案】(1)设此抛物线的函数表达式为y=a （x+2）2-4.∵函数图象经过点A （-6，0）， ∴0=a （-6+2）2-4，解得a=41.∴此抛物线的函数表达式为y=41（x+2）2-4，即y=41x 2+x-3. (2)∵点C 是函数y=41x 2+x-3的图象与y 轴的交点，∴点C 的坐标是（0，-3）.当y=0时，41x 2+x-3=0，解得x 1=-6，x 2=2.∴点B 的坐标是（2，0）.∴S △ABC =21|AB|·|OC|=21×8×3=12. (3)假设存在这样的点，如答图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F.（第20题答图）设E （x ，0），则P(x ，41x 2+x-3).设直线AC 的函数表达式为y=kx+b.∵直线AC 过点A （-6，0），C （0，-3），∴⎩⎨⎧-==+-306b b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=321b k .∴直线AC 的函数表达式为y=-21x-3.∴点F 的坐标为(x ，-21x-3).∴|PF|=-21x-3-(41x 2+x-3)=-41x 2-23x.∴S △APC =S △APF +S △CPF =21|PF|·|AE|+21|PF|·|OE|=21|PF|·|OA|=21×-(41x 2-23x)×6=-43x 2-29x=-43（x+3）2+427.∴当x=-3时，S △APC 有最大值427，此时点P 的坐标是(-3，-415).。
2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数本章中考演练试题 (新版)浙教版
二次函数本章中考演练一、选择题1．2016·广州对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是( )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点2．2016·绍兴抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( )A ．4B ．6C ．8D ．103．2017·徐州若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A ．b ＜1且b ≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜14．2017·苏州若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为( )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝－2，x 2＝6C ．x 1＝32，x 2＝52D ．x 1＝－4，x 2＝05．2017·义乌矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A ．y ＝x 2＋8x ＋14B ．y ＝x 2－8x ＋14 C ．y ＝x 2＋4x ＋3 D ．y ＝x 2－4x ＋36．2017·杭州设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴( )A ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＞0B ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＜0C ．若m ＜1，则(m －1)a ＋b ＞0D ．若m ＜1，则(m －1)a ＋b ＜07．2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．2017·舟山下列关于函数y ＝x 2－6x ＋10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3＋n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n ＋1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0＋1)，其中a >0，b >0，则a <b .其中真命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 二、填空题9．2017·兰州如图1－Y －1，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的点P (4，0)，Q 两点关于它的对称轴直线x ＝1对称，则点Q 的坐标为________．图1－Y －110．2017·常州已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3自变量x 的部分取值和对应的函数值y 如下表：则在实数范围内能使得y －5>0成立的x 的取值范围是________．11．2017·鄂州已知正方形ABCD 中，A (1，1)，B (1，2)，C (2，2)，D (2，1)，有一抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m (m ＞0)个单位与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是________．12．2017·武汉已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)．若2＜m ＜3，则a 的取值范围是________________．13．2016·大庆直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝14x 2交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，当OA ⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，则该定点的坐标为________．三、解答题14．2017·江西已知抛物线C 1：y ＝ax 2－4ax －5(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴．(2)①试说明：无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出抛物线C 2的函数表达式．(3)若(2)中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．图1－Y －215．2017·金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图1－Y －3，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．图1－Y－316．2016·绍兴课本中有一个例题：有一个窗户的形状如图1－Y－4①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案如下：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m，利用图③，解答下列问题：(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．图1－Y－417．2016·温州如图1－Y－5，抛物线y＝x2－mx－3(m＞0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC.(1)用含m的代数式表示BE的长．(2)当m＝3时，判断点D是否落在该抛物线上，并说明理由．(3)若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G.①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值；②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是________．图1－Y－5本章中考演练1．[解析] B ∵二次函数y ＝－14x 2＋x －4可化为y ＝－14(x －2)2－3，a ＝－14＜0，∴当x ＝2时，二次函数y ＝－14x 2＋x －4取得最大值，为－3.故选B. 2．[答案] A 3．[答案] A 4．[答案] A5．[解析] A 矩形ABCD 的对称轴是经过对边中点的直线，建立平面直角坐标系如图，因为点A 与点C 关于原点O 对称，点A 的坐标为(2，1)，所以点C 的坐标为(－2，－1)．当再次平移透明纸，使透明纸上的点与点C 重合时，抛物线y ＝x 2的顶点(0，0)变为(－4，－2)，所以抛物线的函数表达式变为y ＝(x ＋4)2－2＝x 2＋8x ＋14.6．[解析] C ∵直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴，故x ＝－b2a ＝1，即2a ＋b ＝0.∵a＜0，∴2a ＜0，b>0，若m ＜1，则(m －1)a>0，即(m －1)a ＋b ＞0.故选C.7．[解析] B 利用待定系数法可求出二次函数的表达式；将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度；求出h ＝0时t 的值即可得足球的落地时间；求出t ＝1.5 s 时h 的值即可对④做出判断．由表格可知抛物线过点(0，0)，(1，8)，(2，14)，设该抛物线的函数表达式为h ＝at2＋bt ，将点(1，8)，(2，14)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，4a ＋2b ＝14.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝9.∴h＝－t 2＋9t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －922＋814，则足球距离地面的最大高度为814 m ，对称轴是直线t ＝92，∴①错误，②正确；∵h ＝－t 2＋9t ＝0时，t ＝0或9，∴③正确；当t ＝1.5 s 时，h ＝－t 2＋9t ＝11.25(m)，∴④错误．8．[解析] C 因为y ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，y 有最小值1，故①错误；n 为任意实数，当x ＝3＋n 时，y ＝(3＋n －3)2＋1＝n 2＋1，当x ＝3－n 时，y ＝(3－n－3)2＋1＝n 2＋1，所以两函数值相等，故②错误；若n>3，且n 是整数，当n≤x≤n＋1时，令x ＝n ，则y 1＝(n －3)2＋1＝n 2－6n ＋10，令x ＝n ＋1，则y 2＝(n ＋1－3)2＋1＝n 2－4n ＋5，因为y 2－y 1＝2n －5，所以之间的整数值的个数是2n －5＋1＝(2n －4)个，故③正确；由二次函数的图象知④错误．9．[答案] (－2，0) 10．[答案] x<－2或x>4 11．[答案] 2≤m≤812．[答案] 13<a<12或－3<a<－2[解析] y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a ＝(ax －1)(x ＋a)，当y ＝0时，抛物线与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0和(－a ，0)．∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为(m ，0)，且2＜m ＜3，当a ＞0时，2<1a <3，解得13<a<12；当a ＜0时，2<－a<3，解得－3<a<－2. 13．[答案] (0，4)[解析] ∵直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝14x 2交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，∴kx ＋b ＝14x 2，化简，得x 2－4kx －4b ＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b. 又∵OA⊥OB，∴y 1－0x 1－0·y 2－0x 2－0＝y 1y 2x 1x 2＝14x 12·14x 22x 1x 2＝ x 1x 216＝－4b 16＝－1，解得b ＝4， 即直线为y ＝kx ＋4，故直线恒过点(0，4)．故答案为(0，4)． 14．解：(1)当a ＝1时，抛物线C 1：y ＝x 2－4x －5， 令y ＝0，则x 2－4x －5＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝5.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(5，0)，对称轴为直线x ＝2. (2)①由抛物线C 1：y ＝ax 2－4ax －5(a ＞0)，可得其对称轴为直线x ＝－－4a2a＝2. 令x ＝0，则有y ＝－5，∴抛物线C 1过定点(0，－5)．由抛物线的对称性可知，(0，－5)关于直线x ＝2的对称点为(4，－5)， ∴无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点(0，－5)和(4，－5)． ②y ＝－ax 2＋4ax －5. (3)当x ＝2时，y ＝4a －5，∴抛物线C 2的顶点坐标为(2，4a －5)． ∵抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2， ∴|4a －5|＝2，解得a 1＝74，a 2＝34.15．解：(1)①把(0，1)，a ＝－124代入y ＝a(x －4)2＋h ，得1＝－124×16＋h ，解得h＝53. ②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625>1.55，∴此球能过网．(2)把点(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，125代入y ＝a(x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215.∴a ＝－15.16．解：(1)由已知得AD ＝54 m ，∴S ＝54m 2.(2)设AB ＝x m ，则AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－74x m. ∵3－74x ＞0，∴0＜x ＜127.设窗户的透光面积为S m 2，由已知得S ＝AB·AD＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－74x ＝－74x 2＋3x ＝－74⎝ ⎛⎭⎪⎫x －672＋97. 当x ＝67时，且x ＝67在0＜x ＜127的范围内，S 最大值＝97＞1.05，∴与课本中的例题比较，现在窗户的透光面积的最大值变大． 17．解：(1)由题意易知C(0，－3)．∵AC⊥OC， ∴点A 的纵坐标为－3.当y ＝－3时，－3＝x 2－mx －3， 解得x ＝0或x ＝m ， ∴点A 的坐标为(m ，－3)， ∴AC ＝m ， ∴BE ＝2AC ＝2m.(2)点D 落在该抛物线上．理由： ∵m ＝3，∴点A 的坐标为(3，－3)， ∴直线OA 的表达式为y ＝－3x. ∵抛物线的表达式为y ＝x 2－3x －3， ∴点B 的坐标为(2 3，3)， ∴点D 的纵坐标为3.对于函数y ＝－3x ，当y ＝3时，x ＝－3， ∴点D 的坐标为(－3，3)．∵对于函数y ＝x 2－3x －3，当x ＝－3时，y ＝3， ∴点D 落在该抛物线上．(3)如图，①∵∠ACE ＝∠CEG＝∠EGA＝90°，∴四边形ECAG 是矩形， ∴EG ＝AC ＝BG. 又∵FG∥OE， ∴OF ＝FB. ∵EG ＝BG ， ∴EO ＝2FG.∵△DOE 与△BGF 的面积相等， ∴12DE·EO＝12BG·GF， ∴BG ＝2DE.由(1)易知点B 的横坐标为2m.将x ＝2m 代入y ＝x 2－mx －3，得y ＝2m 2－3， ∴B(2m ，2m 2－3)． 又∵BE＝2BG ＝4DE ＝2m ， ∴DE ＝m 2，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，2m 2－3.由O(0，0)，A(m ，－3)易得直线OA 的函数表达式为y ＝－3m x.∵点D 在直线OA 上，∴－3m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2＝2m 2－3，解得m ＝±32.11 ∵m ＞0，∴m ＝32. ②∵A(m ，－3)，B(2m ，2m 2－3)，E(0，2m 2－3)，∴直线AE 的函数表达式为y ＝－2mx ＋2m 2－3，直线OB 的函数表达式为y ＝2m 2－32mx. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx ＋2m 2－3，y ＝2m 2－32m x ，得到－2mx ＋2m 2－3＝2m 2－32m x ，解得x ＝4m 3－6m6m 2－3，∴点M 的横坐标为4m 3－6m6m 2－3.∵△AMF 的面积＝△BGF 的面积，∴12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－32＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －4m 3－6m6m 2－3＝12·m ·12·(2m 2－3)，整理，得2m 4－9m 2＝0.∵m ＞0，∴m ＝3 22.故答案为3 22.。
2018-2019学年度九年级数学上册 第1章 二次函数测试题 (新版)浙教版
第一章二次函数考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（）C. D.A.B.2.二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.无实数根3.关于二次函数，下列说法中正确的是（）A.它的开口方向是向下B.当时，随的增大而减小C.它的顶点坐标是D.当时，有最大值是4.把二次函数的图象绕原点旋转后得到的图象的解析式为（）A. B.C. D.5.用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格：根据表格上的信息同答问题：该二次函数在时，A. B. C. D.6.小东在用计算器估算一元二次方程的近似解时，对代数式进行了代值计算，并列成下表．由此可以判断，一元二次方程的一个解的范围是（）C. D.7.已知二次函数的图象如图所示、关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最小值，有最大值B.有最小值，有最大值C.有最小值，有最大值D.有最小值，无最大值8.抛物线的顶点在（）A.轴上B.轴上C.第一象限D.第四象限9.如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的不等式的解集是（）A. B.C. D.或10.若抛物线经过、、三点，则此抛物线的解析式为（）A. B.C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.二次函数的图象如图所示，其对称轴为，，两点均在二次函数的图象上，则与的大小关系为________．12.天猫网某商铺销售新疆薄皮核桃，这种食品是健脑的佳品，经市场调查发现，该食品每天的销售利润（元）与销售价（元/千克）有如下关系：，当销售价为元/千克时，每天的销售利润为元，当销售价为元/千克时，每天的销售利润为元，则该食品每天的销售利润（元）与销售价（元/千克）的函数表达式是________．13.抛物线与轴的两个交点坐标分别为________．14.如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，则它的解析式为________．15.抛物线向右平移个单位的抛物线的函数关系式是________．16.某一型号飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行________才能停下来．17.已知二次函数的图象如图所示，，则函数值________．18.二次函数，当________时，随的增大而增大．19.如图建立直角坐标系，某抛物线型桥拱的最大高度为米，跨度为米，则它对应的解析式为：________．20.王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线相吻合，那么他能跳过的最大高度为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.当为何值时，函数为二次函数？22.某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过元，也不得低于元．经调查发现：日均销售量（棵）与销售单价（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价元时，日均销售棵；每棵售价元时，日均销售棵．求日均销售量与销售单价的函数关系式；在销售过程中，每天还要支出其他费用元，求销售利润（元）与销售单价之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？23.如图，二次函数的图象过原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式．在抛物线上存在点，满足，求出点的坐标．将图中抛物线向右平移个单位，使所得到的图象恰好与直线只有一个公共点，求的值．24.从图中的二次函数图象中，观察得出了下面的五条信息：①②③函数的最小值为④⑤当时，．你认为其中正确的有哪几个？（写出编号）根据正确的条件请求出函数解析式．25.如图，抛物线经过点，与轴交于点求的值设抛物线顶点为，与轴另一个交点为，求四边形的面积．26.如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．求此抛物线的解析式；已知点在第四象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标．在的条件下，连接，问在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案1.A2.C3.B4.C5.B6.C7.C8.B9.D10.C11.12.13.，14.15.16.17.18.19.20.21.解：∵函数为二次函数，∴，，∴，，，∴．22.解：设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．根据题意得．当时取得最大值，为元．23.解：把与原点代入得：，解得：，，则二次函数的解析式为；设纵坐标为，∵，，∴，即，解得：或，当时，可得，解得，∴；当时，可得，解得，，∴或；由题意得到平移后抛物线解析式为，与联立消去得：，整理得：，由两函数只有一个交点，得到，即，解得：．24.解：根据图象可知：①∵该函数图象的开口向上，∴，∴，（此时，异号）故此选项错误；②时，可，故此选项正确；③利用函数顶点坐标，函数的最小值为，故此选项正确；④根据图象知，当时，图象是在轴上方，∴；即，故此选项正确；⑤当时函数为减函数，时，，故此选项正确．故正确的有：②③④⑤，∵函数的顶点坐标为：，∴二次函数的解析式为：，将代入求出即可：，∴函数解析式为：．25.解：∵抛物线经过点，∴，∴，过作轴于，此函数的对称轴是，顶点的纵坐标，∴点的坐标是，并知点的坐标是，点坐标为：，∴．26.解：将、代入抛物线中，得，解得，∴；将点代入中，得，解得或，∵点在第四象限，∴，∵直线解析式为，∴，，，∴点关于直线对称的点；存在．过点作轴，垂足为，交直线于点（如图），∵，∴，又∵轴，四边形为平行四边形，∴，∴，设与相交于点，易求解析式为：，由，得到关于的方程，解方程后，得；于是，点坐标为：；于是解析式为：，令方程中，，则，所以，点坐标为：，∴，或．。
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浙江省衢州市龙游湖镇初中2018届九年级数学上册 二次函数复习卷1、对于二次函数错误！未找到引用源。
有：（1）错误！未找到引用源。
的符号确定图像的开口方向，│错误！未找到引用源。
│确定抛物线开口的大小程度；（2）错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
同号，对称轴在y 轴的左侧；错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
异号，对称轴在y 轴的右侧； （3）C 确定抛物线与y 轴的交点坐标（0，C ）；（4）错误！未找到引用源。
的符号决定抛物线与x 轴是否有交点。
（5）当错误！未找到引用源。
>0时有两个交点，交点的横坐标是方程错误！未找到引用源。
的解；（6）当错误！未找到引用源。
=0时，只有一个交点，即方程错误！未找到引用源。
有两个相等的解；（7）当错误！未找到引用源。
<0时，没有交点，即方程错误！未找到引用源。
无实数解；2、几个等价的命题：（1）二次函数的值恒大于零 抛物线在x 轴上方 a>0，错误！未找到引用源。
<0（2）二次函数的值恒小于零抛物线在x 轴下方 a<0，错误！未找到引用源。
<03、错误！未找到引用源。
与坐标轴的交点个数是 个。
A 、 0 B 、 1 C 、 2 D 、34、抛物线错误！未找到引用源。
的顶点在X 轴，则C 的值是（ ）A 、 0B 、 4C 、 -4D 、 2 5、（2018山东威海）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）．A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞36、（2018湖北襄阳）已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.4<kB.4≤kC.4<k 且3≠kD.4≤k 且3≠k7、（2018江苏无锡）如图，抛物线y = x 2+ 1与双曲线y =k x的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x+ x 2+ 1 < 0的解集是( )A ．x > 1B ．x < −1C ．0 < x < 1D ．−1 < x < 08、已知抛物线如图，根据图像填空：（1）当x= 时，y=0。
(2) 当x<-1或x.>3时，y 0。
(3) 当-1<x< 3时，y 0。
(4) 当x= 时，y 的最 值，其值为。
8、已知，抛物线错误！未找到引用源。
,满足y ＜0的x 的取值范围是 . 9、如图，抛物线的解析式为错误！未找到引用源。
根据图像判断下列方程根的情况：(1)方程错误！未找到引用源。
的两根分别为 。
(2) 方程错误！未找到引用源。
的两根为 。
(3) 方程错误！未找到引用源。
的根情况是 。
(4) 方程错误！未找到引用源。
的根情况是 。
10、如图错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的图像交于点A （-2，4），B （8，2），观察图像，写出错误！未找到引用源。
时x 的取值范围 ，方程错误！未找到引用源。
的解为 。
11、已知抛物线错误！未找到引用源。
（m 为常数）与x 轴交于A 、B 两点，且线段AB 的长为4。
（1）求m 的值；（2）若该抛物线的顶点为P ，求△ABP 的面积。
湖镇初中2018学年九年级上数学-二次函数复习 （主要内容）抛物线的平移、轴对称、旋转变换1、抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列叙述正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位2、抛物线错误！未找到引用源。
向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式 。
3、抛物线错误！未找到引用源。
可以由抛物线错误！未找到引用源。
先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。
4、（ 2018庆江津）将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是____ ___5、函数错误！未找到引用源。
的图像与函数错误！未找到引用源。
的图像关于 对称。
6、已知抛物线错误！未找到引用源。
(1)写出与它关于y 轴对称的抛物线的解析式 。
(2)写出与它关于x 轴对称的抛物线的解析式 。
(3)写出与它关于原点中心对称的抛物线的解析式 。
(4)写出它绕着顶点旋转180°后得到的抛物线的解析式 。
(5)向右平移 个单位，图像经过点(5,4)。
(6)向下平移 个单位，图像也经过点(5,4)。
7、(2018年鄂州)把抛物线y ＝ax 错误！未找到引用源。
+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 错误！未找到引用源。
－3x+5，则求a+b+c 的.8、（2018宁波市）如图，抛物线错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
轴相交于点A 、B ，且过点错误！未找到引用源。
．（1）求错误！未找到引用源。
的值和该抛物线顶点P（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落 在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．湖镇初中2018学年九年级上数学-5,4）（主要内容）二次函数的解析式及顶点的求解1、 重点链接（1）错误！未找到引用源。
，顶点坐标（ ， ），对称轴是直线 。
（2）错误！未找到引用源。
，顶点坐标（ ， ），对称轴是直线 。
（3）对一个二次函数都可以用一般式： ，顶点式： 来表示。
如二次函数图像与X 轴有交点为（错误！未找到引用源。
，0），（错误！未找到引用源。
，0）也可用两根式错误！未找到引用源。
，由两根式可以知道对称轴直线为 。
2、二次函数错误！未找到引用源。
，当x=2时，y 的值是3，则a= 。
3、对于函数错误！未找到引用源。
，当x= 时，y 的最小值 。
4、抛物线错误！未找到引用源。
的顶点坐标为（2，-3），求抛物线的解析式为 。
5、已知抛物线错误！未找到引用源。
的顶点坐标为（1，-3），那么b= ，c= 。
6、当m= 时，抛物线错误！未找到引用源。
开口向下，对称轴是 。
当x= ，y 有最 值为 。
7、二次函数错误！未找到引用源。
化为顶点式为 ，其对称轴是 ，顶点坐标是（ ， ），开口 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x= ，y 有最 值为 。
8、如果抛物线开口向上，且经过点（0，1），那么这条抛物线的解析式可以是 （写出一个即可）9、已知如图抛物线，A 是顶点，（0，1）为与y 轴的交点，求抛物线的解析式。
10、已知二次函数的图像过点（0，1），（-1，4），（2，7），求函数解析式及顶点坐标。
11、已知抛物线错误！未找到引用源。
的顶点P 在直线错误！未找到引用源。
上。
求：（1）C的值；（2）抛物线与X轴交点M、N的坐标；（3）△PMN面积12、有一个抛物线形状的拱桥如图，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系里，若在离跨度中心点M的中心方向5m处垂直竖放一根铁柱支撑拱顶，这根立柱应取多少长？16m13、二次函数错误！未找到引用源。
的图像经过点（-3，0），（-2，3），并以直线X=-2为对称轴。
求这个函数解析式。
（至少用两种方法求解）14、求取顶点的方法多种多样：公式法、配方法、一半公式法等。
请用多种方法求错误！未找到引用源。
的顶点。
湖镇初中2018学年九年级上数学-二次函数复习（主要内容）二次函数图像的增减性1、如果三个点A（-1，y错误！未找到引用源。
），B（1，y错误！未找到引用源。
），C （2，y错误！未找到引用源。
）在二次函数错误！未找到引用源。
的图像上，那么（ ）A 、y 错误！未找到引用源。
< y 错误！未找到引用源。
<y错误！未找到引用源。
B 、y 错误！未找到引用源。
<y 错误！未找到引用源。
< y 错误！未找到引用源。
C 、y 错误！未找到引用源。
>y 错误！未找到引用源。
> y 错误！未找到引用源。
D 、y 错误！未找到引用源。
> y错误！未找到引用源。
>y 错误！未找到引用源。
2、已知抛物线的顶点坐标是P （1，3），且开口向下，下列说法正确的是（ ）A 、当x ≤1时，y 随x 的增大而减小；B 、当x ≥1时，y 随x 的增大而减小；C 、当x<3时，y 随x 的增大而减小；D 、当x>3时，y 随x 的增大而减小； 3、（2018山东聊城）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）4、 （2018浙江衢州）已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 15、（2018四川广安）若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m =lB ．m >lC ．m ≥lD ．m ≤l6、 (20011江苏镇江)已知二次函数215y x x =-+-,当自变量x 取m 时,对应的函数值大于0,当自变量x 分别取m-1,m+1时对应的函数值1y 、2y ,则必值1y ,2y 满足( )A. 1y >0,2y >0B. 1y <0,2y <0C.1y <0,2y >0D.1y >0,2y <07、（2018山东济宁）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是（ ）A ．12y y >B ． 12y y <C ． 12y y ≥D ． 12y y ≤8、已知二次函数错误！未找到引用源。
的图像上有三个点A （错误！未找到引用源。
，y 错误！未找到引用源。
），B （2，y 错误！未找到引用源。
），C （错误！未找到引用源。
，y 错误！未找到引用源。
），请比较y 错误！未找到引用源。
，y 错误！未找到引用源。
，y 错误！未找到引用源。
的大小。
9、（2018浙江绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为错误！未找到引用源。