2.2.3_线面平行的性质定理

合集下载

2.2《线面平行的性质定理》课件

α
8
例题示范
例2.如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α ,a,b都在平面α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β , c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
b α α b
2
（2）如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面α有几种位置关系？ a
a
α
α
b
（3）如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？
为什么？
3
已知:直线a , a , b
a // 证明：
求证:a // b
β
α
a
b
a与没有公共点又因为b在内 a与b没有公共点又 a与b都在平面内
且没பைடு நூலகம்公共点
a // b
4
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a
图形 b
符号语言:
β
作用：判定直线与直线平行的重要依据。关键：寻找平面与平面的交线。
a // ，a ， b
α
a // b .
上述定理反映了直线和平面平行的一个性质，其内容可简述为“线面平行，则线线平行”.
线∥面
线∥线
5
例题示范例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？解：（1）过点P作 EF∥B′C′ ，分别交棱 A′B′ ， C′D′于点E，F。 E D ′ C′ 连接BF，CE，则EF，BF， P CE就是应画的线。 F B′

2.2.3《直线与平面平行的性质》

直线与平面平行的性质定理：直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与这个平面的交线与该直线平行。任一平面与这个平面的交线与该直线平行。符号表示：符号表示：
a // α , a ⊂ β , α ∩ β = b
a // b
β a b
例题示范例4：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。第一步: 第一步:将原题改写成数学符号语言如图,已知直线a,b,平面如图,已知直线a,b,平面α, a,b,平面 a//b,a//α,a,b都在平面且a//b,a//α,a,b都在平面 α外.求证:b// . 求证:b//α. :b// 第二步:分析：怎样进行平第二步:分析：行的转化？行的转化？→如何作辅助平面？第三步: 第三步:书写证明过程
探研新知
已知：如图，a∥α，已知：如图，a∥α， α∩β＝ a ⊂β，α∩β＝b。求证：a∥b。求证：a∥b。证明： α∩β＝证明：∵α∩β＝b，∴b⊂α a∥α，无公共点， ∵ a∥α，∴a与b无公共点， a∥b。 ∵a⊂β，b⊂β，∴a∥b。我们可以把这个结论作定理来用. 我们可以把这个结论作定理来用.
探究: 变式：如果AD∥BC BC∥面A′C′，那么， AD∥BC，变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD 和面BC′ BC′、 BF、 A′C′都有怎样的位置关和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关为什么？系．为什么？
练一练: 练一练: 设平面α α∩β＝ β∩γ＝设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b， γ∩α＝求证： γ∩α＝c，且a//b. 求证：a∥b∥c.

平行的判定与性质

EF //平面 BB 1D 1D.第12讲平行的判定与性质1. 线面平行的定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示为：a 二二:打a 〃b= a 〃 . 3 .性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交a// :- 线平行.即: a 1 1 =a//b .:-n: =b【例1】已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点, 求证：AF //平面PEC证明：设PC 的中点为G ,连接EG 、FG.1•/ F 为 PD 中点， ••• GF // CD 且 GF= —CD.2•/ AB // CD , AB=CD , E 为 AB 中点， • GF // AE , GF=AE , 四边形AEGF 为平行四边形• • EG // AF , 又••• AF 二平面 PEC , EG 二平面 PEC , • AF //平面 PEC.【例2】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点•求证: 证明：连接AC 交BD 于0,连接0E ,贝U OE // DC , OE = 1 DC.2•/ DC // D 1C 1, DC=D 1C 1 , F 为 D 1C 1 的中点，• OE // D 1F , 0E=D 1F , 四边形D 1FE0为平行四边形•EF // D 1O.又••• EF 二平面 BB 1D 1D , DQ 二平面 BB 1D 1D , •EF //平面 BB 1D 1D.【例3】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //平面EFG .证明：如右图，连结DM ，交GF 于0点，连结0E ,在「BCD 中，G 、F 分别是 BD 、CD 中点， • GF//BC , ••• G 为BD 中点， • 0为MD 中点，在 AMD 中，I E 、0 为 AD 、MD 中点， • EO//AM , 又••• AM 平面EFG , E0 平面EFG , • AM // 平面 EFG .【例4】如图，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、 PC 的中点•( 1)求证：MN//平面FAD ;(2)若MN =BC =4 , PA =4..3，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. 解：(1)取PD 的中点H ,连接AH ，由N 是PC 的中点，1• NH // DC .由 M 是 AB 的中点， • NH//AM ,-2 -即AMNH 为平行四边形.• MN //AH . 由 MN 二平面 PAD,AH 二平面 PAD ,• MN //平面 PAD .1 1(2) 连接 AC 并取其中点为 0,连接 0M 、0N ,「. 0M// - BC , 0N // - PA , -2 - 2 所以Z0NM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，且 M0丄N0. 由 MN =BC =4 , PA =4 .3,得 0M=2, 0N=2.3.所以.ONM =30°，即异面直线 PA 与MN 成30°的角■【例5】三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一结论叫做三角形的重心定理在四面体 ABCD 中，M 、N 分别是面厶ACD 、△ BCD 的重心，在四面体的四个面中，与MN 平行的是C哪几个面？试证明你的结论.解：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F 重合为一点,CiBD . ^=zV 2 =i7且该点为CD 的中点E ，由EM =_EN =1得MN // AB ,MA NB 2因此，MN //平面 ABC 且 MN //平面 ABD.【例6】经过正方体 ABCD-A^C i D i 的棱BB i 作一平面交平面 AAQ I D 于E i E ，求证：E i E // B I B证明：••• AA i// BB i, AA^平面 BEE iB i,BB i平面 BEE iB i,••• AA 〃平面 BEE i B i . 又二平面 ADD iA i，平面 ADD* 门平面 BEE iB^ = EE i,AA, // BB i ] •- AA i //EE i .则二 BB i //EE i .i AA // EE ii i【例7】如图，AB 〃「，AC//BD , C 。

立体几何常考定理的总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

线面平行面面平行的判定

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质1．文字语言：一条直线与一个平面平行，则__过这条直线的任一平面与此平面的交线__与该直线平行．2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α__a ⊂β____α∩β＝b __⇒a ∥b 4．作用：线面平行⇒线线平行．要点二面面平行的性质定理1．文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的交线__平行__.2．图形语言：3．符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α∥β__α∩γ＝a ____β∩γ＝b __⇒a ∥b 4．作用：面面平行⇒线线平行．要点三平行关系性质的应用1．若平面α与平面β平行，则α上的任何直线与平面β的位置关系是__平行__. 2．若两个面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线的关系是__平行或异面__. 3．A 是异面直线a ，b 外一点，过A 最多可作__0或1__个平面同时与a ，b 平行． 4．过平面外一点能作__无数__条直线和这个平面平行．思考：如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话正确吗？为什么？提示不正确，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．考点一线面平行、面面平行的性质定理定理可简记为“线面平行，则线线平行”“面面平行，则线线平行”．定理揭示了直线与平面平行中蕴涵着直线与直线平行，即通过直线与平面平行、平面与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法．【例题1】在下列命题中，正确的有__④__(填序号)．①若α∩β＝a，b⊂α，则a∥b；②若a∥平面α，b⊂α，则a∥b；③若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，则a⊂α.思维导引：此类题一般是以符号语言为载体的判断题，熟悉相关定理是前提，全面分析是关键，一般通过合理利用模型及排除法解题．解析①若α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，①不正确；②若a∥α，b⊂α，则a与b异面或a∥b，②不正确；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a与b异面，③不正确；④若α∥β，点P∈α，知P∉β，所以过点P且平行于β的直线a必在α内，故④正确．【变式1】(1)若直线a，b均平行于平面α，那么a与b的位置关系是__平行、相交或异面__.(2)若直线a∥b，且a∥平面β，则b与β的位置关系是__b∥β或b⊂β__.(3)若直线a，b是异面直线，且a∥β，则b与β的关系是__b∥β或b⊂β或b与β相交__.解析(1)a∥α，b∥α，则知a，b与α无公共点，而a，b平行、相交、异面都有可能．(2)a∥b，a∥β知b∥β或b在β内．(3)b与β的三种位置关系都有可能．考点二线面平行的性质及应用利用线面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：(1)先找过已知直线且与已知平面相交的平面；(2)再找两个平面的交线；(3)由定理得出结论．【例题2】如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．思维导引：AB∥平面MNPQ，CD∥平面MNPQ→MN∥PQ，NP∥MQ→四边形MNPQ是平行四边形证明因为AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可证NP ∥MQ.所以四边形MNPQ为平行四边形．【变式2】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F.求证：EF∥B1C．证明由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD 为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂平面A1DFE，B1C⊄平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C．考点三面面平行的性质及应用应用平面与平面平行的性质定理的基本思路：【例题3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是__与D重合__.思维导引：平面AB1C∥平面A1EC1，且都与对角面BB1D1D相交，则交线平行．在平行四边形BB1D1D中再来论证平行线的位置．解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O.连接ME，B1O，因为平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，所以B1O∥ME.又由长方体的性质可知四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD．故E与D重合．【变式3】已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．解析直线a，b的位置关系是平行．如图所示，连接DD′.因为平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A ′D ′B ∩平面A ′B ′C ′＝A ′D ′，所以A ′D ′∥a . 同理可证AD ∥b .又D 是BC 的中点，D ′是B ′C ′的中点，所以DD ′BB ′，又BB ′AA ′，所以DD ′AA ′，所以四边形AA ′D ′D 为平行四边形，所以A ′D ′∥AD ，所以a ∥b .考点四空间平行关系的相互转换线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行转换．相互间的转换关系如下．【例题4】如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长；思维导引：通过作辅助线构造平面，从而证得线面平行；或通过线线平行证得线面平行．解析 (1)证明：方法一如图，连接AC ，CD 1.AC 与BD 交于点Q .因为P ，Q 分别是AD 1，AC 的中点，所以PQ ∥CD 1. 又PQ ⊄平面DCC 1D 1， CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.方法二取AD 的中点G ，连接PG ，GQ ，则有PG ∥DD 1，GQ ∥DC ，且PG ∩GQ ＝G ，则平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又因为PQ ⊂平面PGQ ，则PQ ∥平面DCC 1D 1. (2)由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .【变式4】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD ．证明过E 作EG ∥AB 交BB 1于点G ，连接GF ，则B 1E B 1A ＝B 1GB 1B.因为B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，所以C 1F C 1B ＝B 1GB 1B .所以FG ∥B 1C 1∥BC ，又因为EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ，所以平面EFG ∥平面ABCD ，又因为EF ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ．。

线面平行的判定及性质

线面平行的判定定理：
文字语言：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
符号语言：ααα////a b a b a ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊂⊄
线面平行的性质定理：
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言：b a b a a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⊂βαβα
面面平行的判定定理：
文字语言：一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
符号语言：βαββαα////,//,⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⊂⊂b a A b a b a
面面平行的性质定理：
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言：b a b a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫==γβγαβα
线面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言：ααα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l n l m l P n m n m ,,
线面垂直的性质定理：
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言：b a b a //⇒⎭
⎬⎫⊥⊥αα
面面垂直的判定定理：
文字语言：一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直符号语言：
βααβ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥a a
面面垂直的性质定理：
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另外一个平面垂直
符号语言：ββααβα⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫⊥=⊂⊥a b a b a。

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。

（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。

）四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。

智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。

然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。

高中数学2.2.3 直线与平面平行的性质定理教学设计

《直线与平面平行的性质定理》教学设计一．教材内容与学情分析：本节课内容是人教A版数学必修2第二章第二节第三课时《直线与平面平行的性质定理》，“直线与平面平行的位置关系〞是“空间直线平行关系〞和“空间平面平行关系〞的桥梁和纽带。

“直线与平面平行的性质〞是立体几何的第一节性质定理课，揭示了“直线与平面平行的判定定理〞与“直线与平面平行的性质定理〞的内在关系，构建了新的知识与方法体系。

本节课也是在学生已经学习了“空间直线与平面的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞等知识的根底上展开的，这为学习“直线与平面平行的性质〞作了必要的知识准备。

其次学生通过“空间几何体〞，“空间点，直线，平面之间的位置关系〞“直线与平面平行的判定〞的学习，已经初步形成了一定的空间思维和想象能力，以及初步具备了逻辑思维和推理论证能力，从而提高了学习的效率。

二、教学目标：1．知识与技能：学生初步学会应用直线与平面平行的性质定理解决简单问题；2．过程与方法：学生通过对线面平行性质的学习，进一步掌握直线与平面平行的判定和性质定理；通过对探究成果的归纳，整理，分析，从而认清结论的地位和作用，建立知识之间的联系；3．情感态度、价值观：学生通过对线面平行的性质的学习，进一步提高空间想象能力和严谨的思维习惯，养成实事求是的学习态度。

三、教学重点、难点：1．重点：线面平行的性质定理及应用。

2．难点：发现线面平行的性质，理解性质定理与判定定理的关系，并把它们整合到数学知识方法体系中。

四、教法与教具选择：1．教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论2．教学手段：多媒体、三角板、纸棒。

五、教学过程设计：〔一〕导直线与平面平行的判定定理〔符号描述〕线线平行→线面平行【设计意图】“温故而知新，可以为师也〞，回忆上节课的内容既可以对上节课内容作以稳固，也可为本节内容的展开做铺垫。

尤其是“线线平行→线面平行〞要板书在黑板的左方，等线面平行的性质定理得出后，提炼为“线面平行→线线平行〞只需要在原根底上加上反向箭头即可。

学案5：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3直线与平面平行的性质【自主预习】[新知初探]直线与平面平行的性质定理思考：若a∥α，b⊂α，则直线a一定与直线b平行吗？[初试身手]1．如图，过正方体ABCDA′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′，则BB′与EE′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定2．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)【题型探究】[探究问题]1．直线与平面平行性质定理的条件有哪些？2．直线与平面平行的性质定理有什么作用？3．直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系？【例1】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[母题探究] 将本例变为：如图所示，四边形ABCD 是矩形，P 平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．[规律方法]1．利用线面平行性质定理解题的步骤：2．证明线线平行的方法：(1)定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．(3)线面平行的性质定理： ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ，应用时题目条件中需有线面平行．【例2】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且P A ＝3，点F 在棱P A 上，且AF＝1，点E 在棱PD 上，若CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值．[规律方法]利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．(3)利用所得关系计算求值．[跟踪训练]如图所示，在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．【课堂小结】1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．【当堂达标】1．如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB, SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有() A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条3．过正方体ABCDA1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.【参考答案】【自主预习】[新知初探]平行交线平行a⊂β，α∩β＝b思考：[提示]不一定．由a∥α，，可知直线a与平面α无公共点，又b⊂α，，所以a与b无公共点，所以直线a与直线b平行或异面．[初试身手]1．A[因为BB′∥平面CDD′C′，BB′⊂平面BB′E′E，平面BB′E′E∩平面CDD′C′＝EE′，所以BB′∥EE′.]2．①②⇒③(或①③⇒②)[设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n⊄α，l⊂α，所以n∥α.]【题型探究】[探究问题]1．[提示]线面平行的性质定理的条件有三个：(1)直线a与平面α平行，即a∥α；(2)平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；(3)直线a在平面β内，即a⊂β. 三个条件缺一不可．2．[提示]定理的作用：(1)线面平行⇒线线平行；(2)画一条直线与已知直线平行．3．[提示]经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行．【例1】[证明]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN，同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ为平行四边形．[母题探究][证明]因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，因为AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，所以BC∥平面P AD.因为平面BCFE∩平面P AD＝EF，所以BC∥EF.因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF，所以四边形BCFE是梯形．【例2】[解]过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，所以FO∥CG，又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.[跟踪训练]613＋32[如图所示，延长EF，A1B1相交于点M，连接AM，交BB1于点H，连接FH，延长FE，A1D1相交于点N，连接AN交DD1于点G，连接EG，可得截面五边形AHFEG，因为几何体ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，且E 、F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，所以EF ＝32，易知B 1M ＝C 1E ＝12C 1D 1＝12A 1B 1，又B 1H ∥AA 1，所以B 1H ＝13AA 1＝2，则BH ＝4，易知AG ＝AH ＝62＋42＝213，EG ＝FH ＝32＋22＝13，所以截面的周长为613＋3 2.]【当堂达标】1．B [因为平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，又因为EF ∥平面ABC ，所以EF ∥BC .]2．C [过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．]3．平行 [因为A 1C 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1C 1B ，平面ABCD ∩平面A 1C 1B ＝l ，由线面平行的性质定理，所以A 1C 1∥l .]4．[证明] 如图，连接AB 1与BA 1交于点O ，连接OD ，因为PB 1∥平面BDA 1，PB 1⊂平面AB 1P ，平面AB 1P ∩平面BDA 1＝OD ，所以OD ∥PB 1，又AO ＝B 1O ，所以AD ＝PD ，又AC ∥C 1P ，所以CD ＝C 1D .。

2.2.3-2.2.4_直线与平面,平面与平面平行的性质定理-悠

b α
内找出和直线a （2）已知直线 ∥平面，如何在平面内找出和直线）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线平行的一条直线？平行的一条直线？
思考
如图，直线A 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 1B1//面CDD1C1. 面
D1 A1
E
C1 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1.
β b α a
⊂ β.
又因为a 又因为 ∥α，所以a,b无公共点. 所以 , 无公共点. 无公共点又因为a β 所以a∥ 又因为 ⊂ ，b ⊂β，所以 ∥b
back
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 例已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证另一条也平行于这个平面. 求证另一条也平行于这个平面.
α
(2)该定理作用：“线面平行⇒线线平行” 该定理作用：线面平行⇒线线平行” 该定理作用线面平行性质定理也是找平行线的重要依据. 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据 (3)应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相应用该定理并找出两平面的交线. 交，并找出两平面的交线 (4)平面外的两平行线同平行于同一个平面平面外的两平行线同平行于同一个平面. 平面外的两平行线同平行于同一个平面
O
C1
E
D
在 DBD1中，O为DB的中点,BD1 // OE. 所以点E为DD1的中点.
A
B
练习
三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的点，A1B//平面上的点，平面ADC1 . 三棱柱是上的点平面求证:点为的中点的中点. 求证点D为BC的中点

课件4：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
知识点一直线与平面平行的性质线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
a∥α
a⊂β α∩β＝b
⇒a∥b
(4)作用：线面平行⇒线线平行．
题型三线面平行和面面平行的综合问题例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′ 分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、 β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°,OA∶OA′ ＝3∶2.求△A′B′C面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′，由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. 同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、 B′C′，从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′. ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.
练习
5.如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，平面 α∥平面 ABC，α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′.若APA′A′＝23，求S△A′B′C′的值．
S△ABC
解平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB， ∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC， ∠A′C′B′＝∠ACB. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5. ∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
证明如图所示，过点A作AE∥CD，且AE交平面β 于E，连接DE与BE. ∵AE∥CD， ∴由AE与CD可以确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. ∵α∥β，∴AC∥DE. 取AE的中点N，连接NP与MN，如图所示． ∵M与P分别为线段AB与CD的中点，

高中数学直线、平面平行的判定与性质

例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD�� B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM�� QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.

线面、面面平行的性质定理

必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．解析：平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.

2020届高中数学分册同步讲义(必修2) 第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3直线与平面平行的性质学习目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会转化与化归的数学思想.知识点直线与平面平行的性质定理1.若直线l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.(×)2.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(×)3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(×)4.若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则b∥α.(×)题型一线面平行性质的直接应用例1已知直线a∥平面α，a⊂平面β，α∩β＝b，b∥平面γ，α∩γ＝c.求证：a∥c.证明∵a∥α，a⊂β，β∩α＝b，∴a∥b，又∵b∥γ，b⊂α，α∩γ＝c，∴b∥c，∴a∥c.反思感悟直接应用线面平行的性质定理，关键是摆全定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可.跟踪训练1如图所示，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A.MN∥PDB.MN∥P AC.MN∥ADD.以上均有可能答案 B解析四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，因为MN⊂平面P AC，平面P AC∩平面P AD＝P A，所以由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥P A.题型二线面平行的判定与性质的交替应用例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.引申探究本例条件不变，求证：GH ∥平面P AD . 证明由例2证得AP ∥GH . 又AP ⊂平面P AD ，GH ⊄平面P AD ， ∴GH ∥平面P AD .反思感悟线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.跟踪训练2 如图，在五面体EF －ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF .证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ， ∴AD ∥平面BCEF ，∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF ， ∴AD ∥EF .线面平行性质的综合应用典例如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，求线段FE 的长度.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算解 ∵EF ∥平面AB 1C ，又平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，EF ⊂平面ADC ， ∴EF ∥AC ， ∵E 是AD 的中点， ∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.[素养评析] (1)利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点①根据已知线面平行关系推出线线平行关系.②在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.③利用所得关系计算求值.(2)逻辑推理是数学核心素养之一.1.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案 A2.如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能答案 B3.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案 5解析因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.5.已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是________四边形.答案平行1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.一、选择题1.如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.不确定答案 D2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.异面或相交考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 B解析由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.3.已知a，b表示直线，α表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α，其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A4.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A.有无数条，不一定在平面α内B.只有一条，不在平面α内C.有无数条，一定在平面α内D.只有一条，且在平面α内答案 D5.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是()A.如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB.如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C.如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD.如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由线面平行的性质定理知C正确.6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF ∥AB ，∴GH ∥AB .7.如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，E 为AD 中点，F 在P A 上，AP ＝λAF ，PC ∥平面BEF ，则λ的值为( )A.1B.32C.2D.3答案 D解析设AO 交BE 于点G ，连接FG . ∵O ，E 分别是BD ，AD 的中点， ∴AG AO ＝23，AG AC ＝13. ∵PC ∥平面BEF ，平面BEF ∩平面P AC ＝GF ， ∴GF ∥PC ，∴AF AP ＝AG AC ＝13，∴λ＝3.8.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是( ) A.E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B.G ，H 一定是CD ，DA 的中点C.BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD.AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC 考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 D解析由于BD ∥平面EFGH ，所以有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .二、填空题9.直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有____条. 考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 0或1解析过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条.10.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________. 答案 A 1C 1∥l解析因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又平面ACB 1经过直线AC 与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ，所以AC ∥l .又因为A 1C 1∥AC ，所以A 1C 1∥l .11.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMNQ ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.三、解答题12.如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 是梯形.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明 ∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD . ∵AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ， ∴BC ∥平面P AD .∵平面BCFE ∩平面P AD ＝EF ， ∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ， ∴四边形BCFE 是梯形.13.已知AB ，CD 为异面线段，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，过E ，F 作平面α∥AB .求证：CD ∥α.证明如图，连接AD 交平面α于点H ，连接EH ，FH ，因为AB ∥α，AB ⊂平面ABD ，且平面ABD ∩α＝FH ，所以AB ∥HF .又因为F 为BD 中点，所以H 为AD 中点，又E 为AC 中点，所以EH ∥CD ，又因为EH ⊂α，CD ⊄α，故CD ∥α.14.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中错误的是( )A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D 正确；C是错误的，故选C.15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC 上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题解若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1，故MN 是△ACE 的中位线. 所以当M 是AC 的中点时， MB ∥平面AEF .。

线面平行的性质定理

解：⑴
BC//B'C' EF//B'C'
D'
F
A'
P E
C'
BC//EF D
B' C
EF、BE、CF共面． A
B
则EF、BE、CF为应画的线．
直线与平面平行的性质定理的运用：例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
D'
F
棱A'B'、C'D'于点E、F， A'
P E
C'
连结BE、CF，
B'
D
C
下面证明EF、BE、 CF为应画的线．
A
B
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
解：⑴
D'
F
A'
P E
C'
B'
D
C
A
B
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
⑵所画的线与平面AC是什么位置关系？
解：⑵ 由⑴，得 EF//BC， D'
F
EF//BC
A'
P E
C'
B'
D
C
A
B
直线与平面平行的性质定理的运用：例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

点、直线、平面之间的位置关系
2.判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例.
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；( ) （2）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α , b ∥ α ,那么a ∥ b ;( )
(3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α ,b α , 那么 b ∥ α ;( )
B1 P M D N C
A
B
PM PN AC // MN MA NC
CC 1 AA1
MN 面ABCD AC 面ABCD
MN // 面ABCD
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
5、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
关键：寻找平面与平面的交线。
简述：线面平行，则线线平行
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ）
A 只和这个平面内一条直线平行；
B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
必修2
第二章
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
长方体ABCD －A1 B1C1 D1中，点P BB （异于 B、B1） 4、 1 PA BA1 M , PC BC 1 N , 求证：MN // 平面ABCD
A1 D1 C1 B1 P M D N C
A
B
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
线面平行性质定理的简单应用如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P∉平面 ABCD，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E，交 DP 于 F.求证：四边形 BCFE 是梯形．
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
[解题过程] 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，而AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD. 又∵过BC的平面FEBC与平面PAD的交线为EF， ∴BC∥EF，显然EF＝\BC， ∴四边形BCFE是梯形．
画出过G和AP的平面。
P M
G
D H A
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
C
O
B
反思~领悟：
线面平行的判定定理
线线平行线面平行如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质定理
线面平行线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例4：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。第一步:将原题改写成数学符号语言如图,已知直线a,b,平面α,且 a//b,a//α ,a,b都在平面α 外. 求证:b//α. 第二步:分析：怎样进行平行的转化？→如何作辅助平面？

(4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( )
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1) 要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？
解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别交棱A’B’，C’D’于点E， F。连接BE，CF，则 EF，BE，CF就是应画的线。
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
证明：
2、已知：如图，AB//平面，AC//BD, 且 AC、BD与分别相交于点C, D. 求证：AC=BD
巩固练习:

AC//BD AC与BD 确定一个平面AD AB//平面
AB 平面AD
平面平面AD CD
AB // CD ABCD为 AC // BD 平行四边形 AC BD
必修2 第二章

点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H 分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过 EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F， G，求证：FG∥平面ADD1A1.
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
证明：因为EH∥A1D1，EH⊄平面BCC1B1， FG⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥EH∥A1D1，又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.
AC // MN
MN 面ABCD AC 面ABCD
必修2 第二章
MN // 面ABCD
点、直线、平面之间的位置关系
证法2
（略写）
A1
D1
C1
利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质
PM PB PBM∽ AA1 M MA AA1 PN PB PBN ∽CC 1 N NC CC 1
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
复习2：面面平行的判定定理
定理中的线与线、线与面应直线和平面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行，线面平行) 具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平行。平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（线不在多，重在相交）定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平行于另一个平面。定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
第三步:书写证明过程
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例4 如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α ,a,b都在平面α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β ,α Çβ =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
怎样作平行线？
l
பைடு நூலகம்
a
a
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线试用文字语言将上述原理表述成一个命题. 平行.
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
探研新知
已知：如图，a∥α ， a β ，α ∩β ＝b。求证：a∥b。

a b

证明：∵α ∩β ＝b，∴bα ∵ a∥α ，∴a与b无公共点， ∵aβ ，bβ ，∴a∥b。
2.2.3 线面平行的性质定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
复习1：直线和平面的位置关系 1、直线和平面有哪几种位置关系？平行、相交、直线在平面内 2、反映直线和平面三种位置关系的依据是什么？公共点的个数 1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3.直线与平面平行——没有公共点。
我们可以把这个结论作定理来用.
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
线面平行的性质定理
定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 a
图形 b β
α a ， a // b. b 符号语言: a // ，判定直线与直线平行的重要依据。作用：
A1
D1 P
E
C1
F
D
B1
C B
A
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
例题示范
例3：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面 AC有什么关系？
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平面A'C' 交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知，EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC, EF平面AC,BC平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。
证明:
连结AC 、A1C1 长方体中A1 A//C1C A1C1 // AC AC 面A1C1 A1C1 面A1C1
AC // 面A1C1 B AC 面ACP
A A1
D1
C1
B1 P M D N C
B
A1 B PA M 面ACP 面A1C1 B MN PC BC 1 N
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
思考：如果一条直线与平面平行，那么
这条直线是否与这平面内的所有直线都平行？
a c

b
那么直线a会与平面内那些线平行呢？
必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系
思考：教室内日光灯管所在直线与地
面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？