高考数学(文)一轮(新题AB卷)全国课件：第七章 立体几何初步 7.5

第五节
直线、平面垂直的判定及其性质
【教材基础回顾】 1.直线与平面垂直 (1)定义:直线l与平面α内的_____一条直线都垂直, 就说直线l与平面α互相垂直.
任意
(2)判定定理与性质定理:
文字语言 一条直线与一个 相交 平 判 面内的两条 定 _____ 定 直线都垂直,则
图形语 言
符号语言
a,b⊂α a∩b=O _______
射影
[0, ] 2
锐角
3.平面与平面垂直 (1)二面角: 从一条直线出发的___________所组成的图形叫做二面 角;在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半 平面内分别作_________的两条射线,这两条射线所构 成的角叫做二面角的平面角.
两个半平面
垂直于棱
(2)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是 _________,就说这两个平面互相垂直.
直二面角
(3)判定定理与性质定理:
文字语言 判 定 定 理
图形语言
符号语言
l⊥α l⊂β
一个平面过另 一垂线 个平面的_____, 则这两个平面 垂 直
_____ _____
⇒α ⊥β
文字语言
图形语言
符号语言
α⊥β
l⊂β
两个平面垂 直, 则一个平面 交线 性 内 质 垂直于_____ 定 的 理
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行于平面β,也可能在平面β 内或与平面β相交.
2.(2016· 浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β, 则 ( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.
(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.
【拓展】反证法:反证法是立体几何中常用的间接证明方法.其步骤是:①否定结论;② 进行推理;③导出矛盾;④肯定结论.用反证法证题要注意:①宜用此法否;②命题结论的 反面情况有几种.
【同源异考· 金榜原创】 1.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是 ( )
【解析】选C.A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α,错误;B中,由m∥β,β⊥α 可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正 确;D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误.
【技法点拨】 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判 断. (2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.
3.如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1, BC=PC=2,作如图2折叠.沿EF折叠后点 P在线段AD上的点记为M,并且EF∥DC,MF⊥CF. (1)证明:CF⊥平面MDF. (2)求三棱锥M-CDE的体积.
【解析】(1)因为PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD,平面PCD⊥平面ABCD, 平面PCD∩平面ABCD=CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD, 所以MD⊥平面PCD,因为CF⊂平面PCD,所以MD⊥CF. 因为CF⊥MF,MD,MF⊂平面MDF,MD∩MF=M, 所以CF⊥平面MDF.
2 2
3 , 8
2
所以VM-CDE= S△CDE· MD=
2
3 3 2 3 2 6 MD ME DE PE DE ( ) ( ) , 4 4 2
1 3
1 3 6 2 . 3 8 2 16
【母题变式溯源】
题号 1
2
知识点 与线面、面面垂 直有关的基础性 问题 与线面、面面垂 直有关的基础性 问题 直线与平面垂直
【教材母题变式】 1.下列命题中不正确的是 ( ) A.如果平面α⊥平面β,且直线l∥平面α,则直线l⊥平面β B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ
A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC
【解析】选D.因为BC∥DF,DF⊂平面PDF, BC⊄平面PDF, 所以BC∥平面PDF,故选项A正确. 在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC, 所以BC⊥平面PAE,则DF⊥平面PAE,从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B,C均正确.
α∩β=a
l⊥a
【金榜状元笔记】 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
3.三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直.
4.三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂 直.
l⊥a _______ _____ l⊥b _____
文字语言 性 质 定 理 垂直于同一个平 平行 面 的两条直线 _____
图形语 言
a⊥α
符号语言
b⊥α
_____ _____
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角 定义:一条斜线和它在平面上的_____所成的_____叫 做这条直线和这个平面所成的角.范围是________.
源自教材 P73· 练习T1 P72·探究 P79·
考向一 线面、面面垂直的判断问题 【典例1】设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是 ( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
(2)因为CF⊥平面MDF,所以CF⊥DF, 又易知∠PCD=60°,所以∠CDF=30°, 从而CF= CD= , 因为EF∥DC,所以 即 所以DE= 所以PE=
1 2
1 2
DE CF , DP CP
1 DE 2 , 3 2
3 , 4
3 3 , 4
所以S△CDE= CD· DE=
1 2