北京市重点中学高一数学下学期期中考试试题(无答案)
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
【分析】先判断 cosA, tanB 的正负，即可求解
【详解】在 VABC 中，A 为钝角，则 B 为锐角，
则 cosA < 0, tanB > 0 ，
则点 P (cosA, tanB) 在第二象限，
故选：B 3．B
【分析】首先根据对称性，求a, b 的关系，根据诱导公式，即可求解.
【详解】因为角a ， b 的终边关于 y 轴对称，所以a + b = π2+π k ， k Î Z ，
即 b = -a + π2+π k ， cos b = cosπ(2-πac+os + k ) = -
a
=
-
3 5
^
r b
，
所以
r a
×
r b
=
(
-2)
´
6
+
(
-3)
´
m
=
0
，解得
m
=
-4
.
故答案为： -4 .
10． 2p 5
【解析】由已知结合弧长公式即可直接求解.
【详解】由弧长公式可得 l
对于
C， T
=
ππ =
w
4
，故
C
错误；
对于
D，
y
=
sin2
2x
=
1 2
-
1 2
cos
4x
，
T
=
2π2ππ w=4
=
2 ，由题意可知， y = sin2 2x =
北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷(含简单答案)
北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）A B. C. 2 D. 43. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）A. B. C. D.4. 已知向量，满足，，，则（ ）A.B.C.D.5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（ ）A.B. C.D. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数.240︒a b a b ⋅=4-2-πsin y x=cos y x=tan2y x=sin cos y x x=a b()0,1a = 1b = a b -=r r ,a b 〈〉= π6π3π22π3()()sin 0f x x x ωωω=>2y =π()f x π12x =π6x =5π12x =5π6x =ABC V AB AC =tan 2B =tan A =4343-4545-()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8. 若，则（ ）A.B. C.D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ）A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为__________________ .12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________..的2sin 2y x =()f x π3π6π3π6π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=725725-925925-()()cos f x x ϕ=+()()11f f -=-()f x A A 7π21.991≈A A A A tan(4y x π=+(a = ()cos ,sin b θθ= a bθ13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.15. 已知，给出下列四个结论：①对任意的，函数是偶函数；②存在，函数的最大值与最小值的差为4；③当时，对任意的非零实数，；④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）直接写出和的值，并求的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数，求的图象的对称中心.18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.为π()sin()6f x x ω=+0ω>22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+ω=π()6g =ABCD 1AB =13BE BC = AB AE AD AE ⋅=⋅AD AE AC⋅ ()2cos f x x m =+m ∈R ()f x m ∈R ()f x 0m ≠x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m =()0,T π∈0x ∈R n ∈Z ()()00f x f x nT =+αβOx A B A 35B 513tan αsin βtan()αβ-π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+A O π4C C ()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()()cos g x f x x =()g x O ()2,2A ()3,B m (),4C n AB AC ⊥ //BC OAP BC PC BC λ=（1）求，的值；（2）当时，求；（3）求的取值范围.19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.条件①；条件②是的一个零点；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.（1）当时，求点绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；（3）求的最小值.21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零m n 35λ=cos APC ∠PA PC ⋅()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++π||2ϕ<()f x ϕ()f x []0,m 1[,1]2m π(16f =-π12-()f x (0)3π(f f =2O 1O 125O O =A B 1O xOy A B 1y 2y t 0t ≥1t =B 2O 1y 2y t t 2 5.5y ≥21y y -R ()y f x =1t 2t k t k 120k t t t =<<< x ∀∈R 12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ()f x k和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.的11()x f x =+2()sin f x x =1()f x 2()f x ()f x ()f x 3cos 2cos5cos8()f x x x x =++4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学 简要答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】C 【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【12题答案】【答案】（答案不唯一）【13题答案】【答案】①. 2②.或1【14题答案】【答案】①.②. 【15题答案】【答案】①②④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1），； （2）10； （3）.【17题答案】【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为 （2）【18题答案】【答案】（1）；（2）（3）.【19题答案】【答案】（1）条件选择略，；（2）.【20题答案】π2-1-2312tan ,sin 413αβ==33tan )6(5αβ-=-π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈1,8m n =-=[8,10]-π6ϕ=-ππ63m ≤≤【答案】（1）2（2），，满足 （3）【21题答案】【答案】（1）不是，是； （2）充分不必要条件，证明略； （3）是，不是，理由略.12sin y t =2π5sin 22y t ⎛⎫=+-⎪⎝⎭t π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭721()f x 2()f x 3()f x 4()f x。
北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
北京市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学（学科）2024年4月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将所有试卷交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求）1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，，若，则（ ）A.﹣4B.1C.2D.43.设，为非零向量，且满足，则与的关系是（ ）A.同向B.反向C.垂直D.既不共线也不垂直4.已知点，，向量，则向量（ ）A. B. C. D.5..三角形，，，，=（ ）A. B.-3C.3D.6.已知A ，B ，C ，D 是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7等边的边长为2，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D.8.为了得到.函数的图像，可以将函数的图像（ ）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C..向左平移个单位长度D..向右平移个单位长度9.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题，比毕()i 1i -(1,2)a = (2,)b t = a b∥t =a b ||||||a b a b -=+ a b(0,1)A (3,2)B (4,3)AC =-- BC =(7,4)(1,4)-(7,4)--(1,4)ABC 3AB =2BC =60B ∠=︒AB BC ⋅-AB DC∥ABCD ABC △AB BC12BC-BC2BC2BC- ()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()sin 2f x x =π3π3π6π6达哥拉斯定理早五百到六百年.如图，现有△ABC 满足“勾三股四弦五”，其中，，点是延长线上的一点，则等于（ ）A.3B.4C.9D.不能确定10.在中，，，且（）的最小值是（ ）A.D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5，每小题6分，共30分）11.已知向量，，且，则___________.12.已知复数，则___________；_________________.13.已知向量，，与的夹角为，则求___________.14.已知非零平面向量，，，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或.其中正确命题的序号是_________________.15.如图，四边形是正方形，延长至E ，使，若点P 是以点A 为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试题
人大附中2023～2024学年度第二学期高一年级数学期中练习2024年4月23日制卷人：宁少华王鼎审卷人：吴中才说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.在平行四边形ABCD 中，BA DA += （）A.CAB.ACC.BDD.DB【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.【详解】在ABCD Y 中，,BA CD DA CB ==，所以BA DA CD CB CA +=+=.故选：A2.已知角α终边上一点(1,)P y ，若cos 5α=，则y 的值为（）A.B.2C.D.2±【答案】D 【解析】【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.【详解】由角α终边上一点(1,)P y ，得r =，因此5cos 5α==，解得2y =±，所以y 的值为2±.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（）A.tan y x= B.sin y x= C.cos y x= D.sin y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断排除AB ，再由单调性排除C 的可得．【详解】由三角函数性质知选项AB 中函数都是奇函数，C 中函数是偶函数，但它在π(0,)2上是减函数，也排除，只有D 可选，实际上，记()sin f x x x =，则()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，它是偶函数，又设12π02x x <<<，则120sin sin x x <<，因此1122sin sin x x x x <，即12()()f x f x <，()f x 在π(0,)2上是增函数，满足题意．故选：D ．4.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uuu r uur，则（）A .1322AP AB AC =-+uuu r uuur uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC =-uuu r uuu r uuu r D.2133AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r 【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+-1322AB AC =-+，故选：A.5.把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移后，得到新函数的解析式为（）A.πsin(2)16y x =++B.πsin(2)16y x =-+C.πsin(2)13y x =++ D.πsin(213y x =-+【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，写出解析式即可.【详解】把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移，即把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，所以得到新函数的解析式为ππsin 2()1sin(2)163y x x =++=++.故选：C6.在人大附中π节活动的入场券中有如下图形，单位圆M 与x 轴相切于原点O ，该圆沿x 轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应x 轴的位置正好是π，若在整个运动过程中当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为N ），此时小猫头鹰位于A 处，圆N 与x 轴相切于B ，则劣弧AB 所对应的扇形面积是（）A.1B.2C.π3D.π4【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M 、圆N 与x 轴分别相切于原点O 和B ，则2OB MN ==，依题意，圆M 沿x 轴向右无滑动地滚动，因此劣弧AB 长等于OB 长2，所以劣弧AB 所对应的扇形面积是11212⨯⨯=.故选：A7.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>≠，则“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，π()si 2n()os π2c f x A x A x k ωω=+=+，()f x 为偶函数；反之，()f x 为偶函数，则π2π,Z 2k k ϕ=+∈或π2π,Z 2k k ϕ=-∈，所以“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A8.已知O 为坐标原点，P 是α终边上一点，其中4cos ,||45OP α==，非零向量a的方向与x 轴正方向相同，若,[0,5]||OQ a a λλ=∈ ，则OP OQ -取值范围是（）A.16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.12,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.16,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论．【详解】由已知1612(,55P 或1612(,)55-，1612(,)55OP = 或1612(,)55-，(1,0)(,0)OQ a a λλλ=== ，1612(,55OP OQ λ-=-±，OP OQ -= ，又05λ≤≤，所以165λ=时，OP OQ - 取最小值125，0λ=时，OP OQ - 取最大值4，故选：D ．9.函数sin 3sin 5()sin 35x xf x x =++图像可能是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象的对称性排除AC ，再结合函数值π()2f 大小排除B ，从而得正确结论．【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是sin(3π3)sin()sin 3sin 5sin (35π5)(π)sin(π)355x x f x x xx x x f ---=-++=+=+，因此()f x 的图象关于直线π2x =对称，可排除AC ，又3π5πsinsin ππ111322()sin 1122353515f =++=-+=<，排除B ，故选：D ．10.已知函数sin ()xf x x=，下列结论错误的是（）A.()f x 的图像有对称轴B.当(π,0)(0,π)x ∈-⋃时，cos ()1x f x <<C.sin ()xf x x=有最小值 D.方程()cos ln f x x x =-在(1,)π上无解【答案】D 【解析】【分析】选项A ，根据条件可得sin ()xf x x=为偶函数，即可判断选项A 的正误，选项B ，利用偶函数的性质，先判断π()0,x ∈时，cos ()1x f x <<成立，分π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭两种情况，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，利用三角函数的符号即可判断成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C ，利用sin y x =的周期性及sin ()x f x x=的奇偶性，当0x >，得到sin ()xf x x=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C 的正误；选项D ，利用零点存在性原理，即可判断出选项D 的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，易知sin ()xf x x=的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又sin()sin ()()x x f x f x x x--===-，所以sin ()xf x x =为偶函数，关于y 轴对称，所以选项A 结论正确，对于选项B ，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，又0sin 1x <≤，π12x ≥>，所以sin 0()1x f x x <=<，即当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos ()1x f x <<成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图，在单位圆中，设OP 是角x 的终边，过A 作x 轴的垂线交OP 于T ，过P 作x 轴的垂线交x 轴于H ，易知 AP x =，由三角函数的定义知，sin ,tan PH x AT x ==，由图易知OPA OAT POA S S S << 扇形，即111222PH x AT <<，得到 PH APAT <<，所以sin tan <<x x x ，即有sin cos 1xx x<<，。
北京市高一下学期期中考试试卷(解析版)
北京市高一 数学（时间： 120 分钟满分： 150 分 为必修三模块结业考试）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题均有四个选项，其中只有一个符合题意.1. （ ） sin330︒=A. B. C. D.12-1-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】. ()1sin330sin 36030sin 302︒=︒-︒=-︒=-故选：A2. 若，且，则角α的终边在（ ） cos 0α<tan 0α>A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据角的象限与余弦函数的函数值和正切函数的函数值的正负的关系判断. 【详解】因为，所以角α的终边在第二象限或轴的负半轴或第三象限， cos 0α<x 因为，所以角α的终边在第一象限或第三象限， tan 0α>所以角α的终边在第三象限， 故选：C.3. 在四边形中，（ ） ABCD AB AD CD -+=A. B.C.D.BCCB ADDA 【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加减运算法则计算.【详解】.AB AD CD CD DB CB -+=+=故选：B4. 若角的终边经过点，则的值为（ ）α()1,2P -tan αA. B. C. D. 2-12-【答案】A 【解析】【分析】利用正切函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边上有一点，所以， α()1,2P -2tan 21α-==-故选：A5. 在半径为的扇形中，圆心角为，则扇形的面积是（ ） 5cm 2rad A. B.C.D.250cm 225cm 220cm 210cm 【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】由扇形面积可得，， ()22211=2525cm 22S r α=⨯⨯=故选：B.6. 如图，△中，，，为中点，为中点，用和表示为ABC AB a =AC b = D BC E AD CE a b，则（ ） CE a bλμ=+ λμ=A. B.C.D.33-1313-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解. λμ【详解】因为为中点，为中点，D BCE AD 所以 12A C CA E AC AD E =+=-+ ()1122AC AB AC =-+⨯+，3144AC AB =-+ 3144b a =-+所以，则. 1434λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13λμ=-故选：D7. 把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短sin y x =3π到原来的（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是 12A.B. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭C . D. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果. 【详解】向左平移个单位得： sin y x =3πsin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将横坐标缩短为原来的得： sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题. 8. 已知，是单位向量，. 若，则与的夹角为（ ）ab2c a b =+a c ⊥a bA.B.C.D.π6π32π35π6【答案】C 【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，最后根据夹角公式计算可得.0a c ⋅=a b ⋅【详解】因为，是单位向量，所以，又且，a b 1==a b r r 2c a b =+ a c ⊥ 所以，即，所以，()220a b c a a a b a a ⋅=⋅=⋅+⋅+= 220a a b +⋅=12a b ⋅=-r r所以，因为， 1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅[],0,π∈ a b 所以. 2π,3a b =故选：C9. 已知函数，则“函数的图象经过点（，1）”是“函数的图象经过()sin (0)f x x ωω=>()f x 4π()f x 点（）”的,02πA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先由的图象经过点求出；再由的图象经过点求出，根据充分条件与必要()f x π14⎛⎫ ⎪⎝⎭ω()f x ,02π⎛⎫⎪⎝⎭ω条件的概念，即可得出结果. 【详解】函数的图象经过点（，1）时，有，所以，，()f x 4πsin14πω=242k k Z ，ππωπ=+∈因为所以，函数为：， 0ω>，28k ω=+,k N ∈()()sin 28f x k x =+k N ∈当时，，所以，充分性成立； 2x π=()()sin 28sin 4022f k k ππππ⎛⎫=+⨯=+=⎪⎝⎭当函数的图象经过点（）时，，所以，，即,，()f x ,02πsin02πω=,2k k Z πωπ=∈2k ω=k Z ∈，()sin2(0,)f x kx k k Z =>∈当时，不一定等于1，所以，必要性不成立． 4x π=sin 2sin 442k f k πππ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.10. 已知点， ， ．若平面区域由所有满足（,(0,0)O (2,1)A (1,2)B D OP OA OB λμ=+12λ≤≤）的点组成，则的面积为（ ）12μ≤≤P D A .B. C. D.323612【答案】B【解析】【分析】以，为邻边作平行四边形，延长到，使，延长到，使OA OB OACB BC D CD BC =AC E ，以，为邻边作平行四边形，平行四边形及内部便是区域，可求出CE AC =CD CE CDFE CDFE D 的坐标，然后求出平行四边形的面积即可．,CD CECDFE 【详解】如图，以，为邻边作平行四边形，延长到，使， OA OB OACB BC D CD BC =延长到，使，以，为邻边作平行四边形，AC E CE AC =CD CE CDFE因为（, ），OP OA OB λμ=+12λ≤≤12μ≤≤则平行四边形为区域，且，，CDFE D ()2,1CD OA == ()1,2CE OB ==所以，，， 4CD CE ⋅= CD == CE == ，且，， ∴4cos 5CD CE DCE CD CE ⋅∠==(0,π)DCE ∠∈∴3sin 5DCE ∠=区域的面积为．∴D 3sin 35S CD CE DCE =∠== 故选：B ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.cos15°＝________. 12【解析】【详解】 cos15°12＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°.12. 已知向量，，若，则实数的值为______.(1,2)a = (2,3)b = ()a ta b ⊥+t 【答案】 85-【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解.【详解】因为向量，，所以， (1,2)a = (2,3)b = (2,23)ta b t t +=++又，所以，解得，()a ta b ⊥+1(2)2(23)0t t ⨯++⨯+=85t =-故答案为：.85-13. 如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则1,,,A B C D b的最大值为____________a b ⋅v v【答案】 3【解析】【分析】由图可知，要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根据图形即可求a b ⋅ b a出结果．【详解】由题意可知：则，cos cos ,a b a b a b b a b ⋅=⋅<⋅>=<>所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，a b ⋅ b a由图形可知：当向量时，向量在向量上的投影最大， b AC = b a即 cos ,a b b a b ⋅=<> 即的最大值为． a b ⋅3故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力．14. 用“五点法”作函数的图象时，列表如下：()sin()f x A x ωϕ=+x 16- 13 5643116x ωϕ+0 π2π 3π22π ()f x 022-0则______；______.(23f -=1(0)(3f f +-=【答案】 ①. ②. 02-【解析】【分析】根据表格中的数据求出、、的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出A ωϕ()y f x =和的值.2(3f -1(0)(3f f +-【详解】由表格中的数据可知，， ()max 2A f x ==函数的最小正周期为，所以，()y f x =111266T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2π2ππ2T ω===则，当时，则，解得， ()()2sin πf x x ϕ=+13x =1ππ32ϕ⨯+=π6ϕ=则，所以，()π2sin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭2π2ππ(2sin 2sin 23632f ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1ππ(0)()2sin 2sin 0366f f ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭故答案为：；.2-015. 已知函数，，其中，是这两个函数图象的交点，且不共()sin f x x ω=()cos g x x ω=0ω>,,A B C 线.①当时，面积的最小值为_____； 1ω=ABC A ②若存在是等边三角形，则的最小值为_____. ABC A ω【答案】 ①.②.【解析】【分析】画出两函数图象，数形结合得到面积最小值；当相邻三个交点构成等边三角形时，取ABC A ω得最小值，结合列出方程，求出答案. CD AB =【详解】当时，，， 1ω=()sin f x x =()cos g x x =画出两函数图象，如下：过点作⊥于点，C CD ABD当为如图所示的三个相邻的交点时，面积最小，,,A B C ABC A 其中，π9π5π,,,444A B C ⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝故，， 9ππ2π44AB =-=2CD ==所以；112π22ABC S AB CD AB =⋅==⨯=A 因为，函数最小正周期，0ω>2πT ω=故当相邻三个交点构成等边三角形时，两函数的最小正周期最大，则取得最小值， ω则，， 2πAB ω=2CD ==因为，解得，即为最小值. CD AB=2πω=ω=三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知角是第三象限角，且. αsin()cos()tan()()sin()tan()2f ααααααπ-π+π-=π+π+（1）化简； ()f α（2）若，求的值. 1(2)f α=-cos(2π)α-【答案】（1）sin α（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）由同角三角函数的基本关系求出，再利用诱导公式计算可得. cos α【小问1详解】 sin()cos()tan()()sin()tan()2f ααααααπ-π+π-=π+π+.()()sin cos tan sin cos tan αααααα⋅-⋅-==⋅【小问2详解】 因为，即，又是第三象限角，1(2)f α=-1sin 2α=-α所以，cos α==所以. cos(2π)cos αα-==17. 已知向量，(,2)a x x =(3,2)b x =- （1）若与共线，求实数的值；a bx （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.abx 【答案】（1）或013-（2） 114(,)(,0)(,)333-∞--+∞ 【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标运算公式，列出方程，即可求解；（2）根据题意，利用且与不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即可求解. 0a b ⋅< a b【小问1详解】因为与共线，且向量，， ab (,2)a x x =(3,2)b x =-所以，即，解得或. 22(3)x x x =⋅-2620x x +=0x =13x =-【小问2详解】因为与的夹角是钝角，所以，解得或.a b 2340a b x x ⋅=-+< 0x <43x >又由向量与不共线，可得，解得且， a b22(3)x x x ≠⋅-0x ≠13x ≠-所以实数的取值范围是. x 114(,)(,0)(,)333-∞--+∞ 18. 已知函数()cos tan f x x x =⋅（1）求函数的定义域及的值； ()f x π()3f （2）若，求的值. π1()()25f f αα+-=-tan α【答案】（1）π{|π,Z}2x x k k ≠+∈（2）或 34-43-【解析】【分析】（1）根据有意义求解定义域，化简函数代入求值即可解答； tan y x =（2）由题意，.，再利用同角函数的基本关系求解即可. 1sin cos 5αα+=-【小问1详解】由题意，函数有意义，只需有意义即可， ()f x tan y x =所以函数的定义域为， ()f x π{|π,Z}2x x k k ≠+∈因为，所以. sin ()cos tancos sin cos x f x x x x x x =⋅=⋅=ππ(sin 33f ==【小问2详解】 因为，且， π1()()25f f αα+-=-ππsin cos 22f ααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. 1sin cos 5αα+=-又因为，所以， 22sin cos 1αα+=21(sin cos )12sin cos 25αααα+=+=所以. 12sin cos 25αα=-解方程组，得或，1sin cos 512sin cos 25αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则或. 3tan 4α=-4tan 3α=-19. 已知函数 π()sin(2)6f x x =-（1）求函数的单调递增区间及最小正周期；()f x （2）当时，的取值范围为，求的最大值. [0,]x m ∈()f x 1[,1]2-m 【答案】（1）； ππ[π,π],Z 63k k k -++∈π（2） 2π3【解析】【分析】（1）代入正弦函数的单调递增区间结论计算即可，利用周期公式计算即可；（2）先求出整体变量的范围，然后利用正弦函数性质解答即可.【小问1详解】令，因为的单调递增区间是， π26t x =-sin y t =ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦所以令，即， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈π2π2π22π,Z 33k x k k -+≤≤+∈解得， ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈所以函数的单调递增区间为 ()f x ππ[π,π],Z 63k k k -++∈最小正周期为； 2ππ2T ==【小问2详解】当时，， [0,]x m ∈πππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦令，则，所以的取值范围为， π26t x =-ππ,266t m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦sin t 1[,1]2-由的性质可知，，解得，所以的最大值为. sin y t =ππ7π2266m ≤-≤π2π33m ≤≤m 2π320. 已知函数的部分图象如图所示. ()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（1）直接写出的值；ω（2）再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求函数在区间上的最小值.条件①：()f x ,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦直线为函数的图象的一条对称轴；条件②：为函数的图象的一个对712x π=()y f x =,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭()y f x =称中心 【答案】（1）；（2）条件选择见解析，在区间上的最小值为. 2ω=()f x 124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，1【解析】【分析】（1）求出函数的最小正周期，由此可求得的值；()f x ω（2）根据所选条件求得的表达式，结合的取值范围可求得的值，再由求得的值，由ϕϕϕ()0f =A 求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最小值. ,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦23x π+()f x 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，，则； ()f x T 22T π=T π∴=22T πω==（2）选择条件①：因为直线为函数的图象的一条对称轴， 712x π=()y f x =所以，，即， ()7322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈()23k k Z πϕπ=+∈，，则，，， 22ππϕ-<< 3πϕ∴=()0sin 3f A A π===2A ∴=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，， ,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52636x πππ≤+≤所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即；236x ππ+=56π12x π=-4π()f x ()min 1f x =选择条件②：因为是函数图象的一个对称中心， ,03π⎛⎫⎪⎝⎭()y f x =则，解得，()223k k Z πϕππ⨯+=+∈()23k k Z πϕπ=+∈，，则，，， 22ππϕ-<< 3πϕ∴=()0sin 3f A A π===2A ∴=()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，， ,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52636x πππ≤+≤所以当或时，即当或时，函数取得最小值，即.236x ππ+=56π12x π=-4π()f x ()min 1f x =【点睛】方法点睛：求函数在区间上最值的一般步骤：()()sin f x A x =+ωϕ[],a b 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形()sin y A x k ωϕ=++()cos y A x k ωϕ=++式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； x x ωϕ+()sin x ωϕ+()cos x ωϕ+第三步：求出所求函数的值域（或最值）.21. 对于正整数，如果个整数满足，n ()*k k N ∈12k a a a ⋯，，，121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数12k a a a n ++⋯+=()12k a a a ⋯，，，n 12k a a a ⋯，，，的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为. 12n k f a a a ⋯，，，，n g (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; ()4n n ≥()12k a a a ⋯，，，n 12a =k (Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.n n n f g ≤n (注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且n ()12k a a a ⋯，，，()12m b b b ⋯，，，k m =时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)1122k m a b a b a b ==⋯=，，，【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，()1,1,1,1()1,1,2()1,3()2,2()4n 2n k =n ；(Ⅲ)证明见解析，， 12n k -=2n =4n =【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案. n k 2n k =n k 12n k -=(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时， n 0n f =n n f g <n 根据对应关系得到，再计算，，得到答案.n n f g ≤221f g ==442f g ==【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.()1,1,1,1()1,1,2()1,3()2,2()4(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为； n 123...2k a a a a =====k 2n k =当为奇数时，时，最大为； n 1231...2,3k k a a a a a -======k 12n k -=综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为. n k 2n k =n k 12n k -=(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；n 0n f =n n f g <当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，n ()12,,...,k a a a 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，()1,1,...,1()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---故.n n f g ≤综上所述：.n n f g ≤当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；2n =()2()1,1221f g ==当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，4n =()2,2()4()1,1,1,1()1,3故；442f g ==当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整6n ≥11数分拆”，故.n n f g <综上所述：使成立的为：或.n n f g =n 2n =4n =【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学班级______ 姓名______ 考号______（考试时间120分钟 满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 下列叙述中，错误的一项为（ ）A. 棱柱的面中，至少有两个面相互平行B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形C. 棱柱的两底面是全等的多边形D. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面2. 已知，则的虚部为（ ）A. 1B.C.D. 3. 设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）A. 与的方向相反 B. 与的方向相同C. D. 4. 如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？（ ）A. 4B. 8C. 12D. 165. 陀螺是中国民间最早娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）的()21i 2i z +=+z i 121i 2aa a λ a 2a λ a aλ-≥ a a λλ-≥ OABC 2cm cm ,B C 36AC AB ==A. B. C. D. 6. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，则内的任何直线都与平行C. 若，，则D. 若，，则7. 在中，，则是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形8. 复数满足，则的范围是（ ）A. B.C. D. 9. 已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知点P 在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP 的长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 若复数z 在复平面内对应点位于第二象限，且，则z 等于______．（写出一个即可）12. 如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为______.的803π703p20π563π,αβ,m n //m α//n α//m n//αβαβ//αβ//m α//m β//m n //n α//m αABC V AC CB AC AB AB BC +=-=+ ABC V z 12i 3z <-+<z )3-+)3⎡+⎣a b a b 0λ≠a b a b λλ+=+ 1111ABCD A B C D -1PB PD =[]1,3⎤⎦⎤⎥⎦2z =1111ABCD A B C D -1BD ABCD13. 已知向量，，若，则___________.14. 在中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边．若，则___________．15.定义运算，则符合条件的复数_______．16. 如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A 和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为______.三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 在中，内角对边分别是，．（1）求；（2）若，点D 为边BC 上一点，且，求的面积．18. 如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，（1）求证：直线平面；的(2,6)a λ=-+ (1,)b λ= //a b ||b = ABC V ::1:2:3A B C =::a b c =a b ad bc c d =-1142i iz z -=+z =1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =14AA =1C 11CB D ABCD 1l 11ABB A 2l 1l 2l ABC V ,,A B C ,,a b c 4c =2B C =cos B 5c =6BD =ADC △P ABCDEF -PA ⊥ABC PA =//BC PAD（2）求证：直线平面；（3）求直线与平面所的成角.19. 如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.（1）证明：平面；（2）若，直线与，求四面体的体积.20. 从①②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问．问题：在中，它内角的对边分别为，______，且，．（1）求出的值；（2）求的面积．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．21. 我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.（1）若，，且，，计算，的值；的ED ⊥PAE PD ABC 1111ABCD A B C D -E F 11A B BC EF ∥11AAC C 2AB BC ==EF 1BB 1BEFB 1a b +=sin 2c A =b =ABC V ,,A B C ,,a b c sin B A =π6C =c ABC V ()()12,,1,2k t t t R k α=∈=u r ()*,2n n N n ∈≥()()12,,,,1,2,,n k t t t t R k n α=∈=u r L L ()*,2n n N n ∈≥(){}12,,,,,1,2,,n n k A t t t t R k n αα==∈= (){}()12,,,0,1,1,2,,n k t t t t k n α=∈=u rL L n A (){}212,,,1,2k A t t t R k αα==∈= ()10,0α=u u r ()20,1α=u u r()31,0α=u u r ()41,1α=u u r ()12,,,n x x x α=u r L ()12,,,n y y y β=u rL n A ()()()111122221,2n n n n x y x y x y x y x y x y αβ⎡⎤=+--++--+++--⎣⎦u r u r L α 3A β∈u r ()1,1,0α=u r ()0,1,1β=u r ,ααu r u r ,αβu r u r（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；（3）设，且中向量均为“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.的4B A ⊆B 4A α∀u r B β∈u r αβ=u r u r,αβu r u rαβ≠ ,αβu r u r B ()*,2n B A n N n ⊆∈≥B n A α∀u r B β∈u r αβ≠ ,0αβ=u r u rB北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学简要答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】C【10题答案】【答案】D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【11题答案】【答案】（答案不唯一）【12题答案】【13题答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略（3）【19题答案】【答案】（1）证明略（2）【20题答案】【答案】（1）答案略（2）答案略【21题答案】【答案】（1），；（2）4；（3）.1:23i-3510π316,2αα=u r u r ,1αβ=u r u r()()(){}0,0,,0,1,0,,0,,0,0,,1B =。
北京市第一〇一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含答案
试卷编号：9297 北京一零一中2023-2024学年度第一学期期中考试高一数学班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A={−1,0,1,2},B={x|−1<x 1},则A∩B=( )(A){1}(B){0,1}(C){−1,0,1}(D){−1,0,1,2}2.设命题p:∃x∈Z,x2 2x+1,则p的否定为( )(A)∀x Z,x2<2x+1(B)∀x∈Z,x2<2x+1(C)∃x Z,x2<2x+1(D)∃x∈Z,x2<2x+13.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )(A)f(x)=3−x(B)f(x)=x2−3x(C)f(x)=−1x+1(D)f(x)=−|x|4.若a>b>0,c>d>0,则一定有( )(A)ac >bd(B)ac<bd(C)ad>bc(D)ad<bc5.定义在R上的函数f(x)在(−∞,2)上是增函数,且f(x+2)=f(2−x)对任意x∈R恒成立,则( )(A)f(−1)<f(3)(B)f(−1)>f(3)(C)f(−1)=f(3)(D)f(0)=f(3)6.若函数f(x)=3−x2,−1 x 2,x−3,2<x 5,则方程f(x)=1的解是( )(A)√2或2(B)√2或3(C)√2或4(D)±√2或47.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根x1,x2.若1 x1+1x2=4m,则m的值是( )(A)2(B)−1(C)2或−1(D)不存在8.已知a>0,且关于x的不等式x2−2x+a<0的解集为(m,n),则1m+4n的最小值为( )(A)2(B)72(C)4(D)929.已知a 1,a 2,b 1,b 2均为非零实数,关于x 的不等式a 1x +b 1<0与a 2x +b 2<0的解集分别为M 和N ,则“a 1a 2=b1b 2”是“M =N ”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.已知f (x )=x 2−2kx +3k 2−3k +1(k ∈R ).给出下列四个命题:①对任意实数x ,存在k ,使得f (x )>0;②对任意k ,存在实数x ,使得f (x )>0;③对任意实数k ,x ,均有f (x )>0成立;④对任意实数k ,x ,均有f (x )<0成立.其中所有正确命题的序号是( )(A)①②(B)②③(C)①③(D)②④二、填空题共6小题。
【最新】北京市重点中学年高一下期中数学试题及答案
北京市 第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是 （ ）A ．cos()cos αα-=- B.sin()sin αα-=-C.sin(180)sin αα︒+=D.cos(180)cos αα︒+=2.已知向量(4,2)a =r ，向量(,3)b x =r，且//a b r r ，那么x 等于 （ ）A.8B.7C.6D.53.下列函数中，在区间[0,]2π上为减函数的是 （ ）A.cos y x =B.sin y x =C.tan y x =D.sin()3y x π=-4.已知02A π<<，且2cos 3A =，那么sin 2A 等于 （ ）A.19B.79C.89455.已知),1,5(),2,3(---N M 若,21=则P 点的坐标为 （ ）A.(8,1)-B.(8,1)-C.3(1,)2-- D ．3(1,)26．如果函数3sin(2)y x φ=+的图像关于点(,0)3π中心对称，那么φ的一个值可以为 （ ） A.3π B. 3π- C. 6π D. 6π-7．有下列四种变换方式:①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8π;③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21;其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42sin(π+=x y 的图像的是 （ ）A.①和② B .①和③ C ．②和③ D．②和④8．函数)sin(ϕω+=x A y ,(0,0,0)A ωϕπ>><<在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y9．已知,A B 均为锐角，5sin A =，10sin B =，则A B +的值为 （ ） A ．47π B.45π C ．43π D ．4π10．已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下列说法正确的是 （ ）A.1OP u u u r 有最小值1 B ．1OP u u u r 有最小值，且最小值小于1C ．120OP OP ?u u u r u u u r 恒成立D ．存在12,x x 使得122OP OP u u u r u u u r?二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知3cos α=-，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________. 12．已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= ．13．函数x y 3tan =的图像的相邻两支截直线3π=y 所得的线段长为 ．14．函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为________,最小值为___________. 15．如图，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，3BD DC =u u u r u u u r ，则向量AD u u u r可用a r ，b r表示为___________.16．关于函数()221sin ()32xf x x =-+，有下面四个结论： ①()f x 是偶函数；②无论x 取何值时，()12f x ＜恒成立；③()f x 的最大值是32；④()f x 的最小值是12-. 其中正确的结论是__________________.三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题共9分）已知向量(1,2)a =r ，(2,)b x =-r．（Ⅰ）当a b ⊥r r时，求x 的值；（Ⅱ）当1x =-时，求向量a r 与b r的夹角的余弦值；（Ⅲ）当(4)a a b ⊥+r r r 时，求||b r．18. (本小题共9分)已知55cos =θ (0,)2πθ∈． （I ）求sin θ的值； （Ⅱ）求cos2θ的值；（III ）若sin(),0102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．19. (本小题共9分)已知函数()sin 22f x x x =+. （I ）求)(x f 的最小正周期； （II ）求)(x f 的单调递减区间； （III ）若函数()()g x f x k =-在[0,]6π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．20．(本小题共9分)已知函数()2sin()3f x x πω=+，且0ω≠，R ω∈.（I ）若函数()f x 的图象经过点(,2)3π，且03ω<<，求ω的值；（II ）在（I ）的条件下，若函数()()()0g x mf x n m =+>，当[2,]3x ππ∈--时，函数()g x的值域为[2,1]-，求m ，n 的值； （III ）若函数()()3h x f x πω=-在[,]33ππ-上是减函数，求ω的取值范围.北京市2014~2015学年度第二学期期中考试 高一数学试卷答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1------5BCADC 6------10AAADA 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.56π 12. 13- 13. 3π14. 2，1- 15. 1344AD a b =+u u u r r r16. ①④三、解答题：本大题共4小题，共36分.17．解：（Ⅰ）∵a ⊥r b r，∴1(2)20x ⨯-+=，即1x =． ……………………2分（Ⅱ）∵1x =-，∴1(2)+2(1)=4a b ⋅=⨯-⨯--r r， ……………………3分且a =r，b =r……………………4分∴向量a r 与向量b r的夹角的余弦值为4cos =5a b a bθ⋅=-r r r r ． ……………………5分（Ⅲ）依题意()42,8a b x +=+r r． ……………………6分∵(4)a a b ⊥+r r r ， ∴(4)0a a b ⋅+=r r r． ……………………7分 即21620x ++=，∴9x =-．∴(2,9)b =--r． ……………………8分∴||b ==r． ……………………9分17．解：（Ⅰ）由55cos =θ (0,)2πθ∈． 得sin 5θ==…………………2分 （Ⅱ）213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=- …………………4分（Ⅲ）∵20πθ<<，20πϕ<<，∴22πϕθπ<-<-…………………5分∵()1010sin =-ϕθ， ∴()10103cos =-ϕθ …………………6分 ∴()[]ϕθθϕ--=cos cos()()ϕθθϕθθ-+-=sin sin cos cos …………………8分10105521010355⨯+⨯=22=…………………9分19. 解：（Ⅰ）由1()sin 222(sin 22)2sin(2)223f x x x x x x π==+=+ …………2分得)(x f 的最小正周期为π. …………………3分（Ⅱ）由3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 …………………4分7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ …………………5分所以函数)(x f 的递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. …………………6分 （Ⅲ）由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23x π+∈2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 而函数)(x f 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()2]f x ∈， …………………7分在2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()2)f x ∈， …………………8分所以若函数()()g x f x k =-在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则2)k ∈. …………………9分20.解： (Ⅰ) 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 233ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ …………………1分所以2,332k k Z πππωπ+=+∈ ………………2分所以16,2k k Z ω=+∈ 因为03ω<<，所以1063,.2k k Z <+<∈所以0k =所以12ω= (3)分(Ⅱ)因为21=ω， 所以1()2sin .23g x m x n π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，:Z#因为23x ππ-≤≤-， 所以213236x πππ-≤+≤.所以111sin .232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ………………4分所以()2.m n g x m n -+≤≤+ 因为函数()g x 的值域为[]2,1-，所以22,1.m n m n -+=-⎧⎨+=⎩………………5分解得 1,0.m n == ……………… 6分（Ⅲ）因为()3h x f x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()2sin 2sin .33h x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ………… 7分因为函数()x h 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以函数()2sin .h x x ω=的图象过原点，且减区间是.0，2-，2<⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωωπωπ 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤<.32,32,0πωππωπω ……………… 8分 解得 302ω-≤< 所以ω的取值范围是302ω-≤< ……………… 9分。
2023-2024学年北京市东直门中学高一下学期期中考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市东直门中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为A.2B.1C.D.2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状为()A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.下列函数中，最小正周期为的奇函数是()A. B.C. D.5.设向量，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的部分图象如图所示，则()A. B. C. D.7.函数的图像()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于直线对称D.关于点对称8.下列说法正确的是()A.棱台的侧棱长都相等B.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台C.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形D.棱台的两个底面相似9.已知点，，若，则点C的坐标为()A. B. C. D.10.由下列条件解，其中有两解的是()A. B.C. D.11.已知边长为3的正方形ABCD，点E是边BC上动点，则的最大值是()A. B.9 C. D.1012.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为()A. B. C. D.1二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.与向量方向相反的单位向量是__________.14.__________.15.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________.16.已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为__________.17.已知矩形ABCD中，，当每个取遍时，的最小值是__________，最大值是__________.18.已知a为常数，关于的方程有以下四个结论：①当时，方程有2个实数根；②存在实数a，使得方程有4个实数根；③使得方程有实数根的a的取值范围是；④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合为M，那么，其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
2022-2023学年北京八十中高一(上)期中数学试题及答案
北京市第八十中学2022-2023学年度第一学期期中考试高一数学试卷 2022.11一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若集合{}21A x x =−<<，{}02Bx x =<<，则集合A B = （ ） A ．{}11x x −<< B ．{}21x x −<<C ．{}22x x −<<D ．{}01x x <<2．下图中可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．“1x <”是“21x <”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．在下面四个等式运算中，正确的是（ ）A ．22133a a −=B ．2133a a ÷C ．342=D 8=−5．若函数()()2212f x x a x =+−+在区间(),4−∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤−B ．3a ≥−C ．5a ≤D ．3a ≥6．如图是函数()y f x =的图象，()6f 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数()2f x x x =−的单调递减区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,0−C ．[]0,2D ．[2,)+∞8．已知253()5a =，352()5b =，252()5c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<9．某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨数为 A ．20B ．30C ．40D ．6010．已知函数(1)2,0,()0,0,(2)2,0.f x x f x x f x x −+> == ++<则(3)f −=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．611．设区间[110,),[,1]22A B ==，函数1()23(1),x x Af x x x B+∈ = −∈ ，，若0x A ∈，且0(())f f x A ∈， 则0x 的取值范围是（ ） A ．11(,)32B ．[10,)4C ．3[0,]8D ．11(,)4212．已知集合{}115M x x =∈≤≤N ，集合1A ，2A ，3A 满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M =∪∪．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（ ） A ．56B ．72C ．87D ．96二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．存在量词命题[]:2,2p x ∃∈−，24x x −≤的否定是__________． 14．设集合{}2,M a a =，{}1N =，若N M ⊆，则a 的值为_________． 15．函数()f x =的定义域是______． 16．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(8,4)，则a 的值为________．17．除函数y x =，[]1,2x ∈外，再写出一个定义域和值域均为[]1,2的函数：_________．18．设关于x 的不等式220ax x a −+≤的解集为S ．（1）若S 中有且只有一个元素，则实数a 的值为___________； （2）若0S ∈且1S −∉，则实数a 的取值范围是___________．19．用max{,}a b 表示,a b 两个实数中的最大值．设2()max{2,35}f x x x x =+−+，则函数()f x 的最小值是________．20．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调，且(1)2f =，(2)3f −=，给出下列四个结论： ①()f x 在(,0]−∞上单调递减； ②存在(1,1)x ∈−，使得()2f x ≥；③不等式2()3f x <<的解集为(2,1)(1,2)−− ；④关于x 的方程2[(1)]5(1)60f x f x −−−+=的解集中所有元素之和为4． 其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，第21题、第23题各13分，第22题、第24题各12分，共50分．21．已知集合{31}Ax x a =>+∣，集合{}2560B xx x =−+>∣（Ⅰ）当3a =−时，求A B ；（Ⅱ）若A B B =∪，求实数a 的取值范围．22．已知二次函数()f x 满足(1)()22f x f x x +−=−，且(1)=0f ： （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若[]1,4x ∈时，函数()f x 的图象恒在2y kx =图象的上方，求实数k 的取值范围．23．已知函数2()1x mf x nx −=+是定义在[1,1]−上的奇函数，且1(1)2f =． （Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义证明；（Ⅲ）若实数t 满足不等式()()210f t f t −+<，求t 的取值范围．24．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有(1)(1)2()f x f x f x −++≥，则称函数()f x 具有性质P ． （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①(1)x y a a =>； ②3y x =． （Ⅱ）若函数()f x 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈− ，有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对[0,]x n ∀∈，均有()0≤f x ．若成立，给出证明；若不成立，给出反例．北京市第⼋⼗中学2022-2023学年度第⼀学期期中考试⾼⼀数学参考答案2022.11⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．1．D2．C3．B4．B5．A6．A7．A8．D9．B10．D11．A12．D⼆、填空题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．13．，．14．．15．16．17．答案不唯⼀．例如：，．18．（1）1；（2）19．3．20．①③④三、解答题：本⼤题共4⼩题，第21题、第23题各13分，第22题、第24题各12分，共50分．21．解：（Ⅰ）当时，集合集合或；所以或．……………………7分（Ⅱ）因为，所以，所以，即．……………………13分22．解：（Ⅰ）设⼆次函数，，由题意知：，整理得：，即：，解得：，∴．……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的图象开⼝向上，时，，解得：或，∴当，，图象在轴下⽅，当，，图象在轴上⽅，对于，当时，，当时，图象在图象的上⽅，不合题意；当时，，开⼝向上，当时，图象在图象的上⽅，不合题意；当时，，开⼝向下，函数的图象恒在图象的上⽅，即恒成⽴，即恒成⽴，即恒成⽴，，即有：，即：．综上，的取值范围是：．……………………12分23．解：（Ⅰ）因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），则，解得，，所以函数，经检验，函数为奇函数，所以，；……………………4分（Ⅱ）在，上单调递增．证明如下：，且，则，由，得，，，⼜，，所以，即，故函数在，上单调递增；……………………9分（Ⅲ）不等式可化为，⼜是奇函数，所以，⼜是增函数，且，所以，解得．所以的取值范围是．……………………13分24．（Ⅰ）证明：①函数具有性质．，因为，，即，此函数为具有性质．②函数不具有性质．例如，当时，，，所以，，此函数不具有性质．……………………4分（Ⅱ）假设为中第⼀个⼤于的值，则，因为函数具有性质，所以，对于任意，均有，所以，所以，与⽭盾，所以，对任意的有．……………………8分（Ⅲ）不成⽴．例如证明：当为有理数时，均为有理数，，当为⽆理数时，均为⽆理数，所以，函数对任意的，均有，即函数具有性质．⽽当（）且当为⽆理数时，．所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成⽴．…………12分（其他反例仿此给分．如，，等．）。
北京市重点中学高一下学期期中考试(数学)无答案
北京市——第二学期期中练习高 一 数 学.04（测试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1、已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和，若21=a ，123=S ，则=4SA 、10B 、16C 、D 、242、在ABC D 中，如果::1:2:3A B C 行?，那么::a b c 等于A 、1:2:3 B、2 C 、1:4:9 D、3、已知,,a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是A 、ab ac >B 、()0c b a -<C 、22ac ab <D 、()0ac a c ->4、直线(1)10m x y -++=与直线2(1)10x m y ---=垂直，则m 值为A 、1B 、0C 、1-D 、1或05、已知{}n a 是正项等比数列，n S 是它的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是A 、511B 、 1023C 、1533D 、30696、在ABC D 中，cos cos cos a b c A B C==，则ABC D 是 A 、直角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰直角三角形 7、已知数列{}n a ，1111,1(1),4n n a a n a -=-=->则31a = A 、14- B 、5 C 、45D 、35 8、锐角ABC D 中，如果2,3a b ==，那么c 的范围是A 、15c << B、1c <<c <、1c <<9、已知,x y R +Î，y M +=，N =332x y P +=，则,,M N P 的大小关系 A 、M N P 吵 B 、P M N 吵 C 、N P M 吵 D 、M P N 吵10、点P 在直线1:230l x y ++=上，点Q 在直线2:230l x y -+=上，当线段PQ 被O 平分时，直线PQ 的方程为A 、30x y +=B 、20x y +=C 、30x y -=D 、20x y -=二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题前横线上）11、在ABC D 中，已知3,30b c B ==?，则a =12、ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且222b c b c a+=+，则角A 的大小为_____13、数列{}n a 的前n 项和2n n S =，则数列的通项公式n a = 14、不等式20ax bx c ++>的解集是(1,3)-，则不等式20ax bx c -+<的解集是15、已知数列{}n a 是等差数列，288,26a a ==，从{}n a 中依次取出第3项，第9项，第27项，…，第3n 项，按原来的顺序构成一个新数列{}n b ，则n b =16、在平面直角坐标系中，设ABC D 的顶点分别为(0,)A a ，(,0)B b ，(,0)C c ，点(0,)P p 在线段AO 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点,E F ，一同学已正确算得OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：三、解答题（本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17（本小题8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b B a A-=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 面积的最大值．18（本小题满分8分）已知数列{}n a 中，111,21n n a a a +==+，*()n N Î． （1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．19（本小题满分10分）已知二次函数2()f x ax bx =+，1(1)1f -??，3(1)5f ＃．（1）求,a b 的取值范围；（2）求(2)f 的取值范围．小题满分10分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{}n b 的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有3121123...(1)n n n c c c c n a b b b b +++++=+成立，求数列{}n c 的前n 项和n S ．。
北京市汇文中学教育集团2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
北京市汇文中学教育集团2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________C ．直线b 与平面a 交于一点D ．直线a 和b共面6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ）①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11D C 的中点．设AM 与平面11BB D D 的交点为O ，则（ ）A ．三点1,,D OB 共线，且12OB OD=B ．三点1,,D O B 不共线，且12OB OD=（2）如图，在三棱锥-P ABC中，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2AF FP=．求证：CM∥平面BEF．11．B【分析】根据复数四则运算法则【详解】①根据绝对值的运算法则可知，②对任意向量a r 、b r ，有a b ×r r ③对任意向量a r 、b r ，有2a =r ④对任意复数i z a b =+，则有所以1//DG BC ，又因为DG Ì面1AB D ，1BC Ë面1AB D ，所以1//BC 面1AB D .（2）如图所示，证明：取AF 的中点H ，连接CH 、MH ，又因为E 为PC 的中点，2AF PF =，M 为AB 的中点，所以//EF CH ，//MH BF ，又因为EF Ì面BEF ，CH Ë面BEF ，BF Ì面BEF ，MH Ë面BEF ，所以//CH 面BEF ，//MH 面BEF ，又因为CH MH H =I ，CH 、MH Ì面CMH ，所以面CMH //面BEF ，又因为CM Ì面CMH ，所以//CM 面BEF .。
北京市一六六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京市一六六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（考试时长：120分钟）一、选择题（每题4分，共10题）1. 如图，设复平面内的点Z 表示复数，则复数z的共轭复数=（ ）A. B. C. D. 2. 已知是第二象限角，，则（ ）A. B.C. D.3. 在中，为BC 边上一点，且，设，则（ ）A B. C. D. 4. 若复数满足，则（ ）A 1B. 5C. 7D. 255. 在正六边形中，，设，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. B. C. D. ..()i ,R z a b a b =+∈z 13i +13i -13i -+13i--α3tan 4α=-sin 2α=1225-12252425-2425ABC V D 3BC BD =,AB a AC b == AD =2133a b + 1233a b + 2133a b - 1233a b-z 34iiz -=||z =ABCDEF 1AB =a AC AE =⋅,b AC AD c AC BF =⋅=⋅ c b a <<c<a<b b<c<a b a c<<6. 在中，角A ，B ，C 的对边分别是，点为边BC 上的一点，，则的面积为（ ）A. B. C. D. 7. 设非零向量，夹角为，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件8. 在中，；②；③；④面积为；使得存在且唯一，则这两个条件是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D.①④9. 函数在区间上的零点个数为（ ）A. 无穷多个B. 4个C. 2个D. 0个10. 已知圆的半径为2，AB 是圆的一条直径，平面上的动点满足，则当不在直线AB 上的时候，的面积的最大值为（ ）A.B.C. 3D. 2二、填空题（每题5分，共5题）11.已知角的顶点位于坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则______.12.若复数，则的虚部为______.13. 在中，内角，，的对边分别是，，，张雷同学写出一个命题“等式不可能成立．”请举出一组内角，，说明这个命题是假命题，其中，______，______.14. 在梯形ABCD 中，已知点为AB 边的中点，则的坐标为______，设，若，且，则______.15. 如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C ，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足．已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度（上下沿之间的距离）为______m.的ABC V ,,,4,60a b c AB B ︒=∠=D 6AD CD ==ACD Va bθa b ≠ ()a ab ⊥- cos a b θ= ABC V b =28ac =2c =1cos 4B =ABC V ()sin 1f x x x x =--(0,)+∞O O P 3PA PB ⋅=-P PAB V αx (3,4)-sin α=2312i 3i 4i z =+++z ABC V A B C a b c ()()sin sin A B A B +=-A B C B ∠=C ∠=(1,1),(2,2),A AB M =M DC ABλ= (1,3)AD =- AC BD ⊥λ=D AB A D α4tan 3α=AB B ABC ∠17tan 11ABC ∠=AB BAH ∠1tan ,3BAH AB ∠==8m AE =CD三、解答题（共六小题，共85分）16. 已知，设与的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值；（3）设，请直接写出的最小值，并写出此时的值．（无需写明计算过程）.17. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别是．（1）求大小；（2，求证：是正三角形．18. 已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围．19. 在平面直角坐标系中，已知点，，，．（1）当时，在中，求边上的中线的长度；（2）当时，求的值；（3）请直接写出能够使等式成立的与的值．（无需写明计算过程）.20. 已知函数在区间上单调递增，再从下面四个条件中选择两个作为已知，使得函数的解析式存在且唯一.①是的一个零点；②的最大值是；的||6,||8,16a b a b ==⋅= a bθcos θ(2)(5)a b a b λ-⊥+λ,R c b a μμ=-∈ ||cμABC V 222,,,0a b c a b c bc --+=A ∠cos sin B c B =ABC V ())2cos cos f x xx x =+()f x π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦x ()f x m ≥m ()2,0A 31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭()cos ,sin C θθ[)0,2πθ∈π2θ=ABC V AC πθ=cos ABC ∠OB OA OC μ=+θμ()πsin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 5π6x =()f x ()f x 3③是函数图象的一个最小值点；④图象关于直线对称．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求的最大值.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.的7π,26⎛⎫-⎪⎝⎭()f x ()f x πx =()f x ()f x []0,m m北京市一六六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题（每题4分，共10题）【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】C 【9题答案】【答案】D 【10题答案】【答案】D二、填空题（每题5分，共5题）【11题答案】【答案】##【12题答案】【答案】【13题答案】45-0.8-2-【答案】 ①.（答案不唯一） ②. （答案不唯一）【14题答案】【答案】①. ②.【15题答案】【答案】三、解答题（共六小题，共85分）【16题答案】【答案】（1）； （2）； （3，.【17题答案】【答案】（1）；（2）证明略.【18题答案】【答案】（1） （2）【19题答案】【答案】（1） （2）（3）、或、【20题答案】【答案】（1）（2）π3π6(2,2)3238151320749μ=π3π(],3-∞12π6θ=μ=5π6θ=μ=()3π2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2。
北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
大峪中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（满分：150分；时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1. 函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 2. 若，且，则是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 的值为（ ）A.B.C.D. 4. 已知向量，且，则m 的值为（ ）A. B. 2C. 4D. 或45. 比较、、的大小关系（ ）A. B. C. D.6. 函数）A. ，B. ，C. ，D. ，7. 已知函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象()πsin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π4π6πsin 0α<tan 0α>αsin20cos40cos20sin40︒︒+︒︒12(1,3),(,4)a b m == (2)b a b ⊥-2-2-tan 48︒()tan 22-︒tan114︒()tan114tan 48tan 22︒>︒>-︒()tan 22tan114tan 48-︒>︒>︒()tan 22tan 48tan114-︒>︒>︒()tan 48tan 22tan114︒>-︒>︒y =3ππ22,23ππk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Zk ∈6ππ72,26ππk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Zk ∈6ππ52,26ππk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈3ππ42,23ππk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈()sin()f x x ωϕ=+2πϕ<()f x ()sin 2g x x =A.向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8，则（ ）A.B. C.D. 9. 已知实数“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（ ）A.B.C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11. 已知是第二象限角，且，则______．12. 设向量与夹角为，且，，则在方向上的投影数量为______．13. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．14. 当时，函数的最小值为______．15. 已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：①在上的图象有且仅有3个最低点；..的3π3π6π6π6sin 5x x -=-2πsin 3x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4545-3535-,,αβ+2,k k Z αβπ=∈()sin +sin sin αβαβ=+sec csc ()12π0csc sec 2f x x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭α1tan 3α=-sin α=a b 60︒a = b = a b0πx ≤≤()2cos sin f x x x =-()π2sin 4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭0ω>[]0,2π()f x ()0,2π②在至多有7个零点；③在单调递增；④的取值范围是；则正确的结论是______．（填写序号）三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 已知是锐角，且．（1）化简；（2）若，求的值，17.已知，求下列代数式的值：（1）；（2）18. 已知函数．（1）利用五点法画函数在内的图象；（2）已知函数（），且的最小正周期为，求的单调递增区间；19. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点，点在单位圆上，（）．在()f x ()0,2π()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭ω1927,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭α()()()()()()sin πcos 2πtan πtan πsin πf αααααα----=+--()f απ1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f αsin cos cos si 2n 53αααα+=-tan 2α22111sin sin cos cos 432αααα++()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()f x π7,π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()g x fx ω=0ω>()g x 2π3()g x ()1,0A 34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭AOB θ∠=0πθ<<（1）求的值；（2）若四边形OADB 是平行四边形，求点D 的坐标；（3）若，求值．20. 已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．条件①：函数两条对称轴之间最短距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值为1．（1）求的解析式及最小值点；（2）已知，若函数在区间上恰好有两个零点，求a 的取值范围．（3）若函数在区间（）上有且仅有2条对称轴，求t 的取值范围．21. 对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”.（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；（2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；的πtan 4θ⎛⎫+⎪⎝⎭2=AB AP OP AB ⋅ ()2coscos f x x x x m ωωω=++0ω>m ∈R ()f x ()f x π()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()f x a ∈R ()y f x a =-π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x []0,t 0t >{}12,,,n θθθΩ=⋅⋅⋅0θ()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-+⋅⋅⋅+-=Ω0θ,34ππ⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭00θ=Ω0θ2,,33πππ⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭Ω0θ（3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值.大峪中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】D 【6题答案】【答案】C 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】A 【10题答案】【答案】C二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）【11题答案】,,4παβ⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭[0,)απ∈[,2)βππ∈0θαβ【12题答案】【13题答案】【答案】①②. 12π﹣【14题答案】【答案】####【15题答案】【答案】②③④三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【16题答案】【答案】（1）；（2）.【17题答案】【答案】（1）； （2）.【18题答案】【答案】（1）答案略 （2）（）【19题答案】【答案】（1） （2） （3）0【20题答案】54-114- 1.25-()αcos αf =-43-1330π2π5π2π,183183k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 17-24,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1），最小值点为， （2） （3）【21题答案】【答案】（1）（2）证明略，这个常数为；（3）或()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭2π2π3x k =-+k ∈Z a ⎫∈⎪⎪⎭4π7π33t ≤<381211121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
2020-2021年北京西城高一数学下学期期中试卷及答案
2020-2021年北京西城高一数学下学期期中试卷及答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若sinα＜0，且cosα＞0，则角α是（ ）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．已知角α终边经过点P（﹣4a，3a）（a＜0），则2sinα+cosα的值为（ ）A．B．C．0 D．或3．若向量＝（1，2），＝（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（ ）A．﹣B．C．D．4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．异面5．tan（﹣40°），tan38°，tan56°的大小关系是（ ）A．tan（﹣40°）＞tan38°＞tan56°B．tan38°＞tan（﹣40°）＞tan56°C．tan56°＞tan38°＞tan（﹣40°）D．tan56°＞tan（﹣40°）＞tan38°6．使sinx＞cosx成立的x的一个变化区间是（ ）A．（﹣π，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣，）D．（，）7．已知α∈（0，π），且，则α＝（ ）A．B．C．D．8．函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（ ）A．B．C．D．9．在锐角△ABC中，设x＝sinA•sinB，y＝cosA•cosB．则x，y的大小关系为（ ）A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y10．已知sinα+sinβ＝1，则函数y＝sinα﹣cos2β的值域是（ ）A．[﹣，0] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[﹣，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上）11．＝ ．12．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝ ．13．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝，则AB的长是 ．14．已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝ ．15．对于函数f（x）＝cosx+sinx，给出下列四个命题：①函数f（x）为奇函数；②存在α∈（0，），使f（α）＝；③存在α∈（0，），使f（x+α）＝f（x+3α）恒成立；④存在θ∈R．使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；其中正确的命题序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知α∈（，π），且sinα＝．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．17．已知函数f（x）＝sin22x+sin2x•cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的最大值与最小值．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H．20．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．21．对于定义域分别是D f，D g的函数y＝f（x），y＝g（x），规定：函数h（x）＝．（Ⅰ）若函数f（x）＝，g（x）＝sinx，x∈R，写出函数h（x）的解析式并求函数h（x）值域；（Ⅱ）若g（x）＝f（x+α），其中a是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y＝f（x）及一个α的值，使得h（x）＝cos4x，并予以证明．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若sinα＜0，且cosα＞0，则角α是（ ）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角选：D．2．已知角α终边经过点P（﹣4a，3a）（a＜0），则2sinα+cosα的值为（ ）A．B．C．0 D．或选：A．3．若向量＝（1，2），＝（1，﹣1），则2+与﹣的夹角等于（ ）A．﹣B．C．D．选：C．4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．异面选：B．5．tan（﹣40°），tan38°，tan56°的大小关系是（ ）A．tan（﹣40°）＞tan38°＞tan56°B．tan38°＞tan（﹣40°）＞tan56°C．tan56°＞tan38°＞tan（﹣40°）D．tan56°＞tan（﹣40°）＞tan38°选：C．6．使sinx＞cosx成立的x的一个变化区间是（ ）A．（﹣π，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣，）D．（，）选：A．7．已知α∈（0，π），且，则α＝（ ）A．B．C．D．选：D．8．函数（其中ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则（ ）A．B．C．D．选：B．9．在锐角△ABC中，设x＝sinA•sinB，y＝cosA•cosB．则x，y的大小关系为（ ）A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y选：B．10．已知sinα+sinβ＝1，则函数y＝sinα﹣cos2β的值域是（ ）A．[﹣，0] B．[﹣，2] C．[0，2] D．[﹣，+∞）选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上）11．＝ ．答案为：12．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝ ﹣1 ．答案为：﹣113．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝，则AB的长是 5 ．答案为：5．14．已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝ 2 ．答案为：2．15．对于函数f（x）＝cosx+sinx，给出下列四个命题：①函数f（x）为奇函数；②存在α∈（0，），使f（α）＝；③存在α∈（0，），使f（x+α）＝f（x+3α）恒成立；④存在θ∈R．使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；其中正确的命题序号是 ②④ ．答案为：②④．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知α∈（，π），且sinα＝．（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵α∈（，π），且sinα＝．∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣，∴tan（α﹣）＝＝＝﹣7．（Ⅱ）＝＝＝﹣．17．已知函数f（x）＝sin22x+sin2x•cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的最大值与最小值．解：（I）f（x）＝sin22x+sin2x•cos2x＝sin4x﹣cos4x+＝sin（4x﹣）+；所以T＝，令﹣≤4x﹣≤，k∈Z，解得≤x≤，故函数f（x）的单调递增区间为[﹣]，k∈Z；（II）由x∈[，]得4x﹣∈[]，所以sin（4x﹣）∈[，1]，所以f（x）∈[1，]即函数f（x）的值域[1，]．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝absinC＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．19．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H．证明：（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．（2）取B1D1的中点O，连接EO、D1O，则OE∥DC，OE＝DC．又D1G∥DC，D1G＝DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．20．已知函数，且满足_______．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f（x）的最大值为1，②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f（x）的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．解：（Ⅰ）函数f（x）＝asin（2x﹣）﹣2cos2（x+）＝asin（2x﹣）﹣cos（2x+）﹣1＝asin（2x﹣）﹣sin（﹣2x+）﹣1＝（a+1）sin（2x﹣）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin（2x﹣）﹣1；f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x﹣）＝1，解得2x﹣＝+2kπ，k∈Z；即x＝+kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为T＝＝π，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin﹣1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．21．对于定义域分别是D f，D g的函数y＝f（x），y＝g（x），规定：函数h（x）＝．（Ⅰ）若函数f（x）＝，g（x）＝sinx，x∈R，写出函数h（x）的解析式并求函数h（x）值域；（Ⅱ）若g（x）＝f（x+α），其中a是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y＝f（x）及一个α的值，使得h（x）＝cos4x，并予以证明．解：（ I ），则，当时，；当时，h（x）＝sinx．所以．当时，sinx∈[﹣1，1），此时；当时，sinx＝1，此时h（x）＝sinx＝1，所以函数h（x）的值域为．（Ⅱ）令，则g（x）＝f（x+α）＝＝cos2x﹣sin2x，于是h（x）＝f（x）⋅f（x+α）＝（sin2x+cos2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos4x．。
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高 一 数 学
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一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是 （ ）
A ．cos()cos αα-=-
B.sin()sin αα-=-
C.sin(180)sin αα︒+=
D.cos(180)cos αα︒+=
2.已知向量(4,2)=a ，向量(,3)x =b ，且a //b ，那么x 等于 （ ）
A.8
B.7
C.6
D.5
3.下列函数中，在区间[0,]2
π上为减函数的是 （ ）
A.cos y x =
B.sin y x =
C.tan y x =
D.sin()3
y x π=-
4.已知02A π
<<
，且2
cos 3
A =
，那么sin 2A 等于 （ ）
A.19
B.79
C.8
9
D.459
5.已知),1,5(),2,3(---N M 若,2
1
MN MP =则P 点的坐标为 （ ）
A.(8,1)-
B.(8,1)-
C.3(1,)2-- D ．3
(1,)2
6．如果函数3sin(2)y x φ=+的图像关于点(
,0)3
π
中心对称，
那么φ的一个值可以为 （ ） A.
3π B. 3π- C. 6
π
D. 6π-
7．有下列四种变换方式:
①向左平移
4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8
π
;
③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8
π
,再将横坐标变为原来的21;
其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)4
2sin(π
+=x y 的图像的是 （ ）
A.①和② B .①和③ C ．②和③ D．②和④
8．函数)sin(ϕω+=x A y ,(0,0,0)A ωϕπ>><<在一
个
周期内的图象如右图，此函数的解析式为
（ ） A ．)3
22sin(2π+=x y
B ．)3
2sin(2π
+=x y
C ．)3
2sin(2π-=x y
D ．)3
2sin(2π
-
=x y
9．已知,A B 均为锐角，5sin 5A =
，10sin 10
B =，则A B +的值为 （ ） A.
47π B.45π C ．43π D ． 4
π
10．函数sin y x =的定义域为[]b a ,，值域为⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-2
1,1，则a b -的最大值与最小值之和等于
（ ） A.4π B.
83π C ．2π D ．43
π
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 已知3
cos 2
α=-
，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________. 12．已知tan 2α=，3
tan()5
αβ-=-
，则tan β= ． 13．函数x y 3tan =的图像的相邻两支截直线3
π
=
y 所得的线段长为 ．
14．设C B A 、、是三角形的三个内角，且0sin lg =A ，C B sin sin =，那么三角形的形状
为 ．
15．如图，若AB a =，AC b =，3BD DC =，则向量AD 可
用a ，b 表示为___________.
16．在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ，AC 的取值范围为_________.
三、解答题：本大题共5小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本小题共6分)已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中a =（1，2）
，|b |=,2
5
且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ.
18. (本小题共6分) 某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75︒
，距离为A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30︒
，距离为A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120︒，求：
（1）A 处与D 处之间的距离； （2）灯塔C 与D 处之间的距离.
19．(本小题共8分)已知函数.1cos sin 32sin 2)(2
++=x x x x f 求：
（1）)(x f 的最小正周期；（2）)(x f 在]2
,0[π上的最值.
20．(本小题共8分)已知函数()sin sin()3
f x x x
π. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c . 已知3()2
f A ，3a b ，试判
断ABC ∆的形状.
C
21. (本小题共8分) 如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的
正半轴交与点A ,与钝角α的终边OB 交于点(,)B B B x y ,设BAO β∠=.
(1) 用β表示α； (2) 如果4
sin 5
β=
,求点(,)B B B x y 的坐标； (3) 求B B x y -的最小值.
α。