概率的公理化定义及性质

五、概率的公理化定义及性质概率的公理化定义：(1)定义：随机试验的样本空间Ω对于随机事件A ，赋于一个实数，记为P A ()，称为事件A 的概率，如果集合函数P ()⋅满足下列条件：1) 对于任一事件A ，有P A ()≥0。

2)P ()Ω=13)设A A 12,, 是两两互不相容的事件，即对于i j A A i j i j ≠=∅=,,,,,12则有P A A P A P A ()()()1212=++1)P ()∅=0证明:设A n n =∅=,,,12 ，，则An n =∅=∞,1 P A P P P n n ()()()(),=∞=∅+∅+=∅1 P ()∅≥0∴P ()∅=0(2)性质：2) A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++ 证明:设 A i n n i =∅=++,,,12 ，则 ∞====∅∅=111i n i n i i i i A A A ,)( n i i i i A P A P 11=∞==)()(=++++∅+P A P A P A P n ()()()()12 =+++P A P A P A n ()()()12 ∴P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。

证明: B A B A A B A =--=∅(),()且由性质2）：P B P A B A P A P B A ()(())()()=-=+- ∴P B A P B P A ()()()-=- P B A ()-≥0∴-≥P B P A ()()0即P B P A ()()≥ABB-A =B -AB 推论：)()()(AB P B P A B P -=-证明:AB B A B -=- BAB ⊂)()()()(AB P B P AB B P A B P -=-=-∴A5)P A P A ()()=-1A A 证明： A A AA ==∅Ω,∴=+=+=P P A A P A P A ()()()()Ω1∴=-P A P A ()()14)P A ()≤1证明： A ⊂Ω,∴≤=P A P ()()Ω1P ()Ω=1B B-AB6))()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 证明：P A B ()))((AB B A P -= )()()(AB P B P A P -+=)()(AB B P A P -+=(2)性质：1)P ()∅=0(逆不成立)2)A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++ (不相容的加法公式)3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。

（单调性）4)P A ()≤15)P A P A ()()=-1（对立公式）6))()()()(AB P B P A P B A P -+=+（相容的加法公式）推论：)()()(AB P B P A B P -=-(减法公式)2) +-=∑∑≤<≤=)()(j i nj i ni i A A P A P 11+--()()1112n n P A A A P A A A n ()12 推广：1)---P A A P A A P A A ()()()122313+P A A A ()123P A A A P A P A P A ()()()()123123 =++例1.设A 与B 为两个随机事件，P A ()= 0.4，P A B () = 0.7,当A 、B 互不相容时，求P B ()。

解：P A B P A P B P AB ()()()()=+- A ，B 互不相容∴0)()(=∅=P AB P 又P A ()= 0.4，P A B () = 0.7∴P B P A B P A P AB ()()()()=-+ =-+07040..=03.例 2.设A ，B 为随机事件，已知P A () = 0.7 , P B ()= 0.5，P A B ()-= 0.3, 求P AB ()和P B A ()-解：)()()(B A P A P AB P --=∴)()()(AB P B P A B P -=-=-=050401...)()()(AB P A P B A P -=- =-=070304...A BAB解：设A 表示取到的整数能被6整除，B 表示取到的整数能被8整除，则AB 表示取到的整数既能被6整除，又能被8整除;AB 表示取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除. 20006333262000825020002483824===,,,∴=P A (),3332000P B (),=2502000P AB (),=832000)(1)()(B A P B A P B A P -==∴=-+-1(()()())P A P B P A B =-+-133320002502000832000()==150********.即所求概率为0.75。

例3. 在1~2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6，又不能被8整除的概率是多少？1. 定义条件概率──考虑A 已发生的条件下，B 发生的概率。

例1.一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。

解：样本空间Ω={正正，正反，反正，反反}事件A 表示至少有一次为正面，事件B 表示两次都是同一面， A ={正正，正反，反正}， 求已知A 发生的条件下，B 发生的概率。

注意：A 发生，样本空间Ω缩小为'Ω={正正，正反，反正}=A其中，只有一个“正正”∈B ，∴=P B A (|)135分国徽B ={正正，反反} P A (),=34P AB ().=14P A (),=34P AB ().=14∴==P AB P A ()()143413∴=P B A P AB P A (|)()()P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?∴=P B A (|)13古典概型的情形设试验的基本事件总数（即样本空间的容量）为n ，事件A 所包含的基本事件数为m m ()>0，事件AB 所包含的基本事件数为k ，则m k A B P =)|(定义：设A 、B 为两事件，且P A ()>0，称P B A P AB P A (|)()()=为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

nm n k =)()(A P AB P =P A (|)⋅符合概率定义中的三个条件：1)对每一个事件B ，P B A (|)≥02)P A (|)Ω=13)设B B B n 12,,, 是两两互不相容的事件，则有∑∞=∞==11)|()|(i i i i A B P A B P P A (|)⋅具有概率的重要结果：1) 如B B B n 12,,, 是两两互不相容的事件，则∑===ni i n i i A B P A B P 11)|()|( 2)若B B 12,是对立事件，则P B A P B A (|)(|)211=-3)∀B B 12,，P B B A P B A P B A P B B A (|)(|)(|)(|)121212 =+-的区别：与)|()(A B P AB P AA B P AB P ΩΩ的样本空间是的样本空间是)|()(1.."","""",:)|(,:)(关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件B A A B P B A AB P 2.例2：一盒装有5只产品，其中有3只是一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”。

试求条件概率)|(A B P 。

解：方法一：条件概率的定义。

P A (),=35103)(251213==A C C AB P 2153103)()()|(===∴A P AB P A B P方法二：在A 已经发生的条件下，第二次只能从剩余的2只一等品、2只二等品中抽取，所以，这时抽到一等品的概率为P B A (|).==2412在计算条件概率时,一般有两种方法:(1) 由条件概率的公式;(2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型计算.2.乘法公式：P AB P B A P A ()(|)()=⋅推广：1) P ABC P C AB P B A P A ()(|)(|)()=⋅2)P A A A n ()12 =-P A A A n n (|)11 )()|()|()|(112123211A P A A P A A A P A A A P n n ⋅⋅⋅-- 注意：条件0)(>A P 0)(>AB P 注意：条件0)(121>-n A A A P 注意：条件)()|()(B P B A P AB P ⋅=0)(>B P例3.一批零件共100个，次品率10%，每次从其中任取一个，取出的不再放回，求第三次才取得合格品的概率。

解：设A i 表示第i 次取得合格品则321A A A =⋅⋅=10100999909800083.即：第三次才取得合格品的概率为0.0083.)(P )|()|()(213121A A A P A A P A P =例4．眼镜落地，第一次落下打破的概率为1/2；第一次未打破，第二次落下被打破的概率为7/10；若前二次未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求：眼镜在三次落下内打破的概率。

方法二：先算对立事件的概率。

B A A A =123P B P A A A P A A P A ()(|)(|)()=⋅312211=⋅⋅=110310123200985.020*********)(1)(==-=-=∴B P B P 即：眼镜在三次落下内打破的概率为0.985。

解：设A i 表示眼镜第i 次落下打破，B 表示眼镜落下三次内打破，则B A A A A A A =++121312方法一：直接计算。

P B P A P A A P A A A ()()()()=++121312=++P A P A A P A P A A A P A A P A ()(|)()(|)(|)()121131221121=21⋅+10721⋅103⋅+109985.0200197==。