概率的公理化定义及性质
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五、概率的公理化定义
及
性质
概率的公理化定义：
(1)定义：随机试验的样本空间Ω对于随机事件A ，
赋于一个实数，记为P A ()，称为事件A 的概率，如果集合函数P ()⋅满足下列条件：
1) 对于任一事件A ，有P A ()≥0。2)P ()Ω=1
3)设A A 12,, 是两两互不相容的事件，
即对于i j A A i j i j ≠=∅=,,,,,12
则有P A A P A P A ()()()1212
=++
1)P ()∅=0
证明:设A n n =∅=,,,12 ，，则
A
n n =∅=∞,
1 P A P P P n n ()()()(),
=∞
=∅+∅+=∅1 P ()∅≥0
∴P ()∅=0
(2)性质：
2) A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()
1212 =+++ 证明:设 A i n n i =∅=++,,,12 ，则 ∞
====∅∅=111i n i n i i i i A A A ,)( n i i i i A P A P 11=∞
==)
()(=++++∅+P A P A P A P n ()()()()12 =+++P A P A P A n ()()()
12 ∴P A A A P A P A P A n n ()()()()
1212 =+++
3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。
证明: B A B A A B A =--=∅(),()且由性质2）：P B P A B A P A P B A ()(())()()=-=+- ∴P B A P B P A ()()()-=- P B A ()-≥0
∴-≥P B P A ()()0
即P B P A ()()
≥A
B
B-A =B -AB 推论：)
()()(AB P B P A B P -=-证明:AB B A B -=- B
AB ⊂)
()()()(AB P B P AB B P A B P -=-=-∴A
5)P A P A ()()=-1A A 证明： A A AA ==∅
Ω,∴=+=+=P P A A P A P A ()()()()Ω1∴=-P A P A ()()
14)P A ()≤1
证明： A ⊂Ω,∴≤=P A P ()()Ω1
P ()Ω=1
B B-AB
6))()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 证明：P A B ()
))
((AB B A P -= )
()()(AB P B P A P -+=)()(AB B P A P -+=
(2)性质：
1)P ()∅=0(逆不成立)
2)A A A n 12,, 是两两互不相容的事件，则有P A A A P A P A P A n n ()()()()1212 =+++ (不相容的加法公式)
3)设B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-且 )()(B P A P ≤。（单调性）
4)P A ()≤15)P A P A ()()=-1（对立公式）
6))()()()(AB P B P A P B A P -+=+（相容的加法公式）
推论：)()()(AB P B P A B P -=-(减法公式)
2) +-
=∑∑≤<≤=)()(j i n
j i n
i i A A P A P 11+--()()
1112n n P A A A P A A A n ()
12 推广：1)---P A A P A A P A A ()()()
122313+P A A A ()
123P A A A P A P A P A ()()()()
123123 =++
例1.设A 与B 为两个随机事件，P A ()= 0.4，
P A B () = 0.7,当A 、B 互不相容时，求P B ()。 解：P A B P A P B P AB ()()()()
=+- A ，B 互不相容∴0
)()(=∅=P AB P 又P A ()= 0.4，P A B () = 0.7
∴P B P A B P A P AB ()()()()
=-+ =-+07040..=03.
例 2.设A ，B 为随机事件，已知P A () = 0.7 , P B ()= 0.5，P A B ()-= 0.3, 求P AB ()和P B A ()-
解：)()()(B A P A P AB P --=∴)
()()(AB P B P A B P -=-=-=050401...)
()()(AB P A P B A P -=- =-=070304...A B
AB
解：设A 表示取到的整数能被6整除，
B 表示取到的整数能被8整除，则AB 表示取到的整数既能被6整除，又能被8整除;AB 表示取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除. 20006333262000825020002483824===,,,∴=P A (),3332000P B (),=2502000P AB (),=832000
)
(1)()(B A P B A P B A P -==∴=-+-1(()()())P A P B P A B =-+-133320002502000832000
()==150********.即所求概率为0.75。例3. 在1~2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不
能被6，又不能被8整除的概率是多少？