标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：复习课(三) 不等式

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标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：第一章 1.2 余弦定理

余弦定理第一课时余弦定理[新知初探]1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.[点睛]注意公式中边角的对应，注意公式中加减号．2．余弦定理的变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝c2＋a2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.[小试身手]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝3，B＝60°.则b＝________.解析：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以b＝7.预习课本P13～16，思考并完成以下问题答案：72．在△ABC中，若a＝b＝1，c＝3，则角C＝________.解析：由cos C＝a2＋b2－c22ab得cos C＝－12，所以C＝2π3.答案：2π33．在△ABC中，已知23ab sin C＝a2＋b2－c2，则C＝________.解析：由23ab sin C＝a2＋b2－c2得23sin C＝a2＋b2－c2ab，由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab，所以3sin C＝cos C，即tan C＝33，在△ABC中，0<C<π，所以C＝π6.答案：π64．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，b＝4，cos B＝1 4.则边c的长度为________．解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得16＝a2＋4a2－4a2×14，所以a＝2，c＝4.答案：4[典例]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝7，b＝5，c＝3，求△ABC的内角中最大的角．[解]∵a>b>c，∴A最大．cos A＝b2＋c2－a22bc＝52＋32－722×5×3＝－12.又∵0°<A<180°，∴A＝120°.[活学活用]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.解析：由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝1＋3－72×1×3＝－32.又∵0°<B<180°，∴B＝150°.答案：150°2．在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，则A＝________. 解析：∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k>0)．由余弦定理的变形得，cos A＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋(3＋1)2k2－4k22×6k×(3＋1)k＝22.∴A＝45°.答案：45°[典例][解]法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B．∴2＝3＋c2－23·22c. 即c2－6c＋1＝0.解得c＝6＋22或c＝6－22，当c＝6＋22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°<A <180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75° 或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B得， sin A ＝a sin B b ＝3·sin 45°2＝32.又∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，得C ＝75°. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3＋2－2×6×6－24＝2＋3， ∴c ＝2＋3＝6＋22. 或用正弦定理求边c ，由c sin C ＝bsin B 得c ＝b sin C sin B ＝2·sin 75°sin 45°＝2×6＋2422＝6＋22.当A ＝120°时，得C ＝15°，同理可求c ＝6－22，故A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.[活学活用]1．在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则c ＝________. 解析：由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即72＝82＋c 2－16c cos 60°.即c 2－8c ＋15＝0. 解得c ＝3或c ＝5. 答案：3或52．在△ABC 中，B ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin A ＝________.解析：由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A，所以sin A ＝BC ·sin B AC ＝3×225＝31010.答案：31010题点一：利用余弦定理实现角化边1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________.解析：由余弦定理得b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a ＝2b ，即ab＝2. 答案：2题点二：利用余弦定理实现边化角2．在△ABC 中，若lg(a ＋c )＋lg(a －c )＝lg b －lg 1b ＋c ，则A ＝________.解析：由题意可知lg(a ＋c )(a －c )＝lg b (b ＋c )，所以(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )．即b 2＋c 2－a 2＝－bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°层级一学业水平达标1．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝3ab ，则C ＝________.解析：由a 2－c 2＋b 2＝3ab ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，所以C ＝30°.答案：30°2．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由余弦定理 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋1－2a ×1×cos 2π3，即a 2＋a －2＝0.解得a ＝1或a ＝－2(舍去)． ∴a ＝1. 答案：13．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，所以b ＝4. 答案：44．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角的大小为________．解析：∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，∴C ＝π6. 答案：π65．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B ＝________.解析：∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.答案：346．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 的形状是________．解析：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又因为C ∈(0，π)，所以，C ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形．答案：钝角三角形7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.解析：由已知得3b cos A ＝a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b .∴cos A ＝b 3b ＝33. 答案：338．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为120°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的为________(填序号)．解析：①中，a 2>b 2＋c 2可推出cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形；②中，由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知，cos A ＝－bc 2bc ＝－12，∴A 为120°；③中a 2＋b 2>c 2可推出C 为锐角，但△ABC 不一定为锐角三角形；所以①②正确，③错误．答案：①②9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求边长a .解：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又因为a ＋c ＝4，b ＝13，所以ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.所以a 等于1或3.10．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.层级二应试能力达标1．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，则角C 的大小为________．解析：∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.答案：60°2．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c 的长为________．解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.答案：193．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．解析：设边长为7的边所对角为θ，根据大边对大角，可得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，∴180°－60°＝120°， ∴最大角与最小角之和为120°. 答案：120°4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为________．解析：由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－(13)22×3×4＝12，所以sin A ＝32.则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332. 答案：3325．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43. 答案：436．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(5t )2＋(3t )2－(7t )22×5t ×3t＝－12，故C ＝2π3.答案：2π37．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c ＝2，a cos B －b cos A ＝72.(1)求b cos A 的值；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)∵a cos B －b cos A ＝72，根据余弦定理得，a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝72，∴2a 2－2b 2＝7c ，又∵c ＝2，∴a 2－b 2＝7， ∴b cos A ＝b 2＋c 2－a 22c ＝－34.(2)由a cos B －b cos A ＝72及b cos A ＝－34，得a cos B ＝114.又∵a ＝4，∴cos B ＝1116，∴sin B ＝1－cos 2B ＝31516， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3154.8．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求边AB 的长； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4的值．解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A，即AB ＝sin C ·BCsin A ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255.于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35.故sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.第二课时余弦定理的应用(习题课)[典例] 地平面上有一旗杆OP ，为了测量它的高度，在地平面上取一基线AB ＝40 m ，在A 处测得P 点的仰角∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(精确到0.1 m)[解] 如图所示，设OP ＝x m ，在△AOP 中，∵∠POA ＝90°，∠OAP ＝30°，∴AO ＝3x . 在△BOP 中，∵∠POB ＝90°，∠OBP ＝45°，∴BO ＝x . 在△AOB 中，∠AOB ＝60°，AB ＝40， ∴AB 2＝AO 2＋BO 2－2AO ·BO cos ∠AOB ，即1 600＝3x 2＋x 2－23x ×x ×12，∴x 2＝1 6004－3，∴x ＝40 4＋313≈26.6(m)．因此旗杆高约为26.6 m.[活学活用]1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A ，B ，C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°.在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：4032．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为 cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为485海里/小时．答案：485[典例] 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132，且AD ＝BD ，求△ABC 的面积．[解] 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理，得 cos ∠CAD ＝(5－x )2＋42－x 22×4×(5－x )＝3132.解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理，得AD sin C ＝CDsin ∠CAD， ∴sin C ＝ADCD·1－cos 2∠CAD ＝41－⎝⎛⎭⎫31322＝378，∴S △CAB ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×378＝1574. 故三角形ABC 的面积为1574.已知梯形ABCD 的上底AD 长为1 cm ，下底BC 长为4 cm ，对角线AC 长为4 cm ，BD 长为3 cm ，求cos ∠DBC 及梯形ABCD 的面积．解：过D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则在△DBE 中，DE ＝AC＝4，BE ＝5，所以，由余弦定理得 cos ∠DBC ＝32＋52－422×3×5＝35.因为0°<∠DBC <180°，所以sin ∠DBC ＝45，sin ∠ADB ＝45，S 梯形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ＋12DB ·BC ·sin ∠DBC ＝6.[典例] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2(B ＋C )>sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________．[解析] 由题意得sin 2A >sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2>b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2<0. ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，∴A 为钝角，即三角形为钝角三角形．[答案] 钝角三角形[一题多变]1．[变条件]本例的条件变为：若2sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 的形状为________．解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin (A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，即△ABC 是等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .即△ABC 是等腰三角形．答案：等腰三角形2．[变条件]本例的条件变为：若2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝－12，sin A ＝32，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，所以sin B sin C ＝14，所以sin B ＝sin C ＝12.因为0b >c ，a 20，所以A 为锐角，又因为a >b >c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.答案：⎝⎛⎭⎫π3，π2 2．在△ABC 中，abc a 2＋b 2＋c 2⎝⎛⎭⎫cos A a＋cos B b ＋cos C c ＝________. 解析：原式＝abca 2＋b 2＋c 2·bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C abc ＝bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ×a 2＋b 2－c 22ab a 2＋b 2＋c 2＝12. 答案：123．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，经测量，∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为______ km.解析：AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°， ∴AC ＝107. 答案：1074．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．解析：由题意，根据正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ⇒b 2＋c 2－a 2≥bc ⇒b 2＋c 2－a 2bc≥1⇒cosA ≥12⇒0<A ≤π3.答案：⎝⎛⎦⎤0，π3 5．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.解析：用余弦定理求得：AB 2＝ BD 2＋AD 2－2AD ·BD cos 135°， AC 2＝CD 2＋AD 2－2AD ·CD cos 45°，即AB 2＝BD 2＋2＋2BD ， ① AC 2＝CD 2＋2－2CD ， ②又BC ＝3BD ，∴CD ＝2BD . ∴AC 2＝4BD 2＋2－4BD .③又AC ＝2AB ，∴由③得2AB 2＝4BD 2＋2－4BD . ④④－2×①得，BD 2－4BD －1＝0. ∴BD ＝2＋ 5. 答案：2＋ 56．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为________ km/h.解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：6 27．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°.∴AD ＝AB sin B ＝ 3. 答案： 38．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________小时．解析：如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝514时，DC 2最小，DC 最小，此时它们所航行的时间为514小时．答案：5149．要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40米．10．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC的形状．解：在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c 得1＋cos A 2＝b ＋c2c ，∴cos A ＝bc .根据余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．层级二应试能力达标1．在△ABC 中，若CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AB 边的中线长________．解析：如图所示，在△ABC 中，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC＝81＋64－492×9×8＝23， ∴CD 2＝AD 2＋AC 2－2×AD ×AC cos A ＝⎝⎛⎭⎫922＋82－2×92×8×23＝1454. ∴中线CD 的长为1452. 答案：14522．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AC ＝2AB ＝2AD ＝4，则BD ＝________. 解析：如图所示，设BD ＝DC ＝x ，因为∠ADB ＋∠ADC ＝180°，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，又AC ＝2AD ＝2AB ＝4，由余弦定理得x 2＋4－42×2x ＝－4＋x 2－162×2x，解得x ＝6(x ＝－6舍去)．即BD ＝ 6.3．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 34．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是________．解析：∵b 2＝ac ，B ＝60°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________．解析：a 2＋b 2＝c 2，三边都增加x ，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．答案：锐角三角形6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6. ① 由余弦定理及C ＝π3可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.答案：3327.如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长．解：在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B，∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32. ∴C ＝60°(C ＝120°舍去，由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0.∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35. 在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， ∴AD ＝123或AD ＝20 3.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连结BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，由余弦定理，得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.。

2017-2018学年苏教版高中数学必修5全册教案汇编91P

2017~2018学年苏教版高中数学必修5全册学案汇编目录第一章解三角形 (1)1.1 正弦定理 (1)1.2 余弦定理（1） (7)1.2 余弦定理（2） (12)1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1） (17)1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2） (21)第二章数列 (26)2.1 数列（1） (26)2.1 数列（2） (29)2.2.1 等差数列的概念 (31)2.2.2 等差数列的通项公式 (33)2.2.3 等差数列的前n项和（1） (35)2.2.3 等差数列的前n项和（2） (37)2.3.1 等比数列的概念 (39)2.3.2 等比数列的通项公式 (43)2.3.3 等比数列的前n项和（1） (47)2.3.3 等比数列的前n项和（2） (50)第三章不等式 (53)3.1 不等关系 (53)3.2 一元二次不等式（1） (56)3.2 一元二次不等式（2） (59)3.2 一元二次不等式（3） (61)3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域 (65)3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域 (69)3.3.3 简单的线性规划问题（1） (71)3.3.3 简单的线性规划问题（2） (76)3.3.3 简单的线性规划问题（3） (85)3.4.1 基本不等式的证明（1） (90)3.4.1 基本不等式的证明（2） (95)3.4.2 基本不等式的应用 (101)第一章解三角形1.1 正弦定理教学目标：1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．教学重点：正弦定理及其证明过程．教学难点：正弦定理的推导和证明．教学过程：一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =，那么边角之间有哪些关系？sin a A c =，sin b B c =，sin 1c C c ==，cos b A c =，cos a B c =，cos 0C =，tan a A b=，sin cos A B =,sin cos B A =,1tan tan A B=…… 探索2 在Rt ABC ∆中，我们得到sin sin sin a b c A B C ==，对于任意三角形，这个结论还成立吗？二、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．图1三、建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证明结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．证法一若C 为锐角（图2（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =,sin AD C b =，所以sin sin c B b C =,即sin sin b c B C=．同理可得sin sin a c A C =,所以sin sin sin a b c A B C ==．D B C（1）图2 （2）若C 为钝角（图2（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时有sin AD B c =，且sin AD C b =，同理可得sin sin sin a b c A B C==．综上可得，结论成立．证法二利用三角形的面积转化，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则s i n AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以ABC S = 1bcsinA 2=1sin 2ac B =1bcsinA 2，每项同时除以12abc ，得sin sin sin a b c A B C == 探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+ ，设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D ，（图3），于是B CA DB A A D =+ ，设AD 与AC 的夹角为α，则0B A AD = c o s (9 B )+c o s AC AD α ，其中，当C ∠为锐角或者直角时，90C α=- ；当C ∠为钝角时，90C α=- ．故可得sin sin c B b C -0=，即s i n s i n b c B C =．同理可得sin sin a c A C =．因此sin sin sin a b c A B C==．这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理．探索5 这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？三个式子：sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=．每个式子中都有四个量，如果已知其中三个可求出第四个．正弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理求出第三角，再使用正弦定理）；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．四、数学运用例题在ABC ∆中：（1）已知16a =，26b =，30A = ，求B ，C ，c ；（2）已知30a =，26b =，30A = ，求B ，C ，c ；（3）已知25a =，11b =，30B = ，解这个三角形．解（1）由正弦定理得sin sin a b A B =，即1626sin 30sin B= ，因此 26s i n 3013s i n 1616B == 所以 154.3B ≈ ，或218054.3125.7B =-= ．由于 2125.730155.7180B A +=+=< 故 2B 也符合要求，从而本题有两个解154.3B ≈ 或2125.7B = ．①当154.3B ≈ 时，11180()180(54.330)95.7C A B =-+=-+= ，11sin 16sin 95.732sin 95.731.84sin sin 30a C c A ===≈． ②当2125.7B = 时，22180()180(125.730)24.3C A B =-+=-+=22sin 16sin 24.332sin 24.313.17sin sin 30a C c A ===≈．（2）由正弦定理得sin sin b A B a =，即26sin 3013sin 3030B == 所以125.7B = ,或218025.7154.3B =-= ．由于2154.330184.3180B A +=+=> ，故2B 不符合要求，从而本题只有一解25.7B =180()180(25.730)124.3C A B =-+=-+= ，sin 30sin124.360sin 55.749.57sin sin 30a C c A ===≈．（3）由正弦定理得sin 25sin 3025sin 11122a B Ab ===> ，所以无解．学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？巩固练习：1.（口答）一个三角形的两角和边分别是30 和45 ，若45 角所对边的长为8，那么30角所对边的长是 .2.(板演) 在ABC ∆中：（1）已知75,45,A B c === C ，b ；（2）已知30,120,12A B b === ，求a ，c ．3.（板演）根据下列条件解三角形：（1）40b =，20c =，25C =（2）15a =，20b =，108A =五、回顾小结本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称．它可以解决斜三角型中这样的几类问题：已知三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；已知三角形中的两角与任意一边，可求出其他的边和角；已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的两个元素，可研究出另外两个元素的关系．六、课外作业课本P11习题1.1第1，2题．1.2 余弦定理（1）教学目标：1. 掌握余弦定理及其证明方法；2. 初步掌握余弦定理的应用；3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用；教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式+=的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．Cc B b A a sin sin sin ==．探索1 还有其他途径将向量等式+=数量化吗？二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段．因为AC BA BC +=（如图1），所以A）（）（AC BA AC BA BC BC +⋅+=⋅ 222+⋅+=222cos 2)180b A cb c AC A +-=+-︒+=即 A bc c b a cos 2222-+=，同理可得 B ac c a b cos 2222-+=， C ab B a c cos 2222-+=．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ．所以()()22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．同理可证：B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则A c AD cos =．图1图2所以，22222222(AC AD)AC AD 2AC AD BD a DC BD BD =+=-+=+-⋅+A bc c b AD AC BD AD AC cos 22-)(22222-+=⋅++=，即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==．所以)cos cos sin sin 2sin cos cos (sin 4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a ++=+= ]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=)]cos(sin sin 2sin [sin 4222C B C B C B R +++= A C R B R C R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin 4sin 42222-+=A bc c b cos 222-+=．同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．余弦定理也可以写成如下形式：bca cb A 2cos 222-+=，ca b a c B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用 1．例题．例1 在ABC ∆中，（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值．解（1）由余弦定理，得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，所以 7=a ．（2）因为b a c <<，所以B 为最大角，由余弦定理，得28576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ca b a c B ．例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得22222cos 2b a C ab b a c +<-+=即 222c b a >+；同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+． 2．练习．（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形（3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小．练习答案：（1）32π=A （2）B （3）32π=C 五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．1.2 余弦定理（2）教学目标：1. 掌握余弦定理．2. 进一步体会余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，体会数学中的转化思想．教学重点：余弦定理的应用；教学难点：运用余弦定理解决判断三角形形状的问题．教学过程：一、复习回顾余弦定理的两种形式（一）A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．（二）bca cb A 2cos 222-+=，ca b a c B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=．二、学生活动探讨实际生活中有哪些问题可以利用余弦定理来解决．三、数学应用 1．例题．例1A ，B 两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C ，测得182,126,m m CA CB ACB ==∠=︒，求A ，B 两地之间的距离（精确到1m ）．解由余弦定理，得18.2817863cos 1261822126182cos 2222≈︒⨯⨯-︒+︒=⋅-+=C CB CA CB CA AB 所以，)(168m AB ≈．答：A ，B 两地之间的距离约为168m ．例2 在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流．一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在h 1.0后到达江北岸B 码头．设为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东︒15，并与A 码头相距km 2.1．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到︒1.0，速度精确到0.1/km h ）？解如图，船按AD 方向开出，方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD ，其中)(5.01.05),(2.1km AC km AB =⨯==．在ABC ∆中，由余弦定理，得38.1)1590cos(5.02.125.02.1222≈︒-︒⨯⨯-+=BC所以)(17.1km BC AD ≈=．因此，船的航行速度为)/(7.111.017.1h km =÷．在ABC ∆中，由正弦定理，得sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠︒∠==≈，A BCAC所以 ︒≈∠4.24ABC所以 ︒≈︒-∠=∠-∠=∠4.915ABC NAB DAB DAN ．答：渡船应按北偏西︒4.9的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例3 在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断该三角形的形状．解由正弦定理及余弦定理，得ba B A =sin sin ，ab c b a C 2cos 222-+=，所以 abc b a b a 22222-+⨯=，整理，得 22c b =因为0,0>>c b ，所以c b =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例4 在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos =+，试判断ABC ∆的形状．解由C c B b A a cos cos cos =+及余弦定理，得abc b a c ca b a c b bc a c b a 222222222222-+⨯=-+⨯+-+⨯，整理，得2224)(b a c -=，即 222c b a =-或222c b a -=-，所以 222c b a +=或222b c a =+，所以 ABC ∆为直角三角形．例5 如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+=．证明：设,α=∠AMB 则α-︒=∠180AMC ，在ABC ∆中，由余弦定理，得αMCBAαcos 2222BM AM BM AM AB ⋅-+=．在ACM ∆中，由余弦定理，得)180cos(2222α-︒⋅-+=MC AM MC AM AC ．因为ααcos )180cos(-=-︒，BC MC BM 21==, 所以2222212BC AM AC AB +=+, 因此，222)(221BC AC AB AM -+=． 2. 练习．（1）在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么C cos 等于（） A ．32 B ．32- C ．31- D ．41- （2）如图，长7m 的梯子BC 靠在斜壁上，梯脚与壁基相距1.5m ，梯顶在沿着壁向上6m 的地方，求壁面和地面所成的角α(精确到︒1.0)．（3）在ABC ∆中，已知︒===60,3,2C b a ，试判断此三角形的形状．（4）在A B C ∆中，设CB ＝a ，AC＝ｂ，且|a |＝2，|ｂ|a ·求AB的长（精确到0.01）．练习答案：（1）D （2）︒7.126 （3）锐角三角形（4）1.88四、要点归纳与方法小结这节课，我们进一步学习了余弦定理在解三角形、几何问题、实际问题中的运用，对于三角形中边角关系，我们有了进一步地了解，在后面的学习中，我们将继续研究．1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）教学目标：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题； 2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；3．通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如．教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如．教学过程：一、复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法． 1．正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===；B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．2．正弦定理的变形：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =．3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角．4．余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：（1）已知三边求三内角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．二、例题（学生自主学习讨论后到黑板板演，教师规范解题格式）例1 如图，为了测量河对岸两点A ，B 之间的距离，在河岸这边取点C ，D ，测得∠ADC ＝85°，∠BDC ＝60°，∠ACD ＝47°，∠BCD ＝72°，CD ＝100m ．设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 之间的距离（精确到1 m ）．解在△ADC 中，∠ADC ＝85°，∠ACD ＝47°，则∠DAC ＝48°．又DC ＝100，由正弦定理，得sin 100sin85sin sin 48DC ADC AC DAC ∠︒==∠︒≈134.05（m ）．在△BDC 中，∠BDC ＝60°，∠BCD ＝72°，则∠DBC ＝48°．又DC ＝100，由正弦定理，得sin 100sin 60sin sin 48DC BDC BC DBC ∠︒==∠︒≈116.54（m ）．在△ABC 中，由余弦定理，得AB ２＝AC ２＋BC ２－2AC ·BC cos ∠ACB＝134.05２＋116.54２－2×134.05×116.54cos25°≈3233.95，所以 AB ≈57（m ）．答 A ，B 两点之间的距离约为57 m ．例2 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9n mile ／h 的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21n mile ／h 的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min ）．解设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则AB ＝21x ，BC ＝9x ，又AC ＝10，∠ACB ＝45°＋（180°－105°）＝120°．由余弦定理，得AB ２＝AC ２＋BC ２-2AC ·BC cos ∠ACB ，即（21x ）２＝10２＋（9x ）２－2×10⨯9x cos120°．化简，得36x ２－9x －10＝0，解得x ＝23（h ）＝40（min ）（负值舍去）．由正弦定理，得sin 9sin120sin 21BC ACB x BAC AB x ∠︒∠===，所以∠BAC ≈21.8°，方位角为45°＋21.8°＝66.8°．答舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮．例3 作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡．已知F 1＝30N ，F 2＝50N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，求F 3的大小与方向（精确到0.1°）．解 F 3应和F 1，F 2的合力F 平衡，所以F 3和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF 1F 中，由余弦定理，得70()F N ==．再由正弦定理，得150sin120sin 70FOF ︒∠== 所以∠F 1O F ≈38.2°，从而∠F 1OF 3≈141.8°．答 F 3为70N ，F 3和F 1间的夹角为141.8°．三、课题小结解斜三角形问题即用正余弦定理求解，已知三角形边角的三个量（至少一条边），即可求其余所有量，注意解的个数．四、练习课本P21习题1.3第2，4题．五、布置作业课本习题．1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）教学目标：1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有关的实际问题.2. 能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题.教学重点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．教学难点：正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．教学方法：讲练结合．教学过程：一、复习引入（一）主要知识：1. 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===． 2. 余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩3. 推论：正余弦定理的边角互换功能．① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R = ③ sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =4. 三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos ,B C A B C A +=+=-sin cos ,cos sin 2222B C A B C A ++== （二）总结解斜三角形的要求和常用方法：1. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角.2. 应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角.二、问题情境利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用．如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力．下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用．三、数学运用1．例题．例1．如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？学生活动：问题1：四边形怎么产生的呢？生：OA 是定的，B 动面积变．师：是的，四边形的面积由点B 的位置惟一确定，而点B 由AOB ∠惟一确定．问题2：如何求该四边形的面积？生：AOB ABC S S S ∆∆=+师：选什么作为自变量呢？生：四边形OACB 的面积随着()AOB α∠的变化而变化，可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.解设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.于是，四边形OACB 的面积为AOB ABC S S S ∆∆=+21sin 2OA OB AB α=⋅)121sin 54cos 2αα=⨯⨯⨯-sin αα=+2sin 3πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0απ<<，所以当32ππα-=时，56απ=，即56AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大.小结：将四边形OACB 的面积表示成α的函数，利用三角函数的有界性求出四边形OACB 面积的最大值.另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+的构造及逆用，应要求学生予以重视.例2 如图，有两条相交成60角的直线XX '、YY '，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解（1）设甲、乙两人起初的位置是A ，B ，则2222cos60AB OA OB OA OB =+-⋅ 2213123172=+-⨯⨯⨯=， ∴AB．∴．师：如何表示t 小时后两人的距离呢？生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P Q ,，则4AP t =，4BQ t =，当304t ≤≤时，2222(34)(14)2(34)(14)cos6048247PQ t t t t t t =-++--+=-+ ；当34t >时，2222(43)(14)2(43)(14)cos12048247PQ t t t t t t =-++--+=-+ ，所以，PQ =．（3）22214824748()44PQ t t t =-+=-+，∴当14t =时，即在第15分钟末，PQ 最短．答在第15分钟末，两人的距离最短．2．练习： X X 'Y Y '∙B Q P O A ∙ ∙ ∙如图，已知A ∠为定角，,P Q 分别在A ∠的两边上，PQ 为定长．当,P Q 位于什么位置时，APQ ∆的面积最大？师：三角形的面积怎么表示？解设,,,A PQ a AP x AQ y α∠====，其中,a α为定值， ∴1sin 2APQ S xy α= 师：α为定值，要求面积的最值，就是求xy 的最值，那么x 和y 有什么关系呢？ 2222cos a x y xy α=+-师：怎样得到xy 的最值呢？2222cos 22cos 2(1cos )a x y xy xy xy xy ααα=+-≥-=-1cos 0,α-> ∴2,2(1cos )a xy α≤- ∴21sin sin ,24(1cos )APQ a S xy ααα=≤- 当且仅当x y =时取等号． ∴AP AQ =时，APQ ∆的面积最大．小结：本题中用正弦定理表示APQ ∆的面积，然后用余弦定理找到x 和y 的关系式，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性．另外，本题还要利用基本不等式0,0)a b a b +≥>>．四、回顾小结通过本节学习，要求大家在了解正余弦定理在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力．第二章数列2.1数列（1）教学目标：1. 了解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学重点：1．理解数列的概念；2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学难点：1．理解数列是一种特殊的函数；2．会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式.教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题．教学过程：一、问题情境1．情境：剧场座位：20，22，24，26，28，．．．（1）彗星出现的年份：1740，1823，1906，1989，2072，．．．（2）细胞分裂的个数： 1，2，4，8，16，．．．（3） “一尺之棰” 每日剩下的部分： 1，12，14，18，116，．．．（4）各年树木的枝干数： 1，1，2，3，5，8，．．．（5）我国参加6次奥运会获金牌数：15，5，16，16，28，32．（6）2．问题：这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？二、学生活动思考问题，并理解顺序变化对这列数字的影响．三、建构数学1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，．．．，n a ，．．．，简记为{}n a ．2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．1a 称为数列{}n a 的第1项（或称为首项），2a 称为第2项，．．．，n a 称为第n 项．说明：数列的概念和记号{}n a 与集合概念和记号的区别：（1）数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；（2）数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．3．有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．数列是特殊的函数．在数列{}n a 中，对于每一个正整数n （或n ∈｛1，2，…,k ｝），都有一个数n a 与之对应．因此，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集｛1，2，…,k ｝）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数()y f x =，如果()f i （1,2,3i =，…）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，()f n ，…．（强调有序性）说明：数列的图象是一些离散的点．5．通项公式．一般地，如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．四、数学运用例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）1n n a n =+；（2）(1)2n n n a -=．例3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-；（4）0，2，0，2．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．数列的概念；2．求数列的通项公式的要领．2.1数列（2）教学目标：1. 进一步熟悉数列及其通项公式的概念；2．掌握数列通项公式的写法．教学重点：掌握数列通项公式的写法．教学难点：掌握数列通项公式的写法．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程：一、复习1.分别用列表法、图象法表示数列：我国参加6次奥运会获金牌数: 15，5，16，16，28，32．2.若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－3，试写出这个数列的前4项．3.已知一个数列的前4项分别为1，2，4，8，试写出这个数列的一个通项公式．二、例题剖析例1. 写出下列数列的一个通项公式：（1）1，4，9，16，…，（2）－1，3，－5，7，…，（3）13，45，97，169，…；（4）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯，…；（5）1，3，1，3，…；（6）1，1，1，3，1，5，1，7，…．2.2.1等差数列的概念教学目标：1.理解等差数列的概念，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要函数模型；2.能够利用等差数列的定义判断给定数列是否为等差数列；3.在探索活动中培养学生的观察、分析能力，培养由特殊到一般的归纳能力．教学重点：等差数列的概念．教学难点：对等差数列“等差”的特点的理解 .教学方法：启发式、研讨式．教学过程：一、问题情境1．情境：第23届到第28届奥运会举行的年份依次为：1984，1988，1992，1996，2000，2004；2．问题：这个数列有什么特点？二、学生活动1．让学生回顾书上本章第2.1节开始碰到的数列（初步体会等差数列的特点）；2．列举生活中的等差数列的实例（了解等差数列的定义）；3．分析、概括各种等差数列实例的共同特征．三、建构数学1．引导学生自己总结给出等差数列的含义（描述性概念）；2．给出等差中项的概念．四、数学运用2.2.2等差数列的通项公式教学目标：1. 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法；2. 掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；3. 理解等差数列的性质，能熟练运用等差数列的性质解决有关问题．教学重点：等差数列的通项公式，关键对通项公式含义的理解．教学难点：等差数列的性质和应用.教学方法：小组合作式，研讨式，启发式．教学过程：一、问题情境1．情境：观察等差数列{}n a4,7, 10,13,16，…,如何写出它的第100项呢？2．问题：设{}n a是一个首项为1a，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项n a吗？二、建构数学通过对引例的讲解使学生了解“叠加法”，引导学生自己总结得出等差数列的通项公式．三、数学运用1．例题.（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008年北京奥运会时第几届？2050年举行奥运会吗？例2 在等差数列{}n a 中，已知3910,28a a ==，求12a ．例3 已知等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，求首项1a 和公差d ．2．练习.课本P39-40练习 1，2，4，5，6．四、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．等差数列的通项公式；2．会用“叠加法”求等差数列的通项公式．2.2.3等差数列的前n项和（1）教学目标：要求学生掌握等差数列的求和公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题．教学重点：掌握等差数列的求和公式．教学难点：推导该公式的数学思想方法．教学方法：启发、讨论、引导式．教学过程：一、问题情境高斯计算从1一直加到100的和，这里的算法非常高明，回忆他是怎样算的．（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，……，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了．高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果．我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？二、学生活动由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义．提问：你能说出高斯解题的思想方法是什么吗？三、建构数学等差数列的前n项和公式；四、数学运用1．例题．。

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：模块复习精要模块综合检测 Word版含答案

(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x ) C ．f (x )<g (x )D ．随x 值变化而变化解析：选A 因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝b sin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝2sin 60°3＝22. 又a 0的解集为(－∞，1)∪(m ，＋∞)，则a ＋m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3a ，1×m ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，m ＝2，所以a ＋m ＝3，故选D. 4．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43D ．45解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则2a 1＋3d ＝13，∴d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.5．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得AB 2＋4－2·AB ×2×cos 60°＝7，解得AB ＝3或AB ＝－1(舍去)，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得12·BC ·x ＝12AB ·BC ·sin 60°，解得x ＝332，故选B.6．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为( )A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,10解析：选A 设A 工厂工作x 小时，B 工厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数为z ＝x ＋y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥40，x ≥0，y ≥0作出可行域如图所示，由图知当直线l ：y ＝－x＋z 过Q 点时，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝40，得Q (16,8)，故A 厂工作16小时，B 厂工作8小时，可使所费的总工作时数最少．7．若log 4(3x ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4ba ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.8．定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤2，则z ＝max{4x＋y,3x －y }的取值范围是( )A ．[－8,10]B ．[－7,10]C ．[－6,8]D ．[－7,8]解析：选B 做出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示．令4x ＋y ≥3x －y ，得x ≥－2y ，当x ≥－2y 时，z ＝4x ＋y ；当x <－2y 时，z ＝3x －y .在同一直角坐标系中作出直线x ＋2y ＝0的图象，如图所示．当(x ，y )在平面区域CDEF 内运动时(含边界区域)，此时x ≥－2y ，故z ＝4x ＋y ，可知目标函数z ＝4x ＋y 在D (2,2)时取到最大值10，在F (－2，1)时取到最小值－7；当(x ，y )在平面区域ABCF 内运动时(含边界区域但不含线段CF )，此时x <－2y ，故z ＝3x －y ，可知目标函数z ＝3x －y 在B (2，－2)时取到最大值8，在F (－2,1)时z ＝3x －y ＝－7，所以在此区域内－7<z ≤8.综上所述，z ＝max{4x ＋y,3x －y }∈[－7，10]，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．若不等式|2x ＋a |＜b 的解集为{x |1＜x ＜4}，则ab 等于________．解析：显然，当b ≤0时，不合题意，当b ＞0时，由|2x ＋a |＜b 可得－b ＜2x ＋a ＜b ，所以－b －a 2＜x ＜b －a2，因此⎩⎪⎨⎪⎧－b －a 2＝1，b －a2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝3，故ab ＝－15.答案：－1510．在数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，已知a 2＝3，a 3＝7，且数列{a n ＋1}是等比数列，则a 1＝________，a n ＝________，S n ＝________.解析：令x n ＝a n ＋1，则x 2＝4，x 3＝8，因为{a n ＋1}是等比数列，所以x n ＝2n ，即a n ＝2n－1，a 1＝1，S n ＝2(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案：1 2n －1 2n ＋1－2－n11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角．由余弦定理得，(x ＋4)2＝x 2＋(x －4)2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去)或x ＝10， ∴S △ABC ＝12×(10－4)×10×sin 120°＝15 3.答案：15 312．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .答案：－1n13．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则yx 的取值范围是________，z ＝x 2＋y 2xy的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，则A⎝⎛⎭⎫43，83，B (3,6)，C (3,1)，y x 的几何意义是区域上的点与坐标原点连线的斜率，所以k OC ≤y x ≤k AB ，即13≤yx≤2. 因为z ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ＝1k ＋k 在⎣⎡⎦⎤13，1单调递减，在[1,2]上单调递增，当k ＝13时，有z max ＝103.答案：⎣⎡⎦⎤13，2 10314．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A .若角B ＝π6，BC 边上的中线AM ＝7，则A ＝________，△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理及2b －3c 3a ＝cos C cos A 得2sin B －3sin C 3sin A ＝cos Ccos A ，整理得2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )＝3sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.又B ＝π6，∴a ＝b ，△ACM 中，由余弦定理得cos 2π3＝b 2＋b 24－7b 2＝－12，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S ＝12×2×2×32＝ 3. 答案：π6315．已知实数x ，y >0且xy ＝2，则x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8的最小值是________，此时x ＝________，y ＝________.解析：因为x ，y >0且xy ＝2，由于x 3＋8y 3x 2＋4y 2＋8＝(x ＋2y )(x 2－2xy ＋4y 2)x 2＋4y 2＋4xy＝(x ＋2y )[(x ＋2y )2－6xy ](x ＋2y )2＝(x ＋2y )2－12(x ＋2y )＝(x ＋2y )－12x ＋2y ，令x ＋2y ＝t ，则t ＝x ＋2y ≥22xy ＝4，有t －12t 在[4，＋∞)上单调递增，所以当t ＝4时有最小值4－124＝1，当且仅当x ＝2，y＝1时取等号．答案：1 2 1三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(14分)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝242，得12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.17．(15分)已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系，知－b 2＝5，c2＝0，所以b ＝－10，c ＝0，所以f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立．设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，所以g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，所以10＋t ≤0，即t ≤－10，所以t 的取值范围为(－∞，－10]．18．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n1－2n. 19．(15分)在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，所以cos A ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝AC sin A BC ＝12.因为A ＋B <180°，所以B ＝30°，所以C ＝90°. 因为D 是BC 的中点，所以DC ＝3，由勾股定理，得AD ＝AC 2＋DC 2＝21.(3)证明：因为12AD ·BC ＝12AB ·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝32，所以AB ·AC＝36.因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ，所以△ABC 为等边三角形．20．(15分)(全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.。

2018版高中数学苏教版必修五学案：1章末复习课

解三角形【学习目标】1•整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识2能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形.3 •能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题U知识梳理----------------------------知识点一正弦定理及其推论设厶ABC的外接圆半径为R,贝Ua1 ------- = = = .si nA2 • a ________ , b ______ .3 • sin A = _______ , sin B= ________ , sin C= ________ .4 .在△ ABC 中，A>B? ________ ? ________ .知识点二余弦定理及其推论. 2 .21. a = _________________ , b = ___________________ ,2C = _______________ .2. _______________ cos A= _________ ; cos B = ;cos C= ________ .3. 在△ ABC 中，c2= a2+ b2? C 为___________ ; c2>a2+ b2? C 为___________ ;c2<a2+ b2? C 为知识点三三角形面积公式1111. S=，ah a = ?bh b = ?ch c.1112. S= ?absin C = ?bcsin A= 2casin B.题型探究---------------------------类型一利用正弦、余弦定理解三角形例 1 如图，在△ ABC 中，AB= AC = 2, BC = 2*3,点 D 在BC 边上，/ ADC = 45° 求AD的长.反思与感悟解三角形的一般方法：(1) 已知两角和一边，如已知A、B和c,由A+ B + C =冗求C,由正弦定理求a、b.(2) 已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A + B + C= n求另一角.⑶已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B,由A+ B + C =冗求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.,-, n 1 跟踪训练1 如图，在厶ABC中，/ B =才，AB = 8,点D在BC边上，CD = 2, cos/ ADC =3 7(1) 求sin/ BAD ;(2) 求BD，AC 的长．类型二三角变换与解三角形的综合问题命题角度 1 三角形形状的判断例 2 在厶ABC 中，若(a2+ b2)s in (A—B) = (a2—b2) • sin(A+ B)，试判断厶ABC的形状.命题角度 2 三角形的边、角及面积的求解例3 △ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a = bcos C + csin B.(1)求B；⑵若b= 2,求厶ABC的面积的最大值.反思与感悟该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，在运用定理进行边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.跟踪训练2 在厶ABC中，a, b, c分别是三个内角A, B，C的对边，若a= 2, C =｛，cos4B=2二5,求厶ABC的面积S.2 5类型三正弦、余弦定理在实际中的应用例4某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，/ BAC = 60°在A地听到弹射声音的时间比在B地晚专秒•在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°求该仪器的垂直弹射高度CH （声音的传播速度为340米/秒）•H反思与感悟应用解三角形知识解决实际问题的步骤:(1) 分析题意，准确理解题意；(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3) 将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4) 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.跟踪训练3甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，当堂训练问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？B厂"规律与右法■----------------------------------1 .在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ ABC中，A>B等价于a>b等价于sin A>sin B.2 •根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1) 化边为角；(2) 化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3•正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用•运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.2. 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C,a b c3.2R 2R 2R4. a>b sin A>sin B知识点二2 2 2 2 2 21. b + c — 2bccosA c + a — 2cacos B a + b — 2abcosC b 2+ c 2— a 2 c 2+ a 2— b 2 a 2 + b 2—c 2 2. 2bc 2ca 2ab 3 .直角钝角锐角题型探究例1解在厶ABC 中，AB = AC = 2, BC = 2 3,_ BC 2+ AC 2— AB 2 cOs C =2BC A C 1•••sin c =2. 在厶ADC 中，由正弦定理，得 AD = ___ AC得 sin C sin / ADC ，••• AD = ：x 2= 221跟踪训练1 解 ⑴在厶ADC 中，因为cos / ADC =-,所以 sin /ADC = ^y 3.所以 sin / BAD = sin( / ADC — / B)=sin / ADC cos B — cos / ADC sin B答案精析知识梳理知识点一i.snB snc2R 由余弦定理，得迟1- 1X色刃37 2 7 2 14 -⑵在△ ABD中，由正弦定理，得3 38 X——'——ABsin/ BAD 14BD=' = ■— '= 3.sin / ADB 4羽7在厶ABC 中，由余弦定理，得AC2= AB2+ BC2—2AB BC cos B= 82+ 52- 2 X 8 X 5X*= 49,所以AC = 7.例 2 解•/ (a2+ b2)sin(A—B)2 2=(a —b )sin(A+ B),••• b2[si n(A + B) + si n(A —B)]=a2[si n(A + B)—si n(A —B)],2 2二2b sin Acos B= 2a cos Asin B, 即a2cos Asin B= b2sin Acos B.方法一由正弦定理知a= 2Rs in A, b = 2Rsi n B,•- sin Acos Asin B= sin Bsin Acos B,又sin Asin B 丰 0,•sin Acos A= sin Bcos B,•sin 2A = sin 2B.在厶ABC 中，0V2A V 2n 0< 2B v 2n,• 2A= 2B 或2A = n—2B,• A= B 或 A + B=才.•△ ABC为等腰三角形或直角三角形.由正弦定理、余弦定理，得方法••• a2(b2+ c2- a2)= b2(a2+ c2- b2),••• (a2—b2)(a2+ b2- c2)= 0,•a2—b2= 0 或a2+ b2—c2= 0.即 a = b 或a2+ b2= c2.•△ ABC为等腰三角形或直角三角形.例3解⑴由正弦定理a= 2Rsin A, b = 2Rsi n B,c= 2Rsin C,得2Rsin A= 2Rsi n Bcos C+ 2Rsin Csi n B.即sin A = sin Bcos C + sin Csin B.又A= n—(B + C),•• sin[ n- (B+ C)] = sin(B + C)=sin Bcos C+ sin Csi n B,即sin Bcos C+ cos Bsin C= sin Bcos C+ sin Csin B,•cos Bsi n C= sin Csi n B.■/ sin C 丰 0,• cos B= sin B且B为三角形内角,nB= —4'1 亚(2)S^ ABC = ?acsin B = ~ac,由正弦定理，得a =器=:"n A2=2 一2sin A,同理，c= 2 . 2sin C,• S^ABC =亍x 2 2sin A x 2 2sin C=2 . 2si n As in C=2 2sin As"(苧一A)3 n 3 n=2 2sin A(sin ycos A —cos ~sin A)2=2(sin Acos A+ sin A)=sin 2A + 1 —cos 2A=,2si n(2A-4) + 1.•.当2A —亍=n即A=护寸，S^ABC有最大值2 + 1.跟踪训练2 解因为cos B = 2cos1 2B—1 = 3,2 54故B为锐角，所以sin B = 5,所以sin A= sin( n—B—C)=sin.3n 3n 7 寸:=sin _cos B—cos ^sin B =asin C 101 1 1048所以&ABc=；；acsin B=：x2x x .2 2 7 5 7例4解由题意，设AC = x,2则BC = x—石X 340= x—40.在厶ABC中，由余弦定理，得BC2= BA2+ AC2— 2 BA AC cos/ BAC,即(x—40)2= 10 000 + x2—100x，解得x= 420.在Rt△ ACH 中，AC= 420, / CAH = 30°所以CH = AC tan/CAH = 140 .3.答该仪器的垂直弹射高度CH为140 3米.跟踪训练3 解设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A由正弦定理，得c= = v，sin A 7处需2小时.①当O W t v 2时，如图⑴，在厶APQ 中，AP = 8t, AQ = 20 —10t,所以PQ =-AQ2+ AP2—2AQ AP c os 120",20—10t 2+ 8t 2— 2 20—10t X 8t X —；= 84t2—240t + 400= 2 ‘21t2-60t + 100;②当t= 2 时，PQ = 8X 2= 16;③当t>2时，如图⑵, 在厶APQ 中，AP = 8t，AQ= 10t —20,••• PQ = ；AQ2+ AP2—2AQ APcos 60 °=2 21t2—60t + 100.综合①②③知,PQ = 2 21t2—60t+ 100(t > 0).30 10当且仅当t=岁=学时，PQ最小.答甲、乙两船行驶号小时后，相距最近.当堂训练1 •锐2.穿3.f(x)>0 4.解在厶ABC中，AC = AB = BCsin 厂sin 60 = sin 0+ 60化简得AC= 4 .3 sin 0米),BC= 4 .3 sin（0+ 60°（米）.当0= 105°时，AC= 4 3 sin 0= 4,3 sin 105 °=4 _3cos 15 （米）,BC= 4 .3 sin（+ 60°= 4 , 3sin 165=4 3sin 15 （米）.1所以& ABC = °AC BC sin 60 °=3 .3（平方米）.2 21 .在△ ABC中，关于x的方程(1 + x)sin A+ 2xsin B+ (1 —x )sin C = 0有两个不等的实根，则A为________ 角.(填“锐”，“直”，“钝”)2 .在△ ABC中，AB = 3, BC = 伍,AC= 4,则边AC上的高为______________________________________________________________ .3. __________________ 设a, b, c是厶ABC 的三条边，对任意实数x, f(x)= b2x2+ (b2+ c2—a2)x+c2,则f(x)与0 的大小关系为.4. 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面墙的夹角为60°即C= 60°且两面墙的长度足够大)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米)，记/ ABC = ©当0= 105°时，求所建造的三角形露天活动室的面积.。

苏教版高中数学必修五学案第三章不等式第课时(7)

第2课时学习要求1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理一些逆向问题．2.学会解决一些简单的整点问题．【课堂互动】自学评价１．不等式组表示的平面区域. ２．整点：.【精典范例】例1．画出下列不等式组所表示的区域(1)2124 y xx y ì?ïïíï+>ïî(2)4380 xyx yì>ïïï>íïï+-<ïïî【解】例 2.如图, △ABC三个顶点A(0 , 4) ,B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC内任一点(x , y)所满足的条件.思维点拔：1.二元一次不等式组表示平面区域的画图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，求交．2.由平面区域写不等式组，一要注意是否有等号，二要注意不要少写不等式．追踪训练一1.画出下列不等式组所表示的区域(1)231429x yx yxyì+?ïïïï+?ïíï³ïïï³ïî(2)3263239x yxy xy xì+?ïïïï<ïíï³ïïï?ïî(3)(x-y+1)(x+2y-2)>0听课随笔2.如图所示阴影部分可用二元一次不等式组表示 ( )A.1220y x y ì?ïïíï-+?ïîB.1220y x y ì?ïïíï-+?ïî C.02240x y x y ì£ïïï?íïï-+?ïïî D.02240x y x y ì£ïïï?íïï-+?ïïî例3利用平面区域求不等式组230236035150x y x y x y ì-->ïïï+-<íïï--<ïïî 的整数解.思维点拔：方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x的范围来确定整数x(4)再通过x 的整数值来定y 的整数值．方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证．追踪训练二在坐标平面上, 不等式组13||1y x y x ì?ïïíï?+ïî所表示的平面区域内整数点个数为 ( )A.１B. ２C. ３D. ４x 听课随笔【师生互动】。

【三维设计】高中数学第一部分第二章章末小结知识整合与阶段检测课件苏教版必修5

二、等差数列 1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差中项在两个数 a 与 b 间插入一个常数 A，使 a，A，b 成等 a＋b 差数列，则把 A 叫做 a 与 b 的等差中项．记作 A＝， 2 即 a＋b＝2A.
{an}为等比数列． (3)利用公式特征：通项公式 an＝f(n)＝cqn，其函数特征为常数与指数函数的乘积；前 n 项和公式 Sn＝ g(n)＝k(1－qn)(q≠1)，其特征是 qn 的系数与常数项互为相反数．
6．等比数列的常用性质 (1)an＝amq
n－m
或q
n－m
an ＝a (m，n∈N*)． m
[说明] d 2 等差数列的前 n 项和公式可化为 Sn＝2n
d ＋(a1－2)n，当 d≠0 时，它是关于 n 的二次函数；当 d＝0 时，它是关于 n 的一次函数．
5．判断或证明一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：若当n≥2，n∈N*时，有an－an－1＝d(d为
常数) 或当n≥1，n∈N*时，有an＋1－an＝d(d为常数)，则数列{an}是等差数列． (2)等差中项法：若2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则数列 {an }是等差数列． (3)函数法：若an＝kn＋b(k，b为常数)，或者Sn＝ An2＋Bn(A，B是常数)，则数列{an}是等差数列．
6．等差数列的常用性质 an－am (1)an＝am＋(n－m)d 或 d＝ (n≠m)； n－m (2)若{an}、{bn}是等差数列，则{c· an}、{c＋an}、 {pan＋qbn}等数列都是等差数列，其中 c，p，q 为常数；

高中数学第三章不等式疑难规律方法学案苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案

第三章不等式1 比较实数大小的方法实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考． 1．利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法．例1 已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．解 a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(ab 2＋bc 2＋ca 2) ＝(a 2b －ab 2)＋(b 2c －bc 2)＋(c 2a －ca 2) ＝ab (a －b )＋bc (b －c )＋ca (c －a )＝ab (a －b )＋bc [(b －a )＋(a －c )]＋ca (c －a ) ＝ab (a －b )＋bc (b －a )＋bc (a －c )＋ca (c －a ) ＝b (a －b )(a －c )＋c (a －c )(b －a ) ＝(a －b )(a －c )(b －c )．∵a b ⇔a b>1；a b ⇔ab<1.a 1；a ＝b ⇔ab＝1.作商比较法的基本步骤：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b，a b b a，(ab )a ＋b2三者的大小．解a ab b aba ＋b 2＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a >b >0时，a b>1，a －b >0，a －b2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.当0<a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.∴不论a >b >0还是0<a (ab )a ＋b2.同理：(ab )a ＋b2>a b b a.综上所述，a a b b>(ab )a ＋b2>a b b a.3．构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知a >b ，b >c ⇒a >c ，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较．例3 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析 a ＝log 3π>log 33＝1，∴a >1，b ＝log 23＝12log 23<12log 24＝1，∴b <1，c ＝log 32＝12log 32<12，∴a >b ，a >c .又b ＝log 23＝12log 23>12，∴b >c ，∴a >b >c . 答案 a >b >c4．特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案．这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解．一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向．例4 若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式： ①a 1b 1＋a 2b 2； ②a 1a 2＋b 1b 2； ③a 1b 2＋a 2b 1； ④12. 其中最大的值是________．(填序号) 解析特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. (注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略) 答案 ①5．利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断．例5 当0<a (1－a )b ；②(1＋a )a >(1＋b )b；③(1－a )b>(1－a )b2；④(1－a )a >(1－b )b.解析对于①，∵0<a b ，∴(1－a )1b<(1－a )b，①错误；对于②，∵函数y ＝(1＋a )x为R 上的单调递增函数， ∴(1＋a )a<(1＋a )b，又函数y ＝x b 在(0，＋∞)上为单调递增函数， ∴(1＋a )b<(1＋b )b，从而(1＋a )a<(1＋b )b，②错误；对于③，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，且b >b2，∴(1－a )b<(1－a )b2，③错误；对于④，∵函数y ＝(1－a )x为R 上的单调递减函数，且a (1－a )b，又函数y ＝x b为(0，＋∞)上的单调递增函数，且1－a >1－b >0，从而(1－a )b>(1－b )b， ∴(1－a )a>(1－b )b，④正确．答案 ④6．借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论．例6 设a 、b 、c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析由函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象(如图所示)知0<a <b <1<c .答案 a <b <c2 解一元二次不等式需“三看”不少同学解一元二次不等式时常出错，感到无法可依．鉴于此，本文从教学过程中，总结了切实可行的“三看”法．一看：二次项系数若二次项系数是实数时，对于二次项系数是负数的不等式，先将其化为正数．如解不等式－x 2－2x ＋8≥0时，可先将原不等式化为x 2＋2x －8≤0，此时，要注意改变不等号的方向，若二次项系数是代数式f (m )，一般要分f (m )＝0，f (m )≠0两种情况讨论．二看：判别式Δ的符号将不等式视作一元二次方程，利用方程的判别式Δ判断方程根的情况．如上例中，Δ>0，方程x 2＋2x －8＝0有两个根x 1＝2，x 2＝－4.我们对此法熟练时，可将“二看”归纳为(x －2)(x ＋4)≤0.三看：口诀“大于取两边，小于取中间”“大于取两边”指“一看”中转化后的不等式符号为大于时，其解集取根的两边：①有两不等实根x 1，x 2(x 1>x 2)，其解集为{x |x >x 1或x <x 2}；②有两相等实根x 1＝x 2，其解集为{x |x ≠x 1}；③没有实根，其解集为R .“小于取中间”指“一看”中转化后的不等式符号为小于时，其解集取根的中间：①有两不等实根x 1，x 2(x 1>x 2)，其解集为{x |x 2<x <x 1}；②有两相等实根或没有实根，其解集为∅.如上例的解集为{x |－4≤x ≤2}．例解不等式－x 2－3x ＋2<－6x －2. 解整理得x 2－3x －4>0，(一看) 所以(x －4)(x ＋1)>0，(二看)故不等式的解集是{x |x >4或x <－1}．(三看)点评运用“三看”法的关键是“二看”，上例中能对其因式分解，说明有两个根，就不必考虑判别式了.3 解含参不等式的利器——分类讨论解含参数的一元二次不等式，要把握分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数与0的关系；其次根据根是否存在，即根据Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小关系进行讨论．分类时要保证“不重不漏”，按同一标准进行划分后，不等式的解集的表达式是确定的． 1．对判别式“Δ”进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时，需要对判别式“Δ”进行讨论．例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R )．解对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，易知此时原不等式的解集为R . 2．对方程的解的大小进行讨论当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．例2 解关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1>0(a ∈R ，且a ≠0)．解原不等式可变形为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，易求得方程(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个解分别为x 1＝a和x 2＝1a，所以(1)当a >1a ，即a ∈(－1,0)∪(1，＋∞)时，原不等式的解集为{x |x <1a或x >a }；(2)当a ＝1a，即a ＝±1时，①若a ＝1，则原不等式的解集为{x |x ≠1}； ②若a ＝－1，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}；(3)当a <1a ，即a ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >1a}．3．对二次项系数进行讨论当含参数的不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论；其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行讨论．例3 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0. (1)当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}； (2)当a ≠0时，原不等式可变形为(ax －2)(x ＋1)≥0，方程(ax －2)(x ＋1)＝0的解为x 1＝2a，x 2＝－1.①当a >0时，2a>－1，所以原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}；②当a <0时，a ．当－2<a <0时，2a<－1，所以原不等式的解集为{x |2a≤x ≤－1}；b ．当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；c ．当a <－2时，2a>－1，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2a}．综上：当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，原不等式的解集为{x |x ≥2a或x ≤－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为{x |2a≤x ≤－1}；当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2a}．4．对含参的分式不等式转化后再讨论对含有参数的分式不等式，利用不等式的同解原理等价转化为一元二次不等式的形式后，再按照上面的方法分类讨论，逐类求解．例4 解不等式：x －k x ＋3x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0，当k ＝0时，原不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0，因为3k ＋2k ＝3＋2k>3>2，所以－3k ＋2k<－2.所以x <－3k ＋2k或x >－2.故不等式的解集为{x |x >－2或x <－3k ＋2k}．当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3k ＋2k <0，由于(－2)－⎝⎛⎭⎪⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k. 所以当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k，不等式的解集为{x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0，不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k. 不等式的解集为{x |－3k ＋2k<x <－2}．综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为{x |x <－3k ＋2k或x >－2}；当－2<k <0时，不等式的解集为 {x |－2<x <－3k ＋2k}；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为{x |－3k ＋2k<x <－2}．回顾与提升含有参数的一元二次不等式，问题看似简单，但因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：①讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．②讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这一类，问题就不能顺利解决． ③考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论.4 一元二次不等式恒成立问题的求解策略含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一．下面结合例子，介绍几种常用的求解策略：1．利用一元二次不等式的判别式求解代数式ax 2＋bx ＋c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.例1 已知不等式kx 2＋kx ＋6x 2＋x ＋2>2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围．解 ∵x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0.∴原不等式等价于kx 2＋kx ＋6>2x 2＋2x ＋4，即(k －2)x 2＋(k －2)x ＋2>0. 当k ＝2时，2>0，结论显然成立；当k ≠2时，k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，Δ＝k －22－4×2k －2<0，解得2<k <10.综上所述，k 的取值范围是2≤k <10.2．转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地，f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立；f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立．例2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2，则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立，∴a <－1.当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∵－1≤a ≤1，∴－1≤a <1.当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∵a >1，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 3．利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )＝kx ＋b ，x ∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f α>0fβ>0；此线段恒在x轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧fα<0fβ<0；此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1<x (m 2－1)恒成立，试求m 的取值范围．解设f (x )＝(m 2－1)x ＋(1－2m )，则原不等式恒成立 ⇔f (x )>0，x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，m 2－2m >0⇔m <0.即m 的取值范围为(－∞，0)． 4．分离参数后，利用基本不等式求解如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围．解不等式f (x )>a ⇔x 2＋ax ＋3>a ⇔x 2＋3>a (1－x )，x ∈[－1,1]．∵－1≤x ≤1，∴0≤1－x ≤2.当x ＝1时，1－x ＝0，x 2＋3>a (1－x )对一切a ∈R 恒成立；当x ≠1时，0<1－x ≤2，则a <x 2＋31－x .∵x 2＋31－x＝1－x 2－21－x ＋41－x＝(1－x )＋41－x －2≥2 1－x ·41－x－2＝2.当且仅当1－x ＝41－x ，即x ＝－1时，取到等号．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋31－x min＝2.从而a <2. 综上所述，a 的取值范围为(－∞，2).5 线性规划中的一题多变求解线性规划问题的一般步骤：先把线性目标函数z ＝ax ＋by 变形为ax ＋by －z ＝0，确定z 是直线ax ＋by －z ＝0在坐标轴上的截距或与截距相关的量，然后结合图形求出z 的最值．其中关键是确定z 的几何意义，在不同的问题中，z 呈现不同的几何意义，但都与斜率相关，下面就通过一个例题及其变式，给同学们展示一下z .例设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x ＋y －z ＝0，它表示斜率为－2的一族平行线，z 是直线在y 轴上的截距．当直线过点M 时，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＝0，得M (1,1)，代入z ＝2x ＋y ，得z min ＝3. 答案 3点评确定了z 的几何意义后，一般先作出一族平行线中过原点的直线，然后平移该直线，结合图象直观确定最优解．变式1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为x ＋2y －z ＝0，它表示斜率为－12的一族平行线，z 是直线在x 轴上的截距．当直线过点N 时，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －6＝0，得N (2,0)，代入z ＝x ＋2y ，得z min ＝2. 答案 2点评确定z 的几何意义的原则：越简单越直接越好．变式2 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为________．解析作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x －y －z ＝0，它表示斜率为2的一族平行线，－z 是直线在y 轴上的截距．当直线过点M 时，－z 取得最大值，此时z 的值最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得M (1,1)，代入z ＝2x －y ，得z min ＝1. 答案 1点评当z 不是直线在坐标轴上的截距时，往往先求截距取得相应最值的最优解，再求目标函数的最值．变式3 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析作出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数可化为2x ＋3y －z ＝0，它表示斜率为－23的一族平行线，z3是直线在y 轴上的截距，当z3取得最小值时，此时z 的值最小．当直线过点N 时，z3取得最小值，此时z 的值也最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y －6＝0，得N (2,0)，代入z ＝2x ＋3y ，得z min ＝4. 答案 4点评求直线在坐标轴上的截距mz 的最值时，要注意m 的符号.6 求最优解为整点的方法处理实际问题中的最优解时，有时需满足x ，y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面举例探讨整点最优解的方法． 1．平移法在可行域内找整点最优解，一般采用平移法，即打网格，描整点，平移直线，找出最优解．先按“平移法”求出非整点最优解及最值，再调整最值，最后筛选出整点最优解．例1 某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人、大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次、大巴为3次，每次运输成本小巴为48元，大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？分析可以填表理解题意．这样便于列约束条件和目标函数．辆数载人数往返次数每次成本大巴小巴解设每天派出小巴x 辆、大巴y 辆，总运费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧5×16x ＋3×32y ≥480，0≤x ≤7，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，目标函数z ＝240x ＋180y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分的整点．作出直线l ：240x ＋180y ＝0，即4x ＋3y ＝0，把直线l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y 轴上的截距最小．观察图象，可知当直线l 经过点B (2,4)时，满足上述要求．此时，z ＝240x ＋180y 取得最小值，即当x ＝2，y ＝4时，z min ＝240×2＋180×4＝1 200(元)．答每天派2辆小巴、4辆大巴时总费用最少．点评用平移法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f (x ，y )＝t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网格法”先作出可行域中的各整点． 2．检验法由于作图难免有误差，所以仅靠图象不一定能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一检验．例2 现有一根长4 000 mm 的条形高新材料，需要将其截成长分别为518 mm 与698 mm 的甲、乙两种零件毛坯，求高新材料的最大利用率．解设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，高新材料的利用率为P ，则线性约束条件为518x ＋698y ≤4 000，其中x 、y ∈N ，目标函数为P ＝518x ＋698y4 000×100%，可行域是图中阴影部分的整点，目标函数表示与直线518x ＋698y ＝4 000平行的直线系．所以使P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x ＋698y ＝4 000的整点坐标．如图可得点(0,5)，(1,4)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,2)，(6,1)，(7,0)都可能是最优解，逐一代入目标函数，可知当x ＝5，y ＝2时，P max ＝99.65%.答当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根时，高新材料的利用率最大，且最大为99.65%. 点评解线性规划问题作图时应尽可能精确，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优解并不十分明显时，不妨将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一进行检验，确定整点最优解．基本不等式的推广“a 2＋b 2≥±2ab ”是一个简单而公认的不等式，但是利用它，通过变形、引申可以方便地证明一些已有定理．如：定理1：若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，则有a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，式中等号成立，由基本不等式a 2＋b 2≥2ab 有2a 2＋2b 2≥2ab ＋a 2＋b 2a 2＋b 22≥a ＋b24＝(a ＋b2)2①我们猜想会不会有下式成立a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c3)2②∵(a ＋b ＋c )2＋(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝3(a 2＋b 2＋c 2) ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c3)2③仿③式证明定理1证明 ∵(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )2＋(a 1－a 2)2＋(a 1－a 3)2＋…＋(a 1－a n )2＋(a 2－a 3)2＋(a 2－a 4)2＋…＋(a 2－a n )2＋(a 3－a 4)2＋…＋(a n －1－a n )2＝n (a 21＋a 22＋a 23＋a 2n )， ∴n (a 21＋a 22＋a 23＋a 24…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n )2，即a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2，定理1成立，定理1的另一种形式是：|a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn |≤a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2nn.定理2：若a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥n na 1a 2a 3…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等式成立．设a ，b 是正实数，从最简不等式a 2＋b 2≥2ab 降次，则有a ＋b ≥2ab ，设a ，b ，c 是正实数，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立吗？证明 ∵a ，b ，c 是正实数，∴(a 3＋b 3)＋(c 3＋abc )≥2a 3b 3＋2c 3abc ≥4a 3b 3c 3abc ＝4abc ，∴a 3＋b 3＋c 2≥3abc .上述不等式降次则有a ，b ，c 是正实数，a ＋b ＋c ≥33abc .实际上，基本不等式还有很多角度不同的推广，也有不少巧妙的应用，有兴趣的同学不妨搜一搜，或者自己做些尝试．7 例析以线性规划为载体的交汇问题1．线性规划与函数交汇例 1 设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是________．解析作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2， ∴2≤a ≤9. 答案 [2,9]点评准确作出可行域，熟知指数函数y ＝a x的图象特征是解决本题的关键． 2．线性规划与概率交汇例2 两人约定下午4点到5点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人20分钟，过时就离去．请问这两个人能见面的概率有多大？解用x 、y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有|x －y |≤20，又0≤x ≤60,0≤y ≤60，即有⎩⎪⎨⎪⎧x －y －20≤0，x －y ＋20≥0，0≤x ≤60，0≤y ≤60，作出点(x ，y )的可行域如图中阴影部分，由图知，两人能见面的概率为阴影部分的面积与大正方形的面积之比，所以所求概率为P ＝602－40×40602＝59. 点评这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了．3．线性规划与一元二次方程交汇例3 已知方程x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，则ba的取值范围是__________．解析令f (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1＋a ＋b ，并且0<x 1<1<x 2，则由题意知函数f (x )在(0,1)及(1，＋∞)内各有一个零点，得⎩⎪⎨⎪⎧f0>0，f 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋4<0.作出可行域，如图所示．而令k ＝ba，则表示可行域内的点与原点连线的斜率．设M (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0＋4＝0，得M (－3,2)，k OM ＝－23，结合图可知－2<k <－23，故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23点评本题以一元二次方程的根的范围为背景，并通过与二次函数的联系转化为关于a 、b 的线性约束条件来求解．其中理解ba表示可行域内的点与原点连线的斜率是解题的关键． 4．线性规划与圆交汇例4 若{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，求实数m 的取值范围．解设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0x ＋y ≥0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以坐标原点为圆心，m 为半径的圆及其内部，由A ⊆B ，得m ≥PO ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即P (3,4)，∴PO ＝5，即m ≥5.点评集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤m 2(m >0)}的几何含义是以原点(0,0)为圆心，m 为半径的圆及其内部区域．5．线性规划与平面向量交汇例5 已知O 为坐标原点，定点A (3,4)，动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ＋1≥xx ＋y ≤3，则向量OP →在OA →上的投影的取值范围是________．解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ＋1≥xx ＋y ≤3所表示的平面区域，如图所示，向量OP →在向量OA →上的投影为 |OP →|cos∠AOP ＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y5，令z ＝3x ＋4y ，易知直线3x ＋4y ＝z 过点G (1,0)时，z min ＝3；直线3x ＋4y ＝z 过点N (1,2)时，z max ＝11. ∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5min ＝35，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 5max ＝115.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115点评向量OP →在OA →上的投影：|OP →|·cos〈OP →，OA →〉＝|OP →|·OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝OP →·OA →|OA →|＝3x ＋4y 5.清楚这一点对解答本题至关重要．8 a 2＋b 2≥2ab 的四“变”如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．该结论利用作差法极易证明．下面给出其四个重要的变式及应用．变式1 如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．证明见教材证明．例1 若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是________．解析 3a＋3b≥23a×3b＝23a ＋b＝232＝6.当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案 6变式2 如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．证明因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |，所以a 2＋b 2≥2|ab |，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立．例2 若实数x ，y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5，设S ＝x 2＋y 2，则1S max ＋1S min＝________.解析由x 2＋y 2≥2|xy |，得－x 2＋y 22≤xy ≤x 2＋y 22，则－5x 2＋y 22≤－5xy ≤5x 2＋y22，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立．则3x 2＋y 22≤4x 2－5xy ＋4y 2≤13x 2＋y 22，即32S ≤5≤132S ，所以1013≤S ≤103，于是S max ＝103，S min ＝1013，故1S max ＋1S min ＝85.答案 85变式3 若a ，b ∈R ，那么(a ＋b )2≥4ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．证明因为a 2＋b 2≥2ab ，所以a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，即(a ＋b )2≥4ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．例3 若正数a ，b 满足ab －8＝a ＋b ，则ab 的最小值为____________________________．解析由条件，得ab －8＝a ＋b >0，则(ab )2－16ab ＋64＝(a ＋b )2，又因为(a ＋b )2≥4ab ，则(ab )2－20ab ＋64≥0，又ab >8，解得ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝4时，等号成立，所以ab 的最小值为16. 答案 16变式4 若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥a ＋b22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．证明 a 2＋b 2－a ＋b22＝a －b22≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a 2＋b 2≥a ＋b22.例4 若a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值是________．解析由变式4，得a 2＋b 2≥22(a ＋b )， b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )＝22×2＝ 2.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．故最小值为 2. 答案29 运用基本不等式求最值的7种常见技巧在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要作一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明． 1．凑和为定值例1 若a 、b 、c >0，且2a ＋b ＋c ＝6，则a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为________．分析注意a (a ＋b ＋c )＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )，而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值．解析 ∵a (a ＋b ＋c )＋bc ＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a 2＋ac )＋(ab ＋bc )＝a (a ＋c )＋b (a ＋c ) ＝(a ＋b )(a ＋c )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋a ＋c 22＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.当且仅当a ＋b ＝a ＋c ＝62时，取“＝”， ∴a (a ＋b ＋c )＋bc 的最大值为32.答案 322．凑积为定值例2 设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a a －b －10ac ＋25c 2的最小值是________．分析注意到2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝a 2－ab ＋1aa －b ＋ab ＋1ab＋a 2－10ac ＋25c 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤aa －b ＋1a a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋(a －5c )2然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最值．由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件．解析 ∵a >b >c >0，∴原式＝a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＋a 2＝a 2－ab ＋1aa －b＋ab＋1ab＋(a －5c )2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a (a －b )＝1，ab ＝1，a －5c ＝0时取等号．即当a＝2，b ＝22，c ＝25时，所求代数式的最小值为4. 答案 43．化负为正例3 已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．分析因为4x －5<0，所以要先“调整”符号，又(4x －2)·14x －5不是常数，所以对4x －2要添项“配凑”．解 ∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. 4．和积互“化”例4 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________．分析可以利用基本不等式的变形形式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22进行和或积的代换，这种代换目的是消除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质．解析方法一 ∵x >0，y >0， ∴xy ＝12·(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，∴2x ＋y ＋6＝(2x ＋y )＋6≤18(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2－8(2x ＋y )－48≥0，令2x ＋y ＝t ，t >0，则t 2－8t －48≥0， ∴(t －12)(t ＋4)≥0， ∴t ≥12，即2x ＋y ≥12.方法二由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18，∵2x ＋y ＝xy －6，∴2x ＋y 的最小值为12. 答案 12 5．消元法例5 若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．分析从ab ＝a ＋b ＋3中解出b ，即用a 的代数式表示b ，则ab 可以用a 来表示，再求关于a 的代数式的最值即可．解析 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b (a －1)＝a ＋3. ∵a >0，b >0，∴a －1>0，∴a >1.∴b ＝a ＋3a －1. ∴ab ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3a －1＝a 2＋3a a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5. ∵a >1，∴a －1＋4a －1≥2 a －1·4a －1＝4，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号，此时b ＝3，∴ab ≥9. ∴ab 的最小值为9. 答案 9 6．平方法例6 若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，求x 6＋2y 2的最大值．分析仔细观察题目已知式中x 与y 都是二次的，而所求式中x 是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把x 6＋2y 2平方，则豁然开朗，思路就在眼前了．解 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 23 ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为932.7．换元法例7 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105x －402，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？解设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －50)·P ＝105x －50x －402.令x －50＝t ，∴y ＝105tt ＋102＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500. 答销售价格每件应定为60元．10 不等式易错备忘录1．多次非同解变形，导致所求范围扩大而致错例1 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的范围是________．[错解] 由于f (－2)＝4a －2b ，要求f (－2)的范围，可先求a 与b 的范围．由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②两式相加得32≤a ≤3，又－2≤b －a ≤－1，③②式与③式相加得0≤b ≤32.∴6≤4a ≤12，－3≤－2b ≤0.∴3≤4a －2b ≤12. 即3≤f (－2)≤12.[点拨] 这种解法看似正确，实则使f (－2)的范围扩大了，事实上，这里f (－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32时才能使4a －2b ＝3，而此时a －b ＝0，不满足①式．同理可验证4a －2b 也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a ，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．[正解] 方法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b f 1＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f 1＋f －1]b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)] ＝3f (－1)＋f (1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤f (－2)≤10. 方法二数形结合法在坐标平面aOb 上，作出直线a ＋b ＝2，a ＋b ＝4，a －b ＝1，a －b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ＋b ≤41≤a －b ≤2表示平面上的阴影部分(包括边界)，如图所示．令m ＝4a －2b ，则b ＝2a －m2.显然m 为直线系4a －2b ＝m 在b 轴上截距2倍的相反数．当直线b ＝2a －m 2过阴影部分中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，m 取得最小值5；过点C (3,1)时，m 取得最大值10.∴f (－2)∈[5,10]．温馨点评利用不等式的变换求取值范围时，要使变换符合等价性.像此类题一般是运用待定系数法或线性规划中最优解方法求解.切勿像误区中解法那样先求a 、b 的范围，再求f －2的范围，这样求出的范围会扩大. 2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04－4a 2<0，∴a >1.[错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0，∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的． [正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ，a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，则代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1a≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.温馨点评函数的定义域为R 与函数的值域为R 是两个不同的问题，处理方法截然不同，在学习中要注意区分这类“貌似而实质迥异”的问题.3．忽略截距与目标函数值的关系而致错例3 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值． [错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14；z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；。

高中数学三维设计苏教版必修5讲义：第三章+3.4 基本不等式

基本不等式[新知初探]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，把ab 称为正数a ，b 的几何平均数．(2)基本不等式定义：如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时取“＝”． (3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[点睛] 基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b2.3．设x ，y 为正实数(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .[小试身手]1．若x >0，则x ＋4x 的最小值为________．解析：∵x >0，∴x ＋4x ≥4.答案：42．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值是________．解析：∵x ，y ∈(0，＋∞)，则1＝x ＋4y ≥4xy ，即xy ≤116，当且仅当x ＝12，y ＝18时等号成立．答案：1163．实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y 的最小值是________．解析：利用基本不等式可得 3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x＋2y.∵x ＋2y ＝2，∴3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y ，即x ＝1，y ＝12时取等号．答案：64．给出下面结论： ①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2； ②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ； ③若x ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4. 其中正确结论的序号是________．解析：①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]，所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0，即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪4x ＝4成立．答案：①③[典例] (1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R .所以P <Q <R .[答案] (1)m >n (2)P <Q <R[活学活用]已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )，同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )，所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.[典例] 已知a ，b ，c 均为正实数，求证：a ＋2b ＋＋2b －3c3c ≥3.[证明] ∵a ，b ，c 均为正实数，∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，3c a ＋a3c ≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．[活学活用]已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.[典例] (1)(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．[解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[活学活用](1)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．(2)已知x >54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最小值．解：(1)∵0<x <13，∴1－3x >0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当x ＝16时，函数y ＝x (1－3x )取得最大值112.(2)∵x >54，∴4x －5>0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ≥2(4x －5)·14x －5＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．∴当x ＝32时，y 取最小值为5.[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x×90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．[活学活用]某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－⎝⎛⎭⎫x＋25x，而x>0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：58层级一学业水平达标1．设x>0，则y＝3－3x－1x的最大值是________．解析：y＝3－3x－1x＝3－⎝⎛⎭⎫3x＋1x≤3－23x·1x＝3－23，当且仅当3x＝1x，即x＝33时取等号．答案：3－2 32．若2x ＋y ＝4，则4x ＋2y 的最小值为________．解析：4x ＋2y ＝22x ＋2y ≥222x ·2y ＝222x ＋y ＝224＝8.当且仅当2x ＝y ＝2，即x ＝1，y＝2时等号成立．答案：83．若对于任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x >0，所以x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：a ≥154．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库与车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x .∴2＝k 110，8＝k 2·10.∴k 1＝20，k 2＝45.∴y ＝20x ＋45x .∵20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．∴x ＝5千米时，y 取得最小值．答案：55．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4.答案：46．若0<a <1,02ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以四个数中最大的数应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又因为0<a <1,00，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n 2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为________．解析：因为a >0，b >0，由题知2a ＋1b ≥n 2a ＋b ，即⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )≥n ，又⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝4＋2b a ＋2ab＋1＝5＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当a ＝b 时等号成立，故n ≤9.故n 的最大值为9.答案：98．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.答案：(－4,2)9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时取等号. 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9 ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解：(1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝⎛⎭⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1 800x －6 ＝a ⎝⎛⎭⎫5 400x －16＝x －63⎝⎛⎭⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3(x >0)． (2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352.当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．层级二应试能力达标1．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：由基本不等式性质，f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在4x ＝a x ，即x 2＝a4时取得最小值，由于x >0，a >0，再根据已知可得a4＝32，故a ＝36.答案：362．已知a >0，且b >0，若2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为________．解析：由题中条件知，1ab ＝44ab ＝2a ＋b 4ab ＝12b ＋14a ≥212b ·14a，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立，故1a 2b 2≥4·12b ·14a ，即1ab ≥12.答案：123．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是________．解析：因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．答案：44．已知x >1，则函数y ＝x ＋9xx －1的值域为________．解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1＋10≥2x －1·9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，y 取最小值16，∴函数y＝x ＋9xx －1的值域为[16，＋∞)．答案：[16，＋∞)5．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．解析：由题知，1y ＋3x ＝5，即15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·1＝(3x ＋4y )·⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ＝135＋⎝⎛⎭⎫3x 5y ＋12y 5x ，因为x ，y >0，由基本不等式得135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23625＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．答案：56．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析：依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105. 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105. 答案：21057．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1>0，x 2>0，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明．证明：∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，又∵x 1>0，x 2>0，∴x 1x 2≤⎝⎛⎫x 1＋x 222， ∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222， ∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22，即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．8．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值．解：z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋(x ＋y )2－2xy xy＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝⎛⎦⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254.(时间120分钟满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．不等式x 2<1的解集为________．解析：x 2<1，则－1<x <1，所以不等式的解集为{x |－1<x <1}．答案：{x |－1<x <1}2．若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4>0的解集为{x |－1<x <2}，则m 的值为________．解析：由已知得－1,2是方程mx 2＋2x ＋4＝0的两个根， ∴－1＋2＝－2m .∴m ＝－2. 答案：－23．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x)>0的解集为_____．解析：因为一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12<0，即10x <12，x <－lg 2. 答案：{x |x <－lg 2}4．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．解析：根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋1≤0无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1>0，所以－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0.答案：(－1,0]5．已知x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，1x ＋4y 的最小值为16，则n 的值为________．解析：因为x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，所以1x ＋4y ＝(nx ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝n ＋4＋y x ＋4nx y ＝n ＋4＋2y x ·4nxy ＝n ＋4＋4n ，当且仅当y ＝2nx 时取等号．所以n ＋4＋4n ＝16，解得n ＝4.答案：46．在条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，x －y ≥1.下，z ＝(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．解析：由约束条件作出可行域如图．目标函数表示点(x ，y )与点M (1,1)的距离的开方．由图可知，z 的最小值为点M 与直线x －y ＝1的距离的平方．即z min ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤|1－1－1|22＝12.z 的最大值为点M (1,1)与点B (2,0)的距离的平方：即z max ＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2. 答案：⎣⎡⎦⎤12，27．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．解析：∵a ，b 的等比中项是1，∴ab ＝1. ∴1a ＝b ，1b ＝a ，又a >0，b >0， ∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅且a ＝b ＝1时取等号． ∴m ＋n 的最小值是4. 答案：48．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ＝2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4. (当且仅当a ＝b 时取等号) 答案：49．某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6.则该校招聘的教师最多是________名．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10.答案：1010．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解析：由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24.所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233.当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233.答案：23311．函数f (x )＝2x ＋14x 2＋1(x >0)的最大值为________．解析：令t ＝2x ＋1(t >1)，原式＝t t 2－2t ＋2＝1t ＋2t －2①，因为t ＋2t ≥22(当且仅当t ＝2取等号)，所以①式≤122－2＝2＋12，故函数f (x )的最大值为2＋12.答案：2＋1212.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为______(m)．解析：设矩形宽为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x >0，y >0，x <40，y <40⇒40＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20时，矩形的面积S ＝xy 取最大值400.答案：2013．已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：依题意得2b －a (b －3)＝0，即2a ＋3b ＝1,2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值为25.答案：25二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2x －6≤1，2x 2－x －1>0. 解：3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2,6)，2x 2－x －1>0⇒(2x ＋1)(x －1)>0 ⇒x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)，所以，原不等式组的解为x ∈⎣⎡⎭⎫－2，－12∪(1,6)． 16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6， (1)当a ＝5时，解不等式f (x )<0；(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝5时，f (x )＝x 2＋5x ＋6，由f (x )<0，得x 2＋5x ＋6<0.即(x ＋2)(x ＋3)<0. ∴－3<x <－2.(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，则有Δ＝a 2－4×6<0，解得－26<a <2 6.所以实数a 的取值范围是(－26，26)．17．(本小题满分14分)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2. 故所求a 的取值范围为(－4,2)．18．(本小题满分16分)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD (AB >AD )为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB ′交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能．(1)设AB ＝x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？解：(1)由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x . 因x >2－x ，故1<x <2. 设DP ＝y ，则PC ＝x －y .因△ADP ≌△CB ′P ，故PA ＝PC ＝x －y . 由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，化简得y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1<x <2. (2)记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22，当且仅当x ＝2∈(1,2)时，S 1取得最大值．答：当薄板长为2米，宽为2－2米时，节能效果最好．19．(本小题满分16分)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . 二元一次不等式组等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.解得x ＝100，y ＝200.即点M 的坐标为(100,200)，所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．20．(本小题满分16分)已知不等式x 2－4x ＋3<0的解集是A ， (1)求集合A .(2)函数f (x )＝log 2(a －x )(a ∈R)的定义域为集合B ，若A ⊆B 求a 的取值范围． (3)不等式ax 2－2x －2a >0(a ∈R 且a ≠0)的解集为C ，若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)由x 2－4x ＋3<0得， (x －1)(x －3)<0. ∴1<x <3. ∴A ＝{x |1<x <3}．(2)由f (x )＝log 2(a －x )得，a －x >0， ∴x <a .∴B ＝{x |x <a }若A ⊆B ，则a ≥3，即a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)设g (x )＝ax 2－2x －2a ，①当a >0时，若A ∩C ≠∅，则g (3)>0， ∴9a －6－2a >0.∴a >67.②当a <0时，若A ∩C ≠∅，则g (1)>0. ∴a －2－2a >0.∴a <－2.综上：a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义：模块复习精要-复习课(二)数-列

复习课(二) 数列对应学生用书P58等差数列与等比数列的基本运算数列的基本运算以小题出现具多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n 项和等，一般试题难度较小．[考点精要]1．等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. (3)前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝(a 1＋a n )n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题． 2．等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).(3)等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，则S n 可表示为S n ＝k ·q n ＋b ，(k ≠0，且k ＋b ＝0)．[典例] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[解] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，故b n ＝5·2n －3. (2)证明：由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．[类题通法]在等差(或等比)数列中，首项a 1与公差d (或公比q )是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 或等比数列中的五个量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用S n 求a n 时，要注意验证n ＝1是否成立．[题组训练]1．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( ) A.634 B ．16 C ．15D.614解析：选A 设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2a 3＝a 1a 4＝2a 1，则a 4＝2；由a 4与2a 7的等差中项为17知，a 4＋2a 7＝2×17＝34，得a 7＝16.∴q 3＝a 7a 4＝8，即q ＝2，∴a 1＝a 4q 3＝14，则S 6＝14(1－26)1－2＝634，故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13，S 7＝7(a 1＋a 1＋6d )2＝35.联立两式，解得a 1＝2，d ＝1，∴a 7＝a 1＋6d ＝8.答案：83．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.⎝⎛⎭⎫其中12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1) (1)求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，并求S n ；(2)若b n ＝1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)证明：1S 1＝1a 1＝－1.因为S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1、公差为－1的等差数列，所以1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，故S n ＝－1n .(2)b 1＝1a 1n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，b n ＝n 2－n .所以T 1n ≥2时，T n ＝－1＋(22＋32＋…＋n 2)－(2＋3＋…＋n ) ＝－1＋(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝－1＋16n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n ＋1)＝－1＋13n (n ＋1)(n －1)．故T n ＝－1＋13n (n ＋1)(n －1).等差、等比数列的性质及应用等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n 项和的性质．利用性质求数列中某一项等，试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，一般难度较小．[考点精要]等差数列的性质等比数列的性质若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *) 则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *) 则a m ·a n ＝a p ·a q特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2pa m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，…仍是等差数列，公差为kda m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，…仍是等比数列，公比为q k若{a n }，{b n }是两个项数相同的等差数列，则{pa n ＋qb n }仍是等差数列若{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则{pa n ·qb n }仍是等比数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数) 若数列{a n }项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1若数列{a n }项数为2n ，则S 偶S 奇＝q若数列{a n }项数为2n ＋1，则S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n 若数列{a n }项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q[典例] (1)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示数列{a n }的前n 项和，则使得S n 取得最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18(2)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________. [解析] (1)由a 1＋a 3＋a 5＝105得，3a 3＝105， ∴a 3＝35. 同理可得a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2) ＝41－2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得n ＝20. ∴使S n 达到最大值的n 是20.(2)因为{a n }为等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m，则22m －1＝128，故m ＝4. [答案] (1)B (2)4 [类题通法]关于等差(比)数列性质的应用问题，可以直接构造关于首项a 1和公差d (公比q )的方程或方程组来求解，再根据等差(比)数列的通项公式直接求其值，此解思路简单，但运算过程复杂．[题组训练]1．等差数列{a n }的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为22∶18，则公差d ，a 9a 8的值分别是( )A ．8，109B ．9，109C ．9，119D ．8，119解析：选D 设S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 15，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 16，则有S 偶－S 奇＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 16－a 15)＝8d ，S 偶S 奇＝8(a 2＋a 16)28(a 1＋a 15)2＝a 9a 8.由⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝640，S 偶∶S 奇＝22∶18，解得S 奇＝288，S 偶d ＝S 偶－S 奇8＝648＝8，a 9a 8＝S 偶S 奇＝119.故选D.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为( ) A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26，故选B. 3．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：选C ∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，且a n >0，∴a n ＝2n ，∵a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 2n －1＝2n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.数列的通项及求和通项及数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题形式出现，难度较大．[考点精要]1．已知递推公式求通项公式的常见类型 (1)类型一 a n ＋1＝a n ＋f (n )把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解． (2)类型二 a n ＋1＝f (n )a n把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解．(3)类型三 a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解．2．数列求和(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n .(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和．(4)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论．[典例] (1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n (1－na n ＋1)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n 2－n ＋22B ．a n ＝n 2－n ＋12C ．a n ＝2n 2－n ＋1D ．a n ＝2n 2－n ＋2(2)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)·(a n ＋3)，(n ∈N *)． ①求a n 的通项公式；②若b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)原数列递推公式可化为1a n ＋1－1a n＝n ，令b n ＝1a n ，则b n ＋1－b n ＝n ，因此b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＋b 1＝(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋1＝n 2－n ＋22.从而a n ＝2n 2－n ＋2.故选D. [答案] D(2)解：①因为4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n－3，所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3，两式相减得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，化简得，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，由于{a n }是正项数列，所以a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1－2＝0，即对任意n ≥2，n ∈N *都有a n －a n －1＝2,又由4S 1＝a 21＋2a 1－3得，a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. ②由已知及(1)知，b n ＝(2n ＋1)·2n ，T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，(ⅰ) 2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，(ⅱ) (ⅱ)－(ⅰ)得，T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n )＋(2n ＋1)·2n ＋1 ＝－6－2×4(1－2n －1)1－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1. [类题通法](1)由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法．二是要注意a n 的完整表达式，易忽视n ＝1的情况．(2)数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及到等比数列求和时要注意公比q 对S n的影响．[题组训练]1．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________. 解析：因为f (n )＝n 2cos(n π)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…＋f (101)]，f (1)＋f (2)＋...＋f (100)＝－12＋22－32＋42－...－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋...(1002－992)＝3＋7＋ (199)50(3＋199)2＝5 050， f (2)＋...＋f (101)＝22－32＋42－...－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋...＋(1002－1012) ＝－5－9－ (201)50(－5－201)2＝－5 150，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (100)]＋[f (2)＋…＋f (101)] ＝－5 150＋5 050＝－100. 答案：－1002．已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是________．解析：令S n ＝a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ，则S n ＝9－6n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2 3．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2). 4．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＝2a n ＋1－1，令b n ＝a n －1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列；(2)设c n ＝a n ＋1a n ，求证：数列{c n }的前n 项和T n <n ＋34.证明：(1)由题意知，1b 1＝1a 1－1＝－2，a n ＝2－1a n ＋1，则1b n ＋1－1b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1a n ＋1－1 －12－1a n ＋1－1＝－1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)可知，1b n ＝－2＋(n －1)×(－1)＝－n －1，∴b n ＝－1n ＋1，代入a n ＝b n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， ∴a n ＋1a n＝n ＋1n ＋2n n ＋1＝(n ＋1)2 n (n ＋2)＝1＋1n (n ＋2)＝1＋12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n＝⎣⎡⎦⎤1＋12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤1＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝n ＋12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<n ＋34.1．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d >0 B ．d <0 C ．a 1d >0D ．a 1d <0解析：选D ∵{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n ＝2a 1a n ＋1－a 1a n ＝2a 1d <1＝20，∴a 1d <0，故选D.2．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11＝( )A ．24B ．48C ．66D ．132解析：选D 由a 9＝12a 12＋6得，2a 9－a 12＝12，由等差数列的性质得，2a 9－a 12＝a 6＋a 12－a 12＝12，则a 6＝12，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D.3．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30D ．－21解析：选C 由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6， ∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1 ＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.4．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2a 8－3a 4，则S 8S 16＝( ) A.310 B.13 C.19D.18解析：选A 由题意可得，a 1＝2a 1＋14d －3a 1－9d ，∴a 1＝52d ，又S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝20d ＋28d 40d ＋120d ＝48d 160d ＝310，故选A.5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 016项之和S 2 016等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0解析：选D 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前n 项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 016＝6×336，∴S 2 016＝S 6＝0.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( )A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①÷②可得1q ＝2，∴q ＝12，代入①解得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n－1.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －30，S n 是{|a n |}的前n 项和，则S 10＝________. 解析：由a n ＝2n －30，令a n <0，得n <15，即在数列{a n }中，前14项均为负数，所以S 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＝－102(a 1＋a 10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.答案：1908．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________. 解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或qq >0，所以q ＝32. 答案：329．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，a 1＝1，∴a 2－a 1＝12×1＝1－12，a 3－a 2＝13×2＝12－13， a 4－a 3＝14×3＝13－14，…， a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n . 以上各式累加，得a n －a 1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＝a 1＋1－1n ＝2－1n ，当n ＝1时，2－1n＝1＝a 1， ∴a n ＝2－1n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－1n .答案：2－1n10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，数列{b n }满足b 1＝3，b 2＝6，且{b n －a n }为等差数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1.因为b 1－a 1＝2，b 2－a 2＝4，所以数列{b n －a n }的公差d ＝2，所以b n －a n ＝(b 1－a 1)＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以b n ＝2n ＋2n －1.(2)T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝(2＋2n )n 2＋1×(1－2n )1－2＝n (n ＋1)＋2n －1.11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝1S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：S n ＝a n (a n ＋1)2(n ∈N *)，①S n －1＝a n －1(a n －1＋1)2(n ≥2)．② ①－②得a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)得S n ＝n 2＋n 2， ∴b n ＝2n 2＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝2[ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3×22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由已知，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1 ＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n ×22n －1，①从而22·S n ＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n ×22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ×22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．。

2018版高中数学苏教版必修5学案：3章末复习提升

章末复习提升I、本章知识网络二、知识要点归纳 1•不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据 •因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质 2•—元二次不等式的求解方法(1) 图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集 (2) 代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当 m<n 时，若(x — m)(x — n)>0，则可得 x>n 或 x<m ;若(x — m)(x — n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间3. 二元一次不等式(组)表示的平面区域(1) 二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式 (组)表示的平面区域.(2) 二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式 Ax + By + C>0(或<0), 无论B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数.当B>0时，①Ax + By + C>0 表示直线 Ax + By + C = 0上方的区域；②Ax + By + C<0表示直线 Ax + By + C = 0下方的区域. 4. 求目标函数最优解的两种方法薜式二元线fi 堰划问题屮，最优解的■求爸(1) 平移直线法•平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2) 代入检验法.通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性•于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解• 5•运用基本不等式求最值，把握三个条件 (1) “一正”一一各项为正数；(2) “二定”一一“和”或“积”为定值； (3) “三相等”一一等号一定能取到. 三、题型探究题型一“三个二次”之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与 x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数 (二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根 (相应的二次函数的图象及与x 轴的交点).例1 不等式2X 2 + mx + n > 0的解集是｛x|x > 3或x v — 2｝，则二次函数y = 2X 2+ mx + n 的表达式是 ____________ .答案 y = 2x 2 — 2x — 12题型二恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1) 变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元 (2) 分离参数法：若 f(a)<g(x)恒成立，则 f(a)<g(x)min . 若 f(a)>g(x)恒成立，则 f(a)>g(x)max . (3) 数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化例2 已知函数f(x)= mx 2— mx — 6+ m ,若对于 m € [1,3], f(x)v 0恒成立，求实数 x 的取值范围.解方法一 f(x) v 0? mx 2— mx — 6 + m v 0? (x 2 — x + 1)m — 6 v 0.解析由根与系数的关系得m =— 2,••• y = 2x 2— 2x — 12.n =— 12.2 ••• X 2— x + 1 > 0,••• m v^"6 > 3? X 2— X — 1 v 0?x — x + 1• x 的取值范围为方法二设 g(m)= f(x) = mx 2— mx — 6+ m = (x 2 — x + 1)m — 6. 由题意知g(m)v 0对m € ［1,3］恒成立.••• x 2 — x + 1 > 0, • g(m)是关于m 的一次函数，且在［1,3］上是单调增函数, • g(m) v 0 对 m € [1,3]恒成立等价于 g(m)max < 0,即 g(3) v 0.题型三简单的线性规划问题关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性，④目标函数非线性，如： X—a(斜率)，y — b.x — a 2+ y — b 2(距离)等.求目标函数z = ax + by + c 的最大值或最小值时，只需把直线ax + by = 0向上(或向下)平行移动，所对应的z 随之增大(或减少)(b>0)，找出最优解即可•在线性约束条件下，求目标函数 z =ax + by + c 的最小值或最大值的求解步骤为： (1)作出可行域；⑵作出直线10： ax + by = 0;(3) 确定I o 的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值.2x + y — 2> 0,1— .5 2v x v2 2•••(X — x + 1) 3— 6v 0? x — x — 1v 0?1 — .5v x v• X 的取值范围为Jx1— ,5v x v1+ 52V x V1+ .52例3已知实数x, y满足x—2y+ 4> 0, 求w = x2+ y2的最大值和最小值.3x —y—3W 0,解画出不等式组"2x + y — 2> 0, 」x — 2y + 4>0,.3x — y — 3W 0, 及其内部.T w = x 2 + y 2= (x — 0)2+ (y — 0)2表示的是可行域内的动点 M(x,y)到原点0(0,0)的距离的平方,当点M 滑到与点B(2,3)重合时，w 取得最大值，即 W max = ( 2 — 0 2+ 3— 0 2)2= 13, 故 w min = ~ , w max = 13・5 题型四利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形•如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解例4 已知x >0, y >0, x + 2y + 2xy = 8,贝U x + 2y 的最小值是 _____________ . 答案 4解析方法一依题意得，x + 1 > 1,2y + 1 > 1，易知(x + 1) (2y + 1)= 9,则(x + 1) + (2y +1)>2 x + 1 2y + 1 = 2 9= 6，当且仅当 x + 1 = 2y + 1 = 3，即 x = 2, y = 1 时，等号成立，因此有x + 2y >4,所以x + 2y 的最小值为4.8 — 2y — 2y + 1 + 9 2y + 12y + 1=—1 +2y + 199• x + 2y =— 1 ++ 2y =— 1+ + 2y + 1 — 12y + 1 2y + 1表示的•••当点M 在边AC 上滑动，且OM 丄AC 时，w 取得最小值, 2于是 W min = d =|0+ 0— 2,'22+ 12方法由题意△ ABC 包括边界当且仅当2y+ 1 = 3，即y= 1时，等号成立四、思想方法总结1•分类讨论思想解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论•分类讨论的原因大致有以下三种：(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论⑵对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论(3) 对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论例5 解关于x的不等式△二％v 0(a € R).x—a解首先将不等式转化为整式不等式(x—a)(x—a2)v 0，而方程(x—a)(x—a2)= 0的两根为x i=a, X2= a2,故应就两根a和a2的大小进行分类讨论.原不等式等价于(x—a)(x—a2) v 0.(1) 若a = 0,贝U a = a2= 0,不等式为x2v 0，解集为？；(2) 若a= 1,贝U a2= 1,不等式为(x—1)2v0,解集为？;⑶若0v a v 1,则a2v a,故解集为{x|a2v x v a};2 2⑷若a v0或a> 1,贝U a >a,故解集为{x|a v x v a }.2•转化与化归思想不等与相等是相对的，在一定条件下可以相互转化•解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程•无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解•由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的多解或少解是无法由检验而予以剔除或增补的，这就要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等•例6 已知奇函数f(x)在区间(—°°,+m)上单调递减，a, Y R且a+ 3> 0, B+ > 0,汁a> 0试判断f(a + f( B + f( Y的值与0的关系•解•/ f(x)为R上的减函数，2y + 1 —2= 4,且 a>— B B>— Y >— a,••• f(a )v (— B , f( B v f(— Y , f(Y< f( — a , 又f(x)为奇函数，二 f(—3)=—f(B ), f(—a )= — f(a ),f(—0= —f(Y,• f (a+ f(B )+ f( Y v f(— B + f(— Y + f(— a =-[f (®+f (Y+ f (a,••• f (a+ f(B )+ f( Yv 0.「课堂丰结 ------------------------------------ 1i •不等式的应用非常广泛，它贯穿于高中数学的始终•在集合、函数、数列、解析几何及实际问题中多有不等式的应用•本章的重点是简单的线性规划问题，基本不等式求最值和一元二次不等式的解法.2•考查角度通常有如下几个方面：(1) 对各类不等式解法的考查，其解题关键是对于生疏的，非规范化的题目转化为熟悉的、规范化的问题去求解；(2) 对含参数的不等式的解法的考查，解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行求解⑶与函数、三角函数、向量等知识相结合，以解题工具的面貌出现在解答题中，以求解参数的取值范围为主，并且将更加突出对不等式的灵活性、综合性及应用性的考查。

三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积与平面向量应用课件

地传说我国古代有个叫麻姑的
理仙女,曾经三次看到东海变成桑田。
小后人就以这种沧海桑田的变更,来
故比喻世事变化很大。其实这个故
事
事的原意是指海陆的变迁,这就是我们今天要研究和探讨的问题。
第二章第二节
海陆的变迁
实地考察
喜马拉雅山脉
海底世界
荷兰
喜马拉雅地区的发现
喜马拉雅地区发现了海洋生物的化石
我国东海海域的海底，人们发现人类活动的遗迹
荷兰的填海造陆工程
• 荷兰的围海造陆工程
荷兰的国土面积在过去的百年中不断扩大
引起海陆变迁的原因：
地壳的变动海平面的升降人类活动
从地图上得到的启示
非
非
南
洲
南洲
大西洋
美
美
洲
洲
• 大西洋两岸可以拼合
魏格纳
1910年的一天，年仅30岁的魏格纳躺在病床上，目光正好落在墙上的一幅世界地图上。“奇怪！大西洋两岸大陆轮廓的凹凸，为什么竟如此吻合？非洲大陆和南美洲大陆以前会不会是连在一起的？只是后来因为受到某种力的作用才破裂分离。大陆会不会是漂移的？”
东京大地震
1923年9月1日，日本东京发生8.3级地震，至少14万人死亡。
学以致用
你能用板块理论解释四川地震吗
马来西亚的槟榔屿遭受海啸泰国旅游胜地海啸后满目疮夷
印度洋海啸
印度洋大地震发生于2004年12月26日。震中央位于印度尼西亚苏门答腊以北的海底。香港天文台和美国全国地震情报中心测得强度分别为8.9和9.0。这是1900年以来强度第四的地震。有数十万人在地震引发的海啸中死亡，一些地区的海啸高达十多米。
大陆漂移学说

高中数学复习课(三)概率教学案苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教学案

复习课(三) 概率古典概型是学习及高考考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度属容易或中等，处理的关键在于用枚举法找出试验的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事件．还要注意理解事件间关系，准确判断两事件是否互斥，是否对立，合理利用概率加法公式及对立事件概率公式．[考点精要]1．事件(1)基本事件在一次试验中可能出现的每一个可能结果．(2)等可能事件假设在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，那么称这些基本事件为等可能基本事件．(3)互斥事件①定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．②规定：设A，B为互斥事件，假设事件A，B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.(4)对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记作A.2．概率的计算公式(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②计算公式：P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.(2)互斥事件的概率加法公式①假设事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②假设事件A1，A2，…，A n两两互斥．那么古典概型P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． (3)对立事件计算公式：P (A )＝1－P (A )．[典例](1)5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．(2)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻的概率为________．(3)随机掷两枚骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1 ，点数之和大于5的概率记为p 2 ，点数之和为偶数的概率记为p 3 ，那么p 1，p 2，p 3从小到大依次为________．(4)(某某高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．①应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数为________．②将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．那么编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到概率为________．[解](1)记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，那么任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个基本事件．记“恰有1件次品〞为事件A ，那么A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个基本事件．故其概率为P (A )＝610＝0.6.(2)设2本数学书分别为A ，B ，语文书为C ，那么所有的排放顺序有ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC ，BAC ，CAB ，CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.(3)总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，那么向上的点数之和不超过5的概率p 1＝1036＝518；向上的点数之和大于5的概率p 2＝1－518＝1318；向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p 3＝12.即p 1<p 3<p 2.(4)①应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.②从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.[答案](1)0.6 (2)23 (3)p 1<p 3<p 2 (4)①3,1,2 ②35[类题通法]解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算[题组训练]1．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为________．解析：利用列举法可求出基本事件总数为6种，其中符合要求的有5种，故P ＝56.答案：562．假设某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，那么甲或乙被录用的概率为________．解析：所有基本事件为(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中符合“甲与乙均未被录用〞的结果只有(丙，丁，戊)．故所求概率P ＝1－110＝910.答案：9103．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.答案：13几何概型是各类考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度比古典概型稍大．[考点精要]1．几何概型的特征(1)无限性：即试验结果有无限多个． (2)等可能性：即每个结果出现是等可能的． 2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[典例](1)在区间[0,5]上随机选择一个数p ，那么方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．(3)事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB 〞发生的概几何概型率为12，那么AD AB ＝________.[解析](1)设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根分别为x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝23.(2)依题意，得S 阴影S 正方形＝1801 000，所以S 阴影1×1＝1801 000，解得S 阴影＝0.18.(3)由，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得 AB 2＝⎝⎛⎭⎫34AB 2＋AD 2，解得⎝⎛⎭⎫AD AB 2＝716，即AD AB ＝74. [答案](1)23 (2)0.18 (3)74[类题通法](1)几何概型概率的大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只和该区域的大小有关． (2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．[题组训练]1．(某某高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，那么事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1〞发生的概率为________．解析：不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.42.(某某高考)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 假设在矩形ABCD 内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率等于________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14.答案：143．在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，那么三棱锥S -APC 的体积大于V3的概率是________．解析：由题意可知V S -APCV S -ABC ＞13，三棱锥S -ABC 的高与三棱锥S -APC 的高相同．作PM ⊥AC 交于点M ，BN ⊥AC 交于点N ，那么PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S -APCV S -ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ＞13，又PM BN ＝APAB ，所以AP AB ＞13，故所求的概率为23(即为长度之比)．3概率和统计综合应用[考点精要]对于给定的随机事件A.由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此各类考试常常结合统计的知识考查概率．考查形式一般以解答题为主，难度中等．解决此类考题要注意：①正确利用数形结合的思想．②充分利用概率是频率的稳定值，用频率估计概率．③准确地处理所给数据．[典例]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 频数281410 6(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．[解](1)如下图．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意〞；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意〞．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．[类题通法]解决概率和统计综合题，首先要明确频率、概率、频率分布表、频率分布直方图、概率的计算方法等基本知识，要充分利用频率估计概率及数形结合等基本思想，正确处理各种数据．[题组训练]1.随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损.(1)假设甲班同学身高的平均数为170 cm ，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm 的同学，求身高176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)设被污损的数字为a ，由题意知，甲班同学身高的平均数为x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋170＋a ＋18210＝170，解得 a ＝9.(2)设“身高176 cm 的同学被抽中〞的事件为A ，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，所以P (A )＝410＝25.2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如下图)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110.[对应配套卷P105]1．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，那么其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：基本事件的总数为6，满足条件的有{1,2}，{2,4},2个，故P ＝26＝13.答案：132．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．假设从中随机摸出两只球，那么它们颜色不同的概率是________．解析：基本事件总数有6个，满足条件的有3个，故P ＝12.答案：123．如下图，阴影部分是一个等腰三角形ABC ，其中一边过圆心O ，现在向圆面上随机撒一粒豆子，那么这粒豆子落到阴影部分的概率是________．解析：向圆面上随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设圆的半径为r ，全部结果构成的区域面积是圆面积πr 2，阴影部分的面积是等腰直角三角形ABC 的面积r 2，那么这粒豆子落到阴影部分的概率是r 2πr 2＝1π. 答案：1π4．在区间[0,3]上任取一点，那么此点落在区间[2,3]上的概率是________．解析：设这个事件为A ，所考查的区域D 为一线段，S D ＝3，又S A ＝1，∴P (A )＝13.答案：135．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，那么m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063.答案：20636．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于12，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于14，那么去打篮球；否那么，在家看书．那么小波周末不在家看书的概率为________．解析：去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116，故不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.答案：13167．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5〞的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为210＝15. 答案：158．假设a ，b ∈{－1,0,1,2}，那么使关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的概率为________．解析：要使方程有实数解，那么a ＝0或ab ≤1，所有可能的结果为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共16个，其中符合要求的有13个，故所求概率P ＝1316.答案：13169．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，假设选到男教师的概率为920，那么参加联欢会的教师共有________人．解析：设男教师为x 人，那么女教师为(x ＋12)人．依题意有： x2x ＋12＝920.∴x ＝54. ∴共有教师2×54＋12＝120(人)．答案：12010．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12〞的概率，p 2为事件“xy ≤12〞的概率，那么p 1，p 2，12按从小到大排列为________．解析：如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12〞对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18＜12；事件“xy ≤12〞对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2＞12，那么p 1＜12＜p 2.答案：p 1＜12＜p 211．(某某高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中〞所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.12．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50〞(记为事件B )的所有可能结果有{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}共5种．所以P (B )＝515＝13.13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90. 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的选法有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，10514．设f (x )和 g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，假设对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，那么称f (x )和g (x )是“友好函数〞，设f (x )＝ax ，g (x )＝bx.(1)假设a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数〞的概率； (2)假设a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数〞的概率．解：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数〞，那么|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ，共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a ＞0，b ＞0时，ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎫b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x 在(0，＋∞)上递增，所以对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种，所以P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数〞，因为a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，所以点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，所以事件B 表示的点的区域是如下图的阴影部分．所以P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫2＋114×33×3＝1924，24(时间120分钟总分值160分)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上) 1．从一箱产品中随机抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.那么事件“抽到的不是一等品〞的概率为________．解析：设事件“抽到的不是一等品〞为D ，那么A 与D 对立， ∴P (D )＝1－P (A )＝0.35. 答案：0.352．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲紧接着排在乙前面值班的概率是________．解析：甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.答案：133．根据以下算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为________． Read xIf x ≤50 Then y ←0.5 x Else y ←25＋0.6×(x －50)End If Print y解析：由题意知，该算法语句的功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x ＞50的值，所以当x ＝60时，输出y 的值为25＋0.6×(60－50)＝31.答案：314．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，那么所取2个数的乘积为6的概率是________．解析：取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的有：(1,6)，(2,3)共2种情况．所求事件概率为26＝13.答案：135．执行如下图的程序框图，那么输出S 的值为________．解析：由程序框图与循环结束的条件“k ＞4〞可知，最后输出的S ＝log 255＝12.答案：126．(某某高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，那么应抽取的男生人数为________．解析：设男生抽取x 人，那么有45900＝x 900－400，解得x ＝25.答案：257．(某某高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如下图．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由(1.5＋2.5＋a ＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1＝1，解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5]内频率为0.1×(1.5＋2.5)＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 0008．(某某高考)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10 ，其均值和方差分别为x 和s 2，假设从下月起每位员工的月工资增加100元，那么这10位员工下月工资的均值和方差分别为________．解析：对平均数和方差的意义深入理解可巧解．因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变．答案：100＋x s 29．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}，假设|a －b |≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀〞的概率为________．解析：甲、乙所猜数字的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个，其中满足|a －b |≤1的基本事件有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10个，故所求概率为1016＝58.答案：5810．正方形ABCD 面积为S ，在正方形内任取一点M ，△AMB 面积大于或等于13S 的概率为________．解析：如图，设正方形ABCD 的边长为a ，那么S ＝a 2，△ABM 的高为h ，由题知，12h ·a ≥13S ＝13a 2，∴h ≥23a ，∴P ＝13.答案：1311．如以下图是CBA 篮球联赛中，甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，那么平均得分高的运动员是________．解析：x 甲＝44＋30＋100＋3010＝20.4，x 乙＝63＋50＋8010＝19.3，∴x甲＞x 乙．答案：甲12.如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为________．解析：如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P ＝120360＝13.答案：1313．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，那么样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的数据分别为0＜a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e 5＝7，(a －7)2＋(b －7)2＋(c －7)2＋(d －7)2＋(e －7)25＝4.设a －7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，那么p ，q ，r ，s ，t 均为整数，那么⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )>0，那么判别式Δ<0，解得－4<t <4，所以－3≤t ≤3，所以最大值为10. 答案：1014．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上〞为事件(2≤n ≤5，n ∈N)，假设事件的概率最大，那么n 的所有可能值为________．解析：事件的总事件数为6.只要求出当n ＝2,3,4,5时的基本事件个数即可．当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点为(1,1)；当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点为(1,2)，(2,1)；当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点为(1,3)，(2,2)；当n ＝5时，落在直线x ＋y ＝5上的点为(2,3)；显然当n ＝3或4时，事件的概率最大为13.答案：3或4二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题总分值14分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19〞这一事件，那么C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．故所求概率为P (C )＝416＝14.16．(本小题总分值14分)(某某高考)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)频率是2050＝0.4.(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，那么从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x)个．∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1.即重量在[80,85)的有1个．(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)的有1个，记为a，重量在[95,100)的有3个，记为b1，b2，b3，任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法．记基本事件总数为n，那么n＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1，ab2，ab3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P(A)＝36＝1 2.17．(本小题总分值14分)为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华〞知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答以下问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．解：(1)设第i组的频率为f i(i＝1,2,3,4,5,6)，因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.频率分布直方图如下图．(2)由题意知，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽样学生成绩的合格率是75%.故估计这次考试的及格率为75%.利用组中值估算抽样学生的平均分：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.从而估计这次考试的平均分是71分．18．(本小题总分值16分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x 20y(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x，y的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁的人中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴30 50＝m5，解得m＝3.∴抽取了学历为研究生的有2人，学历为本科的有3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3. 从中任取2人的所有基本事件共10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人的学历为研究生的概率为710.(2)依题意，得10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20. ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y .解得x ＝40，y ＝5. ∴x ＝40，y ＝5.19．(本小题总分值16分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规那么如下：消费每满100元可以转动如下图的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券(例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，那么其共获得了30元优惠券)．顾客甲和乙都到该商场进行了消费，并按照规那么参与了活动．(1)假设顾客甲消费了128元，求他获得优惠券金额大于0元的概率； (2)假设顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率．解：(1)设“甲获得优惠券〞为事件A .因为指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20元、10元、0元区域内的概率都是13.顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，且由题意知顾客甲只能转动一次圆盘．根据互斥事件的概率公式，有P (A )＝13＋13＝23，所以顾客甲获得优惠券金额大于0元的概率是23.(2)设“乙获得优惠券金额不低于20元〞为事件B ，因为顾客乙转动了圆盘两次，设乙第一次转动圆盘获得优惠券金额为x 元，第二次获得优惠券金额为y 元，用(x ，y )表示乙两次转动圆盘获得优惠券金额的情况，那么有(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，。

高中数学三维设计苏教版必修5讲义：模块复习精要+复习课(三)不等式

复习课(三) 不等式一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体．贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大．[考点精要]解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽．(1)确定ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a 的取值情况下，应先分a ＝0和a ≠0两种情况进行讨论．(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a 的符号和方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a ，b ，c 之间的关系．(3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．[典例] 已知不等式ax 2＋5x －2>0的解集是M . (1)若2∈M ，求a 的取值范围；(2)若M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集． [解] (1)∵2∈M ，∴a ·22＋5·2－2>0，∴a >－2，即a 的取值范围为(－2，＋∞)．(2)∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴12，2是方程ax 2＋5x －2＝0的两个根， ∴由根与系数的关系得⎩⎨⎧12＋2＝－5a ，12·2＝－2a ，解得a ＝－2，∴不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0即为－2x 2－5x ＋3>0， ∴2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，∴不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <12.[类题通法]求解不等式的方法：(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清晰地求解．[题组训练]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是____________．解析：f (x 0)>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1⇒x 0≥1或x 0<－1. 答案：(－∞，－1)∪[1，＋∞)2．已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．解：(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0，∴(2x ＋4)(x －4)<0，∴－2<x <4，∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}．(2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， ∴x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15，即x 2－4x ＋7≥m (x －1)．∴对一切x >2均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立，而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥2(x －1)×4x －1－2＝2，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立， ∴实数m 的取值范围是(－∞，2].线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．“线性规划”是必考内容，主要以填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档．[考点精要]平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．[典例] 已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．[解] (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.又原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)． [类题通法]解决线性规划问题应关注三方面：(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．[题组训练]1．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≤－kx ＋4k 在平面直角坐标系中所表示的区域面积为S ，则当k >1时，kSk －1的最小值为________．解析：由图可知S ＝S △OAB ＝12×OA ×OB ＝12×4×4k ＝8k ，所以kS k －1＝k ×8k k －1＝8k 2k －1.令t ＝k －1>0，则k ＝t ＋1，代入上式得8(t ＋1)2t ＝8⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋16，因为t ＋1t ≥2，所以8⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋16≥8×2＋16＝32. 当且仅当t ＝1时，即k ＝2时取等号．故当k ＝2时，kSk －1取得最小值32.答案：322．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a ＝________.解析：作出可行域(如图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12可得a ＝－1或a＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立．答案：2或－1基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，考试中经常出现，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．[考点精要]1．基本不等式的常用变形(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时，等号成立； (3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a ≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．2．利用基本不等式求最值已知x ，y ∈(0，＋∞)，(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝⎛⎭⎫xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝S 24； (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P )． [典例] 已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． [解析] ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xy x ＋y ，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y ＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2.[答案] 2 [类题通法]利用基本不等式解题应关注三方面：(1)利用基本不等式求最值的注意点，①在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．②若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．(2)求条件最值问题的两种方法：一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．(3)结构调整与应用基本不等式：基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式，常见的转化方法有：①x ＋b x －a ＝x －a ＋bx －a＋a (x >a )．②若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．[题组训练]1．定义运算“*”：x *y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x >0，y >0时，x *y ＋(2y )*x 的最小值为________．解析：由题意，得x *y ＋(2y )*x ＝x 2－y 2xy ＋(2y )2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时取等号．答案： 2 2．函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．解析：令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．答案：151．不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4⇔x 2－x <2⇔－1<x <2，故原不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝________.解析：∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．答案：(－∞，－1)∪[3，＋∞) 3．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为________．解析：满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为直线y ＝kx －3过定点(0，－3)，所以当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3，所以k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)4．若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围是________．解析：因为a ∈[－2,2]，可把原式看作关于a 的函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝x 2＋2x ＋1≥0，g (2)＝x 2－2x ＋1≥0，解得x ∈R. 答案：R5．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为________．解析：设f (x )＝x 2＋ax －2，若x 2＋ax －2>0在[1,5]上无解，则只需⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (5)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤0，25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，所以x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解时，a >－235.答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是________．解析：由x ＋y ＋1＝xy ，得y ＝x ＋1x －1，又y >0，x >0，∴x >1.∴x ＋2y ＝x ＋2×x ＋1x －1＝x ＋2×⎝⎛⎭⎫1＋2x －1＝x ＋2＋4x －1＝3＋(x －1)＋4x －1≥3＋4＝7，当且仅当x ＝3时取“＝”．答案：77．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是________．解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，则由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1，且a ≠0.所以a 的最大值与最小值的和是0.答案：08．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.解析：则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．答案：189．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.当且仅当b ＝2a ＝254时等号成立．答案：2 210．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．解析：(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.答案：3 211．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0. ∴－4＜m ≤0，即m 的取值范围为(－4,0]． (2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，∴0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6，∴m ＜0. 综上所述：m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67. 12．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2， x >5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G (x )＝x ＋2. 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0，当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 即x 2－8x ＋7<0，得1<x <7，∴1<x ≤5. 当x >5时，解不等式8.2－x >0，得x <8.2， ∴5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x <8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6，而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．13．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图：由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z 2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A ⎝⎛⎭⎫145，3， ∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4. ∴甲种原料用145×10＝28(g)，乙种原料用3×10＝30(g)，费用最省．答：应用甲、乙原料分别为28 g,30 g 时，费用最省． 14．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知z min＝k OB＝2 5.(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min＝1－(－3)＝4，d max＝5－(－3)＝8.∴16≤z≤64.故z的取值范围为[16,64]．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

【三维设计】高中数学第一部分第二章 2.2 第四课时等差数列的前n项和的性质应用创新演练苏教版必修5

【三维设计】高中数学第一部分第二章 2.2 第四课时等差数列的前n 项和的性质应用创新演练苏教版必修5一、填空题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 解析：∵a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m －a m 2＝0.∴a m ＝0或a m ＝2.∵S 2m －1＝38， ∴a m ≠0.∴S 2m －1＝ 2m －1 a 1＋a 2m －1 2＝ 2m －1 2a m 2＝ 2m －1 ·2×22＝38. ∴m ＝10.答案：102．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则S 9＝________. 解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即3,21，S 9－24成等差数列．∴3＋S 9－24＝2×21.∴S 9＝63.答案：633．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．解析：由a n ＝－n 2＋10n ＋11＝－(n ＋1)(n －11)，得a 11＝0，而a 10＞0，a 12＜0， S 10＝S 11.因此数列的前10项和或前11项和相等，都是数列的前n 项和的最大值．答案：10或11项4．(2012·济宁高二检测)在等差数列{a n }中，已知a 3∶a 5＝34，则S 9∶S 5的值是________．解析：S 9S 5＝92 a 1＋a 9 52a 1＋a 5 ＝9×2a 55×2a 3＝95×a 5a 3＝95×43＝125. 答案：1255．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝2 009，且S 2 0122 012－S 2 0092 009＝32，则a 4＝________.解析：记数列{a n }的公差为d ，∵S 2 0122 012－S 2 0092 009＝32，根据等差数列的前n 项和公式可得a 1＋a 2 0122－a 1＋a 2 0092＝32，即a 2 012－a 2 009＝3，∴3d ＝3，∴d ＝1，故a 4＝2 009＋3＝2 012. 答案：2 012三、解答题6．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求公差d .解：法一：设此数列首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋12×12×11d ＝3546 a 1＋d ＋12×6×5×2d6a 1＋12×6×5×2d ＝3227，解得d ＝5.法二：⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354S 偶S 奇＝3227⇒⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192S 奇＝162∵S 偶－S 奇＝6d ，∴d ＝5.7．已知等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，(1)求公差d 的值；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．解：(1)由11a 5＝5a 8－13，得11(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )－13.∵a 1＝－3，∴d ＝59.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋(n －1)×59，令a n ≤0，得n ≤325，∴a 1＜a 2＜…＜a 6＜0＜a 7＜…∴S n 的最小值为S 6＝6a 1＋6×5d 2＝6×(－3)＋15×59＝－293.8．据估计，由于伊拉克战争的影响，伊拉克将产生100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊拉克难民运送食品．第1天运送1 000 t，第2天运送1 100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天减少100 t，总共运送21 300 t，连续运送15天，求在第几天达到运送食品的最大量？解：设在第n天达到运送食品的最大量，则前n天每天运送的食品量是首项为1 000，公差为100的等差数列，项数为n.所以a n＝1 000＋(n－1)·100＝100n＋900.其余每天运送的食品量是首项为100 n＋800，公差为－100的等差数列，项数为15－n，依题意，得[1 000n＋n n－12×100]＋[(100n＋800)·(15－n)＋15－n 14－n2×(－100)]＝21 300. 整理化简，得n2－31n＋198＝0，解得n＝9或n＝22(舍去)．所以在第9天达到运送食品的最大量．。

高中数学：3.5 复习课(全章复习) 教案(苏教版必修3)

3.5复习课(全章复习)自学评价本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.1、下列事件中，属于随机事件的是 ( D )A ．掷一枚硬币一次，出现两个正面；B 、同性电荷互相排斥；C 、当a 为实数时，|a|<0；D 、2009年10月1日天津下雨2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ A ）A ①④B ②③C ①②③D ①②③④3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ C ）A 、53B 、51C 、2512D 、1253 【精典范例】（1）计算表中各个击中靶心的频率；（2）这个射手击中靶心的概率是多少？（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？【解】 (1)0,4,0.4,0.48,0.45,0.45,0.45 (2) 0.45 (3)300例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率:(1)所取的三个球号码完全不同;(2)所取的三个球号码中不含4和5.【解】从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号码再放回,有5种情况;②再从5球中任取一个球,记下号码再放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有基本事件n 5×5×5=125个,(1)记三球号码不同为事件A,这三球的选取仍然为有顺序的三次,第一次取球有5种情况,第二,三次依次有4,3种情况,∴事件A含有基本事件的个数m =5×4×3=60个,∴6012();12525m P A n ===(2)记三球号码不含4和5为事件B,这时三球的选取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选,因此三次选取的方法种数都是3,∴B 中所含基本事件的个数为m =3×3×3=27个,∴27()125m P B n == 例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【解】在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有286⨯个，两面涂有色彩的有812⨯个，三面涂有色彩的有8个，∴⑴一面涂有色彩的概率为13840.3841000P ==； ⑵两面涂有色彩的概率为2960.0961000P ==； ⑶有三面涂有色彩的概率280.0081000P ==. 答：⑴一面图有色彩的概率0.384；⑵两面涂有色彩的概率为0.096；⑶有三面涂有色彩的概率0.008.例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率．（精确到01.0）【解】(1)0.875 (2)0.041 (3)0.330例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回），求：（1）全是红球或全是黑球的概率；（2）至少有一个红球的概率。

标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：第2章 2.2 第一课时等差数列的概念及通项公式

[小试身手]
1．下列数列是等差数列的是________(填序号)． ①5,5,5,5,5； ②3,7,11,15,19； ③－2，－1,0,2,4,6.
解析：①所给数列是首项为5，公差为0的等差数列． ②所给数列是首项为3，公差为4的等差数列． ③因为0－(－1)≠2－0，所以这个数列不是等差数列．综上，①②为等差数列．答案：①②
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
[活学活用]
1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意得
4．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________．
解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d， ∴d＝3. 答案：3
等差数列的通项公式及应用
[典例] 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
等差数列通项公式的综合应用
题点一：求通项公式中的未知项
1．在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0，若7ak＝a1＋a2＋„ ＋a7，则k＝________.
解析：因为a1＋a2＋„＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d，而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d，所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4. 答案：4
要判定或证明一个数列{an}是等差数列，主要是利用等差数列的通项公式，证明an＋1－an＝d(常数)．

【三维设计】高中数学第一部分第三章小专题大智慧阶段质量检测苏教版必修5

【三维设计】高中数学第一部分第三章小专题大智慧阶段质量检测苏教版必修5对应配套检测卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在题中的横线上) 1．不等式x 2－3x ＋2<0的解集为________．解析：x 2－3x ＋2<0化为(x －1)(x －2)<0， ∴1<x <2. 答案：{x |1<x <2} 2．不等式x －3x ＋2<0的解集为________．解析：x －3x ＋2<0等价于 (x ＋2)(x －3)<0， ∴－2<x <3. 答案：{x |－2<x <3}3．若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4>0的解集为 {x |－1<x <2}，则m 的值为________．解析：由已知得－1,2是方程mx 2＋2x ＋4＝0的两个根， ∴－1＋2＝－2m.∴m ＝－2. 答案：－24．已知点A (3，－1)，B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围为________．解析：∵A 、B 在直线ax ＋2y －1＝0的同侧， ∴(3a －2－1)·(－a ＋4－1)>0. 即(3a －3)(a －3)<0. ∴1<a <3. 答案：{a |1<a <3}5．(2012·松原模拟)设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y)的最小值为________．解析：∵x >0，y >0∴(x ＋y )(1x ＋4y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4x y＝9 当且仅当y x ＝4xy即y ＝2x 时取等号．答案：96．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析：先画出可行域为如图所示的△ABC ，作出直线2x ＋3y ＝0，向可行域方向平移，先交到可行域点A 处，点A 就是目标函数z ＝2x ＋3y 获得最小值的点．求得点A (2,1)，于是z min ＝2×2＋3×1＝7. 答案：77．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2log 3x 2－，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为________．解析：当x <2时，解2ex －1>2得x >1，∴1<x <2.当x ≥2时，解log 3(x 2－1)>2得x >10. ∴x >10，∴不等式f (x )>2的解集为{x |1<x <2或x > 10}．答案：{x |1<x <2或x > 10}8．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________．解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ＝2ab＋2ab ≥22ab·2ab ＝4.(当且仅当a ＝b 时取等号) 答案：49．(2011·广州一测)某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6.则该校招聘的教师最多是________名．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10. 答案：1010．(2011·渐江高考)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解析：由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y24.所以34(x＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233.当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233.答案：23311．当|x |≤1时，函数f (x )＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝ax ＋2a ＋1可以看成关于x 的一次函数．在[－1,1]上具有单调性．由已知得(a ＋2a ＋1)(－a ＋2a ＋1)<0， ∴即(3a ＋1)(a ＋1)<0. ∴－1<a <－13.答案：(－1，－13)12．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规则厢宽2 m ，则车厢的最大容积是________m 3.解析：设长为b m ，高为a m ，由已知得， 2b ＋2ab ＋4a ＝32.∴b ＝16－2a a ＋1.∴V ＝a ·b ·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设t ＝a ＋1，则V ＝2(20－2t －18t)≤2(20－22t ·18t)＝16.答案：1613．(2012·南昌一模)已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：依题意得2b －a (b －3)＝0，即2a ＋3b ＝1,2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(2a ＋3b )＝13＋6(ba＋ab)≥13＋6×2b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值为25. 答案：2514．(2011·重庆一诊)定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1] .解析：∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23.答案：1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)． 15．(本小题满分14分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2x －6≤12x 2－x －1>0.解：3x －2x －6≤1等价于3x －2x －6－1≤0，即x ＋x －6≤0.∴－2≤x <6.不等式2x 2－x －1>0等价于 (2x ＋1)(x －1)>0，∴x <－12或x >1.∴原不等式组的解为[－2，－12)∪(1,6)．16．(本小题满分14分)(2012·广州高一期末)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6， (1)当a ＝5时，解不等式f (x )<0；(2)若不等式f (x ) >0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝5时，f (x )＝x 2＋5x ＋6，由f (x )<0，得x 2＋5x ＋6<0. 即(x ＋2)(x ＋3)<0. ∴－3<x <－2.(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，则有Δ＝a 2－4×6<0，解得－26<a <2 6.所以实数a 的取值范围是(－26，26)17．(本小题满分14分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才合适？解：设桌子、椅子各买x 张和y 张，则所买桌椅的总数为z ＝x ＋y . 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，其中x ，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.设点A 的坐标为(2007，2007)，点B 的坐标为(25，752)，则前面的不等式组所表示的平面区域是以A (2007，2007)、B (25，752)、O (0,0)为顶点的△AOB 的边界及其内部(如图中阴影所示)．令z ＝0.得x ＋y ＝0，即y ＝－x .作直线l 0：y ＝－x .由图形可知，把直线l 0平移至过点 B (25，752)时，亦即x ＝25，y ＝752时．z 取最大值．因为x ，y ∈N *，所以x ＝25，y ＝37时，z 取最大值．故买桌子25张，椅子37张较为合适．18．(本小题满分16分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若函数f (x )的最大值不小于8，求实数a 的取值范围．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (x )>2x ⇔ax 2＋(b －2)x ＋c >0.已知其解集为(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b －2a ＝4⇔b ＝2－4a ，c a ＝3⇔c ＝3a ，∴f (x )＝ax 2＋(2－4a )x ＋3a . (1)若f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，故ax 2－(4a －2)x ＋9a ＝0， Δ＝4＋16a 2－16a －36a 2＝0，解得a ＝－1或15(舍去正值)，∴a ＝－1即f (x )＝－x 2＋6x －3. (2)由以上可知f (x )＝a (x －2a －1a )2＋－a 2＋4a －1a，∴f (x )max ＝－a 2＋4a －1a≥8得a 2－4a ＋1≥－8a ⇔a 2＋4a ＋1≥0，解得a ≥－2＋3或a ≤－2－ 3. 又∵a <0，∴a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪[－2＋3，0)．19．(本小题满分16分)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元． (1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的函数关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y ＝kx 2. ∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000. ∴y ＝6 000x 2，所以此钻石的价值与重量的函数关系式为y ＝6 000x 2.(2)若两颗钻石的重量为m 、n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2. 现有价值是6 000m 2＋6 000n 2，价值损失的百分率＝m ＋n2－6 000m 2－6 000n2m ＋n 2×100%＝2mn m ＋n 2×100%≤m ＋n22m ＋n2＝12，当且仅当m ＝n 时取等号．所以当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．20．(本小题满分16分)(2012·盐城高一期末)已知不等式x 2－4x ＋3<0的解集是A ， (1)求集合A .(2)函数f (x )＝log 2(a －x )(a ∈R)的定义域为集合B ，若A ⊆B 求a 的取值范围． (3)不等式ax 2－2x －2a >0(a ∈R 且a ≠0)的解集为C ，若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解析：(1)由x 2－4x ＋3<0得，(x －1)(x －3)<0. ∴1<x <3. ∴A ＝{x |1<x <3}．(2)由f (x )＝log 2(a －x )得，a －x >0，∴x <a . ∴B ＝{x |x <a } 若A ⊆B ，则a ≥3. (3)设g (x )＝ax 2－2x －2a ，①当a >0时，若A ∩C ≠∅，则g (3)>0，则9a －6－2a >0. ∴a >67.②当a <0时，若A ∩C ≠∅，则g (1)>0. ∴a －2－2a >0. ∴a <－2.综上：a 的取值范围是(－∞，－2)∪(67，＋∞).。

高中数学第3章不等式复习教学案(无答案)苏教版必修5(2021学年)

高中数学第３章不等式复习教学案（无答案)苏教版必修5编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第3章不等式复习教学案(无答案)苏教版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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不等式专题复习【学习目标】会运用基本不等式解决一些问题．【课前预习】1、（１)函数2231x x y --=的定义域为___＿__＿＿____＿____;（2)比较大小：122-_＿___＿_________＿_310-;（3)已知}01|{>+=x x M ，}011|{>-=x x N ，则=⋂N M ____＿____＿_＿___＿_;(4)不等式031>--x x 的解集是______＿＿_＿__＿＿＿__;(5）方程05)2(2=++++m x m x 有两个正根,则m 的取值范围是___＿_＿_＿_____；(6)已知00>>>x b a ，,那么x a xb ++的取值范围是__＿_____＿___＿______＿___＿；（７）已知b a ，都是正数,4=ab ,则b a +的最小值是____＿＿＿_＿______＿_;【课堂研讨】例1。

已知c b a >>，求证:c a c b b a -≥-+-411．例２.解关于x 的不等式:)(12R a a x ax ∈ +<-．例3 证明不等式：（1）若00>>b a ，，且b a ≠,则3322b a b a ab +<+;（2)若b a ，是实数,且b a ≠，则4433b a b a ab +<+；（３)把(1）和（２)中的不等式推广到一般情形,并证明你的结论.【学后反思】【课堂检测】１．已知00>>b a ，，则222b a +与2b a +的大小关系是222b a +___＿___2b a +. ２.已知0>ab ，那么a b b a +_______＿2；已知0<ab ,那么ab b a +_＿____＿_2-; 3．函数θθθcos 2cos )(+=f ,)22(ππθ -∈，,则)(θf 的最小值为＿_______＿＿__. ４．函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示.（１)方程0)(=x f 的解集是_＿__＿__＿＿__＿_______＿_＿; （2）不等式0)(<x f 的解集是_＿___＿___＿__＿___＿___； (3)不等式0)(>x f 的解集是＿__________＿_＿＿______. 122+=x y 的最小值”5．甲、乙两同学分别解“)1[∞+ ∈，x ，求函数的过程如下:甲:x x x y 221221222=⋅≥+=，又1≥x ，所以2222≥x . 从而2222≥≥x y ,即y 的最小值是22.乙:因为122+=x y 在)1[∞+ ，上单调递增,所以y 的最小值是31122=+⨯. 试判断谁错？错在何处？【课后巩固】1．若1>>b a ,b a P lg lg ⋅=,)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，试比较R Q P ，，的大小．２．已知数列}{n a 的通项公式902+=n n a n ,+∈N n ,则数列中最大项是第_______项．3.若直角三角形两条直角边的和等于10,则当该直角三角形面积最大时,斜边的长是＿＿______＿________＿_＿____．４.求函数)0(432> --=x xx y 的最大值．5.已知关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 有两个根，且一个根比1小，另一个根比1大,求实数a 的取值范围．6.设不等式x x ax ax 424222+<-+对任意实数x 均成立,求实数a 的取值范围.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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x2－4x＋7 ∴对一切x>2均有不等式 ≥m成立， x－1 x2－4x＋7 4 而＝(x－1)＋－2≥2 x－1 x－1 4 x－1× － 2＝ 2 ， x－ 1
4 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立， x－1 ∴实数m的取值范围是(－∞，2].
简单的线性规划问题
线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．“线性规划”是必考内容，主要以填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档．
1 (2)∵M＝x2 <x<2，
1 ∴2，2是方程ax2＋5x－2＝0的两个根，
5 1 2＋2＝－a， ∴由根与系数的关系得 2 1· 2＝－a， 2
解得a＝－2，
∴不等式ax2－5x＋a2－1>0即为－2x2－5x＋3>0， 1 ∴2x ＋5x－3<0，解得－3<x<2，
“回扣验收特训”见“回扣验收特训（三）” (单击进入电子文档)
答案：(－∞，－1)∪[1，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16. (1)求不等式g(x)<0的解集； (2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－ 2<x<4，∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}． (2)∵f(x)＝x2－2x－8. 当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立， ∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．
[典例] 已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D的不等式组． (2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a ＝0的异侧，求a的取值范围． [解] (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23 ＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0. 又原点(0,0)在区域D内，
x－1 2．函数y＝的最大值为________． x＋3＋ x－1
解析：令t＝ t t2＋t＋4
t x－1 ≥0，则x＝t ＋1，所以y＝ 2 ＝ t ＋1＋3＋t
2
.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝
1 4 ，因为t＋ t ≥2 4＝4(当且仅当t＝2时取等号)， 4 t＋ t ＋1 1 1 1 所以y＝ 4 ≤ 5 ，即y的最大值为 5 (当t＝2，即x＝5时y取得 t＋ t ＋1 最大值)． 1 答案：5
7x－5y－23≤0，故表示区域D的不等式组为x＋7y－11≤0， 4x＋y＋10≥0. (2)根据题意有[4× (－1)－3× (－6)－a][4× (－3)－3× 2－a]<0，即 (14－a)(－18－a)<0，得a的取值范围是－18<a<14. 故a的取值范围是(－18,14)．
最小值为2. [答案] 2
[类题通法]
利用基本不等式解题应关注三方面：(1)利用基本不等式求最值的注意点，①在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．②若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错． (2)求条件最值问题的两种方法：一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决．
[题组训练]
2x＋1，x≥1， 1．设函数f(x)＝ 2 x －2x－2，x＜1，
若f(x0)>1，则x0的取值范围是
____________．
x0≥1，解析：f(x0)>1⇒ 2x0＋1＞1 x0＜1，或 2 x0－2x0－2＞1
⇒y满足x＋2 2xy ≤λ(x＋y)恒成立，则实数
λ的最小值为________．
[解析]
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2 2xy (当且仅当x＝2y时取
x＋2 2xy x＋2 2xy 等号)．又由x＋2 2xy ≤λ(x＋y)可得λ≥ ，而 x＋y x＋ y
x＋2 2xy x＋x＋2y ≤ ＝2，∴当且仅当x＝2y时， max＝2.∴λ的 x＋y x＋y
若z＝y－ax取得最大值的
解析：作出可行域(如图)，为△ABC内部 (含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC 1 1 ＝2，kBC＝ 2 可得a＝－1或a＝2或a＝ 2 ，验 1 证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝2时，不成立．答案：2或－1
基本不等式的应用
基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，考试中经常出现，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．
[考点精要]
1．基本不等式的常用变形 (1)a＋b≥2 ab(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立； (2)a ＋b 成立；
[题组训练]
x≥0， 1．设不等式组 y≥0， y≤－kx＋4k 在平面直角坐标系中所表示的区域
kS 面积为S，则当k>1时，的最小值为________． k－1 1 解析：由图可知S＝S△OAB＝ 2 ×OA×OB＝
1 2×4×4k＝8k， kS k×8k 8k2 所以＝＝ . k－1 k－1 k－1
[考点精要]
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的 a z z 截距，把目标函数化为y＝－ b x＋ b ，可知 b 是直线ax＋by＝z在y 轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2 2
a＋b 2 ≥2ab，ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号
b a (3)a＋b≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立； 1 1 (4)a＋a≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋a≤－2 (a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
(3)结构调整与应用基本不等式：基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式，常见的转化方法有： b b ①x＋＝x－a＋＋a(x>a)． x－a x－a
a b a b ＋ ②若 x ＋ y ＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)· x y
复习课(三) 不等式
一元二次不等式
一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体．贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大．
[考点精要]
解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个 “二次”的枢纽． (1)确定ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)在判别式Δ>0 时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和 a≠0两种情况进行讨论．
[典例] 已知不等式ax2＋5x－2>0的解集是M. (1)若2∈M，求a的取值范围；
1 (2)若M＝x2 <x<2，求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
[解] (1)∵2∈M，∴a· 22＋5· 2－2>0，∴a>－2，即a的取值范围为(－2，＋∞)．
(2)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a， b，c之间的关系． (3)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．
≥ma＋nb＋2 abmn(字母均为正数)．
[题组训练]
x2－y2 1．定义运算“*”：x*y＝ xy (x，y∈R，xy≠0)，当x>0，y>0时， x*y＋(2y)*x的最小值为________．
x2－y2 2y2－x2 x2＋2y2 解析：由题意，得x*y＋(2y)*x＝ xy ＋ 2yx ＝ 2xy 2 x2· 2y2 ≥ 2xy ＝ 2，当且仅当x＝ 2y时取等号．答案： 2
2．利用基本不等式求最值已知x，y∈(0，＋∞)， S2 (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值 4
2 x＋y 2 S xy≤ 2 ＝ 4 ；
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值 2 P(x＋y≥2 xy＝2 P)．
8t＋12 1 t＋令t＝k－1>0，则k＝t＋1，代入上式得 t ＝8 t ＋16，
1 1 因为t＋ t ≥2，所以8t＋ t ＋16≥8×2＋16＝32.
当且仅当t＝1时，即k＝2时取等号． kS 故当k＝2时，取得最小值32. k－ 1 答案：32
x＋y－2≤0， 2．x，y满足约束条件 x－2y－2≤0， 2x－y＋2≥0. 最优解不唯一，则实数a＝________.