固体物理答案第3章

3．1 已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移nj μ为：

sin()

nj j j j j a t naq μωδ=++

j δ为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为B k T 。具体计算每

个原子的平方平均位移。 解：（１）根据2011

sin ()2

T j j j t naq dt T ωδ⎰++= 其中2j

T π

ω=

为振动周期，

所以222

21

sin ()2

nj j j j j j a t naq a μωδ=++=

（２） 第j 个格波的平均动能 （３） 经典的简谐运动有：

每个格波的平均动能＝平均势能＝1

2格波平均能量＝12

B k T 振幅222B j j k T a Nm ω=

， 所以 2

22

12B nj j j

k T a Nm μω==。 而每个原子的平方平均位移为：222221

()2

B n nj nj j j

j

j

j

j

k T

a Nm μμμω====∑∑∑∑

。 ３．２讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其２N 个格波的解。当m M =时与一维单原子链一一对应。 解：（１）一维双原子链： 22q a a

π

π

-

≤<

声学波：1

222

2

411sin ()m M mM aq mM m M ωβ-⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=--⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪

⎩⎭

当m M =时，有

2

224(1cos )sin 2

aq

aq m m ββω-=

-= 。

光学波：1

222

2

411sin ()m M mM aq mM m M ωβ+⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪

⎩⎭

当m M =时，有

2

2

24(1cos )cos 2

aq

aq m m ββω+=

+= 。 （２）一维双原子链在m M =时的解 22224sin 2422cos 2aq m q aq a

a

m βωπ

π

βω-+⎧=⎪⎪-

≤<

⎨

⎪=⎪⎩

与一维单原子链的解 224sin 2

aq

q m a

a

βπ

π

ω=-

≤<

是一一对应的。

3．5已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为： 其中马德隆常数 1.75,9a n ==,平衡离子间距0 2.82r =?。 （１） 试求离子在平衡位置附近的振动频率。

（２） 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与NaCl 红外吸收频率的测量只值

61μ进行比较。

解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差0r r δ=-的二次方项。

224

00002

00

()()1()()()2U r U r U r U r O δδδδδδδδδδ==∂+∂++=+⋅+⋅+∂∂ （1） 其中

00

()

0U r δδδ=∂+=∂ 为平衡条件。 由0r 已知可确定β：

2

10n q r n

αβ-=

。 （2）

根据（1）式，离子偏离平衡位置δ所受的恢复力为：

2'

002

()()U r U r F δδδδβδδδ=∂+∂+=-=-⋅=-∂∂ （3）

故恢复力常数为0

2'

2

23

()1r U r n q r r βα∂-==∂。 （4） 对于离子晶体的长光学波，

(0)ω+=

= （5） 将Na 的原子质量2423 1.6610m g -=⨯⨯, Cl 的原子质量2435.5 1.6610M g -=⨯⨯， 基本电荷电量104.80310q esu -=⨯ 代入上式，得 （２） 相对应的电磁波波长为

8614

22 3.14 2.998101710171.1110

c m m π

λμω-⨯⨯⨯===⨯=⨯ （6） 对应与远红外波，与NaCl 红外吸收频率测量值在同一数量级。 [注：如采用国际单位制进行计算，因在（2）式前乘一因子

90

18.99104k πε=

=⨯牛顿米2

/库仑 ]

3．6 求出一维单原子链的频率分布函数()ρω。 解：一维单原子链的色散关系为： 222

2

4sin sin 22

m aq aq m βωω=

=，

其中m ω= sin

2

m aq

ωω=,

振动模式的数目：2222cos

22

m Na Na d dn dq a aq ωωππω=⨯

=⨯⨯=

所以()0m m

g ωωωωω≤=>⎩

3．7设三维晶格的光学振动在0q =附近的长波极限有：

求证：频率分布函数为 12

023/201()()40V g A ωωωωωπωω⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩

证明：由20()q Aq ωω=-， 得()2q q Aq ω∇=。

故频率分布函数为 12

023/201()()40V g A ωωωωωπωω⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩

3．8有N 个相同原子组成面积为S 的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于2T 。

解：（1）q r

空间的状态密度为

2

(2)

S

π。 每个q r

对应一个纵波，c q ω=P ， 每个q r

对应一个横波，c q ω⊥=。

所以d ω范围的状态数应包括纵波和横波的状态数： 其中

2

221111()2c c c

⊥

=

+P 由于晶格振动模数有限，则晶格振动最高频率由

决定。由此得12

4()D N c S

πω=。

比热222

2

2

()()()2(1)(1)B B D D B B k T k T B

B

V B B k T

k T

e e k T k T S c k g d k d c

e

e

ω

ω

ωωω

ω

ωωωωωωπ==--⎰⎰

h h h h h h

令B x k T

ω

=

h ， D B D k ω=Θh , D Θ—德拜温度。 322

04()(1)D x

T v B x D T x e c Nk dx e Θ=Θ-⎰。

（2）在低温极限 0T →，

D

T

Θ→∞，